Construcción de Polígonos

S I S T E MAS D E R E P R E S E N T ACI ÓN 1 0
AL G U N O S E J E M P L O S D E C O N S T R U C C IÓ N D E P O L ÍG O N O S R E G U L AR E S
1 . C o n s t r u ir u n t r ián g u lo eq u ilát er o co n o cid o s s u cen t r o O y u n o d e s u s vér t ices A.
Con centro en O y radio OA s e traz a un cir cunferencia. L uego s e bus ca el punto K , cor te
entre la prolongación de OA y la circunferencia traz ada. Con centro en K y radio K O s e
dibuja un arco, que, al cortar a la circunferencia, define los vértices B y C del triángulo
pedido.
A
O
C
B
K
2 . C o n s t r u ir u n t r ián g u lo eq u ilát er o co n o cid o u n o d e s u s lad o s AB .
Con centro en A y radio AB s e traz a un arco. L uego, con centro en B e igual radio s e dibuja
un s egundo arco. L os cortes entre los arcos s eñalados definen las dos pos ibles s oluciones
para el punto C.
C
A
B
C
3 . C o n s t r u ir u n t r ián g u lo eq u ilát er o co n o cid a s u alt u r a AM .
S e com ienz a dividiendo el s egm ento AM en tres partes iguales . E l punto del s egm ento
ubicado a una ter cer a parte de la dis tancia des de M es el centro O del polígono. Con
centro en O y radio OA s e traz a una cir cunferencia. L uego, s e traz a una perpendicular a
AM por el punto M . F inalm ente los puntos de corte entre dicha perpendicular y la
circunferencia s on los vértices B y C del polígono.
P r of es or J or ge L uis Cal der ón S al cedo
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A
O
C
B
M
4 . C o n s t r u ir u n t r ián gu lo eq u ilát er o co n o cid o s el p u n t o m edio M d el lad o AB y el
p u n t o m ed io N d el lad o B C .
Con radio M N y haciendo centro prim ero en M y luego en N , s e traz an arcos , que, al
cortars e entre s í, definen las dos s oluciones pos ibles para B . L uego, s e prolongan los
s egm entos B M y B N copiando la dis tancia B M (o B N ). D e es a m anera s e obtienen los
vértices A y C del polígono.
A
M
C
N
B
5 . C o n s t r u ir u n cu ad r ad o co n o cid o s el cen t r o O y u n o d e s u s vér t ices A.
E n prim er lugar s e dibuja una circunferencia con centro en O y de r adio OA. S e prolonga el
s egm ento OA has ta cortar la cir cunferencia; es to de cóm o res ultado el vértice C.
F inalm ente, s e traz a por O una per pendicular a OA que corta a la circunferencia en los
vértices B y D del polígono.
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A
O
D
B
C
6 . C o n s t r u ir u n cu ad r ad o co n o cid o u n o d e s u s lad o s AB .
H aciendo centro en A (o en B ) s e traz a un arco de radio AB . P or B s e levanta una
perpendicular a AB que corta al arco traz ado en D . L uego, con igual radio (AB ) s e hace
centro s uces ivam ente en B y en D y s e traz an arcos que s e cortan en C.
D
A
C
B
7 . C o n s t r u ir u n cu ad r ad o d ad a u n a d e s u s d iag o n ales AC .
S e determ ina en prim er lugar la m ediatriz de AC. E l corte de la m encionada m ediatriz con
el s egm ento AC res ulta en el centro del cuadrado O. H aciendo centro en O y con radio OA
u OC s e traz a una circunferencia que corta a la m ediatriz de AB en los puntos B y D ,
vértices del polígono.
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D
C
O
A
B
8 . C o n s t r u ir u n cu ad r ad o co n o cid o s M , p u n t o m ed io d el lad o AB , y N , p u n t o m ed io
d el lad o B C .
E n prim er lugar, s e determ ina la m ediatriz y el punto m edio K del s egm ento M N . L uego,
con centro en K y radio K M o K N , s e traz a una circunferencia que, al cortar la m ediatriz de
M N , define las dos pos ibles s oluciones para B . L uego, s e prolongan los s egm entos B M y
B N copiando la dis tancia B M (o B N ). D e es a m anera s e obtienen los vértices A y C del
polígono. F inalm ente, s e traz an dos arcos de radio AB y centros en A y C, res pectivam ente;
el corte de tales arcos produce el vértice D del polígono.
C
D
N
K
A
M
B
9 . C o n s t r u ir u n h exág o n o r eg u lar co n o cid o s el cen t r o O y u n o d e s u s vér t ices A.
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P rim ero s e traz a una circunferencia con centro en O y radio OA; el radio de es ta
circunferencia es igual a la longitud de los lados del hex ágono. L uego, con el m is m o radio
OA y con centro en A s e dibujan ar cos que cortan a la cir cunferencia en B y F .
S eguidam ente, con centro en B y F s e traz an otros arcos – con radio OA- que generan los
vértices C y E . F inalm ente, con centro en C o en E s e traz a un últim o arco de radio OA que
corta a la circunferencia en el vértice D .
A
F
B
O
E
10.
C
D
C o n s t r u ir u n h exág o n o r eg u lar co n o cid o u n o d e s u s lad o s AB .
S e com ienz a dibujando arcos con centro en A y B y de radio AB ; el corte de dichos arcos
es el centro del hex ágono O. L uego s e procede com o en el cas o anterior.
D
E
C
O
F
B
A
11.
C o n s t r u ir u n h exág o n o r eg u lar co n o cido s M , p u n t o m ed io d el lad o AB y N ,
p u n t o m ed io d el lad o C D .
E n prim er s e cons truye un hex ágono regular de cualquier tam año y en cualquier pos ición;
s obre él s e identifican los puntos M ’ y N ’, equivalentes a M y N del hex ágono pedido. L uego
s e copia, con ayuda del com pás , el triángulo M ’N ’O’, haciendo coincidir a los puntos M y
M ’ ( o a los puntos N y N ’). S eguidam ente, por s em ejanz a de figuras planas s e dibuja el
triángulo M N O y s e tr az a una circunferencia con centro en O y radio ON (ins crita en el
hex ágono). P or el punto N s e cons truye una recta tangente a la circunferencia y s e traz a
por O una paralela a M N , que, al cortar la tangente, genera el vértice D . F inalm ente, s e
procede com o en el ejem plo N ° 9 .
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D
D'
N
E
N'
C
N'
C'
O'
O
O'
F
B
M'
A'
M=M'
B'
A
12.
C o n s t r u ir u n h exág o n o r eg u lar co n o cid o s el cen t r o y u n a r ect a “ m ” q u e
co n t ien e al lad o AB .
E n prim er lugar, s e traz an líneas rectas que pas en por O y form en 6 0 ° con la recta “m ”; los
cortes entre es as líneas y “m ” s on los vértices A y B . L uego s e procede com o en el ejem plo
N° 9.
E
D
F
O
C
60°
A
60°
B
13.
m
C o n s t r u ir u n p en t ág o n o r eg u lar co n o cid o el cen t r o O y el vér t ice A.
S e com ienz a dibujando una circunferencia de centro en O y radio OA. L uego, s e traz a un
diám etro per pendicular a OA y s e dibuja un arco con radio OA y centro en cualquiera de los
ex trem os del m encionado diám etro. L a unión de los cortes entre el arco y la circunferencia
define al punto M . S eguidam ente, haciendo centro en M y con radio M A s e dibuja un arco
que corta al diám etro en el punto K ; la dis tancia AK cor res ponde al tam año de los lados del
pentágono.
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A
B
E
O
K
M
C
D
14.
C o n s t r u ir u n p en t ág o n o r eg u lar co n o cid o el lad o AB .
S e com ienz a traz ando por B una perpendicular a AB y dibujando un arco de centro en B y
radio B A, el cual corta a la perpendicular en el punto 1 . L uego, con centro en M , punto
m edio de AB , y radio M 1 s e traz a un arco que corta a la prolongación de AB en el punto 2 .
E n s eguida s e dibuja un arco de centro en A y radio A2 . E l corte entre es te ar co y el
prim ero que s e traz ó define al vértice C del pentágono. S eguidam ente, s e levanta por M
una perpendicular a AB y s e dibuja un arco con centro en C y radio AB ; el corte entre es tos
elem entos define a D . F inalm ente, m anteniendo un radio igual a AB , s e traz an arcos
haciendo centro en D y A; el corte entre ellos res ulta s er el vértice E .
D
E
1
15.
C
Ao r eg u larM co n o cid oBs lo s vér 2
C o n s t r u ir u n p en t ág o n
t ices A y C (D iag o n al).
S e com ienz a levantando por A una perpendicular al s egm ento AC y traz ando un arco con
centro en A y radio AC, la cual corta a la perpendicular en el punto 1 . S eguidam ente s e
determ ina el punto m edio M del s egm ento A1 y s e cons truye una circunferencia con centro
en M y radio M 1 ; el corte entre es ta circunfer encia y la línea definida por M y C res ulta en el
punto 2 . L a dis tancia C2 es igual al tam año de los lados del pentágono, por lo tanto, el
corte entre dos arcos de radio C2 y con centros en A y C definen al vértice B . F inalm ente,
s e procede com o en el ejem plo anterior.
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D
1
C
E
2
M
B
A
16.
C o n s t r u ir u n p en t ágo n o r eg u lar co n o cido s u cen t r o O y u n a r ect a “ m ” s o b r e
la q u e s e en cu en t r a el lad o AB .
E n prim er lugar s e traz a un perpendicular a la recta “m ” por el punto O que la corta en R
(punto m edio de AB ). L uego, s e cons truye una circunferencia con centro en O y radio OR
(ins crita en el pentágono); el corte entre la prolongación de OR y la circunferencia es el
punto D ’ . A continuación s e cons truye un pentágono A’B ’C’D ’E ’ con centro en O y vértice
en A’. L uego, s e traz an las líneas definidas por O A’ y O B ’; el corte entre es as líneas y la
recta “m ” s on los vértices A y B del pentágono pedido. F inalm ente s e proce de aplicando
s em ejanz a de figuras planas .
D
D'
E
E'
C'
C
O
M
K
A'
A
B'
R
B
m
N ota: E l es tudiante debe com plem entar es ta inform ación us ando la bibliografía recom endada.
P r of es or J or ge L uis Cal der ón S al cedo