Rotación - Unican.es

Rotación
Hemos tratado el movimiento de cuerpos fijándonos
en su CM
Ahora estudiaremos rotación de sólidos rígidos
(objetos extensos) sobre un eje fijo en un sistema
inercial
La rotación se da en todas las escalas desde los
electrones en los átomos hasta galaxias enteras.
Necesitamos describir el movimiento de un cuerpo
en rotación.
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Tema VI. Rotación
1
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Tema VI. Rotación
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Rotación de objetos extensos no sólidos
Andromeda Galaxy
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Tema VI. Rotación
Huracán
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Recordatorio de la cinemática del
movimiento circular
Magnitudes físicas para describir el movimiento
circular
• Angular displacement
• Angular velocity
• Angular acceleration
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θ
dθ
ω=
dt
dω d 2θ
α=
= 2
dt
dt
Tema VI. Rotación
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Movimiento lineal y circular
Relaciones entre las magnitudes físicas
s = rθ
• Displacement, velocity, and acceleration
• Kinetic energy for linear motion
v = rω
a = rα
K = 12 mv 2
• Kinetic energy for circular motion (masa puntual)
K = 12 mv 2 = 12 m(rω )2 = 12 mr 2ω 2
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Tema VI. Rotación
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Cálculo de ω y α
El volante de un motor de automóvil tiene un
diámetro de 0.36 m. La posición angular del volante
está dada por θ=2t3 rad. Calcula la distancia que una
partícula, en el borde, se mueve desde t=2s hasta
t=5s. Calcula la velocidad angular media en rad/s y
en rpm en ese intervalo y calcula ω(t=5s).
θ1=16 rad=920º θ2=250 rad=14000º
s=r∆θ=42 m
ϖ= ∆θ/ ∆t =78 rad/s =740 rpm
ω =dθ/dt =6 t2
ω(t=5s)=150 rad/s.
Calcula <α> en ese intervalo y α en t=5s. (42s-2;60s-2)
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Tema VI. Rotación
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Sistema de varias partículas
The kinetic energy of several point particles
n
n
K = ∑ Ki =
1
2
i =1
2
m
v
∑ ii=
n
1
2
i =1
2 2
m
r
∑ i i ωi
i =1
If we assume that these particles keep their distances
fixed with respect to each other (sólido rígido, todas las
partículas tienen igual velocidad angular) we can write
n

2
1
1
K = 2 ∑ mi ri ω = 2  ∑ mi ri  ω 2 = 12 Iω 2
 i =1

i =1
n
2
2
n
Where I is the moment of inertia given by I = ∑ mi ri2
Mov. traslación CM y mov. rotación (eje fijo)
Compare K linear
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1 2
1 2
= mv ⇔ K circular = Iω
2
2
Tema VI. Rotación
i =1
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Momento de inercia de objetos contínuos
We approximate our extended object as a collection of
small, identically sized cubes of volume dV of density ρ
r
I = ∫ r ρ (r )dV
2
⊥
V
Compare to
r
M = ∫ ρ (r )dV
V
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Tema VI. Rotación
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Some Moments of Inertia
Solid cylinder
Hollow cylinder
Rotating around
symmetry axis
Rotating around
symmetry axis
Also describes solid
disk
Also describes wheel
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Solid cylinder rotating
perpendicular to
symmetry axis
for R << h : I for thin rod
rotating about center
I=
Tema VI. Rotación
1
Mh 2
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Calculation of I for Hollow Cylinder (1)
Obtención del momento de inercia de un cilindro
hueco, uniforme, girando alrededor de su eje de
simetría
•
•
•
•
Constant density ρ
Outer radius R1
Inner radius R2
Height h
• We will see that h cancels out
• A wheel, a hollow cylinder, or a hollow disk will have the same form
for their moment of inertia
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Tema VI. Rotación
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Calculation of I for Hollow Cylinder (2)
Elegimos coordenadas cilíndricas
El elemento diferencial de volumen viene dado por
dV = rdrdφ dh
Now let’s calculate the mass of the hollow cylinder
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Tema VI. Rotación
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Calculation of I for Hollow Cylinder (3)
For the mass we get
 2 π  h/2  
M = ρ ∫ dV = ρ ∫  ∫  ∫ dh  dφ  r dr
 
V
R2  0  − h/2
R1
 2π 
= ρh ∫  ∫ dφ  r dr

R2  0
R1
R1
= ρh2π ∫ r dr
R2
= ρh2π
(R
1
2
(
2
1
− 12 R22
)
)
= π R12 − R22 hρ
For the density we then can write:
(
)
M = π R12 − R22 hρ ⇔ ρ =
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Tema VI. Rotación
M
π R12 − R22 h
(
)
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Calculation of I for Hollow Cylinder (4)
Now calculate I
R
2π


2
I = ρ ∫ r dV = ρ ∫  ∫ 
R1 2 π
  3

 3
dh  dφ  r dr = ρh ∫  ∫ dφ  r dr
∫
 

R2  0
R2  0  − h/2
1
V
h/2
R1
I = ρh2π ∫ r 3 dr = ρh2π
(
1
4
R14 − 14 R24
)
R2
Insert the result for the density
M
4
4
4
4
1
1
I = 2 ρhπ R1 − R2 =
h
π
R
−
R
1
2
2
2
2
π R1 − R2 h
(
)
(
)
(
)
4
4
2
2
2
2
(since:
a
−
b
=
(
a
+
b
)(
a
−
b
))
And finally we get
I = 12 M ( R12 + R22 )
Note that for R1 ≈ R2 = R, I = MR 2
(anillo, tubo…)
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Tema VI. Rotación
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Moment of Inertia for Other Geometries
I = 23 MR 2
Rectangular block
Solid sphere
Thin spherical shell
Rotating around axis
though the center
Rotating around axis
through the center
Rotating around axis
through the center
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Tema VI. Rotación
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Example: Rotational Kinetic Energy of the Earth
Question: ¿Cuál es la energía cinética rotacional de
la Tierra?
Answer:
1 2
Iω
2
Take the Earth as a sphere with constant density
2
I = MR 2
5
M = 5.98 ⋅1024 kg
K=
R = 6.37 ⋅106 m
2π  2π
 1hour 
−5
=

 = 7.29 ⋅10 Hz
T  24 hours  3600 s 
2
2
 1  2
K =   ( 5.98 ⋅1024 kg )( 6.37 ⋅106 m )  ( 7.29 ⋅10−5 Hz )
 2  5

ω=
K = 2.6 ⋅1029 J
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(compare with 2.6 ⋅1033 J translational K)
Tema VI. Rotación
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Parallel Axes Theorem [Steiner] (1)
Ahora que se ha resuelto el
problema del momento de
inercia de un cuerpo en
rotación alrededor de un eje
que pasa por el CM, vamos a
obtener el momento de
inercia de cuerpos que giran
alrededor de un eje que no
pasa por el CM
Elegimos
los
ejes
de
coordenadas como en la
figura: origen en el CM y el
eje z coincidente con el eje
respecto del cual conocemos
I.
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Parallel Axes Theorem (2)
Relationship between old and new coordinates
x ' = x − d x ; y' = y − d y ; z ' = z
Perpendicular distance in the new coordinates
r '2⊥ = x '2 + y'2 = (x − d x )2 + (y − d y )2 =
= x 2 − 2xd x + d x2 + y 2 − 2yd y + d y2
= (x 2 + y 2 ) + (d x2 + d y2 ) − 2xd x − 2yd y
= r⊥2 + d 2 − 2xd x − 2yd y
Moment of inertia about new axis
I P = ∫ r '2⊥ ρdV
CM
V
= ∫ r⊥2 ρdV + d 2 ∫ ρdV − 2d x ∫ x ρdV − 2d y ∫ yρdV
V
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V
V
Tema VI. Rotación
V
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Parallel Axes Theorem (3)
Need to evaluate integrals individually
I = ∫ r⊥2 ρ dV + d 2 ∫ ρ dV − 2d x ∫ x ρ dV − 2d y ∫ y ρ dV
V
V
V
V
1st: I about c.m.
2nd: d2M
3rd & 4th: location of x and y
coordinate of c.m. => by construction
then these integrals are 0.
Final result:
CM
I = I cm + Md
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Tema VI. Rotación
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