Soluciones a “Ejercicios y problemas”

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Soluciones a “Ejercicios y problemas”
PÁGINA 125
48
Pág. 1
¿Qué valores deben tomar a y b para que el siguiente sistema tenga infinitas
soluciones?
°3x + 2y = 5
¢
£ax + by = 15
Escribe tres soluciones del sistema.
Para que tenga infinitas soluciones, la segunda ecuación debe ser proporcional a la primera.
° 3x + 2y = 5
Así: ¢
£ ax + by = 15
8 a=9 y b=6
Soluciones: Damos valores a x para obtener puntos de la recta 3x + 2y = 5:
x = 1, y = 1; x = 0, y = 5 ; x = –1, y = 4
2
49
ción?
¿Qué condición deben cumplir c y d para que este sistema no tenga solu°3x + 2y = c
¢
£6x + 4y = d
El sistema no tendrá solución cuando las dos rectas sean paralelas, es decir, cuando
d ? 2c.
50
Resuelve este sistema de tres ecuaciones y dos incógnitas y comprueba gráficamente su solución:
°2x + y = 1
§
¢ x–y=5
§ x + y = –1
£
☞ Halla la solución de las dos primeras ecuaciones y comprueba si verifica la tercera.
° 2x + y = 1
§
¢ x–y=5
§ x + y = –1
£
°2x + y = 1
8 3x = 6 8 x = 2 8 y = 1 – 4 = –3
¢
£x – y = 5
Comprobamos si se verifica la tercera ecuación: 2 + (–3) = –1
La solución del sistema es x = 2, y = –3.
■ Profundiza
51
° 2x – y = 2
Resolver por sustitución: ¢ 2
2
£ x + y = 52
Unidad 6. Sistemas de ecuaciones
6
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Despejamos y en la 1.ª ecuación y sustituimos en la 2.ª:
Pág. 2
y = 2x – 2 8 x 2 + (2x – 2)2 = 52 8 5x 2 – 8x – 48 = 0 8
2
8 x = 8 ± √8 + 4 · 5 · 48 = 8 ± 32
10
10
Si x = 4, y = 2 · 4 – 2 = 6.
x=4
x = –12/5
( )
Si x = – 12 , y = 2 – 12 – 2 = – 34 .
5
5
5
52
Resuelve por sustitución.
° x+ y=1
b) ¢ 2 2
£2x – y = 2
° x–y=2
a) ¢ 2 2
£x – y = 16
°y = x – 2
8 ¢ 2
2
£x – (x – 2) = 16 8
° x–y=2
a) ¢ 2 2
£ x – y = 16
8 x 2 – x 2 + 4x – 4 = 16 8 4x = 20 8 x = 5 8 y = 3
Solución: x = 5, y = 3
° x+ y=1
b) ¢ 2 2
£ 2x – y = 2
°y = 1 – x
8 ¢ 2
2
£2x – (1 – x) = 2 8
8 2x 2 – 1 + 2x – x 2 = 2 8 x 2 + 2x – 3 = 0 8
8 x = –2 ± √4 + 12 = –2 ± 4
2
2
x=1
x = –3
Si x = 1, y = 0.
Si x = –3, y = 1 – (–3) = 4.
53
ros.
La diferencia de dos números es 2, y la de sus cuadrados, 20. Halla esos núme-
Los números son x e y.
°x – y = 2
¢ 2 2
£x – y = 20
°x = 2 + y
8 ¢
2
2
£(2 + y) – y = 20 8
8 4 + 4y + y 2 – y 2 = 20 8 4y = 16 8 y = 4 8 x = 6
Los números son 6 y 4.
54
La diagonal de un rectángulo mide 15 cm, y su perímetro, 42 cm. Calcula sus lados.
°2x + 2y = 42
¢ 2
2
2
£x + y = 15
°x + y = 21
8
8 ¢ 2
2
£x + y = 225
15
x
°y = 21 – x
8 ¢ 2
2
2
2
£x + (21 – x) = 225 8 x + 441 – 42x + x = 225 8
Unidad 6. Sistemas de ecuaciones
y
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8 2x 2 – 42x + 216 = 0 8 x 2 – 21x + 108 = 0 8
Pág. 3
x = 12
x=9
8 x = 21 ± √441 – 432 = 21 ± 3
2
2
Si x = 12, y = 21 – 12 = 9.
Si x = 9, y = 21 – 9 = 12.
Los lados del rectángulo miden 9 cm y 12 cm, respectivamente.
55
El perímetro de un rectángulo es 68 m, y su área, 240 m2. Halla sus lados.
y
x
°2x + 2y = 68
°x + y = 34
8 ¢
¢
£xy = 240
£xy = 240
°y = 34 – x
8 ¢
£x(34 – x) = 240 8
8 34x – x 2 = 240 8 x 2 – 34x + 240 = 0 8
x = 24
x = 10
2
8 x = 34 ± √34 – 240 · 4 = 34 ± 14
2
2
Si x = 10, y = 34 – 10 = 24.
Si x = 24, y = 34 – 24 = 10.
Los lados del rectángulo miden 10 cm y 24 cm, respectivamente.
56
Las diagonales de un rombo se diferencian en 6 cm y su área
es 56 cm2. Calcula la medida de las diagonales.
x
°x – y = 6
°x = 6 + y
§
¢ x · y = 56 8 ¢
§ 2
£(6 + y)y = 112 8
£
8 6y + y 2 = 112 8 y 2 + 6y – 112 = 0 8
8 y = – 6 ± √36 + 4 · 112 = – 6 ± 22
2
2
y
y=8
y = –14 (No vale).
Si y = 8, x = 6 + 8 = 14.
Las diagonales miden 8 cm y 14 cm, respectivamente.
57
El perímetro de un triángulo isósceles es 36 m. La altura
relativa al lado desigual mide 12 m. Calcula la medida de los lados iguales.
☞ Si llamas x a la mitad de la base, se simplifican los cálculos.
y
2x
Unidad 6. Sistemas de ecuaciones
y
12
x
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°2x + 2y = 36
¢ 2
2
2
£y – x = 12
°x + y = 18
8 ¢ 2
2
£y – x = 144
Pág. 4
°y = 18 – x
8 ¢
2
2
£(18 – x) – x = 144 8
8 324 – 36x + x 2 – x 2 = 144 8 36x = 180 8
8 x = 5 8 y = 18 – 5 = 13
Los lados iguales miden 13 cm.
58
En una parcela rectangular de 60 m de perímetro se hace un jardín rectangular bordeado por un camino de 2 m de ancho. Calcula las dimensiones de la
parcela sabiendo que el área del jardín es 112 m2.
°2x + 2y = 60
¢
£(x – 4)(y – 4) = 112
y
2
2
x
°x + y = 30
8 ¢
8
£xy – 4x – 4y + 16 = 112
°y = 30 – x
8 ¢
£x (30 – x) – 4x – 4(30 – x) + 16 = 112 8
8 30x – x 2 – 4x – 120 + 4x + 16 = 112 8
8 –x 2 + 30x – 216 = 0 8 x 2 – 30x + 216 = 0 8
2
8 x = 30 ± √30 – 4 · 216 =
2
x = 18 8 y = 12
= 30 ± 6
2
x = 12 8 y = 18
Las dimensiones de la parcela son 12 m y 18 m, respectivamente.
59
Resuelve los sistemas de ecuaciones siguientes:
–3=0
° x
§
a) ¢2x – 3y
=9
§ x+ y–z=1
£
=4
°3x – 2y + z
§
b) ¢ x + y
=5
§
z–3=1
£
=z
°x + y
§
c) ¢x – y
=z
§x
+ z = –4
£
=5
°x + y
§
d) ¢ x + y + z = 3
§ y+z=2
£
–3=0
° x
§
a) ¢ 2x – 3y
=9
§ x+ y–z=1
£
°x = 3
§
8 ¢2 · 3 – 3y = 9 8 –3y = 3 8 y = –1
§3 + (–1) – z = 1 8 –z = –1 8 z = 1
£
Solución: x = 3, y = –1, z = 1
Unidad 6. Sistemas de ecuaciones
6
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=4
°3x – 2y + z
§
b) ¢ x + y
=5
§
z–3=1
£
°3x – 2y + 4 = 4
§
8 ¢x + y = 5
§z = 4
£
Pág. 5
8
°3x – 2y = 0
°3x – 2y = 0
8 ¢
8 ¢
£ x+ y=5
£2x + 2y = 10
8
8 5x = 10 8 x = 2 8 2 + y = 5 8 y = 3
Solución: x = 2, y = 3, z = 4
=z
°x + y
§
c) ¢ x – y
=z
§x
+ z = –4
£
°x + y = z
8 ¢
£x – y = z
8 2x = 2z 8 x = z 8 z + z = – 4 8
8 2z = – 4 8 z = –2 8 –2 + y = –2 8 y = 0
Solución: x = –2, y = 0, z = –2
=5
°x + y
§
d) ¢ x + y + z = 3
§
y+z=2
£
°x = 5 – y 8 x = 5 – 4 = 1
§
8 ¢5 – y + y + z = 3 8 z = –2
§y + z = 2 8 y + (–2) = 2 8 y = 4
£
Solución: x = 1, y = 4, z = –2
60
Una pieza mecánica está formada por tres cilindros,
cuyas secciones se ven en esta figura.
Las distancias entre los centros de las bases de los cilindros
son: AB = 14 cm; AC = 17 cm; BC = 13 cm.
¿Cuál es el radio de cada cilindro?
A
x
x
y
B
z
y
Según el enunciado:
AB = 14 = x + y
AC = 17 = x + z
BC = 13 = y + z
°
§
¢
§
£
Resolvemos el sistema:
x+y
= 14 °
x+y
= 14 °
x + y = 14 °
§
§
+ z = 17 ¢ 8
x
+ z = 17 ¢ 8 x
¢ 8
x–y=4 £
§
§
–y – z = –13 £
y + z = 13 £
8 2x = 18 8 x = 9 cm 8 y = 5 cm 8 z = 8 cm
Por tanto, el radio de A es 9 cm; el de B, 5 cm; y el de C, 8 cm.
Unidad 6. Sistemas de ecuaciones
z
C