PROBABILIDAD Diariamente en nuestro planeta esta lleno de incertidumbre y esta...

PROBABILIDAD
Diariamente en nuestro planeta esta lleno de incertidumbre y esta incertidumbre o duda varía desde los mas
simples juegos de azar como barajas y dados a otro tipo de problemas que se presentan en distintos campos
como medicina ingeniería, industrias ciencias sociales, seguros, etcétera. Los problemas representativos en
estas áreas predican la predicción de lo que sucederá en circunstancias donde se incluye elementos conocidos
(o mesurables) y aleatorios
Ph = h # de fracasos o # de éxitos
N espacio muestra o resultados posibles
Moneda Dado Baraja inglesa Baraja española
1111
2 5 52 40
En algunos problemas se puede contar exactamente las formas diferentes en las cuales u evento o resultado
dado puede o no suceder y suponer que todas las formas posibles ocurrirán sobre bases igualmente probables.
La probabilidad obtenida bajo tales circunstancias y supuesto se denomina probabilidad matemática de aquí
que se considere que un evento (A) puede suceder en (h) formas de un total de (N) elementos.
P(A) = h
N
Ej.− Cual es la probabilidad que al lanzar una moneda 30 veces caiga sello?
Águila = 14 14/30 (100) = 46.66%
Sello = 16 16/30 (100) = 53.33%
Técnicas de conteo
Las técnicas de conteo para encontrar el numero de arreglos posibles de objetos en un conjunto o conjuntos
son esenciales en el estudio de la probabilidad. Al contar los arreglos se puede enlistar o representar todos en
forma ramificada es decir esta representación se hace en la forma de un árbol denominado diagrama de árbol.
Ej.− Un contador tiene dos sacos negro y beige y 4 camisas: celeste, café, blanca y azul de cuantas manera
puede combinarse y representar con un diagrama de árbol.
Saco
Camisas
Posibles arreglos:
Negro
Celeste
Negro−celeste
Beige
Café
Negro−café
2x
Blanco
Negro−blanco
Contador
1
Azul
Negro−azul
Celeste
Beige−celeste
Café
Beige−café
Blanco
Beige−blanco
Azul
Beige−azul
4=
8
Principio Fundamental del Proceso de Contar
De la sección anterior se puede establecer una manera eficiente de contar considerando el principio de
multiplicación, el cual llamaremos: Principio fundamental del proceso de contar quedando explícitamente de
la siguiente manera: Si en una primera decisión se puede hacer de n formas diferentes y una segunda decisión
en m formas diferentes entonces las dos decisiones se pueden hacer en n por m o sea nm formas diferentes en
el orden dado.
Ej.− Cuantas palabras de 4 letras (sin significado) se puede formar con las letras de la palabra verónica, sin
usar mas de una vez cada una de las letras,
8 x 7 x 6 x 5 = 1680
Ej.− Cuantos números de 3 dígitos se pueden formar con los dígitos 6,7,8,9 si :
a) no deben repetirse los dígitos 4 x 3 x 2 = 24
b) deben repetirse los dígitos. 4 x 4 x 4 = 64
Compruébalo
a)
678
768
867
967
679
769
869
968
687
786
876
976
689
789
879
978
697
796
896
986
698
798
897
987
666
766
866
966
667
767
867
967
b)
2
668
768
868
968
669
769
869
969
676
776
876
976
677
777
877
977
678
778
878
978
679
779
879
979
686
786
886
986
687
787
887
987
688
788
888
988
689
789
889
989
696
796
896
996
697
797
897
997
698
798
898
998
699
799
899
999
Ej.− cuántos números de cuatro dígitos de pueden formar con los dígitos del 0−9 si:
a) los dígitos pueden repetirse 9 x 10 x 10 x 10 = 9000
b) los dígitos no pueden repetirse 9 x 9 x 8 x 7 = 4536
c) el ultimo digito debe ser ocho y no pueden repetirse 8 x 8 x 7 x 1 = 448
Ej.− Cuántos juegos de placas para autos que contengan tres letras seguidas de tres dígitos utilizando para ello
las 27 letras del alfabeto y los números del 0−9 si:
a) las letras y dígitos no deben repetirse
27 x 26 x 25 x 10 x 9 x 8 = 12636000
b) las letras y dígitos pueden repetirse
27 x 27 x 27 x 10 x 10 x 10 = 19683000
c) debe iniciar con la letra R
1 x 26 x 25 x 10 x 10 x 10 = 650000
1 x 26 x 25 x 10 x 9 x 8 = 468000
3
650000 + 468000 = 1118000
Ej.− Se tienen seis hombres y cinco mujeres y se quieren acomodar en una hilera de butacas de tal manera que
las mujeres ocupen los lugares pares , en cuantas formas se pueden acomodar?
6 x 5 x 5 x 4 x 4 x 3 x 3 x 2 x 2 x 1 x 1 = 86400
Factorial de n
El factorial de n o n factorial se representa por el símbolo n! Y se define por un producto continuado en forma
descendente y en el cual el cero factorial es igual a uno. Y se representa por:
N! = n(n−1) (n−2) (n−3)...
4! = 4(4−1) (4−2) (4−3)
6! = 6(6−1) (6−2) (6−3) (6−4) (6−5)
4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24
6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720
Operaciones fundamentales:
a) 4! + 2! = (4 x 3 x 2 x 1) + (2 x 1) = 24 + 2 = 26
b) 4! − 2! = (4 x 3 x 2 x 1) − (2 x 1) = 24 − 2 = 22
c) (4!) (2!) = (4 x 3 x 2 x 1) * (2 x 1) = 24 * 2 = 48
d) 4! / 2! = (4 x 3 x 2 x 1) / (2 x 1) = 24 / 2 = 12
Permutaciones
El principio fundamental en el proceso de contar ofrece un método general para contar el numero de posibles
arreglos de objetos dentro de un solo conjunto o entre carios conjuntos. En cambio para un solo conjunto de
objetos las formulas desarrolladas para permutaciones y combinaciones son mas convenientes para contar el
numero de posibles arreglos.
Una permutación de un número de objetos es un arreglo de todas o una parte de los objetos en un orden
definido.
a) Permutaciones lineales.
Permutaciones de diferentes objetos tomados todos a la vez. El total de permutaciones de un conjunto de
objetos tomados todos a la vez, se obtiene razonando en forma similar del principio fundamental de contar.
NPn = n!
Ej.− TRI
3 x 2 x 1 = 6 nPn = n! ........ 3 x 2 x 1 = 6
Ej .− Cuantas palabras de cinco letras se pueden formar con la palabra libro aplique permutaciones.
5P5 = 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120
4
b) Permutaciones de objetos diferentes tomados parte al vez o de r en r.
Una permutación de n objetos diferentes tomados de r en r es tambien una ordenación de r entre los n objetos.
NPr = n!
(n−r)!
Ej.− Cuantas palabras de tres letras se pueden formar con las letras de la palabra libro.
N = 5 5P3 = 5! = 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 60
R = 3 (5−3)! 2! 2 x 1
Ej.− Cuantos números de dos dígitos se pueden formar con los dígitos 4,6,9 y cuales son, sin repetirse los
dígitos?
N = 3 3P2 = 3! = 3! = 3 x 2 x 1 = 6 46, 49, 64, 69, 94, 96.
R = 2 (3−2)! 1! 2!
Ej.− Del grupo de 5G de contabilidad de 47 alumnos , se quiere escoger un presidente, secretario, y tesorero.
Cuantas maneras se puede ordenar?
N = 47 41P3 = 47! = 47! = 47 x 46 x 45 x 44! = 97290
R = 3 (47−3)! 44! 44!
c) Permutaciones formado de grupos
De los que n1 son iguales, n2 son iguales, n3 son iguales, etc. Tomados todos a la vez.
. n! .
n1!n2!n3!
Ej.− El 25 de diciembre se quiere hacer una repartición de regalos que consiste en cuatro bicis iguales, tres
pelotas iguales, dos muñecas iguales, ¿de cuantas maneras se pueden repartir estos regalos?
9! = 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 9 x 4 x 7 x 5 = 1260
4! 3! 2! 4 x 3 x 2 x 1 x 3 x 2 x 1 x 2 x 1
Ej,− Cuantas palabras se puede formar con la palabra TENNESSE
8! = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 8 x 7 x 6 x 5 = 1680
1! 3! 2! 2! 1 x 1 x 3 x 2 x 1 x2 x 1 x 2 x 1
d)Permutación cíclica o alrededor de.
Una permutación cíclica o alrededor de es una ordenación de n objetos de un circulo o cualquier otra curva
5
simple cerrada en donde siempre uno de los objetos tiene una posición fija y se define por la siguiente
expresión: P = (n−1)!
Ej.− Se quieren acomodar alrededor de una mesa Carlos, Petra, Juana y Maria, de cuantas maneras se pueden
acomodar? Demuéstralo.
P = (n−1)! C C C C C C
P = (4−1)!
P = 3! M P J P M J P M J M P J
P=6JMPJPM
Ej.− Se tienen 2 libros de legislación fiscal, 3 de mate y 6 de contabilidad (todos diferentes) de cuantas
maneras se pueden acomodar en un estante si:
a) no se impone ninguna restricción
11P11 = 11! = 11 x 10 x 9 x 8! ... = 39916800
b) solamente los libros de mate deben ir juntos y los de mate deben ir intercambiados
9P9 x 3P3 = 9! x 3! = (9 x 8 x 7 x 6!) (3 x 2 x 1) = (362880) (6) = 2177280
c) los libros de legislación deben ocupar los extremos.
9P9 x 2P2 = 9! x 2! = (9 x 8 x 7 x 6!) (2 x 1) = (362880) (2) = 725760
Combinaciones
Una combinación de un numero de objetos diferentes tomados de r en r es una selección de r de los n objetos
de un conjunto sin considerar el orden de los objetos.
nCr = n! .
r! (n−r)!
Ej. Se desean formar equipos de dos personas para la exposición de un proyecto de un total de cuatro
estudiantes Gabriel, Melchor, Wendy y Verónica, de cuantas maneras se pueden formar y comprobar si:
a) se pide una ordenación
nPr = n! . n = 4 4P2 = 4! = 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 12
(n−r)! r = 2 (4−2)! 2! 2 x 1
GM
MG
WG
VG
GW
MW
WM
VM
GV
MV
WV
VW
6
b)se pide una selección
nCr = n! n = 4 4C2 = 4! = 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 6
r!(n−r)! r = 2 2! (4−2)! 2!(2!) 2 x 1 x 2 x 1
GM
WV
GW
MW
GV
MV
Ej.− Se requiere formar un comité representativo que lo conforman un presidente, secretario y un tesorero de
un total de 15 personas ¿De cuantas maneras se puede seleccionar estas tres personas para ocupar estos
puestos?
n = 15 r = 4
nCr = n! . = 15! = 15! = 15 x 14 x 13 x 12!... = 2730 = 455
r! (n−r)! 3!(15−3)! 3!(2!) 3 x 2 x 1 x 12! 6
Ej. Se quiere formar un comité de cuatro hombres, tres mujeres m dos niños y dos niñas de un total de 8
hombres , cinco mujeres, cuatro niños, y tres niñas, de cuantas maneras se puede escoger si:
a) no hay ninguna condición
b) dos hombres y una mujer debe de pertenecer al comité.
c) cuatro hombres no deben de pertenecer al comité.
nCr = n! .
r! (n−r)!
a) 8C4 = 8! = 8! = 8 x 7 x 6 x 5 x 4!... = 1680 = 70
4!(8−4)! 4!(4!) 4 x 3 x 2 x 1 x 4! 24
5C3 = 5! = 5! = 5 x 4 x 3!... = 20 = 10
3!(5−3)! 3!(2!) 3 x 2 x 1 x 2 x 1 2
4C2 = 4! = 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 12 = 6
2!(4−2)! 2!(2!) 2 x 1 x 2 x 1 2
3C2 = 3! = 3! = 3 x 2 x 1 = 3 = 3
2!(3−2)! 2!(1!) 2 x 1 x 1 x 1 1
70 x 10 x 6 x 3 = 12600
7
b) 6C2 = 6! = 6! = 6 x 5 x 4! . = 30 = 15
2!(6−2)! 2!(4!) 2 x 1 x 4! 2
4C2 = 4! = 4! = 4 x 3 x 2 x 1 . = 12 = 6
2!(4−2)! 2!(2!) 2 x 1 x 2 x 1 2
4C2 = 4! = 4! = 4 x 3 x 2 x 1 . = 12 = 6
2!(4−2)! 2!(2!) 2 x 1 x 2 x 1 2
3C2 = 3! = 3! = 3 x 2 x 1 = 6 = 3
2!(3−2)! 2!(1!) 2 x 1 x 1 x 1 2
15 x 6 x 6 x 3 = 1620
d)4C4 = 4! = 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24 = 1
4!(4−4)! 4!(0!) 4 x 3 x 2 x 1 24
5C3 = 5! = 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 20 = 10
3!(5−3)! 3!(2!) 3 x 2 x 1 x 2 x 1 2
4C2 = 4! = 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 12 = 6
2!(4−2)! 2!(2!) 2 x 1 x 2 x 1 2
3C2 = 3! = 3! = 3 x 2 x 1 = 6 = 3
2!(3−2)! 2!(1!) 2 x 1 x 1 x 1 2
1 x 10 x 6 x 3 = 180
Ej.− Se lanza una moneda tres veces, cual es la probabilidad de que es esos tres lanzamientos caiga:
a) exactamente un sello
b) tres águilas
c) por lo menos un sello
d) dos águilas
1 1° 2° 3°
2 A
A
A
3 A
A
S
8
4 A
S
A
5 S
A
A
6 S
S
S
7 S
S
A
8 S
A
S
A
S
S
P(A) = h / N
½ x ½ x ½ = 1/8 Espacio muestra o todos los resultados
posibles
a) P(exacto un sello) = 3/8
b) P(tres águilas) = 1/8
c) P(por lo menos un sello) = 7/8
d) P(dos águilas) = 3/8
e) P(cuatro sellos) = 0/8
Ej.− En una caja que contiene pelotas: ocho rojas, diez blancas, doce azul, 15 amarilla, 25 naranja, se hace una
sola extracción, cual es la probabilidad de que en esa extracción se saque:
a) una pelota amarilla
b) una roja
c) una azul o amarilla o naranja
d) no blanca, no amarilla
total 70 pelotas
a) P(extraer una pelota amarilla) =15 / 70
b) P(una pelota roja) = 8 / 70
c) P(una azul o amarilla o naranja) = 8 / 70
d) P(no blanca, no amarilla) = 45 / 70
Sucesos Dependientes e Independientes
9
Si E1 y E2 son dos sucesos, la probabilidad de que ocurra E2, dado que ha ocurrido e1, se representa por
P{E2 / E1} o P{E2 dado E1} y a esto se le llama probabilidad condicional de E2 dado que E1 ha ocurrido.
Si la ocurrencia o no ocurrencia de E1 no afecta a la probabilidad de ocurrencia de E2 , entonces P{E2 / E1} =
P{E2} y se dice que E1 y E2 son sucesos independientes; sino ocurre esto, es decir la ocurrencia E1 afecta ala
ocurrencia de E2 se dice que son dependientes.
Sucesos dependientes:
P{E1E2} = P{E1} P{E2 /E1}
P{E1E2E3} = P{E1} P{E2/E1} P{E3/E1E2}
Sucesos independientes
P{E1E2} = P{E1} P{E2}
P{E1E2E3} = P{E1} P{E2} P{E3}
Ej. Cual es la probabilidad de que caiga sello en el 15avo lanzamiento y caiga sello en el 16avo lanzamiento
de una moneda bien construida.
E1 = caiga sello en el 15avo lanzamiento P{E1} =1/2
E2 = caiga sello en el 2° lanzamiento P{E2} = 1/2
P{E1E2} = P{E1} P{E2}
= (1/2) (1/2)
= 1/4
Ej. Si la probabilidad de que Escamilla escriba 30 años un 75% ¿cuál es la probabilidad de que ambos vivan
30 años?
E1 = Escamilla viva 30 años P{E1} = 80% / 100% = 4 / 5
E2 = Peimbert viva 30 años P{E2} = 75% / 100% = 3/4
P{E1E2} = P{E1} P{E2/E1}
=(4 / 5) (3 / 4)
=12 / 20
= 60%
Ej. De una caja que contiene tres billetes de a 100 y dos de 50 se extraen dos billetes ¿Cuál es la probabilidad
de que en la primera extracción sea un billete de a cien y que en la segunda extracción sea un billete de a 100
si las extracciones se hacen con:
a) un remplazamiento
10
b) sin remplazamiento
Sucesos mutuamente excluyentes
Dos o mas sucesos se dicen excluyentes si la ocurrencia de uno o cualquiera de ellos imposibilita la ocurrencia
de los otros . Así si E1 y E2 son mutuamente excluyentes entonces la probabilidad de suceso uno por el
suceso dos es igual a cero. P{E1+E2}=0
Si E1 mas E2 representa el suceso de que ocurra E1 o E2 o ambos, entonces, la probabilidad de:
sucesos no mutuamente excluyentes
P{E1+E2}=P{E1} + P{E2} − P{E1E2}
Sucesos mutuamente excluyentes
P{E1+E2}=P{E1} + P{E2}
Ej.− Se hace una extracción de una baraja de 52 cartas ¿ cual es la probabilidad de que esn esa extracción sea
un as o un rey?
E1 = extracción de as = 1/13
E2 = extracción de un rey = 1/13
P{E1+E2}=P{E1} + P{E2}
1/13 + 1/13
2/13
Ej.− se hace una extracción de una baraja de 52 cartas¿cuál es la probabilidadde que en esa extracción sea un
as o una espada?
E1 = extracción de as = 1/13
E2 = extracción de espada = 13/52 = ¼
P{E1+E2}=P{E1} + P{E2} − P{E1E2}
= 1/13 + ¼ − 1/52
= 4/52 + 13/52 − 1/52
= 16/52 = 4/13
Ej. Cual es la probabilidad de que en dos lanzamientos de un dado aparezca al menos un 4?
E1 = que salga un cuatro = 1/6
E2 = que salga un cuatro = 1/6
11
P{E1+E2}=P{E1} + P{E2}
1/6 + 1/6
= 2/6 = 1/3
12