Tasa de Interés

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Materia: Matemática Financiera
II Unidad: Interés Simple
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Temas:
1.
2.
Concepto, importancia y elementos del interés simple.
Determinación del tiempo
2.1. Tiempo exacto.
2.2. Tiempo aproximado.
3. Interés simple exacto.
4. Interés simple ordinario.
5. Equivalencias entre sumas de dinero.
6. Clasificación de las tasas de interés.
6.1. Tasa de interés activa.
6.2. Tasa de interés pasiva.
6.3. Tasa de rentabilidad con interés simple.
6.4. Tasa de interés por mora.
6.5. Tasa de variación monetaria.
7. Valor futuro a interés simple.
8. Valor presente a interés simple.
9. Ecuaciones de valor.
10. Ejercicios propuestos.
1. Concepto, importancia y elementos del interés simple
Concepto de interés: El interés es la cantidad pagada por el uso del dinero obtenido en préstamo, o la
cantidad producida por la inversión de Capital. El interés que se conviene en pagar por una suma
determinada de dinero depende de la cantidad de la suma prestada, de la duración de la deuda y de la tasa
de interés.
Elementos del Interés: En un problema de interés intervienen cuatro elementos, a saber:
a. Interés (I): Es la cantidad adicional pagada por el uso del dinero tomado en préstamo o ganada por la
inversión de capital. No debe confundirse con la literal i que significa tasa de interés.
b. Valor presente o capital (C): Es la suma prestada o invertida. Valor al día de hoy.
c. Tasa de Interés (i): Es la razón del interés devengado al capital y se expresa en porcentaje. Para
solucionar problemas, se expresa la tasa de interés en decimales. La unidad de tiempo suele ser el
año.
d. Tiempo (t): Es el período por el cual está comprendida la transacción o es la duración del tiempo para
el que se calcula el interés. Generalmente la unidad de tiempo es el año. Cuando se calculan los intereses
correspondientes a un lapso menor que un año la unidad comúnmente usada es el mes o el día.
Definición de interés simple: Es aquel interés que se calcula de una vez sobre el capital con base al
tiempo estipulado. También se puede definir de la siguiente manera: Cuando únicamente, el capital gana
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intereses por todo el tiempo que dura la transacción, al interés vencido al final del plazo se le conoce como
interés simple.
2. Determinación del tiempo
Conociendo las fechas, el número de días que ha de calcularse el tiempo puede ser determinado de dos
maneras:
2.1 Tiempo Aproximado
Se calcula suponiendo que el año tiene 360 días y los meses de 30 días.
2.2 Tiempo exacto
Como su nombre lo indica, es el número exacto de días, tal como se encuentra en el calendario. Se trabaja
sobre la base de 365 días. Se acostumbra descontar una de las dos fechas dadas. Si se trabaja con tabla de
tiempo no se descuenta ningún día.
3. Interés simple exacto o real
Es aquel interés que se calcula sobre la base del año de 365 días (366 en años bisiestos), es decir se aplica
el año calendario. Su fórmula general es: I = Cit/365.
4. Interés simple comercial u ordinario
Es aquel interés que se calcula con base en un año de 360 días. El uso del año de 360 días simplifica algunos
cálculos, sin embargo aumenta el interés cobrado por el acreedor. El interés comercial es el interés aplicado
por la Banca. A menos que se indique otro tipo de interés, en la solución de problemas se aplicará el
interés comercial. Su fórmula es: I = Cit/360.
La diferencia entre estos dos intereses es el tiempo en el cual está pactada la transacción.
Fórmula del interés: I = Cit. El significado de cada literal corresponde a literales descritas en el punto
1 en el inciso: elementos del interés. La fórmula anterior tiene cuatro valores, de los cuales tres son
conocidos y uno desconocido, que será la incógnita a buscar. De lo anterior, se deduce que además del
interés, se puede calcular: el capital, la tasa de interés y el tiempo.
¿Cómo se calcula el interés simple? Aplicando la fórmula del interés comercial u ordinario.
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5. Equivalencias entre sumas de dinero
El término equivalencia se utiliza muy a menudo para pasar de una escala a otra. Cuando se consideran
juntos, el valor del dinero en el tiempo y la tasa de interés permiten formular el concepto de equivalencia
económica, que implica que dos sumas diferentes de dinero en diferentes tiempos tienen el mismo valor
económico. Por ejemplo: Si la tasa de interés es del 25 % anual, $ 100 hoy (tiempo presente) equivalen a $
125 un año después.
De tal manera, que si una amiga nos ofreciera un regalo con un valor de $ 100 el día de hoy o uno de $ 125
un año después, no habría diferencia entre una oferta y otra. Las dos sumas de dinero son equivalentes entre
sí cuando la tasa de interés es del 25 % anual. Si la tasa de interés fuera superior o inferior, $ 100 el día de
hoy no equivaldrían $ 125 un año después.
Además de la equivalencia futura, se puede aplica la misma lógica para calcular la equivalencia para años
anteriores. Un total de $ 100 hoy equivale a $ 100/1.25 = $ 80 hace un año a una tasa de interés del 25 %
anual. A partir de estos ejemplos, podemos concluir lo siguiente: $ 80 el año pasado, $ 100 hoy y $ 125
dentro de un año son cantidades equivalentes a una tasa de interés del 25 % anual.
6. Clasificación de las tasas de interés
6.1 Tasa de interés activa
El Banco Central de Nicaragua (BCN) es la institución que determina las tasas de interés en el país.
BCN: Es la tasa de interés que los bancos cobran al cliente por el servicio de tipo crédito o financiamiento
para alguna actividad económica. Las tasas de interés corriente y moratorias son tasas activas.
Otra definición: Es el porcentaje que cobran los bancos por las modalidades de financiamiento conocidas
como sobregiros, descuentos y préstamos (a diversos plazos) o la tasa de interés que cobran los bancos a
sus clientes.
Otra definición: La tasa activa o de colocación, es la que reciben los intermediarios financieros de los
demandantes por los préstamos otorgados.
La tasa de interés activa es una variable clave en la economía ya que indica el costo de financiamiento de
las empresas.
La tasa activa está compuesta por el costo de los fondos (bonos del tesoro Americano + Riesgo País + riesgo
de devaluación) más el riesgo propiamente de un préstamo como es (riesgo por defecto por parte de la
empresa + Riesgo de liquidez, producto de una inesperada extracción de depósitos + costos administrativos
del banco para conceder créditos). Por lo tanto, la tasa de interés activa puede escribirse como:
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6.2 Tasa de interés pasiva
BCN: es la que los bancos pagan al cliente por depositar su dinero en la institución.
La tasa pasiva o de captación, es la que pagan los intermediarios financieros a los oferentes de recursos
por el dinero captado.
La tasa activa siempre es mayor, porque la diferencia con la tasa de captación o pasiva es la que permite al
intermediario financiero cubrir los costos administrativos, dejando además una utilidad.
La diferencia entre la tasa activa y la pasiva se llama margen de intermediación
6.3 Tasa de interés por mora
BCN: Es el porcentaje de recargo que se aplica, por incumplimiento de pago en la fecha establecida.
Generalmente se calcula en base al tiempo transcurrido posterior a la fecha de vencimiento de la deuda o
cuota. Teóricamente se establece que, cuando el pago de una deuda o cuota se retrasa, el interés moratorio
se calcula, aplicando la tasa de interés (moratoria), únicamente al principal de dicha cuota vencida, durante
el tiempo de mora de la cuota. Se utiliza el método de interés simple para efectuar el cálculo de interés
moratorio.
Cálculo del interés moratorio: Se calculará aplicando la tasa de interés diaria de mora por los días de mora
por el saldo de principal en mora incluido en el pago mínimo. Para encontrar la tasa de interés diario en
mora el procedimiento es el siguiente:
a.
b.
c.
La tasa de interés anual dividirla entre 360 días.
El resultado dividirlo entre 100.
El porcentaje obtenido es la tasa de interés diaria que se ocupará para calcular los intereses por cada
una de las compras.
6.4 Tasa de variación monetaria
La corrección monetaria es la operación destinada a actualizar el poder adquisitivo de la moneda según
índices fijados por el Gobierno.
Podemos decir, que la tasa de variación monetaria es la tasa de interés compuesto que permite mantener el
valor de la moneda local para las diferentes inversiones.
En los países donde son comunes los programas de ajustes estructurales, la devaluación permanente del
valor de las moneadas locales se vuelve una necesidad permanente. Debido a esta situación los gobiernos
haciendo uso de los instrumentos de política monetaria en la búsqueda de un desarrollo económico sostenido
se ven obligados a estimular y proteger las inversiones mediante la creación de leyes. Por lo general, en
estos países, los préstamos bancarios son inversiones que están protegidos mediante la ley de mantenimiento
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de valor de las UPAC (unidades de poder adquisitivo de valor constante). Es importante señalar que las
inversiones a mediano y largo plazo se protegen tanto de la devaluación monetaria como de la inflación
nacional como internacional.
Existen diversas formas de calcular la corrección monetaria en los países, empleando para ello fórmulas
distintas, material que está fuera del alcance de este curso
7. Monto o Valor futuro
Definición: Es la cantidad de dinero que alcanzará una inversión en alguna fecha futura al ganar intereses
a alguna tasa de interés. También recibe los nombres de valor al vencimiento, valor acumulado o valor final.
Otra definición: Es el valor acumulado del valor presente (C) en un cierto período de tiempo.
La fórmula para calcular el monto es la siguiente: M  C  I;
M  C(1  it);
8. Capital o valor presente
Definición: Es una manera de valorar activos y su cálculo consiste en descontar el flujo futuro a una tasa
de rentabilidad ofrecida por alternativas de inversión comparables, por lo general denominada costo de
capital o tasa mínima. También recibe los nombres de valor actual, valor inicial o saldos insolutos.
Otra definición: El Valor de una deuda en una fecha anterior a la de su vencimiento, se le conoce como
valor presente de la deuda en dicha fecha. Designemos por C (valor presente) a una cierta cantidad de dinero
en una fecha dada cuyo valor aumenta a S (valor futuro) en una fecha posterior:
La fórmula para calcular el capital es: de la relación: M  C(1  it) tenemos que C 
M
es el valor
1  it
presente a la tasa de interés simple i, del valor futuro con vencimiento en t años.
9. Ecuaciones de valor
En algunas ocasiones es conveniente para un deudor cambiar el conjunto de sus obligaciones por otro
conjunto. Para efectuar esta operación, tanto el deudor como el acreedor deben estar de acuerdo con la tasa
de interés que ha de utilizarse en la transacción y en la fecha en que se llevará a cabo (llamada fecha focal).
10. Ejercicios propuestos
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Equivalencias entre sumas de dinero
1.
Un fabricante de batería entrega baterías a distribuidores particulares. En general, las baterías se
almacenan un año, y se agrega un 5 % anual al costo para cubrir el cargo del manejo de inventario para
el dueño del contrato de distribución. Supongamos que usted es dueño de una distribuidora. Realice los
cálculos necesarios con una tasa de interés de 5 % anual para demostrar cuáles de las siguientes
declaraciones, referentes a los costos de las baterías, son verdaderas o falsas.
1.1. La cantidad de $ 98 hoy equivalen a un costo de $ 105.60 un año después.
1.2. El costo de $ 200 de una batería para camión hace un año equivale a $ 205 ahora.
1.3. Un costo de $ 38 ahora equivale a $ 39.90 un año después.
1.4. Un costo de $ 3,000 ahora es equivalente a $ 2,887.14 hace un año.
1.5. El cargo por manejo de inventario acumulado en un año sobre una inversión en batería con una
valor $ 2,000 es $ 100.
2.
Con una tasa de interés de 8 % por año, a cuánto equivalen $ 10,000 de hoy.
2.1. Dentro de un año. Respuesta: $ 10,800.00
2.2. Hace un año. Respuesta: $ 9,259.26.
3.
Una empresa mediana de consultoría en ingeniería trata de decidir si debe reemplazar su mobiliario de
oficina ahora o esperar un año para hacerlo. Si es espera un año, se piensa que el costo será de $ 16,000.
Con una tasa de interés de 10 % por año, ¿cuál sería el costo equivalente hoy? Respuesta: $ 14,545.45.
4.
¿Con qué tasa de interés son equivalentes una inversión de $ 40,000 hace un año y otra de $ 50,000
hoy? Respuesta: 25 %.
5.
¿Con qué tasa de interés equivalen $ 100,000 de ahora a $ 80,000 de hace un año? Respuesta: 25 %.
Ejercicios de tiempo exacto y aproximado
6.
Determinar en forma exacta y aproximada el tiempo transcurrido del 20 de junio al 24 de agosto de
1990. Respuestas: Te = 65 días; Ta = 64 días.
7.
Determinar en forma aproximada y exacta el tiempo transcurrido entre el 25 de enero y el 15 de mayo
del 2004. Respuestas: Te = 111 días y Ta = 110 días.
8.
Determinar en forma exacta y aproximada el tiempo transcurrido entre el 15 de septiembre del 2004 y
el 15 de febrero del 2005. Respuesta: Te = 153 días; Ta = 150 días.
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Ejercicios de interés
9.
Una empresa está amortizando una deuda a un banco y paga al final de cada mes una cuota con valor
de $ 17,666.67, la cual está vencida y tiene 20 días de mora. El principal es de $ 15,000 y los intereses
corrientes del mes son $ 2,666.67, la tasa de interés sobre el préstamo es del 20 % anual sobre saldo y
la tasa de interés moratoria es del 10 % anual. Qué cantidad deberá pagar la empresa para ponerse al
corriente si el saldo del mes anterior fue de $ 25,300.28. Respuesta: $ 18,031.12.
10. La Sra. de Marín incumplió su compromiso de cancelar un crédito comercial de un juego de comedor
por C$18,410, que originalmente cuesta C$14,000, y que se pactó con una tasa anual del 42% a 9 meses
de plazo. ¿Con cuanto cancela su deuda 45 días más tarde, si además debe pagar un 5% por mes de
intereses moratorio? Respuesta: C$ 20,195.
11. Determinar el interés simple y el monto sobre $ 750 al 4 % durante ½ año. Respuestas: I = $ 15. S = $
765.00
12. Determinar de acuerdo con el sistema bancario, el interés simple sobre $ 4,280, al 6 %, del 21 de Marzo
al 25 de julio del mismo año. Respuesta: $ 89.88.
13. Determinar de acuerdo con el sistema bancario, el interés simple sobre $ 3,575 al 4 3/4 % durante 80
días. Respuesta: $ 37.74
14. Determinar el interés exacto y ordinario sobre $ 2,000 al 6 %, del 20 de abril al 1 de julio de 1990.
Calculando el tiempo: a) en forma exacta, y b) en forma aproximada. Respuestas: Ie: a) $ 23.67 y b) $
23.34; Io = c) $ 24.00 y d) $ 23.67.
15. Don Mario deposita el 25% de su aguinaldo, el cual es de C$ 12,500 y lo recibe el 9 de diciembre, en
una cuenta de ahorros que paga una tasa pasiva del 4.72% anual. ¿De cuánto dinero adicional dispondrá
en la próxima navidad si planifica retirar su dinero el 9 de Noviembre? Respuesta: C$ 137.26
Ejercicios de Interés: Tiempo como incógnita
16. ¿En qué tiempo el valor futuro de $ 2,000 será $ 2,125.00 al 5 % de interés simple? Respuesta: 15
meses.
17. En qué tiempo un capital de $ 3,000: a) ¿produce $ 90 al 4% de interés simple? b) ¿alcanza un valor
futuro de $ 3,100 al 5 % de interés simple? Respuesta: a) 9 meses b) 8 meses.
18. Don Marcelo canceló hoy 25 de Septiembre de 2010 un préstamo con $ 26,585.89, el cual fue
originalmente pactado por $22,500.00 y una tasa de interés mensual de 2.25 %. ¿En qué fecha fue
firmado el contrato de crédito? Respuesta: 26 de enero del 2010.
19. ¿En qué fecha se recibió un préstamo por $7,200, si el pagaré correspondiente tiene un valor nominal
de $8,100, vence el 5 de Marzo de 2,010 y los intereses son del 11.3 % simple anual? Respuesta: 31 de
enero del 2009.
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20. ¿Cuánto tiempo estuvo invertido un capital de $ 9,370.00 con una tasa de interés del 3.72 % y que
produjo una ganancia de $ 821.75? Respuesta: 2.3575298 anual.
21. Don Tito canceló el 10 de Octubre del corriente año, con C$ 13,782.50, un préstamo por C$ 12,000 que
FUNDECAN le otorgó con el 2.04% mensual de interés. ¿En qué fecha le otorgaron el préstamo?
Respuesta: n = 7.281454248 meses. Se firmó el 2 de Marzo.
Ejercicios de Interés: Tasa de interés simple como incógnita
22. Hallar la tasa de interés simple sabiendo que el monto de $ 1,650: es a) $ 1,677.50 en 4 meses b) $
1705 en 10 meses. Respuestas: a) 5 %; b) 4%.
23. Xiomara compra un radio en $ 79.95. Da un anticipo de $ 19.95 y acuerda pagar el resto en 3 meses
más un cargo adicional de $ 2.00. ¿Qué tasa de interés simple anual pagará? Respuesta: 13 1/3 %.
24. ¿Cuál es la tasa de interés simple anual, si con $14,644.00 se liquida un préstamo de $14,000.00 en un
plazo de 6 meses? Respuesta: 9.2 % anual.
25. Si una inversión inicial de $20,000 produjo una ganancia neta de $3,500 durante 9.5 meses encuentre
la tasa simple mensual ganada. Respuesta: $ 1.8421052 % mensual.
26. Si la cuenta que apertura Don Mario se liquida con $89,960 después de abrirla 11 meses antes con
$72,500, ¿Cuál fue la tasa mensual de interés pagada? Respuesta: 2.189341693 % mensual.
Ejercicios de Interés: Valor presente como incógnita
27. ¿Cuál fue la inversión inicial que produjo una ganancia de $75,500.00 en un lapso de tiempo de 10.5
meses con una rentabilidad del 28 % anual? Respuesta: $ 308,163.27
28. Doña Anielka desea cancelar su préstamo 90 días después de haberlo obtenido con una tasa de interés
del 36 % anual por el que ha pagado $ 3,256.75 de interés. ¿Cuánto fue la cantidad que obtuvo en
préstamo? Respuesta: $ 36,186.11
29. Si la Licda. Miriam recibió $ 2,730.22 en concepto de intereses por una cuenta de ahorros que abrió
hace 15 meses con una tasa de interés del 4.28 % anual simple, ¿Con que cantidad de dinero abrió la
cuenta? Respuesta: $ 51,032.15.
30. El 15 de diciembre se cancela una escritura pública por $16,780 que estuvo en respaldo de un préstamo
a 14 ½ meses al 2.78 % mensual de interés. ¿De cuánto fue el préstamo? Respuesta: $ 11,959.23.
31. ¿Cuánto debe invertirse hoy para disponer de $ 9,600 en 20 semanas, si se devenga el 11.6 % simple
anual? Respuesta: $ 9,189.99.
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32. Determinar el valor presente, al 6 % de interés simple, de $ 1,500 con vencimiento en 9 meses.
Respuesta: $ 1,435.41
33. Una hipoteca tiene un valor de $ 1,200.00 al vencimiento. Determinar su valor 5 meses antes del
vencimiento, suponiendo un rendimiento de 4 1/2 % de interés simple. Respuesta: $ 1,177.91.
34. X recibirá un dividendo de $ 750 el 14 de Junio. ¿Cuál es su valor el 30 de abril suponiendo un
rendimiento de 5 % de interés simple? Respuesta: $ 745.34.
Ejercicios de Interés: Valor futuro como incógnita
35. Determinar para cada uno de los siguientes pagarés la fecha de vencimiento y el valor al vencimiento.
Datos para resolver problemas
No.
a.
b.
c.
e.
g.
j.
C
$ 2,500.00
$ 3,000.00
$ 2,000.00
$ 1,250.00
$ 1,600.00
$ 2,750.00
Fecha inicial
01 de marzo
15 de junio
25 de abril
10 de junio
10 de febrero
05 de julio
t
4 meses
150 días
3 meses
4 meses
120 días
135 días
Respuestas
i
6%
4%
5%
4%
6%
Fecha de
Vencimiento
01 de julio
12 de noviembre
25 de julio
10 de octubre
10 de junio
17 de noviembre
Valor al
vencimiento
$ 2,550.00
$ 3,050.00
$ 2,000.00
$ 1,270.83
$ 1,621.33
$ 2,811.88
36. ¿Cuánto pagará en total una cliente por un juego de sofá que vale $16,500 en una casa comercial que
cobra el 2.8 % mensual de interés y otorga 225 días de plazo? Respuesta: $ 19,965.00.
37. Al nacer el bebe de la familia López-Pérez tuvo problemas de salud al grado que sus padres acudieron
a una casa de empeño para obtener $14,500 por sus prendas y enseres por los cuales les cargarán el 3.15
% mensual simple de interés ¿Con que cantidad de dinero cancelarán el empeño 287 días después de
hacerlo? Respuesta: $ 18,869.58.
Ejercicios de combinados de valor presente y valor futuro
38. Un pagaré a 10 meses por $ 3,000 al 6 %, es suscrito el día de hoy. Determinar su valor dentro de 4
meses, suponiendo un rendimiento de 5 %. Respuesta: $ 3,073.17.
39. Un pagaré de $ 1,200 firmado el 1 de abril con vencimiento en 8 meses y con interés de 5 % es vendido
a Y el 14 de julio con la base de un rendimiento en la inversión de 6 %. ¿Cuánto paga Y por el
documento? Respuesta: $ 1,211.73.
40. X obtiene de Y un préstamo de $ 1,200 a dos años, con intereses al 6 % Que cantidad tendría que aceptar
Y como liquidación del préstamo 15 meses después de efectuado suponiendo que desea un rendimiento
del 5 %. Respuesta: $ 1,295.42.
Ejercicios de ecuaciones de valor
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41. En la fecha, B debe $ 1,000 por un préstamo con vencimiento en 6 meses, contratado originalmente a
1 1/2 años a la tasa de 4 % y debe, $ 2,500 con vencimiento en 9 meses, sin intereses. El desea pagar
$ 2,000 de inmediato y liquidar el saldo mediante un pago único dentro de un año. Suponiendo un
rendimiento de 5 % y considerando la fecha focal dentro de un año, determinar el pago único
mencionado. Respuesta: $ 1,517.75
42. Determinar el valor de las siguientes obligaciones, el día de hoy, suponiendo una tasa de 4 % de interés
simple: $ 1,000 con vencimiento el día de hoy; $ 2,000 con vencimiento en 6 meses con interés del 5
% y $ 3,000 con vencimiento en un año con intereses al 6 %. Utilizar el día de hoy como fecha focal.
Respuesta: $ 6,067.49.
43. Resolver el problema anterior, considerando que la fecha focal está un año después. Respuesta: $
6,068.27.
44. X debe $ 500 con vencimiento en 2 meses, $ 1,000 con vencimiento en 5 meses y $ 1,500 con
vencimiento en 8 meses. Se desea saldar las deudas mediante dos pagos iguales, uno con vencimiento
en 6 meses y otro con vencimiento en 10 meses. Determinar el importe de dichos pagos suponiendo un
interés de 6 %, tomando como fecha focal la fecha al final de 10 meses. Respuesta: $ 1,514.85.
45. X debe a Y $ 1,000 a pagarse dentro de 6 meses, sin intereses, y $ 2,000 con intereses de 4 % por 1 1/2
años, con vencimiento dentro de 9 meses. Y está á de acuerdo en recibir 3 pagos iguales, uno inmediato,
otro dentro de 6 meses y el tercero dentro de un año. Determinar el importe de cada pago utilizando
como fecha focal la fecha dentro de 1 año, suponiendo que Y espera un rendimiento de 5 % en la
operación. Respuesta: $ 1,031.38