Documento 651517

EJERCICIOS FASE DE MEDICIÓN SEIS SIGMA BB
P. Reyes / Abril 2009
EJERCICIOS:
CAPACIDAD Y DESEMPEÑO DE PROCESOS
1. De una carta de control X - R (con tamaño de subgrupo n = 5), después de que el proceso se
estabilizó quedando sólo con causas comunes (LIE = 36, LSE = 46) se obtuvo lo siguiente:
Xmedia de medias = 40
Rmedio = 5
a) Determinar la desviación estándar del proceso

R
con d2 = 2.326
d2
b) Determinar los límites de tolerancia natural del proceso
LTNS = Media de medias + 3*sigma; LTNI = Media de medias – 3*sigma
c) Determinar la fracción defectiva o porcentaje fuera de especificaciones
Zi = (LIE – Media) / Sigma
P(Zi) =
Zs = Zs = (LSE – Media) / Sigma
P(-Zs) =
Ptotal = P(Zi) + P(-Zs)
d) Determinar el Cp
Cp = (LSE – LIE) / 6*sigma
e) Determinar el Cpk
Cpk = menor de las Zi y Zs en valor absoluto / 3 =
f) Determinar el Cpm
T es el centro de las especificaciones
C pm 
Cp
1V
2

LSE  LIE
6  2  (  T ) 2
g) Determinar el Cpkm
C pkm 
Cpk
  T 
1 

  
2
h) Establecer conclusiones de los resultados anteriores
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2. Determinar los índices de capacidad y de desempeño del proceso siguiente:
FlashRecov
4.49
4.89
4.69
5.14
4.80
4.12
3.70
4.00
3.80
3.99
5.68
5.88
5.73
5.83
5.95
4.81
4.56
4.78
4.97
4.85
6.59
6.07
6.36
6.40
6.42
4.94
5.11
5.17
5.07
5.31
6.88
6.69
7.01
7.08
7.16
5.34
5.46
5.61
5.36
5.30
Los límites de especificación son LSE = 8 , LIE = 3.5
Hacer una carta de control I – MR
a) Determinar la desviación estándar del proceso (Within)

R
con d2 = 1.128
d2
b) Determinar los límites de tolerancia natural del proceso
LTNS = Media de medias + 3*sigma; LTNI = Media de medias – 3*sigma
c) Determinar la fracción defectiva o porcentaje fuera de especificaciones
Zi = (LIE – Media) / Sigma
P(Zi) =
Zs = Zs = (LSE – Media) / Sigma
P(-Zs) =
Ptotal = P(Zi) + P(-Zs)
d) Determinar el Cp
Cp = (LSE – LIE) / 6*sigma
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e) Determinar el Cpk
Cpk = menor de las Zi y Zs en valor absoluto / 3 =
f) Determinar el Cpm
T es el centro de las especificaciones
Cp
C pm 
1V 2

LSE  LIE
6  2  (  T ) 2
g) Determinar el Cpkm
Cpk
C pkm 
  T 
1 

  
2
h) Establecer conclusiones de los resultados anteriores (ref. 1.33)
i. Determinar el valor de la desviación estándar de largo plazo (Overall)
n
S
(X
i 1
i
 X )2
n 1
C4 
4( n  1)
4n  3
 LT 
S
C4
j. Determinar el índice de desempeño potencial
Pp 
LSE  LIE
6 LT
k. Determinar la fracción defectiva equivalente
Zs 
ZI 
LSE  X
 LT
LIE  X
 LT
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P(Zi) =
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P(-Zs) =
Ptotal = P(Zi) + P(-Zs)
l. Determinar el índice de desempeño potencial
Pp 
LSE  LIE
6 LT
m. determinar el índice de desempeño real
Ppk 
m enorZ I , Z S
3
n. Establecer conclusiones (ref. 1.33)
CAPACIDAD Y DESEMPEÑO DE PROCESOS EN MINITAB
3. Realizar un estudio:
a. Generar 100 datos aleatorios en Minitab con Media = 264.6 y Desviación estándar S = 32.02
con
1. Calc > Random data > Normal
2. Generate 100 Store in columns C1 Mean 264.06 Estándar deviation 32.02 OK
Considerando Límites de especificaciones LIE = 200 y LSE = 330
b. Prueba de normalidad
1. Stat > Basic statistics > Normality Test
2. Variable C1 Seleccionar Ryan Joiner test OK
c. Prueba de normalidad con intervalo de confianza
1. Graph > Probability plot > Normal
2. Graph Variable C1
3. Distribution Normal OK
d. Capacidad y desempeño del proceso
1. Stat > Quality tools > Capability análisis > Normal
2. Single column C1 Subgroup size 1 Lower Spec 200 Upper spec 330
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3. Estimate R-bar OK
e. Opción Six Pack
1. Stat > Quality tools > Capability Six Pack > Normal
2. Single column C1 Subgroup size 5 Lower Spec 200 Upper spec 330
3. Estimate R-bar OK
4. Un panadero cree que existe una gran variabilidad en el peso de sus productos: Hay dos
operadores A y B que usan las máquinas 1 y 2 no en forma simultánea. Durante 20 días se
tomaron muestras de 4 piezas de pan de cada máquina con los siguientes resultados:
Día
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Operari Máq1_p Máq_p Máq1_p Máq1_p Máq2_p Máq2_p Máq2_p Máq2_p
o
1
2
3
4
1
2
3
4
A
209.2
209.5
210.2
212
214.3
221.8
214.6
214.4
B
208.5
208.7
206.2
207.8
215.3
216.7
212.3
212
B
204.2
210.2
210.5
205.9
215.7
213.8
215.2
202.7
B
204
203.3
198.2
199.9
212.5
210.2
211.3
210.4
A
209.6
203.7
213.2
209.6
208.4
214.9
212.8
214.8
A
208.1
207.9
211
206.2
212.3
216.2
208.4
210.8
A
205.2
204.8
198.7
205.8
208.1
211.9
212.9
209
B
199
197.7
202
213.1
207.5
209.9
210.6
212.3
B
197.2
210.6
199.5
215.3
206.9
207.1
213.6
212.2
A
199.1
207.2
200.8
201.2
209.6
209.5
206.8
214.2
B
204.6
207
200.8
204.6
212.2
209.8
207.6
212.6
B
214.7
207.5
205.8
200.9
211.4
211.2
214.4
212.6
B
204.1
196.6
204.6
199.4
209.6
209.2
206.1
207.1
A
200.2
205.5
208
202.7
203.5
206.9
210.6
212.3
A
201.1
209.2
205.5
200
209.1
206.3
209.8
211.4
B
201.3
203.1
196.3
205.5
208
207.9
205.3
203.6
B
202.2
204.4
202.1
206.6
210
209.4
209.1
207
A
194.1
211
208.4
202.6
215.6
211.8
205.4
209
A
204.8
201.3
208.4
212.3
214.5
207.5
212.9
204.3
A
200.6
202.3
204.3
201.4
209.1
205.8
212
204.2
a) Apilar todas las columnas
Data > Stack > Columns
Stack the following columns todas
Column of current worksheet seleccionar una vacía Total
b) Hacer un histograma con la columna total
Graph > Histogram: Simple
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c) Agrupar las columnas de la máquina 1
Data > Stack > Columns C3-C6 Máquina1
d) Agrupar las columnas de la máquina 2
Data > Stack > Columns C7-C10 Máquina2
e) Hacer histogramas similares al realizado con la columna de total
f) Comparar y sacar conclusiones
g) ¿qué se puede concluir si se acepta como normal un peso de 210 +- 10 gramos?
Stat > Quality tools > Capability analysis (normal)
Variable Total
Sample size 1
LSL 200 USL 220
OK
5. Se representa la humedad de 20 paquetes de un producto tomado durante varios días a la
semana:
lunes
8.2
8.36
8.37
8.52
8.05
8.76
8.51
8.18
8.52
8.64
8.83
8.35
8.48
8.34
8.51
8.08
8.15
8.15
8.68
8.79
martes
8.61
9.14
8.52
9.2
9.3
9.58
8.81
8.68
8.59
8.66
8.7
9.08
8.32
8.33
8.41
9.07
9.08
9.13
8.69
8.46
mierc
9.43
8.85
8.66
8.89
9.28
9.14
9.41
9.34
9.59
9.15
9.75
9.18
8.86
9.28
8.5
9.19
9.19
9.12
9.2
8.8
jueves
8.97
9.02
9.61
9.15
9.21
9.53
9.28
9.28
8.86
8.75
9.64
9.05
8.76
9.21
8.76
9.4
9.55
9.5
9.48
9.58
viernes
8.46
8
8.32
8.91
8.17
8.6
8.48
8.65
8.97
8.2
8.33
8.26
8.64
8.81
8.73
8.73
8.4
8.6
8.47
8.1
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a) Apilar todas las columnas agregando una columna de índices
Data > Stack > Columns
Stack the following columns lunes-viernes
Column of current worksheet semana
Store subscripts in Dia
seleccionar Use variable names in subscript column
OK
b) Hacer un diagrama de datos de la semana ver si el proceso es estable
Graph > Time Series Plot: Simple
Series semana
OK
c) Distinguir el día de la semana en que ocurrieron los resultados
Graph > Time Series plot: With Groups
Series Semana
Categorical variables for grouping Dia
OK
¿Qué conclusiones se obtienen?
6. Obtener las estadísticas básicas de Peso (Weight) para dos máquinas de llenado:
Weight
905
Llenadora
2
930
865
895
905
885
890
930
915
910
1
2
1
1
2
1
2
2
1
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920
915
925
860
905
925
925
905
915
930
890
940
860
875
985
970
940
975
1000
1035
1020
985
960
945
965
940
900
920
980
950
955
970
970
1035
P. Reyes / Abril 2009
1
1
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
2
1
2
1
1
1
2
2
2
2
2
1
1
2
2
2
2
2
2
2
1
1
a. Estadísticas básicas
Mediana
Moda
Media
Desviación estándar
Varianza
Coeficiente de variación
Rango
Primer cuartil
Tercer cuartil
Rango intercuartílico
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Esquematiza el diagrama de caja
b) Hacer una prueba de normalidad en los datos. Con los datos completos y considerando cada
llenadora:
c) Obtener un histograma para la llenadora 2
d) Obtener un diagrama de caja para la llenadora 2
e) Obtener un diagrama de tallo y hojas para ambas
Con los datos completos
f) Encontrar la proporción de pesos que se encuentran entre 900 y 1000 grs.
g) Encontrar la proporción de pesos menores a 850 grs.
h) Encontrar la proporción de pesos mayores a 1,050 grs.
i) Encontrar la proporción de pesos menores a 880 grs. Y mayores a 1020 grs.
j) Con Excel, si los límites de especificación son LIE = 850 y LSE = 1,050 determinar la capacidad
del proceso total y para cada una de las máquinas: determinar la fracción
defectiva, Cp y Cpk utilizando la desviación estándar estimada de corto plazo (Within)
cuando no hay cambios y el proceso en control.
 st   Within 
R
d2
Z LSE 
LSE  X
 st
(Z LIE )  (  Z LSE )
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Z LIE 
LIE  X
 st
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Fracción defectiva =
C pk  Menor
LSE  LIE
Cp 
6 st
C pm 
1
CR 
Cp
Z LIE , Z LSE
3
LSE  LIE
 ST  ( X  M ) 2
INDICES DE DESEMPEÑO
k) Determinar la fracción defectiva, Pp y Ppk utilizando la fórmula de la desviación estándar de
largo plazo (Overall) siguiente para datos históricos, cuando ya ocurrieron todos los cambios,
no importa que el proceso no esté en control:
 lt   Overall 
Z LIE 
S
C4
LIE  X
 lt
Fracción defectiva =
Pp 
S
Z LSE 
( Xi  X ) 2
n 1
C4 
4 ( n  1)
4n  3
LSE  X
 lt
 ( Z LIE )   (  Z LSE )
LSE  LIE
6 LT
Ppk  Menor
Z LIE , Z LSE
3
Fracción defectiva =
CAPACIDAD DE PROCESOS NO NORMALES
7. Realizar el estudio:
a. Generar 100 datos aleatorios en Minitab con Factor de forma = 1, Factor de escala = 1 con
1. Calc > Random data > Weibull
2. Generate 100 Store in columns C1 Shape parameter 1.2 Scale parameter 1
Threshold parameter 0 OK
Considerando Límites de especificaciones LIE = 0 y LSE = 3.5
b. Determinar la capacidad con:
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1. Stat > Quality tools > Capability análisis > NonNormal
2. Single column C1 Distribution Weibull Lower Spec 0 Upper spec 3.5
3. OK
c. Establecer conclusiones
8. Transformación de Box Cox para normalizar los datos
Por ejemplo para el archivo Tiles.mtw:
1. File > Open worksheet Tiles.mtw
2. Stat > Control Charts > Box Cox transformation
3. Data are arranged as Single column Torcedura (Warping) Subgroup size 1
4. Store transformed data in: TorceduraTransf
5. Options: P value to select best fit 0.10
OK
Anotar el Ppk obtenido:
9. Transformación de Johnson para normalizar los datos
1. File > Open worksheet Tiles.mtw
2. Stat > Quality Tools > Johnson Transformation
3. All observations in a column Torcedura (Warping) Subgroup size 1
4. Options: Store transformed data in: TorceduraTransf
5. OK
10. Ajuste con otras distribuciones de probabilidad
Otra opción es identificar una función a la que se ajusten los datos, para que con esta se
determine la capacidad del proceso:
1. File > Open worksheet Tiles.mtw
2. Stat > Quality Tools > Individual Distribution Identification
3. Data are arranged as single column Warping
4. Subgroup size 1
Seleccionar Use all distributions
5. OK
11. Capacidad de proceso utilizando otras distribuciones de probabilidad
Stat > Quality Tools > Individual Distribution Identification
3. Data are arranged as single column Warping
4. Subgroup size 1
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DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS
12. El 20% de los choferes son mujeres, si se seleccionan 20 al azar para una encuesta:
Usando la distribución binomial y la distribución de Poisson
a) ¿Cuál es la probabilidad de que dos choferes sean mujeres ?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos cuatro sean mujeres?
13. Se tienen 60 ejecutivos de cuenta en un call center, están ocupados en promedio el 30%
del tiempo, si 3 clientes llaman ¿la probabilidad de que estén ocupadas es mayor al 50%? Usar
Poisson o binomial
14. De 9 empleados diurnos sólo 6 están calificados para hacer su trabajo, si se seleccionan
aleatoriamente 5 de los 9 empleados, Cuál es la probabilidad hipergeométrica de que:
a) Los 5 estén calificados
b) 4 estén calificados
c) Por lo menos 3 estén calificados
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUAS
15. Sea X el tiempo entre dos solicitudes de servicio sucesivas a un departamento, si X tiene
una distribución exponencial con media = 10, calcular:
a) El tiempo esperado entre dos solicitudes sucesivas.
b) P(X<=15)
c) P(8<=X<=14)
16. Las falla de los ventiladores de un equipo tiene un tiempo promedio de 25,000 Horas, con
desviación estándar de 3,000 horas ¿cuál es la probabilidad de que
a) Un ventilador seleccionado al azar dure por lo menos 20,000 horas?
b) A lo sumo 30,000 horas?
c) Entre 20,000 y 30,000 horas?
17. Un fabricante de equipos electrónicos ofrece un año de garantía. Si el equipo falla en ese
periodo por cualquier razón se reemplaza. El tiempo hasta una falla está modelado por la
distribución exponencial (X en años):
F(x) =1- exp(-0.125*x)
a) ¿Qué porcentaje de los equipos fallarán dentro del periodo de garantía?
b) El costo de fabricación del equipo es de $500 y la ganancia es de $250 ¿Cuál es el efecto de
la garantía por reemplazo sobre la ganancia en 100 equipos?
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SERIES DE TIEMPO
18. Se colectan datos de empleo en un sector de negocios durante 60 meses y se desea
predecir la tasa de empleo para los siguientes 12 meses, EMPLOY.MTW.
Las instrucciones de Minitab son las siguientes:
Modelos de tendencias lineal y cuadrático
a) Para un modelo lineal:
1 Open Worksheet EMPLOY.MTW.
2 Ejecutar Stat > Time Series > Trend Analysis.
3 En Variable, poner Trade.
4 En Model Type, seleccionar Linear
5 Seleccionar Generate forecasts y poner 12 en Number of forecasts.
6 Seleccionar Storage .
7 Seleccionar Fits (Trend Line), Residuals (detrended data), y Forecasts. Seleccionar OK en
cada diálogo.
b) Para un modelo cuadrático
1 Open Worksheet EMPLOY.MTW.
2 Ejecutar Stat > Time Series > Trend Analysis.
3 En Variable, poner Trade.
4 En Model Type, seleccionar Quadratic.
5 Seleccionar Generate forecasts y poner 12 en Number of forecasts.
6 Seleccionar Storage .
7 Seleccionar Fits (Trend Line) , Residuals (detrended data), y Forecasts. Seleccionar OK en
cada diálogo.
Interpretar los resultados (ver página 11 de series de tiempo)
Predecir con un modelo de media móvil
19. Se desea predecir el empleo durante los próximos 6 meses en el segmento de metales con
los datos de los últimos 60 meses. Se usa el método de promedio móvil si no se tienen
patrones bien definidos de tendencia o estacionalidad en los datos.
1
2
3
4
5
File > Open worksheet EMPLOY.MTW.
Seleccionar Stat > Time Series > Moving Average.
En Variable, seleccionar Metals. En MA length, poner 3.
Seleccionar Center the moving averages.
Seleccionar Generate forecasts, y poner 6 en Number of forecasts. Click OK.
Interpretar los resultados
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EJERCICIOS FASE DE MEDICIÓN SEIS SIGMA BB
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MÉTODOS DE SUAVIZACIÓN EXPONENCIAL
Suavizamiento exponencial simple
20. Se desea predecir el empleo durante los próximos 6 meses en el segmento de metales con
los datos de los últimos 60 meses. Se usa el método de promedio móvil si no se tienen
patrones bien definidos de tendencia o estacionalidad en los datos.
1 File > Open worksheet EMPLOY.MTW.
2 Seleccionar Stat > Time Series > Single Exp Smoothing.
3 En Variable, poner Metals.
4 Seleccionar Generate forecasts, y 6 en Number of forecasts. Click OK.
Interpretar los resultados:
Suavizamiento exponencial doble
21. El suavizamiento exponencial doble emplea un componente de nivel y un componente de
tendencia en cada uno de los periodos. Usa dos pesos, o parámetros de suavización, actualiza
los componentes cada periodo.
1
2
3
4
File > Open worksheet EMPLOY.MTW.
Seleccionar Stat > Time Series > Double Exp Smoothing.
En Variable, poner Metals.
Seleccionar Generate forecasts, y 6 en Number of forecasts. Click OK.
Interpretar los resultados :
Promedio móvil 0.2553 Es mejor
Exponencial simple 0.4296
Exponencial doble 0.4679
Método de Winters
22. Se desea predecir el empleo para los siguientes seis meses en la industria alimenticia
usando datos colectados sobre los últimos 60 meses, usando el método de Winters con el
modelo multiplicativo, dado que hay componente estacional y de tendencia aparente en los
datos.
Instrucciones de Minitab
1 Open Worksheet EMPLOY.MTW.
2 Ejecutar Stat > Time Series > Winters' Method.
3 En Variable, poner Food. In Seasonal length, 12 .
4 En Model Type, seleccionar Multiplicative.
5 Seleccionar Generate forecasts poner 6 en Number of forecasts. Seleccionar OK.
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EJERCICIOS FASE DE MEDICIÓN SEIS SIGMA BB
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Probar con opción método aditivo:
Interpretar los resultados
Método de ARIMA
Prueba de autocorrelación de los datos
23. Se desea predecir el empleo para los siguientes seis meses en la industria alimenticia
usando datos colectados sobre los últimos 60 meses, se utiliza el modelo de autocorrelación
para identificar el modelo ARIMA adecuado.
1 File > Open worksheet EMPLOY.MTW.
2 Ejecutar Stat > Time Series > Differences.
3 En Series, poner Food.
4 En Store differences in, poner Food2.
5 En Lag, poner 12 . OK.
6 Ejecutar Stat > Time Series > Autocorrelation.
7 En Series, poner Food2. OK.
24. Se obtiene una función de autocorrelación parcial (PACF) de los datos de empleo
anteriores, después de tomar una diferencia del valor anterior 12 para determinar el modelo
ARIMA más adecuado.
Las instrucciones de Minitab son las siguientes:
1 Worksheet EMPLOY.MTW
2 Ejecutar Stat > Time Series > Differences.
3 En Series, poner Food.
4 En Store differences in, poner Food2.
5 En Lag, poner 12 . OK.
6 Ejecutar Stat > Time Series > Partial Autocorrelation .
7 En Series, poner Food2. OK.
Ejemplo de ARIMA
25. Las gráficas de autocorrelación (ACF) y de autocorrelación parcial (PACF) sugieren un
modelo de autoregresivo de orden 1 o AR(1), después de tomar una diferencia de 12.
Ahora se corre el modelo, analizando las gráficas y la bondad de ajuste.
Para tomar una diferencia estacional de orden 12, se especificó el periodo estacional de 12 y el
orden de la diferencia 1, con esto se realiza el pronóstico.
Instrucciones de Minitab
1 Worksheet EMPLOY.MTW.
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P. Reyes / Abril 2009
2 Stat > Time Series > ARIMA.
3 En Series, poner Food.
4 Seleccionar Fit seasonal model. En Period poner 12 en Nonseasonal, poner 1 en
Autoregressive. En Seasonal, poner 1 en Difference .
5 Seleccionar Graphs. Seleccionar ACF of residuals y PACF of residuals .
6 OK en cada cuadro de diálogo.
Corrida de pronósticos
Correr el modelo ARIMA sin gráficas de ACF y PACF de los residuos
Instrucciones de Minitab
1 Worksheet EMPLOY.MTW.
2 Stat > Time Series > ARIMA.
3 En Series, poner Food.
4 Seleccionar Fit seasonal model. En Period poner 12 en Nonseasonal, poner 1 en
Autoregressive. En Seasonal, poner 1 en Difference .
5 Graphs. Seleccionar Time series plot. OK.
6 Seleccionar Forecast. en Lead, poner 12 .
OK en cada cuadro de diálogo.
CONFIABILIDAD
Distribución de Weibull (toma diferentes formas variando sus parámetros como el de forma) –
vista en Minitab
Graph > Probability distribution plot > Vary parameters
Seleccionar Weibull Scale 100 (media) Shapes 0.2 1 3
OK
26. Se registran 20 equipos en prueba de funcionamiento y las horas (x1,000) transcurridas
hasta la falla fueron las siguientes:
Unidad
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Horas
3.70
3.75
12.18
28.55
29.37
31.61
36.78
51.14
108.71
125.21
125.35
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12
13
14
15
16
17
18
19
20
P. Reyes / Abril 2009
131.76
158.61
172.96
177.12
185.37
212.98
280.40
351.28
441.79
Si las horas de falla siguen la distribución exponencial, estimar las funciones de densidad de
probabilidad, función de distribución acumulada, función de confiabilidad y función de riesgo.
La función de densidad es:
1

t
1
f (t )
e 133.43
133.43
La función de distribución acumulada es la siguiente:
F (t ) 1  e
1

t
133.43
La probabilidad de que los componentes fallen antes de las 20 (x1,000) horas es:
F(20) = 0.139
La función de confiabilidad es la siguiente:
R(t ) e
1

t
133.43
Y la función de riesgo es:
h(t ) 
1
133 .43
27. Se prueban seis unidades similares en un estudio de confiabilidad, las cuales presentaron
fallas como sigue:
Tiempo de
falla (Hrs.) t
Orden de
fallas, i
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16
34
53
75
93
120
P. Reyes / Abril 2009
1
2
3
4
5
6
Utilizando Minitab con las siguientes instrucciones:
1. Stat > Reliability / Survival > Distribution analysis (Right sensoring) > Parametric
distribution analysis
2. Variables t; Assumed distribution Weibull
3. Graphs seleccionar Survival, Cumulative failure plot, hazard plot
Estimate: estimate probabilities for this times 15 seleccionar Survival probabilities
OK
a) Comprobar el ajuste de la distribución de Weibull
b) Determinar el MTBF
c) Determinar las funciones de sobrevivencia, de falla y de tasa de riesgo
d) Determinar la probabilidad de supervivencia a las 15 horas
Caso de unidades censuradas (Método de Kaplan Meier)
28. Se prueban seis unidades similares en un estudio de confiabilidad, las cuales presentaron
fallas con algunas unidades censuradas como sigue como sigue:
Tiempo de
(Hrs.) t
falla Censurado
16
34
40
40
53
75
85
90
93
120
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1. Stat > Reliability / Survival > Distribution analysis (Right sensoring) > Parametric
distribution analysis
2. Variables Tiempo; Assumed distribution Weibull
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P. Reyes / Abril 2009
3. Censor > Censoring columns Censurado Censoring value 1
4. Estimate: Seleccionar Maximum Likelihood y Estimate probabilities for this time
15
5. Graphs: Seleccionar Prob. Plot, Survival Plot, Cumulative failure plot, Hazard plot,
Confidence intervals for above plots Show in separate panels on the same graph
OK
Análisis no paramétrico
29. Cuando no se conoce la forma de la distribución que ajusta los datos de vida de los equipos
o componentes, se pueden utilizar pruebas no paramétricas como sigue:
1. Stat > Reliability / Survival > Distribution analysis (Right sensoring) >
Nonparametric distribution analysis
2. Variables Tiempo;
3. Censor > Censoring columns Censurado Censoring value 1
4. Estimate: Seleccionar Estimation Method Kaplan Meier 15
5. Graphs: Seleccionar Survival Plot, Cumulative failure plot,
OK
Varios tipos de falla
30. Los datos de la tabla siguiente son esfuerzos de ruptura de 20 conexiones de cable,
con un extremo sujeto sobre un borne y el otro al poste Terminal. Cada falla consiste
en la ruptura del alambre (modo de falla 1 = A) o de la sujeción (modo de falla 2 = S).
En este caso el esfuerzo hace las veces de tiempo de falla:
Esfuerzo
Modo de falla
550 S
750 A
950 S
950 A
1150 A
1150 S
1150 S
1150 A
1150 A
1250 S
1250 S
1350 A
1450 S
1450 S
1450 A
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1550 S
1550 A
1550 A
1850 A
2050 S
Interesa estudiar la distribución del esfuerzo de las conexiones, considerando que se
requiere que menos del 1% debe tener un esfuerzo menor a 500 g. O sea que al menos
el 99% de las conexiones resista un esfuerzo de mayor a 500 g. Se desea estimar el
esfuerzo que resultaría de eliminar uno de los modos de falla.
a) Primero se hace un análisis sin distinguir los modos de falla, identificando la
distribución que ajuste a los datos:
Con Minitab:
1. Stat > Reliability / Survival > Distribution analysis (right censoring) > Distribution ID
Plot
2. En Variables Esfuerzo Use all distributions (Weibull, Lognormal, Exponential,
Normal)
3. Options > Estimation Maximum likelihood
4. OK
b) Determinación de la confiabilidad
Haciendo un análisis de confiabilidad considerando los dos tipos de falla se tiene:
Instrucciones de Minitab:;
1. Stat > Reliability / Survival > Distribution analysis (right censoring) > Parametric
Distribution Analysis
2. En Variables Esfuerzo Assumed distribution - Weibull
3. Estimate: Estimation Method Maximum Likelihood y Estimate probabilities for this values
500
4. Graphs: Probability plot y Survival plot
OK
c) Obteniendo el análisis separado por modo de falla se tiene:
Instrucciones de Minitab:
1. Stat > Reliability / Survival > Distribution analysis (right censoring) > Parametric
Distribution Analysis
2. En Variables Esfuerzo By Variable Modo de falla Assumed distribution - Weibull
3. Estimate: Estimation Method Maximum Likelihood y Estimate probabilities for this values
500
4. Graphs: Probability plot y Survival plot
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OK
Confiabilidad de sistemas
31. Un equipo tiene 40 componentes en serie. La confiabilidad de cada uno es de 0.999, por
tanto la confiabilidad del equipo completo es de:
 ( X )  min{X 1 ,...,X n },
n
  Xi.
i 1
Si el producto se rediseñara para tener solo 20 componentes, la confiabilidad sería de Rs =
A
B
C
Z
Sistema con componentes en serie
32. Considere 4 componentes A, B, C y D de un producto conectados en paralelo, con
confiabilidades de 0.93, 0.88, 0.88 y 0.92 respectivamente, la confiabilidad total es:
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A
 ( X )  max{X 1 ,...,X n },
n
 1   (1  X i ).
B
i 1
C
D
Sistema con 4 componentes en paralelo
33. Se tienen los siguientes 7 componentes conectados en serie y en paralelo, sus
confiabilidades son: RA=0.96; RB=0.92; RC=0.94; RD=0.89; RE=0.95; RF=0.88; RG=0.90.
A
G
C
D
F
E
B
Sistema con 7 componentes en serie y en paralelo
Mantenabilidad
34. ¿Cuál es la probabilidad de completar una acción en las siguientes 5 horas si el MTTR es de
7 horas?
1

 MTTR ( Mean Tim e to Re pair)
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35. El número de fallas que no pueden ser reparadas dentro del tiempo permitido es:
𝑇𝑒 −𝑡/𝑀𝑇𝑇𝑅
Por ejemplo:
a) Hay 7 unidades que requieren reparación. La tasa de falla actual es de 0.03 / hora, el tiempo
disponible es de 10 horas, con un MTTR de 18 horas. El tiempo de misión es de 200 horas.
¿Cuántas fallas no pueden ser reparadas dentro de las 200 horas?
b) Al contrario el número de fallas que pueden ser reparadas dentro de un espacio de tiempo
son:
𝑇(1 − 𝑒 −𝑡/𝑀𝑇𝑇𝑅 )
36. El MTTR de un sistema se determina con la ecuación:
𝑀𝑇𝑇𝑅 =
∑𝑛𝑖=1 𝑖 𝑡𝑖
∑𝑛𝑖=1 𝑖
Donde: n = Número de subsistemas
i = Tasa de falla del subsistema i
Ti = Tiempo para reparar el subsistema i
Por ejemplo:
En un equipo con 4 secciones de calentamiento reparables con las siguientes tasas de falla.
Determinar el MTTR del sistema:
Sección de calor
Tasa de falla / horas
i
Tiempo de
reparación en horas
ti
ti
1
0.06
4
0.24
2
0.04
8
0.32
3
0.12
12
1.44
4
0.18
20
3.6
Suma =
0.40
Suma =
5.60
MTTR = horas
37. Considerar la probabilidad de restauración si el tiempo de reparación del sistema
sigue una distribución exponencial con una tasa de reparación Mu y MTTR = 1/ Mu.
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Si se tienen t = 10 horas para reparar el sistema:
M(t) = 1 – exp(-t/MTTR) =
38. Abajo se listan los datos de la bitácora de reparación de cierta máquina. Determinar si se
apegan a una distribución lognormal:
Rep
1.2
3.2
1.7
1.5
0.5
6
0.3
1.1
0.4
1.6
1.7
1.8
7.2
10.2
0.2
0.8
3.1
3.6
2.5
1.3
En Minitab:
1. Stat > Reliability / Survival > Distribution Analysis (Right sensoring)> Distribution ID Plot
2. Variables Rep
3. Seleccionar Use All distributions
4. Options seleccionar Maximum Likelihood
5. OK
ANALISIS DE CONFIABILIDAD
1. Stat > Reliability / Survival > Distribution analysis (Right sensoring) > Parametric distribution
analysis
2. Variables Rep; Assumed distribution Lognormal
3. Graphs seleccionar Survival, Cumulative failure plot, hazard plot
Estimate: Estimation Method seleccionar Maximum Likelihood
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Estimate probabilities for this times 10 seleccionar Cumulative Failure probabilities
OK
CONCLUSIÓN: La mantenabilidad (F(t)) para 10 horas es de 96.67%, es la probabilidad de que
el equipo se restaure
En 10 horas
El MTTR = 2.61 (indicado como MTTF en el listado) es el tiempo medio para restablecer el
equipo
Calcular la probabilidad de restablecerlo en 4 horas -- 82%
O
1. Graph > Probability Plot > Single
2. Graph variable Rep
3. Distribution seleccionar Lognormal
4. OK
En la gráfica como el P value es
a 0.05
El histograma de los MTTR es:
Con Minitab:
1. Graph > Histogram > Simple
2. Variable Rep
3. OK
DISPONIBILIDAD INHERENTE
39. Esto es muy similar a la función de la confiabilidad en que da una probabilidad que un
sistema funcione en el tiempo dado, t. es la disponibilidad en estado estático.
𝐴𝐼 =
𝜇
𝑀𝑇𝐵𝐹
=
𝜇 +  𝑀𝑇𝐵𝐹 + 𝑀𝑇𝑇𝑅
1/MTBF = Tasa de falla
1/MTTR = Tasa de reparación
Ejemplo:
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Un sistema tiene un MTBF de 2080 horas y un MTTR de 10 horas. ¿Cuál es la disponibilidad
inherente del sistema?
40. La disponibilidad lograble promedio es la proporción de tiempo durante una misión o un
período de tiempo en que el sistema está disponible para el uso.
Es más realista ya que toma en cuenta el mantenimiento preventivo y correctivo. Como en la
anterior considera que la reparación inicia inmediatamente después de ocurrir la falla sin
tiempos de espera.
𝑀𝑇𝐵𝑀𝐴
𝐴𝐴 =
𝑀𝑇𝐵𝑀𝐴 + 𝑀𝑀𝑇
Donde: MTBMA es el tiempo promedio entre acciones de mantenimiento ya sean preventivos
o correctivos
MMT es el tiempo promedio de acción de mantenimiento, compuesto por los efectos
del mantenimiento preventivo y correctivo.
𝑀𝑀𝑇 =
𝐹𝑐𝑀𝑐𝑡 + 𝐹𝑝𝑀𝑝𝑡
𝐹𝑐 + 𝐹𝑝
Donde: Fc es el número de acciones de mantenimiento correctivo por cada 1000 horas
Fp es el número de acciones de mantenimiento preventivo por cada 1000 horas
Mct es el tiempo activo promedio para mantenimiento correctivo (MTTR)
Mpt es el tiempo activo promedio para mantenimiento preventivo
Por ejemplo:
Un sistema tiene un MTBMA de 110 horas, Fc de 0.5, Fp de 1, Mct de 2 horas y Mpt de 1 hora.
¿Cuál es el valor de Aa?
41. La disponibilidad operacional es una medida de la disponibilidad media durante el tiempo e
incluye todas las fuentes experimentadas del tiempo muerto, tales como tiempo muerto
administrativo, tiempo muerto logístico, etc.
𝐴𝑂 =
𝑀𝑇𝐵𝑀𝐴
𝑀𝑇𝐵𝑀𝐴 + 𝑀𝐷𝑇
Donde: MDT es el tiempo muerto promedio
Ejemplo:
Un sistema tiene un MTBMA de 168 horas y un MDT de 4 horas. ¿Cuál es la Ao?
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42.Mediciones para Seis Sigma
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