Método para la determinación experimental del centro de gravedad de un cuerpo humano PALABRAS CLAVE: anthropometry. Centro de gravedad, antropometría, centre of gravity, RESUMEN: Habitualmente el concepto de centro de gravedad se introduce de una forma teórica en las clases de física básica y se demuestran diversas relaciones matemáticas para determinar el centro de gravedad de sistemas o cuerpos con formas geométricas sencillas. Sin embargo, en una clase de física aplicada a la biomecánica será muy instructivo relacionar este concepto con el cuerpo humano, en cuyo caso los cálculos teóricos son demasiado complejos para un curso básico. Describimos aquí una sencilla práctica de laboratorio para calcular el centro de gravedad de un cuerpo humano y relacionar este concepto con la praxis de la biomecánica. ABSTRACT: Usually the concept of centre of gravity is introduced from a theoretical basis in lessons of basic physics and several mathematical formulas are demonstrated to calculate the centre of gravity of systems or bodies with simple geometry. However, in the context of a class of physics applied to biomechanics, it would be more didactic to relate this concept to the human body; although, in this case, theoretical calculus are quite complex for an elementary course. Here we describe a simple laboratory lesson to calculate the centre of gravity of a human body and to relate this concept to praxis of biomechanics. 1. INTRODUCCIÓN El concepto del centro de gravedad de un cuerpo (CGc) o sistema de partículas es esencial en el estudio de la estática y la dinámica. Por ello bien merece detenerse en su estudio mediante actividades manipulativas que refuercen su total integración a las competencias del alumno. Con esta finalidad proponemos un método experimental simple para la determinación del centro de gravedad de un cuerpo de formas complejas y densidad no uniforme, como es el cuerpo humano, mediante una realización poco costosa y que requiere conocimientos teóricos básicos. De hecho, el cálculo respecto al eje longitudinal aparece planteado como ejercicio teórico en los capítulos de estática de diversos textos de física fundamental (Tipler, 2001), (Serway, 2005), (Giancoli, 2002). Nuestra experiencia práctica con esta actividad experimental se desenvuelve en la docencia de la materia de Biomecánica de la titulación de Ciencias de la Actividad Física y del Deporte. La definición del centro de gravedad más adecuada para introducir los conceptos teóricos necesarios en esta práctica es la que lo relaciona con los momentos producidos por el peso del cuerpo. De acuerdo con esta definición el CGc es el punto en el que al aplicar su peso, este genera un momento respecto a cualquier punto equivalente a la suma de los momentos generados por los pesos de todas las partículas que constituyen dicho cuerpo (Tipler, 2001). Esta definición se puede expresar matemáticamente mediante la sencilla fórmula: rcg P ri pi i donde rcg y ri son los vectores de posición del centro de gravedad y de la partícula i-ésima respecto al punto al que se consideran los momentos y P y pi son el peso total y el peso de cada partícula que compone el cuerpo. Para complementar esta definición merece la pena explicar algunas propiedades del centro de gravedad que refuerzan los conceptos manejados en esta práctica. Así, una formulación equivalente a la definición anterior es la que considera el centro de gravedad de un cuerpo como el punto respecto al cual los pesos de las partículas que lo constituyen producen un momento resultante nulo. Por otro lado, el centro de gravedad coincide con el centro de masas cuando la acción de la gravedad es igual en todos los puntos del cuerpo considerado, como sucede en todos los casos que se pueden estudiar en el laboratorio. Además, puede ser muy ilustrativo destacar que en los cuerpos homogéneos con una densidad uniforme el centro de masas coincide con el centro geométrico o centroide. Propiedad que permite relacionar mucho más fácilmente el concepto estricto de centro de gravedad con la idea intuitiva que de él se tiene. Paralelamente, conviene resaltar que no sucede así en los cuerpos heterogéneos con densidad no uniforme, como es el caso del cuerpo humano. Por último, la propiedad segmentaria, según la cual el centro de gravedad de un cuerpo que puede ser dividido en un grupo de elementos sencillos puede obtenerse como el baricentro de los centros de gravedad de dichos elementos, permite explicar diversos métodos de cálculo y el efecto del cambio de la posición relativa de cualquier segmento corporal sobre la posición del CGc. 2. MÉTODOS DE CÁLCULO DEL CENTRO DE GRAVEDAD Antes de llegar al sencillo método propuesto en esta práctica para determinar la posición del centro de gravedad de un cuerpo humano se pueden describir otros métodos más complejos que aportarán un mayor conocimiento de la materia al alumno. Para el cálculo del CG de cuerpos con geometrías sencillas los métodos que requieren la parametrización del volumen o la superficie del sólido no implican una complejidad de cálculo excesiva y su aplicación reforzada con herramientas de cálculo como el teorema de Pappus-Guldin (Beer, 2004) se convierte en una tarea viable. Sin embargo, para el caso de cuerpos que no son fácilmente parametrizables o con densidad no uniforme, como es el caso del cuerpo humano, se hacen más recomendables otro tipo de métodos semiempíricos. Dentro de esta categoría podemos distinguir básicamente tres grupos de métodos: el basado en estudios antropométricos sobre cadáveres que debemos a Chandler et al. (1975) el basado en el barrido de masas propuesto por Zatsiorsky y Seluyanov (1983) y el basado en modelos geométricos simples asimilables a los segmentos corporales que se fundamenta en los trabajos de Hanavan (1964) y Yeadon (1990). Estos métodos permiten determinar la masa y la posición del centro de gravedad de cada segmento corporal para finalmente, mediante la aplicación de la propiedad segmentaria del centro de gravedad determinar la posición del CGc. Dichos métodos constituyen una aproximación semiempírica a la determinación del CGc; es decir, el sujeto de estudio debe estar caracterizado mediante ciertos parámetros antropométricos. Según el tipo de método, éstos pueden variar desde la talla y la masa total del individuo hasta diferentes perímetros corporales correspondientes a cada segmento corporal. Tal caracterización es necesaria como paso previo a la utilización de los cálculos propuestos por dichos métodos para la caracterización inercial de cada segmento corporal. 3. MÉTODO EMPÍRICO El método que describimos aquí es un método puramente empírico que utiliza un montaje experimental muy sencillo que ha sido denominado balanza antropométrica (Prat, 1999). Este método, además de su sencillez conceptual, presenta las ventajas de que requiere un montaje muy simple compuesto de material fácilmente disponible y asequible, consiguiendo un nivel de precisión aceptable. Los materiales necesarios son: una tabla rígida, que denominaremos tabla de momentos, con unas dimensiones suficientemente grandes para que una persona se pueda tumbar sobre ella; una báscula con capacidad suficiente para pesar a un individuo; unos soportes en forma de cuña para apoyar la tabla y una cinta métrica. 3.1. EJE LONGITUDINAL El desarrollo de la práctica requiere en primer lugar medir con la báscula la masa de la tabla de momentos, Mt, y del sujeto objeto del experimento, Mc. Debe medirse también la longitud de la tabla de momentos, L, con la cinta métrica. A continuación se procede al sencillo montaje experimental que se muestra en la figura 1 para la determinación de la posición del CGc respecto al eje longitudinal. La tabla de momentos se posiciona horizontalmente con un extremo apoyado en uno de los soportes y el otro sobre la báscula. Entonces el sujeto experimental se tumbará sobre la tabla con los pies a la altura del fulcro, A, y se toma la medida en la báscula, Mb. De manera que será posible calcular la posición, Xcg, del CGc al resolver la ecuación del equilibrio de momentos sobre la tabla respecto al punto de apoyo en A. RB RA X X A B Pt Báscula Xt Xcg Pc L a) b) Figura 1. a) Esquema del montaje experimental para la determinación de la posición longitudinal del CGc mostrando las fuerzas que intervienen en el sistema. b) Ejemplo de ejecución de la práctica con el sujeto en posición supina y brazos pegados al cuerpo. Una vez realizadas todas las medidas, se pedirá a los alumnos resolver el sencillo problema de estática planteado, dibujando en primer lugar el diagrama de sólido libre de la tabla de momentos y que plateen y resuelvan las ecuaciones de equilibrio. Así, de la ecuación del equilibrio de momentos respecto del apoyo en A se obtiene fácilmente la expresión para la posición del CGc: M b g L M t g X t M c gX cg 0 X cg Mb gL Mt g Xt Mc g Donde Xt es la posición del centro de gravedad de la tabla de momentos que, en el caso de que sea homogénea, se puede considerar situada en su centro geométrico. En caso contrario podrá determinarse previamente utilizando el mismo procedimiento. Mientras que Mb es el valor de la medida realizada con la báscula y por tanto tiene magnitud de masa y la reacción en el apoyo B equivale a: Rb M b g 3.2. EJE ANTERO-POSTERIOR Para la determinación de la posición del CGc respecto al eje anteroposterior se procederá de forma análoga al apartado anterior, según un sencillo método que fue propuesto por primera vez por Reynolds y Lovett (1909) y se puede considerar el precedente directo de ambas configuraciones. Con el mismo montaje, en esta ocasión el sujeto se situará de pie con los pies juntos sobre la tabla en posición erecta con los brazos pegados al cuerpo, tal como se muestra en la figura 2. Entonces se medirá la posición de la puntera de su pie o del talón respecto del fulcro de manera que la posición del CG c anteroposterior, Xap, se pueda expresar respecto a estas referencias. Del mismo modo que en el caso anterior los alumnos resolverán la ecuación de equilibrios de momentos para calcular la coordenada del CGc. M b g L M t g X t M c gX cg 0 X cg Mb gL Mt g Xt Mc g X ap X cg X1 3.3 VARIACIÓN DE LA POSICIÓN DEL CENTRO DE GRAVEDAD Para finalizar esta práctica y afianzar mejor los conceptos estudiados se pueden repetir las dos experiencias anteriores modificando la X posición de los brazos respecto al cuerpo para analizar como cambia la posición del CGc. Se puede determinar, por ejemplo, la situación del CGc respecto al eje longitudinal en posición supina con los brazos estirados horizontalmente por encima de la cabeza. Así como su posición respecto al eje antero-posterior en posición erecta con los brazos estirados horizontalmente hacia el frente. Estas variaciones serán muy ilustrativas de la propiedad segmentaria del CG al relacionarlas con la modificación del centro de gravedad de los brazos respecto del resto del cuerpo. Xcg Pc RA RB Xap X1 X Pt Figura 2. Montaje experimental para determinar la posición anteroposterior del CGc con el sujeto en posición erecta y con los brazos pegados al cuerpo. 4. CONCLUSIONES La sencilla actividad experimental que proponemos servirá para afianzar los conceptos asociados al centro de gravedad y tiene especial interés en cursos básicos de física o biomecánica de titulaciones relacionadas con la educación física o la actividad deportiva. Durante los ocho cursos de realización de esta práctica encontramos una respuesta muy favorable de los alumnos en la medida en que esta experiencia estimula su curiosidad y fomenta su participación en el experimento debido a la implicación y exploración de su propio cuerpo. La evaluación del trabajo de los alumnos se realiza mediante la corrección de un informe que cada estudiante debe confeccionar durante la sesión de laboratorio incluyendo las medidas tomadas, el diagrama de sólido libre del montaje experimental y los cálculos realizados. Esta actividad experimental puede generalizarse fácilmente a un caso bidimensional no mucho más complicado en el cálculo sin más que añadir una báscula más y utilizar una tabla de momentos con un apoyo fijo y dos apoyos sobre sendas básculas. De esta forma la determinación del centro de gravedad permite el análisis de posturas del cuerpo ya que se puede involucrar en los cálculos el eje transversal al cuerpo del sujeto experimental. 5. 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TIPLER, P. A. (2001). Física para la ciencia y la tecnología. Barcelona: Reverté. YEADON, M.R. (1990). The simulation of aerial movement-II. A mathematical inertia model of the human body. Journal of Biomechanics, 23, pp. 67-74. ZATSIORSKY, V.M. y SELUYANOV, V.N. (1983). The mass and inertia characteristics of the main segments of the human body. Biomechanics VIII-B (Ed. por Matsui, H. y Kobayashi, K.), pp. 1152-1159. Champaign, IL: Human Kinetics.