02. sucesión de fibonacci

PROGRESIONES
Página 1
LECTURA 2: LA SUCESIÓN DE FIBONACCI: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144....
El nombre de esta sucesión se debe al más destacado matemático de la Edad Media: Leonardo de Pisa,
conocido como Fibonacci (filius Bonacci = hijo de Bonacci), quien nació en 1.179 y murió en la primera
mitad del siglo XIII.
El mismo, relata que su padre ocupaba un cargo consular en Argelia y que lo llevó para iniciarlo en los
cálculos aritméticos de los árabes pues Leonardo se había educado con la numeración alfabética de los
griegos y de los latinos, y con el uso del ábaco. Con los nuevos conocimientos se entusiasmó y viajó a
diversos países árabes, recibiendo ahí lecciones de sabios musulmanes.
De vuelta a Pisa, compuso 5 obras: la primera de ellas en 1.202, revisada y aumentada en 1.228 es Liber
Abaci (Libre del Abaco).
En él aparecen por primera vez en Occidente, los nueve cifras hindúes y el signo del cero. Leonardo de Pisa
brinda en su obra reglas claras para realizar operaciones con estas cifras tanto con números enteros como con
fracciones, pero también proporciona la regla de tres simple y compuesta, normas para calcular la raíz
cuadrada de un número, así como instrucciones para resolver ecuaciones de primer grado y algunas de
segundo grado.
Pero Fibonacci es más conocido entre los matemáticos por una curiosa sucesión de números:
1; 1; 2; 3, 5; 8; 13; 21; 34; 55; 89....
que colocó en el margen de su Liber abaci junto al conocido "problema de los conejos" que más que un
problema parece un acertijo de matemáticas recreativas. El problema en lenguaje actual diría:
"Una pareja de conejos tarda un mes en alcanzar la edad fértil, a partir de ese momento cada vez
engendra una pareja de conejos, que a su vez, tras ser fértiles engendrarán cada mes una pareja de
conejos. ¿Cuántos conejos habrá al cabo de un determinado número de meses?."
En este gráfico vemos que el número de parejas a lo largo de los meses coincide con los términos de la
sucesión.
La solución es simple.
Al empezar tenemos una pareja. Al finalizar el
primer mes seguimos con una sola pareja.
Al término del segundo mes, el corral ya cuenta
con 2 parejas.
Al cabo del tercer mes la pareja inicial da a luz
otra pareja: ya hay 3 parejas una nueva.
Al final del cuarto mes, procrea la pareja inicial y
la primogénita: tenemos 5 parejas.
Al final del quinto mes: 8 parejas y así
sucesivamente.
Al culminar el año el corral tendrá 233 parejas de conejos.
1; 1; 2; 3, 5; 8; 13; 21; 34; 55; 89, 144....
PROGRESIONES
Página 2
Veamos con detalle estos números. 1; 1; 2; 3, 5; 8; 13; 21; 34; 55; 89, 144....
La primera propiedad de esta sucesión es que cada término es la suma de los dos anteriores.
Pero existe entre ellos otra relación curiosa, el cociente entre cada término y el anterior se va acercando cada
vez más a un número muy especial, ya conocido por los griegos y aplicado en sus esculturas y sus templos:
φ=
1+ 5
= 1,618039.... , el número áureo
2
Pero los números de la sucesión de Fibonacci van a sorprender a todos los biólogos.
Como muy bien nos enseña la filotaxia, las ramas y las hojas de las plantas se distribuyen buscando siempre
recibir el máximo de luz para cada una de ellas. Por eso ninguna hoja nace justo en la vertical de la anterior.
La distribución de las hojas alrededor del tallo de las plantas se produce siguiendo secuencias basadas
exclusivamente en estos números.
a) La forma en que ciertos árboles van echando sus ramas, nos transporta a nuestra sucesión: Supongamos un
tronco inicial que crece el primer año sin echar ninguna rama, pero que genera una nueva rama al segundo
año y cada nuevo año otra rama. Cada rama, a su vez, prosigue con la misma ley. Con el correr de los años,
el árbol va produciendo de este modo la sucesión de Fibonacci.
b) También esta sucesión aparece en la implantación espiral de las semillas en ciertas variedades de girasol.
Hay en ellas 2 haces de espirales: uno en sentido horario y otro en sentido antihorario. Los números son
distintos en cada familia, pero siempre son números de Fibonacci consecutivos:
•
Los girasoles tienen 55 espirales en un sentido y 89 en el otro, o bien 89 y 144.
•
Las margaritas presentan las semillas en forma de 21 y 34 espirales.
•
Cualquier variedad de piña presenta siempre un número de espirales que coincide con dos términos
de la sucesión de los conejos de Fibonacci, 8 y 13; o 5 y 8.
En el reino animal, además de en la reproducción de los conejos, la sucesión de Fibonacci aparece en
distintos ejemplos referentes a abejas.
El número de descendientes en cada generación de una abeja macho o zángano nos conduce a la sucesión de
Fibonacci, y por lo tanto, al número áureo.
Según se sabe, una vez inseminada la abeja reina por un zángano (de otro enjambre), aquella se queda en su
colmena y ya no sale más, dedicándose a la puesta de huevos que ella misma va fecundando o no, dando
origen así a abejas obreras, o bien reinas, en el primer caso y machos o zánganos en el segundo. Si
observamos el árbol genealógico (figura 1) de un zángano, podemos ver como el número de abejas en cada
generación es uno de los términos de la sucesión de Fibonacci.
PROGRESIONES
Página 3
Rectángulos de Fibonacci y espiral de Durero
Podemos construir una serie de rectángulos utilizando los
números de esta sucesión.
Empezamos con un cuadrado de lado 1, los dos primeros
términos de la sucesión.
Construimos otro igual sobre él. Tenemos ya un primer
rectángulo Fibonacci de dimensiones 2 x1.
Sobre el lado de dos unidades construimos un cuadrado y
tenemos un nuevo rectángulo de 3x2.
Sobre el lado mayor construimos otro cuadrado, tenemos
ahora un rectángulo 5x3, luego uno 5x8, 8x13, 13x21...
Podemos llegar a rectángulo de 34x55, de 55x89...
Cuanto más avancemos en este proceso más nos
aproximamos al rectángulo áureo.
Hemos construido así una sucesión de rectángulos, cuyas dimensiones partiendo del cuadrado (1x1), pasan al
rectángulo de dimensiones 2x1, al de 3x2, y avanzan de forma inexorable hacia el rectángulo áureo.
Si unimos los vértices de estos rectángulos se nos va formando una curva que ya nos resulta familiar. Es la
espiral de Durero. Una espiral, que de forma bastante ajustada, está presente en el crecimiento de las conchas
de los moluscos, en los cuernos de los rumiantes... Es decir, la espiral del crecimiento y la forma del reino
animal.
Fibonacci sin pretenderlo había hallado la llave del crecimiento en la Naturaleza.
PROGRESIONES
Página 4
Actividades
En estas actividades vamos a conocer algunas particularidades de los números de Fibonacci.
Para facilitar las operaciones podéis emplear la hoja de cálculo EXCEL o CAL.
ACTIVIDAD 1:
a) Escribe por lo menos los treinta primeros términos de la sucesión de Fibonacci
b) ¿Cuáles son pares? ¿Qué lugar ocupan en la sucesión?
c) ¿Cuáles son múltiplos de 3? ¿Qué lugar ocupan en la sucesión?
d) Realiza el mismo análisis con los múltiplos de 5, 8 y 13.
e) Si hallas alguna regularidad, exprésala en palabras.
f) A modo de ayuda y como resumen de lo obtenido, completa el siguiente cuadro agregando más filas y
columnas:
Múltiplos de 2
Lugar que ocupa
Múltiplos de 3
Lugar que ocupa
Múltiplos de 5
Lugar que ocupa
Múltiplos de 8
Lugar que ocupa
Múltiplos de 13
Lugar que ocupa
ACTIVIDAD 2:
Vamos a denotar por a1 el primer término de la sucesión de Fibonacci, por a2 el segundo término de la
sucesión, y, en general an el término que ocupa el lugar n.
an + 1
an
cn =
Vamos a considerar la sucesión de los cocientes
Los primeros términos serán:
1
1
,
2
1
,
3
2
,
5
3
,
8
5
,
13
8
,
21
..........
13
o expresado con números decimales:
1 ,
2
, 1,5 , 1,666666 , 1,6 ,
1,625 , 1,615384615 ...........
Calcula los 20 primeros términos de la sucesión cn.
¿Esos términos se van aproximando cada vez más a algún número conocido?