ExTipoSegParcMicro2012-1

EXAMEN TIPO SEGUNDO PARCIAL
MICROECONOMÍA I
SEMESTRE 2012-1
Teóricas
1. Demuestre las condiciones para las que en el modelo de equilibrio general en las que
hay i consumidores y k productores, las soluciones que se presentan son simultáneas y
únicas.
2. Si al menos un consumidor no presentará una relación de preferencias estrictamente
convexas en un conjunto de i consumidores, ¿cuáles son las implicaciones para que este
sistema alcance el equilibrio? ¿explique si este contexto se tratará de la eficiencia debil?
3. Demuestre para un caso bidimensional en una economía sin producción, que la
existencia del equilibrio y por tanto de los excesos de demanda (Z) sean nulos se debe a
que existe un simplex unitario definido como Sk-1 en el que PZ(P) ≡ 0 si y solo si X1~
X2, siendo Xi la cesta de consumo.
4. Represente gráficamente y explique el resultado sub-óptimo a la unicidad del equilibrio
consistente en la existencia de múltiples equilibrios cuando ese conjunto es:
a) Finito
b) Infinito
5.
“El subastador, que no siempre es equivalente al planificador central, anuncia un
vector de precios de equilibrio en cada ronda. Si este proceso es convergente, el
subastador llega a anunciar un vector de precios de equilibrio. Tal convergencia supone
que el subastador “aprende” el proceso que es, entonces, iterativo y convergente. Ello
no está garantizado siempre.”:
a) Deduzca las condiciones bajo las que está garantizada la convergencia del equilibrio
walrasiano y demuestre su respuesta.
b) Describa y explique las consecuencias de que no se cumplan las condiciones de
convergencia
6. Para una caja de Edgeworth muestre que si se relaja el supuesto de convexidad estricta
de las curvas de indiferencia para ambos consumidores, la curva de contrato se
convierte en un área.
7. Explique el conjunto de supuestos que permiten demostrar el llamado “teorema de la
existencia.”
8. Demuestre porque en un orden de preferencias sociales R, el conjunto de alternativas
de la economía, no es una función de bienestar social en el sentido de Arrow.
9. Explique por qué un monopolista con costo marginal cero y con una demanda de
mercado lineal, debe producir en donde la elasticidad es -1. ¿Cuál es el valor del índice
de Lerner en ese punto?
10. Demuestre que con solamente dos firmas:
a) Puede obtenerse el equilibrio competitivo en el duopolio de Bertrand
b) No puede obtenerse el equilibrio competitivo en el duopolio de Cournot
c) Explique los motivos de que ocurra los descrito en los incisos anteriores
11. Demuestre que desde el modelo de Cournot si la proporción de la industria tiende a 1,
el equilibrio de la empresa es el equilibrio de monopolio y que si tiende a cero es
equilibrio competitivo.
12. Explique porque en que punto el equilibrio del modelo de Cournot puede ser un
equilibrio de Nash.
Ejercicios
1. Supongamos que el individuo A tiene la siguiente función de utilidad:
U A ( x A , y A )   x   y . Encuentre gráficamente la curva de contrato, así como los
precios relativos que permiten alcanzar el equilibrio walrasiano cuando el
B
B
B
consumidor B tiene las siguientes preferencias: U ( x , y )  ax  by
2. Supongamos que el individuo A tiene una función de utilidad descrita en la 1.1 y el
consumidor B tienen la función descrita en 1.2. Encuentre analítica y gráficamente
la curva de contrato. Determine los precios relativos que permiten alcanzar el
equilibrio walrasiano.

A
A
1.1 U A (X A ,Y A )  min X a Y b
B
B
B
B B
1.2 U (X ,Y )  (X Y )

1

2
3. Suponga una economía de intercambio puro con la particularidad de que existe el
mismo número de bienes que de individuos, I = L; y donde además todos tienen la
misma función de utilidad cuasi-lineal definida por:
Ui = x1 + log(x2,x3, … ,xL)
Por simplicidad, considerar que la dotación inicial de cada individuos es wi = (0, . . .
, s, . . . ,0) para s > 0. Lo que significa que el consumidor 1 dispone de toda la
dotación social, el número s, del bien 1, y nada más. El consumidor 2 dispone del
monto social s del bien 2, y nada más; y así sucesivamente.
a) Encontrar las L –
funciones de demanda excedente y verificar que son
homogéneas de grado cero y cumplen la Ley de Walras.
b) Encontrar el vector de precios de equilibrio walrasiano.
c) Calcular las asignaciones de equilibrio general ¿Qué puedes concluir acerca
de los bienes x2, . . . , xL?
4. Suponga una economía de intercambio puro con L-bienes y donde las funciones de
utilidad de todos los I-consumidores son estrictamente cóncavas, estrictamente
crecientes y diferenciables. Además, la dotación agregada w > 0.
a) Demostrar que si (x*, p*) >> 0 es una asignación de equilibrio walrasiano,
entonces para una elección de pesos de a1, ...,aI > 0, (x*, p*) maximiza la función
de bienestar social utilitarista.
W   iU i (x i )
iI

Sujeto a la restricción de recursos:

 x  
iI
i
l
i
l
l L
iI
b) Utilizar el resultado
 anterior, haga una prueba alternativa del primer
teorema del bienestar.
5. Existen dos insumos, trabajo (L) y capital (K), y dos bienes, el bien x y el bien y.
La función de producción del bien x es:
1/4
3/4
X  L x K x
y la función de producción del bien y,


1/4
Y  L1/4
y Ky

La dotación disponible de trabajo es 100 y la dotación de capital es de 25. Además,
en esta economía solo existen dos consumidores, A y B, cuyas preferencias por los
bienes X e Y se representan por las siguientes funciones de utilidad:
U A (X,Y )  log X A  logY A
U B (X,Y )  X B  Y B


a) Determinar el conjunto de asignaciones eficientes de la producción y la frontera
de posibilidades de producción.
b) Calcular el nivel óptimo de producción y encontrar las asignaciones de consumo
que son eficientes en el sentido de Pareto.
6. Sean cinco estados sociales, {v,w,x,y,z} y tres individuos, {1,2,3} con las siguientes
preferencias:
1. X~YZWV
2. YZVWX
3. Z~YWVX
¿Cuáles estados sociales son óptimo de Pareto?, indique por qué las alternativa no son
óptimas de Pareto.
7. Considere una economía con dos agentes cuya función de utilidad social es:
1
2
1 
2 
W (U ,U )  (U ) (U ) y cuyas funciones de utilidad estan definidas como:


U i  1 2 logX i  1 2 logYi
i  1,2. La frontera de posibilidades para esta

economía se determina como: 4X 3Y  72.
a) Encuentre los niveles de producción agregado que maximizan el bienestar
social.

b) Encuentre la distribución de producción entre consumidores, (X1,Y1,X2,Y2) que
maximizan el bienestar social. (Nota: terminarás con una ecuación que solo
puede ser resuelta numéricamente, no la resuelvas, solo proporciónala).
8. En una industria existen tres empresas idénticas, con demanda p = 10 – 1/Y, en
donde Y = y1 + y2 + y3. El costo marginal es 5.
(a)
Calcule el equilibrio de Cournot para precios y cantidades.
(b)
¿Existe un equilibrio de Cournot simétrico? Esto es, en donde alguna de las
empresas produce un monto diferente que las otras.
9. Considere un duopolio de Cournot en el cual las firmas tienen un costo igual a 10
por unidad producida y función inversa de demanda dada por p(q) = 20-0.5q.
Obtenga:
a)
La cantidad y precio de monopolio
b)
La cantidad y precio competitivos socialmente óptimos
c)
La función de mejor respuesta de la firma j .
d)
Grafique y explique detalladamente el significado de la función de mejor
respuesta, incluyendo en ella curvas de isoganancia bien comportadas
convenientemente situadas.
e)
Calcule, represente gráficamente y explique el punto de equilibrio de Nash,
si es que existe para el problema planteado.
10. En los siguientes juegos encuentre los equilibrios de Nash en estrategias puras.
Jugador 1
Jugador 1
arriba
abajo
izquierda
(1,0)
(0,3)
Jugador 2
centro
(1,2)
(0,1)
derecha
(0,1)
(2,0)
arriba
centro
abajo
izquierda
(0,4)
(4,0)
(3,5)
Jugador 2
centro
(4,0)
(0,4)
(3,5)
derecha
(5,3)
(5,3)
(6,6)
11. Considerando el juego “dilema del prisionero”:
a) Represente sus formas extensiva y normal
b) Determine las estrategias dominantes y dominadas, estricta y débilmente, en caso
de existir
c) De ser necesario, efectúe el proceso de eliminación iterada que corresponda y
obtenga una solución única para el juego y explique las implicaciones de esa
solución.
d) Determine si la solución única del inciso anterior es un equilibrio de Nash y
explique por qué.