Grado en Ingeniería Mecánica Teoría de Sistemas PROBLEMAS

Grado en Ingeniería Mecánica
Teoría de Sistemas
PROBLEMAS PROPUESTOS. TEMAS 7 A 9
Muestreo y reconstrucción de señales.
Modelado de sistemas muestreados.
Sistemas muestreados con retrasos.
PROBLEMA 1. Transformada de Fourier
Para el sistema de la figura 1(a), se pide representar la transformada de Fourier de la
secuencia de salida {xk } para T = 1, T = π/2 y T = 2 segundos, si el módulo de la
transformada de Fourier de la señal continua x(t) es la que se muestra en la figura 1(b).
Figura 1: (a) Sistema para el problema 1; (b) Transformada de Fourier de x(t)
PROBLEMA 2. Sistemas muestreados. Combinaciones de muestreador y bloqueador
Considérense tres elementos físicos: un bloqueador, un proceso continuo y un muestreador.
Con ellos, y conectándolos en serie, se pueden obtener (permutando su orden) seis sistemas.
Se pide:
1. Indicar cuáles de esos seis sistemas funcionarían en el sentido de una transmisión de
información desde la entrada a la salida.
2. Para los sistemas seleccionados en el apartado anterior, indicar la forma de sus entradas
y salidas (si son secuencias o señales). ¿Existe en ellos un operador (en forma de función
de transferencia) que multiplicado por la transformada de la entrada nos calcule la
salida?
1
PROBLEMA 3. Sistema discreto equivalente
Dado el sistema de la figura 2
Figura 2: Sistema para el problema 3
se pide calcular la función de transferencia en Z, Y (z)/U (z), sabiendo que la secuencia {uk }
tiene valores cada segundo (T = 1 s).
PROBLEMA 4. Sistema muestreado realimentado sin retardo y con retardo
En el sistema de la figura 3, donde K = 3 y T = 0,1 s, la lectura de la señal continua
Y (s) de salida se realiza con un captador H(s). Se pide calcular la función de transferencia
(z)
entrada/salida M (z) = YU (z)
considerando las siguientes posibilidades:
1. H(s) es igual a la unidad.
2. H(s) tiene como función de transferencia
1
(s+2)
3. H(s) es un retardo puro de valor 0,08 s.
4. H(s) es un retardo puro de valor 0,1 s.
Figura 3: Sistema para el problema 4
2
PROBLEMA 5. Sistema muestreado
Dado el sistema de la figura 4, donde la señal x(t) es la entrada al sistema, se pide obtener
y(t) en los cuatro instantes siguientes: t = 0; t = 0,5; t = 1; y t = 1,5 segundos, en los dos
casos siguientes:
1. Si el periodo de muestreo es T = 0,5 segundos.
2. Si el periodo de muestreo es T = 1 segundo.
Figura 4: Sistema para el problema 5
PROBLEMA 6. Sistema muestreado realimentado
En la figura 5 se representa un sistema controlado por computador en el que se conocen los
datos siguientes:
1
R(z) =
3z + 2
5
G(s) =
2s + 16
H(s) = 3
T = 0,1 s, igual al periodo de la señal {xk }
Se pide obtener los 4 primeros términos de la secuencia de salida {yk } si la secuencia de
entrada es:
{xk } = {1, 2, 1, 0, 0, 0, 0, ...}
Figura 5: Sistema para el problema 6
3
PROBLEMA 7. Sistema muestreado realimentado sin retraso y con retraso
En el sistema de la figura 6, la entrada {xk } es una secuencia de periodo 1 segundo y valores
{xk } = {1, 2, 0, 0, 0, . . .}. Se pide:
1. Si λ = 0, calcular el valor de la salida y(t) en los instantes t = 1 y t = 2 segundos.
2. Si λ = 1, calcular el valor de la salida y(t) en los instantes t = 2 y t = 3 segundos.
3. Si λ = 0,5, calcular el valor de la salida y(t) en los instantes t = 1 y t = 2 segundos.
Figura 6: Sistema para el problema 7
PROBLEMA 8. Sistema muestreado realimentado
En el sistema de la figura 7, {xk } es una secuencia de periodo 0,5 segundos y se conocen las
funciones de transferencia de los bloques F y H:
F (s) =
1
s+2
H(s) = 3
Se pide:
1. Obtener la función de transferencia M (z) que relaciona la entrada {xk } con la salida
{yk }.
2. Si {xk } = {1, 1, 0, 0, 0, . . .}, obtener y(t) en los instantes t = 1 s y t = 1,5 s.
Figura 7: Sistema para el problema 8
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PROBLEMA 9. Sistema muestreado. Aplicación de la transformada Z modificada
En el sistema de la figura 8, la secuencia de entrada {xk } tiene periodo 1 segundo y toma
los siguientes valores:
{xk } = {1, 2, 0, 0, 0, . . .}
Se pide obtener el valor de la señal de salida y(t) en los instantes t = 1 s, t = 1,5 s y t = 2
s.
Figura 8: Sistema para el problema 9
PROBLEMA 10. Sistema muestreado realimentado con retraso
Dado el sistema de la figura 9, donde {xk } es la entrada con periodo T = 0,5 s, {yk } es la
salida, K = 3 y λ = 0,1 s, se pide obtener la función de transferencia global del sistema
M (z).
Figura 9: Sistema para el problema 10
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PROBLEMA 11. Sistema muestreado realimentado con retraso
En el sistema de la figura 10, la señal {xk } es una secuencia de periodo 0,5 segundos y valores
{xk } = {2, 1, 0, 0, 0, . . .}. Se pide obtener el valor de la señal y(t) en los instantes t = 0,
t = 0,25, t = 0,5 y t = 0,75 segundos.
Figura 10: Sistema para el problema 11
PROBLEMA 12. Sistema muestreado realimentado con retraso. Cálculo de señal
intermedia
En el esquema de la figura 11 se conocen las funciones de transferencia de los bloques F , H
y R:
1
F (s) =
s+1
1
H(s) =
s+2
R(s) = e−0,5·s
Se pide obtener los valores que toma la señal w(t) en los instantes t = 0, t = 1 y t = 2
segundos si la entrada {xk } es una secuencia escalón de periodo 1 segundo.
Figura 11: Sistema para el problema 12
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PROBLEMA 13. Sistema muestreado realimentado con retraso. Cálculo de la
señal de error
En el esquema de la figura 12 se conocen las funciones de transferencia de los bloques F , H
y R:
1
F (s) =
s+2
1
H(s) =
s+1
R(s) = e−0,5·s
Se pide obtener los valores que toma la señal e(t) en los instantes t = 0, t = 1 y t = 2
segundos si la entrada {xk } es una secuencia de periodo 1 segundo que toma los valores
siguientes: {xk } = {2, 0, 1, 0, 0, 0, . . .}.
Figura 12: Sistema para el problema 13
PROBLEMA 14. Sistema muestreado realimentado. Aplicación de la transformada Z modificada
(propuesto en el examen final de junio de 2013)
En el esquema de la figura 13, B0 representa un bloqueador de orden cero y {xk } es una
secuencia de periodo 0,1 segundos que toma los valores siguientes: {1, 2, 0, 0, 0, . . .}
Figura 13: Sistema para el problema 14
Se pide:
1. Calcular los valores que toma la señal y(t) en los instantes t = 0; t = 0,1 y t = 0,2
segundos.
2. Calcular el valor que toma la señal y(t) en el instante t = 0,18 segundos.
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PROBLEMA 15. Sistema muestreado realimentado con retraso. Cálculo de señal
intermedia
(propuesto en el examen de septiembre de 2013)
En el esquema de la figura 14, B0 es un bloqueador de orden cero y la entrada {xk } es una
secuencia escalón unitario de periodo T = 1 segundo:
Figura 14: Sistema para el problema 15
Se pide obtener los valores que toma la señal p(t) en los instantes t = 0, t = 1 y t = 2
segundos.
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