ayudantia 2trigonometria plana pauta

Profesora: Isabel Arratia
Ayudante: Paula Vallejos
Ayudantía número dos
TRIGONOMETRIA PLANA
1. Desde un punto se observa un edificio cuya parte más alta forma con el suelo un
ángulo de 30°, si avanzamos 30 metros, el ángulo pasa a ser de 45°. Calcula la h del
edificio.
2. Desde la torre de control de un aeródromo se establece comunicación con un
planeador que va aterrizar. En este momento, el planeador se encuentra a una altura
de 110 m y el ángulo de elevación desde la parte superior de la torre hacia el
planeador es de 30°. Halle la distancia entre el planeador y el del pie de la torre, si
se sabe que la altura de la torre es de 10m.
3. Desde un faro se observa un bote con un ángulo de depresión de 30°. Si el faro tiene
una altura de 48 metros. Calcule la distancia que hay desde el bote a la base del
faro.
4. Desde la cuspide de un monumento de 30 metros de altura, los angulos de depresión
de dos objetos que están sobre el terreno en la dirección oeste del monumento son
de 45° y 30°. Calcule la distancia entre los objetos.
7𝜋
7𝜋
5. Evaluar cos 12 y sin 12
𝜋
6. TANGENTE DE UNA SUMA. Evaluartan 12
7. USO DE FORMULA DE ANGULO DOBLE. Si senx= -1/4 y π< x <3π/2,
determina los valores exactos de cos2x y sen2x.
√2
8. Determinar los números reales x que satisfagan senx= 2 .
9. Determinar todas las soluciones de4 sin 𝑥 2 − 8 sin 𝑥 + 3 = 0
10. Determinar todas las soluciones de senx=cosx.
Profesora: Isabel Arratia
Ayudante: Paula Vallejos
PAUTA
1. Desde un punto se observa un edificio cuya parte más alta forma con el suelo un
ángulo de 30°, si avanzamos 30 metros, el ángulo pasa a ser de 45°. Calcula la h del
edificio.
ℎ
tan 30° = 30+𝑥
1
√3
1
√3
=
ℎ
30+𝑥
(30 + 𝑥) = ℎ
ℎ
tan 45° = 𝑥
1=
ℎ
𝑥
h=x
30 + 𝑥 = √3 ℎ
Entonces:
30 + ℎ = √3 ℎ
30 = √3 ℎ − ℎ
h=
30
√3 −1
2. Desde la torre de control de un aeródromo se establece comunicación con un
planeador que va aterrizar. En este momento, el planeador se encuentra a una altura
de 110 m y el ángulo de elevación desde la parte superior de la torre hacia el
planeador es de 30°. Halle la distancia entre el planeador y el del pie de la torre, si
se sabe que la altura de la torre es de 10m.
Profesora: Isabel Arratia
Ayudante: Paula Vallejos
𝑠𝑒𝑛30° =
100
ℎ𝑖𝑝
ℎ𝑖𝑝 = 200
TEOREMA DEL COSENO
𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏 2 − 2𝑎𝑏 cos(∝)
𝑐 2 = 2002 + 102 − 2(10)(200) cos(120°)
𝑐 2 = 40000 + 100 − 4000 cos(180° − 60°)
𝑐 2 = 40100 − 4000 cos(180° − 60°)
𝑐 2 = 40100 − 4000[cos(180°) cos(60°) + 𝑠𝑒𝑛180°𝑠𝑒𝑛60° ]
1
𝑐 2 = 40100 − 4000 [−( )]
2
Profesora: Isabel Arratia
Ayudante: Paula Vallejos
𝑐 2 = 40100 + 2000
𝑐 = √42100 ; como hablamos de distancia nos quedamos con la positiva
𝑐 = √42100
𝑐 = 10√421
3. Desde un faro se observa un bote con un ángulo de depresión de α=30°. Si el faro
tiene h de 48 metros. Calcule la distancia que hay desde el bote a la base del faro.
tan 60° = 𝑥⁄48
𝑥 = 48√3 (m)
4. Desde la cúspide de un monumento de 30 metros de altura, los ángulos de depresión
de dos objetos que están sobre el terreno en la dirección oeste del monumento son
de 45° y 30°. Calcule la distancia entre los objetos.
Profesora: Isabel Arratia
Ayudante: Paula Vallejos
𝑥 + 30
30
30√3 = 𝑥 + 30
tan 60° =
30√3 − 30 = 𝑥
7𝜋
7𝜋
5. Evaluar cos 12 y sin 12
7𝜋
12
= 105° = 60° + 45°
7𝜋
𝜋
𝜋
cos 12 = cos( 3 + 4 )
𝜋
𝜋
𝜋
3
4
3
=cos 𝑐𝑜𝑠 − 𝑠𝑒𝑛
𝑠𝑒𝑛
1 √2 √3 √2
−
2 2
2 2
√2 − √6
=
4
7𝜋
𝜋
𝜋
sen 12 = sen( 3 + 4 )
𝜋
4
=
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
=sen 3 𝑐𝑜𝑠 4 + 𝑐𝑜𝑠 3 𝑠𝑒𝑛 4
=
1 √2
√3 √2
+
2 2
2 2
√6 + √2
=
4
𝜋
6. TANGENTE DE UNA SUMA. Evaluar tan 12
𝜋
𝜋
𝑟𝑎𝑑 = 15° = 45° − 30°= 4 −
12
𝜋
6
𝜋
𝜋
𝜋
= tan ( − )
12
4
6
𝜋
𝜋
tan 4 − tan 6
=
𝜋
𝜋
1 + tan 4 tan 6
tan
=
1−
1
√3
1 + 1⁄
√3
√3 − 1
=
√3 + 1
7. USO DE FORMULA DE ANGULO DOBLE. Si senx= -1/4 y π< x <3π/2,
determina los valores exactos de cos2x y sen2x.
Pasos: ubicar el cuadrante y luego resolver utilizando formula
Profesora: Isabel Arratia
Ayudante: Paula Vallejos
sin 𝑥 2 + cos 𝑥 2 = 1
cos 𝑥 = −√1 − sin 𝑥 2
1 2
√
cos 𝑥 = − 1 − (− )
4
cos 𝑥 =
Cos 2x= cos 𝑥 2 − sin 𝑥 2
− √15
4
2
−1 2
√15
=(
) − ( )
4
4
=
7
8
Sen 2x= 2 senxcosx
=2(-1/4)(-√15/4)
=√15/2
√2
8. Determinar los números reales x que satisfagan senx= 2 .
√2
2
Si senx= . , el angulo de referencia para x seria π/4. Ya que el valor de sen x es
positivo solo puede estar en el primer o segundo cuadrante. Por lo que las únicas
soluciones entre 0 y 2π son: π/4 y 3π/4.
Si quisiéramos encontrar las soluciones restantes tendríamos que x= π/4 +2kπ
Profesora: Isabel Arratia
Ayudante: Paula Vallejos
9. Determinar todas las soluciones de 4 sin 𝑥 2 − 8 sin 𝑥 + 3 = 0
Como se trata de una ecuación cuadrática se factorizaasi:
(2senx -3)(2senx-1)=0
Esto implica que:
Senx= 3/2 o senx= ½
Pero el sen=3/2 no tiene solución porque -1<senx< 1
Entonces, sabemos que el sen x=1/2, x=π/6 o x=5π/6.
10. Determinar todas las soluciones de senx=cosx.
Para trabajar solo con una función tanx=1
La ecuación es equivalente siempre y cuando cosx≠ 0, la tgx=1 implica x=π/4 o
5π/4