Principios integrales de conservación: fenómenos de transporte

INDICE
Objetivo 3
1.−Conservacion de la masa 4
1.1.−Breve explicación 4
1.2.−Ejemplos 5
2.−Ecuación de cantidad de movimiento 8
2.1.−Breve explicación 8
2.2.− Ejemplos 9
3.−Ecuación del momento angular 10
3.1.−Breve explicación 10
3.2.−Ejemplos 11
4.−Conservación de la energía total 13
4.1.−Breve explicación 13
4.2.−Ejemplos 14
5.−Ecuacion de la energía mecánica 16
5.1.−Breve explicación 16
5.2.−Ejemplos 17
6.−Ecuación de la energía interna 19
6.1.−Breve explicación 19
6.2.−Ejemplos 20
7.−Conservación de las especies químicas 21
7.1.−Breve explicación 21
7.2.−Ejemplos 22
Objetivo
El objetivo último de este trabajo es el entendimiento de las ecuaciones integrales de conservación a
través de unos ejemplos, por ello los ejemplos usados son fáciles en comprender, debido a que
1
primeramente se necesitan unos conocimientos que se puedan usar en casos sencillos, para que
posteriormente extrapolemos nuestros conocimientos y se puedan aplicar a los casos que aparentemente
son más complicados. Por tanto tras varias horas de recopilaciones de problemas de libros, resolverlos,
e incluso tras haber inventado alguno de los problemas, el resultado que he obtenido ha sido la
realización de este trabajo.
PRINCIPIOS INTEGRALES DE CONSERVACIÓN
1.−Conservación de la masa.
1.1.Breve explicación
Este principio nos indica que la masa de un conjunto de partículas permanece constante, para un volumen
fluido:
y como la masa de un volumen fluido es:
entonces:
Empleando el tercer teorema de transporte:
Esta ecuación nos indica que el cambio de masa por unidad de tiempo en Vc más el gasto másico saliente que
fluye a través de las paredes del volumen de control es igual a cero.
1.2.−Ejemplos
Ejemplo 1
Una tobera es un tubo de sección variable que se usa para aumentar la velocidad de un fluido que pasa por
ella. Imaginemos que tenemos una tobera de sección triangular, un triángulo mide de base L y de altura H, el
otro tiene una base de longitud l y una altura h. Si entra un fluido de densidad constante a una velocidad v1,
calcular la velocidad de salida.
Aplicando el principio de conservación de la masa
v1(−1)S1+v2(1)S2=0, entonces:
Ejemplo 2
Una pistola que se usa para poner silicona en ventanas, etc., tiene el siguiente mecanismo: Dos cilindros uno
de diámetro D, y otro de diámetro d, en el cilindro mayor hay un émbolo que al desplazarse hace que el agua
salga por la superficie del cilindro menor, para mayor claridad véase la figura siguiente. ¿Cuál es la relación
entre la velocidad de avance del émbolo y el caudal que sale por el cilindro menor?
Este problema se resuelve aplicando la ecuación conservación de la masa.
Desarrollando el primer término obtenemos el siguiente resultado:
Del mismo modo, al desarrollar el segundo término obtenemos lo siguiente:
2
Uniendo las dos ecuaciones e igualándolas a cero, como dice el principio de conservación de la masa, nos
queda:
Y como el caudal de salida es igual a:
Este problema lo he elegido por dos razones, la primera es debido a su sencillez, y la segunda es porque este
es uno de los pocos tipos de problemas en los que no debemos coger un volumen de control estacionario, y
por tanto la primera integral no se anula, cosa que sucederá cuando sea un volumen de control estacionario.
En esta primera parte no voy a realizar más ejemplos de conservación de masa, pero veremos como será
necesario tener en cuenta este principio para posteriores problemas.
2.− Ecuación de cantidad de movimiento
2.1.Breve explicación
La segunda ley de Newton es la base fundamental de esta ecuación:
donde P es el momento lineal y Fext las fuerzas exteriores que actúan sobre las partículas
Por tanto, empleando el tercer teorema de transporte:
La ecuación anterior representa la variación de la cantidad de movimiento por unidad de tiempo en Vc más el
flujo de cantidad de movimiento saliente a través de las paredes del volumen de control es igual a las fuerzas
de superficie y de volumen ejercidas sobre el volumen de control. Además podemos aclarar que la última
integral es el peso de volumen dentro del volumen de control.
2.2−Ejemplos
Ejemplo 1
Se tiene una tubería de sección circular que se divide en dos, como indica el esquema, por la cual circula un
fluido de = 1000 Kg/m3, y los datos conocidos son los indicados en el esquema, calcular la fuerza necesaria
para mantener el sistema fijo.
Las fuerzas verticales se anulan entre sí, debido a la simetría existente en el eje y. hacemos el estudio sobre las
fuerzas horizontales,
Entonces nos queda:
−10000+2*1000*2*0'75=106*10−2*7*106*0'75+Fx
Fx=49300N
Como hemos visto que las fuerzas que realiza el fluido sobre el eje Y se anulan, nosotros solo tendremos que
realizar fuerza en el eje X, y debe valer 499300 N, y debe ser hacia la derecha, tal y como se indica en la
figura
3.− Ecuación del momento angular
3.1.Breve explicación
3
El momento de las fuerzas exteriores puede ser creado por las fuerzas de superficie y por las fuerzas de
volumen, por tanto Mext=Ms+Mv.
Para un volumen de control, y aplicando el tercer teorema de transporte obtenemos la siguiente ecuación, lo
que nos indica es que la variación de momento angular por unidad de tiempo en el volumen de control mas el
flujo de momento angular saliente a través de las paredes del volumen de control es igual al momento de las
fuerzas de superficie y de volumen ejercidas sobre el volumen de control.
3.2.−Ejemplos
Ejemplo 1
Una máquina de estucar tiene el siguiente mecanismo, consiste en un tubo con dos orificios por donde sale la
pasta de estucar, este tubo gira en torno a un eje, para más claridad observar el esquema.Si sabemos que los
dos orificios tienen forma circular y son del mismo radio, sabemos que por 1 sale con una velocidad v1, y por
dos sale con el doble de velocidad que por 1.Si sale por 1 con una presión P1, calcular P2, teniendo en cuenta
que la densidad es constante. Considerar despreciables los rozamientos.
Nota: no necesitamos saber V0, ni P0, ya que su producto vectorial sería 0 por que el radio lo consideramos
cero
Usando la ecuación del momento angular:
Por tanto, nos queda:
Desarrollandolo nos queda:
(R1 x v12n)S1+(R2 x v22n)S2=R1 x (−P1)S1+R2 x (P2)S2
Realizando los productos vectoriales nos quedara el siguiente resultado en el eje Z
v12R1S1+ v22R2S2= −P1S1R1+P2S2R2
Despejando P2 obtenemos el resultado:
4.− Conservación de la energía total
4.1.Breve explicación
Basada en el primer principio de la termodinámica, que dice lo siguiente: el cambio de energía total de un
sistema es igual al trabajo que estamos realizando sobre el sistema más la energía que estamos introduciendo a
través de su superficie en forma de calor.
Si las formas de energía posibles son la interna y la cinética:
La potencia desarrollada por las fuerzas exteriores tiene la contribución de las fuerzas de volumen y de las
fuerzas de superficie, el calor también tiene dos contribuciones, una a través de la superficie de dominio, q, y
otra el calor transmitido a distancia, qv, por unidad de volumen.
Por tanto, para un volumen de fluido y aplicando los teoremas de transporte:
4.2.−Ejemplos
4
Ejemplo 1
Tenemos el siguiente sistema, en el cual todas paredes excepto dos son adiabáticas, es decir no puede pasar el
calor, la entrada uno está situada a una altura h y la salida estada situada a una altura H, en el esquema las
paredes que están más gruesas son las adiabáticas. Si sabemos la velocidad de entrada y de salida, el calor que
entra, la energía interna a la salida, y la energía interna que hay a la entrada. Calcular el calor que se
desprende Qs
Entonces:
Entonces al despejar nos queda:
5.−Ecuación de la energía mecánica
5.1.Breve explicación
Partiendo de las ecuaciones diferenciales, tema que se sale del estudio de este trabajo, obtendríamos la
ecuación siguiente:
Esta ecuación nos indica que la variación de energía mecánica por unidad de tiempo en Vc más el flujo de
energía mecánica saliente a través de las paredes del volumen de control es igual a la potencia de las fuerzas
de superficie (presión y esfuerzos viscosos), más el trabajo de expansión realizado por unidad de tiempo y
menos la energía perdida por unidad de tiempo por la disipación viscosa.
5.2.−Ejemplos
Ejemplo 1
Se tiene una tubería larga y de forma troncocónica por la base mayor entra a velocidad v1 y presión P1un
fluido y sale por la base menor con velocidad v2 y presión P2. Determinar v2 en función de v1, para
posteriormente calcular P1, suponiendo conocidas v1, P2 y , que es la densidad y se supone constante en todo
momento. Considerar despreciable el peso del fluido y la variación de energía interna
Para hallar v2 utilizamos el principio de conservación de masa:
Para hallar la presión usamos el principio de conservación de la energía mecánica:
Por tanto, obtenemos lo siguiente
6.−Ecuación de la energía interna
6.1.Breve explicación
Si restamos la ecuación del apartado anterior de la ecuación de la energía total obtenemos la de la energía
interna:
Nos indica que la variación de energía interna por unidad de tiempo en Vc más el flujo de energía interna
saliente a través de las paredes del volumen de control es igual a menos la potencia de expansión, más la
energía perdida por unidad de tiempo por la disipación viscosa mas el calor añadido al sistema.
6.2.−Ejemplos
5
Ejemplo 1
Se tiene una tubería cilíndrica por la entrada se introduce un fluido de densidad con energía interna e,
velocidad v y presión p, y las paredes del cilindro, exceptuando las bases son adiabáticas, si todo el calor que
se introduce por la entrada se utiliza en aumentar la energía interna, y sabemos que a la salida el fluido tiene
una velocidad V una presión P, y su energía interna es el doble de la entrada. ¿Qué calor se necesita para
conseguir esta situación?
7.−Conservación de las especies químicas
7.1.Breve explicación
La ecuación de la conservación de las especies químicas es la siguiente, que se obtiene tras múltiples y
complicadas operaciones:
Su interpretación nos indica que el aumento de masa de la especie química i por unidad de tiempo en el
volumen de control más el flujo de masa de la especie química a través de la superficie de control es igual al
transporte por difusión molecular y la producción por reacción química.
7.2.−Ejemplos
Ejemplo 1
Tenemos un suelo contaminado con benceno, en un tiempo t=0,la concentración de benceno es b= b0. Para
eliminar esta contaminación lo que se hace es introducir aire que se mezcla con el benceno y se disuelve
saliendo por otra parte el compuesto. Calcular la concentración de benceno en función del tiempo, del caudal
de salida y del volumen del tanque.
Usando la formula de las especies químicas tenemos que:
Donde los dos últimos términos son cero, el primero de ellos dos es cero debido a que están bien mezcladas
las dos sustancias, y el segundo es cero debido a que no se crea sustancia nueva al mezclar benceno y aire
1º Ing. Química C.P.S Zaragoza Fenómenos de transporte
Principios integrales de conservación 21/07/ Pag. 20/22
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d
Agitador (no requiere trabajo)
D
V
Como V2 es constante
7
0, volumen de control con velocidad nula
0, no hay flujo a través de S1 y Sp
S1
S2
V1 es el volumen en naranja, y V2 es el volumen en verde
R2
R1
S2
S1
0
0,estacionario
l
L
H
8
30 grados
30 grados
0, rozamientos despreciables
0
0, estado estacionario
Las dos superficies de salida son iguales;
v2=(2/cos 30) m/s
P2= 7 Mpa
S2=0'75
v1=10 m/s
P1=10 Mpa
S1=1 m2
h
S2
S1
V2
9
P2
V1
P1
V0
P0
0,est. estacionario
0
0, enunciado
Se anulan
X
Y
Z
Radio r
Qs
Qe
e
v1
P1
ef?
v2
P2
10
0,est. estacionario
0
0, despreciables
0, no hay resistencias en el interior
Superficie 4, de altura H
Superficie 3, de altura L−h
h
v,p,e
Q
V,P,2e
0,est.estacionario
0,volumen no varía con el tiempo
0
rozamientos despreciables
no hay resistencias en el interior
11
0,est.estacionario
0
rozamientos despreciables
rozamientos despreciables
El volumen no varía con el tiempo
0
Peso del fluido despreciable
F
12