PRUEBA HIPOTESIS PROPORCION 2

FUNDACION CENTRO COLOMBIANO DE ESTUDIOS
PROFESIONALES.
AREA: ESTADISTICA INFERENCIAL
PERIODO ACADEMICO: II-2010
PRUEBA DE HIPÓTESIS PROPORCION
NOMBRE:
SEMESTRE:
Nº
FECHA:
PRUEBA DE HIPOTESIS PARA LA PROPORCION
1. Se selecciona una muestra aleatoria y se calcula la proporción
dado que se conoce X, e n.
2. Se compara el valor de este estadístico p, con el valor del
parámetro 𝜋 = 𝜇 , establecido en la Hipótesis nula Ho, con el fin
de determinar si se rechaza o se acepta la hipótesis nula Ho.
3. Calculamos la Z para la proporción.
𝑝−𝜋
𝑍=
√𝑝(1 − 𝑝)
𝑛
METODO DEL VALOR CRITICO:
El método consiste en hallar:
1. Z, entonces 𝑍1 < 𝑍 < 𝑍2 / 𝑃1 < 𝑝 < 𝑃2 .
2. Comparar el Z con los extremos del intervalo y observar, que,
quede ubicado dentro de la región de aceptación del intervalo Z,
para la aceptación de la hipótesis 𝐻0 , De lo contrario se rechaza
𝐻0 .
EJEMPLO:
La revista Wall Street en un estudio de los negocios caseros, realizo una
investigación sobre la propiedad de estos negocios, si eran de mujeres
o hombres y el estudio arrojo que de 900 negocios caseros, 369 eran de
propiedad de las mujeres.
Se pretende conocer si la proporción de negocios caseros son de
propiedad de las mujeres, con un 0.5, por lo tanto la proporción de
negocios de propiedad de los hombres es 0.5. Utilizar una prueba de
dos colas, con una selección de nivel de significancia de 0.05.
METODO DEL VALOR CRITICO Z.
1. La Prueba de hipótesis:
Hipótesis nula:𝐻0 : 𝜋 = 0.5.
Hipótesis alternativa: 𝐻1 : 𝜋 ≠ 0.5
2. Se desea conocer si la proporción de negocios caseros de
propiedad de mujeres es 0.5, con un nivel de significancia de 0.05.
ZONA DE RECHAZO
Para 𝑍1 =-5.38, el área es A = 0.000000019 = 𝑝1
Para 𝑍1 =+5.38, el área es A = 1- 0.999999981
0.000000019 = 𝑝2
La suma de las dos colas 𝑝1 + 𝑝2 = 0.000000019 + 0.000000019 =
0.000000038.
Como vr-p = 0.000000038 < 0.05 = α.
Entonces se rechaza la 𝐻0 : 𝜋 = 0.05.
Como el vr-p es tan pequeño, nos indica que no hay posibilidades de
que la proporción muestral alcance un valor tan pequeño como 0.41, si
la proporción poblacional es 0.5 = 𝜋.
METODO DEL VALOR CRÍTICO 𝑋̅𝑖 .
Como ya se tiene el valor de Z1=-1.96 y Z2=+1.96, entonces
determinamos los limites del intervalo que son:
𝑋̅𝑖 = 𝜇 ± 𝑍𝑖 𝜎𝑝
̅
Para Z1=-1.96, entonces 𝑋1 = 𝜇 − 𝑍1 𝜎𝑝
= 0.5 − (1.96)(0.0167)
= 0.5 − 0.0327
= 0.4673
Para Z1=-1.96, entonces 𝑋̅2 = 𝜇 + 𝑍2 𝜎𝑝
= 0.5 + (1.96)(0.0167)
= 0.5 + 0.0327
= 0.5327
El intervalo de los limites de la proporción son:
0.4673 < 𝑝 < 0.5327
Como Z = - 5.38 no esta dentro del intervalo [0.4673;0.5327].
EJEMPLO 2: Una cadena de comidas rápidas acaba de desarrollar un
novedoso proceso para asegurar de que los pedidos de servicio en auto
se entregan de manera correcta. Co el proceso anterior, los pedidos se
entregan correctamente el 88% de veces. Se selecciono una muestra de
100 pedidos despachados, utilizando el nuevo proceso, de los cuales 92
se entregaron en forma correcta con un nivel de significancia del 0.01.
1. Hipótesis nula:𝐻0 : 𝜋 ≤ 0.88 . La proporción de pedidos entregado
correctamente es menor o igual a 0.88.
Hipótesis alternativa: 𝐻1 : 𝜋 > 0.88. La proporción de pedidos
entregados correctamente es mayor a 0.88.
PRUEBA DE UNA COLA EN LA PARTE SUPERIOR.
2. X = 92 n = 100
La proporción es: 𝑝 =
3.
A=0.025
𝜎𝑝 = √
A=0.025
=
92
100
= 0.92
La desviación estándar de la proporción.
ZONA DE RECHAZO
4.
𝑥
𝑛
𝜋(1 − 𝜋)
0.88(1 − 0.88)
=√
= 0.0325
𝑛
100
Como el nivel de significancia es α=0.01
Si α=0.01, entonces el área vale 0.01 y el 𝑍1 = −2.33 𝑍2 = 2.33.
Tomamos la zona mayor que 2.33 como de rechazo.
REGION DE ACEPTACION
REGION DE RECHAZO
- 5.38
3.
4.
5.
-1.96
0
1.96
Para A = 0.025, tenemos que Z1 = −1.96 y Z2 = +1.96.
El intervalo de valores críticos para Z es:
−1.96 < 𝑍 < +1.96
Para calcular la proporción: x = 369,
n = 900
x
369
p= =
= 0.41
n
900
La desviación estándar de la proporción es:
π(1 − π)
0.5(1 − 0.5)
σX̅ = √
= √
= 0.0167
n
900
6. Hallamos la unidades estandarizadas
𝑝−𝜋
0.41 − 0.5
𝑍=
=
= −5.38
𝜎𝑋̅
0.0167
Analizamos Z = -5.38 con relación al Intervalo de valores críticos Z,
y tenemos que:
Z = -5.38 < - 1.96 = 𝑍1 . Queda por fuera del intervalo.
7. CONCLUIMOS: Que la proporción de negocios caseros de
propiedad de mujeres no es 0.50.
METODO DEL VALOR vr-p:
El método consiste en calcular el valor-p.
Para esta prueba de dos colas, en la que la zona de rechazo se localiza
en la cola inferior y la cola superior, es necesario encontrar el área por
debajo de 𝑍1 = −5.38 y el área por encima de 𝑍2 = +5.38.
-5.38
𝜋=0
+5.38
-2.33
5.
1.23 2.33
Hallamos el z correspondiente a p = 0.92.
𝑝−𝜋
0.92−0.88
𝑍=
=
= 1.23.
𝜎𝑋
̅
0.0325
METODO DEL Z CRÍTICO.
Como Z = 1.23 < 2.33, entonces no se rechaza la 𝐻0
METODO DEL vr-p
Para Z = 1.23, tiene una área de A = 1-0.8907
= 0.1093.= P
Como p = 0.1093 > 0.01 = α . No se rechaza la Hipótesis nula.
̅ 𝒊 . LIMITE DE LA MEDIA.
METODO DEL 𝑿
Como 𝑍2 = 2.33, entonces el limite del intervalo es:
pi = μ ± Zi σp .
p̅2 = 0.88 + (2.33)(0.0325)
p̅2 = 0.88 + 0.0757
p̅2 = 0.8757
Como 𝑝̅𝑖 = 0.92 > 0.8757. La Hipótesis nula no se rechaza.
6. CONCLUSION: No hay evidencias suficientes de que el nuevo
proceso haya aumentado la proporción de pedidos correctamente
atendidos, por encima de 0.88.
EJERCICIO No1: PRUEBA DE UNA COLA.
Como resultado de la debilidad de la economía, se estima que durante
el año 2003 solo el 43% de los patrones Estadounidenses contrato
nuevos empleados. Pero a finales del año, la economía mostro signos
de fortalecimiento. Según la encuesta realizada por la Sociedad de
Recursos Humanos, 181 de 362 profesionales del manejo de Recursos
Humanos planeaban contratar nuevos empleados en el 2004. Efectué
una prueba de Hipótesis que trate de demostrar que la proporción de
patrones que planearon contratar empleados nuevos en 2004 es mayor
que la proporción de 0.43 correspondiente a 2003. Usar un nivel de
significancia de 0.05.
Use cada uno de los tres métodos para demostrarlo.
EJERCICIO No 2.
Un artículo publicado en el Wall Street indica que los prejuicios con
base en la edad se están convirtiendo en un problema cada vez mayor
en el mundo corporativo. En el 2001, un estimado de 78% de los
ejecutivos, pensaban que los prejuicios con base en la edad eran un
problema grave. En un estudio realizado en 2001 por la E.N., el 82% de
los ejecutivos entrevistados consideraron los prejuicios con base en la
edad como un problema grave. No se rebeló el tamaño de la muestra
utilizada en el estudio de 2004. Supóngase que se entrevisto 50
ejecutivos.
1. Utilice el método de la prueba de Hipótesis de 6 pasos, con un
nivel de significancia de 0.05 para sondear y demostrar que la
proporción de ejecutivos que creen que los prejuicios con base en
la edad son un problema serio, es mayor que el valor de 0.78
obtenido en 2001.
2. Utilice los cinco pasos del método del valor-p. Interprete el
resultado del valor p.
3. Suponga ahora que el tamaño de la muestra fue de 1000 y
responda de nuevo los literales 1 y 2.
4. Analice el efecto que tiene el tamaño de la muestra en el resultado
de este análisis y, en general, la influencia del tamaño de la
muestra en la prueba de hipótesis.
EJEMPLO No 3:
En una encuesta realizada por una prestigiosa empresa de
investigación, se pregunto a los participantes si creían en las
calificaciones de eficiencia energética de los automóviles y
electrodomésticos; 552 respondieron que si y 531 respondieron que no.
1. Utilice prueba de Hipótesis, con un nivel de significancia de 0.05,
para explorar y demostrar que el porcentaje de personas que
confían en las calificaciones de eficiencia energética es distinto de
50%.
REGION DE ACEPTACION
𝜋 = 0.5
a. PRUEBA DE LOS SEIS PASOS:
P1. La Hipótesis nula dice que la media es 0.5 y no ha cambiado con
respecto a su valor.
𝐻0 : 𝜋 = 0.5.
𝐻0 : 𝜋 ≠ 0.5.
P2. Los elementos de la muestra son n = 1083.
El nivel de significancia es 𝛼 = 0.05.
P3. La desviación estándar o error estándar de la proporción es:
𝜎𝑝 = √
𝜋(1−𝜋)
𝑛
0.5(1−0.5)
=√
1083
= 0.0152.
P4. Como 𝛼 = 0.05. Es una prueba de dos colas. Los valores críticos de
prueba para z son:
A = 0.025, entonces 𝑍1 = −1.96 y 𝑍2 = 1.96. Por lo tanto el intervalo
es: −1.96 < 𝑍 < 1.96 .
P5. Los datos para la proporción son: X = 552
n = 1083.
𝑋
552
𝑝= =
= 0.5097.
𝑍=
𝑛
1083
𝑝−𝜋
0.5097−0.5
𝜎𝑝
=
0.0152
= 0.6382.
P6. Como Z = 0.6382 está entre los valores del intervalo [-1.96;1.96].
−1.96 < 𝑍 < 1.96
No se rechaza la Hipótesis nula. 𝐻0 .
CONCLUSIÓN:
No hay suficiente evidencia para mostrar que el porcentaje de gente
que confía en la clasificación energética de eficiencia difiere del 50%.
2. Utilice el método de los 5 pasos del vr-p. Interprete el significado
del vr-p.
b. PRUEBA DE LOS CINCO PASOS.
P1. 𝐻0 : 𝜋 = 0.5
𝐻1 : 𝜋 ≠ 0.5.
P2. n = 1083
𝛼 = 0.05.
P3. 𝜎𝑝 = 0.0152. Distribución Normal y estadístico Z.
P4. X = 552 n = 1083
P = 0.5097.
Z = 0.6382.
Para Z = -0.64, el A = 0.2611 = 𝑝1 .
Z = 0.64, el A = 1 – 0.7389 = 0.2611 = 𝑝2
REGION ACEPTACION
A=0.2611
A=0.2611
𝑍1 = −0.64
0
𝜋 = 0.5
𝑍2 = 0.64
El valor p para esta prueba z de dos colas es:
𝑝1 + 𝑝2 = 0.2611 + 0.2611 = 0.5222.
P5. Reglas de decisión:
Vr-p ≥ 𝛼, entonces No se rechaza 𝐻0
Vr-p < 𝛼, entonces se rechaza 𝐻0
Vr-p = 0.5222 ≥ 0.05 = 𝛼, entonces no se rechaza la 𝐻0 : 𝜋 = 0.5.
EJERCICIO No 3. PRUEBA DE DOS COLAS. APLICAR LOS TRES METODOS.
Un cierto tipo de fusible está diseñado para fundirse cuando la
intensidad de corriente llega a 20 Amperios. De un lote de 100.000
fusibles se selecciona 36, los cuales son probados en relación con su
punto de saturación. Que conclusión se obtiene acerca de la
especificación de Amperaje del lote, si la muestra da una media de 20.9
Amp. y una desviación estándar de 1.5 Amp, con un nivel de
significancia del 0.01.
EJERCICIO No 4. PRUEBA DE DOS COLAS. APLICAR LOS TRES METODOS.
El representante de una comunidad, informa a una empresa que se
propone construir un centro comercial cuyo ingreso promedio por
hogar del área es de $ 30.000 diarios. Supóngase que, para este tipo de
área, puede suponerse que los ingresos por hogar tienen una
distribución aproximadamente normal y que puede suponerse que la
desviación estándar es $ 2.450 con base a un estudio previo. Se
encuentra que el ingreso promedio por hogar para una muestra
aleatoria de 16 hogares es de $ 25.500. Pruebe la Hipótesis nula de que
𝜇 = $30.000, estableciendo limites críticos para la media muestral en
términos de pesos y utilizando un nivel de significancia del 5%.
Lic. Simeón Cedano Rojas
PRUEBA DE HIPÓTESIS PROPORCION 2.DOXC