Diapositiva 1 - Universidad Complutense de Madrid

Application of mathematics
to easily detect lung cancer
Carlos Calvo Luque
Claudia Ceña López
Universidad Complutense de Madrid
Ingeniería Química
Introducción

-Utilidad de las matemáticas
-Dar a conocer el Proyecto Europeo LCAOS
Objetivo
Proyecto Europeo LCAOS
“A nanoscale artificial nose to easily detect volatile biomarckers at early satges of
lung cancer and related genetic mutations”
Detección de cáncer de pulmón.
- Facilitar su detección temprana
- Determinar la posibilidad potencial de padecerlo
-
Cáncer de pulmón

Responsable del 28% de las muertes a nivel mundial.
Síntomas se manifiestan cuando la enfermedad está
avanzada → sólo un 15 % se detectan en etapas iniciales.
 Métodos de detección hoy en día son invasivos y
costosos:

◦ Broncoscopia
◦ Biopsia de médula ósea.
◦ Tomografía computarizada
Problemática:
-Detección tardía de la enfermedad.
-Proporcionan falsos positivos.
-No son eficientes en tiempo y coste
para revisiones generalizadas.
Proyecto LCAOS
- Desarrolla una herramienta y una metodología para la
detección del cáncer de pulmón:
•
•
•
•
No invasiva.
Barata.
Precisa.
Rápida respuesta.
Se conoce como
nariz artificial
(NaNose)
- Fundamento de NaNose: localización de biomarcadores
volátiles emitidos por las paredes de las células cancerosas y que
están presentes en el aire exhalado por las personas.
Riesgo genético de
padecer cáncer
Biomarcadores
indican:
Presencia de
cáncer
Nariz Artificial NaNose
LCAOS EN ESPAÑA

Desarrollo de algoritmos matemáticos para el
tratamiento de los datos.
Biomarcadores en
el aire exhalado.
Algoritmos
matemáticos
-Tipo
-Concentración
Sí cáncer
No cáncer
Modelo matemático
-Un
modelo matemático es una descripción, en lenguaje
matemático, de un determinado sistema.
Salida= f(entrada, parámetros)
Ejemplo:
Concentración de oxígeno-Profundidad del mar
[O2] (mg/L)exp
0
9,01
1
8,4
2
8,33
3
7,79
4
7,43
5
7,02
6
6,58
7
6,3
8
5,6
9
5,2
10
5,04
[O2] vs profundidad
[O2] (mg/l)
Profundidad (m)
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
[O2] = -0,406*Profundidad + 9,003
R² = 0,992
0
2
4
6
Profundidad (m)
8
Para h= 5,5m la [O2]= 6,77 mg/l
10
La [O2] (mg/l) puede verse modificada además:
-Difusión del oxígeno de la atmósfera al agua.
-Temperatura.
-Presencia de organismos vivos (respiración).
-Presencia de algas (fotosíntesis).
Respuesta no lineal
Tipos de modelos no lineales
Redes
neuronales
Autómatas
celulares
Modelos
no
lineales
Lógica
difusa
Caos
Modelos no lineales.
Caos Determinista
Determinista
Predecible
Determinismo: universo se rige por
conjunto de leyes físicas inquebrantables
•Mecánica clásica
Sistemas complejos aleatorios
Sistemas caótico-deterministas
un
Modelos no lineales- Caos determinista
Características
Dinámica no lineal
 Sistemas deterministas simples
 Siempre pueden predecirse a muy corto
plazo
 Generan comportamientos impredecibles a
largo plazo
 Bajo número de variables
 Fuerte interdependencia entre ellas
 Sensibilidad a las condiciones iniciales

11
Modelos no lineales- Caos determinista
Ejemplos de sistemas
caótico-deterministas
Ecuación logística
 Sistemas de ecuaciones de Lorenz y
Rösler
 Dinámica del goteo de una válvula
 Dinámica de fenómenos solares
 Mecanismos de contagio de ciertas
enfermedades

Modelos no lineales- Caos determinista
Ecuación logística yn  xn  1  xn  K
K=0.8
K=3.1
K=2.5
K=3.8
x n 1  y n
K es el parámetro de control
K>3.5699 el sistema se
comporta caóticamente
Modelos no lineales- Caos determinista
Parámetros caóticos
A. REPRESENTACIÓN GRÁFICA. ESPACIO DE
FASES
B. FUNCIÓN DE CORRELACIÓN
C. SECCIÓN DE POINCARÉ
D. MAPA UNIDIMENSIONAL
E. CÁLCULO DE LA TRANSFORMADA DE
FOURIER
F. DIMENSIÓN DEL ATRACTOR
G. EXPONENTE DE LIAPUNOV
H. ÍNDICE CONJUNTO DE CAOS
14
Modelos no lineales- Caos determinista
Espacio de fases




Los sistemas caóticos se estudian en el espacio de fases
Es un espacio matemático y abstracto
Las coordenadas son las variables que definen el estado del sistema
Un sistema de n grados de libertad se representa en un espacio de
fases n-dimensional.
Representación del espacio de fases y de la trayectoria para un
péndulo ideal y para un péndulo real con rozamiento 15
Atractores predecibles: punto, ciclo límite y toro
Atractores extraños: atractor de Lorenz, de Rössler y de Shaw
16
Modelos no lineales- Caos determinista
Exponente de Liapunov

Es la medida de la separación exponencial de dos
trayectorias del espacio de fases inicialmente
próximas:
1
EL 
t m  t0
k m
 log
k 1
L(tk )
L(tk 1 )
Es negativo para un atractor de punto fijo, cero para
un ciclo límite o un atractor toroidal y positiva para
un atractor extraño
 Se trata de uno de los parámetros más sensibles del
nivel de caos
 Se puede conocer el máximo exponente de Liapunov
(M.E.L.) de un sistema, tantos como dimensiones.
Cada uno mide el grado de divergencia del atractor
en una dirección diferente.

17
Modelos no lineales
Redes neuronales

Las redes neuronales se basan en modelos matemáticos que
presentan un comportamiento semejante al de las neuronas del
cerebro. Basado en su capacidad de comunicarse.
Sinapsis
Cuerpo celular
Dentritas. Señal
al interior
Axón, transporta
la señal al exterior
Las neuronas tienen capacidad de comunicarse unas con otras.
Modelos no lineales- Redes Neuronales

Descripción en redes neuronales artificiales:
El comportamiento básico consiste en sumar determinadas señales
de entrada a la célula y expresar un efecto global de salida
Entradas a la
neurona
neurona
artificial
Señal de
salida
En la red neuronal se transforman varias señales de
entrada en una de salida.
Modelos no lineales- Redes Neuronales

Forma matemática:
x1
Neurona artificial
W1
x2
x3
∑
W2
F
ᶴ
Salida=f(entrada)
W3
Función de activación
Suma ponderada de
señales las entradas:
Fa=∑Wi*xi
Wi=peso de cada entrada.
xi=cada una de las entradas
Función de transferencia
Transforma la suma en un
nuevo valor.
•Función Escalón
•Función rampa
•Sigmoidal
Modelos no lineales- Redes Neuronales
Funciones de transferencia
Función
escalón
Función rampa
Función
sigmoide

Ejemplo:
Neurona artificial
X= 0,5
FUNCIÓN
ACTIVACIÓN
FUNCIÓN
TRASNFERENCIA
Y= 0,1
Tipo sigmoide
U=0,5+0,1=0,6 Z(u)=1/(1+exp(-u))
Z(0,6)=1/(1+exp(-0,6))= 0,65
Z=0,65
Red neuronal

La combinación de varias neuronas da lugar a una red
neuronal formada por varias capas:

Conjunto de neuronas agrupadas en varios niveles o capas
◦ Capa que recibe la entrada: Capa de entrada.
◦ Capa que genera la salida: Capa de salida
◦ Conexión entre ambas capas: Capa oculta

Las conexiones entre cada neurona y capa vienen
determinadas por sus pesos.
Modelos no lineales- Redes Neuronales
Combinación de varias capas
Modelos no lineales- Redes Neuronales

Funcionamiento de una red neuronal:
◦ Proceso de aprendizaje:
1) Se fijan las funciones de transferencia para cada neurona.
2) Mostrar a la red pares de valores de entrada y salida.
3) Red neuronal modifica los pesos de las entradas hasta que
sea capaz de reproducir la muestra.
4) Se consigue una red adiestrada que asocia patrones de
entrada y de salida.
Se consigue generalizar problemas , es decir, generar
salidas adecuadas ante nuevas entradas, similares a las
aprendidas pero nunca vistas antes
Conclusiones
Cáncer es una enfermedad que origina
miles de muertes año.
 Técnicas para su determinación son
invasivas y costosas.
 Es necesario invertir en I+D para
desarrollar nuevas metodologías: NaNose
 Matemáticas tienen un uso importante en
este objetivo.

FIN