PROBLEMA 1: CALORIMETRIA

PROBLEMA 1: CALORIMETRIA

El gráfico muestra cómo varía la temperatura de una muestra de un kilogramo
de un material X que se encuentra en estado sólido a medida que intercambia
calor con el medio exterior. A continuación se coloca esa muestra X a 200°C
junto con un kilogramo de otro material Y a 150°C en estado sólido. Al llegar al
equilibrio ambos materiales son sólidos y se encuentran a 190°C.
1. ¿Cuál es el calor específico del material Y?
2. Luego se colocan en otro calorímetro un kilo de sólido X a 300°C y un kilo
de sólido Y a la temperatura de fusión (250°C). Al llegar al equilibrio se
fundió la mitad del material Y. Determinar el calor latente de fusión de Y.
SOLUCIÓN
1. El grafico expresa la ecuación de cambio de temperatura del material X, del
mismo podemos deducir que para que 1000 g del material X pierda 200°C,
tiene que entregar 800 kcal al ambiente, con lo cual se calcula el calor
especifico de este material:
Δ𝑄 = 𝑚𝑥 𝑐𝑥 Δ𝑇
−800 𝑘𝑐𝑎𝑙 = (1000 𝑔)(𝑐𝑥 )(−200 °𝐶)
𝑐𝑥 =
800000𝑐𝑎𝑙
1000 𝑔 ∗ 200 °𝐶
𝒄𝒙 = 𝟒
𝒄𝒂𝒍
𝒈𝒓°𝑪
Cuando los dos materiales están en contacto el calor absorbido por el material Y es
el mismo que es cedido por el material X, conociendo la temperatura de equilibrio
podemos calcular el calor específico del material Y:
𝑄𝑦 = −𝑄𝑥
𝑚𝑦 𝑐𝑦 Δ𝑇𝑦 = −𝑚𝑥 𝑐𝑥 Δ𝑇𝑥
𝑐𝑦 Δ𝑇𝑦 = −𝑐𝑥 Δ𝑇𝑥
𝑐𝑦 = −
𝑐𝑥 Δ𝑇𝑥
4 ∗ (190 − 200) 4 ∗ 10
=−
=
(190 − 150)
Δ𝑇𝑦
40
𝒄𝒚 = 𝟏 [
𝒄𝒂𝒍
]
𝒈𝒓°𝑪
2. Para hallar el calor latente es de forma similar, el material X pierde calor
mientras disminuye su temperatura hasta 250 °C, mientras que el material Y
usa este calor para fundir la mitad de su masa (𝒎𝑭𝒚 )
𝐿𝐹𝑦 𝑚𝐹𝑦 = −𝑚𝑥 𝑐𝑥 Δ𝑇𝑥
𝐿𝐹𝑦 = −
(1000)(4)(250 − 300)
𝑚𝑥 𝑐𝑥 Δ𝑇𝑥
=−
𝑚𝐹𝑦
500
𝑳𝑭𝒚 = 𝟒𝟎𝟎 [
𝒄𝒂𝒍
]
𝒈𝒓
PROBLEMA 2: DINAMICA

Se utiliza un resorte, cuya longitud sin carga es de 30 cm y cuya constante
elástica es 500 N/m, para mantener en equilibrio a una caja de 30 kg sobre el
plano inclinado del esquema.
1. Suponiendo despreciable el rozamiento, calcular qué longitud tendrá el
resorte.
2. Si los coeficientes de rozamiento fueran µe= 0,4; µd= 0,15, hallar la máxima
longitud que podrá darse al resorte sin romper el equilibrio.
3. Con los mismos coeficientes anteriores, hallar la mínima longitud del
resorte que conserve el equilibrio.
SOLUCIÓN
1. Si se desprecia el rozamiento, el diagrama de cuerpo libre del objeto será:
𝑃𝑥 = 𝑃𝑠𝑖𝑛(30) = 𝑚𝑔𝑠𝑖𝑛(30)
𝑃𝑦 = 𝑃𝑐𝑜𝑠(30) = 𝑚𝑔𝑐𝑜𝑠(30)
De este diagrama de cuerpo libre se concluye que la fuerza de restitución del
resorte debe ser igual a la componente x del peso del bloque, por lo que:
𝐹𝑅 = 𝑚𝑔𝑠𝑖𝑛(30)
𝑘Δ𝑥 = 𝑚𝑔𝑠𝑖𝑛(30)
Δ𝑥 =
𝑚𝑔𝑠𝑖𝑛(30) 30 ∗ 9.8 ∗ sin(30)
=
= 0,294 [𝑚]
𝑘
500
El resorte se estirará 29,4 cm por lo que su longitud será 30+29,4 =59,4 [cm]
2. Si se considera el rozamiento, la mayor elongación ocurrirá cuando el resorte
produzca la mayor fuerza de restitución y esto ocurrirá cuando el sentido de la
fuerza de fricción sea opuesto al de la fuerza de restitución del resorte:
La mayor elongación ocurrirá en el momento en que el bloque este detenido, por lo
que la fuerza de fricción será la fricción estática máxima.
Si aplicamos la primero ley de Newton en ambos ejes:
Σ𝐹𝑦 = 0
Σ𝐹𝑥 = 0
N = 𝑃𝑌
𝐹𝑅 = 𝑃𝑋 + 𝐹𝐹
N = 𝑚𝑔𝑐𝑜𝑠(30)
𝐹𝑅 = 𝑚𝑔𝑠𝑖𝑛(30) + 𝜇𝑠 𝑁
De estas ecuaciones se concluye:
𝐹𝑅 = 𝑚𝑔𝑠𝑖𝑛(30) + 𝜇𝑠 𝑚𝑔𝑐𝑜𝑠(30)
Δ𝑥 =
𝑚𝑔𝑠𝑖𝑛(30) + 𝜇𝑠 𝑚𝑔𝑐𝑜𝑠(30)
𝑘
Δ𝑥 = 0,498 [𝑚]
La longitud máxima del resorte será 30+49,8 = 79,8 [cm]
Para calcular la mínima longitud del resorte se toma en cuenta que la fuerza de
fricción está en la misma dirección que la fuerza de restitución del resorte:
Aplicando de nuevo la primero ley de Newton en ambos ejes, con las mismas
consideraciones que el caso anterior se concluye que la elongación del resorte
será:
Δ𝑥 =
𝑚𝑔𝑠𝑖𝑛(30) − 𝜇𝑠 𝑚𝑔𝑐𝑜𝑠(30)
𝑘
Δ𝑥 = 0,09[𝑚]
Esto significa que la mínima longitud del resorte será 30+9 = 39 [cm]
PROBLEMA 3: ESTATICA

Para que el sistema se mantenga en equilibrio en la posición mostrada, se
aplica en la barra de la figura una fuerza F. El peso de la barra es despreciable.
¿Cuál es el valor de la fuerza F, cuál es el valor del ángulo que forma con la
barra y dónde está aplicada? La longitud de la barra es de 10 m.
SOLUCIÓN
Para que el sistema se mantenga en equilibrio, la suma de todas las fuerzas
involucradas debe ser cero y la suma de los torques también debe ser cero.
Dibujando las fuerzas involucradas se tiene el siguiente diagrama, donde se ha
dibujo la fuerza F a una distancia “d” y con un ángulo “Ѳ”. Por conveniencia el
punto de pivote se escoge en el extremo de la barra conectado a la cuerda. El valor
de la tensión es el mismo del bloque de 10 [Kgf]
Del diagrama aplicando las respectivas ecuaciones se obtiene
Σ𝐹𝑥 = 0
Σ𝐹𝑦 = 0
ΣΤ = 0
𝐹𝑥 = 𝑇𝑥
𝐹𝑦 = 𝑇𝑦 + 𝐶
𝐹𝑦 ∗ 𝑑 = 𝐶 ∗ 10
𝐹𝑥 = 10 sin(37)
𝐹𝑦 = 10 cos(37) + 2
𝐹𝑦 ∗ 𝑑 = 20
De la primera ecuación se tiene que 𝐹𝑥 = 6 [𝐾𝑔𝑓], de la segunda ecuación se
obtiene 𝐹𝑦 = 10 [𝐾𝑔𝑓], con estos valores se obtiene el módulo y el ángulo de la
fuerza F:
𝐹 = 11,66 [𝐾𝑔𝑓]
𝜃 = 59𝑜
Además de la tercera ecuación y con los datos ya calculados, la distancia a la que se
debe aplicar esta fuerza es:
𝑑 = 2 [𝑚]
PROBLEMA 4: MOVIMIENTO

Una construcción articulada consta de tres rombos cuyas longitudes de lados
están en las proporciones 3:2:1. El vértice A3 se desplaza en dirección
horizontal con velocidad V constante. Determinar las velocidades de los
vértices A1, A2, y B2 en el momento que todos los ángulos de la construcción
son rectos.
SOLUCIÓN
Supongamos que los brazos articulados están a un ángulo 𝜙 con respecto al eje
horizontal. Si el brazo más pequeño tiene una longitud l, los demás tienen longitud
2l y 3l.
De esta forma en cualquier instante de tiempo la posición de los puntos señalados
es:
𝐴1 = 2(3𝑙 ∗ cos 𝜙) = 𝟔𝒍 𝐜𝐨𝐬 𝝓
𝐴2 = 2(3𝑙 ∗ cos 𝜙) + 2(2𝑙 ∗ cos 𝜙) = 𝟏𝟎𝒍 𝐜𝐨𝐬 𝝓
𝐴1 = 2(3𝑙 ∗ cos 𝜙) + 2(2𝑙 ∗ cos 𝜙) + 2(𝑙 ∗ cos 𝜙) = 𝟏𝟐𝒍 𝐜𝐨𝐬 𝝓
El punto B al contrario que los otros se mueve tanto en el eje x como en el eje y:
𝐵1𝑥 = 2(3𝑙 ∗ cos 𝜙) + 2𝑙 ∗ cos 𝜙 = 𝟖𝒍 𝐜𝐨𝐬 𝝓
𝐵1𝑦 = 𝟐𝒍 𝐬𝐢𝐧 𝝓
Debido a que en cualquier instante, las posiciones en el eje x son múltiplos de
cos 𝜙, sus velocidades estarán en la misma proporción en que están esas
posiciones. De esta forma se cumple que:
𝑣𝐴3 = 𝑣 ∝ 12𝑙 cos 𝜙
𝑣𝐴2 ∝ 10𝑙 cos 𝜙
𝑣𝐴2 ∝ 6𝑙 cos 𝜙
De estas condiciones podemos obtener que:
𝟏𝟎
𝟓
𝟔
𝒗𝑨𝟐 = 𝟏𝟐 𝒗 = 𝟔 𝒗
𝟏
𝒗𝑨𝟏 = 𝟏𝟐 𝒗 = 𝟐 𝒗
La velocidad del punto B1 tiene componentes en ambos ejes, así que:
𝑣𝐵1𝑥 ∝ 8𝑙 cos 𝜙
𝑣𝐵1𝑥 ∝ 2𝑙 sin 𝜙
Debido a que los ángulos de construcción son todos rectos 𝜙 = 450 , y se cumple
que:
cos 𝜙 = sin 𝜙
Por lo que la velocidad del punto B1 se expresa como:
𝟖
𝟐
𝟐
𝒗𝑩𝟏𝒙 = 𝟏𝟐 𝒗 = 𝟑 𝒗
𝟏
𝒗𝑩𝟏𝒚 = 𝟏𝟐 𝒗 = 𝟔 𝒗
La velocidad de punto B1 estará dada por el vector:
𝟐
𝟏
𝒗𝑩𝟏 = (𝟑 𝒗 𝒊̂ + 𝟔 𝒗 𝒋̂)
√𝟏𝟕
𝒗𝑩𝟏 = (
𝟔
𝒗 ; 𝟏𝟒𝟎 )
PROBLEMA 5: DINAMICA ROTACIONAL
Tres concursantes de la olimpiada se encuentran tranquilamente disfrutando de la
playa, cuando uno de ellos ve un avión sobrevolando sobre sus cabezas y dice: “El
avión vuela en círculos completando un ciclo cada 4 min”. El segundo dice: "La
línea imaginaria que une un extremo del ala con el otro extremo hace un ángulo
𝜃 = 200 con la horizontal. E1 tercero dice: "La velocidad del avión es...., cuando una
enorme ola revuelca a los tres.
¿Cuál es la velocidad del avión?
SOLUCIÓN
Los datos que los concursantes nos aportan son el periodo (T) del movimiento
circular, y el ángulo que hace el avión con respecto a la horizontal. Para analizar el
problema primero se realiza un diagrama de cuerpo libre del avión. El avión es
colocado frontal y el plano circular queda representado de forma horizontal
En el diagrama de cuerpo libre mg representa el peso del avión y F la fuerza que
sustenta al avión en el aire. Debido a que el eje del avión se encuentra a cierto
ángulo con respecto a la horizontal, la fuerza que mantiene al avión girando
(fuerza centrípeta) es la componente horizontal de F:
𝐹 sin 𝜃 = 𝐹𝐶 =
Además se cumple que:
𝑚𝑉 2
𝑅
𝐹𝑐𝑜𝑠 𝜃 = 𝑚𝑔
Dividiendo ambas expresiones se obtiene:
tan 𝜃 =
𝑉2
𝑔𝑅
Además conociendo el periodo T se sabe que:
𝑉=
2𝜋𝑅
𝑇
𝑅=
𝑉𝑇
2𝜋
Reemplazando esta ecuación en la obtenida anteriormente se tiene:
𝑉2
𝑉2
2𝜋𝑉
tan 𝜃 =
=
=
𝑔𝑅 𝑔 (𝑉𝑇)
𝑔𝑇
2𝜋
Despejando V:
𝑉=
𝑔𝑇 tan 𝜃
2𝜋
Usando los valores T=4 [min]=240 [s] y 𝜃 = 200 :
(9.8[𝑚/𝑠 2 ] )( 240 [𝑠] ) tan(200 )
𝑉=
2𝜋
𝒎
𝒌𝒎
𝑽 = 𝟏𝟑𝟔. 𝟐𝟓 [ ] = 𝟒𝟗𝟎. 𝟓 [
]
𝒔
𝒉
PROBLEMA 6: CINEMATICA ROTACIONAL

En una pantalla de cine se muestra el movimiento de un auto. El radio de las
ruedas delanteras del coche es r = 0,35 m y el de las traseras R = 1,5r. Las
ruedas delanteras poseen N1 = 6 radios. La cámara de filmación desplaza la
película a una velocidad de 24 cuadros por segundo.
Considerando que las ruedas del auto avanzan sin resbalar, determinar la
velocidad mínima a que debe moverse el auto, para que las ruedas delanteras
aparenten en la pantalla no rotar.
1. ¿Cuál es el número mínimo de radios N2 que deben tener las ruedas traseras
para que al mismo tiempo que las delanteras aparenten también no rotar?
Para la siguiente pregunta considerar que el número de radios de las ruedas
delanteras y traseras es N1 = N2 = 6.
2. ¿Con qué velocidad del auto, moviéndose de izquierda a derecha, a un
espectador le va parecer que los radios de las ruedas giran en sentido
contrario a las manecillas del reloj?
SOLUCION
1. Para que la rueda 1 aparente estar detenida, los radios de la rueda deben estar
en las mismas posiciones cada ciclo del proyector del cine.
Si 𝑓𝑝𝑟𝑜𝑦𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 es la frecuencia del proyector, 𝑇𝑝𝑟𝑜𝑦𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 su periodo, 𝑇𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 el tiempo
que demora la rueda para para ir de la posición A hasta la posición B, 𝑇𝑟𝑢𝑒𝑑𝑎 el
periodo de la rueda. Se debe cumplir que:
𝑇𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 = 𝑇𝑝𝑟𝑜𝑦𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟
𝑇𝑟𝑢𝑒𝑑𝑎 = 𝑛1 𝑇𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 = 𝑛1 𝑇𝑝𝑟𝑜𝑦𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟
Por lo que la velocidad de la rueda debe ser:
𝑉𝑟𝑢𝑒𝑑𝑎 =
2𝜋𝑟𝑓𝑝𝑟𝑜𝑦𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟
2𝜋𝑟
=
𝑇𝑟𝑢𝑒𝑑𝑎
𝑛1
Ya que la rueda tiene 6 radios de 0,35 m, y la frecuencia del proyector es
24[ciclos/s], la velocidad del auto debe ser:
𝑽𝒓𝒖𝒆𝒅𝒂 =
𝟐𝝅(𝟎, 𝟑𝟓)(𝟐𝟒)
= 𝟖, 𝟖 [𝒎/𝒔] = 𝟑𝟏, 𝟕[𝒌𝒎/𝒉]
𝟔
Ambas ruedas tienen la misma velocidad lineal, así que:
𝑉𝑟𝑢𝑒𝑑𝑎 =
2𝜋𝑟1 𝑓𝑝𝑟𝑜𝑦𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 2𝜋𝑟2 𝑓𝑝𝑟𝑜𝑦𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟
=
𝑛1
𝑛2
Despejando 𝑛2 :
𝑛2 =
𝑟2
𝑛
𝑟1 1
Ya que 𝑟2 = 1,5𝑟1 , entonces 𝑛2 = 1,5𝑛1 , es decir 𝒏𝟐 = 𝟗 𝒓𝒂𝒅𝒊𝒐𝒔
2. Para que las ruedas aparenten ir en sentido contrario, el periodo de su radios
debe ser menor que el periodo del proyector:
𝑇𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜1 > 𝑇𝑝𝑟𝑜𝑦𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟
𝑓𝑟𝑢𝑒𝑑𝑎1 <
𝑓𝑝𝑟𝑜𝑦𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟
𝑛1
Por lo tanto:
𝑣𝑟𝑢𝑒𝑑𝑎1 <
2𝜋𝑟𝑓𝑝𝑟𝑜𝑦𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟
𝑛1
Y también debe cumplirse que:
𝑣𝑟𝑢𝑒𝑑𝑎2 <
2𝜋𝑅𝑓𝑝𝑟𝑜𝑦𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟
𝑛2
El menor de esos valores es la velocidad de la rueda 1 así que las ruedas parecen ir
hacia atrás mientras la velocidad del auto sea
𝒗𝒂𝒖𝒕𝒐 < 𝟑𝟏, 𝟕 [𝒌𝒎/𝒉]