Álgebra Lineal
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UNIVERSIDAD DIEGO PORTALES
Instituto de Ciencias Básicas
Álgebra Lineal
Isabel Arratia Zárate
Matrices y Sistemas de
ecuaciones lineales
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Algebra Lineal - I. Arratia Z.
2
Matrices: definiciones y notaciones básicas
Una matriz A con componentes en un cuerpo κ es un
arreglo en filas y columnas de elementos de κ. Por ejemplo,
4 23
3 0 − 5
y B = 15 − 3
A =
1
−
2
1
− 7 9
3
son matrices con componentes en ℜ , el cuerpo de los
números reales. La matriz A tiene dos filas y tres columnas
mientras que la matriz B tiene tres filas y dos columnas.
Si una matriz tiene m filas y n columnas, se dice que ella
es de orden m x n (se lee m por n).
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Algebra Lineal - I. Arratia Z.
3
¿Cómo denotar una
matriz de orden m x n?
Se usan dos índices:
a 11
a
A = 21
...
a
m1
a 12
a 22
...
a m2
a 1n
a 2n
...
...
. . . . . a mn
.....
.....
lo que abreviadamente se expresa,
A = (a i j ), i = 1, 2, . . . . , m ; j = 1, 2, . . . . , n
Ejercicio: Determine por extensión la matriz A, de orden
2x3 definida así, a i j = | 2i – j |.
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4
El elemento a i j, es el que se ubica en la i-ésima fila j-ésima
columna de la matriz A; se llama componente i j de la matriz A.
Si la matriz A tiene el mismo número n de filas que de
columnas, se dice que ella es una matriz cuadrada de orden n.
Si A es una matriz de orden n, las componentes
a i i constituyen la diagonal de A; se anota:
diag(A) = (a11, a 22 , . . . . . . . , a nn )
La suma de los elementos de la diagonal de una matriz
cuadrada de orden n se llama traza de A, es decir,
tr ( A ) =
n
∑ aii
i =1
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Una matriz cuadrada
si
A = (a i j ) se dice matriz diagonal
a i j = 0 cuando i ≠ j. Por ejemplo,
2
A = 0
0
0
−5
0
0
0
1
y
-1
B =
0
0
0
son matrices diagonales.
Una matriz cuadrada A = (a i j ) se
llama
triangular
superior si a i j = 0 para i > j, y se llama triangular inferior
si a i j = 0 para i < j. Por ejemplo,
4
C = 0
0
−1
−6
0
5
0
8
y
-3
B =
2
0
7
son matrices triangulares.
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6
Ejemplo: Determine por extensión la matriz A = (a i j ), de orden
3 dada por
si i = j
i
A = 2i − j si i < j
| i − 3 j | si i > j
¿Cuál es la diagonal y la traza de A ¿Cuál es el valor de la traza
de A si la matriz A fuese de orden 20? ¿y si fuese de orden n?
Solución: La matriz A es
1
A = 1
0
0
2
3
− 1
1
3
Su diagonal es diag(A) = (1, 2, 3) y tr(A) = 6. Si A es de
orden 20, tr(A) =
20
∑
i=1
ai i = 210 y si es de orden n, tr(A) =
n(n +1)
2
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7
Resulta fácil comprender la utilidad que
prestan las matrices para ordenar datos.
La producción semanal, en cientos, de los artículos p1, p2, ….p60
que se fabrican en una industria se pueden expresar mediante
una matriz P de 60 filas - donde se escribirán los productos
elaborados - y 5 columnas que indicarán los días de la semana
de lunes a viernes:
Lu Ma Mi Ju Vi
2 3,5 3 3, 2 3 p1
6
6
,
5
6
,
3
6
,
2
6
p2
P = .. ..
..
..
.. ..
..
..
.. ..
.. ..
4 3,8 3,5 4 3, 2 p
60
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El conjunto de todas las matrices de
m filas y n
columnas con componentes en el cuerpo
denotado por
κ
será
M mxn ( κ) y será M n ( κ) cuando
se trate de matrices cuadradas de orden n.
Dos matrices A = (a i j ) y B = ( bi j ) son iguales si tienen el
mismo orden y además a i j = bi j , ∀i j.
Si A = (a i j ) es una matriz de orden m x n, la transpuesta de A,
t
A
denotada por
, es la matriz de orden n x m que se obtiene al
intercambiar las filas por las columnas de A. En consecuencia,
A t = (a j i )
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Ejercicio: ¿Cuál es la transpuesta de la matriz A = (a i j ) de
orden 3 x 2 definida por a i j = 3i − j2 ?
Sea A = (a i j ) matriz cuadrada. Se dice que A es una matriz
t
simétrica si A = A y se dice que A es antisimétrica si
At = −A , donde -A es la matriz − A = (−a i j ).
6
Por ejemplo, A = − 1
4
−1
7
2
4
2
− 3
es una matriz simétrica.
Construya usted una matriz antisimétrica de orden 3.
Ejercicio: Si A es una matriz de orden n antisimétrica,
demuestre que diag(A) = (0, . . . . , 0) y tr (A) = 0.
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Ejercicios:
Ade
= (orden
a i j ) 4 definida
1) Determine por extensión la matriz
como sigue. Calcule la traza de A. ¿Es A una matriz
simétrica?
i 2 − 7 si
i= j
A = i − j + 3 si
i = j −1
0
en otros casos
2) Demuestre que toda matriz diagonal es simétrica.
3) Determine todos los valores reales de a y b de modo que
la matriz B dada sea simétrica.
2
2
B = a
3
a+6
−5
− b3
3
b + 2
− 1
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Operaciones con matrices
Se llama matriz nula (o matriz cero) de orden m x n a la matriz
de orden m x n que tiene todas sus componentes iguales a 0 ∈ κ.
La matriz nula se denotará por
Omxn o simplemente O.
Suma de matrices
Si A = (ai j ), B = (bi j ) ∈ Mmxn(κ) , la suma de A y B es la
matriz A + B = (ci j) ∈Mmxn(κ) , donde ci j = a i j + bi j
Por ejemplo, si
7 − 9
− 4 12
A = 6 − 5 y B = − 2 6 ,
− 8 − 4
1 3
3 3
A + B = 4 1
− 7 −1
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Observe que para sumar matrices, ellas deben ser del mismo
orden. Se tienen las siguientes propiedades:
1.
(A+B)+C = A+(B+C), ∀A, B,C∈Mmxn(κ)
2.
A+B = B+A , ∀A, B∈Mmxn(κ)
3.
Existe Omxn , matriz nula, tal que A+O = A , ∀A∈Mmxn(κ)
4.
5.
6.
A∈Mmxn(κ,)existe
− A∈Mmxn
κ)
tal (que
− A = (−a i j) cuando A=(a i j)
tr(A+B) = tr(A) + tr(B), ∀A, B∈Mn (κ)
Para cada matriz
A) = O , donde
A+(-
(A + B) t = A t + B t, ∀A, B∈Mmxn(κ)
⇒ A+B diagonal
8. A, B simétricas ⇒ A+B simétrica
9. A, B antisimétricas ⇒ A+B antisimétricas
7.
A, B diagonales
Ejercicio: Demuestre las propiedades enunciadas antes.
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Multiplicación por escalar o ponderación
Si A = (a i j ) ∈ M mxn ( κ) y α∈κ , la multiplicación α veces
A es la matriz de orden m x n,
Por ejemplo, si
αA=(α⋅a i j)
−1 5
− 3 15
A = 4 12 , entonces 1 A = 4
4
3
3
− 6 20
20
− 2
3
Se puede establecer que:
1. α(βA) = (αβ)A, ∀α, β ∈ κ, ∀A matriz
2. (α + β)A = αA + βA, ∀α, β ∈ κ, ∀A, B ∈ Mmxn (κ)
3. α(A + B) = αA + αB, ∀α ∈ κ, ∀A, B ∈ Mmxn (κ)
4. 1⋅ A = A,
(-1)A = -A,
0 ⋅ A = O, ∀A matriz
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Además
5. tr( α A) = α ⋅ tr(A), ∀ A ∈ M n ( κ )
6.
( α A) t = α ⋅ A t , ∀ A ∈ M mxn ( κ )
Ejercicio: Demuestre las propiedades 1. a 6. anteriores.
Las propiedades algebraicas de las
matrices nos permiten resolver ecuaciones
matriciales de manera eficiente.
Ejercicio: Resuelva la ecuación
5( X + A ) = A t − 1 ( B − 9 X t ) t
3
− 3 6
2 1
si A =
− 5 0 , B = 4 2
y
0 2
C =
−1 − 2
t
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Problema: Un fabricante produce tres modelos de
zapatillas de descanso A, B y C en tres tamaños: para
niños, damas y caballeros. La fabricación se realiza en
dos plantas, una ubicada en San Bernardo y la otra en
Maipú. La producción semanal, en pares de zapatillas, en
cada planta se entrega a través de las matrices:
San Bdo. Niños Damas Varones
A
20
34
30
B
C
16
24
20
28
48
32
Maipú Niños Damas Varones
A
16
24
26
B
C
10
15
14
20
32
28
a) Determine la matriz que contiene los datos relativos a la
producción semanal total de cada modelo de zapatilla en ambas
plantas.
b) Si la producción en la planta de San Bernardo se incrementa en un
20% y la de Maipú en un 40%, escriba la matriz que representa la
nueva producción semanal total de cada tipo de zapatilla.
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La multiplicación de matrices
Si A = (a i j) ∈ Mmxn(κ) y B = (b i j) ∈Mnxr(κ) , la multiplicación
de A y B es la matriz AB= (c i j) , de orden m x r, donde
c i j=
n
∑ a ikb k j
k =1
El elemento ubicado en la fila i columna j del producto AB es:
c i j= a i1b 1j + a i2b 2 j + . . . . . + a inb nj
Componentes
de la fila i
Componentes
de la columna j
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Por ejemplo, si
2 −1
8
2
5
−
−
y B = − 2 4,
A =
3 −1 1
1 0
15 −16
entonces AB=
9 − 7
Observe que en este ejemplo, BA también se puede realizar
pero es una matriz de orden 3, con lo que concluimos que
La multiplicación de matrices no es conmutativa
Note también que para la matriz A del ejemplo anterior,
producto A 2 = A ⋅ A no se puede efectuar.
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el
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¿Este producto
tiene otras
“curiosidades”?
Si, por ejemplo,
• Existen matrices cuadradas A, no nulas pero tales que
A2 = O
• Más aún, existen matrices A y B, de orden n, no nulas,
distintas y AB = O, es decir, el producto de dos matrices puede
ser la matriz cero y ninguna de ellas ser cero.
Por lo tanto,
/ (A = 0 ∨ B = 0)
AB= 0 ⇒
AB= AC ⇒
/ B= C
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Sin embargo, siempre que las operaciones se puedan realizar,
se puede demostrar que:
1. (A B) C = A (B C)
2. (A + B) C = A C + B C
y
C (A + B) = C A + CB
Surge la interrogante ¿Existe elemento identidad en
el conjunto M mxn ( κ)?
In = (ai j ) de orden n definida así:
1 si i = j
ai j =
0 si i ≠ j
La matriz cuadrada
se llama matriz identidad; ella es tal que
A ⋅ I n = A = I n ⋅ A , ∀A ∈ M n (κ)
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En consecuencia, existe elemento identidad en M n ( κ).
Ejercicio: a) Muestre con ejemplos que, en general,
tr ( AB ) ≠ tr ( A ) tr (B) y que ( AB )t ≠ A t B t
b) Demuestre que tr(AB) = tr(BA)
c) Demuestre que, siempre que los productos se puedan
realizar, (A B)t = Bt At .
Ejercicio: Determine la matriz X de modo que la siguiente
igualdad resulte verdadera:
3 2 - 3
5
1 - 1 X = − 6
0
1 - 2 2
1
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Dadas las matrices A y B,
¿qué necesitamos para
resolver la ecuación AX = B?
La ecuación ax = b, en el conjunto de los números
reales, se resuelve usando el inverso multiplicativo de a:
x = a −1b = b
a
Si A es una matriz no nula nos preguntamos ¿existe una matriz
B tal que AB = I n = BA? Que equivale a ¿existe el inverso
multiplicativo de A? Observe que esta pregunta tiene sentido
sólo si A es una matriz cuadrada. Sin embargo, aunque A sea
cuadrada, la respuesta a la interrogante es no siempre.
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22
3
Por ejemplo para A =
1
de tal matriz B.
a
Supongamos que B =
c
6
investiguemos la existencia
2
b
es tal que AB = I 2; entonces
d
3 6 a b 1 0
=
que equivale a
1 2 c d 0 1
y a resolver
a + 2c = 1
3
3a + 6c 3b + 6d 1 0
=
a + 2c b + 2d 0 1
y a + 2c = 0 .
Concluimos que no existen a y c; de manera análoga, no
existen b y d. Por lo tanto la matriz B no existe.
Surge entonces la siguiente definición:
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A ∈ M n ( κ) es invertible
B ∈ M n ( κtal
) que AB
o no singular si existe
In= BA. La matriz B, cuando existe, está
=
Se dice que una matriz
únicamente determinada por A, se llama inversa
−1
de A y se denota por A .
Por lo tanto,
A ⋅ A−1 = In = A−1 ⋅ A
Ejercicio: Demuestre que,
a) (A−1)−1 = A , ∀A ∈ Mn (κ) invertible
t −1
−1 t
b) (A ) = (A ) , ∀A ∈ Mn (κ) invertible
−1
−1 −1
c) (A B) = B A ; ∀A, B ∈ Mn (κ) invertibles
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¿Cuáles matrices
son invertibles?
En lo que sigue, trataremos de contestar esta
interrogante, es decir, caracterizaremos a las
matrices invertibles.
Además mostraremos
maneras de calcular la inversa.
Una primera respuesta la obtendremos a través
de los determinantes que comenzaremos a
estudiar a continuación.
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Determinantes
Asociado a cada matriz A ∈ M n ( κ)
existe un elemento
de κ , su determinante, que lo denotaremos det(A) o | A | .
a b
∈ M 2 ( κ) , det(A) = ad – bc ; por ejemplo,
Si A =
c d
4 −1
= 12 − 7 = 5
3
−7
Si A es una matriz cuadrada de orden mayor que 2, el
determinante de A se define en forma recursiva como sigue:
Sea A = (a i j ) matriz de orden n. Llamaremos menor de orden
ij de A, y anotaremos
, alM
determinante
de orden n -1 que se
ij
obtiene a partir de A, eliminándole la i-ésima fila y la j-ésima
columna.
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El cofactor de orden ij de A, denotado C i j es el número
Ci j = (−1)i + j Mi j
5 − 2
1
Por ejemplo, si A = 0
2
1 , M13 = 2, M32 = 1
− 1 − 9 − 1
C13 = 2 y C32 = −1
El determinante de la matriz de orden n, A = (a i j ) es el número
n
n
i
j
+
( − 1) a i jM i j =
a i jC i j con 1 ≤ j ≤ n fijo
i =1
i =1
det( A ) =
n
n
i
j
+
( − 1) a i jM i j =
a i jC i j con 1 ≤ i ≤ n fijo
j =1
j =1
∑
∑
∑
∑
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Por ejemplo, calculemos el determinante de
1 3 − 9
=
−
A 2 0
5
2 4 − 7
Fijando i = 1 tenemos que:
det(A) =
3
∑
(−1)1+ j a1 jM1 j = M11 − 3M12 − 9M13 = −20 −12 + 72 = 40
j=1
• Observe que el fijar i = 1 significó que al
desarrollar la sumatoria intervinieron los elementos
y los correspondientes menores (o cofactores) de
la fila 1.
• El determinante det(A) = 40 se pudo haber
obtenido por seis caminos diferentes. ¿Cuál de
ellos es el que necesita menos cálculos?
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De la definición dada para los determinantes
siguen las siguientes propiedades:
1. det(A) = det(At ). En consecuencia, las propiedades de los
determinantes demostradas para las filas, son también
válidas para las columnas. Y recíprocamente.
2. Si todos los elementos de una fila (o columna) de la matriz A
son cero, det(A) = 0.
3. det( I n ) = 1, ∀n ∈ IN . En efecto, es claro que det(I2 ) = 1.
Supongamos que det( I k) = 1, para k ∈ IN . Entonces,
n +1
det(Ik+1 ) = ∑ (−1)1+ j a1 jM1 j = (−1)2 ⋅1⋅ det(Ik ) = 1
j=1
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Del mismo modo, usando un razonamiento inductivo,
podemos establecer que
4. Si A es una matriz diagonal o triangular, det(A) es igual al
producto de los elementos de la diagonal.
5. Si dos filas (o columnas) adyacentes de A son iguales,
entonces det(A) = 0.
Esta propiedad nos permite demostrar que:
6. Si dos filas adyacentes o columnas adyacentes de A se
intercambian, se produce un cambio de signo del
determinante.
Lo que nos permite ampliar la propiedad 5:
7. Si dos filas (o columnas) de A son iguales, entonces det(A)
es igual a 0.
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30
¿Qué sucede con el
determinante de A+B?
En general, det( A + B ) ≠ det( A ) + det( B )
Sin embargo, existe una propiedad que la enunciaremos en
primer lugar para uno de los casos de orden 2.
a 1 + c1
b
a 2 + c2
d
=
a1
b
a2
d
+
c1
b
c2
d
(k )
8. Si A ∈ M n ( κ) y A , 1 ≤ k ≤ n, denota la k-ésima columna
de A, entonces
det(A (1) , . . . , A1( k ) + A (2k ) , . . . , A (n) ) =
det(A (1) , . . . , A1( k ) , . . . , A (n) ) + det(A (1) , . . . , A (2k ) , . . . , A (n) )
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31
Respecto a la ponderación, en general,
det(αA) ≠ α ⋅ det(A)
Pero, utilizando la notación de la propiedad 8, se tiene que
(1)
(k )
9. det(A , . . . , αA
, . . . , A(n) ) = α det(A(1) , . . . , A(k ) , . . . , A(n) )
Y como consecuencia,
det(αA) = αn ⋅ det(A)
10. Si A y B son matrices de orden n, se puede demostrar que
det (A B) = det(A) det(B)
11. Finalmente una propiedad que será de mucha utilidad:
Si las componentes de una fila (o columna) de A se
multiplican por un número α ∈ κ y los resultados se suman a
los elementos correspondientes de otra fila (o columna), el
valor del determinante no se altera. Es decir,
det(A(1) , . . . , A(k ) , . . . , A(j) + αA(k ) , . . . , A(n) ) = det(A)
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¿Cómo utilizar la
propiedad 11
anterior?
Si la fila i multiplicada por el número α
la fila j, anotaremos αFi + Fj .
la sumamos a
Para calcular el siguiente determinante usaremos la operación
− 2F1 + F2 ; a continuación la operación − 4F1 + F3 y luego
desarrollaremos el determinante a través de la primera columna:
1 −5 −2
1 −5 −2
3 1
2 −7 −3 = 0
3
1=
= 19
8 9
4 − 12
1 0
8
9
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33
Ejercicio: Calcule los siguientes determinantes:
−2
3
4
−1
−1
−4
5
1
a+b
b
1,
−7
1
1
a+c
a+d
c ,
d
x+3
−1
7
6
x−5
−6
1
1 ,
x+2
1
a
a2
1
1
b
c
b2
c2
Ejercicio:
Clasifique las siguientes
afirmaciones como verdaderas o falsas:
1.
det( A 2 − B 2 ) = det( A + B) ⋅ det( A − B) , ∀A, B ∈ M n ( κ )
2.
det( A + I 2 ) = det( A ) + det( I 2 ) ⇔
3.
det(-A) = - det(A), ∀A ∈ M n ( κ )
tr(A) = 0
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Definición: La matriz adjunta de A = (a i j) ∈ Mn (κ) , es la
transpuesta de la matriz de los cofactores de A , es decir,
adj( A ) = (( −1) i + j M i j ) t = (C i j ) t = (C j i )
a b
d - b
∈ M2(ℜ) , adj(A)=
Por ejemplo, si A =
c d
- c a
¿Cuál es la matriz adjunta de
cofactores de A es
9
5
2
1
− 6 −12
2 −1 0
A = − 3 5 6 ? La matriz de los
1 0 1
− 5
1 − 6
5
−1 ; luego adj( A ) = 9
2 − 12
− 5 −1
6
6
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35
Observe que si
a b
∈ M 2 (ℜ) ,
A =
c d
0
a b d - b ad - bc
=
A ⋅ adj(A) =
c
a
c
d
0
ad
bc
0
d - b a b ad - bc
=
y adj(A) ⋅ A =
ad - bc
- c a c d 0
Y si el determinante de A es distinto de cero tenemos que,
1
1
A ⋅
adj(A) = I 2 =
adj(A) ⋅ A
det(A)
det(A)
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36
Este resultado es más general; se puede demostrar que si
A ∈ M n ( κ) y det(A) es distinto de cero, entonces
A ⋅ 1 adj(A) = I n = 1 adj(A) ⋅ A
det( A )
det( A )
es decir, A es invertible y se tiene que
1
adj(A)
A -1 =
det(A)
Recíprocamente, si A es invertible, entonces
1 = det(I n ) = det(A ⋅ A −1 ) = det(A) ⋅ det(A −1 )
y por lo tanto, det(A) ≠ 0.
Por lo tanto, podemos enunciar el siguiente teorema que
caracteriza a las matrices invertibles:
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37
Teorema:
Sea A ∈ Mn (κ) ; entonces
A invertible ⇔
det( A ) ≠ 0
-1
Y en este caso se tiene que A = det(1 A ) adj(A)
Por ejemplo, si
a b
∈ M2 (ℜ) , y ad - bc ≠ 0, entonces
A =
c d
1 d - b
-1
A =
ad − bc - c a
Ejercicio: Calcule la inversa de las siguientes matrices:
2 −1 4
5 9
, B = 3 −1 6 ,
A =
− 2 − 3
1 2 1
−1 5 1
C = 2 1 − 3
3 − 2 − 4
__________________________________________________________________
Algebra Lineal - I. Arratia Z.
38
Ejercicio: Es verdadero o falso que para
matrices A, B invertibles de orden n se tiene que:
1
det( A )
1.
det( A − 1 ) =
2.
( A + B ) −1 = A −1 + B −1
3.
(AB) -1 = B − 1 A − 1
4.
(A -1 ) − 1 = A
Ejercicio: Determine todos los valores reales de k de modo
que las siguientes matrices sean invertibles:
1+ k
k
,
A =
1 − k − k
1
k 1
B = 2 0 − 2k ,
3 1 k − 2
k
1
C=
1
1
0 1
1 1
1 k 1
0 0 k
0
k
__________________________________________________________________
Algebra Lineal - I. Arratia Z.
39
Operaciones elementales – Matrices escalonadas
Para una matriz A ∈ Mmxn (κ) consideraremos las siguientes
“operaciones elementales con las filas de A”:
• Permutar dos filas: Si se permuta la fila i con la fila j anotamos
Fij
• Multiplicar una fila por un número real: Si se multiplica la fila i
por el número α ≠ 0, esta operación se anota
αFi
• Sumar dos filas: Si la fila i se suma a la fila j, anotamos
Fi + Fj
• Finalmente, podemos combinar las dos últimas operaciones y
obtener
αFi + Fj
__________________________________________________________________
Algebra Lineal - I. Arratia Z.
40
Ejercicio:
Verifique que si se realizan las operaciones
elementales indicadas con las filas de la matriz A, se obtiene
la matriz E.
2 6
1 4
A = 1 4 , F12 , - 2F1 + F2 , F1 + F3 , F2 3 , 2F2 + F3 , E = 0 1
− 1 − 3
0 0
Si A, B ∈ Mmxn (κ)y si B se obtiene realizándole a la matriz A un
número finito de operaciones elementales, entonces se dice que A
≈ Bejemplo, las matrices
es equivalente a B y se anota
.APor
A y E del ejercicio anterior son equivalentes.
La matriz E del ejercicio anterior tiene una forma muy particular, es
una matriz del tipo escalonada. A continuación damos una
definición de matriz escalonada:
__________________________________________________________________
Algebra Lineal - I. Arratia Z.
41
Una matriz A ∈ Mmxn (κ) se llama
satisface las siguientes condiciones:
matriz
escalonada
si
• Las filas que tengan todas sus componentes iguales a cero deben
estar ubicadas debajo de aquellas que tengan componentes no
nulas.
• La primera componente no nula de cada fila no nula es 1, vista de
izquierda a derecha. Esta componente se llama “uno distinguido o
uno capital”.
• El número de ceros al comienzo de una fila aumenta a medida
que se desciende en la matriz.
Si además A satisface lo siguiente:
• Todas las componentes de la columna donde aparece un 1
distinguido son ceros,
la matriz A se llama escalonada reducida por filas.
__________________________________________________________________
Algebra Lineal - I. Arratia Z.
42
Ejercicio: Decida si las siguientes matrices son
o no son escalonadas.
reducidas por filas?
1 − 1
2 − 1 0
A = 0 2 , B = 0 1 0 ,
0 0
0 0 1
¿Son
escalonadas
0
1 5 0
C = 0 0 1 − 4
0 1 − 1 2
Teorema: Toda matriz A ∈ Mmxn (κ) es equivalente a una
matriz
E ∈ Mmxn (κ) del tipo escalonada reducida por filas.
Si A ∈ Mmxn (κ) , entonces A ≈ E , con E matriz escalonada
reducida por filas. Se define el rango de A como el número de
filas no nulas de E, que equivale al número de “unos distinguidos”
de E. El rango de A lo denotaremos por r(A).
__________________________________________________________________
Algebra Lineal - I. Arratia Z.
43
El rango de la matriz nula es cero: r(O) = 0.
El rango de la matriz identidad de orden n es n: r(I n ) = n
4 − 6 2 − 4
A
1
1
0
5
=
El rango de la matriz
es 2. ¿Por qué?
3 − 2 1
3
Ejercicio: Determine todos los valores reales de a de modo
que el rango de la matriz M sea 3 si
1
M = 2
3
2
3
4
a
1
a 2
Ejercicio: Estudie el rango de la matriz A, dependiendo de
los valores reales de k si
1 − 1 0 1
A = 1 k + 1 1 0
1 − 4 3 − 2
__________________________________________________________________
Algebra Lineal - I. Arratia Z.
44
Un teorema que caracteriza a las matrices invertibles es:
Teorema:
Sea
A invertible ⇔
A ∈ Mn (κ) ; entonces
r (A ) = n ⇔
A≈In
Y si una sucesión de operaciones elementales fila reducen A a la
matriz identidad I n , entonces esa misma sucesión de operaciones
−1
elementales fila cuando se aplican a I n proporcionan A .
Ejercicio: Aplique la última parte del teorema para calcular
la inversa de cada una de las siguientes matrices:
1 3 1
5
12
, B = 2 4 1 ,
A =
− 1 − 3
− 3 − 1 2
3
2 3
C = 3 1
1
k − 1 − 2
__________________________________________________________________
Algebra Lineal - I. Arratia Z.
45
Las operaciones elementales también se pueden
realizar con las columnas de la matriz.
Sin embargo, para los objetivos de este curso,
usaremos sólo operaciones elementales con las
filas de la matriz.
Ejercicio:
compleja:
Determine el rango de la siguiente matriz
i
3i
3
1
A = 2+i
1 1 + 2i 4 + i
−1 + i 1 + i 1 + i −1 + i
__________________________________________________________________
Algebra Lineal - I. Arratia Z.
46
Matrices elementales
Una matriz elemental es aquella que se obtiene al realizar una
operación elemental a la matriz identidad I n .
Usaremos las
elementales:
Ei j
siguientes
notaciones
para
las
matrices
: se obtiene al realizar Fi j a I n
Ei (α) : se obtiene al realizar αFi a I n
Ei j (α) : se obtiene al realizar αFi + Fj a I n
Por ejemplo, para orden 3,
E2 3
1 0 0
= 0 0 1 ,
0 1 0
1 0 0
E1 3 (4) = 0 1 0
4 0 1
__________________________________________________________________
Algebra Lineal - I. Arratia Z.
47
Observaciones
(1) Existe una equivalencia entre realizar a la matriz A una
operación elemental fila y multiplicar, por la izquierda, la matriz A
por una matriz elemental. A saber,
Ei j ⋅ A
corresponde a realizar a A la operación elemental
Fi j
Ei (α) ⋅ A
“
“
“
“
α Fi
E i j (α ) ⋅ A
“
“
“
“
αFi + Fj
(2) Las matrices elementales son invertibles; en efecto,
Ei j ⋅ Ei j = I n
Ei (α) ⋅ Ei ( α1 ) = I n
Ei j (α) ⋅ Ei (−α) = I n
__________________________________________________________________
Algebra Lineal - I. Arratia Z.
48
(3) La inversa de una matriz elemental es también una matriz
elemental.
Ahora estamos en condiciones de demostrar el
teorema enunciado antes y que caracteriza a las
matrices invertibles.
Teorema:
Sea A ∈ Mn (κ) ; entonces
A invertible
⇔
A≈In
i) Supongamos que A es invertible y que A ≈ E , con E matriz
escalonada reducida por filas, E ≠ I n . Entonces E tiene por lo
menos una fila de ceros y por tanto det( E) = 0.
Pero si A ≈ E , el determinante de A difiere del determinante de
E en el signo o en un factor numérico. En cualquier caso
concluimos que det(A) = 0, lo que es una contradicción. Por lo
tanto se debe tener A ≈ I n .
__________________________________________________________________
Algebra Lineal - I. Arratia Z.
49
i) Supongamos que A ≈ I n ; entonces I n se obtiene realizando
una sucesión de operaciones elementales fila a la matriz A. Esto
quiere decir que
Ek Ek-1 . . . . E2 E1 A = In , con E1, . . . Ek
matrices elementales.
Como las matrices elementales son
invertibles podemos expresar
A = E 1− 1 ⋅ E 2− 1 ⋅ . . . . ⋅ E -1
k
⇒ det(A) = det(E
-1
1 )
⋅ . . . . ⋅ det(E
-1
k )
⇒ det(A) ≠ 0
⇒ A invertible
Del teorema siguen los siguientes corolarios:
(1) A ∈ Mn (κ) A invertible ⇔ r ( A ) = n
__________________________________________________________________
Algebra Lineal - I. Arratia Z.
50
(2) A ∈ Mn (κ) , A invertible
⇔
A es producto de
matrices elementales.
Esto último sugiere otro método para calcular la inversa de A:
E k ⋅ . . . . . ⋅ E 2 ⋅ E1 ⋅ A = I n ⇒ A -1 = E k ⋅ . . . . . ⋅ E 2 ⋅ E1
Además, prueba el enunciado hecho antes: Si una sucesión de
operaciones elementales fila reducen A a la matriz identidad I n,
entonces esa misma sucesión de operaciones elementales fila
cuando se aplican a I n proporcionan A −1.
2 − 8
A
=
Ejercicio: Exprese la inversa de la matriz
1 − 3
como producto de matrices elementales.
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Algebra Lineal - I. Arratia Z.
51
Factorización LU
Sea A ∈ Mn (κ) . Si al escalonar A no es necesario realizar
permutación de filas, entonces A puede factorizarse como el
producto LU donde:
• L es una matriz triangular inferior con todos los elementos de
su diagonal iguales a 1.
• U es una matriz triangular superior con los elementos pivotes
en la diagonal.
No toda matriz admite
factorización LU
__________________________________________________________________
Algebra Lineal - I. Arratia Z.
52
1
0
0
A
=
Por ejemplo,
1
efecto,
a
A =
c
0 x
d 0
y
z
no admite factorización LU.
0 1 ax
=
⇒
1 0 cx
⇒ ax = 0
∨
En
cy + dz
ay
⇒
(a = 0
x = 0)
⇒
⇒
L o U no invertible
A no invertible
Lo que es una contradicción pues det(A) = -1.
Este ejemplo muestra que,
A
invertible
⇒
/
A admite factorización LU
__________________________________________________________________
Algebra Lineal - I. Arratia Z.
53
Ejemplo: Encontremos la factorización LU de la matriz
1
A = 0
1
1 1 1 − F1 + F3
≈
A = 0 1 1
1 2 0
1
1
2
1
1
0
1 1 1 − F2 + F3
≈
0
1
1
0 1 − 1
1 1 1
0
1
1
=U
0 0 − 2
Lo anterior se expresa con matrices elementales así:
E2 3 (−1) ⋅ E1 3 (−1) ⋅ A = U
⇒
⇒
A = (E2 3 (−1))−1 ⋅ (E1 3 (−1))−1 ⋅ U
A = E1 3 (1) ⋅ E2 3 (1) ⋅ U
A
=
L
U
__________________________________________________________________
Algebra Lineal - I. Arratia Z.
54
Efectivamente,
1
A = 0
1
1
1
2
1 1
1 = 0
0 1
0
1
1
0 1
0 0
1 0
1
1
0
1
1
− 2
De lo realizado se puede concluir que la factorización LU
de una matriz A no es única.
Ejercicio: Encuentre una descomposición LU para las
matrices A y B siguientes.
−1 2
A= 3 0
−1 2
1
2
0
1
0
3
1
2
1
1
1
−
B=
3 −1 −1
2
−1
2
3 − 1
__________________________________________________________________
Algebra Lineal - I. Arratia Z.
55
Sistemas de m ecuaciones lineales
con n incógnitas
Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas se expresa
a11 x 1 + a12 x 2 + . . . . . + a1n x n
a x + a x + ..... + a x
22 2
2n n
(*) 21 1
........
a m1x 1 + a m 2 x 2 + . . . . . + a mn x n
=
=
b1
b2
=
...
bm
donde A = ( a i j ) ∈ M mn ( ℜ ) es la matriz de los coeficientes del
sistema y
x1
x2
X=
,
....
x
n
b1
b
B= 2
....
b
m
son las (matrices) columnas
de incógnitas y de términos constantes respectivamente.
__________________________________________________________________
Algebra Lineal - I. Arratia Z.
56
x1
Los números reales ( x 1, x 2 , . . . . . , x n ) , formalmente x 2
....
x
n
que satisfacen cada una de las ecuaciones de (*) forman una
solución del sistema (*).
El sistema (*) se dice compatible si posee al menos una
solución y se dice incompatible cuando no tiene solución.
Observe que el sistema (*) equivale a la
ecuación matricial AX = B, con A la
matriz de orden m x n formada con los
coeficientes del sistema, X la matriz
columna de incógnitas y B la matriz
columna de términos constantes.
__________________________________________________________________
Algebra Lineal - I. Arratia Z.
57
Ejercicio:
Escriba la ecuación matricial AX = B que
representa a los sistemas:
2 x1 − x 2 + 7 x 3
x1 + 4 x 2 − 3 x 3
5 x − 2 x + 3 x
2
3
1
=
−1
=
=
0
6
x1 − x 2 − 2 x 3 + 2 x 4
3x 1 + x 2 + 4 x 3 + 9 x 4
=
0
=
0
Ejercicio: Escriba el sistema de ecuaciones lineales
AX = B que corresponde a las matrices:
0 − 3
2
A = 1 − 5 − 1 ,
− 6
1
1
4 5
A =
−1 0
2
,
7
2
B = - 4
3
1
B = - 6
10
__________________________________________________________________
Algebra Lineal - I. Arratia Z.
58
Problema: Haga el planteamiento matemático del
siguiente problema: Un empresario tiene tres máquinas
que son empleadas en la fabricación de cuatro productos
diferentes. Para utilizar plenamente las máquinas, estas
estarán en operación 8 horas diarias. El número de horas
que cada máquina es usada en la producción de una unidad
de cada uno de los cuatro productos está dado en la tabla.
Prod 1 Prod 2 Prod 3 Prod 4
Máq 1
1
2
1
2
Máq 2
2
0
1
1
Máq 3
1
2
3
0
¿Cuántas unidades de cada producto se deben
producir en un día, con el fin de usar
plenamente las máquinas?
__________________________________________________________________
Algebra Lineal - I. Arratia Z.
59
Sistemas de ecuaciones lineales
homogéneos
Un sistema de ecuaciones lineales se dice homogéneo cuando
la columna de términos constantes está formada sólo por ceros.
Sea AX = O, con A ∈ M mn ( ℜ )
entonces:
un sistema homogéneo;
1. AX = O es siempre compatible pues X = O es solución de él.
2. Si E ∈ M mn ( ℜ ) es tal que A ≈ E , entonces los sistemas
(equivalentes) AX = O y EX = O tienen las mismas soluciones.
3. Si el rango de A, r(A) = n, entonces X = O es la única solución
de AX = O.
4. Si el rango de A, r(A) < n, entonces existen infinitas soluciones
para AX = O. Estas se pueden expresar en términos de uno o
más parámetros.
__________________________________________________________________
Algebra Lineal - I. Arratia Z.
60
Resolución de sistemas homogéneos
Ejemplo 1
x1 + x 2 − x3
= 0
2x1 − 2x 2 + 3x3 = 0
3x1 + 7x 2 − x3 = 0
La matriz de este sistema es:
1 − 1
1
A = 2 − 2 3
3
7 − 1
Con A, realizamos operaciones elementales fila hasta obtener E
1 − 1 1 1 - 1 1 0 − 3 2 1 0 0
1
1
A = 2 − 2
3 ≈ 0 - 4 5 ≈ 0 1
≈
0
1
0
=E
2
3
7 − 1 0 4 2 0 0
7 0 0 1
Como r(A) = 3 = N° columnas de A = N° de incógnitas, el sistema
tiene solución única y ésta es la misma que tiene EX = O, es decir,
0
S = 0 , que nos permitimos escribir S = (0, 0, 0)
0
__________________________________________________________________
Algebra Lineal - I. Arratia Z.
61
Ejemplo 2:
x1 + x2 − 3x3
= 0
2x1 − 4x2 + 6x3 = 0
− 1x1 − 7x2 + 15x3 = 0
1
A = 2
−1
1
−4
−7
− 3 1
6 ≈ 0
15 0
1
-6
-6
En este caso:
- 3 1
12 ≈ 0
12 0
0
1
0
− 1
− 2 = E
0
Como r(A) = 2 < N° columnas de A (N° de incógnitas), el sistema
tiene infinitas soluciones. Estas las buscamos en el sistema EX = O:
x1 − x 3 = 0
x1 = x 3
⇔
x 2 = 2x 3
x 2 − 2x 3 = 0
Asignamos a x 3 el parámetro λ con el fin de expresar las infinitas
soluciones así:
λ 1
S = 2λ = 2 λ ; λ ∈ ℜ.
λ 1
O también, S = (1, 2, 1) λ , λ ∈ ℜ
__________________________________________________________________
Algebra Lineal - I. Arratia Z.
62
Ejemplo 3: Resolvamos el sistema de 4 incógnitas:
x − y + 4 z + 5u
=
0
2x + 3y − 7z
=
0
4 5 1 −1
4
1 −1
≈
A =
3 − 7 0 0
5 − 15
2
5 1 0
1
3
≈
=E
− 10 0 1 − 3 − 2
En este caso, r(A) = 2 < N° columnas de A (N° de incógnitas) y el
sistema tiene infinitas soluciones. El sistema equivalente EX = O
es:
x + z + 3u = 0
x = - z - 3u
y − 3 z − 2u = 0
⇔
y = 3z + 2u
Asignamos dos parámetros: z = λ , u = µ . Las infinitas soluciones
- 3
se expresan: − 1
3
2
S = λ + µ ; λ , µ ∈ ℜ.
0
1
1
0
O también, S = ( − 1, 3, 1, 0) λ + ( − 3, 2, 0, 1) µ ; λ , µ ∈ ℜ
__________________________________________________________________
Algebra Lineal - I. Arratia Z.
63
Ejemplo 4: Determinemos todos los valores de k de modo
que el siguiente sistema tenga soluciones distintas de X=O,
es decir, soluciones no triviales.
= 0
5x1 − x2 + 3x3
− 2x1 + 4x2 + 6x3 = 0
= 0
x2 + (k − 1)x3
El sistema tendrá soluciones no triviales si y sólo si r(A) < 3 = N°
columnas de A (N° de incógnitas del sistema).
5
A = − 2
0
−1
4
1
3 1
6 ≈ 0
k − 1 0
-2
9
1
-3 1 0
1
18 ≈ 0 1
2 =E
k - 1 0 0 k − 3
Por lo tanto el valor de k buscado es k = 3, en cuyo caso las múltiples
soluciones del sistema se pueden expresar:
( − 1, - 2, 1) λ ; λ ∈ ℜ
__________________________________________________________________
Algebra Lineal - I. Arratia Z.
64
Ejercicio: Determine todos los valores reales de k de
modo que el siguiente sistema tenga soluciones no triviales:
x1 + x 2 − x 3
2 x1 − 4 x 2 + kx 3
3 x1 + 7 x 2 − x 3
=
0
=
=
0
0
Ejercicio: ¿Para qué valores del número
real a, el sistema AX = O tiene solución
única? Aquí A es la matriz:
1 1 − 1
A = 3 a a
4 a 0
__________________________________________________________________
Algebra Lineal - I. Arratia Z.
65
Sistemas de ecuaciones lineales no homogéneos
Consideremos el sistema no homogéneo AX
= B, de m ecuaciones lineales con n
incógnitas, donde A = ( a i j ) ∈ M mn ( ℜ ) y
B = ( b1, b 2 , . . . . . , b m ) t ∈ M mx1 ( ℜ )
Llamaremos matriz ampliada (o matriz aumentada) del
sistema AX = B a:
a 11
a 21
A =
....
a
m1
a 12
a 22
....
....
a 1n
a 2n
....
am 2
....
....
....
a mn
b1
b2
....
b m
__________________________________________________________________
Algebra Lineal - I. Arratia Z.
66
Se tiene que:
El sistema AX = B es compatible si y sólo si r(A) = r(A; B)
O equivalente,
El sistema AX = B es incompatible si y sólo si r(A) ≠ r(A; B).
Supongamos que AX = B, sistema de m ecuaciones lineales
con n incógnitas, es compatible.
1. Si r(A) = r(A; B) = n, entonces AX = B tiene solución única.
2. Si r(A) = r(A; B) < n, entonces AX = B tiene infinitas
soluciones que se pueden expresar en términos de uno o
más parámetros.
__________________________________________________________________
Algebra Lineal - I. Arratia Z.
67
Si el sistema AX = B tiene n ecuaciones y n
incógnitas, A es una matriz cuadrada de
orden n.
Y si el rango de A, r(A) = n,
entonces r(A; B) también es n, A es invertible
y la única solución del sistema la podemos
encontrar a través de la inversa de A:
Ejercicio:
X = A − 1B
En las condiciones anteriores, ¿por qué
Ejercicio:
Usando la inversa de la matriz del sistema,
X = BA − 1no es solución del sistema?
resuelva
x1 + x 2 + 2x 3
=
9
3x1 + 6x 2 − 5x 3 = 0
2x1 + 4x 2 − 4x 3 = − 2
__________________________________________________________________
Algebra Lineal - I. Arratia Z.
68
Resolución de sistemas no homogéneos
Ejemplo 1:
x + 4y − 3z
3x + 6y − z
=
=
−3
1
1 4 − 3 − 3 1 4 − 3 − 3 1 0 7 3 113
≈
≈
( A; B) =
8 10 0 1 −4 3 −5 3
1 0 − 6
3 6 −1
En este caso, r(A) = 2 = r(A; B) y el sistema es compatible. Como
n = N° de incógnitas = 3, el sistema tiene infinitas soluciones; las
buscamos en:
7
11
x + 3z
y − 43 z
Soluciones:
=
=
−5
3
3
( −7 , 4 , 1) λ + (11, -5 , 0) ; λ ∈ ℜ
3
3
3
3
__________________________________________________________________
Algebra Lineal - I. Arratia Z.
69
Ejemplo 2: Estudiemos la compatibilidad del sistema
x1 − 2 x 2 + x 3
2 x1 + x 2 + x 3
5x2 − x3
1 a 1 − 2
1 −2
( A ; B) = 2
1
1 b ≈ 0 5
0
5 − 1 c 0 5
=
a
=
=
b
c
1
a 1 − 2
− 1 b − 2a ≈ 0 5
−1
c 0 0
1
−1
0
a
b − 2a
2a − b + c
Por lo tanto, el rango de A es 2.
El sistema será compatible si y sólo si
r(A; B) = 2,
lo que equivale a que a, b, c deben cumplir,
2a – b + c = 0
__________________________________________________________________
Algebra Lineal - I. Arratia Z.
70
Ejemplo 3: Determinemos los valores reales de m de
manera que el sistema: x + 2 x + 2 x
1
1
2
3 =
= 2
mx 2 + x 3
x1 + x 2 + mx 3 = − 1
i) Tenga solución única
ii) Posea múltiples soluciones
iii) Sea incompatible
1 1 2
2
2 ≈ 0 m
1
− 1 0 − 1 m − 2
−3
2m − 2
2−m
2
2
( m − 1)
2 (1 − m )
1 2 2
( A ; B) = 0 m
1
1 1 m
1
≈ 0
0
0
1
0
1
2 ≈
− 2
__________________________________________________________________
Algebra Lineal - I. Arratia Z.
71
i) Para cualquier número real m, m ≠ 1, r(A) = 3 = r(A; B) y el
sistema tiene solución única. En este caso,
1 0 2 ( m − 1)
( A ; B) ≈ 0 1
2−m
0 0 ( m − 1) 2
Y la solución es:
(
S = 1,
1 0 0
ii) Si m = 1, ( A ; B) ≈ 0 1 1
0 0 0
− 3
2 ≈
2 (1 − m )
2
m -1
,
1
0
0
-2
m -1
0
0
1
0
0
1
),
1
2
m −1
−2
m −1
m ≠ 1
− 3
2 , r(A) = 2 = r(A; B) y el
0
sistema tiene múltiples soluciones que se expresan:
( 0, - 1, 1) λ + (-3, 2, 0) ; λ ∈ ℜ
iii) Para ningún número real m, el sistema es incompatible.
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Algebra Lineal - I. Arratia Z.
72
Ejercicio: Analice las soluciones del sistema
x1 + x 2 + ax 3 + x 4
x1 + ax 2 + x 3 + x 4
ax 1 + x 2 + x 3 + x 4
=
1
=
=
2
1
dependiendo de los valores que tome el número
real a.
Ejercicio: Resuelva el sistema
2 x1 + x 2 + x 3
x 1 + kx 2 + kx 3
x 1 + kx 2 − kx 3
=
1
=
=
2k
k
Para todos los valores reales de k para los cuales existen
múltiples soluciones.
¿Para algún valor de k, el sistema resulta ser incompatible?
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Algebra Lineal - I. Arratia Z.
73
Problema:
Una persona invierte
US$20.000 en tres diferentes negocios
que proporcionan utilidades del 5%, 6%
y 8% respectivamente.
La ganancia anual total de las tres
inversiones es US$1.266.
Determine la cantidad depositada en
cada negocio si se sabe que la utilidad
del negocio al 8% es igual a dos veces la
ganancia que deja el negocio al 5%.
Determine la cantidad depositada en cada negocio si se
sabe que la utilidad del negocio al 8% es igual a dos veces la
ganancia que deja el negocio al 5%.
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Algebra Lineal - I. Arratia Z.
74
La Regla de Cramer
La Regla de Cramer nos proporciona un método para
resolver ciertos sistemas de n ecuaciones lineales con n
incógnitas.
Sea A matriz de orden n y consideremos el sistema de
ecuaciones lineales AX = B. Si det (A) ≠ 0, entonces A es
invertible y la única solución del sistema es X = A − 1B .
La Regla de Cramer nos entrega otra manera de hallar esta
única solución de AX = B a través de los determinantes;
asegura que,
∆i
xi =
, i = 1, 2, . . . . . , n
∆
donde ∆ = det( A ) y ∆ i es el determinante de la matriz que
se obtiene al sustituir la i-ésima columna de A por la columna
B de términos constantes.
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Algebra Lineal - I. Arratia Z.
75
Ejemplo: Resolvamos el sistema x1 + 2x2 + 2x3 =
mx 2 + x 3
x1 + x2 + mx 3
=
=
1
2
−1
para todos los valores de m que hacen que este sistema
tenga solución única.
En este caso
Luego
1 2 2
∆ = 0 m 1 = (m − 1)2
1 1 m
∀ m ∈ ℜ − {1} , ∆ = det(A) ≠ 0
y el sistema tiene
solución única. Calculemos la solución:
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Algebra Lineal - I. Arratia Z.
76
∆
x1 = 1 =
∆
x2 =
x3 =
∆2
=
∆
∆3
=
∆
Solución:
1
2
2
m
2
1
−1
1
m
( m − 1)
2
1
0
1
2
2
1
1
−1
m
( m − 1) 2
1
0
1
2
m
1
1
2
−1
( m − 1) 2
(
S = 1,
=
=
=
2 ,
m -1
( m − 1) 2
( m − 1)
2
2 ( m − 1)
( m − 1) 2
= 1
=
− 2 ( m − 1)
( m − 1) 2
)
-2
,
m -1
2
m −1
=
− 2
m −1
m ≠ 1
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Algebra Lineal - I. Arratia Z.
77
Problema: Suponga que dos productos A y B compiten y
que las demandas Q A y Q B de estos productos están
relacionadas con sus precios p A y p B por las ecuaciones
de demanda: Q A = 17 - 2p A + 1 p B ,
2
Q B = 207 - 3p A + 1 p B
2
Las ecuaciones de la oferta son:
pA = 2 + Q A + 1 QB ,
3
pB = 2 + 1 Q A + 1 Q B
2
4
que indican los precios a los cuales las cantidades
estarán disponibles en el mercado. En el punto de equilibrio
del mercado las cuatro ecuaciones deben satisfacerse.
Calcule los valores de equilibrio de Q A , QB , p A y pB .
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Algebra Lineal - I. Arratia Z.
78
Sistemas lineales y factorización LU
Consideremos el sistema AX = B, donde A es una matriz de
orden n que admite una descomposición LU. Si AX = B tiene
solución única, ésta se puede obtener de la manera que se indica
a continuación:
AX = B
⇔
LU X = B
⇔
LY = B, con Y = UX
Ejemplo: Resolvamos el sistema
x1 + 2x 2 − x 3 + x 4
− x1 − x 2 + 2x 3 − x 4
3 x1 + 4 x 2 − x 3
2x1 + 4 x 2 + 2x 3 + x 4
= −2
=
=
=
4
−1
7
__________________________________________________________________
Algebra Lineal - I. Arratia Z.
79
La matriz A del sistema admite una factorización LU así:
1 2 − 1 1 1 0
1
− 1 − 1 2 − 1 − 1
=
A=
3 4 − 1 0 3 − 2
2 4 2
0
1 2
0 0 1
0 0 0
×
1 0 0
1 1 0
L
2 −1
1
1 1 0
0 4 − 3
0 0
2
U
Resolvemos LY = B,
y1
− y1 + y 2
3 y1 − 2y 2 + y 3
2y1 + y 3 + y 4
= −2
=
=
=
4
−1
7
⇒
- 2
2
Y=
9
2
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Algebra Lineal - I. Arratia Z.
80
Finalmente, resolvemos U X = Y,
x1 + 2x 2 − x 3 + x 4
x 2 + x3
4x3 − 3x 4
2x 4
= −2
= 2
= 9
=
2
⇒
2
- 1
X=
3
1
Solución del sistema
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Algebra Lineal - I. Arratia Z.
81
Espacios vectoriales
__________________________________________________________________
Algebra Lineal - I. Arratia Z.
82
En el estudio de las matrices y, en
particular, de los sistemas de ecuaciones
lineales realizamos sumas y multiplicación por
escalares con un tipo especial de matrices, las
de orden nx1.
Abusando del lenguaje y la notación establecimos la
correspondencia:
x1
x2
.
..
.
xn
(x 1, x 2 , . . . . , x n )
__________________________________________________________________
Algebra Lineal - I. Arratia Z.
83
n
Es decir, aceptamos que Mnx 1( ℜ ) ≅ ℜ , con el fin de
aprovechar la familiaridad que se tiene con los espacios
ℜ2 y ℜ3 .
En este capítulo estudiaremos conjuntos que
n
poseen propiedades algebraicas similares a ℜ .
A dichos conjuntos se les dará el nombre de
espacios vectoriales y a sus elementos el
nombre de vectores.
En lo que sigue κ designará al cuerpo ℜ de los números
reales o al cuerpo C de los números complejos.
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Algebra Lineal - I. Arratia Z.
84
Espacios y subespacios vectoriales
Un espacio vectorial sobre el cuerpo
de objetos V con dos operaciones:
(1) + : V x V
V ; (u, v)
κ
es un conjunto
u+v
que es asociativa, conmutativa, posee elemento neutro
(cero) y cada elemento posee un inverso.
(2) p:
κxV
V ; (α , v)
α⋅ v
que satisface lo siguiente:
i) α (β v ) = ( αβ )v ; ∀ α, β ∈ κ; ∀ v ∈ V
ii) ( α + β )v = α v + β v; ∀ α, β ∈ κ; ∀ v ∈ V
iii) α (u + v ) = α u + α v; ∀ α ∈ κ; ∀ u, v ∈ V
iv ) 1 ⋅ v = v; ∀ v ∈ V, con 1 elemento unidad de κ
__________________________________________________________________
Algebra Lineal - I. Arratia Z.
85
La operación (1) es interna en V; se llama suma
o adición. La operación (2) es externa y se llama
multiplicación por escalar o ponderación.
Los elementos de V se llaman vectores y los de κ
escalares. Si κ = ℜ , se dice que V es un espacio
vectorial real. Si κ = C , el espacio vectorial V se dice
complejo.
En cualquier espacio vectorial V sobre
a)
b)
0 ⋅ v = 0 , ∀v ∈ V
α ⋅ 0 = 0, ∀α ∈ κ
c)
d)
α ⋅ v = 0 ⇒ (α = 0
(-1) ⋅ v = − v, ∀v ∈ V
∨
κ
se tiene que:
v = 0)
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Algebra Lineal - I. Arratia Z.
86
Ejemplos de espacios vectoriales
(1)
Para n número natural, sea
(n veces), es decir,
ℜ
ℜn = ℜ × . . . . × ℜ
ℜn = { ( x1, . . . . . , x n ) / x i ∈ ℜ, ∀i = 1, . . . . , n }
n con las operaciones siguientes:
( x1, . . . . , x n ) + (a1, . . . . , a n ) = ( x1 + a1, . . . . , x n + a n )
α ( x1, . . . . , x n ) = ( α x1, . . . . , α x n ) , α ∈ ℜ
es un espacio vectorial real.
En consecuencia,
sobre sí mismo.
ℜ
es un espacio vectorial
__________________________________________________________________
Algebra Lineal - I. Arratia Z.
87
El espacio vectorial real
ℜ2
__________________________________________________________________
Algebra Lineal - I. Arratia Z.
88
El espacio vectorial real
ℜ3
__________________________________________________________________
Algebra Lineal - I. Arratia Z.
89
Suma en
ℜ3
Ponderación en
ℜ3
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Algebra Lineal - I. Arratia Z.
90
(2) No sólo ℜ es un espacio vectorial sobre ℜ . Si IK es
un cuerpo, IK es un espacio vectorial sobre si mismo. En
este caso, la ponderación coincide con la multiplicación
del cuerpo IK. En consecuencia, C (números complejos)
es un espacio vectorial complejo. Pero C también es un
espacio vectorial real si se considera la ponderación:
α ( a + bi ) = α a + α bi , α ∈ ℜ
(3) Para m , n ∈ IN , el conjunto M mxn ( ℜ ) de las matrices
reales de orden mxn, con las operaciones suma y
multiplicación habituales de las matrices, es un espacio
vectorial real.
(4) El conjunto ℜ [ x ] de los polinomios en x con coeficientes
reales, con las operaciones suma y ponderación usuales,
es un espacio vectorial sobre ℜ .
__________________________________________________________________
Algebra Lineal - I. Arratia Z.
91
(5) Para n número natural, denotemos por
Pn [ x] = { p( x ) ∈ ℜ[x] / p(x) de grado ≤ n }
Pn [ x], con las operaciones suma y multiplicación por
escalares reales, es un espacio vectorial real.
(6) Si A ⊆ ℜ, el conjunto F( A, ℜ) = { f : A → ℜ / función },
con la suma y ponderación usuales de las funciones, es
un espacio vectorial sobre ℜ .
¿Cuál es el elemento cero de los
siguientes espacios vectoriales reales?
ℜ n , M mxn ( ℜ ) , Pn [ x] y F( A, ℜ)
__________________________________________________________________
Algebra Lineal - I. Arratia Z.
92
Los siguientes conjuntos, con las operaciones
suma y ponderación habituales de los respectivos
espacios, no son espacios vectoriales reales.
A = { ( x , y) ∈ ℜ 2 / y = 2x − 3 }
B = { a + 5x 2 ∈ P2 [x] / a ∈ ℜ }
C = { A ∈ M n ( ℜ ) / det(A) ≠ 0 }
D = { f ∈ F ( ℜ , ℜ ) / f creciente en ℜ }
Ejercicio: Demuestre que los conjuntos A, B, C y
D mencionados anteriormente, no son espacios
vectoriales reales.
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Algebra Lineal - I. Arratia Z.
93
Cuando un subconjunto W de un espacio
vectorial V sobre el cuerpo κ , con las
operaciones de V restringidas a sus
elementos, resulta ser un espacio vectorial
sobre κ , entonces se dice que W es un
subespacio vectorial (o subespacio lineal o
simplemente subespacio) de V.
Por lo tanto,
W es un subespacio de V ⇒ 0V ∈ W
O equivalentemente,
0V ∉ W
⇒ W no es subespacio de V
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Algebra Lineal - I. Arratia Z.
94
El siguiente teorema caracteriza a los subespacios de V.
Teorema: Sea V un espacio vectorial sobre
κ
y W
un subconjunto no vacío de V. W es un subespacio de V
si y sólo si
i)
∀ u, v ∈ W ⇒ u + v ∈ W
ii)
∀ α ∈ κ, ∀ u ∈ W ⇒ α u ∈ W
Del teorema anterior sigue que, si V es un espacio
vectorial sobre κ, entonces V y { 0 } son subespacios
vectoriales de V.
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Algebra Lineal - I. Arratia Z.
95
Ejemplo: El conjunto D = { ( x, y) ∈ ℜ 2 / y = x 2 } no es
un subespacio de ℜ2 pues, por ejemplo, u = (2, 4) ∈ D,
v = (3, 9) ∈ D y u + v = (5, 13) ∉ D.
Ejemplo: El conjunto W = { ( x, y, z) ∈ ℜ3 / 2x - z = 0 } es
un subespacio de ℜ3 ; en efecto,
W = { ( x, y, 2x)
/ x , y ∈ℜ }
y se tiene que,
i) 0 = (0, 0, 0) ∈ W
y
W≠ ∅
ii) (x, y, 2x) + (a, b, 2a) = (x + a, y + b, 2(x + a)) ∈ W
iii) α ( x, y, 2 x ) = ( α x, α y, 2 α x ) ∈ W
En virtud del teorema enunciado anteriormente, W es
un subespacio de ℜ3 .
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Algebra Lineal - I. Arratia Z.
96
Ejemplo: El conjunto U = { A ∈ M n ( ℜ ) / A es simétrica}
es un subespacio de M n ( ℜ ) ; efectivamente,
i)
O n ∈ U ; puesto que la matriz nula es simétrica.
Luego U ≠ ∅
i) A, B ∈ U ⇒ (A t = A
∧
Bt = B)
⇒ (A + B) t = A t + B t = A + B
⇒ A +B∈U
ii)
( α ∈ ℜ ∧ A ∈ U)
⇒ ( α A) t = α A t = α A
⇒ αA ∈ U
Por lo tanto, W es un subespacio de M n ( ℜ ).
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Algebra Lineal - I. Arratia Z.
97
Ejercicio: Muestre 3 ejemplos de
conjuntos que sean subespacios de
ℜ3 y 3 conjuntos que no sean
subespacios de ℜ3 .
Ejercicio: Demuestre que los siguientes conjuntos
son subespacios del respectivo espacio.
S 1 = { ( x, y) ∈ ℜ 2 / y = 4x }
S 2 = { a + bx + c x 2 ∈ P2 [x] / a + 2c = 0 }
S 3 = { (x, y, z, t) ∈ ℜ 4 / x + 3y + 4 t = 0 ∧ y - z + 2t = 0 }
a
S 4 =
c
b
∈ M 2 ( ℜ ) /
d
3a + b - d = 0 ∧ 2c - b = 0
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Algebra Lineal - I. Arratia Z.
98
Teorema: Sea V un espacio vectorial sobre κ y sean
U y W subespacios de V. Entonces U∩ W es un
subespacio de V.
Efectivamente, como 0V pertenece a U y también a W,
0 V ∈ U ∩ W. Además si u, v son vectores de U∩ W ,
u∈U ∧ u∈ V ∧ v∈U ∧ v∈ W
⇒ u+ v∈U ∧ u+ v∈ W
⇒ u + v ∈U ∩ W
Finalmente, si u ∈ U ∩ W y α ∈ κ,
u∈U ∧ u∈ W
⇒ αu ∈ U ∧ αu ∈ W
⇒ αu ∈ U ∩ W
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Algebra Lineal - I. Arratia Z.
99
Es posible demostrar que la intersección de
cualquier colección de subespacios de un
espacio vectorial V es un subespacio de V.
También es fácil mostrar que la unión de dos subespacios
de un espacio vectorial V no es un subespacio de V.
2
Por ejemplo, considere los subespacios de ℜ :
U = { (x, y) / y = 2x }
W = { (x, y) / y = 3x }
2
Entonces U U W no es un subespacio de ℜ .
¿Por qué?
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Algebra Lineal - I. Arratia Z.
100
Combinaciones lineales - generadores
Sea V es un espacio vectorial sobre
S = { v1, . . . . . , vn }
κ y
un conjunto de vectores
de V. Una combinación lineal de vectores
de S (o de v1, . . . . . , v n ) es un vector de la
forma
v = α1 v1 + . . . . . . + αnvn, donde
α 1, . . . . , α n ∈ κ .
Por ejemplo, el vector v = (-1, -2, 7) del espacio ℜ 3 es
combinación lineal de los vectores s = ( 1, -4, 3) y
t = (-2, 5, -1) puesto que v = 3 s + 2 t.
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Algebra Lineal - I. Arratia Z.
101
El conjunto de todas las combinaciones lineales
de vectores de S resulta ser un subespacio
vectorial de V; se llama espacio generado por
S (o espacio generado por v1, . . . . . , v n ) y se
denota <S> o < { v1, . . . . . , v n }>.
Ejemplo: Determinemos el subespacio generado por los
3
vectores v1 = (1, 0, 2) y v2 = (0, - 1, 1) de ℜ :
< { v1, v 2 } > = { α v1 + β v 2 / α, β ∈ ℜ }
= { α(1, 0, 2) + β(0, - 1, 1) / α, β ∈ ℜ }
= { ( α, - β, 2α + β ) / α, β ∈ ℜ }
= { (x, y, z) ∈ ℜ 3 / z = 2x - y }
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Algebra Lineal - I. Arratia Z.
102
Ejemplo: Sea S = { 2 - 5x + x 2 , 1 - 3x + 2x 2 } ⊂ P2 [x]
¿El vector p(x) = 2 - 4x − 5 x 2 pertenece a < S > ?
La pregunta equivale a ¿existen α, β ∈ ℜ tales que
α(2 - 5x + x 2 ) + β(1- 3x + 2x 2 ) = 2 - 4x - 5x 2 ?
Esta igualdad nos conduce a
2α + β = 2
− 5 α − 3β = − 4
α + 2β = − 5
Sistema que resulta incompatible y, en consecuencia,
p ∉<S >
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Algebra Lineal - I. Arratia Z.
103
VoF
Ejercicio:
Determine si las
siguientes afirmaciones, relativas a
un
espacio
vectorial
V,
son
verdaderas o falsas:
A)
B)
0 ∈ < S >, ∀ S ⊆ V
∀ k = 1, . . . . , n, v k ∈ < {v 1, . . . . . , v n } >
C)
S⊆T ⇒ <S> ⊆ <T>
D)
<S>=<T> ⇒ S=T
Si V es un espacio vectorial y S es un subconjunto de
V, puede ocurrir que < S > = V; en este caso se dice
que S genera a V o que V está generado por S.
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Algebra Lineal - I. Arratia Z.
104
3
Ejemplo: Consideremos los vectores de ℜ , e 1 = ( 1, 0, 0),
e 2 = ( 0 , 1, 0)
y
e 3 = ( 0 , 0, 1).
Entonces { e1, e 2 , e 3 }
3
genera al espacio ℜ ; en efecto,
< { e1, e2, e3 } > = {a(1, 0, 0) + b(0, 1, 0) + c(0, 0, 1) / a, b, c ∈ ℜ}
= {(a, b, c) / a, b, c ∈ ℜ}
= ℜ3
Puntos en el espacio
ℜ3
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Algebra Lineal - I. Arratia Z.
105
ℜ
está generado por e 1 = 1
0
1
2 está generado por
ℜ
1
e 1 = (1, 0), e 2 = ( 0 , 1)
1
P2[x] está generado por {1, x, x2 } puesto que
a + bx + cx2 = a ⋅ 1+ b ⋅ x + c ⋅ x2
¿Cuáles son los generadores “naturales” de M2( ℜ )?
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Algebra Lineal - I. Arratia Z.
106
Dependencia lineal
4
En ℜ , consideremos los vectores u = (1, 0, -1, 0),
v = (0, 1, 0, -1) y w = (1, -1, -1, 1). Entonces,
< {u, v, w} > = {( α + γ , β − γ , - α − γ , - β + γ ) / α , β, γ ∈ ℜ }
= {(a, b, c, d) / a + c = 0 y b + d = 0 }
Por otra parte,
< {u, v} > = {( α , β, - α , - β ) / α , β ∈ ℜ }
= {(a, b, c, d) / a + c = 0 y b + d = 0]
Es decir, < {u, v, w} > = < {u, v} >. Este hecho no es
casual, se deriva de la “dependencia lineal” que existe
entre u, v, w que, en este caso, significa w = u – v.
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Algebra Lineal - I. Arratia Z.
107
Sea V espacio vectorial sobre κ
y
S = { v1, . . . . . , v n } un conjunto de vectores de V.
Se dice que S es linealmente dependiente
(l.d.) si existen escalares α1, . . . . . , αn no todos
nulos tales que α1 v1 + . . . . . . + αnvn = 0
Si S no es l.d., se dice que S es linealmente
independiente (l.i.). Por lo tanto S es l. i. si
α1 v1 + . . . . . . + αnvn = 0 ⇒ αi = 0, ∀i = 1, . . . . , n
Por ejemplo, los vectores e1, e2, e3 de ℜ3 son l. i.
¡demuéstrelo!
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Algebra Lineal - I. Arratia Z.
108
Sea ei el vector de ℜn que tiene todas sus componentes
iguales a cero, excepto la i-ésima que es uno. Entonces
el conjunto de vectores {e1, . . . ,en}, además de generar
a ℜn , es un conjunto l. i.
El conjunto {1, x, x2 } de generadores de
P2[x] es un conjunto l. i.
1 0
0 1
0 0
0 0
, E2 =
, E3 =
, E4 =
0 0
0 0
1 0
0 1
Los vectores E1 =
generan al espacio M2( ℜ ) y son l. i.
Ejercicio: Demuestre las afirmaciones hechas antes.
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Algebra Lineal - I. Arratia Z.
109
Ejercicio:
son l. i.
Determine si los siguientes conjuntos
S 1 = { (1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0) } ⊂ ℜ 3
S 2 = { (1, 1, - 2), (-1, 0, 1), (-1, 3, 2) } ⊂ ℜ 3
S 3 = { 1 + 2x - 2x 2 , 3x + x 2 , 1 - 2x 2 } ⊂ P2 [ x ]
1 − 2 3
0 - 1 − 4
,
⊂ M 2 ( ℜ )
S 4 =
,
4
1 2 − 2 0
1
Ejercicio: Sean V espacio vectorial sobre
κ, u y
v
vectores de V.
a) ¿Bajo que condiciones { v } es l. i.?
b) ¿Bajo que condiciones { u, v } es l.d.?
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Algebra Lineal - I. Arratia Z.
110
Ejercicio: Sea V espacio vectorial sobre
κ.
Demuestre que:
a) 0 ∈ S ⇒ S l. d
b) (S ⊂ T ∧ T l.i. ) ⇒ S l.i.
c) (S ⊂ T ∧ S l.d. ) ⇒ T l.d.
Ejercicio: Suponga que { v1, v2, v3 } es un conjunto
linealmente independiente de vectores de un espacio
vectorial V.
Demuestre que {v1 + v2 – 2v3, 2v2 + v3, v1 – 2v3 } es
también un conjunto linealmente independiente de V.
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Algebra Lineal - I. Arratia Z.
111
Base - dimensión
Sea V un espacio vectorial sobre el cuerpo κ .
Una base de V es un conjunto B de vectores
de V que es linealmente independiente y
generador de V.
Por ejemplo, para cada n ∈ IN el conjunto B = { e1, . . . . , en}
n
n
de vectores de ℜ , es una base de ℜ ; se llama base
n
canónica (o usual) de ℜ .
Los conjuntos B = { 1, x, x 2 }
1 0 0
,
B =
0
0
0
1
,
0
0 0 0
,
1
1
0
0
1
son las bases canónicas de P2[x] y M2(ℜ) respectivamente.
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Algebra Lineal - I. Arratia Z.
112
¿Todo espacio vectorial
tiene una base?
Si un espacio vectorial posee un conjunto finito de
generadores S, S ≠ {0}, entonces S contiene a
una base de V.
Para demostrar este hecho consideremos S = {v1, . . . , vm}.
(*) Si S es l.i., entonces S es base de V. Si S no es l.i.,
alguno de los vectores de S, llamemos vi depende
linealmente de los demás y el conjunto S(1) = S – {vi} sigue
generando a V. Y volvemos a (*) pero ahora con S(1).
Repitiendo este proceso llegamos a obtener una base de V
que, al menos, tendrá un solo vector no nulo.
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Algebra Lineal - I. Arratia Z.
113
¿Cada espacio vectorial
tiene una única base?
No, por ejemplo, sea B el conjunto de vectores de ℜ3
B = {(-2, 1, 0), (1, 3, 2), (1, 1, 1)}
i) Demostremos que B es linealmente independiente.
Sean α, β, γ ∈ ℜ tales que
α( −2, 1, 0) + β(1, 3, 2) + γ(1, 1, 1) = (0, 0, 0)
− 2α + β + γ = 0
⇒ α + 3β + γ = 0
2β + γ = 0
Sistema que tiene solución
única α = 0, β = 0, γ = 0
Luego B es l. i.
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114
3
ii) Demostremos que B genera a ℜ .
3
Sea ( a, b, c) ∈ ℜ y α, β, γ ∈ ℜ tales que
α ( − 2, 1, 0) + β(1, 3, 2) + γ (1, 1, 1) = (a, b, c)
− 2α + β + γ = a
⇒
α + 3β + γ = b
2β + γ = c
Sistema que tiene solución única
α = − a − b + 2c
β = a + 2b - 3c
En consecuencia,
γ = − 2a - 4b + 7c
(-a-b+2c)(-2, 1, 0) + (a+2b-3c)(1, 3, 2) + (-2a-4b+7c)(1, 1, 1) = (a, b, c)
3
Luego B genera a ℜ y B es una base de ℜ3 .
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115
Ejercicio: Determine si los conjuntos S1, S2 son
base del espacio P2[x].
S1 = { 2 + 3x + x2, 3 + x, -1 + 2x + x2 }
S2 = {1 + x2, -1 + x, 2 + 2x }
Ejercicio: Suponga que { v1, v2, v3 } es
una base de un espacio vectorial V.
Demuestre que {v1 + 2v2 – v3, v2 + 3v3,
v1 + 4v2 + 6v3 } también es una base de V.
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116
Un espacio vectorial V sobre κ puede tener múltiples
bases, pero se puede demostrar que todas ellas, cuando
son finitas, tienen el mismo número de elementos (la
misma cardinalidad). Este hecho nos permite entregar el
siguiente concepto:
Si V es un espacio vectorial sobre κ
que tiene una base B con n vectores,
entonces se dice que V es un espacio de
dimensión finita y el número entero n se
llama dimensión de V.
Si V tiene dimensión n, anotaremos dimKV = n
dim V = n, si no hay lugar a confusión.
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Algebra Lineal - I. Arratia Z.
o
117
En consecuencia,
dim ℜ = 1,
dim ℜ n = n
dim P2 [ x ] = 3,
dim M 2 ( ℜ ) = 4,
dim Pn [ x ] = n + 1
dim M mn ( ℜ ) = mn
¿Cuál es la dimensión
del espacio {0}
El espacio V = {0} no posee base, sin
embargo se le asigna la dimensión cero:
dim {0} = 0
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Algebra Lineal - I. Arratia Z.
118
Ejemplo: Determinemos la dimensión del subespacio
de P2[x] , W = { a + bx + cx2 / 2a – b + 4c = 0}
Se tiene que W = {a + bx + cx 2 / b = 2a + 4c }
= { a + (2a + 4c)x + cx 2 / a, c ∈ ℜ }
= { a(1 + 2x) + c (4x + x 2 ) / a, c ∈ ℜ }
= < { 1 + 2x, 4x + x 2 } >
Siendo B = { 1 + 2x, 4x + x2 } un conjunto generador de
W y linealmente independiente, puesto que B tiene dos
vectores y uno no es “múltiplo escalar” del otro, B es una
base de W; luego dim W = 2.
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119
Observaciones:
1) La dimensión del espacio vectorial real C de los
números complejos es 2. Pero si consideramos a
C como espacio vectorial sobre si mismo,
entonces C es un espacio de dimensión 1.
Justifique esta afirmación.
2) Existen espacios vectoriales que no poseen una
base finita.
Dichos espacios se dicen de
dimensión infinita; por ejemplo, el espacio
vectorial real C([a, b]; ℜ ), de todas las funciones
reales continuas en [a, b] tiene dimensión infinita.
Muestre otro ejemplo de un espacio vectorial de
dimensión infinita.
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120
Sea V un espacio vectorial sobre κ de
dimensión finita n. La demostración de los
siguientes teoremas queda de ejercicio.
1. Si S = {v1, . . . . , vm} ⊂ V, con m > n, entonces S es l.d.
2. Si B = {v1, . . . . , vn} ⊂ V es l. i., entonces B es base de V.
3. Si B = {v1, . . . . , vn} ⊂ V es generador de V, entonces B
es base de V.
4. Si W es un subespacio de V, entonces dim W ≤ n
5. Si W es un subespacio de V tal que dim W = n, entonces
V = W.
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121
En un espacio vectorial V de dimensión finita,
un conjunto linealmente independiente de
vectores de V puede completarse hasta
formar una base de V.
Teorema (Completación de base)
Sea V espacio vectorial sobre κ de dimensión finita n.
Si { v1, . . . . . , v k } ⊂ V, con k < n, es un conjunto linealmente independiente, entonces existen vectores
v k +1, . . . . . , v n ∈ V tales que { v1, . . . . , v k , v k +1, . . . , v n }
es base de V.
Ejercicio: Demuestre el teorema precedente.
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122
Ejercicio: Considere el subespacio de M2(R),
a b
W =
/ a - 2b + c - 4d = 0 ∧ a + b - 3d = 0
c
d
a) Determine una base S para W.
b) Encuentre una base B de M2(R) que contenga a la
base S de W.
Ejercicio: Determine todos los valores del número k
de modo que el conjunto
B = { (1, 1, -1), (3, k, k), (4, k, 0)}
sea una base de R3.
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123
El siguiente teorema nos proporciona otra
caracterización para las bases de un espacio
vectorial de dimensión finita.
Teorema: Sea V espacio vectorial sobre
κ
y sea
B = {v1, . . . . , vn} conjunto de vectores de V.
B es base de V ⇔
todo vector v de V se escribe
de una única manera como
combinación lineal de los
vectores de B.
Ejercicio: Demuestre el teorema precedente.
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Algebra Lineal - I. Arratia Z.
124
El teorema precedente asegura que para cada v ∈ V
existen únicos escalares α1, . . . . . , αn ∈ κ tales que
v = α1 v1 + . . . . . + α n v n
Estos escalares reciben el nombre de
coordenadas del vector v con respecto
a la base (ordenada) B y se denotan
[ v ]B = ( α 1, . . . . . , α n )
n
Observe que [ v ]B es un vector de κ . Por esta razón,
muchas veces es llamado vector coordenado.
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125
2
Ejemplo: Las coordenadas del vector v = (6, -5) ∈ ℜ con
2
respecto a la base canónica E = {(1, 0), (0, 1)} de ℜ son
[ v ]E = ( 6 , - 5 )
¿Cuáles son las coordenadas de v = (6, -5) con respecto
a la base ordenada B = {(5, - 3), (2, -1)} ?
Debemos resolver para α, β ∈ ℜ la ecuación
α(5, - 3) + β(2, - 1) = (6, - 5)
es decir,
5α + 2β = 6
- 3α − β = - 5
De aquí, [ v ]B = ( 4, - 7)
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Algebra Lineal - I. Arratia Z.
126
Ejemplo: Sea v ∈ ℜ3 tal que [ v ]B = (1, - 1, 2) , donde B es
la base ordenada B = {(1, -1, 3), (1, 0, -2), (3, 1, -1)}.
¿Cuál es el vector v? Determinemos [ v ]C , donde C es
la base C = {(1, 0, 1), (1, 1, 2), (1, 1, 4)}.
El vector es v = 1(1, -1, 3) - 1(1, 0, -2) + 2(3, 1, -1) = (6, 1, 3)
Determinemos α, β, γ ∈ ℜ
tales que
α(1, 0, 1) + β(1, 1, 2) + γ(1, 1, 4) = (6, 1, 3)
Esto requiere resolver el sistema compatible
α+β+ γ = 6
β+ γ =1
α + 2β + 4 γ = 3
Obtenemos [ v ]C = (5, 3, -2)
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127
Ejemplo: Consideremos la base ordenada de P2[x]
B = {1 + x 2 , 1 + x, 2 + 3x 2 }
Determinemos
las
coordenadas
del
vector
p ( x ) = 4 + 5 x - 3x 2 con respecto a la base B, esto es,
encontremos α, β, γ ∈ ℜ tales que
α(1 + x 2 ) + β(1 + x) + γ(2 + 3x 2 ) = 4 + 5x − 3x 2
Reordenando e igualando polinomios obtenemos el
sistema:
α + β + 2γ = 4
⇒
β=5
α + 3γ = -3
cuya solución nos conduce a
[p( x )]B = (3, 5, - 2)
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128
Sea V espacio vectorial sobre
ordenada de V. Entonces,
( 1)
(2)
κ
y B una base
[v + u] B = [v] B + [ u ] B , ∀ v, u ∈ V
[ α v] B = α [v] B , ∀ v ∈ V, ∀ α ∈ κ
Ejercicio: Sea B = { v1, v2, v3 } una base ordenada
de R3. Determine los vectores de B si se sabe que
(-1, 1, 1), (1, -1, 2) y (3, -1, 1) son las respectivas
coordenadas, según la base B, de los vectores e1, e2,
e3 de la base canónica de
R3 .
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129
Suma y Suma directa
Sea V un espacio vectorial sobre κ y sean U, W dos
subespacios de V.
Ya mencionamos que la unión de U y W no es,
necesariamente, un subespacio de V. Definiremos U + W,
la suma de U y W; esta resultará ser un subespacio de V
que contendrá a ambos subespacios.
La suma de U y W es:
U + W = { v ∈ V / v = u + w, u ∈U, w ∈ W }
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130
Se tiene que:
i) 0V = 0 + 0, con 0 ∈ U y 0 ∈ W
ii) Si v1= u1 + w1 y v2 = u2 + w2 son vectores de U + W,
entonces v1 + v2 = (u1 + u2) + (w1 + w2) ∈ U + W.
iii) Si α ∈ κ , entonces α v1 = α u1 + α w 1 ∈ U + W
Por lo tanto U + W es un subespacio de V. Además se
puede establecer que:
(1) U ⊆ U + W
(2) Si U = S
y
W ⊆ U+ W
y W = T , entonces U + W = S ∪ T
(3) dim (U + W) = dim U + dim W - dim(U ∩ W)
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Algebra Lineal - I. Arratia Z.
131
Puede suceder que dim(U + W) = dim V,
es decir, V = U + W. Por ejemplo, ℜ2 = U + W
donde U = {(1, 0), (0, 1)} y W = {(3, 1)}
En efecto, es claro que U + W ⊆ ℜ2
Por otra parte, si ( x, y) ∈ ℜ2 , entonces
( x, y) = (0, y - x ) + (x, x ) ∈ U + W
3
3
Si V = U + W, los vectores de V no necesariamente se
escriben de manera única como una suma de un vector
de U y un vector de W. En el ejemplo anterior,
(3, 3) = 2(0, 1) + (3, 1)
(3, 3) = -6(1, 0) + 3(3, 1)
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Algebra Lineal - I. Arratia Z.
132
Observe que:
V = U + W ⇔ ∀ v ∈ V, ∃ u ∈U, ∃ w ∈ W : v = u + w
Sea V un espacio vectorial sobre κ y
sean U, W dos subespacios de V. Se dice
que V es la suma directa de U y W, en cuyo
caso se anota V = U ⊕ W si
∀ v ∈ V, ∃!u ∈U, ∃! w ∈ W : v = u + w
Ejercicio: Sean U = < {(0, 1)} > y W = < {(3, 1)} >
subespacios de R2 .
Demuestre que R2 es suma
directa de U y W.
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Algebra Lineal - I. Arratia Z.
133
Una caracterización útil de la suma directa la entrega el
siguiente teorema:
Teorema: Sea V un espacio vectorial sobre
κy
sean
U, W dos subespacios de V.
V = U ⊕ W ⇔ (V = U + W ∧ U ∩ W = {0})
Ejercicio: Demuestre el teorema precedente.
Consecuencia del teorema anterior es la siguiente:
Si V es un espacio vectorial de dimensión finita y
V = U ⊕ W , entonces dim V = dim U + dim W.
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134
Ejercicio: Considere los subespacios de R3
U1 = { (x, y, z) : x + y + z = 0 }
U2 = < { (1, 1, 1) } >
Demuestre que
R3 es suma directa de U1 y U2.
Ejercicio: Sean S1 y S2 los subespacios de M2( R)
S1 = { A ∈ M2 (ℜ) / A diagonal }
a b
S2 =
∈ M2 (ℜ) / d = 0
c
d
¿Es M2(R) suma directa de S1 y S2?
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135
Dado un subespacio U de V, ¿existe un
”suplementario” de U? Es decir, existe un
subespacio W de V tal que V = U ⊕ W .
Teorema: Sea V un espacio vectorial sobre
κ
de
dimensión finita n y sea U
subespacio de V.
Entonces existe W subespacio de V tal que V = U ⊕ W .
En efecto, si U = V, basta tomar W = {0}. Supongamos
que dim U = k < n y sea { v1, . . . , vk} una base de U.
Por el teorema completación de base, existen vk+1, . . . ,
vn vectores de V tales que { v1, . . . . , vn } es base de V.
Sea W = { vk+1, . . . , vn} ; entonces V = U ⊕ W .
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136
El suplementario de un subespacio U no es
2
único.
En ℜ cualquier par de rectas no
colineales que pasen por el origen, están
asociadas a subespacios suplementarios.
Ejercicio: Considere el subespacio de ℜ4 ,
U = {(x, y, z, t) : x - 2y + z – 4 t = 0 y x + y + 2z = 0}
4
4
Determine W subespacio de ℜ tal que ℜ = U ⊕ W .
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137
Espacios con producto interior
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Algebra Lineal - I. Arratia Z.
138
En esta unidad, todos los
espacios vectoriales serán reales
Sea V un espacio vectorial sobre ℜ . Un producto interior
ℜ
(p.i.) en V es una función < , > : V x V
(u, v)
< u, v >
que satisface lo siguiente:
i) < u1 + u 2 , v > = < u1, v > + < u 2 , v > ; ∀ u1, u 2 , v ∈ V
ii ) < α u, v > = α < u, v >; ∀ α ∈ ℜ; ∀ u, v ∈ V
iii ) < u, v > = < v, u >; ∀ u, v ∈ V
iv ) v ≠ 0 ⇒ < v, v > es positivo
< u, v > se lee producto interior (o producto escalar) entre
los vectores u y v.
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139
Un espacio con producto interior es
un espacio vectorial V con un p.i.
definido en él.
Observaciones:
(1) Cuando el espacio V es complejo, las condiciones
exigidas para que una función sea p.i. son diferentes. A
saber, < u, v > = < v, u >; ∀ u, v ∈ V .
(2) Si (V, <, >) es un espacio con p.i., entonces
i) < u, v 1 + v 2 > = < u, v 1 > + < u, v 2 > ; ∀ u, v 1, v 2 ∈ V
ii) < u, α v > = α < u, v >; ∀ α ∈ ℜ; ∀ u, v ∈ V
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140
Más aún,
< u, α1v1 + . . . . + α n v n > = α1 < u, v1 > +. . . . + α n < u, v n > ;
∀u, v1,. . ., v n ∈ V, ∀α1,. . . , α n ∈ ℜ
(3) Si (V, < , >) es un espacio con p.i., entonces
< v, v > = 0 ⇔ v = 0
(4) En un espacio vectorial V pueden estar definidos varios
p.i. Por ejemplo, las siguientes funciones constituyen
2
p.i. en ℜ
f( (x, y), (a, b) ) = xa + yb
g( (x, y), (a, b) ) = xa – ya – xb + 4yb
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141
Ejemplos de espacios con p.i.
Para n número natural, los espacios ℜ n, M n ( ℜ ) y
Pn [ x] son espacios con p.i., si se considera:
n
< ( x1, . . . . , x n ), ( y1, . . . . , y n ) > =
∑ xi yi
i =1
< A, B > = tr(B t A )
< p(x), q(x) > =
respectivamente.
1
∫0 p(x) q(x) dx
Ejercicio: Demuestre que efectivamente las
funciones < , > definidas antes son p.i. en los
respectivos espacios.
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Algebra Lineal - I. Arratia Z.
142
En lo que sigue, siempre que no se diga algo en
n
contrario, los espacios ℜ , Mn ( ℜ ) y Pn [ x ] se
considerarán con los productos interiores definidos
antes que son llamados p.i. canónicos o usuales.
Ejercicio: Calcule
a) < (3, -5, 1, -2) , (7, 4, -2, 3 >
2 0 7 − 8
b) <
,
>
- 5 9 1 − 1
c) < x2 + 5 , 2x + 1 >
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143
Definiciones: Sea V un espacio con p.i. < , >.
1) La norma o longitud del vector v de V es el número real
|| v || =
< v, v >
2) La distancia entre los vectores u y v de V es
d(u, v) = || u - v ||
3) El vector v de V se dice unitario si || v || = 1.
Si el vector v de V,
v
entonces || v ||
v ≠ 0 , no es unitario,
lo es. Por ejemplo, el vector
v = (3, 0, 4) no es unitario puesto que || v || = 5,
pero
v
4
3
= , 0, lo es.
5
|| v || 5
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Algebra Lineal - I. Arratia Z.
144
Ejercicio: Calcule la norma de u y la distancia entre
u – 2v y 3u + v
si u = (-3, 0, 4, 0) y v = (1, -5, 2, 6)
4
son vectores de ℜ .
Ejercicio:
7 − 1
4 − 2
∈ M2 (ℜ),
A
,
B
=
=
Si
− 1 5
1 3
calcule la longitud de A y de A – B.
Ejercicio: Muestre ejemplos de vectores unitarios
u1, u2, u3 de los espacios ℜ 3 , M2 (ℜ ) y P1[ x ] que no
sean los de la base canónica de esos espacios.
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Algebra Lineal - I. Arratia Z.
145
Observaciones:
• Si
x ∈ ℜ , || x || =
< x, x > =
• Si v = ( x , y ) ∈ ℜ 2 , || v || =
Coincide con lo
aprendido: distancia
entre dos puntos del
plano
x2 = |x |
x2 + y2
< v, v > =
v = (x, y)
y
|| v ||
x
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Algebra Lineal - I. Arratia Z.
146
Si v = ( x, y, z ) ∈ ℜ 3 , || v || =
< v, v > =
x2 + y2 + z2
v = (x, y, z)
|| v ||
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Algebra Lineal - I. Arratia Z.
147
• Si (V, < , >)
demostrar que:
i)
ii )
iii )
iv )
es un espacio con p.i., se puede
|| v || ≥ 0 ; ∀ v ∈ V
|| v || = 0 ⇔ v = 0
|| α v || = α || v ||; ∀ α ∈ ℜ , ∀ v ∈ V
|| v + u || ≤ || v || + || u || ; ∀ v, u ∈ V
(Desigualdad triangular)
No es difícil demostrar i), ii) y iii) anteriores.
La
demostración de iv) es consecuencia de otro teorema
conocido como la Desigualdad de Cauchy-Schwartz:
| < v, u > | ≤ || v || || u || ; ∀ v, u ∈ V
dándose la igualdad si y sólo si v y u son linealmente
dependientes.
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Algebra Lineal - I. Arratia Z.
148
• Si (V, < , >) es un espacio con p.i., las propiedades
enunciadas para la norma || || permiten demostrar lo
siguiente para la distancia entre vectores:
d(v, w) = || v – w ||
i)
d ( v , u) ≥ 0 ;
∀ v, u ∈ V
ii ) d( v , u) = 0 ⇔ v = u
iii ) d( v , u) = d(u, v); ∀ v , u ∈ V
iv ) d(v, u) ≤ d(v, w) + d(w, u) ; ∀ v, u, w ∈ V
(Desigualdad triangular)
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Algebra Lineal - I. Arratia Z.
149
La Desigualdad de Cauchy-Schwartz le da sentido a la
siguiente definición:
Definición: Sea V un espacio con p.i. < , >. El ángulo
ϑ entre los vectores u y v de V es tal que
< u, v >
cos ϑ =
|| u || || v ||
ϑ
< u, v >
ϑ = cos −1
|| u || || v ||
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Algebra Lineal - I. Arratia Z.
150
Ejemplo: Calculemos el valor del número real k para
que el ángulo formado por los vectores u = (1, k, 1) y
v = (1, 1, 0) sea π 3 radianes.
ϑ = cos
1+ k
k2 + 2
−1
= π
3
2
⇔
⇔
1+ k
2k 2 + 4
k =0
=
1
2
Ejercicio: Calcule el ángulo entre los vectores
a) u1 = (1, -4, 2) y u2 = (-5, 1, -1)
b) v1 = (1, -1, 1, -1) y v2 = (2, 0, 3, 5)
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Algebra Lineal - I. Arratia Z.
151
Definición: Sea V un espacio con p.i. < , >. Se dice que:
1) Los vectores
u, v de V
son ortogonales o
perpendiculares si < u, v > = 0.
2) El conjunto S de vectores de V es un conjunto
ortogonal si todos sus elementos son ortogonales entre
sí.
3) El conjunto S es ortonormal si es ortogonal y todos sus
elementos son unitarios.
u ⊥ v
⇔
< u, v > = o
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Algebra Lineal - I. Arratia Z.
152
2
Por ejemplo, en ℜ los vectores u = (a, b)
y v = (-b, a) son ortogonales puesto que
< u, v > = 0.
Sea B = {e1, . . . . , en} la base canónica de ℜ n. Los
vectores de B tienen la siguiente característica:
1 si i = j
< e i, e j > =
0 si i ≠ j
En consecuencia, B es un conjunto ortogonal. Más aún,
B es un conjunto ortonormal puesto que
|| e i || =
< e i, e i > =
1 = 1, ∀ i
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Algebra Lineal - I. Arratia Z.
153
Observaciones: Sea V espacio con p.i. < , >
1. El vector 0 es ortogonal a todos los vectores de V.
En efecto, si v es cualquier vector de V, podemos
escribir
< v , 0 > = < v, 0 + 0 >
⇒ < v , 0 > = < v, 0 > + < v, 0 >
⇒ < v, 0 > = 0
2. Si S es un conjunto ortogonal de vectores de V,
v
So =
/ v ∈ S es un conjunto ortonormal
|| v ||
1
pues < v , u > = 1
< v, u > = 0
|| v || || u ||
|| v || || u ||
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Algebra Lineal - I. Arratia Z.
154
Ejemplo: Determinemos todos los valores reales de k
de modo que los vectores u = (k2, 2, k) y w = (k, 3, -7)
sean ortogonales.
< u, w > = 0
⇔
⇔
⇔
k3 + 6 – 7k = 0
(k – 1)(k – 2)(k + 3) = 0
k=1 o
k=2 o k=-3
Ejercicio: Para qué valores del número real k los
siguientes vectores son ortogonales (p.i. usuales):
a) u1 = (k, 1, 2, k) y u2 = (4, 3k, k + 10, k)
b) p(x) = x y q(x) = x – k
c)
k2
A =
2
− 4
k
y
1
B =
k
− 1
2
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Algebra Lineal - I. Arratia Z.
155
Teorema de Pitágoras:
Sea V un espacio con p.i. < , > y sean u, v vectores de
V tales que u ⊥ v . Entonces
|| u + v ||2 = || u ||2 + || v ||2
Ejercicio: Sea V espacio con p.i. < , >. Demuestre
que para todo u, v vectores de V se tiene que:
|| u + v ||2 + || u – v ||2 = 2 ( || u ||2 + || v ||2 )
(Ley del Paralelógramo)
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Algebra Lineal - I. Arratia Z.
156
Complemento ortogonal
Resolvamos el siguiente problema:
3
Sea S = { (1, -2, 3), (-2, 5, -1) } ⊂ ℜ . Encontrar dos
vectores unitarios y ortogonales a los vectores de S.
a) Queremos (x, y, z) tales que <(x, y, z), (1, -2, 3)> = 0 y
<(x, y, z), (-2, 5, -1)> = 0. Por lo tanto debemos resolver
x − 2y + 3z
− 2x + 5y − z
=
=
0
0
Obtenemos infinitas soluciones para este sistema:
( − 13 , - 5, 1) λ ; λ ∈ ℜ
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Algebra Lineal - I. Arratia Z.
157
b) Escojamos dos de estas soluciones: v1 = (-13, -5, 1)
y v2 = (13, 5, -1); entonces v1 y v2 son ortogonales a
los vectores de S.
c) Pero v1 y v2 no son unitarios puesto que
= || v2 ||.
|| v1 || =
195
d) Entonces los vectores
u1 =
1
195
v1 y u2 = 1 v 2
195
satisfacen lo pedido.
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Algebra Lineal - I. Arratia Z.
158
Definición: Sea V un espacio con p.i. < , > y S ⊆ V .
El complemento ortogonal de S es el conjunto,
S⊥ = {v ∈ V / v ⊥ x , ∀x ∈ S}
= {v ∈ V / < v, x > = 0 , ∀x ∈ S}
3
Ejemplo: Si S = {(1, -2, 3), (-2, 5, -1)} ⊂ ℜ (problema
precedente), entonces el complemento ortogonal de S es
S ⊥ = {( x, y, z ) ∈ ℜ 3 / < (x, y, z), (1, - 2, 3) > = 0 ∧
< (x, y, z), (-2, 5, - 1) > = 0 }
= {(x, y, z) ∈ ℜ 3 / x - 2y + 3z = 0 ∧ - 2x + 5y - z = 0 }
= < { (-13, - 5, 1) } >
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Algebra Lineal - I. Arratia Z.
159
Si V es un espacio con p.i. con elemento cero 0V,
entonces
{ 0 V }⊥
= V
y
V⊥ =
{ 0 V }.
Teorema: Sea V un espacio con p.i.
< , > y S ⊆ V, S ≠ Φ . Entonces S⊥ es
un subespacio vectorial de V.
Efectivamente, como 0 es ortogonal a todos los vectores
de V, en particular 0 es ortogonal a todos los vectores de
S; luego 0 ∈ S⊥. Además
u, v ∈ S⊥ ⇒ < u, x >= 0 ∧ < v, x >= 0, ∀x ∈ S
⇒ < u + v, x > = < u, x > + < v, x > = 0, ∀x ∈ S
⇒ u + v ∈ S⊥
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Algebra Lineal - I. Arratia Z.
160
Finalmente,
α ∈ ℜ y u ∈ S⊥ ⇒ α ∈ ℜ y < u, x >= 0 , ∀x ∈ S
⇒ < α u, x > = α < u, x > = α ⋅ 0 = 0, ∀x ∈ S
⇒ α u ∈ S⊥
Ejercicio: Considere el espacio M2(R) con p.i. usual.
Determine el complemento ortogonal del conjunto
1 − 1 0 4 2 - 3
,
,
T =
3 5 - 2 1 1 - 1
¿Cuál es el complemento ortogonal de T si se
considera el p.i. < A, B> = tr ( At B)?
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Algebra Lineal - I. Arratia Z.
161
Observaciones:
1. Sea V espacio con p.i. < , > y W un subespacio
de V tal que W = < {w1, . . . . , wk} >. Entonces,
W ⊥ = { w1, . . . . . , wk } ⊥
Efectivamente, v ∈ W ⊥ ⇒ v ⊥ w, ∀w ∈ W
⇒ v ⊥ wi , ∀i = 1, . . . . , k
⇒ v ∈ {w1, . . . . , wk } ⊥
Por otra parte, sea v ∈ {w1, . . . , wk } ⊥ y w ∈ W, entonces
w = α1w1 + . . . . + αk wk , con α1, . . . , αk ∈ ℜ y
< v, w > = α1 < v, w1 > + . . . . + αk < v, wk > = 0
⊥
es decir, v ∈ W
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Algebra Lineal - I. Arratia Z.
162
2. Sea V espacio con p.i. < , > de dimensión finita
y W un subespacio de V. Entonces,
dim W + dim W ⊥ = dim V
y
V = W ⊕ W⊥
Ejercicio: Sea W el subespacio de ℜ3 ,
W = < {(1, 2, 1), (-1, 0, 1), (-1, 4, 5)}>.
Determine la dimensión del complemento
ortogonal de W.
Ejercicio: Encuentre una base para el complemento
4
ortogonal del subespacio de ℜ ,
U = {(x, y, z, u) / x + y + 3z – u = 0 y x – z + 2u = 0}
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Algebra Lineal - I. Arratia Z.
163
Bases ortogonales - ortonormales
Teorema:
Sea V un espacio con p.i. < , >. Todo
conjunto S ortogonal de vectores no nulos de V es
linealmente independiente.
En efecto, sea S = {v1, . .. ., vk} ortogonal y tal que vi ≠ 0, ∀i .
Sean α1, . . . , αk ∈ ℜ tales que α1v1 + . . . . + αk vk = 0 ; entonces
∀i = 1, 2, ...., k, < vi, α1v1 + ..... + αk vk > = 0
⇒ α1 < vi, v1 > +..... + αk < vi, vk > = 0
⇒ αi < vi, vi > = 0
⇒ αi || vi ||2 = 0
⇒ αi = 0
Luego S es l.i.
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Algebra Lineal - I. Arratia Z.
164
Consecuencia del Teorema anterior es:
Si S es un conjunto ortogonal de
vectores no nulos de V, entonces
card(S) ≤ dim(V)
Sea V un espacio con p.i. < , > de dimensión finita.
Sabemos que V posee bases pero éstas no son
necesariamente ortogonales (ortonormales).
La construcción de una base ortogonal (ortonormal) a
partir de una base del espacio V es un resultado
importante conocido como “Proceso de ortogonalización
de Gram-Schmidt”.
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Algebra Lineal - I. Arratia Z.
165
Proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt
Sea B = {v1, . . . , vn} base de V, espacio con producto
interior < , >. Proceda a considerar los vectores:
w1 = v1
w2 = v2 −
w3 = v3 −
< v 2 , w1 >
2
|| w1 ||
w1
< v3, w 2 >
2
|| w 2 ||
w2 −
< v 3 , w1 >
2
|| w1 ||
w1
........
wn = vn −
< v n, w n-1 >
2
|| w n-1 ||
w n-1 − . . . . . . −
< v n , w1 >
2
|| w1 ||
w1
Entonces BO = {w1, . . . , wn} es una base ortogonal de V.
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Algebra Lineal - I. Arratia Z.
166
Además, Bo =
{
}
w1
w
, . . . . . , n es una base ortonormal de V.
||w1||
||wn ||
¿Cómo funciona
este Proceso?
Para comprender el proceso, definamos la
“proyección del vector v en el vector u” como
pr u ( v ) = < v , u2> u
v
|| u ||
pru(v)
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Algebra Lineal - I. Arratia Z.
u
167
Entonces los vectores w1 y w2 de la base BO son:
v2
w2
prw1 (v2 )
v1
w1
w1 = v1
w2 = v2 −
< v 2 , w1 >
2
|| w1 ||
w1 = v 2 − prw1 ( v 2 )
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Algebra Lineal - I. Arratia Z.
168
Ejemplo: Sea B la base de ℜ3, B = {(1, -1, 1), (1, 0, 1),
(1, 1, 2)}. A partir de la base B construyamos una base
ortonormal para ℜ3 .
w1 = (1, - 1, 1)
w 2 = (1, 0, 1) −
< (1, 0, 1), (1, - 1, 1) >
|| (1, - 1, 1) ||2
(1, - 1, 1) = (1, 0, 1) -
2
(1, - 1, 1)
3
1 2 1
=( , , )
3 3 3
< (1, 1, 2), ( 1 , 2 , 1 ) > 1 2 1 < (1,1, 2), (1, - 1, 1)
3 3 3
w3 = (1, 1, 2) −
( , , )(1, - 1, 1)
2
2
1
2
1
3
3
3
|| ( , , ) ||
|| (1, - 1, 1) ||
3 3 3
= (1,1, 2) -
2
1
1
5 1 2 1
( , , ) - (1, - 1, 1) = (- , 0, )
2
2
2 3 3 3
3
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Algebra Lineal - I. Arratia Z.
169
{
}
1 2 1
1
1
Entonces, Bo = (1, - 1, 1), ( 3 , 3 , 3 ), (- 2 , 0, 2 )
base ortogonal de ℜ3.
es
una
6
, || w1 || = 1 ,
Como || w1 || = 3, || w 2 || =
3
2
1
1
(−1, 0, 1)
(1, 2, 1),
Bo = 1 (1, - 1, 1) ,
2
6
3
3
es una base ortonormal de ℜ .
Ejercicio: Encuentre una base ortogonal para ℜ3 a
partir de la base B = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), ( 0, 0 , 1)}.
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Algebra Lineal - I. Arratia Z.
170
Ejercicio: Aplique el Proceso de ortogonalización de
3
Gram-Schmidt a las siguientes bases de ℜ :
a)
B = {(2, 1, 0), (-1, 1, 1), ( 1, 0 , 3)}
b)
B = {(1, 1, 0), (1, 0, 1), ( 0, 1 , 1)}
Ejercicio: Encuentre una base ortogonal para los
4
siguientes subespacios de ℜ y M2(R):
U = {(x, y, z, u) / x + y = 0 y z + u = 0}
a b
∈ M2 (ℜ) / a = 0 ∧ c = 0
W =
c d
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Algebra Lineal - I. Arratia Z.
171
Observación:
Si V es un espacio con p.i. < , > de dimensión finita y
Bo = {w1, . . . ., wn} es una base ortogonal de V, las
coordenadas del vector v de V con respecto a la base
< v, w i >
Bo son α i =
. En efecto, como v =
2
|| w i ||
para cada i = 1, . . . , n,
n
∑ αi w i
,
i=1
< v , w i > = < α 1w 1 + . . . . + α n w n , w i >
= α 1 < w 1, w i > + . . . . + α n < w n , w i >
= α i < w i, w i >
= α i || w i || 2
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Algebra Lineal - I. Arratia Z.
172
Proyección ortogonal
Sea V un espacio con p.i. < , > y W un subespacio de V
con base ortogonal {w1, .……. , wk}. La proyección
ortogonal del vector v de V en el subespacio W es el
vector
k
v = pr W ( v ) =
∑
i =1
< v, w i >
|| w i ||
2
wi
•v
•prW(v)
W
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Algebra Lineal - I. Arratia Z.
173
La aplicación p : V
por p(v) = v ,
W ; definida
se llama proyección
ortogonal de V en W.
Ejemplo: En ℜ3
consideremos el subespacio W
generado por S = {(1, -2, 3), (5, -1, 0)} y determinemos la
proyección ortogonal del vector v = (4, -1, 6) en W.
i) S es una base de W pero S no es ortogonal.
ii) Aplicamos a S el Proceso de Gram-Schmidt y
obtenemos S0 = {(1, -2, 3), (3, 0, -1)} base ortogonal de W.
iii) La proyección ortogonal de v en W es:
3 ( 3 , 0, - 1)
v = 12
(
1
,
2,
3)
+
7
5
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Algebra Lineal - I. Arratia Z.
174
Ejercicio:
Encuentre
la
proyección
ortogonal del vector v = (1, 1, -1) de ℜ3 en
el subespacio U = {(x, y,z) / x – y – 2z = 0}
Ejercicio: Sea
W = <{(1,0,1,0), (1,0,3,0), (2,1,4,1)}>.
Determine la proyección ortogonal de v = (1,1,1,-1) en W.
Ejercicio:
Encuentre
la
proyección
1 1
en el subespacio
A =
− 1 0
generado por 1 1 y 0 0 .
3 1
0 0
ortogonal de
M2(R)
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Algebra Lineal - I. Arratia Z.
de
175
Transformaciones lineales
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Algebra Lineal - I. Arratia Z.
176
Sean V y W espacios vectoriales sobre
el cuerpo κ de los números reales. Una
transformación lineal o aplicación lineal de V
en W es una función T : V
W que
satisface:
i)
T(u + v ) = T ( u ) + T ( v ); ∀ u , v ∈ V
ii )
T( α v ) = α T ( v);
∀ α ∈ κ; ∀ v ∈ V
Si T es una transformación lineal de V en W, entonces
T( v1 + . . . . . + v n ) = T ( v1 ) + . . . . . + T ( v n )
Más aún, T(α1v1 + . . . . . + αn vn ) = α1T(v1) + . . . . . + αnT(vn ),
∀ v1, . . . . , vn ∈ V, ∀α1, . . . . , αn ∈ κ.
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Algebra Lineal - I. Arratia Z.
177
Si T es una transformación lineal de V en W, entonces
T(0) = 0. Esto se enuncia de manera equivalente así,
T (0 ) ≠ 0
⇒
T no es aplicación lineal
Ejemplos de aplicaciones lineales
1) Consideremos f : ℜ → ℜ la función f(x) = 4x.
Entonces,
f(x + a) = 4(x + a) = 4x + 4a = f(x) + f(a)
f ( α x ) = 3( α x ) = α ( 3 x ) = α f ( x )
Por lo tanto, f es una aplicación lineal. Pero si definimos
g(x) = x + 4, g no es una aplicación lineal puesto que
g ( 0 ) ≠ 0 . Observe que la función g tampoco cumple las
condiciones i) y ii) exigidas para ser transformación lineal.
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Algebra Lineal - I. Arratia Z.
178
Las siguientes funciones de ℜ en ℜ no son lineales:
f(x) = x2
f(x) =
f(x) = e x
f(x) = ln x
x
f(x) = 1
x
f(x) = cos x
¿Cuáles son las funciones
lineales de ℜ en ℜ ?
2) Sea T : ℜ 3 → ℜ 2 la función definida así,
T(x, y, z) = (2x – y + z, y + 3z).
Entonces T es una aplicación lineal. ¡Demuéstrelo!
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Algebra Lineal - I. Arratia Z.
179
Ejercicio: Muestre un ejemplo de una aplicación de
ℜ 3 en ℜ 2 que sea lineal y otro que no sea lineal.
3) Consideremos F : Mmxn ( ℜ ) → Mnxm ( ℜ );
F(A) = A t
Entonces, F ( A + B ) = ( A + B ) t = A t + B t = F ( A ) + F ( B )
F(α A ) = (α A )t = α A t = α F( A )
Por lo tanto F es una transformación lineal.
4) La función T : P3 [x] → P2 [ x]; T(p) = p' = dp es lineal; en
dx
efecto,
T(p + q) = (p + q)’ = p’ + q’ = T(p) + T(q)
T (a p) = (a p)’ = a p’ = a T(p) , a ∈ ℜ
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Algebra Lineal - I. Arratia Z.
180
Destacamos los
siguientes dos
ejemplos
5) Si V y W son espacios vectoriales sobre
κ,
To : V → W; To (v) = 0 W
es una aplicación lineal
6) Si V es un espacio vectorial sobre
κ , la función
I : V → V; I(u) = u
es lineal; se llama aplicación identidad de V.
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Algebra Lineal - I. Arratia Z.
181
El siguiente teorema nos enseña a extender a
todo el espacio dominio, una aplicación lineal que
se conoce sólo en una base de dicho espacio.
Teorema: Sean V un espacio vectorial sobre κ con
base B = {v1, . . . . . , v n } y W un espacio vectorial sobre κ .
Si w1, . . . . . , w n ∈ W entonces existe una única aplicación
lineal T de V en W tal que T( v i ) = w i , ∀i = 1, . . . . , n .
En efecto, si v∈ V, existen únicos α1, . . . . . , αn ∈ κ tales que
v = α1v1 + . . . . . + α n v n
La aplicación T de V en W definida por:
T(v) = α1w1 + . . . . . + αn w n
satisface lo requerido en el teorema.
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Algebra Lineal - I. Arratia Z.
182
Ejemplo: ¿Cuál es la aplicación lineal T de ℜ2 en ℜ2 tal
que T(1, 0) = (-3, 1) y T(0, 1) = (5, -4)?
Sea (a, b) ∈ ℜ2 , entonces (a, b) = a (1, 0) + b (0, 1).
La aplicación T que satisface lo requerido es:
T : ℜ2
ℜ2 ; T(a, b) = a(-3, 1) +b(5, -4),
o más precisamente, T(a, b) = (-3a + 5b, a - 4b).
¿Cuál es la aplicación lineal T si se quiere que T(4,-3) =(-3, 1)
y T(-3, 2) = (5, -4)? En este caso debemos escribir,
(a, b) = (-2a – 3b) (4, -3) + (-3a - 4b) (-3, 2)
Y la aplicación lineal es,
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Algebra Lineal - I. Arratia Z.
183
T(a, b) = (-2a – 3b)(-3, 1) + (-3a - 4b)(5, -4),
es decir, T(a, b) = (-9a - 11b, 10a + 13b).
Ejercicio: ¿Cuál es la aplicación lineal T de
ℜ3 en ℜ2 tal que T(1, 0, 0) = (2, -3), T(0, 1, 0) =
(1, 1) y T(0, 0, 1) = (6, 5)?
Ejercicio: Determine la aplicación lineal T de ℜ3 en
P2 [ x ] tal que T(1, 1, 1) = 2 + x, T(1, 1, 0) = x – x2 y
T(1, 0, 0) = 1 + 3x + 2x2.
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Algebra Lineal - I. Arratia Z.
184
Ejercicio:
Determine cuál (es) de las siguientes
aplicaciones son lineales.
1) T : ℜ → ℜ3 ; T(x) = ( x, 0, 3x)
2) T : ℜ2 → ℜ3; T(a, b) = (5a − b, a + b, 1)
3) T : ℜ2 → P2 [ x]; T(a, b) = a + 5ax + (2a + 4b)x 2
4) T : P1[ x] → ℜ3 ; T(a + bx) = (a, 2b - a, a + b)
2a − c a
5) T : ℜ3 → M2 (ℜ); T(a, b, c) =
a − c 3
6) T : Mn (ℜ) → ℜ; T(A) = det(A)
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Algebra Lineal - I. Arratia Z.
185
Núcleo e imagen
Sean V y W espacios vectoriales sobre κ y
T: V
W una transformación lineal. El
núcleo o kernel de T es el conjunto
Ker T = { v ∈ V / T(v) = 0 }
La imagen de T es el conjunto
Im T = { w ∈ W / ∃v ∈ V talque T(v) = w }
Ejemplo:
Determinemos el núcleo y la imagen de la
aplicación lineal T : ℜ3 → ℜ2 ; T(x, y, z) = (x - 2y, 3y + z).
Ker T = {(x, y, z) / T(x, y, z) = (0, 0)}
= {(x, y, z) / x – 2y = 0 y 3y + z = 0 }
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Algebra Lineal - I. Arratia Z.
186
Resolviendo el sistema de ecuaciones lineales obtenemos
Ker T = {(x, y, z) / x = 2y ∧ z = -3y }
= {(2y, y, -3y) / y ∈ ℜ }
= < { (2, 1, -3) } >
Es decir, el núcleo de T resultó ser un subespacio de
dimensión uno del espacio ℜ3 .
3
Im T = { T(x, y, z) / (x, y, z) ∈ ℜ }
= { (x – 2y, 3y + z) / x, y, z ∈ ℜ }
= < { (1, 0), (-2, 3), (0, 1) } >
= < { (1, 0), (0, 1) } >
2
= ℜ
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Algebra Lineal - I. Arratia Z.
187
¿Cuál es el kernel y la imagen de las aplicaciones
To : V → W; To (v) = 0 W
IV : V → V; I(u) = u ?
Ker To = V, Im To = {0}, Ker I V = {0} e Im I V = V.
El núcleo y la imagen de una transformación lineal no son
simples conjuntos como se aprecia en el siguiente
teorema, cuya demostración se deja de ejercicio.
Teorema: Si T de V en W es una aplicación lineal,
entonces el núcleo de T es un subespacio de V y la
imagen de T es un subespacio de W.
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Algebra Lineal - I. Arratia Z.
188
La dimensión del núcleo de T se llama
nulidad de T y la dimensión de la imagen de
T es el rango de T.
La nulidad de T y el rango de T serán denotados así,
η( T ) = dim (Ker T)
ρ(T) = dim (Im T)
Y se demuestra el siguiente teorema que relaciona estos
números mediante la igualdad
η(T) + ρ(T) = dim V
En consecuencia,
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Algebra Lineal - I. Arratia Z.
189
η(T ) = dim V - ρ(T)
ρ(T) = dim V - η(T)
Ejemplo: Consideremos la aplicación lineal
T : P2 [ x] → ℜ2; T(a + bx + cx2 ) = (a − b, 2a + c)
Entonces,
KerT = {a + bx + cx2 ∈ P2[x] / (a − b, 2a + c) = (0,0)}
= {a + bx + cx2 ∈ P2[x] / a = b ∧ c = -2a}
= { a + ax - 2a x2 / a ∈ℜ}
= {a(1+ x - 2x2 ) / a ∈ℜ}
= < {1+ x - 2x2} >
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Algebra Lineal - I. Arratia Z.
190
Como B = {1 + x − 2x 2 } es un conjunto generador de Ker T
y es linealmente independiente, puesto que tiene sólo un
vector no nulo, B es una base de Ker T; luego η( T ) = 1 .
Así, el rango de T es
ρ(T) = dim V - η(T) = 3 -1 = 2.
Si la dimensión de la imagen de T es 2, debe tenerse que,
Im (T) = ℜ 2
El siguiente teorema caracteriza a
las aplicaciones lineales inyectivas,
epiyectivas y por lo tanto biyectivas.
__________________________________________________________________
Algebra Lineal - I. Arratia Z.
191
Teorema: Sea T : V
W aplicación lineal.
(1) T inyectiva ⇔ Ker T = {0} ⇔ η( T ) = 0
(2) T epiyectiva ⇔ Im T = W ⇔ ρ( T ) = dim W
Por ejemplo, si V ≠ {0} , la aplicación lineal T0 (ejemplo 5)
no es inyectiva. Pero la aplicación identidad I V (ejemplo 6)
es inyectiva y epiyectiva, es decir, I V es biyectiva.
Ejercicio: Determine si la transformación lineal F
definida a continuación es o no es biyectiva.
a b 2a − b + 3c a + 2b − c + d
=
F : M 2 (ℜ) → M 2 (ℜ) , F
c d − b + c + d 3b − 3c − 2d
__________________________________________________________________
Algebra Lineal - I. Arratia Z.
192
Isomorfismos
−1
Recordemos que una función f posee función inversa f
−1
si y sólo si f es biyectiva. La función f también resulta
−1
y (f o f -1)(x) = x .
ser biyectiva y tal que (f o f )(x) = x
Definición: Un isomorfismo es una
aplicación que es lineal y biyectiva.
Ejemplo: La aplicación lineal T : ℜ3 → ℜ3 definida por
T(x, y, z) = (x – y, 2y + z, x + y + z)
no es un isomorfismo puesto que Ker T = < {(1, 1, -2)}>
y, en consecuencia, no es inyectiva.
__________________________________________________________________
Algebra Lineal - I. Arratia Z.
193
Ejercicio: Muestre que la siguiente aplicación de ℜ3
3
en ℜ es un isomorfismo,
T(x, y, z) = (x - y, 2y + z, x + 2y + z)
Si T es una aplicación lineal de V en W, entonces,
• T isomorfismo ⇔ T invertible
• T isomorfismo ⇔ T −1 lineal
−1
• T isomorfismo ⇔ T
isomorfismo
Y si dimV = dimW, entonces
T biyectiva
⇔
T inyectiva
⇔
T epiyectiva
__________________________________________________________________
Algebra Lineal - I. Arratia Z.
194
Ejercicio: Determine cuál o cuáles de las siguientes
funciones T son invertibles?
1) T : ℜ3 → ℜ3; T(x, y, z) = (x, 2x - y, x + 4y - z)
2) T : ℜ3 → P2[x]; T(a, b, c) = (a − c) + (2a + b + c)x + (3a + b + c)x2
a b
4
= (a + d, 2c, a + c, c - d)
3) T : M2 (ℜ) → ℜ ; T
c d
Si T: V
W es un isomorfismo,
entonces se dice que los espacios V y W
son isomorfos, en cuyo caso se anota
V≅ W
__________________________________________________________________
Algebra Lineal - I. Arratia Z.
195
Ejemplo: Los espacios ℜ3 y P2[x] son isomorfos; el
isomorfismo “natural” entre ellos es
T(a, b, c) = a + bx + cx2
a b
El isomorfismo T
= (a, b, c, d) establece que los
c d
espacios M2 (ℜ) y ℜ4 son isomorfos.
La relación “ser isomorfo a” es una relación de
equivalencia entre espacios vectoriales, es decir,
i) V ≅ V
ii) V ≅ W ⇒ W ≅ V
iii) (V ≅ W ∧ W ≅ U ) ⇒ V ≅ U
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Algebra Lineal - I. Arratia Z.
196
Teorema: Todo espacio vectorial real de
n
dimensión finita n es isomorfo a ℜ .
En efecto, sea V espacio vectorial real de dimensión n y
sea B = {v1, . . . . , vn} una base de V.
Definamos T : V
ℜn por T(v) = [ v ]B; entonces,
• T es aplicación lineal.
• Ker T = { v ∈ V / [ v ]B = (0, . . . , 0) } = { 0 }; luego T es
inyectiva.
• Como la nulidad de T es cero, el rango de T es n, es
n
decir, la imagen de T es un subespacio de ℜ
de
dimensión n; entonces Im T = ℜn y T es epiyectiva.
• Así T es un isomorfismo y V ≅ ℜn .
__________________________________________________________________
Algebra Lineal - I. Arratia Z.
197
El teorema precedente es más general; se puede enunciar
lo siguiente:
Teorema: Sea V espacio vectorial sobre el cuerpo
κ de dimensión finita n. Entonces V es
n
isomorfo a κ .
Ejercicio: Demuestre
1) El teorema precedente.
2) Que el espacio de las matrices reales diagonales de
orden 3 es isomorfo a ℜ3 .
3) Que el espacio de las matrices reales antisimétricas
de orden 3 es isomorfo a ℜ3 .
__________________________________________________________________
Algebra Lineal - I. Arratia Z.
198
El espacio de las transformaciones lineales
Sean V y W espacios vectoriales sobre κ y denotemos
por L(V, W) = { T : V → W / T lineal}.
Se
puede
demostrar que:
1) T, S∈L(V, W) ⇒ T + S∈L(V, W)
2) α ∈ κ y T ∈ L(V, W) ⇒ α T ∈ L(V, W)
3) To ∈ L(V, W)
Las aplicaciones T + S y α T
(T+S)(v) = T(v) + S(v)
(α T)(v) = α T(v)
están dadas por:
__________________________________________________________________
Algebra Lineal - I. Arratia Z.
199
Por lo tanto, L(V, W) es un espacio vectorial sobre κ ;
el espacio de las transformaciones lineales de V en W.
¿Qué sucede con
el producto?
Si T, S∈L(V, W) , el producto (TS)(v) = T(v) S(v)
puede no estar definido.
Pero aún existiendo TS, este no es lineal. Por ejemplo,
sean T, S las transformaciones lineales de ℜ en ℜ
dadas por T(x) = 3x, S(x) = 2x. Entonces (TS)(x) = 6x2,
que no es lineal.
__________________________________________________________________
Algebra Lineal - I. Arratia Z.
200
Sean T ∈L(V, W) y S∈L(W,U) ; entonces la composición
de T y S, (S oT)(v) = S(T(v)), es una transformación lineal.
En efecto, si u, v∈V y α, β∈κ , entonces
(S o T)( α u + β v) = S(T( α u + β v)
= S( α T(u) + β T(v))
= α S(T(u)) + β S(T(v))
= α (S o T)(u) + β (S o T)(v)
Recuerde que la composición de funciones es asociativa y
distributiva con la suma:
So (T o R) = (So T)o R y So (T+ R) = (So T)+ (So R)
Además, T o IV = T y IW o T = T
__________________________________________________________________
Algebra Lineal - I. Arratia Z.
201
Por estas razones, la composición de
funciones es considerada como producto en
el espacio de las transformaciones lineales.
En lo que sigue, y siempre que T S exista, se entenderá que
(T S)(v) = T (S(v))
Observe que este producto no es conmutativo y además no
todas las transformaciones lineales poseen inversa.
Ejercicio: Sean T ∈L(V, W) y S∈L(W,U) aplicaciones
lineales invertibles. Demuestre que el producto de T y
S es invertible y se tiene que (S T) -1 = T -1 S -1.
__________________________________________________________________
Algebra Lineal - I. Arratia Z.
202
Aplicación lineal asociada a una matriz
Sea A ∈ Mmxn(ℜ) y consideremos la aplicación,
TA : ℜn → ℜm definida por TA (X) = A X
Para X, Y ∈ ℜn y α ∈ ℜ se tiene que,
i) TA (X + Y) = A (X + Y) = A X + A Y = TA (X) + TA (Y)
ii) TA (α X) = A (α X) = α (A X) = α TA (X)
Es decir,
TA es una transformación lineal.
La transformación lineal
asociada a la matriz A.
TA se llama aplicación lineal
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Algebra Lineal - I. Arratia Z.
203
Ejemplo: Sea
1 5
A = 3 −1
2 − 4
y determinemos la aplicación
lineal asociada a A.
TA : ℜ2 → ℜ3 ; TA (x, y) = ??
1 5
x + 5y
x
3 −1 = 3x − y
2 − 4 y 2x − 4y
TA : ℜ2 → ℜ3 ; TA (x, y) = (x + 5y, 3x - y, 2x − 4y)
Ejercicio: Encuentre la aplicación lineal asociada a
las matrices A = 9 − 3 1
− 2
5
0
0 0 0
0 =
0 0 0
e I3
__________________________________________________________________
Algebra Lineal - I. Arratia Z.
204
Aplicaciones lineales y matrices
¿Parecidos?
Apreciamos cierto parecido, desde un
punto de vista algebraico, entre el
espacio
de
las
aplicaciones
lineales y cierto espacio de matrices.
Más precisamente, pretendemos establecer que el
espacio L(ℜn , ℜm ) es isomorfo a Mmxn(ℜ) . Para ello
debemos mostrar una función, entre estos espacios, que
sea un isomorfismo. Consideremos,
F : Mmxn (ℜ) → L(ℜm , ℜn ) definida por F(A) = TA
__________________________________________________________________
Algebra Lineal - I. Arratia Z.
205
Se tiene que:
9 F es una función bien definida y además es lineal, puesto
que
TA + B = TA + TB
y
TαA = αTA , α ∈ ℜ
Ejercicio: Demuestre estas igualdades.
9 F es inyectiva pues Ker F = { A / TA = To } = { 0 mn }
9 F es epiyectiva ya que para cada transformación lineal
n
m
T de ℜ en ℜ , existe una matriz A ∈ Mmxn(ℜ) tal que
F(A) = TA = T . Esta matriz A es única, se llama matriz
asociada a la transformación lineal T, se denota [ T ] y
se determina así:
__________________________________________________________________
Algebra Lineal - I. Arratia Z.
206
Sean {e1, ..... , en} y {e1, ..... , em} las bases canónicas
de ℜn y ℜm respectivamente. Entonces,
T (e1 ) =
a11e1 + a 21e 2 + . . . . . + a m1e m
T (e 2 ) =
......
a12 e1 + a 22 e 2 + . . . . . + a m2 e m
......
T (e n ) = a1n e1 + a 2 n e 2 + . . . . . + a mn e m
y la matriz,
a 11
a 12
A = [T ] =
....
a
1n
a 21
a 22
....
a 2n
a m1
. . . . a m2
.... ....
. . . . a mn
....
t
__________________________________________________________________
Algebra Lineal - I. Arratia Z.
207
a 11
a 21
es decir, la matriz A = [ T ] =
....
a
m1
a 12
a 22
....
a m2
a 1m
. . . . a 2m
,
.... ....
. . . . a mn
....
es tal que, F([T]) = F(A) = TA = T.
Por lo tanto, F es un isomorfismo y
queda establecido que
L(ℜn , ℜm ) ≅ Mmxn(ℜ)
__________________________________________________________________
Algebra Lineal - I. Arratia Z.
208
Ejemplo: Consideremos la aplicación lineal,
T : ℜ 2 → ℜ 3 ; T ( x , y ) = (4x - 2y, x + 3y, 2x + 5y)
y determinemos la matriz asociada a T.
Procedemos a evaluar T en los vectores de la base canónica
2
de ℜ y luego, a escribir estas imágenes como combinación
3
lineal de los vectores de la base canónica de ℜ .
T (1, 0 ) = ( 4 , 1, 2) = 4(1, 0, 0) + 1(0, 1, 0) + 2 (0, 0, 1)
T ( 0 , 1) = ( − 2 , 3, 5) = − 2 (1, 0, 0) + 3(0, 1, 0) + 5(0, 0, 1)
Entonces la matriz asociada a T es:
4
[ T ] =
− 2
1
3
4
t
2
= 1
5
2
− 2
3
5
__________________________________________________________________
Algebra Lineal - I. Arratia Z.
209
Ejercicio: Determine la matriz asociada a las
siguientes transformaciones lineales.
T : ℜ 3 → ℜ 2 ; T ( x , y, z ) = (-x + 3 y - 7z, 2x - y + z)
T : ℜ 3 → ℜ 3 ; T ( x , y, z ) = (7y - z, x + 6 z, 5x − y + 2 z)
Consecuencia del isomorfismo
L (ℜ n , ℜ m ) ≅ M mxn (ℜ )
que se ha establecido tenemos que:
[T + S] = [T] + [S]
[a T] = a [T] , a número real
Además, [T o S] = [T] [S] y si T es invertible, [T -1 ] = [T] -1
__________________________________________________________________
Algebra Lineal - I. Arratia Z.
210
Matriz asociada - Caso general
Consideremos ahora V y W espacios vectoriales de
dimensión n y m respectivamente y sea T: V
W
una aplicación lineal. Repetimos el procedimiento realizado
para obtener la matriz asociada a T pero considerando las
bases B = {v1, ….., vn} y E = {w1, ….. ,wm} de V y W
respectivamente. Evaluamos T en los vectores de B y luego
expresamos estas imágenes como combinación lineal de los
vectores de E.
T ( v1 ) =
a11w1 + a 21w 2 + . . . . . + a m1w m
T(v 2 ) =
......
a12 w1 + a 22 w 2 + . . . . . + a m2 w m
......
T ( v n ) = a1n w1 + a 2 n w 2 + . . . . . + a mn w m
__________________________________________________________________
Algebra Lineal - I. Arratia Z.
211
La matriz,
a11
a12
....
a
1n
a 21
a 22
....
a 2n
t
. . . . a m1 a11
. . . . a m2 a 21
=
....
.... ....
. . . . a mn a m1
a12
a 22
....
a m2
. . . . a1m
. . . . a 2m
.... ....
. . . . a mn
E
[T]
B
se denota
y es la matriz asociada a la
transformación lineal T o matriz de representación
de T, cuando se consideran las bases B de V y E de W.
E
Cuando n = m y B = E , la matriz [T] B se denota [T]B .
__________________________________________________________________
Algebra Lineal - I. Arratia Z.
212
E
La matriz [T] B está caracterizada así:
Si las coordenadas de v∈ V con respecto a la
base B son [v]B = X = (x1, . . . . , x n ) , entonces
[T]E
B ⋅ X son las coordenadas de la imagen
T(v) con respecto a la base E.
La matriz de representación de T establece un isomorfismo
entre el espacio L(V, W) y el espacio Mmxn(κ) .
Consecuencia de este isomorfismo es lo siguiente:
Si T y S son transformaciones lineales de V en W, B y E
son bases de V y W respectivamente, entonces:
__________________________________________________________________
Algebra Lineal - I. Arratia Z.
213
E
E
[T + S] E
=
[T]
+
[S]
B
B
B
E
[α T] E
=
α
[T]
B
B , α∈κ
Además, si T: V
W y S: W
U son
transformaciones lineales y B, E, C son bases de V, W
y U respectivamente, entonces
C
E
[So T] C
=
[S]
⋅
[T]
B
E
B
Si T: V
W es una aplicación lineal invertible y
B, E son bases de V y W respectivamente, entonces
-1 B
-1 E
E
[T]E
⋅
[T
]
=
[T
o
T
]
=
[
I
]
B
E
E
W E = In
__________________________________________________________________
Algebra Lineal - I. Arratia Z.
214
y
E
-1
B
B
[T -1] B
⋅
[T]
=
[T
o
T]
=
[
I
]
E
B
B
V B = In
Por lo tanto,
[T]E
B
es invertible y se tiene que:
-1
-1 B
( [T]E
)
=
[T
]E
B
Finalmente, el rango de T es
ρ(T) = dim(Im T) = ρ([T] E
B)
Ejemplo: Consideremos la aplicación lineal,
T : ℜ 3 → ℜ 2 ; T ( x , y, z ) = (x + 2 y - z, 3x + z)
__________________________________________________________________
Algebra Lineal - I. Arratia Z.
215
E
y determinemos la matriz [T] B donde B = { (1,1,1), (1,1, 0),
(1, 0, 0)} base de ℜ3 y E = {(2, 3), (-3, -5)} base de ℜ2 .
Tenemos que calcular las coordenadas αi , βi , γi originadas
así:
T (1, 1, 1) = ( 2 , 4) = α 1 (2, 3) + α 2 (-3, - 5)
T (1, 1, 0 ) = ( 3, 3) = β1 (2, 3) + β 2 (-3, - 5)
T (1, 0, 0 ) = (1, 3) = γ1 (2, 3) + γ 2 (-3, - 5)
De este modo obtenemos la matriz:
t
− 2 − 2
− 2 6 − 4
E
[T ] B = 6
3 =
− 4 − 3 − 2 3 − 3
__________________________________________________________________
Algebra Lineal - I. Arratia Z.
216
E
[T]
Ejemplo: Determinemos la matriz
B asociada a la
transformación lineal T de P3[x] en P2[x] definida por
T(p(x) = p’(x) si B = {1, x, x2, x3} y E = {1, x, x2}.
En este caso,
T(1) = 0 =
T(x) = 1 =
T(x2) = 2x =
T(x3) = 3x2 =
0 + 0x + 0x2
1 + 0x + 0x2
0 + 2x + 0x2
0 + 0x + 3x2
0 1 0 0
E
Por lo tanto, [T]B = 0 0 2 0
0 0 0 3
¿Esta matriz
deriva
polinomios?
__________________________________________________________________
Algebra Lineal - I. Arratia Z.
217
Ejemplo: Determinemos la matriz asociada a la
E
aplicación identidad de ℜ2 en los siguientes casos [ I ]E
B
B
[ I ]E
,
[
I
]
y
[
I
]
B
E
B donde E = {e1, e2} es la base
canónica de ℜ2 y B = {v1 =(1, -2), v2 = (3, -4)}.
Puesto que, e1 = 1e1 + 0e2 , e2 = 0e1 + 1e2
y v1 = 1v1 + 0v2, v2 = 0v1 + 0v2
B
obtenemos [ I ]E
=
I
=
[
I
]
E
2
B
Verifique que en los otros casos,
3
E 1
[ I ]B =
- 2 - 4
3
2
2
=
y [ I ]B
E
1
1
2
__________________________________________________________________
Algebra Lineal - I. Arratia Z.
218
Matriz de cambio de base
Si V es un espacio vectorial de dimensión n y B es
cualquier base de V, entonces la matriz de la aplicación
identidad es [IV ]B
B = [ IV ]B = In. Pero si E es otra base
de V, entonces [ IV ] E
B ≠ In . Observe lo siguiente:
B
E
E
[IV] E
⋅
[I
]
=
[I
o
I
]
=
[
I
]
B V E
V V E
V E = In
E
B
B
⋅
=
o
=
[IV] B
[I
]
[I
I
]
[
I
]
E V B
V V B
V B = In
E
Es decir, la matriz [ IV ]B es invertible y su
B
inversa es [ IV ]E.
__________________________________________________________________
Algebra Lineal - I. Arratia Z.
219
Las matrices
de cambio
siguiente:
B
[IV] E
y
[I
]
B
V E son llamadas matrices
de
base, nombre que se deriva de lo
Si V es un espacio vectorial de dimensión finita n, B y E
son bases de V y T: V
W es una aplicación lineal,
entonces:
¿Cambia
base?
E
B
[ IV ] B
⋅
[T]
=
[T]
E
E
E
E
E
[T] E
⋅
[I
]
=
[T]
E V B
B
E
E
B
[ IV ] B
⋅
[T]
⋅
[
I
]
=
[T]
E
E
V B
B
__________________________________________________________________
Algebra Lineal - I. Arratia Z.
220
Ejercicio: Considere la transformación lineal F de ℜ3
en P2[x] definida por F(a, b, c) = a + (2b+c) x + (b-a) x2.
Determine:
(1) La matriz [F] asociada a F.
(2) La matriz [F -1] asociada a F -1.
(3) La expresión algebraica F -1(a + bx + cx2).
E
(4) La matriz [F] B de representación de F cuando se
3
consideran la base B = {e1, e2, e3} canónica de ℜ y
E = {1 + x – x2, 2 + x, x2 – x} base de P2[x].
__________________________________________________________________
Algebra Lineal - I. Arratia Z.
221
Ejercicio: Considere F:
ℜ3
lineal tal que F(1,0,2) = 2x – 3,
P2[x] la aplicación
F(0,1,2) = 1 + x2
y
ℜ2 lineal cuya
F(0,0,1) = 2x – x2. Sea G: P2[X]
matriz de representación en las bases B = {1, 1+x, 1+x+x2}
1
−1
0
.
y C = {(1,0), (0,3)} es [ G ]CB =
1 2
0
matriz [2G o F] (bases canónicas).
Determine la
Ejercicio: Sea V un espacio vectorial real de dimensión 2
con base B = {u, v} y T una aplicación lineal de V en V tal
que T(2u + v) = -4u - v y T(u) - 2T(v) = -7u + 2v. Exprese
T(u) y T(v) como combinación lineal de los vectores de la
base B y a partir de esto encuentre la matriz [T]B.
__________________________________________________________________
Algebra Lineal - I. Arratia Z.
222
Diagonalización de matrices reales
__________________________________________________________________
Algebra Lineal - I. Arratia Z.
223
Valores y vectores propios
Sea V espacio vectorial real. En lo que sigue, T será
una transformación lineal de V en V; por lo tanto
cualquier matriz asociada a T es una matriz cuadrada.
Un escalar λ ∈ ℜ se llama valor propio de T
(o valor característico) si existe v ∈ V, v ≠ 0 tal
que T(v) = λ v.
Si λ ∈ ℜ es un valor propio de T, cualquier v ∈ V, v ≠ 0
tal que T(v) = λ v se llama vector propio de T (o vector
característico de T) asociado al valor propio λ .
__________________________________________________________________
Algebra Lineal - I. Arratia Z.
224
Ejemplo: λ = 2 es un valor propio de la aplicación lineal
T : ℜ 2 → ℜ 2 ; T ( x , y ) = (27x − 10 y, 75x - 28y)
puesto que T(2, 5) = (4, 10) = 2 (2, 5).
En este caso,
v = (2,5) es un vector propio de T asociado al valor propio 2.
Si λ es un valor propio de T y denotamos
por Vλ al conjunto de todos los vectores
propio de T asociados al valor propio λ ,
entonces es fácil mostrar que Vλ resulta ser
un subespacio de V. El subespacio Vλ se
llama espacio propio de T asociado a λ .
Vλ = { v∈V / T(v)= λ v}
__________________________________________________________________
Algebra Lineal - I. Arratia Z.
225
¿Cómo determinamos los
valores propios de T?
λ es un valor propio de T ⇔
∃ v ∈ V, v ≠ 0 tal que T ( v) = λ v ⇔
∃ v ∈ V, v ≠ 0 tal que T ( v) − λ v = 0 ⇔
∃ v ∈ V, v ≠ 0 tal que (T − λ I n )( v) = 0 ⇔
∃ v ∈ V, v ≠ 0, v ∈ Ker (T - λ I n ) ⇔
T − λ I n no invertible
det [T − λ I n ] = 0
⇔
__________________________________________________________________
Algebra Lineal - I. Arratia Z.
226
Observe que p(λ ) = det [T − λ I n ] es un polinomio en λ de
grado n y los valores propios de T son las raíces reales
de dicho polinomio o de la ecuación p (λ ) = 0 . Note que
p (λ ) = 0 ⇔
Por otra parte,
det(T - λI) = 0 ⇔
det( λI - T) = 0
Vλ = { v ∈ ℜ n / T(v) = λ v }
= { v ∈ ℜ n / T(v) - λ v = 0}
= { v ∈ ℜ n / (T - λ I n )(v) = 0}
= Ker (T - λ I n )
Es decir, los vectores propios de T asociados a λ son los
vectores del kernel de la transformación lineal [T − λ I n ] .
__________________________________________________________________
Algebra Lineal - I. Arratia Z.
227
Ejemplo: Sea T la transformación lineal
T : ℜ2 → ℜ2 ; T(x, y) = (−y, x)
0 −1
.
0
La matriz asociada a T es A =
1
Como la “ecuación característica” de T,
λ 1
p(λ) = 0 ⇔ det[λ I - T] = 0 ⇔
= 0 ⇔ λ2 +1 = 0,
−1 λ
no tiene raíces reales, T no tiene valores propios.
Ejercicio: Muestre que los valores propios de la
siguiente transformación lineal T son 1 y 2.
T : ℜ3 → ℜ3 ; T(x, y, z) = (3x + y - z, 2x + 2y - z, 2x + 2y)
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228
Ejemplo: Los vectores propios de la transformación lineal
T : ℜ3 → ℜ3 ; T(x, y, z) = (3x + y - z, 2x + 2y - z, 2x + 2y)
se encuentran en Ker[T − I3 ] y en Ker[T - 2I 3 ] , es decir,
2x + y - z =
Ker[ T − I 3 ] = { (x, y, z) ∈ ℜ /
2x + 2y - z =
3
0
}
0
= < { (1, 0, 2) } >
x+y+z = 0
Ker[ T − 2 I 3 ] = { (x, y, z) ∈ ℜ 3 /
2x - z = 0
}
2x + 2y - 2z = 0
= < { (1, 1, 2) } >
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Algebra Lineal - I. Arratia Z.
229
Diagonalización
Se dice que una base B de V diagonaliza a la
transformación lineal T si la matriz [T]B asociada a T es
una matriz diagonal. Cuando tal base B existe, se dice
que T es diagonalizable.
Una matriz A ∈ Mn (ℜ) es diagonalizable si la aplicación
lineal asociada a A lo es.
¿Cuándo T es
diagonalizable?
Teorema: T diagonalizable si y sólo si existe
B base de V formada por vectores propios de T.
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Algebra Lineal - I. Arratia Z.
230
En efecto, sea B = {v1, ….., vn} base de V con v1, ….., vn
vectores propios de T. Entonces,
T ( v1 ) = λ 1 v1 =
T(v 2 ) = λ 2v 2 =
......
T(v n ) = λ n vn =
λ 1 v1 + 0 v 2 + . . . . . + 0 v n
0 v1 + λ 2 v 2 + . . . . . + 0v n
......
0 v1 + 0 v 2 + . . . . . + λ n v n
donde λi son valores propios de T no necesariamente
distintos. La matriz de representación de T en la base B es:
λ1
0
[T ] B =
....
0
0
λ2
....
....
....
....
0
....
0
0
. . . .
λ n
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Algebra Lineal - I. Arratia Z.
231
Ejemplo: La transformación lineal T : ℜ3 → ℜ3 ;
T(x, y, z) = (-9x− 8y + 4z, 8x + 7y - 4z, - 8x − 8y + 3z)
tiene dos valores propios: 3 y -1. Los espacios propios
asociados son,
Ker[T - 3I 3 ] = < { (1, - 1, 1) } >
Ker[T + I3 ] = < { (1, 0, 2), (0, 1, 2) } >
Y B = {(1, -1, 1), (1, 0, 2), (0, 1, 2)} es una base de ℜ3 que
diagonaliza a T; en este caso,
3
[ T ]B = 0
0
0
−1
0
0
0
− 1
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Algebra Lineal - I. Arratia Z.
232
Ejemplo: La transformación lineal T : ℜ3 → ℜ3 ;
T(x, y, z) = (3x+ y - z, 2x + 2y − z, 2x + 2y)
tiene dos valores propios: 1 y 2. Sin embargo, T no es
diagonalizable. Los espacios propios asociados son,
Ker[T - I3 ] = < { (1, 0, 2) } >
Ker[T - 2I 3 ] = < { (1, 1, 2) } >
Y es imposible encontrar una base de ℜ3 formada por
vectores propios de T.
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233
Otros criterios de diagonalización
Teorema: T diagonalizable si y sólo si el
polinomio característico de T tiene la forma
p(λ ) = (λ - λ1 ) d1 (λ - λ 2 ) d 2 ⋅ . . . . . . ⋅ (λ - λ k ) d k
con d i = dim Vλ y Vλ espacio propio
i
i
de T asociado al valor propio λ i .
Por ejemplo, el polinomio característico de la transformación
lineal T(x, y, z) = (-9x− 8y + 4z, 8x + 7y - 4z, - 8x − 8y + 3z) es
p(λ ) = (λ - 3)(λ + 1) 2
Y dim Vλ = 3 = 1,
dim Vλ = -1 = 2 ; luego T diagonalizable.
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Algebra Lineal - I. Arratia Z.
234
Teorema: T diagonalizable si y sólo si
dim V = dim Vλ1 + dim Vλ 2 + ...... + dim Vλ k
donde λ1, ..... , λ k son los valores propios
de T y Vλ i es el espacio propio de T
asociado al valor propio λ i .
Por ejemplo, en el caso de la transformación lineal
diagonalizable del ejemplo anterior
T(x, y, z) = (-9x− 8y + 4z, 8x + 7y - 4z, - 8x − 8y + 3z)
se tiene que dim Vλ = 3 + dim Vλ = -1 = 1 + 2 = dim ℜ 3
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235
Ejercicio: Determine si la siguiente transformación
lineal T es o no es diagonalizable.
T : ℜ3 → ℜ3 ; T(x, y, z) = (3x- y + z, 7x − 5y+ z, - 6x + 6y - 2z)
El hecho que T sea diagonalizable significa
que la matriz [T] asociada a T, es “similar” a la
matriz diagonal [T]B en el sentido siguiente:
Existe P matriz invertible tal que [T]B = P −1[T] P
Ejercicio: Demuestre que los valores propios de
una matriz triangular A = (ai j) son los elementos a i i
de la diagonal.
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Algebra Lineal - I. Arratia Z.
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