Breve resumen sobre el cálculo de derivadas.

Breve resumen sobre el cálculo de derivadas.
1. Propiedades algebraicas: Sean f, g : A −→ R dos funciones derivables en A. Entonces
′
′
[f (x) + g(x)] = f (′ x) + g ′ (x),
f (x)
g(x)
′
=
[f (x) · g(x)] = g(x)f ′ (x) + f (x)g ′ (x),
g(x)f ′ (x) − f (x)g ′ (x)
, si g(x) 6= 0.
[g(x)]2
Regla de la cadena: Sean f : A −→ R y g : B −→ R dos una función tales que la función compuesta
de g en f , g ◦ f : A −→ R exista. Supongamos que f es derivable en x = a y que g es derivable en
x = f (a). Entonces la función compuesta (g ◦ f )(x) = g(f (x)) es derivable en x = a y además
d f (x) d g(y) ′
′
′
′
·
.
(g ◦ f ) (a) = g(f (a)) = g [f (a)]f (a) ≡
dy dx y=f (a)
x=a
Tabla de derivadas: Las funciones elementales son derivables en su ”dominio”. Además:
1. (xα )′ = α xα−1 ,
2. (sen x)′ = cos x,
∀α ∈ R,
x∈R
x∈R
′
3. (cos x) = − sen x,
x∈R
4. (tan x)′ =
x∈R\
1
,
cos2 x
1
,
5. (arc sen x)′ = √
1 − x2
1
,
1 + x2
1
8. ( arcctg x)′ = −
,
1 + x2
1
,
x ln a
x∈R
x∈R
∀a > 0, a 6= 1,
x∈R
x > 0, a > 0
11. ( sh x)′ = ch x,
x∈R
12. ( ch x)′ = sh x,
x∈R
1
,
ch 2 x
1
,
14. ( cth )′ =
sh 2 x
Ejemplos:
n∈Z
x ∈ (−1, 1)
7. (arctan x)′ =
10. (loga x)′ =
2
o
+ nπ ,
x ∈ (−1, 1)
1
6. (arc cos x)′ = − √
,
1 − x2
9. (ax )′ = ax ln a,
nπ
13. (tanh x)′ =
x∈R
x ∈ R \ {0}
Calcular la derivada de la función f (x) = tan(x2 + 3x + ex ) en x = a.
d
2x + 3 + ex
d tan(y) d x2 + 3x + ex 2
x
=
tan(x + 3x + e ) =
.
·
2
dx
dy 2
dx
cos (x2 + 3x + ex )
x
y=x +3x+e
x=a
Calcular la derivada de la función h(x) = f (x)g(x) . Para encontrarla calcularemos la derivada de
log h(x) = g(x) log f (x),
(log h(x))′ =
f ′ (x)
h′ (x)
= g ′ (x) log f (x) + g(x)
,
h(x)
f (x)
luego
g(x) ′
(f (x)
g(x)
) = f (x)
f ′ (x)
′
g (x) log f (x) + g(x)
.
f (x)