Construcciones con regla y compás
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Construcciones con regla y compás Juan Sabia Universidad de Buenos Aires - CONICET Semana de la Matemática - 2009 Juan Sabia Construcciones con regla y compás Algunos ejemplos Vamos a hacer algunos dibujos usando un papel, un lápiz, un compás y una regla sin medidas marcadas. Juan Sabia Construcciones con regla y compás Algunos ejemplos 1. Dos polı́gonos regulares Juan Sabia Construcciones con regla y compás Algunos ejemplos 1. Dos polı́gonos regulares Paso 1: Marcamos primero con el lápiz dos puntos A y B en el papel. Juan Sabia Construcciones con regla y compás Algunos ejemplos 1. Dos polı́gonos regulares Paso 1: Marcamos primero con el lápiz dos puntos A y B en el papel. Juan Sabia Construcciones con regla y compás Algunos ejemplos 1. Dos polı́gonos regulares Paso 2: Ahora trazamos la recta que une los dos puntos y todas las circunferencias que determinan esos dos puntos. Juan Sabia Construcciones con regla y compás Algunos ejemplos 1. Dos polı́gonos regulares Paso 2: Ahora trazamos la recta que une los dos puntos y todas las circunferencias que determinan esos dos puntos. Juan Sabia Construcciones con regla y compás Algunos ejemplos 1. Dos polı́gonos regulares Paso 2: Ahora trazamos la recta que une los dos puntos y todas las circunferencias que determinan esos dos puntos. Juan Sabia Construcciones con regla y compás Algunos ejemplos 1. Dos polı́gonos regulares Paso 2: Ahora trazamos la recta que une los dos puntos y todas las circunferencias que determinan esos dos puntos. Juan Sabia Construcciones con regla y compás Algunos ejemplos 1. Dos polı́gonos regulares Paso 2: Ahora trazamos la recta que une los dos puntos y todas las circunferencias que determinan esos dos puntos. Con nuestra construcción aparecieron cuatro nuevos puntos: C , D, E y F. Juan Sabia Construcciones con regla y compás Algunos ejemplos 1. Dos polı́gonos regulares Paso 3: Ahora trazamos la circunferencia con centro E y que pasa por A. Juan Sabia Construcciones con regla y compás Algunos ejemplos 1. Dos polı́gonos regulares Paso 3: Ahora trazamos la circunferencia con centro E y que pasa por A. Juan Sabia Construcciones con regla y compás Algunos ejemplos 1. Dos polı́gonos regulares Paso 3: Ahora trazamos la circunferencia con centro E y que pasa por A. Ahora aparecieron los puntos G , H e I . Juan Sabia Construcciones con regla y compás Algunos ejemplos 1. Dos polı́gonos regulares Paso 4: Finalmente unimos los puntos B, C , G , E , H y D: Juan Sabia Construcciones con regla y compás Algunos ejemplos 1. Dos polı́gonos regulares Paso 4: Finalmente unimos los puntos B, C , G , E , H y D: Juan Sabia Construcciones con regla y compás Algunos ejemplos 1. Dos polı́gonos regulares Paso 4: Finalmente unimos los puntos B, C , G , E , H y D: Hemos dibujado un hexágono regular. Juan Sabia Construcciones con regla y compás Algunos ejemplos 1. Dos polı́gonos regulares Otro posible paso 4: O bien unimos los puntos B, G , y H. Juan Sabia Construcciones con regla y compás Algunos ejemplos 1. Dos polı́gonos regulares Otro posible paso 4: O bien unimos los puntos B, G , y H. Juan Sabia Construcciones con regla y compás Algunos ejemplos 1. Dos polı́gonos regulares Otro posible paso 4: O bien unimos los puntos B, G , y H. Hemos dibujado un triángulo equilátero. Juan Sabia Construcciones con regla y compás Algunos ejemplos 2. Bisectriz de un ángulo Juan Sabia Construcciones con regla y compás Algunos ejemplos 2. Bisectriz de un ángulo Paso 1: Marcamos primero con el lápiz tres puntos A, B y C y [ que forman en el papel. dibujamos el ángulo BAC Juan Sabia Construcciones con regla y compás Algunos ejemplos 2. Bisectriz de un ángulo Paso 1: Marcamos primero con el lápiz tres puntos A, B y C y [ que forman en el papel. dibujamos el ángulo BAC Juan Sabia Construcciones con regla y compás Algunos ejemplos 2. Bisectriz de un ángulo Paso 2: Ahora trazamos la circunferencia con centro en A y que pasa por alguno de ellos (en este caso B). Juan Sabia Construcciones con regla y compás Algunos ejemplos 2. Bisectriz de un ángulo Paso 2: Ahora trazamos la circunferencia con centro en A y que pasa por alguno de ellos (en este caso B). Juan Sabia Construcciones con regla y compás Algunos ejemplos 2. Bisectriz de un ángulo Paso 2: Ahora trazamos la circunferencia con centro en A y que pasa por alguno de ellos (en este caso B). Obtenemos ası́ el punto E . Juan Sabia Construcciones con regla y compás Algunos ejemplos 2. Bisectriz de un ángulo Paso 3: Trazamos la circunferencia con centro en B y que pasa por A. Juan Sabia Construcciones con regla y compás Algunos ejemplos 2. Bisectriz de un ángulo Paso 3: Trazamos la circunferencia con centro en B y que pasa por A. Juan Sabia Construcciones con regla y compás Algunos ejemplos 2. Bisectriz de un ángulo Paso 4: Trazamos también la circunferencia con centro en E y que pasa por A. Juan Sabia Construcciones con regla y compás Algunos ejemplos 2. Bisectriz de un ángulo Paso 4: Trazamos también la circunferencia con centro en E y que pasa por A. Juan Sabia Construcciones con regla y compás Algunos ejemplos 2. Bisectriz de un ángulo Paso 4: Trazamos también la circunferencia con centro en E y que pasa por A. Al punto de corte lo llamamos F . Juan Sabia Construcciones con regla y compás Algunos ejemplos 2. Bisectriz de un ángulo Paso 5: −→ Finalmente, trazamos la semirrecta AF . Juan Sabia Construcciones con regla y compás Algunos ejemplos 2. Bisectriz de un ángulo Paso 5: −→ Finalmente, trazamos la semirrecta AF . Juan Sabia Construcciones con regla y compás Algunos ejemplos 2. Bisectriz de un ángulo Paso 5: −→ Finalmente, trazamos la semirrecta AF . Esta semirrecta parte al ángulo d (y se llama la bisectriz de FAC Juan Sabia [ en dos ángulos iguales BAF [y BAC [ ). BAC Construcciones con regla y compás Algunos ejemplos 3. Polı́gonos + bisectrices = Más polı́gonos Juan Sabia Construcciones con regla y compás Algunos ejemplos 3. Polı́gonos + bisectrices = Más polı́gonos Si a los ángulos centrales del hexágono regular los partimos por la mitad, construimos un dodecágono regular. Juan Sabia Construcciones con regla y compás Algunos ejemplos 3. Polı́gonos + bisectrices = Más polı́gonos Si a los ángulos centrales del hexágono regular los partimos por la mitad, construimos un dodecágono regular. Juan Sabia Construcciones con regla y compás Algunos ejemplos 3. Polı́gonos + bisectrices = Más polı́gonos Si a los ángulos centrales del hexágono regular los partimos por la mitad, construimos un dodecágono regular. Si seguimos bisecando ángulos, vamos a poder construir polı́gonos regulares de 24, 48, 96, ... lados. Juan Sabia Construcciones con regla y compás Algunos ejemplos 3. Polı́gonos + bisectrices = Más polı́gonos Juan Sabia Construcciones con regla y compás Algunos ejemplos 3. Polı́gonos + bisectrices = Más polı́gonos Y, si tomamos un vértice de cada tres del dodecágono regular, obtenemos un cuadrado: Juan Sabia Construcciones con regla y compás Algunos ejemplos 3. Polı́gonos + bisectrices = Más polı́gonos Y, si tomamos un vértice de cada tres del dodecágono regular, obtenemos un cuadrado: Juan Sabia Construcciones con regla y compás Algunos ejemplos 3. Polı́gonos + bisectrices = Más polı́gonos Juan Sabia Construcciones con regla y compás Algunos ejemplos 3. Polı́gonos + bisectrices = Más polı́gonos Nuevamente, si a los ángulos centrales del cuadrado los partimos por la mitad, construimos un octógono regular: Juan Sabia Construcciones con regla y compás Algunos ejemplos 3. Polı́gonos + bisectrices = Más polı́gonos Nuevamente, si a los ángulos centrales del cuadrado los partimos por la mitad, construimos un octógono regular: Juan Sabia Construcciones con regla y compás Algunos ejemplos 3. Polı́gonos + bisectrices = Más polı́gonos Nuevamente, si a los ángulos centrales del cuadrado los partimos por la mitad, construimos un octógono regular: Y, si seguimos bisecando ángulos, vamos a poder construir polı́gonos regulares de 16, 32, 64, ... lados. Juan Sabia Construcciones con regla y compás Reglas básicas Juan Sabia Construcciones con regla y compás Reglas básicas Las reglas del juego o ¿qué se puede hacer? (y qué no) Juan Sabia Construcciones con regla y compás Reglas básicas Las reglas del juego o ¿qué se puede hacer? (y qué no) Tenemos entonces una regla sin marcas, un compás, un lápiz y una hoja de papel. Las reglas básicas son: Juan Sabia Construcciones con regla y compás Reglas básicas Las reglas del juego o ¿qué se puede hacer? (y qué no) Tenemos entonces una regla sin marcas, un compás, un lápiz y una hoja de papel. Las reglas básicas son: Marcamos dos puntos en la hoja para empezar. Juan Sabia Construcciones con regla y compás Reglas básicas Las reglas del juego o ¿qué se puede hacer? (y qué no) Tenemos entonces una regla sin marcas, un compás, un lápiz y una hoja de papel. Las reglas básicas son: Marcamos dos puntos en la hoja para empezar. Podemos trazar la recta que une a dos puntos marcados. Juan Sabia Construcciones con regla y compás Reglas básicas Las reglas del juego o ¿qué se puede hacer? (y qué no) Tenemos entonces una regla sin marcas, un compás, un lápiz y una hoja de papel. Las reglas básicas son: Marcamos dos puntos en la hoja para empezar. Podemos trazar la recta que une a dos puntos marcados. Podemos trazar la circunferencia con centro en un punto marcado y radio la distancia entre dos puntos marcados. Juan Sabia Construcciones con regla y compás Reglas básicas Las reglas del juego o ¿qué se puede hacer? (y qué no) Tenemos entonces una regla sin marcas, un compás, un lápiz y una hoja de papel. Las reglas básicas son: Marcamos dos puntos en la hoja para empezar. Podemos trazar la recta que une a dos puntos marcados. Podemos trazar la circunferencia con centro en un punto marcado y radio la distancia entre dos puntos marcados. Todos los puntos que se obtengan del corte de dos rectas, dos circunferencias o una recta y una circunferencia que pudimos dibujar, pasan a ser puntos marcados y los podemos usar para seguir dibujando. Juan Sabia Construcciones con regla y compás Ejemplo: Juan Sabia Construcciones con regla y compás Ejemplo: Juan Sabia Construcciones con regla y compás Ejemplo: Juan Sabia Construcciones con regla y compás Ejemplo: Juan Sabia Construcciones con regla y compás Ejemplo: Juan Sabia Construcciones con regla y compás Ejemplo: Juan Sabia Construcciones con regla y compás Ejemplo: Juan Sabia Construcciones con regla y compás Ejemplo: Juan Sabia Construcciones con regla y compás Ejemplo: Juan Sabia Construcciones con regla y compás Ejemplo: Juan Sabia Construcciones con regla y compás Ejemplo: Juan Sabia Construcciones con regla y compás Ejemplo: J resulta construible siguiendo las reglas establecidas. Juan Sabia Construcciones con regla y compás Reglas básicas - Definiciones Juan Sabia Construcciones con regla y compás Reglas básicas - Definiciones Cualquier construcción que podamos realizar a partir de estas reglas básicas se dirá construible con regla y compás y los puntos que resulten en cada paso de estas construcciones se llamarán puntos construibles. Juan Sabia Construcciones con regla y compás Reglas básicas - Definiciones Cualquier construcción que podamos realizar a partir de estas reglas básicas se dirá construible con regla y compás y los puntos que resulten en cada paso de estas construcciones se llamarán puntos construibles. Como ejemplo, con las construcciones anteriores hemos visto: Juan Sabia Construcciones con regla y compás Reglas básicas - Definiciones Cualquier construcción que podamos realizar a partir de estas reglas básicas se dirá construible con regla y compás y los puntos que resulten en cada paso de estas construcciones se llamarán puntos construibles. Como ejemplo, con las construcciones anteriores hemos visto: Que los polı́gonos regulares de 3, 6, 12, 24, ... (en general, los de 3 · 2n con n ≥ 1) lados son construibles con regla y compás. Juan Sabia Construcciones con regla y compás Reglas básicas - Definiciones Cualquier construcción que podamos realizar a partir de estas reglas básicas se dirá construible con regla y compás y los puntos que resulten en cada paso de estas construcciones se llamarán puntos construibles. Como ejemplo, con las construcciones anteriores hemos visto: Que los polı́gonos regulares de 3, 6, 12, 24, ... (en general, los de 3 · 2n con n ≥ 1) lados son construibles con regla y compás. Que los polı́gonos regulares de 4, 8, 16, 32, ... (en general, los de 2n con n ≥ 2 ) lados son construibles con regla y compás. Juan Sabia Construcciones con regla y compás Reglas básicas - Definiciones Cualquier construcción que podamos realizar a partir de estas reglas básicas se dirá construible con regla y compás y los puntos que resulten en cada paso de estas construcciones se llamarán puntos construibles. Como ejemplo, con las construcciones anteriores hemos visto: Que los polı́gonos regulares de 3, 6, 12, 24, ... (en general, los de 3 · 2n con n ≥ 1) lados son construibles con regla y compás. Que los polı́gonos regulares de 4, 8, 16, 32, ... (en general, los de 2n con n ≥ 2 ) lados son construibles con regla y compás. Que si nos dan tres puntos construibles, se puede bisecar el ángulo que determinan usando regla y compás. Juan Sabia Construcciones con regla y compás Más construcciones posibles 1. Perpendiculares Se puede construir con regla y compás la perpendicular por un punto a una recta dada por otros dos puntos. Juan Sabia Construcciones con regla y compás Más construcciones posibles 1. Perpendiculares Juan Sabia Construcciones con regla y compás Más construcciones posibles 1. Perpendiculares Paso 1: Tenemos entonces los tres puntos A, B y C en el papel y la recta que pasa por A y B. Juan Sabia Construcciones con regla y compás Más construcciones posibles 1. Perpendiculares Paso 1: Tenemos entonces los tres puntos A, B y C en el papel y la recta que pasa por A y B. Juan Sabia Construcciones con regla y compás Más construcciones posibles 1. Perpendiculares Paso 2: Ahora trazamos la circunferencia con centro en B que pasa por C . Juan Sabia Construcciones con regla y compás Más construcciones posibles 1. Perpendiculares Paso 2: Ahora trazamos la circunferencia con centro en B que pasa por C . Juan Sabia Construcciones con regla y compás Más construcciones posibles 1. Perpendiculares Paso 3: Ahora trazamos la circunferencia con centro A y que pasa por C . Juan Sabia Construcciones con regla y compás Más construcciones posibles 1. Perpendiculares Paso 3: Ahora trazamos la circunferencia con centro A y que pasa por C . Juan Sabia Construcciones con regla y compás Más construcciones posibles 1. Perpendiculares Paso 3: Ahora trazamos la circunferencia con centro A y que pasa por C . Llamemos D al punto de corte. Juan Sabia Construcciones con regla y compás Más construcciones posibles 1. Perpendiculares Paso 4: Trazamos la recta que une C y D. Juan Sabia Construcciones con regla y compás Más construcciones posibles 1. Perpendiculares Paso 4: Trazamos la recta que une C y D. Juan Sabia Construcciones con regla y compás Más construcciones posibles 1. Perpendiculares Paso 4: Trazamos la recta que une C y D. La recta CD es la perpendicular a AB que pasa por C . Juan Sabia Construcciones con regla y compás Más construcciones posibles 2. Paralelas También se puede construir con regla y compás la paralela por un punto a una recta dada por otros dos puntos. Juan Sabia Construcciones con regla y compás Más construcciones posibles 2. Paralelas Juan Sabia Construcciones con regla y compás Más construcciones posibles 2. Paralelas Paso 1: Tenemos entonces los tres puntos A, B y C en el papel y la recta que pasa por A y B. Juan Sabia Construcciones con regla y compás Más construcciones posibles 2. Paralelas Paso 1: Tenemos entonces los tres puntos A, B y C en el papel y la recta que pasa por A y B. Juan Sabia Construcciones con regla y compás Más construcciones posibles 2. Paralelas Paso 2: Aprovechemos la construcción anterior de la perpendicular CD. Juan Sabia Construcciones con regla y compás Más construcciones posibles 2. Paralelas Paso 2: Aprovechemos la construcción anterior de la perpendicular CD. Juan Sabia Construcciones con regla y compás Más construcciones posibles 2. Paralelas Paso 2: Aprovechemos la construcción anterior de la perpendicular CD. Llamemos E al punto de corte de las dos rectas. Juan Sabia Construcciones con regla y compás Más construcciones posibles 2. Paralelas Paso 3: Ahora trazamos la circunferencia con centro A y radio igual a la distancia de C a E . Juan Sabia Construcciones con regla y compás Más construcciones posibles 2. Paralelas Paso 3: Ahora trazamos la circunferencia con centro A y radio igual a la distancia de C a E . Juan Sabia Construcciones con regla y compás Más construcciones posibles 2. Paralelas Paso 4: Ahora trazamos la circunferencia con centro C y radio igual a la distancia de A a E . Juan Sabia Construcciones con regla y compás Más construcciones posibles 2. Paralelas Paso 4: Ahora trazamos la circunferencia con centro C y radio igual a la distancia de A a E . Juan Sabia Construcciones con regla y compás Más construcciones posibles 2. Paralelas Paso 4: Ahora trazamos la circunferencia con centro C y radio igual a la distancia de A a E . Llamemos F al punto de corte de las dos circunferencias. Juan Sabia Construcciones con regla y compás Más construcciones posibles 2. Paralelas Paso 5: Ahora trazamos la recta CF . Juan Sabia Construcciones con regla y compás Más construcciones posibles 2. Paralelas Paso 5: Ahora trazamos la recta CF . Juan Sabia Construcciones con regla y compás Más construcciones posibles 2. Paralelas Paso 5: Ahora trazamos la recta CF . La recta CF es la paralela a AB que pasa por C . Juan Sabia Construcciones con regla y compás Preguntas posibles Juan Sabia Construcciones con regla y compás Preguntas posibles La primera pregunta que surge es: ¿Podremos dibujar lo que se nos ocurra usando estas reglas? Y si no, ¿cuáles construcciones podremos hacer y cuáles no? Juan Sabia Construcciones con regla y compás Preguntas posibles La primera pregunta que surge es: ¿Podremos dibujar lo que se nos ocurra usando estas reglas? Y si no, ¿cuáles construcciones podremos hacer y cuáles no? Algunas de estas preguntas fueron formuladas ya por los matemáticos de la Grecia clásica hace más de 2000 años. Los griegos pensaban que la recta y la circunferencia eran curvas perfectas, y las construcciones que sólo se basaran en ellas también serı́an perfectas. Juan Sabia Construcciones con regla y compás Preguntas posibles La primera pregunta que surge es: ¿Podremos dibujar lo que se nos ocurra usando estas reglas? Y si no, ¿cuáles construcciones podremos hacer y cuáles no? Algunas de estas preguntas fueron formuladas ya por los matemáticos de la Grecia clásica hace más de 2000 años. Los griegos pensaban que la recta y la circunferencia eran curvas perfectas, y las construcciones que sólo se basaran en ellas también serı́an perfectas. Esencialmente, los griegos dejaron abiertos tres problemas sobre construcciones con regla y compás que fueron completamente resueltos recién en el siglo XIX. Juan Sabia Construcciones con regla y compás Problemas griegos: 1. Trisección del ángulo Juan Sabia Construcciones con regla y compás Problemas griegos: 1. Trisección del ángulo Ya vimos que, dados tres puntos, se puede bisecar el ángulo que forman usando las reglas establecidas. Juan Sabia Construcciones con regla y compás Problemas griegos: 1. Trisección del ángulo Ya vimos que, dados tres puntos, se puede bisecar el ángulo que forman usando las reglas establecidas. Un problema que trataron de responder los griegos es si hay alguna forma de, dados tres puntos, dividir el ángulo que forman en tres partes iguales utilizando sólo regla y compás. Juan Sabia Construcciones con regla y compás Problemas griegos: 1. Trisección del ángulo Ya vimos que, dados tres puntos, se puede bisecar el ángulo que forman usando las reglas establecidas. Un problema que trataron de responder los griegos es si hay alguna forma de, dados tres puntos, dividir el ángulo que forman en tres partes iguales utilizando sólo regla y compás. Juan Sabia Construcciones con regla y compás Problemas griegos: 1. Trisección del ángulo Ya vimos que, dados tres puntos, se puede bisecar el ángulo que forman usando las reglas establecidas. Un problema que trataron de responder los griegos es si hay alguna forma de, dados tres puntos, dividir el ángulo que forman en tres partes iguales utilizando sólo regla y compás. Éste se conoce como el problema de la trisección del ángulo. Juan Sabia Construcciones con regla y compás Problemas griegos: 2. Duplicación del cubo Juan Sabia Construcciones con regla y compás Problemas griegos: 2. Duplicación del cubo En el año 429 a. C. una peste asolaba a Atenas. Juan Sabia Construcciones con regla y compás Problemas griegos: 2. Duplicación del cubo En el año 429 a. C. una peste asolaba a Atenas. El Oráculo de Apolo fue consultado y la respuesta fue que, para detener la enfermedad, debı́an elaborar un nuevo altar en forma de cubo cuyo volumen duplicara el del altar cúbico ya existente. Juan Sabia Construcciones con regla y compás Problemas griegos: 2. Duplicación del cubo En el año 429 a. C. una peste asolaba a Atenas. El Oráculo de Apolo fue consultado y la respuesta fue que, para detener la enfermedad, debı́an elaborar un nuevo altar en forma de cubo cuyo volumen duplicara el del altar cúbico ya existente. Lo intentaron pero no pudieron. La peste desapareció pero el problema matemático no. Juan Sabia Construcciones con regla y compás Problemas griegos: 2. Duplicación del cubo En el año 429 a. C. una peste asolaba a Atenas. El Oráculo de Apolo fue consultado y la respuesta fue que, para detener la enfermedad, debı́an elaborar un nuevo altar en forma de cubo cuyo volumen duplicara el del altar cúbico ya existente. Lo intentaron pero no pudieron. La peste desapareció pero el problema matemático no. En términos de geometrı́a plana, podemos plantear el problema de la siguiente manera: Juan Sabia Construcciones con regla y compás Problemas griegos: 2. Duplicación del cubo Juan Sabia Construcciones con regla y compás Problemas griegos: 2. Duplicación del cubo Dada la siguiente plantilla para armar un cubo: Juan Sabia Construcciones con regla y compás Problemas griegos: 2. Duplicación del cubo Dada la siguiente plantilla para armar un cubo: Juan Sabia Construcciones con regla y compás Problemas griegos: 2. Duplicación del cubo Dada la siguiente plantilla para armar un cubo: ¿Será posible armar otra plantilla a partir de ésta usando regla y compás de forma tal que el nuevo cubo obtenido tenga exactamente el doble del volumen del original? Juan Sabia Construcciones con regla y compás Problemas griegos: 2. Duplicación del cubo Dada la siguiente plantilla para armar un cubo: ¿Será posible armar otra plantilla a partir de ésta usando regla y compás de forma tal que el nuevo cubo obtenido tenga exactamente el doble del volumen del original? Éste se conoce como el problema de la duplicación del cubo. Juan Sabia Construcciones con regla y compás Problemas griegos: 3. Cuadratura del cı́rculo Juan Sabia Construcciones con regla y compás Problemas griegos: 3. Cuadratura del cı́rculo Como para los griegos, el cı́rculo era una figura perfecta, consideraban que un cuadrado serı́a perfecto si tuviese su misma superficie. Juan Sabia Construcciones con regla y compás Problemas griegos: 3. Cuadratura del cı́rculo Como para los griegos, el cı́rculo era una figura perfecta, consideraban que un cuadrado serı́a perfecto si tuviese su misma superficie. Juan Sabia Construcciones con regla y compás Problemas griegos: 3. Cuadratura del cı́rculo Como para los griegos, el cı́rculo era una figura perfecta, consideraban que un cuadrado serı́a perfecto si tuviese su misma superficie. ¿Será posible construir, usando regla y compás, un cuadrado a partir de un cı́rculo con exactamente la misma superficie? Juan Sabia Construcciones con regla y compás Problemas griegos: 3. Cuadratura del cı́rculo Como para los griegos, el cı́rculo era una figura perfecta, consideraban que un cuadrado serı́a perfecto si tuviese su misma superficie. ¿Será posible construir, usando regla y compás, un cuadrado a partir de un cı́rculo con exactamente la misma superficie? Éste se conoce como el problema de la cuadratura del cı́rculo. Juan Sabia Construcciones con regla y compás Otro problema: Polı́gonos Juan Sabia Construcciones con regla y compás Otro problema: Polı́gonos Aunque no fue explı́citamente planteada por los griegos, otra pregunta que uno puede hacerse está relacionada con los polı́gonos regulares. Juan Sabia Construcciones con regla y compás Otro problema: Polı́gonos Aunque no fue explı́citamente planteada por los griegos, otra pregunta que uno puede hacerse está relacionada con los polı́gonos regulares. Ya vimos que los polı́gonos de 3, 6, 12, 24 ... lados son construibles con regla y compás. Y también los de 4, 8, 16, 32, ... lados. Pero, ¿y el pentágono? ¿Y los demás? Juan Sabia Construcciones con regla y compás Otro problema: Polı́gonos Aunque no fue explı́citamente planteada por los griegos, otra pregunta que uno puede hacerse está relacionada con los polı́gonos regulares. Ya vimos que los polı́gonos de 3, 6, 12, 24 ... lados son construibles con regla y compás. Y también los de 4, 8, 16, 32, ... lados. Pero, ¿y el pentágono? ¿Y los demás? La pregunta concreta es: Juan Sabia Construcciones con regla y compás Otro problema: Polı́gonos Aunque no fue explı́citamente planteada por los griegos, otra pregunta que uno puede hacerse está relacionada con los polı́gonos regulares. Ya vimos que los polı́gonos de 3, 6, 12, 24 ... lados son construibles con regla y compás. Y también los de 4, 8, 16, 32, ... lados. Pero, ¿y el pentágono? ¿Y los demás? La pregunta concreta es: ¿Para qué valores de n se puede construir un polı́gono regular de n lados con regla y compás? Juan Sabia Construcciones con regla y compás Un enfoque moderno: Coordenadas Juan Sabia Construcciones con regla y compás Un enfoque moderno: Coordenadas Vamos a relacionar la geometrı́a con los números. Y para eso vamos a trabajar en un par de ejes de coordenadas cartesianas. Juan Sabia Construcciones con regla y compás Un enfoque moderno: Coordenadas Vamos a relacionar la geometrı́a con los números. Y para eso vamos a trabajar en un par de ejes de coordenadas cartesianas. Juan Sabia Construcciones con regla y compás Un enfoque moderno: Coordenadas Vamos a relacionar la geometrı́a con los números. Y para eso vamos a trabajar en un par de ejes de coordenadas cartesianas. Como siempre partimos de un par de puntos A y B, podemos pensar que esos puntos son el (0, 0) y el (1, 0) en el plano. Juan Sabia Construcciones con regla y compás Números construibles Juan Sabia Construcciones con regla y compás Números construibles Definición: Se dice que un número real positivo es construible si es la distancia entre dos puntos construibles. Juan Sabia Construcciones con regla y compás Números construibles Definición: Se dice que un número real positivo es construible si es la distancia entre dos puntos construibles. Ejemplo 1: Juan Sabia Construcciones con regla y compás Números construibles Definición: Se dice que un número real positivo es construible si es la distancia entre dos puntos construibles. Ejemplo 1: Juan Sabia Construcciones con regla y compás Números construibles Definición: Se dice que un número real positivo es construible si es la distancia entre dos puntos construibles. Ejemplo 1: 1, 2, 3, 4, ... son números construibles pues son las distancias al (0, 0) de los puntos construidos sobre el eje x. Juan Sabia Construcciones con regla y compás Números construibles Juan Sabia Construcciones con regla y compás Números construibles Ejemplo 2: Juan Sabia Construcciones con regla y compás Números construibles Ejemplo 2: Volvamos por un momento al cuadrado que construimos: Juan Sabia Construcciones con regla y compás Números construibles Ejemplo 2: Volvamos por un momento al cuadrado que construimos: Juan Sabia Construcciones con regla y compás Números construibles Ejemplo 2: Observemos el triángulo rectángulo ABC Juan Sabia Construcciones con regla y compás Números construibles Ejemplo 2: Observemos el triángulo rectángulo ABC Juan Sabia Construcciones con regla y compás Números construibles Ejemplo 2: Observemos el triángulo rectángulo ABC El segmento BC es su hipotenusa. Aplicando Pitágoras: Juan Sabia Construcciones con regla y compás Números construibles Ejemplo 2: Observemos el triángulo rectángulo ABC El segmento BC es su hipotenusa. Aplicando Pitágoras: p √ d(B, C ) = 12 + 12 = 2 Juan Sabia Construcciones con regla y compás Números construibles Ejemplo 2: Observemos el triángulo rectángulo ABC El segmento BC es su hipotenusa. Aplicando Pitágoras: p √ d(B, C ) = 12 + 12 = 2 √ Por lo tanto, 2 resulta ser un número construible. Juan Sabia Construcciones con regla y compás Números construibles Juan Sabia Construcciones con regla y compás Números construibles Ejemplo 3: Juan Sabia Construcciones con regla y compás Números construibles Ejemplo 3: Consideremos ahora dos puntos A y B que estén a distancia a. Juan Sabia Construcciones con regla y compás Números construibles Ejemplo 3: Consideremos ahora dos puntos A y B que estén a distancia a. Juan Sabia Construcciones con regla y compás Números construibles Ejemplo 3: Y otros dos puntos C y D que estén a una distancia b menor. Juan Sabia Construcciones con regla y compás Números construibles Ejemplo 3: Y otros dos puntos C y D que estén a una distancia b menor. Juan Sabia Construcciones con regla y compás Números construibles Ejemplo 3: Tracemos la recta que pasa por A y B. Juan Sabia Construcciones con regla y compás Números construibles Ejemplo 3: Tracemos la recta que pasa por A y B. Juan Sabia Construcciones con regla y compás Números construibles Ejemplo 3: Tracemos la circunferencia con centro B y radio b = d(C , D). Juan Sabia Construcciones con regla y compás Números construibles Ejemplo 3: Tracemos la circunferencia con centro B y radio b = d(C , D). Juan Sabia Construcciones con regla y compás Números construibles Ejemplo 3: Tracemos la circunferencia con centro B y radio b = d(C , D). Llamemos E y F a los puntos de corte: Juan Sabia Construcciones con regla y compás Números construibles Ejemplo 3: Tracemos la circunferencia con centro B y radio b = d(C , D). Llamemos E y F a los puntos de corte: d(A, E ) = a + b Juan Sabia d(A, F ) = a − b Construcciones con regla y compás Números construibles Ejemplo 3: Tracemos la circunferencia con centro B y radio b = d(C , D). Llamemos E y F a los puntos de corte: d(A, E ) = a + b d(A, F ) = a − b Si a > b son construibles, entonces a + b y a − b son construibles. Juan Sabia Construcciones con regla y compás Números construibles: Resultado central Juan Sabia Construcciones con regla y compás Números construibles: Resultado central Teorema Un número positivo es construible si y sólo si se puede escribir usando los números naturales o cero (0, 1, 2, 3, 4, ...), las √ operaciones +, −, ×, ÷ y la raı́z cuadrada Juan Sabia Construcciones con regla y compás Números construibles: Resultado central Teorema Un número positivo es construible si y sólo si se puede escribir usando los números naturales o cero (0, 1, 2, 3, 4, ...), las √ operaciones +, −, ×, ÷ y la raı́z cuadrada Por ejemplo, Juan Sabia Construcciones con regla y compás Números construibles: Resultado central Teorema Un número positivo es construible si y sólo si se puede escribir usando los números naturales o cero (0, 1, 2, 3, 4, ...), las √ operaciones +, −, ×, ÷ y la raı́z cuadrada Por ejemplo, √ 5, 74 , 2, Juan Sabia Construcciones con regla y compás Números construibles: Resultado central Teorema Un número positivo es construible si y sólo si se puede escribir usando los números naturales o cero (0, 1, 2, 3, 4, ...), las √ operaciones +, −, ×, ÷ y la raı́z cuadrada Por ejemplo, √ 5, 74 , 2, √ 5−1 4 Juan Sabia Construcciones con regla y compás Números construibles: Resultado central Teorema Un número positivo es construible si y sólo si se puede escribir usando los números naturales o cero (0, 1, 2, 3, 4, ...), las √ operaciones +, −, ×, ÷ y la raı́z cuadrada Por ejemplo, √ 5, 74 , 2, √ 5−1 4 √ 1 1 − 16 + 16 17 q + 18 p √ 34 − 2 17+ p p √ √ √ 17 + 3 17 − 34 − 2 17 − 2 34 + 2 17 + 1 16 Juan Sabia Construcciones con regla y compás Números construibles: Resultado central Teorema Un número positivo es construible si y sólo si se puede escribir usando los números naturales o cero (0, 1, 2, 3, 4, ...), las √ operaciones +, −, ×, ÷ y la raı́z cuadrada Por ejemplo, √ 5, 74 , 2, √ 5−1 4 √ 1 1 − 16 + 16 17 q + 18 p √ 34 − 2 17+ p p √ √ √ 17 + 3 17 − 34 − 2 17 − 2 34 + 2 17 + 1 16 resultan ser números construibles. Juan Sabia Construcciones con regla y compás Números no construibles A partir de la caracterización anterior, se puede probar usando álgebra moderna que hay números no construibles. Juan Sabia Construcciones con regla y compás Números no construibles A partir de la caracterización anterior, se puede probar usando álgebra moderna que hay números no construibles. Por ejemplo, tomemos una ecuación Juan Sabia Construcciones con regla y compás Números no construibles A partir de la caracterización anterior, se puede probar usando álgebra moderna que hay números no construibles. Por ejemplo, tomemos una ecuación aX 3 + bX 2 + cX + d = 0 Juan Sabia Construcciones con regla y compás Números no construibles A partir de la caracterización anterior, se puede probar usando álgebra moderna que hay números no construibles. Por ejemplo, tomemos una ecuación aX 3 + bX 2 + cX + d = 0 donde a, b, c y d son números enteros, a 6= 0. Juan Sabia Construcciones con regla y compás Números no construibles A partir de la caracterización anterior, se puede probar usando álgebra moderna que hay números no construibles. Por ejemplo, tomemos una ecuación aX 3 + bX 2 + cX + d = 0 donde a, b, c y d son números enteros, a 6= 0. Teorema Si la ecuación no tiene soluciones del tipo fe con e y f enteros, entonces sus soluciones positivas son números no construibles. Juan Sabia Construcciones con regla y compás Números no construibles Por ejemplo, consideremos la ecuación: Juan Sabia Construcciones con regla y compás Números no construibles Por ejemplo, consideremos la ecuación: X3 − 2 = 0 Juan Sabia Construcciones con regla y compás Números no construibles Por ejemplo, consideremos la ecuación: X3 − 2 = 0 Sus coeficientes son enteros (1 para X 3 , 0 para X 2 y para X y −2 sin X ). Juan Sabia Construcciones con regla y compás Números no construibles Por ejemplo, consideremos la ecuación: X3 − 2 = 0 Sus coeficientes son enteros (1 para X 3 , 0 para X 2 y para X y −2 sin X ). Un criterio (el Lema de Gauss) asegura que las únicas soluciones racionales posibles son ±1 o ±2 pero ninguna sirve. Juan Sabia Construcciones con regla y compás Números no construibles Por ejemplo, consideremos la ecuación: X3 − 2 = 0 Sus coeficientes son enteros (1 para X 3 , 0 para X 2 y para X y −2 sin X ). Un criterio (el Lema de Gauss) asegura que las únicas soluciones racionales posibles son ±1 o ±2 pero ninguna sirve. √ 3 2 es positivo y es solución de la ecuación. Juan Sabia Construcciones con regla y compás Números no construibles Por ejemplo, consideremos la ecuación: X3 − 2 = 0 Sus coeficientes son enteros (1 para X 3 , 0 para X 2 y para X y −2 sin X ). Un criterio (el Lema de Gauss) asegura que las únicas soluciones racionales posibles son ±1 o ±2 pero ninguna sirve. √ 3 2 es positivo y es solución de la ecuación. Corolario √ 3 2 no es un número construible (es decir, no puede escribirse usando los números naturales o cero (0, 1, 2, 3, 4, ...), las √ operaciones +, −, ×, ÷ y la raı́z cuadrada ) Juan Sabia Construcciones con regla y compás Problemas griegos: Respuestas Juan Sabia Construcciones con regla y compás Problemas griegos: Respuestas 1. Duplicación del cubo: Juan Sabia Construcciones con regla y compás Problemas griegos: Respuestas 1. Duplicación del cubo: Juan Sabia Construcciones con regla y compás Problemas griegos: Respuestas 1. Duplicación del cubo: Si consideramos la plantilla donde A = (0, 0) y B = (1, 0), el lado del cubo mide entonces 1. Juan Sabia Construcciones con regla y compás Problemas griegos: Respuestas 1. Duplicación del cubo: Si consideramos la plantilla donde A = (0, 0) y B = (1, 0), el lado del cubo mide entonces 1. Su volumen es V = `3 = 13 = 1. Juan Sabia Construcciones con regla y compás Problemas griegos: Respuestas Juan Sabia Construcciones con regla y compás Problemas griegos: Respuestas 1. Duplicación del cubo: Juan Sabia Construcciones con regla y compás Problemas griegos: Respuestas 1. Duplicación del cubo: Por lo tanto, si queremos duplicar su volumen, tendrı́amos que tener un cubo de volumen V = `3 = 2 Juan Sabia Construcciones con regla y compás Problemas griegos: Respuestas 1. Duplicación del cubo: Por lo tanto, si queremos duplicar su volumen, tendrı́amos que tener un cubo de volumen V = `3 = 2 Para eso, deberı́amos poder construir un cubo de lado ` = Juan Sabia Construcciones con regla y compás √ 3 2. Problemas griegos: Respuestas 1. Duplicación del cubo: Por lo tanto, si queremos duplicar su volumen, tendrı́amos que tener un cubo de volumen V = `3 = 2 Para eso, deberı́amos poder construir un cubo de lado ` = ¡Pero acabamos de ver que √ 3 2 no es construible! Juan Sabia Construcciones con regla y compás √ 3 2. Problemas griegos: Respuestas 1. Duplicación del cubo: Por lo tanto, si queremos duplicar su volumen, tendrı́amos que tener un cubo de volumen V = `3 = 2 Para eso, deberı́amos poder construir un cubo de lado ` = ¡Pero acabamos de ver que √ 3 2 no es construible! Corolario No se puede duplicar el cubo con regla y compás. Juan Sabia Construcciones con regla y compás √ 3 2. Problemas griegos: Respuestas Juan Sabia Construcciones con regla y compás Problemas griegos: Respuestas 2. Trisección del ángulo: Juan Sabia Construcciones con regla y compás Problemas griegos: Respuestas 2. Trisección del ángulo: [ de 120◦ . Supongamos que queremos trisecar el ángulo BAG Juan Sabia Construcciones con regla y compás Problemas griegos: Respuestas 2. Trisección del ángulo: [ de 120◦ . Supongamos que queremos trisecar el ángulo BAG Juan Sabia Construcciones con regla y compás Problemas griegos: Respuestas 2. Trisección del ángulo: d de 40◦ . Entonces tendrı́amos que poder construir el ángulo IAB Juan Sabia Construcciones con regla y compás Problemas griegos: Respuestas 2. Trisección del ángulo: d de 40◦ . Entonces tendrı́amos que poder construir el ángulo IAB Juan Sabia Construcciones con regla y compás Problemas griegos: Respuestas 2. Trisección del ángulo: Trazamos la perpendicular a la recta AB por I . Juan Sabia Construcciones con regla y compás Problemas griegos: Respuestas 2. Trisección del ángulo: Trazamos la perpendicular a la recta AB por I . Juan Sabia Construcciones con regla y compás Problemas griegos: Respuestas 2. Trisección del ángulo: Trazamos la perpendicular a la recta AB por I . Consideraciones trigonométricas dicen que la distancia entre A y J es igual a D = cos(40◦ ) y que esta cantidad satisface la ecuación Juan Sabia Construcciones con regla y compás Problemas griegos: Respuestas 2. Trisección del ángulo: Trazamos la perpendicular a la recta AB por I . Consideraciones trigonométricas dicen que la distancia entre A y J es igual a D = cos(40◦ ) y que esta cantidad satisface la ecuación 8X 3 − 3X − 1 = 0 Juan Sabia Construcciones con regla y compás Problemas griegos: Respuestas Juan Sabia Construcciones con regla y compás Problemas griegos: Respuestas 2. Trisección del ángulo: Juan Sabia Construcciones con regla y compás Problemas griegos: Respuestas 2. Trisección del ángulo: Dada la ecuación: Juan Sabia Construcciones con regla y compás Problemas griegos: Respuestas 2. Trisección del ángulo: Dada la ecuación: 8X 3 − 3X − 1 = 0 Juan Sabia Construcciones con regla y compás Problemas griegos: Respuestas 2. Trisección del ángulo: Dada la ecuación: 8X 3 − 3X − 1 = 0 Sus coeficientes son enteros. Juan Sabia Construcciones con regla y compás Problemas griegos: Respuestas 2. Trisección del ángulo: Dada la ecuación: 8X 3 − 3X − 1 = 0 Sus coeficientes son enteros. Un criterio (el Lema de Gauss) asegura que no tiene soluciones racionales (las únicas posibles son ±1, ± 12 , ± 14 y ± 18 y ninguna sirve). Juan Sabia Construcciones con regla y compás Problemas griegos: Respuestas 2. Trisección del ángulo: Dada la ecuación: 8X 3 − 3X − 1 = 0 Sus coeficientes son enteros. Un criterio (el Lema de Gauss) asegura que no tiene soluciones racionales (las únicas posibles son ±1, ± 12 , ± 14 y ± 18 y ninguna sirve). La distancia entre A y J (cos(40◦ )) es solución positiva de la ecuación. Juan Sabia Construcciones con regla y compás Problemas griegos: Respuestas 2. Trisección del ángulo: Dada la ecuación: 8X 3 − 3X − 1 = 0 Sus coeficientes son enteros. Un criterio (el Lema de Gauss) asegura que no tiene soluciones racionales (las únicas posibles son ±1, ± 12 , ± 14 y ± 18 y ninguna sirve). La distancia entre A y J (cos(40◦ )) es solución positiva de la ecuación. Corolario La distancia de A a J no es construible con regla y compás. Juan Sabia Construcciones con regla y compás Problemas griegos: Respuestas Juan Sabia Construcciones con regla y compás Problemas griegos: Respuestas 2. Trisección del ángulo: Juan Sabia Construcciones con regla y compás Problemas griegos: Respuestas 2. Trisección del ángulo: Juan Sabia Construcciones con regla y compás Problemas griegos: Respuestas 2. Trisección del ángulo: Si la distancia de A a J no es construible, el punto J no es construible. Juan Sabia Construcciones con regla y compás Problemas griegos: Respuestas 2. Trisección del ángulo: Y si el punto J no es construible, el punto I no es construible. Juan Sabia Construcciones con regla y compás Problemas griegos: Respuestas 2. Trisección del ángulo: Luego: Juan Sabia Construcciones con regla y compás Problemas griegos: Respuestas 2. Trisección del ángulo: Luego: Corolario 1 El ángulo de 120◦ no se puede trisecar con regla y compás. Juan Sabia Construcciones con regla y compás Problemas griegos: Respuestas 2. Trisección del ángulo: Luego: Corolario 1 El ángulo de 120◦ no se puede trisecar con regla y compás. Corolario 2 No se puede construir un eneágono regular con regla y compás. Juan Sabia Construcciones con regla y compás Problemas griegos: Respuestas Juan Sabia Construcciones con regla y compás Problemas griegos: Respuestas 3. Cuadratura del cı́rculo: Juan Sabia Construcciones con regla y compás Problemas griegos: Respuestas 3. Cuadratura del cı́rculo: Supongamos que queremos cuadrar el cı́rculo del dibujo donde A = (0, 0) y B = (1, 0): Juan Sabia Construcciones con regla y compás Problemas griegos: Respuestas 3. Cuadratura del cı́rculo: Supongamos que queremos cuadrar el cı́rculo del dibujo donde A = (0, 0) y B = (1, 0): Juan Sabia Construcciones con regla y compás Problemas griegos: Respuestas 3. Cuadratura del cı́rculo: Supongamos que queremos cuadrar el cı́rculo del dibujo donde A = (0, 0) y B = (1, 0): La superficie del cı́rculo es S = πr 2 = π. Juan Sabia Construcciones con regla y compás Problemas griegos: Respuestas 3. Cuadratura del cı́rculo: Supongamos que queremos cuadrar el cı́rculo del dibujo donde A = (0, 0) y B = (1, 0): La superficie del cı́rculo es S = πr 2 = π. Entonces, la superficie del cuadrado debe ser π = `2 . Juan Sabia Construcciones con regla y compás Problemas griegos: Respuestas 3. Cuadratura del cı́rculo: Supongamos que queremos cuadrar el cı́rculo del dibujo donde A = (0, 0) y B = (1, 0): La superficie del cı́rculo es S = πr 2 = π. Entonces, la superficie del cuadrado debe ser π = `2 . Y la distancia entre D y F deberı́a ser ` = Juan Sabia √ π. Construcciones con regla y compás Problemas griegos: Respuestas Juan Sabia Construcciones con regla y compás Problemas griegos: Respuestas 3. Cuadratura del cı́rculo: Juan Sabia Construcciones con regla y compás Problemas griegos: Respuestas 3. Cuadratura del cı́rculo: Es decir, para que el cı́rculo se pudiese cuadrar, número construible. Juan Sabia √ π deberı́a ser un Construcciones con regla y compás Problemas griegos: Respuestas 3. Cuadratura del cı́rculo: Es decir, para que el cı́rculo se pudiese cuadrar, número construible. √ π deberı́a ser un Teorema (Lindemann, 1882) El número π no se puede escribir usando los números naturales o cero (0, 1, 2, 3, 4, ...), las operaciones +, −, √ (es decir, no es construible) ×, ÷ y la raı́z cuadrada Juan Sabia Construcciones con regla y compás Problemas griegos: Respuestas 3. Cuadratura del cı́rculo: Es decir, para que el cı́rculo se pudiese cuadrar, número construible. √ π deberı́a ser un Teorema (Lindemann, 1882) El número π no se puede escribir usando los números naturales o cero (0, 1, 2, 3, 4, ...), las operaciones +, −, √ (es decir, no es construible) ×, ÷ y la raı́z cuadrada Corolario 1 El número √ π no es construible. Juan Sabia Construcciones con regla y compás Problemas griegos: Respuestas 3. Cuadratura del cı́rculo: Es decir, para que el cı́rculo se pudiese cuadrar, número construible. √ π deberı́a ser un Teorema (Lindemann, 1882) El número π no se puede escribir usando los números naturales o cero (0, 1, 2, 3, 4, ...), las operaciones +, −, √ (es decir, no es construible) ×, ÷ y la raı́z cuadrada Corolario 1 El número √ π no es construible. Corolario 2 El cı́rculo no se puede cuadrar con regla y compás. Juan Sabia Construcciones con regla y compás Polı́gonos regulares: Respuestas Juan Sabia Construcciones con regla y compás Polı́gonos regulares: Respuestas Consideremos ahora al pentágono regular. Juan Sabia Construcciones con regla y compás Polı́gonos regulares: Respuestas Consideremos ahora al pentágono regular. Juan Sabia Construcciones con regla y compás Polı́gonos regulares: Respuestas Tracemos la paralela al eje y por el punto J. Juan Sabia Construcciones con regla y compás Polı́gonos regulares: Respuestas Tracemos la paralela al eje y por el punto J. Juan Sabia Construcciones con regla y compás Polı́gonos regulares: Respuestas Tracemos la paralela al eje y por el punto J. √ Se puede probar que la distancia de A a C es igual a un número construible. Juan Sabia Construcciones con regla y compás 5−1 4 que es Polı́gonos regulares: Respuestas Tracemos la paralela al eje y por el punto J. √ Se puede probar que la distancia de A a C es igual a un número construible. Resultado El polı́gono regular de 5 lados (y el de 10, 20, 40, ...) es construible con regla y compás. Juan Sabia Construcciones con regla y compás 5−1 4 que es Polı́gonos regulares: Respuestas Juan Sabia Construcciones con regla y compás Polı́gonos regulares: Respuestas Teorema 1 (Gauss (1796)-Wantzel (1837)) Un polı́gono regular de p lados (p un número primo) es construible con regla y compás si y sólo si p − 1 es una potencia de 2. Juan Sabia Construcciones con regla y compás Polı́gonos regulares: Respuestas Teorema 1 (Gauss (1796)-Wantzel (1837)) Un polı́gono regular de p lados (p un número primo) es construible con regla y compás si y sólo si p − 1 es una potencia de 2. Ejemplos: Juan Sabia Construcciones con regla y compás Polı́gonos regulares: Respuestas Teorema 1 (Gauss (1796)-Wantzel (1837)) Un polı́gono regular de p lados (p un número primo) es construible con regla y compás si y sólo si p − 1 es una potencia de 2. Ejemplos: De 3 y 5 lados Juan Sabia Construcciones con regla y compás Polı́gonos regulares: Respuestas Teorema 1 (Gauss (1796)-Wantzel (1837)) Un polı́gono regular de p lados (p un número primo) es construible con regla y compás si y sólo si p − 1 es una potencia de 2. Ejemplos: De 3 y 5 lados → construibles. Juan Sabia Construcciones con regla y compás Polı́gonos regulares: Respuestas Teorema 1 (Gauss (1796)-Wantzel (1837)) Un polı́gono regular de p lados (p un número primo) es construible con regla y compás si y sólo si p − 1 es una potencia de 2. Ejemplos: De 3 y 5 lados → construibles. De 7, 11, 13 y 19 lados Juan Sabia Construcciones con regla y compás Polı́gonos regulares: Respuestas Teorema 1 (Gauss (1796)-Wantzel (1837)) Un polı́gono regular de p lados (p un número primo) es construible con regla y compás si y sólo si p − 1 es una potencia de 2. Ejemplos: De 3 y 5 lados → construibles. De 7, 11, 13 y 19 lados → no construibles. Juan Sabia Construcciones con regla y compás Polı́gonos regulares: Respuestas Juan Sabia Construcciones con regla y compás Polı́gonos regulares: Respuestas Teorema 2 (Gauss (1796)-Wantzel (1837)) Un polı́gono regular de n lados es construible con regla y compás si y sólo si cuando factorizamos a n como producto de primos sólo aparece una potencia de dos y primos impares distintos tales que al restarles 1 a cada uno dan potencias de dos. Juan Sabia Construcciones con regla y compás Polı́gonos regulares: Respuestas Teorema 2 (Gauss (1796)-Wantzel (1837)) Un polı́gono regular de n lados es construible con regla y compás si y sólo si cuando factorizamos a n como producto de primos sólo aparece una potencia de dos y primos impares distintos tales que al restarles 1 a cada uno dan potencias de dos. Ejemplos: Juan Sabia Construcciones con regla y compás Polı́gonos regulares: Respuestas Teorema 2 (Gauss (1796)-Wantzel (1837)) Un polı́gono regular de n lados es construible con regla y compás si y sólo si cuando factorizamos a n como producto de primos sólo aparece una potencia de dos y primos impares distintos tales que al restarles 1 a cada uno dan potencias de dos. Ejemplos: De 15 = 3 · 5 lados Juan Sabia Construcciones con regla y compás Polı́gonos regulares: Respuestas Teorema 2 (Gauss (1796)-Wantzel (1837)) Un polı́gono regular de n lados es construible con regla y compás si y sólo si cuando factorizamos a n como producto de primos sólo aparece una potencia de dos y primos impares distintos tales que al restarles 1 a cada uno dan potencias de dos. Ejemplos: De 15 = 3 · 5 lados → construible Juan Sabia Construcciones con regla y compás Polı́gonos regulares: Respuestas Teorema 2 (Gauss (1796)-Wantzel (1837)) Un polı́gono regular de n lados es construible con regla y compás si y sólo si cuando factorizamos a n como producto de primos sólo aparece una potencia de dos y primos impares distintos tales que al restarles 1 a cada uno dan potencias de dos. Ejemplos: De 15 = 3 · 5 lados → construible De 140 = 22 · 5 · 7 lados Juan Sabia Construcciones con regla y compás Polı́gonos regulares: Respuestas Teorema 2 (Gauss (1796)-Wantzel (1837)) Un polı́gono regular de n lados es construible con regla y compás si y sólo si cuando factorizamos a n como producto de primos sólo aparece una potencia de dos y primos impares distintos tales que al restarles 1 a cada uno dan potencias de dos. Ejemplos: De 15 = 3 · 5 lados → construible De 140 = 22 · 5 · 7 lados → no construible Juan Sabia Construcciones con regla y compás Polı́gonos regulares: Respuestas Teorema 2 (Gauss (1796)-Wantzel (1837)) Un polı́gono regular de n lados es construible con regla y compás si y sólo si cuando factorizamos a n como producto de primos sólo aparece una potencia de dos y primos impares distintos tales que al restarles 1 a cada uno dan potencias de dos. Ejemplos: De 15 = 3 · 5 lados → construible De 140 = 22 · 5 · 7 lados → no construible De 60 = 22 · 3 · 5 lados Juan Sabia Construcciones con regla y compás Polı́gonos regulares: Respuestas Teorema 2 (Gauss (1796)-Wantzel (1837)) Un polı́gono regular de n lados es construible con regla y compás si y sólo si cuando factorizamos a n como producto de primos sólo aparece una potencia de dos y primos impares distintos tales que al restarles 1 a cada uno dan potencias de dos. Ejemplos: De 15 = 3 · 5 lados → construible De 140 = 22 · 5 · 7 lados → no construible De 60 = 22 · 3 · 5 lados → construible Juan Sabia Construcciones con regla y compás Polı́gonos regulares: Respuestas Teorema 2 (Gauss (1796)-Wantzel (1837)) Un polı́gono regular de n lados es construible con regla y compás si y sólo si cuando factorizamos a n como producto de primos sólo aparece una potencia de dos y primos impares distintos tales que al restarles 1 a cada uno dan potencias de dos. Ejemplos: De 15 = 3 · 5 lados → construible De 140 = 22 · 5 · 7 lados → no construible De 60 = 22 · 3 · 5 lados → construible De 180 = 22 · 32 · 5 lados Juan Sabia Construcciones con regla y compás Polı́gonos regulares: Respuestas Teorema 2 (Gauss (1796)-Wantzel (1837)) Un polı́gono regular de n lados es construible con regla y compás si y sólo si cuando factorizamos a n como producto de primos sólo aparece una potencia de dos y primos impares distintos tales que al restarles 1 a cada uno dan potencias de dos. Ejemplos: De 15 = 3 · 5 lados → construible De 140 = 22 · 5 · 7 lados → no construible De 60 = 22 · 3 · 5 lados → construible De 180 = 22 · 32 · 5 lados → no construible Juan Sabia Construcciones con regla y compás Polı́gonos regulares: 17 lados Juan Sabia Construcciones con regla y compás Polı́gonos regulares: 17 lados Si dibujamos un polı́gono regular de 17 lados, Juan Sabia Construcciones con regla y compás Polı́gonos regulares: 17 lados Si dibujamos un polı́gono regular de 17 lados, Juan Sabia Construcciones con regla y compás Polı́gonos regulares: 17 lados Si dibujamos un polı́gono regular de 17 lados, se puede probar que la distancia de A a S es igual a Juan Sabia Construcciones con regla y compás Polı́gonos regulares: 17 lados Juan Sabia Construcciones con regla y compás Polı́gonos regulares: 17 lados p √ √ 1 1 1 + 16 d(A, S) = − 16 17 + 16 34 − 2 17+ q p p √ √ √ + 18 17 + 3 17 − 34 − 2 17 − 2 34 + 2 17 Juan Sabia Construcciones con regla y compás Polı́gonos regulares: 17 lados p √ √ 1 1 1 + 16 d(A, S) = − 16 17 + 16 34 − 2 17+ q p p √ √ √ + 18 17 + 3 17 − 34 − 2 17 − 2 34 + 2 17 ¡Luego, d(A, S) es un número construible! Juan Sabia Construcciones con regla y compás Polı́gonos regulares: 17 lados p √ √ 1 1 1 + 16 d(A, S) = − 16 17 + 16 34 − 2 17+ q p p √ √ √ + 18 17 + 3 17 − 34 − 2 17 − 2 34 + 2 17 ¡Luego, d(A, S) es un número construible! Resultado El polı́gono regular de 17 lados (y el de 34, 68, ...) es construible con regla y compás. Juan Sabia Construcciones con regla y compás Polı́gonos regulares: 17 lados p √ √ 1 1 1 + 16 d(A, S) = − 16 17 + 16 34 − 2 17+ q p p √ √ √ + 18 17 + 3 17 − 34 − 2 17 − 2 34 + 2 17 ¡Luego, d(A, S) es un número construible! Resultado El polı́gono regular de 17 lados (y el de 34, 68, ...) es construible con regla y compás. Pero esto ya lo sabı́amos: Juan Sabia Construcciones con regla y compás Polı́gonos regulares: 17 lados p √ √ 1 1 1 + 16 d(A, S) = − 16 17 + 16 34 − 2 17+ q p p √ √ √ + 18 17 + 3 17 − 34 − 2 17 − 2 34 + 2 17 ¡Luego, d(A, S) es un número construible! Resultado El polı́gono regular de 17 lados (y el de 34, 68, ...) es construible con regla y compás. Pero esto ya lo sabı́amos: 17 es un número primo, y 17 − 1 = 16 = 24 . Juan Sabia Construcciones con regla y compás Último comentario Juan Sabia Construcciones con regla y compás Último comentario Los únicos números primos que se conocen que al restarles 1 da una potencia de dos son: Juan Sabia Construcciones con regla y compás Último comentario Los únicos números primos que se conocen que al restarles 1 da una potencia de dos son: 3 = 21 + 1 5 = 22 + 1 17 = 24 + 1 257 = 28 + 1 65537 = 216 + 1 Juan Sabia Construcciones con regla y compás Último comentario Los únicos números primos que se conocen que al restarles 1 da una potencia de dos son: 3 = 21 + 1 5 = 22 + 1 17 = 24 + 1 257 = 28 + 1 65537 = 216 + 1 Conjetura Hay infinitos números primos de esta forma. Juan Sabia Construcciones con regla y compás Juan Sabia Construcciones con regla y compás [email protected] Juan Sabia Construcciones con regla y compás [email protected] ¡MUCHAS GRACIAS! Juan Sabia Construcciones con regla y compás
