Sucesion

Sucesión
Concepto de sucesión
Se llama sucesión a un conjunto de números dispuestos uno a
continuación de otro.
a 1 , a 2 , a 3 ,..., a n
3, 6, 9,..., 3n
Los números a 1 , a 2 , a 3 , ...; se llaman términos de la sucesión.
El subíndice indica el lugar que el término ocupa en la sucesión.
El término general es a n es un criterio que nos permite determinar
cualquier término de la sucesión.
Determinación de una sucesión:
Por el término general
a n = 2n-1
a 1 = 2 ·1 - 1 = 1
a 2 = 2 ·2 - 1 = 3
a 3 = 2 ·3 - 1 = 5
a 4 = 2 ·4 - 1 = 7
1, 3, 5, 7,..., 2n-1
No todas las sucesiones tienen término general . Por ejemplo, la
sucesión de los números primos :
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,...
Por una ley de recurrencia
Los términos se obtienen operando con los anteriores.
Escribir una sucesión cuyo primer término es 2, sabiendo que cada
término es el cuadrado del anterior.
2, 4, 16, ...
Sucesión de Fibonacci
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987,
1597, 2584, ...
Los
dos
primeros
términos
son
unos
y
los
demás
sumando los dos términos anteriores.
Operaciones con sucesiones
Dadas las sucesiones a n y b n :
a n = a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n
b n = b 1 , b 2 , b 3 , ..., b n
Suma de sucesiones
(a n ) + (b n ) = (a n + b n )
(a n ) + (b n ) = (a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , a 3 + b 3 , ..., a n + b n )
se
obtienen
Propiedades
1 Asociativa:
(a n + b n ) + c n = a n + (b n + c
n)
2 Conmutativa:
an + bn = bn + a
n
3 Elemento neutro
(0) = (0, 0, 0, ...)
an + 0 = an
4 Sucesión opuesta
(-a n ) = (-a 1 , -a 2 , -a 3 , ..., -a n )
a n + (-a n ) = 0
Diferencia de sucesiones
(a n ) - (b n ) = (a n - b n )
(a n ) - (b n ) = (a 1 - b 1 , a 2 - b 2 , a 3 - b 3 , ..., a n - b n )
Producto de sucesiones
(a n ) · (b n ) = (a n · b n )
(a n ) · (b n ) = (a 1 · b 1 , a 2 · b 2 , a 3 · b 3 , ..., a n · b n )
Propiedades
1 Asociativa:
(a n · b n ) · c
n
= a n · (b n · c
n)
2 Conmutativa:
an · bn = bn · a
n
3 Elemento neutro
(1) = (1, 1, 1, ..)
an · 1 = an
4 Distributiva respecto a la suma
a n · (b n + c
n)
= an · bn + an · c
n
Sucesión inversible
Una sucesión es inversible o invertible si todos sus términos son
distintos de cero. Si la sucesión b n es inversible, su inversa es:
Cociente de sucesiones
Sólo es posible el cociente entre dos sucesiones si el denominador
es inversible.
Sucesiones y progresiones. Ejercicios
resueltos
1
Hallar el término general de las siguientes sucesiones:
1
El numerador es constante.
El denominador es una progresión aritmética de d= 1.
2
El numerador es una progresión aritmética con una d= 1.
El denominador es una progresión aritmética con una d = 1.
3
En esta sucesión se han simplificado algunas fraccio nes.
El numerador es una progresión aritmética con una d= 1.
El denominador es una progresión aritmética de d= 1.
4
Si prescindimos del signo es una progresión aritmética con una d=
1.
Por ser los términos impares los negativos multiplicamos por ( -1) n .
5
Si
prescindimos
del
signo,
el
numerador
es
una
progresión
aritmética con una d= 1.
El denominador es una progresión aritmética de d= 1.
Por ser los términos pares los negativos multiplicamos por ( -1) n + 1 .
6
Es una sucesión oscilante.
Los términos impares forman progresión aritmética con una d= 1, si
no tenemos en cuenta los términos pares.
El denominador de los términos pares forman progresión aritmética
con una d= 1.
7
Si prescindimos del signo y del exponente tenemos una progresión
aritmética con una d= 1.
Por estar los términos al cuadrado, tenemos que elevar el término
general al cuadrado.
Por ser los términos impares los negativos multiplicamos por ( -1) n .
8
Es una sucesión oscilante.
El numerador de los términos impares forman progresión aritmética
con una d= 1, si no tenemos en cuenta los términos pares.
Por estar los términos al cuadrado, tenemos que elevar el término
general al cuadrado.
El primer sumando del denominador (prescindiendo del cuadrado) es
una progresión aritmética de d= 1 (sin contar los términos pares).
El término general lo tenemos que elevar al cuadrado y sumarle 3.
Los términos pares forman una sucesión constante.
Sucesiones y progresiones. Ejercicios
resueltos
2
Estudia la monotonia, la convergencia o divergencia y las cotas (si
existen) de las siguientes sucesiones:
1
Monotonía
3, 4/3, 1, 6/7,...
Es monotona estrictamente decreciente .
Límite
a1= 3
a3= 1
a 1 0 0 0 = 0.5012506253127
a1000
000
= 0.5000012500006
El límite es 0.5
Sucesión convergente
Cotas
Por ser decreciente, 3 es una cota superior, el máximo .
0.5 es una cota inferior, el ínfimo o extremo inferior.
Por tanto la sucesión está acotada .
0.5 < a
n
≤ 3
2
2, − 4, 8, − 16, ...
No es monótona.
No es convergente ni divergente .
No está acotada .
3
No es monótona.
Es convergente porque el límite = 0.
Está acotada superiormente, 1 es el máximo.
Está acotada inferiormente, -1 es el mínimo.
Está acotada.
−1 ≤a
n
≤ 1
Sucesiones y progresiones. Ejercicios
resueltos
3
El
primer
término
de
una
progresión
aritmética
es
-1,
y
el
décimoquinto es 27. Hallar la diferencia y la suma de los quince primeros
términos.
a
1
= − 1;
a
n
= a
1
a
15
= 27;
+ (n - 1) · d
27= -1 + (15-1) d;
28 = 14d;
d = 2
S= (-1 + 27) 15/2 = 195
Sucesiones y progresiones. Ejercicios
resueltos
4
El cuarto término de una progresión aritmética es 10, y el sexto es
16. Escribir la progesión.
a
4
a
= 10;
n
= a
k
a
6
= 16
+ (n - k) · d
16 = 10 + (6 - 4) d;
d= 3
a 1 = a 4 - 3d;
a 1 = 10 - 9 = 1
1, 4, 7, 10, 13, ..
Sucesiones y progresiones. Ejercicios
resueltos
5
Escribir tres medios artméticos entre 3 y 23.
a= 3,
b= 23;
d= (23-3)/(3+1) = 5;
3,
8, 13, 18,
23
Sucesiones y progresiones. Ejercicios
resueltos
6
Hallar la suma de los quince primeros múltiplos de 5.
a 1 = 5;
a
n
= a
d= 5;
1
n = 15.
+ (n - 1) · d
a 1 5 = 5 + 14 · 5 = 75
S 1 5 = (5 + 75)· 15/2 = 600.
Sucesiones y progresiones. Ejercicios
resueltos
7
Hallar la suma de los quince primeros números acabados en 5.
a 1 = 5;
d= 10 ;
n= 15.
a 1 5 = 5+ 14 ·10= 145
S 1 5 = (5 + 145)· 15/2 = 1125
Hallar el término general de las siguientes sucesiones:
1
Si prescindimos del signo, el numerador es una P. aritmética con
una d= 2.
El denominador es una progresión aritmética de d= 1.
Por ser los términos impares los negativos multiplicamos por ( -1) n .
2
El numerador es una progresión aritmética con una d= 2.
El denominador es una progresión geométrica con una r= 2.
3
Si prescindimos del signo, el numerador es una P. aritmética con
una d= 1.
El denominador es una progresión geométrica con una r= 3.
Por ser los términos pares los negativos multiplicamos por ( -1) n + 1 .