136 9.6 Diseño de columnas esbeltas 9.6.1 Introducción Una

DISEÑO DE COLUMNAS ESBELTAS
ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN 2
_________________________________________________________________________________________________________
9.6
Diseño de columnas esbeltas
9.6.1 Introducción
Una columna es esbelta si sus dimensiones transversales son pequeñas respecto a su
longitud o también si su relación de esbeltez definida como la longitud sobre el radio de
giro “ l / r “ supera ciertos limites especificados. El primero que intento resolver el
problema fue el matemático Suizo Leonhard Euler ( 1707-1783) quien mediante un
simple experimento con una barra de madera logro demostrar como entre mas alta sea la
longitud de la barra menor es su capacidad de carga axial y mayor su inestabilidad
lateral. Sin embargo este resultado no fue aceptado por la comunidad técnica a pesar de
que treinta años mas tarde P. Van Musschenbroek logro demostrar mediante análisis
matemático la confiabilidad de los resultados de Euler. Por ejemplo Coulomb ( 1776 )
sostenía que “ La resistencia de una columna era únicamente función de su sección
transversal y no dependía de su longitud “ tesis apoyada por numerosos ensayos en
columnas de madera y hierro de longitud relativamente corta.
El primer científico en dar una explicación satisfactoria de la discrepancia entre el
desarrollo teórico y los resultados experimentales fue E. Lamarle quien en 1845 logro
demostrar la certeza de la ecuación de Euler. Mas tarde investigadores reconocidos
como pioneros en la ingeniería: I. Bauschinger (1889 ), Tetmayer ( 1903 ), Considere (
1895 ) y Von Karman ( 1910 ) demostraron la confiabilidad de la ecuación de Euler.
Hasta ahora se ha estudiado que cuando un elemento de hormigón armado se somete a
compresión simple, sin flexión, la capacidad de carga axial esta indicada por la ecuación
9.1 o 9.2 y la falla se presentara ya sea por agotamiento del hormigón a compresión o
por fluencia del acero a tracción. En estos casos no se ha considerado el efecto de la
esbeltez porque se ha asumido por hipótesis que se trata de una columna corta es decir
de baja esbeltez. Si la esbeltez crece por efectos ya sea constructivos o arquitectónicos
la capacidad dada en las ecuaciones 9.2 o 9.3 no son las correctas y la falla de la
columna estará regida por el “ pandeo o flexión lateral del elemento “.
9.6.2 Esbeltez en columnas cargadas concentricamente
9.6.2.1 Antecedentes
La información relativa al comportamiento estructural de estas columnas se inicia con la
experiencia de Euler en 1757. En forma generalizada el logro demostrar que un
elemento a compresión fallara cuando este alcanza una determinada carga conocida
como: carga critica “ Pcr “ o carga de Euler o carga de pandeo. La expresión 9.33 se
encuentra deducida en todos los textos de resistencia de materiales por lo que aquí solo
se hará referencia a ella recomendándole al lector estudiarla para su posterior
aplicación. Al analizar la ecuación 9.33 se observa que la carga critica es directamente
proporcional a la rigidez de la sección “ E.I “, es periódica “ ð “, es inversamente
proporcional a la longitud “ l “ y depende del grado de restricción de los extremos de la
columna “ k “. La ecuación 9.33 se puede representar también como la 9.34 en donde se
aprecia como “Pcr “ disminuye al aumentar la relación de esbeltez “ l / r “. La figura
9.77 también muestra la relación grafica entre las dos variables mencionadas y los
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rangos de aplicabilidad de 9.33. Se puede demostrar analíticamente que si la columna
esta articulada en sus dos extremos “ k = 1.0 “, igualmente si esta doblemente
empotrada “ k = 0.50 “, si esta en voladizo “ k = 2.0 “ y si esta con un extremo
empotrado y el otro articulado “ k = 0.70 “.
Pcr =
σ cr =
π 2 E.I
(k .l )2
( 9.33 )
π 2E
 l
k. 
 r
( 9.34 )
2
Se puede notar como la carga de pandeo disminuye rápidamente al aumentar la relación
de esbeltez. Si se grafica “ ó cr vs l / r “ se obtiene la grafica de la figura 9.77 en donde
se puede apreciar como el tramo AB muestra la región de columna corta, el BC la
región de columna intermedia y la CD la zona de columna esbelta. De esta forma se
definen unos limites para la relación “ l / r “ como se indica gráficamente.
ó cr
Zona
Columna
DE .............. Corta
EB ............ Intermedia
BC .............. Larga
A
D
E
B
óp
Curva de Euler
ó cri
C
Zona de columna larga
( l / r ) lim
( l / r )i
(l/r)
Figura 9.77 Relación entre la esbeltez y la tensión critica
La ecuación 9.34 parte de la base de un material elástico por lo tanto su validez solo se
da cuando ó cr > óp . En la igualdad se obtiene el valor limite de “ l / r “ por debajo del
cual no es aplicable la formula ( Región AB ). Por ejemplo una barra de acero articulada
en sus dos extremos de fy = 420 MPa ( óp = 210 MPa ) y Es = 200.000 MPa presenta un
“ ( l / r )lim = 100 “. Así para “ ( l / r )lim < 100 “ la tensión de compresión es menor que
la tensión critica y la ecuación 9.34 no es aplicable.
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Cuando “ l / r “ es alto el pandeo se presenta antes de que “ óc = óp “ y la capacidad
mecánica de la columna se define por medio de una carga de trabajo o de seguridad.
Cuando “ l / r “ es bajo lo mas probable es que la columna falle por agotamiento del
material antes de que alcance la tensión critica “ ócr “. En estos casos se establece una
tensión máxima utilizando un adecuado coeficiente se seguridad. En el caso dela acero
una gran cantidad de experimentos han logrado concluir que si “ l / r < 60 “ => se tiene
columna corta; si “ 60 < l / r < 100 “ => se tiene columna intermedia y si “ l / r > 100 “
=> se tiene columna esbelta. Además para obtener las tensiones admisibles en estas
columnas se debe conocer el diagrama de las tensiones de rotura del material y el
coeficiente de seguridad “ n “. Este ultimo depende de factores estadísticos tales como:
aumento imprevisto de la carga, errores en su aplicación, excentricidades accidentales.
Un valor frecuentemente usado por la ingeniería es el de “ n = 2.5 “. Sin embargo
existen también ecuaciones que permiten estimar su valor en función de la esbeltez del
elemento como lo indica expresión 9.35. En resumen la elección de un adecuado
coeficiente de seguridad es una de las tareas mas engorrosas y difíciles que ha tenido la
resistencia de materiales.
Para 0 < ( l / r ) < 100 =>
l
n = 2 .0 + 0 .015 . 
r
n = 3 .5
Para ( l / r ) > 100 =>
( 9.35 )
9.6.2.2 Columnas impedidas de desplazamiento lateral ( nonsway )
Este caso se presenta cuando la columna esta conectada a un elemento muy rígido que
prácticamente le impida moverse lateralmente cuando se someta a cualquier patrón de
carga externa. En la practica estos elementos rígidos, de los cuales mas adelante se
hablara, representan núcleos de muros estructurales que van desde la cimentación hasta
la parte alta del edificio.
Si la columna esta doblemente articulada al alcanzar la carga critica “ Pcr “ se pierde la
verticalidad original y esta comienza a doblarse en forma de onda senoidal como se
muestra en la figura 9.78.a. En este caso los puntos de inflexión se localizan en los dos
extremos de la columna por lo tanto la longitud efectiva “ k.l = l “ y “ k = 1.0 “. La
columna alcanza la falla cuando las tensiones adicionales creadas por el desplazamiento
horizontal sumadas a las originales alcanzan el valor critico.
Cuando la columna esta doblemente empotrada el pandeo se manifiesta como se indica
en la figura 9.78.b. Los puntos de inflexión se localizan a una distancia “ l / 4 “ de cada
extremo para obtener así una longitud efectiva de “ k.l = l / 2 “ por lo tanto “ k = 2.0 “.
Esta columna como se puede analizar rápidamente toma cuatro veces mas carga que la
columna anterior.
Las dos condiciones
empotramientos ni
intermedias como se
entre “ l / 2 y l “
anteriores son teóricas ya que en las estructuras reales no existen ni
articulaciones perfectas y lo que se tiene son condiciones
muestra en la figura 9.78.c. En estos casos “ k.l “ adquiere un valor
dependiendo del grado de restricción de los extremos. Este grado de
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restricción esta medido como la rigidez relativa entre los elementos verticales y
horizontales.
En resumen se puede decir: “ En columnas impedidas de desplazamiento lateral el
factor de longitud efectiva “ k “ es siempre menor o al menos igual a la unidad.
P
P
P
k.l = l
a) Art-Art.
k.l = l / 2
b) Emp-Emp.
l / 2 < k.l < l
c) Conexión real
Figura 9.78 Longitud efectiva en columnas impedidas de desplazamiento lateral
9.6.2.3 Columnas no impedidas de desplazamiento lateral ( sway )
Este es el caso de aquellas edificaciones en donde las columnas tienen libertad para
moverse lateralmente cuando actúan las cargas externas. En la practica el sistema
estructural que mas representa este caso es el pórtico simple. Cuando una columna
empotrada en un extremo y libre en el otro ( voladizo ) se somete a carga axial, figura
9.79.a, se deflectara en la forma indicada en donde el extremo libre se mueve
lateralmente respecto al fijo definiendo una forma deformada típica similar a un cuarto
de onda senoidal y equivalente a la mitad de longitud de la columna doblemente
articulada de la figura 9.78. Los puntos de inflexión están separados una distancia “ 2.l “
de tal forma que la longitud efectiva es “ k.l = 2.l “ para un valor de “ k = 2.0 “.
La longitud efectiva de la columna de la figura 9.79.b la cual esta restringida contra
rotación en ambos extremos pero en uno de ellos puede desplazarse lateralmente, esta
definida como “ k.l = l “ con un valor de “ k = 1.0 “. Si se compara esta columna con la
de la figura 9.78.b se nota que la longitud efectiva ha aumentado el doble con la
presencia del desplazamiento lateral; esto significa que la resistencia de pandeo ha
disminuido en un 75 % lo que ilustra el hecho de que: “ Los elementos sometidos a
compresión con libertad de desplazamiento horizontal son mas débiles que cuando están
impedidos de este movimiento “.
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Nuevamente, en las estructuras reales las conexiones de los extremos son variables y
dependen del grado de restricción que ofrecen los elementos horizontales ( vigas-losas ).
P
k.l = l
k.l = 2.l
a) Voladizo
l < k.l <
b) Emp.- Art.
c) conexión real
Figura 9.79 Longitud efectiva de columnas con desplazamiento lateral
En las estructuras fabricadas con hormigón armado la practica común es el ensamble
monolítico sin posibilidad de conexiones ni articulaciones lo que caracteriza aun mas la
forma como se deforma la estructura. Si existen elementos que impidan el
desplazamiento lateral la forma deflectada se ilustra en la figura 9.80.a, mientras que si
hay posibilidad de movimiento adquiere la forma 9.80.b. En el primer caso “ k.l < l “ y
en el segundo “ k.l > 2.l “ lo que representa una menor carga de pandeo.
k.l < l
k.l > 2.l
a) Pórtico sin desplazamiento
b) Pórtico con desplazamiento
Figura 9.80 Longitud efectiva en pórticos de hormigón armado
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9.6.3 Esbeltez en columnas sometidas a flexión mas carga axial
En definitiva las columnas de los edificios están sometidas a la acción simultanea de
carga axial y momento, este ultimo producido ya sea por la continuidad del sistema o
por la presencia de cargas laterales. En estos casos al igual que el numeral anterior la
capacidad resistente de la columna se ve afectada por la esbeltez de los elementos.
La figura 9.81 ilustra una columna sometida a carga axial “ P “ y un par de momentos
en los extremos “ M e = M o “, si no existiera la carga axial el diagrama de momentos
seria constante en toda la longitud de la columna con magnitud de “ M o “ y la forma
deflectada es la indicada con la línea punteada en donde “ yo “ es la deflexión en
cualquier punto del elemento. Cuando actúa además la carga axial “ P “ el momento en
cualquier punto se amplifica en una cantidad igual a “ P “ veces la distancia de la carga
a la posición original de la columna “ y “. Este incremento en el momento produce una
deflexión adicional, de tal forma que la curva deformada es la indicada con la línea
continua. Se concluye que en cualquier punto “ M = M o + P y “ es decir el momento
total es la suma del debido a la flexión mas el de la carga axial.
P
Me
Mo
yo
y
Mo + P y
Me
P
Figura 9.81 comportamiento de columnas a flexo-compresión en curvatura simple
Una situación similar se presenta en la figura 9.82 en donde la flexión es producida por
una carga lateral “ H “. Cuando no existe “ P “ el momento producido en cualquier
punto “ x “ es “ Mo = H.x / 2 “ con un valor máximo de “ Mo max.= H.l / 4 “ la deflexión
lateral en cualquier punto es “ yo “. Cuando se aplica “ P “ se producen momentos
adicionales “ P. y “ que se distribuyen como se indica en la figura y el momento en
cualquier punto es la suma de las dos fracciones indicadas.
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P
H/2
yo
Mo
H
Mo + P y
y
H/2
P
Figura 9.82 Comportamiento de columnas a flexo-compresión en curvatura simple
La deflexión “ y “ de la elástica de una “ viga-columna “ de la forma y tipo indicada
anteriormente puede determinarse a partir de la deflexión “ yo “ del elemento sin carga
axial utilizando la expresión 9.36 la cual fue deducida por Timoshenko en 1909 y fue
propuesta como método alternativo siempre y cuando la relación “ P / Pcr < 0.6 “. Se
encuentra deducida en cualquier texto de teoría de elasticidad o de estabilidad elástica.
y = yo .
1
( 9.36 )

P
1 −

P

cr 
La ecuación 9.36 es aproximada y representa la deflexión en función del elemento sin
carga axial “ yo “ mas la contribución de la carga axial que es un factor que depende de
la relación carga axial sobre carga critica “ P / Pcr “. Sea “ Ä “ la deflexión en el punto
de momento máximo en las columnas de la figura 9.81 y 9.82 =>
M max









1
1 

= M o + P. y = M o + P. yo .
 = Mo
P 


P

 1 −
1−
 
 Pcr 
 

P
cr  
 
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Esta expresión se puede organizar de forma diferente para tener en cuenta algunos
factores no considerados en la deducción inicial. Este trabajo lo realizaron MacGregor,
Breen y Pfrang en 1970 y se indica a continuación:
1 + ψ (P Pcr )
M max = M o 

 1 − (P Pcr ) 
En donde “ ø “ es un coeficiente que depende del tipo de carga y varia
aproximadamente entre – 0.20 y 0.20 para la mayoría de los casos prácticos.
Considerando que “ P / Pcr “ por lo general tiene valores significativamente menores
que la unidad, el segundo termino del numerador de la ecuación anterior es pequeño
comparado con la unidad, por lo tanto si se desprecia este valor se obtiene una expresión
simplificada de diseño fácil de manejar y recordar:


1

M max = M o .
1
−
P
P

cr 
( 9.37 )
la expresión “ 1 / ( 1- P / Pcr ) “ se conoce como el factor amplificador de momentos y
refleja la cantidad numérica en que se debe aumentar “ Mo “ por la presencia de la carga
axial “ P “. Si se verifica la ecuación 9.37 se encuentra que este factor tiene un valor de
2.5 cuando la relación “ P / Pcr “ es igual a 0.6.
Ya que “ Pcr “ disminuye al aumentar la relación de esbeltez es evidente que el
momento máximo en el elemento aumenta cuando se presenta este efecto como se
ilustra en la figura 9.83 en donde para una carga transversal dada “ H “ la cual produce
un momento inicial “ Mo “ la acción de una carga axial “ P “ produce un mayor
momento en un elemento de mayor esbeltez que otro.
M
Mo + P y2
Mo + P y1
Mo
kl/r
( K l / r)1
( K l / r)2
Figura 9.83 Aumento del momento con la esbeltez
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En los casos anteriores se ha considerado como hipótesis que los momentos que
producen la flexión mas la carga axial en las columnas se pueden adicionar para obtener
el máximo momento en el elemento ( curvatura simple ). Sin embargo a pesar de ser
este el caso mas desfavorable no es el caso general y en algunos casos se presentan
elementos donde los momentos máximos se dan en diferentes partes tanto para la carga
axial como la flexión. Este caso es el de columnas con doble curvatura, es decir
momentos en los extremos iguales y opuestos, figura 9.84. En estos casos la deflexión
producida por la flexión nuevamente se incrementa con la presencia de la carga axial
pero el factor amplificador ya no es el mismo porque el efecto es menor en estos casos.
La ecuación 9.38 muestra el valor de la deflexión lateral en elementos sometidos a
flexión mas compresión doble curvatura.
y = yo .
1
( 9.38 )
P
1−
4 .Pcr
El momento adicional producido por la carga axial “ P.y “ se distribuye como se
muestra en la figura 9.84. Aunque el momento “ Mo “ es mayor en los extremos los
momentos producidos por “ P “ son de mayor cuantía en los tercios medios de la
columna. Dependiendo de las magnitudes relativas, los momentos totales se distribuyen
como se indica en la figura 9.84 es decir estos pueden ser mayores en los extremos o en
los puntos intermedios entre los extremos y la mitad de la luz.
P
Me
P.y
Mo
+
M max
=
o
- Me
P
Figura 9.84 Momentos en columnas con doble curvatura
En forma general el tratamiento del momento en columnas con simple y doble curvatura
se puede resumir así: “ El momento M o producido por la flexión se considera mas o
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menos ampliado si este coincide con el punto de máximo desplazamiento producido por
la carga axial, esto se produce en columnas con curvatura simple con momentos
extremos iguales y cargas simétricas “. Si los momentos en los extremos son diferentes
pero del mismo signo ( curvatura simple ) el Mo se amplifica en forma fuerte aunque no
tanto como cuando estos momentos son iguales. De otra parte se presenta una pequeña
amplificación o no se presenta cuando los momentos extremos son opuestos y producen
un punto de inflexión en el interior de la columna ( doble curvatura ).
Se puede demostrar que la forma general de la expresión que toma en cuenta la
curvatura en la amplificación de los momentos se puede representar con la ecuación
9.39 la cual se puede consultar en los textos de la referencia.
M max = M o .
Cm
P
1−
Pcr
( 9.39 )
En donde el factor “ Cm “ se conoce como coeficiente de curvatura y se puede estimar
con la ecuación 9.40.
Cm = 0 .6 + 0 .4
M1
≥ 0 .4
M2
( 9.40 )
En donde “ M1/ M2 “ es positivo si la columna tiene curvatura simple y negativo en caso
contrario. “ M 1 “ es el menor momento en la columna y “ M2 “ es el mayor valor.
Cuando los momentos extremos son iguales “ M1 = M2 “ el valor de “ Cm “ es igual a “
1.0 “. Del análisis anterior se concluye que la ecuación 9.40 solo se aplica en columnas
impedidas de desplazamiento lateral, en otros casos el valor de “ Cm “ es igual a uno.
P
P
Mo
Mp
Mo + Mp
H
|
a) pórtico desplazable
Momentos
debidos a “ H “
Momentos
debidos a “ P “
Momentos debidos a
“H+P“
Figura 9.85 Deflexión y momentos en pórticos desplazables lateralmente
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Dentro de los elementos no desplazables lateralmente se incluyen aquellas columnas
que pertenecen a sistemas estructurales en donde el movimiento lateral esta impedido en
cualquier dirección ya sea por la presencia de muros fuertes y rígidos o por amarres en
forma de diagonal entre los pórticos. En los edificios el núcleo de los ascensores o las
escaleras tiene este propósito o la ubicación de una pantalla inamovible en la dirección
considerada. Si no se provee este componente rígido se presenta el desplazamiento
lateral en todas las columnas del piso y el efecto de la combinación de flexión mas
fuerza axial es diferente al caso previamente estudiado. Por ejemplo el pórtico de la
figura 9.85 esta libre para desplazarse horizontalmente y esta sometido a una carga
horizontal “ H “ y a las cargas verticales “ P “. Los momentos “ Mo “ producidos por “
H “ en ausencia de “ P “ se indican en “ b “ la deflexión del pórtico se indica con la
línea punteada en “ a “. Cuando se aplica “ P “ se producen momentos adicionales que
aumentan las deformaciones como se indica en “ c “. Se puede apreciar como los
máximos momentos “ Mo “ y “ Mp “ se presentan e los mismos puntos, es decir en los
extremos de la columna, por lo tanto se adicionan llevando a una mayor amplificación.
P
P
Mo
H
Mp
+
|
a) pórtico no desplazable
Momentos
debidos a “ H “
Momentos
debidos a “ P “
Figura 9.86 Deflexión y momentos en pórticos no desplazables lateralmente
De otra parte si el mismo pórtico se vincula a un elemento fuerte y rígido que impida su
desplazamiento lateral y se carga de la misma forma anterior como se muestra en la
figura 9.86 se nota como los máximos momentos producidos por “ H “ y “ P “ no se
presentan en los mismos puntos por lo que la amplificación de momentos es menor que
la obtenida en el pórtico de la figura 9.85.
Se debe notar que los momentos que producen desplazamiento lateral en un pórtico no
son producidos únicamente por las cargas laterales, como se indico en la figura 9.85. La
asimetría en la geometría de la estructura y en la colocación de las cargas producen
efectos similares. En este caso la presencia de las cargas axiales en las columnas
producen la misma deflexión y la amplificación del momento que la carga lateral.
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En resumen se pueden establecer las siguientes conclusiones:
§
§
§
En elementos a flexión la presencia de la carga axial produce deflexiones
adicionales y momentos de magnitud “ P.y “. Si las condiciones se mantienen
iguales los momentos adicionales aumentan a medida que se incrementa la
relación de esbeltez “ k.l / r “.
En elementos no desplazables lateralmente y deflectados en una curvatura, los
momentos máximos producidos por “ H “ y “ P “ se presentan en puntos
cercanos o iguales y pueden sumarse totalmente. Esto conduce a amplificar en
los momentos finales. Si los momentos “ Mo “ producen doble curvatura se
presenta menor influencia de la carga axial.
En elementos desplazables lateralmente, los momentos máximos producidos por
“ H “ y “ P “ se presentan también en los mismos puntos ( en los extremos de las
barras ) estos también se suman totalmente sin tener en cuenta los puntos de
inflexión. Bajo condiciones iguales, las deflexiones adicionales y los momentos
aumentan a medida que se incrementa la relación de esbeltez.
Esta es una discusión importante de un tema muy complejo que ha sido considerado en
el ACI sobre la resistencia y el comportamiento de columnas esbeltas de hormigón
armado. Las ecuaciones que se han presentado solo consideran en forma aproximada la
complejidad del problema ya que en principio el hormigón no es un material elástico y
la fisuración es un aspecto que se modifica notablemente la teoría expuesta. En este
sentido el procedimiento se conoce como “ Método aproximado del ACI para evaluar
los efectos de la esbeltez en columnas de hormigón armado”
9.6.4 Criterios del ACI para no considerar la esbeltez en columnas
El procedimiento de diseño de columnas esbeltas es inevitablemente extenso en
particular porque envuelve un proceso de ensayo y error. Al mismo tiempo, los estudios
en estructuras reales han concluido que la mayor parte de las columnas de los edificios
son lo suficientemente gruesas y fuertes que la esbeltez solo logra reducir en un ligero
porcentaje su capacidad de carga. En un estudio realizado por el comité conjunto ACIASCE se indico que el 90% de las columnas de las edificaciones están impedidas de
desplazamiento lateral y el 40% de estas pueden diseñarse como columnas cortas es
decir su capacidad de carga solo depende de la geometría de la sección y la resistencia
de los materiales con poco o ningún efecto de la esbeltez. Además muchas edificaciones
reales poseen muros de cortante o diagonales que aumentan la resistencia al
desplazamiento lateral en comparación con otros sistemas menos restringidos. Se puede
concluir que en muchos casos los efectos de la esbeltez son mínimos.
Con el fin de permitirle al diseñador disponer en su practica ordinaria de métodos
prácticos y ágiles para evaluar los efectos de la esbeltez en lugar de procedimientos
largos y complejos el ACI define unos limites por debajo de los cuales la esbeltez es
insignificante y por lo tanto su efecto puede no ser tenido en cuenta en el diseño. Estos
limites se ajustan a los resultados contabilizados en un máximo de capacidad de
reducción de resistencia del 5%. Las recomendaciones son:
§
Para columnas impedidas de desplazamiento lateral =>
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M 
k.lu
< 34 − 12 . 1 
r
 M2 
( 9.41)
En donde el termino “ [ 34 –12 ( M1 / M2 ) ] “ no debe ser mayor que 40 y la relación de
momentos es positiva o negativa según la curvatura.
§
Para columnas con desplazamiento lateral =>
k.lu
< 22
r
( 9.42 )
En las ecuaciones anteriores “ k “ es el factor de longitud efectiva de la columna; “ lu “
es la longitud libre, o longitud no soportada entre pisos; “ M1 y M 2 “ es el menor y
mayor momento en los extremos de la columna.
El radio de giro “ r “ para columnas rectangulares puede evaluarse como “ 0.3 x h “ en
donde “ h “ es la dimensión de la sección transversal en el sentido en que se esta
considerando el desplazamiento lateral. Para columnas circulares “ r = 0.5 x D “ y para
otra secciones puede calcularse a partir del área bruta de la sección.
Adicionalmente los comentarios del ACI indican que en columnas impedidas contra
desplazamiento lateral es suficientemente preciso determinar los valores del factor de
longitud efectiva “ k “ con base en los siguientes criterios:
§
§
§
Si esta doblemente articulada => k = 1.0
Si esta restringida por una losa plana => 0.95 < k < 1.0
Si pertenece a un sistema viga-losa-columna => 0.75 < k < 0.90 ó k = 0.90
9.6.5 Criterios para definir columna desplazable y no desplazable ( ACI )
En las discusiones anteriores es evidente la diferencia de comportamiento bajo carga de
una columna esbelta no desplazable y desplazable. Para considerar esta situación el ACI
recomienda seguir uno de los siguientes métodos para identificar que tipo de columna
esbelta se tiene en cada caso en particular.
9.6.5.1 Método por simple inspección
Este es un procedimiento muy simple y practico ya que el diseñador lo que hace es
comparar la rigidez lateral de las columnas de un piso con la rigidez de los elementos
arriostrantes ( macizos rígidos y fuertes ). Una columna puede considerarse impedida de
desplazamiento lateral si por simple inspección esta localizada en un piso en el cual los
elementos arriostrantes ( muros de cortante, cerchas, diagonales) tienen una rigidez
lateral sustancialmente alta para resistir las deflexiones laterales del piso y por lo tanto
cualquier deflexión lateral resultante no afecte en forma apreciable la capacidad de
carga alguna columna.
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9.6.5.2 Método por teoría de segundo orden
En este procedimiento lo que se hace es realizar el análisis estructural del sistema
utilizando un algoritmo que permite considerar cíclicamente el efecto de la carga axial
en los momentos flectores que produce la flexión. Este enfoque solo se puede realizar
mediante un programa de computador y la mayoría de los algoritmos actuales de
análisis estructural lo pueden realizar ( SAP, ETABS, RAM, STADD, COMBAT). En
este caso se asume que una columna es no desplazable si el aumento en los momentos
debido al efecto de segundo orden no excede del 5% de los momentos de primer orden.
9.6.5.3 Método del índice de estabilidad ( Q )
Este enfoque fue presentado inicialmente por MacGregor y Hage a principios de la
década de 1970 y fue procedimiento recomendado por el ACI a partir del código ACI
318-83. En este método una columna de un determinado piso se considera impedida de
desplazamiento lateral si el valor de “ Q “ evaluado con la ecuación 9.43 es menor o
igual a 0.05. En 9.43 “ Vu “ es la cortante lateral en el piso, “ Äo “ es el desplazamiento
lateral del piso evaluado con teoría de primer orden, “ P u “ es la suma de las cargas
axiales que todas las columnas del piso y “ hs “ es la altura del piso en consideración.
Q=
∑ Pu .∆ o
( 9.43 )
Vu .hs
La Norma Sismo Resistente Colombiana NSR-98 define mas rigurosamente las
columnas de un piso de acuerdo al valor de “ Q “ así:
§
§
§
§
9.6.6
Si Q < 0.10 => Columnas sin posibilidad de desplazamiento lateral
Si 0.10 < Q < 0.30 => Evaluar esbeltez con amplificación de momentos
Si 0.30 < Q < 0.50 => Evaluar esbeltez por teoría de segundo orden
Si Q > 0.50 => Piso inestable, se recomienda rigidizar.
Método de amplificación de momentos para columnas no desplazables
Una columna corta de hormigón armado sometida a una determinada combinación de
flexión mas carga axial alcanza el limite de capacidad mecánica cuando el hormigón
llega a su máxima deformación ( 0.003 ) o el acero inicia su fluencia. Esto es lo que
representan los diagramas de interacción del numeral 9.4. Para una columna cualquiera
la carga axial permanece prácticamente constante en toda su longitud mientras que el
momento varia permitiendo así que se presente la falla en aquella sección donde se
sobretensionan los materiales. La figura 9.87 representa el diagrama de interacción de
una columna en donde el punto “ A “ es el limite de su capacidad resistente ( Mn, Pn ).
De otra parte si la misma columna es lo suficientemente esbelta se presentara una
significativa amplificación del momento con la consiguiente disminución de la
capacidad a carga axial “ P “. Por lo tanto el momento en el punto mas tensionado se
convierte en “ Mmax = Mo [ Cm / ( 1- P / P cr ) ] “ con el valor de “ Cm =1.0 “ si la
columna tiene igual excentricidad y simple curvatura. La curva sólida en la figura 9.87
representa el aumento no lineal del momento a medida que disminuye la carga axial.
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El punto donde esta curva corta el diagrama de interacción define la capacidad
resistente de la columna esbelta “ B “. Si las excentricidades son diferentes se modifica
el valor de “ Cm “ de acuerdo a lo indicado previamente.
P
( Pn , Mn )
A
( Pne , Mc )
B
Mo
Mc
M
Amplificación de M
Figura 9.87 Efecto de la amplificación de momento por la esbeltez
El ACI especifica que en estos casos las cargas axiales y los momentos pueden
determinarse por un análisis elástico convencional y la columna se debe diseñar para la
combinación de carga axial “ P “ y momento amplificado “ Mc “ con la expresión 9.44.
M c = δ ns .M 2
( 9.44 )
En donde “ Mc “ es el momento de diseño de la columna esbelta sin desplazamiento
lateral, “ äns “ es el factor amplificador de momentos que se evalúa con 9.45 y “ M2 “ es
el mayor valor en la columna.
δ ns =
Cm
≥ 1.0
Pu
1−
0 .75 × Pc
( 9.45 )
El valor de la carga critica “ P cr “ se obtiene de la ecuación ( 9.33 ) con “ l = lu “.
Igualmente “ Cm “ se estima con ( 9.40 ) o si se prefiere con ayuda de la figura 9.88.
Esta es la forma como el ACI recomienda evaluar en forma aproximada los efectos de
esbeltez en columnas no desplazables lateralmente mediante un coeficiente amplificador
del momento “ äns “.
En algunas aplicaciones se tienen columnas con altas cargas axiales y bajos momentos
que también reducen su capacidad resistente por efecto de la esbeltez. En estos casos el
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ACI recomienda lo siguiente: “ Si los cálculos demuestran que no hay momentos en
ambos extremos de una columna no desplazable o la excentricidad final “ e “ es menor
que ( 15 + 0.03 x h ) el momento de diseño “ M2 “ se debe basar en esta excentricidad
mínima evaluando cada eje por separado. En estos caso la relación de momentos “ M1 /
M 2 “ necesaria para determinar la curvatura debe cumplir:
§
§
Si “ e < emin “ se pueden usar los momentos de calculo para hallar “ M1 / M2 “
Si no hay momentos en la columna “ M1 / M 2 =1.0 “.
Cm
Columnas desplazables
1.0
0.8
0.4
0.2
-1.0
-0.50
0
0.50
1.0
M1 / M 2
Figura 9.88 Determinación grafica del coeficiente de curvatura “ Cm “
La determinación de la carga critica requiere también conocer la rigidez “ E.I “ de la
columna. En elementos elásticos y homogéneos esto es particularmente sencillo, sin
embargo en el hormigón armado se deben considerar efectos no lineales y la fisuración
del hormigón que alteran en forma apreciable los resultados. Sobre las bases de varios
estudios tanto analíticos como experimentales el ACI recomienda estimar “ E.I “con las
expresiones 9.46 o 9.47 siendo la ultima mas utilizada para columnas poco reforzadas.
E.I =
E.I =
0 .2.Ec .I g + Es .I se
( 9.46 )
(1 + β d )
0 .4.Ec .I g
( 9.47 )
(1 + β d )
El factor “ âd “ considera en forma aproximada los efectos de la fluencia en la columna.
Esto es a mayor carga axial sostenida mayor es la fluencia y las correspondientes
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curvaturas. A mayor carga sostenida relativa a las cargas temporales mayor es “ âd “ y
menor es la rigidez relativa como lo indican las expresiones anteriores.
Respecto a los valores del factor de longitud efectiva “ k “ se pueden utilizar las
ecuaciones del código Británico ( B.S ) o los nomogramas de Jackson y Moreland.
Desde un punto de vista teórico se concluye que en columnas no desplazables
lateralmente “ 0.5 k 1.0 “ mientras que en columnas desplazables “ 1.0 < k < “.
En realidad las columnas de los edificios están conectadas a vigas y losas que restringen
en determinado grado el giro y los desplazamientos relativos por lo tanto “ k “ depende
de este grado de restricción “ ø “ en cada extremo de la columna. El valor de “ ø “ se
evalúa como la relación entre la rigidez relativa de la columna y la rigidez de los
elementos horizontales que la conectan en cada extremo. La expresión 9.48 facilita la
forma de calculo. Conocidos los coeficientes “ øA y øB “ para cada extremo de la
columna se determina el valor del coeficiente “ k “ con ecuaciones o nomograma.
a) Columnas no desplazables
b) Columnas desplazables
Figura 9.89 Nomogramas de Jackson y Moreland para determinar “ k “
ψ =
∑(E .I / l )
∑( E.I / l )
columnas
( 9.48 )
vigas
Si se quiere obviar la lectura del grafico 9.89 para obtener “ k “ =>
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§
Para columnas no desplazables lateralmente:
k = 0.7 + 0.5(ψ a + ψ B ) ≤ 1 .0
k = 0.85 + 0.05.ψmin ≤ 1.0
§
( 9.49 )
Para columnas desplazables: “øm = valor promedio de ø “
Cuando “ øm < 2.0 =>
k=
20 − ψ m
. 1 +ψ m
20
( 9.50 )
Cuando “ øm
2.0 “ =>
k = 0 .9 . 1 + ψ m
Como el valor de “ k “ depende de la rigidez relativa del elemento ( E.I / l ) y de sus
condiciones de conexión el proceso de diseño es iterativo. Inicialmente se asumen unas
dimensiones para la columna, se calcula la rigidez, los valores de “ ø “ y el coeficiente “
k “ con este valor de nuevo se calculan las dimensiones de la columna y se repite el
proceso hasta lograr una solución satisfactoria. El problema de la determinación
correcta de la rigidez relativa “ E.I / l “ tanto para vigas como para columnas no es
simple. En estados cercanos a la falla las vigas están fisuradas y las columnas pueden
estar o no fisuradas dependiendo de la relación entre excentricidad y altura de la
sección. El ACI especifica que al determinar “ k “ se deben considerar los efectos que
tienen sobre la rigidez tanto el refuerzo como la fisuración del hormigón.
Una primera aproximación, para usar los nomogramas y estimar el tamaño de la
sección, es considerar la mitad del momento de inercia de las vigas y la inercia total
para las columnas. Esto refleja el hecho de que la fisuración es mayor en vigas que en
columnas. Los comentarios del ACI consideran que bajo estas circunstancias se
obtienen tamaños adecuados siempre y cuando “ k.lu / r < 60 “. En el caso de vigas T se
puede considerar la inercia como el doble de la inercia de una sección rectangular de
ancho “ bw “ y altura “ h “. Cuando “ k.lu / r > 60 “ el soporte experimental indica que la
inercia de las vigas se determine tomando como base la sección elástica fisurada y un
valor promedio entre los apoyos y la mitad de la luz y determinar la inercia de las
columnas con la ecuación 9.46 tomando “ âd = 0.0 “.
Un procedimiento paso a paso para realizar el diseño de columnas esbeltas no
desplazables puede seguir la siguiente secuencia de calculo:
1. Seleccionar las dimensiones de la columna de ensayo para soportar la carga axial
mayorada “ Pu “ y el momento flector mayorado “ Mu = M2 “ obtenidos del
análisis estructural de primer orden. Se considera inicialmente columna corta.
2. Se determina si el sistema estructural es desplazable o no lateralmente.
3. Se halla la longitud si soporte “ lu “ de la columna y se estima un valor
apropiado para “ k “ de acuerdo a lo indicado 9.6.4.
4. Revisar si se deben considerar los efectos de esbeltez según 9.6.4.
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5. Si se encuentra que la columna es esbelta se deben refinar los cálculos anteriores
determinando “ k “ de las ecuaciones o la grafica 9.89. En este caso se
determinan la rigidez de cada elemento y los coeficientes “ ø “ respectivos
usando los momentos de inercia brutos y el tamaño de ensayo del elemento.
Revisar nuevamente con estos valores si la columna es o no esbelta.
6. Revisar si los momentos obtenidos del análisis estructural son mayores que los
valores mínimos considerados y hacer las correcciones del caso.
7. Determinar el coeficiente de curvatura “ Cm “
8. Hallar los factores: “ âd, E.I, Pcr “ para la columna de prueba.
9. Determinar el factor de amplificación de momentos “ äns “ y el momento de
diseño “ Mc “
10. Revisar si la columna es adecuada para resistir la combinación “ Mc, Pu “
utilizando los diagramas de interacción de columnas cortas.
11. Si los resultados indican modificaciones se deben refinar los cálculos para “ ø, k
y Pcr “ teniendo en cuenta ahora la fisuración y el refuerzo de la sección.
Finalmente hacer las modificaciones requeridas.
Ejemplo 9.18 Se requiere diseñar la columna “ C3 “ de la estructura de seis pisos que
se indica en la figura 9.90 la cual esta impedida de desplazamiento lateral por el foso
de ascensores y el de escaleras los cuales actúan como núcleos arriostrantes en las dos
direcciones ortogonales del edificio. Las vigas son de bv =1.2 m y hv = 0.30 m la altura
libre del piso es de lu = 3.55 m, las columnas exteriores tienen bc = hc = 0.40m y las
interiores bc = hc = 0.45 m. Usar un f´c = 28 MPa, fy = 420 MPa y los siguientes
resultados del análisis de primer orden para la combinación de carga muerta mas viva
indicada. La columna se deflecta en una curvatura para esta condición de carga.
Carga muerta
Pm ( kN )
1050
M1m (kN.m)
-2.8
Carga viva
M2m (kN.m)
2.8
P v (kN)
790
M1v (kN.m)
140
M2v (kN.m)
150
6
5
4
Col C3
6 pisos de
4.25 m
3
2
1
A
B
C
D
E
F
5 luces de 7.30 m
Figura 9.90 Estructura del ejemplo 9.18 para diseño de columnas esbeltas
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Solución: Se asumirá inicialmente que la columna es corta considerando que no existen
problemas de esbeltez => Las cargas mayoradas para la combinación indicada son:
Pu = 1.2 × 1050 + 1 .6 × 790 = 2524 .kN
M u = 1.2 × 2 .8 + 1 .6 × 150 = 243 .kN.m
Ya que la columna tiene una sección de bc = hc = 450 mm ( interior ) y considerando un
recubrimiento d´= 55 mm se tiene:
γ =
450 − 2 × 62 .5
≈ 0 .75
450
La grafica de interacción para “ e / h
e=
243
= 0 .096 .m
2524
e 0 .096
=
= 0.21
h
0 .45
0.20 “ es R28.420:75
Pu
2524 × 10 3
=
= 0 .445
Ag . f c´ 450 × 450 × 28
Mu
243 × 10 6
=
= 0.095
Ag .h. f c´ 450 × 450 × 450 × 28
Del grafico de la figura 9.59 se obtiene: ñ = 0.02 la cual es una cuantía lo
suficientemente baja para que si hay que considerar esbeltez no se supere las cuantías de
refuerzo aceptables ( Por lo general menos del 4% ).
Para una primera revisión de los efectos de esbeltez se puede asumir en forma
conservadora que el factor de longitud efectiva “ k “ es igual a 0.90 =>
(
)
0 .300
k.lu 0.90 × 4 .25 − 2 ×
2 = 26 .33
=
r
0.3 × 0.45
El limite de columna corta es:
34 − 12 ×
M1
1.2 × (−2 .8) + 1.6 × 140
220 .64
= 34 − 12 ×
= 34 − 12 ×
= 23 .12
M2
1.2 × 2 .8 + 1.6 × 150
243 .36
Se comprueba que “ k.lu / r > 34 – 12 ( M1 / M2 ) “ => se debe considerar la esbeltez.
Ahora se refinaran mas los cálculos para determinar un valor mas elaborado para “ k “.
Para las columnas interiores => Se considera el 70% de la inercia bruta:
Ig =
0 .7 × I g 0.7 × 3417 × 10 6
450 × 450 3
=
= 563 × 10 3 mm 3
= 3417 × 10 6 mm 4 è
lc
4250
12
Para las vigas se considera el 35% del doble del momento de inercia del alma de la viga
T con bw = 1200 mm y h = 300 mm =>
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(I )
g
1200 × 300 3
=
= 2700 × 10 6 mm 4
vigas
12
=>
0 .35 × 2 × I g
lv
= 259 × 10 3 mm 3
El factor “ ø “ en ambos extremos de la columna es el mismo y vale:
ψ A =ψ B =
2 × 563
= 2.17
2 × 259
al nudo “ A “ y al “ B “ llegan dos columnas y dos vigas.
Utilizando la figura 9.89.a se obtiene un valor de “ k = 0.86 “ el cual es un valor
adecuado para refinar los cálculos anteriores ( Es importante aclarar que si se utilizan
las ecuaciones el valor de k es > a 0.90 por lo tanto no se ajusta a los refinamientos
exigidos. En la practica es mas seguro trabajar con los gráficos que con las ecuaciones).
k.lu 0.86 × 3 .95
=
= 25 .16
r
0.3 × 0 .45
Este valor continua siendo mayor que “ 23.12 “ confirmando el resultado de que la
columna debe diseñarse como esbelta.
La excentricidad mínima para esta columna es: emin = 15 + 0.03× 450 = 28.5.mm la cual
es menor que la obtenida “ e = 96 mm “ por lo que no controla el diseño.
Cm = 0 .6 + 0 .4 ×
βd =
E.I =
M1
220 .64
= 0 .6 + 0 .4 ×
= 0.96 ≤ 1.0
M2
243 .36
1.2 × 1050
= 0 .50
1.2 × 1050 + 1 .6 × 790
4790 × 28 . × 3417 × 10 6
= 2310 × 10 10 N .mm 2
2.5 × (1 + 0 .50 )
Pcr =
π 2 .2310 × 1010
= 19753 × 10 3 N = 19753 kN
2
(0.86 × 3950 )
Usando la ecuación 9.45 se determina el factor amplificador de momentos “ äns “:
δ ns =
0.96
= 1.16
2524
1−
0 .75 × 19753
El momento amplificado por esbeltez se obtiene de 9.44 =>
M c = 1 .16 × 243 = 282 .kN.m
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Con estos nuevos valores de “ Pu = 2524 kN “ y “ Mc = 282 kN.m “ se va al diagrama
de interacción R28.420:75 =>
Pu
2524 × 10 3
=
= 0 .445
Ag . f c´ 450 × 450 × 28
Mc
282 × 10 3
=
= 0.110
Ag .h. f c´ 450 × 450 × 450 × 28
Se obtiene una cuantía de refuerzo de “ ñ = 0.032 “ es decir un incremento del 60% en
la cantidad de acero requerido por efecto de la esbeltez. Ast = 0.032 x 450 x 450 = 6480
mm2 que equivalen a: 8 # 10 ( Ast = 6552 mm2 ).
# 3 @ 450 mm
8 # 10
450 mm
450 mm
Figura 9.91 Sección definitiva de columna del ejemplo 9.18
Nota: El ejercicio se puede refinar aun mas considerando ahora el refuerzo obtenido y
modificando la inercia de la columna con la ecuación 9.46. Sin embargo en muchos
casos no se justifica mas trabajo de calculo porque los resultados obtenidos son
aproximadamente iguales a los aquí realizados.
9.6.7 Método de amplificación de momentos en columnas desplazables ( sway )
Las diferencias mas importantes entre columnas desplazables y no desplazables se
discutió en los numerales anteriores. La carga critica para una columna “ P cr ” depende
de la longitud efectiva “ k.lu “ y aunque el factor de longitud efectiva “ k “ esta entre 0.5
y 1.0 para columnas no desplazables este varia entre 1.0 e infinito para columnas
desplazables. En consecuencia una columna desplazable se deforma para una carga mas
pequeña que la de una columna idéntica no desplazable. Las columnas que pueden
desplazarse lateralmente por lo general lo hacen en conjunto porque pertenecen a un
sistema de piso muy rígido en su propio plano que obliga a que todas ellas experimenten
idénticos desplazamientos laterales. Esta es la razón por la cual cuando se evalúa la
amplificación de momentos en estructuras desplazables se deben considerar todos las
columnas del piso en consideración. El uso del método de amplificación de momentos
es todavía útil siempre y cuando “ k.lu / r < 60 “ en otros casos es definitivo el uso del
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análisis estructural de segundo orden. Nuevamente los efectos de la esbeltez se puede
despreciar si “ k.lu / r < 22 “. Los momentos “ M1 ” y “ M2 “ obtenidos del análisis de
primer orden se deben amplificar de acuerdo a las siguientes ecuaciones, siempre y
l
cuando u < 35 Pu f c´ Ag
r
{
}
M 1 = M 1ns + δ s M 1s
( 9.51 )
M 2 = M 2 ns + δ s M 2 s
Si el M2 > M1 el momento de diseño de la columna es:
M c = M 2 ns + δ s M 2 s
( 9.52 )
En donde: M2ns es el mayor de los dos momentos mayorados de los extremos de una
columna debido a las cargas que no producen un apreciable desplazamiento lateral y
obtenido de un análisis estructural elástico de primer orden. “ M 2s “ es en forma similar
el mayor de los dos momentos mayorados pero debido a las cargas que si producen
desplazamiento lateral apreciable. El termino desplazamiento lateral apreciable tiene
que ver con un “ > hs / 1500 “ donde “ hs “ es la altura del piso.
δsMs =
M 2s
 ∑ Pu 

1− 
 0.75 P 
∑
cr


≥ Ms
Donde δ s ≤ 2.5
( 9.53 )
P u es la sumatoria de todas las cargas verticales en un piso y P c es la sumatoria de
todas las cargas criticas para el piso en consideración. Cuando se presente en una
l
determinada columna que u > 35 Pu f c´ Ag esta se debe diseñar para la carga axial
r
mayorada y un momento de diseño: M c = δ ns M 2 ns + δ s M 2 s .
{
}
Es importante aclarar que los factores “ äns “ se aplican a una columna en particular y
los “ äs “ se aplican a todas las columnas de un piso y el momento ( äs – 1 ) M2 se debe
aplicar a las vigas que llegan al nudo de la columna.
En resumen el método de amplificación de momentos presentado, originalmente
desarrollado para columnas prismáticas puede extrapolarse en su aplicación a casos
dónde la esbeltez sea menor o igual a 100 siempre y cuando el sistema este impedido de
desplazamiento lateral. En el caso de sistemas desplazables con relaciones de esbeltez
del orden de 100 es necesario utilizar el análisis de segundo orden como se ha insistido
en varias oportunidades en la presentación de esta teoría.
Si se utiliza el índice de estabilidad para determinar “ äs “ tal como lo presenta la NSR98 se puede reemplazar la ecuación 9.53 por la siguiente:
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δsMs =
Ms
≥ Ms
1− Q
( 9.54 )
La solución de una columna para este caso requiere que las cargas se clasifiquen en
aquellas que producen bajos desplazamientos laterales ( las cargas de gravedad muertas
y vivas ) y las que producen apreciables movimientos horizontales ( viento y sismos).
Además se deben considerar las combinaciones de carga adecuadas para cada caso, por
ejemplo cuando actúan: carga muerta ( D ) carga viva ( L ) y viento ( W ) se
recomiendan las siguientes combinaciones básicas:
C1 = 1.2 D + 1.6 L
C2 = 1.2 D + 1.0 L + 1.6 W
Según el ACI-318-02
C3 = 0.9 D + 1.6 W
C1 = 1.4 D + 1.7 L
C2 = 0.75 ( 1.4 D + 1.7 L + 1.7 W )
Según el NSR-98 ( ACI-318-99)
C3 = 0.9 D + 1.3 W
En forma similar se deben considerar los casos de carga sísmica ( E ), empuje de tierras
( H ), presión de fluidos ( F ).
Ejemplo 9.19 Considerando nuevamente la estructura de la figura 9.90 pero ahora con
la hipótesis de que no existen elementos que impidan el desplazamiento lateral de la
edificación se requiere diseñar la columna C3. Además de las cargas muertas y vivas
ahora se consideraran las cargas laterales de viento. El análisis elástico de primer orden
entrega los siguientes resultados:
Pm ( kN)
Pv (kN)
Pw (kN)
Vw ( kN)
M2m (kN.m)
M2v (kN.m)
M2w (kN.m)
M1m (kN.m)
M1v (kN.m)
M1w (kN.m)
Columnas A3 y F3
520
410
± 140
25
-------------------
Columnas B3 y E3
1050
790
± 80
50
-------------------------------
Columnas C3 y D3
1050
790
± 27
50
2.8
150
± 115
- 2.8
140
± 97
La deflexión relativa del tercer piso para una carga total de viento de Vw = 250 kN es
de o = 19.5 mm. Usar f´c = 28 MPa y fy = 420 MPa.
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Solución: El primer paso es revisar si el diseño debe considerar los efectos de la
esbeltez en columnas desplazables o no desplazables => Se debe estimar “ Q “.
Vu = 1.6 x 250 = 400 kN
Columnas A3 y F3 => Pu = 1.2 x 520 + 1.0 x 410 ± 1.6 x 140 = 1034 kN
Columnas B3 y E3 => Pu = 1.2 x 1050 + 1.0 x 790 ± 1.6 x 80 = 2050 kN
Columnas C3 y D3 => Pu = 1.2 x 1050 + 1.0 x 790 ± 1.6 x 27 = 2050 kN
Pu = 2 x ( 1034 +2050 + 2050 ) = 10268 kN
u = 1.6 x 19.5 = 31 mm
Q=
∑ Pu .∆ o
Vu .hs
=
10268 × 31
= 0.19
400 × 4250
Ya que el índice de estabilidad es mayor que 0.05 ( 0.10 < Q < 0.30 ) se debe asumir el
piso 3 del edificio como desplazable lateralmente ( en un determinado edificio se
pueden tener pisos desplazables y no desplazables dependiendo de su índice de
estabilidad ) y se puede utilizar el método de amplificación de momentos.
El análisis se debe realizar por separado, inicialmente para las cargas que producen un
bajo desplazamiento lateral (
4250 / 1500 = 2.8 mm ) y posteriormente para las
cargas que producen > 2.8 mm.
a) Análisis para cargas que producen
2.8 mm
En este caso se considera que las columnas no tienen posibilidad de desplazarse
lateralmente ( están restringidas a este movimiento ) y solo se presenta una combinación
de carga en el diseño:
Pu = 1.2 × 1050 + 1 .6 × 790 = 2524 .kN
M u = 1.2 × 2 .8 + 1 .6 × 150 = 243 .kN.m
Esta verificación fue realizada en el ejemplo 9.18 por lo tanto aquí no se incluirá.
b) Análisis para cargas que si producen desplazamientos laterales
Cuando se presentan las cargas de viento existen dos posibles combinaciones de carga:
U = 1.2 D + 1.0 L + 1 .6W
y
U = 0 .9 D + 1.6W
En este caso es la primera combinación la que controla por la posición central de la
columna C3 que le permite atenuar el efecto de levantamiento producido por el viento.
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Los momentos mayorados en la columna C3 para el caso sin desplazamiento lateral son:
M 1ns = 1.2 × −2 .8 + 1 .6 × 140 = 221 .kN.m
M 2 ns = 1 .2 × 2 .8 + 1.6 × 150 = 243 .kN.m
Los momentos mayorados en C3 para la condición desplazable =>
M 1s = 1 .6 × −97 = −155 .kN.m
M 2 s = 1.6 × 115 = 184 .kN.m
Del ejemplo 9.18 se obtienen los coeficientes de restricción rotacional de los dos
extremos de la columna “ C3 “: øA = øB = 2.17. de la figura 9.89.b para columnas
desplazables de obtiene un “ k = 1.64 “ =>
k.lu 1 .64 × 3.95
=
= 47 .99 ≈ 48 .0
r
0.3 × 0 .45
Se comprueba que “ k.lu / r “ es > que 22 por lo tanto se deben considerar los efectos de
esbeltez. Para determinar los momentos amplificados por esbeltez se pueden utilizar uno
de los dos siguientes procedimientos: a ) Con la ecuación 9.53 el factor de amplificación
de momentos “ äs “ depende de P c y P u b) con la ecuación 9.54 utilizando el índice
de estabilidad “ Q “.
a) Utilizando la ecuación 9.53 => Se determinan los “ Pcr “ de las columnas:
§
Ig =
Para las columnas A3 y F3 => bc = hc = 400 mm
0 .7 × I g 0 .7 × 2133 × 10 6
400 × 400 3
=
= 351 × 10 3 mm 3
= 2133 × 10 6 mm 4 è
l
4250
12
c
Vigas => bw = 1200 mm, hv = 300 mm
(I )
g
=
vigas
1200 × 300 3
= 2700 × 10 6 mm 4
12
=>
0 .35 × 2 × I g
lv
= 259 × 10 3 mm 3
El factor “ ø “ es igual en ambos extremos de la columna:
ψ A =ψB =
2 × 351
= 2 .71
259
al nudo “ A “ y al “ B “ llegan dos columnas y una viga.
Utilizando la figura 9.89.b se obtiene un “ k = 1.77 “. Por la presencia de la carga de
viento “ âd = 0.0 “. El valor de “ E.I “ se puede estimar con la ecuación 9.47 o con la
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9.46 si se conociera un dato aproximado de la cantidad de refuerzo. Como estas
columnas están muy reforzadas es mejor trabajar con 9.46 y asumir un ( Ast = 8 # 8 ).
0.20 × 4790 × 28 × 2133 × 10 6 + 204 × 10 3 × 6 × 510 × 150 2
= 2486 × 10 10 N .mm 2
(1 + 0.0)
E.I =
La carga critica es:
Pcr =
§
π 2 × 2486 × 1010
= 4385 × 10 3 N = 4385 .kN
2
(1.77 × 4250 )
Para las columnas interiores B3, C3, D3 y E3 => bc = hc = 450 mm
0 .7 × I g 0.7 × 3417 × 10 6
450 × 450 3
= 3417 × 10 6 mm 4 è
=
= 563 × 10 3 mm 3
12
lc
4250
Ig =
Vigas => bw = 1200 mm, hv = 300 mm
(I )
g
=
vigas
1200 × 300 3
= 2700 × 10 6 mm 4
12
=>
0 .35 × 2 × I g
lv
= 259 × 10 3 mm 3
El factor “ ø “ es igual en ambos extremos de la columna:
ψ A =ψB =
2 × 563
= 2.17
2 × 259
al nudo “ A “ y al “ B “ llegan dos columnas y dos vigas.
Utilizando la figura 9.89.b se obtiene un “ k = 1.64 “
E.I =
0 .20 × 4790 × 28 × 3417 × 10 6 + 204 × 10 3 × 6 × 819 × 150 2
= 3988 × 1010 N .mm 2
(1 + 0.0)
Pcr =
π 2 × 3988 × 1010
= 8102 × 10 3 N = 8102 .kN
2
(1.64 × 4250 )
La suma de las cargas criticas en todas las columnas es:
∑P
c
= 2 × 4385 + 4 × 8102 = 41178 .kN
Los momentos amplificados para la columna C3 se obtienen aplicando 9.53 =>
M1s
δ s M1s =
1−
∑ Pu
0 .75 ∑ Pc
=
− 155
− 155
=
= − 231 .kN.m
10268
(1 − 0.33)
(1 −
)
0 .75 × 41178
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δ s M 2s =
184
= 275 .kN.m
(1 − 0.33)
Los momentos amplificados totales para el diseño de la columna C3 son =>
M 1 = M 1ns + δ s M 1s = 221 − 231 = − 10 .kN.m
M 2 = M 2 ns + δ s M 2 s = 243 + 275 = 518 .kN.m
La columna C3 se debe diseñar para soportar un momento máximo amplificado “ Mc =
518 kN.m “ y un “ Pu = 1.2 x 1050 + 1.0 x 790 + 1.6 x 27 = 2093 kN “.
Utilizando el grafico de interacción R28.420:75 =>
Pu
2093 × 10 3
=
= 0.37
Ag . f c´ 450 × 450 × 28
y
Mc
518 × 10 6
=
= 0.20
Ag . f c´ .h 450 3 × 28
Se obtiene de la figura 9.59 una cuantía “ ñ = 0.065 “ mayor a 0.06 por lo tanto se
recomienda aumentar la sección para lograr cuantías del orden del 0.035%.
b) utilizando la ecuación 9.54 del índice de estabilidad “ Q “ =>
δ s M1s =
− 155
= −191 .kN.m
(1 − 0.19)
δ s M 2s =
184
= 227 .kN.m
(1 − 0.19)
Los momentos amplificados totales para el diseño de la columna C3 son =>
M 1 = M 1 ns + δ s M 1s = 221 − 191 = 30 .kN.m
M 2 = M 2 ns + δ s M 2 s = 243 + 227 = 470 .kN.m
La columna C3 se debe diseñar para soportar un momento máximo amplificado “ Mc =
470 kN.m “ y un “ Pu = 1.2 x 1050 + 1.0 x 790 + 1.6 x 27 = 2093 kN “.
Utilizando el grafico de interacción R28.420:75 =>
Pu
2093 × 10 3
=
= 0.37
Ag . f c´ 450 × 450 × 28
y
Mc
470 × 10 6
=
= 0 .18
Ag . f c´ .h 450 3 × 28
Se obtiene de la figura 9.59 una cuantía “ ñ = 0.06 “. Este método es menos conservador
que el anterior y es el preferido en la NSR-98.
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Nota: Este mismo diseño trabajado con los factores de carga “ ã “ y los coeficientes “ Ö
“ de la NSR-98 ( ACI-318-99 ) entrega resultados satisfactorios respecto a la cantidad
de acero “ ñ = 0.032 “. Es decir se concluye que el bajar los factores de mayoracion de
cargas y disminuir los coeficientes de minoración de resistencias se trabaja con altos
márgenes de seguridad.
La cantidad de refuerzo para esta columna es: Ast = 400 x 400 x 0.06 = 9600 mm2 que
se pueden reemplazar por 12 # 10 ( 9828 mm2). Este refuerzo se puede disponer como
se indica en la figura 9.92.
450 mm
12 # 10
340 mm
# 3 @ 450 mm
450 mm
Figura 9.92 Sección de columna del ejemplo 9.19
Finalmente se deben realizar dos revisiones adicionales para comprobar el ajuste del
diseño realizado. a) comprobar si “ lu / r < 35 / ( Pu / f´c Ag )0.5 “ y b) que el índice de
estabilidad no sea mayor de 0.20 para utilizar el método de amplificación de momentos.
a) Revisión de la relación de esbeltez:
lu
3950
=
= 29
r 0 .3 × 450
35
2093 × 10 3
450 × 450 × 28
= 57 .6 ≈ 58
Por lo tanto se cumple que 29 < 58 y el procedimiento realizado es correcto.
b) El índice de estabilidad obtenido para el piso en consideración es de 0.19 < 0.30 por
lo tanto el procedimiento de amplificación de momentos es aceptable.
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EJERCICIOS PROPUESTOS
1.
Para las siguientes columnas sometidas a carga axial pura determinar el refuerzo
longitudinal y los amarres requeridos mostrando la distribució n en planta de la sección.
Considerar columna corta en condiciones interiores de edificios.
a) Columna rectangular: PD = 600 kN, PL = 800 kN, f´c = 24 MPa, fy = 420 MPa
b) Columna rectangular, considerando la menor sección posible: PD = 700 kN, PL =
300 kN, f´c =28 MPa y fy = 300 MPa
c) Columna circular: PD = 500 kN, PL = 650 kN, f´c = 35 MPa, fy = 420 MPa
Para todos los casos asumir un d´= 65 mm.
2.
En las siguientes secciones de columna determinar el centroide plástico si f´c = 28
MPa y fy = 420 MPa
400 mm
75
400 mm
75
75
300
2#8
2 # 10
150
500 mm
4#9
75
550 mm
75
175
75
75
3.
Usando las ecuaciones de equilibrio determinar los valores de Pn y Mn
considerando que el perfil de deformaciones va de los puntos – 0.003 a 0.002.
Considerar un f´c = 28 MPa y fy = 420 MPa
åc
300 mm
75
600 mm
4#9
450
75
åt
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4. Para las secciones y las excentricidades que se indican determinar los valores de
carga axial “ Pn “ usando los diagramas de interacción respectivos. Utilizar los
siguientes materiales: f´c = 28 MPa y fy = 420 MPa.
a)
ex = 0.30 m
ex = 0.20 m
400 mm
80 mm
290 mm
450 mm
80 mm
80
b)
ey = 0.125 m
3 @ 80 = 240
80
Y
75 mm
150 mm
450 mm
X
150 mm
75 mm
75
250 mm
75
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c)
Y
ey = 0.25 m
300 mm
65 mm
500 mm
370 mm
X
65 mm
65
d)
ex = 0.25 m
170 mm
65
Y
65 mm
550 mm
8 # 10
X
420 mm
65 mm
5.
Seleccionar el refuerzo requerido para las siguientes columnas cortas utilizando los
gráficos de interacción. f´c = 28 MPa y fy = 420 MPa.
a) Rectangular: b = 400 mm, h = 500 mm, d´= 65 mm, Pu = 1350 kN y ex = 0.15 m
b) P L = 450 kN, PD = 225 kN, ML = 290 kN.m y MD = 115 kN.m.
c) Circular: Pu = 1150 kN, Mu = 580 kN.m
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6.
Una columna esquinera de un edificio esta sometida a flexión en sus dos ejes
principales con ex = ey = 0.18 m. Si la carga ultima es de Pu = 910 kN determinar sus
dimensiones y el refuerzo si f´c = 28 MPa, fy = 420 MPa.
7.
Se requiere diseñar una columna sometida a flexión biaxial para las siguientes
condiciones: Pu = 910 kN, ex = 0.25 m, ey = 0.15 m. Seleccionar una cantidad de
refuerzo no menor que el 2.5%. Usar f´c = 28 MPa y fy = 420 MPa.
8.
Una columna rectangular de un edificio de varios pisos impedido contra
desplazamiento lateral tiene dimensiones b = 400 mm y h = 550 mm y soporta una
carga axial ultima de Pu = 2270 kN y un momento ultimo Mu = 405 kN.m. Si la altura
libre es de lu = 3.05 m determinar el refuerzo requerido si los momentos en sus dos
extremos son iguales y f´c = 28 MPa, fy = 420 MPa y d´= 65 mm.
9.
Se requiere diseñar la columna exterior de un edificio desplazable lateralmente y
sometida a una carga Pu = 2270 kN. Los momentos mayorados en sus extremos son:
M1 = 290 kN.m y M2 = 405 kN.m. La altura libre de la columna es de lu = 5.50 m.
Considerar los siguientes casos: a) Si las cargas de gravedad no producen un
desplazamiento lateral apreciable, b) Las cargas laterales de viento producen un
momento mayorado de Mu = 240 kN.m . f´c = 28 MPa, fy = 420 MPa. Además se tiene:
øA = 2.0 y øB = 1.2. Pu = 90910 kN y Pc = 200000 kN.
10.
Las columnas del primer piso de un edificio de oficinas de nueve pisos, con tres
luces en dirección X y siete luces en dirección Y, tienen una altura libre de 5.50 m. El
edificio no esta impedido de desplazamiento lateral y la altura de los pisos por encima
del primero es de 3.35 m. Diseñar una columna típica del primer piso para las siguientes
condiciones:
a) todas las secciones de columnas son iguales
b) Pu = 72730 kN y Pc = 172730 kN
c) EI / l ( vigas ) = 50850 kN.m
d) Cargas axiales en servicio de columnas interiores: P D = 1640 kN, P L = 590 kN y
P W = 30 kN
e) Cargas axiales en servicio de columnas exteriores: PD = 365 kN, PL = 295 kN y
P W = 20 kN
f) Momentos en servicio para columnas interiores: Nudo A) MD = 25 kN.m, ML =
20 kN.m, MW = 70 kN.m. Nudo B) MD = 60 kN.m, ML = 45 kN.m, MW = 70
kN.m.
g) Momentos en servicio para columnas exteriores: Nudo A) MD = 50 kN.m, ML =
30 kN.m, MW = 35 kN.m. Nudo B) MD = 80 kN.m, ML = 40 kN.m, MW = 35
kN.m.
h) F´c = 28 MPa, fy = 420 MPa y d´= 65 mm
Revisar el índice de estabilidad “ Q “. Asumir un Vu = 680 kN / piso y Äo = 38 mm.
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