Programa y Bibliografía ALGEBRA NO ASOCIATIVA 07_08

ALGEBRA NO ASOCIATIVA. CURSO 07/08
PROGRAMA
1. Álgebras de Lie solubles y nilpotentes.
Construcción de álgebras de Lie. Álgebras de Lie de transformaciones lineales.
Derivaciones interiores de álgebras asociativas y de Lie. Determinación de las
álgebras de Lie de dimensiones dos y tres. Módulos y representaciones. Ideales,
solubilidad y nilpotencia. Extensiones del cuerpo base. Subconjuntos débilmente
cerrados en álgebras asociativas. Nil-conjuntos débilmente cerrados. Teorema de
Engel. Componentes primarias. Espacios peso. Envolvente asociativa de un álgebra
de Lie. Álgebras de Lie con envolvente asociativa semisimple. Teoremas de Lie.
2. Criterio de Cartan y sus consecuencias.
Subalgebra de Cartan. Producto de espacio peso. Criterio
de Cartan para la
semisimplicidad de un álgebra de Lie. Estructura de las álgebras de Lie semisimples.
Derivaciones. Reductibilidad completa de las representaciones de álgebras de Lie semisimples. Cohomología de álgebras de Lie. Primero y segundo lemas de Whitehead.
Teorema de Levi. Teorema de Malcev-Harish-Chandra.
3. Álgebras de Lie finito dimensionales simples.
Raíces y espacios raíz. Propiedades. Teorema básico sobre representaciones.
Consecuencias para la teoría de estructura. Sistemas simples de raíces. Matrices de
Cartan Teorema del isomorfismo. Determinación de las matrices de Cartan. Diagramas
de Dynkin. Construcción de las álgebras.
4. Complementos de la teoría de álgebras de Lie.
Formas compactas. Álgebra envolvente universal de un álgebra de Lie. Existencia y
unicidad. El teorema de Birkhoff-Witt-Poincare. Filtraciones y álgebras graduadas.
Álgebras de Lie libres. La formula de Campbell-Hausdorff. El teorema de Ado.
5. Introducción a la teoría básica de grupos de Lie.
El grupo de homeomorfismos de un espacio topológico localmente compacto. La
topología compacto-abierto.
Grupos uniparamétricos. Grupos uníparamétricos de transformaciones lineales. La
aplicación exponencial. Formula de Trotter. Exponencial de un conmutador. Acción
adjunta y exponencial. Definición de grupo de matrices. Ejemplos. Definición
de
álgebra de Lie y del álgebra de Lie asociada a un grupo de matrices. Carácter difeomorfo
local de la exponencial entre el álgebra de Lie y su grupo de matrices. Las álgebras de
Lie asociadas a los grupos de matrices clásicos. Diferencial de un isomorfismo de grupo
de matrices: el isomorfismo entre sus álgebras de Lie. Algunas aplicaciones. El papel de
la teoría de representación de álgebras y grupos de Lie en Física.
BIBLIOGRAFÍA
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