Método para la determinación experimental del centro de gravedad

Método para la determinación experimental del
centro de gravedad de un cuerpo humano
PALABRAS CLAVE:
anthropometry.
Centro
de
gravedad,
antropometría,
centre
of
gravity,
RESUMEN: Habitualmente el concepto de centro de gravedad se
introduce de una forma teórica en las clases de física básica y se
demuestran diversas relaciones matemáticas para determinar el
centro de gravedad de sistemas o cuerpos con formas geométricas
sencillas. Sin embargo, en una clase de física aplicada a la
biomecánica será muy instructivo relacionar este concepto con el
cuerpo humano, en cuyo caso los cálculos teóricos son demasiado
complejos para un curso básico. Describimos aquí una sencilla
práctica de laboratorio para calcular el centro de gravedad de un
cuerpo humano y relacionar este concepto con la praxis de la
biomecánica.
ABSTRACT: Usually the concept of centre of gravity is introduced from
a theoretical basis in lessons of basic physics and several
mathematical formulas are demonstrated to calculate the centre of
gravity of systems or bodies with simple geometry. However, in the
context of a class of physics applied to biomechanics, it would be
more didactic to relate this concept to the human body; although, in
this case, theoretical calculus are quite complex for an elementary
course. Here we describe a simple laboratory lesson to calculate the
centre of gravity of a human body and to relate this concept to praxis
of biomechanics.
1. INTRODUCCIÓN
El concepto del centro de gravedad de un cuerpo (CGc) o sistema de
partículas es esencial en el estudio de la estática y la dinámica. Por
ello bien merece detenerse en su estudio mediante actividades
manipulativas que refuercen su total integración a las competencias
del alumno. Con esta finalidad proponemos un método experimental
simple para la determinación del centro de gravedad de un cuerpo de
formas complejas y densidad no uniforme, como es el cuerpo
humano, mediante una realización poco costosa y que requiere
conocimientos teóricos básicos. De hecho, el cálculo respecto al eje
longitudinal aparece planteado como ejercicio teórico en los capítulos
de estática de diversos textos de física fundamental (Tipler, 2001),
(Serway, 2005), (Giancoli, 2002). Nuestra experiencia práctica con
esta actividad experimental se desenvuelve en la docencia de la
materia de Biomecánica de la titulación de Ciencias de la Actividad
Física y del Deporte.
La definición del centro de gravedad más adecuada para introducir los
conceptos teóricos necesarios en esta práctica es la que lo relaciona
con los momentos producidos por el peso del cuerpo. De acuerdo con
esta definición el CGc es el punto en el que al aplicar su peso, este
genera un momento respecto a cualquier punto equivalente a la suma
de los momentos generados por los pesos de todas las partículas que
constituyen dicho cuerpo (Tipler, 2001). Esta definición se puede
expresar matemáticamente mediante la sencilla fórmula:
rcg P   ri pi
i
donde rcg y ri son los vectores de posición del centro de gravedad y
de la partícula i-ésima respecto al punto al que se consideran los
momentos y P y pi son el peso total y el peso de cada partícula que
compone el cuerpo.
Para complementar esta definición merece la pena explicar algunas
propiedades del centro de gravedad que refuerzan los conceptos
manejados en esta práctica. Así, una formulación equivalente a la
definición anterior es la que considera el centro de gravedad de un
cuerpo como el punto respecto al cual los pesos de las partículas que
lo constituyen producen un momento resultante nulo. Por otro lado,
el centro de gravedad coincide con el centro de masas cuando la
acción de la gravedad es igual en todos los puntos del cuerpo
considerado, como sucede en todos los casos que se pueden estudiar
en el laboratorio. Además, puede ser muy ilustrativo destacar que en
los cuerpos homogéneos con una densidad uniforme el centro de
masas coincide con el centro geométrico o centroide. Propiedad que
permite relacionar mucho más fácilmente el concepto estricto de
centro de gravedad con la idea intuitiva que de él se tiene.
Paralelamente, conviene resaltar que no sucede así en los cuerpos
heterogéneos con densidad no uniforme, como es el caso del cuerpo
humano. Por último, la propiedad segmentaria, según la cual el
centro de gravedad de un cuerpo que puede ser dividido en un grupo
de elementos sencillos puede obtenerse como el baricentro de los
centros de gravedad de dichos elementos, permite explicar diversos
métodos de cálculo y el efecto del cambio de la posición relativa de
cualquier segmento corporal sobre la posición del CGc.
2. MÉTODOS DE CÁLCULO DEL CENTRO DE GRAVEDAD
Antes de llegar al sencillo método propuesto en esta práctica para
determinar la posición del centro de gravedad de un cuerpo humano
se pueden describir otros métodos más complejos que aportarán un
mayor conocimiento de la materia al alumno.
Para el cálculo del CG de cuerpos con geometrías sencillas los
métodos que requieren la parametrización del volumen o la superficie
del sólido no implican una complejidad de cálculo excesiva y su
aplicación reforzada con herramientas de cálculo como el teorema de
Pappus-Guldin (Beer, 2004) se convierte en una tarea viable.
Sin embargo, para el caso de cuerpos que no son fácilmente
parametrizables o con densidad no uniforme, como es el caso del
cuerpo humano, se hacen más recomendables otro tipo de métodos
semiempíricos. Dentro de esta categoría podemos distinguir
básicamente tres grupos de métodos: el basado en estudios
antropométricos sobre cadáveres que debemos a Chandler et al.
(1975) el basado en el barrido de masas propuesto por Zatsiorsky y
Seluyanov (1983) y el basado en modelos geométricos simples
asimilables a los segmentos corporales que se fundamenta en los
trabajos de Hanavan (1964) y Yeadon (1990). Estos métodos
permiten determinar la masa y la posición del centro de gravedad de
cada segmento corporal para finalmente, mediante la aplicación de la
propiedad segmentaria del centro de gravedad determinar la posición
del CGc. Dichos métodos constituyen una aproximación semiempírica
a la determinación del CGc; es decir, el sujeto de estudio debe estar
caracterizado mediante ciertos parámetros antropométricos. Según el
tipo de método, éstos pueden variar desde la talla y la masa total del
individuo hasta diferentes perímetros corporales correspondientes a
cada segmento corporal. Tal caracterización es necesaria como paso
previo a la utilización de los cálculos propuestos por dichos métodos
para la caracterización inercial de cada segmento corporal.
3. MÉTODO EMPÍRICO
El método que describimos aquí es un método puramente empírico
que utiliza un montaje experimental muy sencillo que ha sido
denominado balanza antropométrica (Prat, 1999). Este método,
además de su sencillez conceptual, presenta las ventajas de que
requiere un montaje muy simple compuesto de material fácilmente
disponible y asequible, consiguiendo un nivel de precisión aceptable.
Los materiales necesarios son: una tabla rígida, que denominaremos
tabla de momentos, con unas dimensiones suficientemente grandes
para que una persona se pueda tumbar sobre ella; una báscula con
capacidad suficiente para pesar a un individuo; unos soportes en
forma de cuña para apoyar la tabla y una cinta métrica.
3.1. EJE LONGITUDINAL
El desarrollo de la práctica requiere en primer lugar medir con la
báscula la masa de la tabla de momentos, Mt, y del sujeto objeto del
experimento, Mc. Debe medirse también la longitud de la tabla de
momentos, L, con la cinta métrica. A continuación se procede al
sencillo montaje experimental que se muestra en la figura 1 para la
determinación de la posición del CGc respecto al eje longitudinal. La
tabla de momentos se posiciona horizontalmente con un extremo
apoyado en uno de los soportes y el otro sobre la báscula. Entonces
el sujeto experimental se tumbará sobre la tabla con los pies a la
altura del fulcro, A, y se toma la medida en la báscula, Mb. De
manera que será posible calcular la posición, Xcg, del CGc al resolver
la ecuación del equilibrio de momentos sobre la tabla respecto al
punto de apoyo en A.
RB
RA
X
X
A
B
Pt
Báscula
Xt
Xcg
Pc
L
a)
b)
Figura 1. a) Esquema del montaje experimental para la determinación
de la posición longitudinal del CGc mostrando las fuerzas que
intervienen en el sistema. b) Ejemplo de ejecución de la práctica con
el sujeto en posición supina y brazos pegados al cuerpo.
Una vez realizadas todas las medidas, se pedirá a los alumnos
resolver el sencillo problema de estática planteado, dibujando en
primer lugar el diagrama de sólido libre de la tabla de momentos y
que plateen y resuelvan las ecuaciones de equilibrio. Así, de la
ecuación del equilibrio de momentos respecto del apoyo en A se
obtiene fácilmente la expresión para la posición del CGc:
M b g L  M t g X t  M c gX cg  0 
X cg 
Mb gL  Mt g Xt
Mc g
Donde Xt es la posición del centro de gravedad de la tabla de
momentos que, en el caso de que sea homogénea, se puede
considerar situada en su centro geométrico. En caso contrario podrá
determinarse previamente utilizando el mismo procedimiento.
Mientras que Mb es el valor de la medida realizada con la báscula y
por tanto tiene magnitud de masa y la reacción en el apoyo B
equivale a:
Rb  M b g
3.2. EJE ANTERO-POSTERIOR
Para la determinación de la posición del CGc respecto al eje anteroposterior se procederá de forma análoga al apartado anterior, según
un sencillo método que fue propuesto por primera vez por Reynolds y
Lovett (1909) y se puede considerar el precedente directo de ambas
configuraciones. Con el mismo montaje, en esta ocasión el sujeto se
situará de pie con los pies juntos sobre la tabla en posición erecta con
los brazos pegados al cuerpo, tal como se muestra en la figura 2.
Entonces se medirá la posición de la puntera de su pie o del talón
respecto del fulcro de manera que la posición del CG c anteroposterior, Xap, se pueda expresar respecto a estas referencias. Del
mismo modo que en el caso anterior los alumnos resolverán la
ecuación de equilibrios de momentos para calcular la coordenada del
CGc.
M b g L  M t g X t  M c gX cg  0 
X cg 
Mb gL  Mt g Xt
Mc g
X ap  X cg  X1
3.3 VARIACIÓN DE LA POSICIÓN DEL CENTRO DE GRAVEDAD
Para finalizar esta práctica y afianzar mejor los conceptos estudiados
se pueden repetir las dos experiencias anteriores modificando la
X
posición de los brazos respecto al cuerpo para analizar como cambia
la posición del CGc. Se puede determinar, por ejemplo, la situación
del CGc respecto al eje longitudinal en posición supina con los brazos
estirados horizontalmente por encima de la cabeza. Así como su
posición respecto al eje antero-posterior en posición erecta con los
brazos estirados horizontalmente hacia el frente. Estas variaciones
serán muy ilustrativas de la propiedad segmentaria del CG al
relacionarlas con la modificación del centro de gravedad de los brazos
respecto del resto del cuerpo.
Xcg
Pc
RA
RB
Xap
X1
X
Pt
Figura 2. Montaje experimental para determinar la posición anteroposterior del CGc con el sujeto en posición erecta y con los brazos
pegados al cuerpo.
4. CONCLUSIONES
La sencilla actividad experimental que proponemos servirá para
afianzar los conceptos asociados al centro de gravedad y tiene
especial interés en cursos básicos de física o biomecánica de
titulaciones relacionadas con la educación física o la actividad
deportiva.
Durante los ocho cursos de realización de esta práctica encontramos
una respuesta muy favorable de los alumnos en la medida en que
esta experiencia estimula su curiosidad y fomenta su participación en
el experimento debido a la implicación y exploración de su propio
cuerpo. La evaluación del trabajo de los alumnos se realiza mediante
la corrección de un informe que cada estudiante debe confeccionar
durante la sesión de laboratorio incluyendo las medidas tomadas, el
diagrama de sólido libre del montaje experimental y los cálculos
realizados.
Esta actividad experimental puede generalizarse fácilmente a un caso
bidimensional no mucho más complicado en el cálculo sin más que
añadir una báscula más y utilizar una tabla de momentos con un
apoyo fijo y dos apoyos sobre sendas básculas. De esta forma la
determinación del centro de gravedad permite el análisis de posturas
del cuerpo ya que se puede involucrar en los cálculos el eje
transversal al cuerpo del sujeto experimental.
5. BIBLIOGRAFÍA
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