BREVE TRATADO DE LOS LUGARES GEOMÉTRICOS SIGUIENDO

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BREVE TRATADO DE LOS LUGARES GEOMÉTRICOS
SIGUIENDO EL DESARROLLO HISTÓRICO
DE LA MATEMÁTICA
El objetivo de este capítulo es revisar los aspectos científicos relativos a los
lugares geométricos siguiendo su evolución histórica, con el fin de fundamentar
algunas decisiones y propuestas de carácter didáctico sobre su enseñanza y
aprendizaje en la Educación Secundaria. Por esta razón, sólo incluiremos aque­
llos temas que tienen una relación más estrecha con el currículo escolar de esta
etapa.
1.L El descubrimiento de las secciones cónicas
1.1.1. Los tres problemas clásicos
Las formas del sol y de la luna debieron influir decisivamente en el temprano
descubrimiento y consagración del círculo como la forma geométrica plana más
regular. Por ejemplo, el Santuario de Stonehenge (Gran Bretaña), construido
hacia el 1800 a. C. y dedicado al culto solar, tiene forma redonda. Está compues­
to por una circunferencia de grandes piedras (4,20 m de altura) de 30 m de diá­
metro. En su interior hay una circunferencia de piedras más pequeñas rodeándo
a otras que se disponen en forma de herradura, orientada de manera que su eje
coincide exactamente con el punto en que sale el sol el día más largo del año.
Más antiguas aún, las casas que construyeron los hombres del neolítico al salir de
las cavernas, también tienen planta redonda. Son cabañas de piedra, techadas
con vigas de madera cubiertas de paja, ramas y barro, como las que pueden verse
en los castros celtas del noroeste español.
Aunque en los grandes edificios de la cultura egipcia predomine el ángulo
recto, la presencia del círculo es apreciable también en multitud de elementos
ornamentales, objetos de uso cotidiano e, incluso, en las proporciones de las pirá­
mides. Según algunos autores, su altura es exactamente el radio de un círculo
cuya circunferencia fuese igual al perímetro de la base, lo que da una inclinación
uniforme a todas las caras de 510 51'. Otros autores, en cambio, consideran sin
fundamento estas y otras afirmaciones ya que la geometría egipcia, tal como se
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Lugares Geométricos. Cónicas
muestra en los documentos conservados hasta hoy, no presenta un grado de
desarrollo teórico suficiente. Por ejemplo, el papiro de Ahmes (también cono­
cido con el nombre de Papiro Rhind, por ser el anticuario Henry Rhindquien
lo compró en 1858) admiteque el área de un círculo de 9 unidades de diámetro
es la misma que la de un cuadrado de 8 unidades de lado, lo que da para 1t un
valor de 3'16; sin embargo, el escriba Ahmes, que lo copió hacia el 1650 a. c.,
es inconsciente deque las áreas de ese círculo y de ese cuadrado no son exacta­
mente iguales. Los conocimientos egipcios, igual que los babilonios, son, en su
mayor parte, de carácter práctico y el elemento principal de todas las cuestio­
nes tratadas es el cálculo numérico. Para ellos, la geometría era un cierto tipo
de aritmética o álgebra aplicada en la que cada figura venía representada por
medio de números.
Así pues, pareceque la circunferencia, después de la recta, fue el primer lugar
geométrico conocido y utilizado por la humanidad, y para encontrar otros nue­
vos hayque esperar hasta la cultura griega de los siglos V y IV a. C. enque nace la
geometría como ciencia puraque estudia el mundo de las magnitudes continuas
con una metodología propia. Atenas, en esta época, era el centro más activo y
más próspero del Mediterráneo oriental. Una explotación fiscal directa sobre
aliados y súbditos permitía a los atenienses financiar sus fiestas y construcciones,
sin la cual el Partenón y otras construcciones no se habrían levantado en la Acró­
polis. La extraordinaria actividad de su puerto, El Pireo, suministraba también
los ingresos de la aduana, favorecía el comercio y multiplicaba los contactos
humanos atrayendo a muchos extranjeros entre losque se contaban sabios jonios
como Anaxágoras de Clazomene,que llegó a ser maestro de Perides, o filósofos
metafísicos como Zenón, venido del sur de Italia. Además, la predisposición
natural del pueblo ateniense, creado por los azares de las �graciones y de las
fusiones étnicas, y las cualidades políticas de Perides que dirigió la ciudad en los
años decisivos, hicieronque en Atenas pudieran convivir seguidores entusiastas
de todas las tendencias filosóficas: pitagóricos, idealistas, materialistas, sofistas,
etc., representados por nombres tan importantes como Demócrito, Sócrates,
Platón y Aristóteles. La filosofía se desarrolló más que la ciencia, en el sentido
moderno de la palabra, frenada tanto por el desinterés hacia sus aplicaciones
prácticas como por la falta de medios materiales para utilizar el método experi­
mental. La matemática, sin embargo, participó de esa preferencia por la abstrac­
ción que dominó el espíritu de los pensadores griegos, explicable, al menos en
gran parte, por el prejuicio desfavorable contra ciertas actividades remunerado­
ras muy extendido entre la buena sociedad a laque pertenecen estos sabios y en
la cual encuentran su audiencia. La concepción de la geometría deja de ser abso­
lutamente pragmática, como en las culturas precedentes, tendiendo a constituirse
lentamente como una ciencia basada en el razonamiento deductivo y se constru­
ye un álgebra geométricaque regula las operaciones con segmentos, áreas y volú­
menes, mediante el uso de la regla y el compás.
Por entonces empiezan a circular los tres problemas clásicos: la cuadratura del
círculo, la duplicación del cubo y la trisección del ángulo. Del primero y del ter­
cero,que piden respectivamente la construcción de un CÍrculo cuya área sea la de
un cuadrado dado y la división de un ángulo cualquiera en tres ángulos iguales,
empleando sólo un número finito de veces la regla y el compás, no se conocen
sus orígenes. En cambio hay una leyenda transmitida por Eratóstenes (m a. C.)
que relaciona el segundo con la peste que en el año 429 a. C. asoló Atenas y
causó probablemente la muerte de Pericles. Según estas informaciones, los ate­
nienses enviaron una comisión al oráculo de Apolo ea Delos para preguntar
cómo podría conjurarse la plaga, obteniendo como respuesta que.,era necesario
duplicar el volumen del altar cúbico dedicado a Apolo sin variar su forma. Al
parecer, los atenienses construyeron otro altar cúbico duplicando la arista del
primero con lo que su volumen aumentó ocho veces en lugar de dos y no pudie­
ron detener la peste. Por ello, este problema se conoce. también como el proble­
ma de Delos. Muchos sabios y filósofos se ocuparon en la resolución de estos
problemas y, aunque sin demostrarlo rigurosamente, pronto se dieron cuenta de
que la solución era imposible utilizando sólo la regla y el compás en un número
finito de etapas. Abandonada esta condición, el intento de hallar soluciones con­
dujo al descubrimiento de algunos lugares geométricos que contribuyeron decisi­
vamente al desarrollo de la matemática y de la ciencia en general.
1.1.2. La solución de Menecmo al problema de Delos
En aquella época se admitían sólo dos maneras de definir curvas: por medio
de composiciones de movimiento uniformes y como intersección de superficies
geométricas conocidas: planos, esferas, cilindros, conos, poliedros etc. Menecmo
(IV a. C.) discípulo de Platón, descubrió que las secciones planas de un cono ser­
vían para resolver la duplicación del cubo. En efecto, desde el siglo anterior, se
sabía hallar la media geométrica x de dos números a y b (lo que significaba cons­
truir un cuadrado de área a. b, es decir, la cuadratura de un rectángulo): x es la
altura BD del triángulo rectángulo de la figura 1.1 que tiene como hipotenusa el
segmento a+b (teorema de la altura). Los geómetras intentaban ahora interpolar
dos medias x, y entre dos magnitudes dadas a y b:
a
x
X-=y=
t
FIGURA 1 . 1 . Construcción de la media geométrica.
Lugares Geométricos. Cónicas
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La resolución de este problema, como apreció ya Hipócrates-de Chios (va. C.),
era equivalente a la resolución de la duplicación del cubo pues tomando a como la
arista del cubo inicial y b = 2a, la expresión anterior conduce a .xl = ay; y 2ax, es
decir, .xl 2d y, por lo tanto, x sería la longitud de la arista del cubo cuyo volumen
es el doble del lado.
Menecmo justamente trató de resolver este problema hallando curvas cuyos
puntos, en términos modernos, verificasen las dos ecuaciones anteriores. Y esto
lo consiguió seccionando un cono rectángulo con un plano perpendicular a una
de sus generatrices. No se han conservado los escritos de Menecmo pero su
demostración pudo haber sido como ésta: Consideramos un cono rectángulo
=
=
o
o
/
R
"
/
"
"
/
M "
--------�--"
""
"
B
A
FIGURA 1.2. La parábola como sección cónica según Menecmo.
OAB con el vértice en O (fig. 1.2) Y lo seccionamos por un plano perpendicular a
la generatriz OB en el punto C situado a una distancia a de O. Por un punto cual­
quiera P de la curva-sección, pasa un plano paralelo a la base del cono que lo
corta en la circunferencia de diámetro RQ. Sea M el pie de la perpendicular
desde P a este diámetro. Por el teorema de la altura se verifica PM2 = RM . MQ.
Además, RM = DC,
c¡;r (por ser los triángulos CMQ y ODC semejantes) y
DC2 2a2• De estas igualdades se deduce PM2 = 2a . CM. Si en el plano de la sec­
ción tomamos un sistema de referencia con origen en C, eje de abscisas la recta
que contiene al segmento CM y eje de ordenadas su perpendicular en C, la
expresión anterior se escribiría y2 = 2a x, que es la .ecllación de una parábola. La
intersección de dos parábolas (y 2 a x; X2 a y) resuelve, como ya indicamos, el
problema de la duplicación del cubo, prescindiendo de la condición restrictiva de
emplear sólo la regla y el compás.
Menecmo descubrió también la elipse y la hipérbola, seccionando conos acu­
tángulos y obtusángulos respectivamente con planos perpendiculares a una de
�
=
=
=
=
FIGURA 1.3. La elipse y la hipérbola como secciones cónicas según Menecmo.
sus generatrices, tal como muestra la figura 1.3. Por esto, en su época, estas cur­
vas recibían el nombre de oxitoma (sección del cono agudo), amblitoma (sección
del cono obtuso) y ortotoma (sección del cono recto). Probablemente Menecmo,
que fue uno de los maestros de Alejandro Magno y que perfeccionó toda la geo­
metría, conociera más propiedades de estas curvas, pero ninguna parte de su
obra ha llegado hasta nuestros días; es más, la atribución de este descubrimiento
se hace a partir de una carta de Eratóstenes al rey Ptolomeo Evergete donde se
mencionan varias duplicaciones del cubo entre las cuales se incluye el método de
cortar el cono "según las triadas de Menecmo". Algunos investigadores opinan
que otros matemáticos un poco anteriores, como Eudoxo de Cnido, también
conocían estos lugares geométricos (Taton; 1988, I1, 261).
1.1.3. La soLución de Hipias a la trisección deL ánguLo
Unos años antes, el intento de solucionar el problema de la trisección del ángu­
lo condujo al descubrimiento de una nueva curva. Su autor fue Ripias de Ellis,
sofista que desarrolló su actividad en Atenas durante el siglo v a. C. Aunque tam­
poco se conserva ninguna de sus obras, comentaristas posteriores le atribuyen el
descubrimiento de la curva llamada trisectriz. En la construcción de esta curva se
emplea el primero de los métodos citados anteriormente: la composición de movi­
mientos uniformes. La trisectriz es el lugar geométrico de los puntos P pertene­
cientes al segmento OA cuando éste barre uniformemente un ángulo recto AOB,
mientras en el mismo intervalo de tiempo sus proyecciones P' sobre OA se mue­
. ven con movimiento uniforme hacia el punto O (fig. 1.4).
Para realizar la división de un ángulo MON en tres ángulos iguales, se dibuja
la trisectriz AC, tal como muestra'la figura 1.5, que cortará alIado OM en un
punto P. Sea Pila proyección sobre OA. Dividimos el segmento OP en tres par­
tes iguales mediante los puntos Q' Y RI. Las perpendiculares a OA por estos pun­
tos cortan a la trisectriz en Q y R respectivamente. Uniendo estos puntos con el
Lugares Geométricos. Cónicas
16
P'I---'l(
o
FIGURA 1.5. Trisección de un ángulo.
FIGURA 1.4. La trisectriz.
vértice O, el ángulo inicial queda dividido en tres partes iguales, en virtud de la
propiedad que define la trisectriz.
Un hermano de Menecmo, DiÍlostrato, "resolvió" la cuadratura del círculo
utilizando la trisectriz, por lo cual esta curva es también conocida con el nombre
de cuadratriz (Boyer; 1986, 135-6).
1.2. Los genios de Alejandría: Euclides,
Arquímedes y Apolonio
1.2.1. Euclides y la clasificación de los lugares geométricos
-<O
El vasto y efímero imperio creado por Alejandro Magno (356-323 a. C.) en la
segunda mitad del siglo IV a. C. supuso una enriquecedora fusión de la cultura
helénica y de la cultura oriental. En las orillas del Mediterráneo, surgen ciudades
que se convierten gradualmente en grandes centros del saber, usurpando a Ate­
nas el dominio que, en este campo, había mantenido desde el comienzo del si­
glo v a. C., el Siglo de Pericles. Una de estas ciudades, quizás la más importante,
fue Alejandría, fundada en la desembocadura del Nilo por el propio Alejandro
Magno en el año 322 a. c., un año antes de su súbita muerte. Al repartirse el
imperio entre sus generales, Egipto le correspondió a Ptolomeo quien instaló en
Alejandría su corte y la convirtió, no sólo en un emporio comercial, sino en el
centro cultural más importante de la humanidad durante casi 600 años. Entre los
muchos y bellos edificios que adornaban la ciudad, nos interesa destacar su
Museo y su Biblioteca. El Museo era, en principio, el santuario de las Musas,
pero, en realidad, se trataba de un lugar donde escritores y sabios nombrados por
el rey convivían, investigaban y discutían sobre sus descubrimientos. El tesoro
real sufragaba todos los gastos, de modo que los pensionados podían dedicar
todo el tiempo a sus investigaciones. Cerca del Museo estaba el Parque Zooló­
gico, el Jardín Botánico y, sobre todo, la Biblioteca, que llegó a contener 70ü.00ü
rollos de papiro en el año 48 a. c., cuando un incendio provocado por las tropas
de César la destruyó parcialmente. Toda la sabiduría del mundo estaba encerra­
da entre aquellas paredes. En este ambiente tan propicio de Alejandría, vivie­
ron dos de los tres más grandes matemáticos de la Antigüedad: Euclides y
Apolonio. Y el tercero, Arquímedes, aunque pasó casi toda su vida en Siracusa
Breve tratado de los lugares geométricos
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(Sicilia), también se fonnó en su Museo y en su Biblioteca. El siglo m a. c., a lo
largo del cual transcurren sus vidas, constituye la Edad de Oro de la matemática
griega.
Sobre la vida de Euclides, contemporáneo de Ptolomeo 1 y fundador de la
escuela matemática de Alejandría, apenas tenemos datos. Entre las muchas
obras que escribió, cinco han sobrevivido hasta nuestros días: los Elementos, los
Datos, la División de Figuras, los Fenómenos y la Optica. Pero una de ellas, los
Elementos, ha sido suficiente para inmortalizar su nombre, pues se trata de uno
de los libros que más ha influido en la fonna de pensar de los hombres. Escribió
otra obra, hoy perdida, Lugares de Superficie, en la que probablemente tratase
las superficies conocidas en su época (incluidas las cuádricas de revolución) o
quizá curvas sobre estas superficies. Se sabe que escribió también un tratado
sobre las cónicas, igualmente perdido, como el de un contemporáneo suyo llama­
do Aristeo. En los Elementos, no estudia estos lugares por considerarlos un tema
de la matemática superior. No obstante, podemos encontrar en este libro la
mayoría de las propiedades que caracterizan algunas figuras elementales como
lugares geométricos: la circunferencia, la mediatriz, la bisectriz, el aro capaz, etc.
Los griegos clasificaban los lugares geométricos en tres categorías: los lugares
planos, que abarcaban las líneas rectas y las circunferencias; los lugares sólidos,
que incluían a las cónicas; y los lugares lineales, que contenían las demás curvas
(cuadratriz, espiral, etc.) Esa clasificación es heredada de los problemas: así, los
problemas planos son aquéllos resolubles mediante rectas y circunferencias
(regla y compás), los problemas sólidos se resuelven mediante secciones cónicas
y los problemas lineales necesitan otras curvas distintas. Por ejemplo, la de­
terminación del lugar de los puntos que equidistan de dos rectas fijas o de dos
puntos fijos es un problema plano; la duplicación del cubo es un problema sólido
pues, como ya hemos indicado, puede ser resuelto mediante la intersección de
dos parábolas; la trisección del ángulo fue considerada, en principio, como un
problema lineal que, más tarde, Pappus de Alejandría (s. m) redujo a sólido al
encontrar una solución empleando una circunferencia y una hipérbola; la cuadra­
tura del círculo es un problema esencialmente lineal. Esta clasificación se va a
mantener hasta mediados del s. XVII en que la difusión de la geometría analítica
propone otras alternativas como veremos más adelante (epígrafe 1.5).
1.2.2. Arquímedes: cuadraturas y espirales
Arquímedes nació en la colonia griega de Siracusa (Sicilia) hacia el año 287
a. c., hijo de un astrónomo emparentado con el rey Herón 11. Sabemos que estu­
dió en Alejandría, pues mantenía contacto con los discípulos de Euclides, pero
tanto su vida como su muerte fueron rodeadas desde siempre con un halo de
leyenda que hace difícil extraer datos verídicos. Se cuenta, por ejemplo, que, en
la segunda guerra púnica, durante el asedio de Siracusa por parte de los roma­
nos, Arquímedes inventó ingeniosas máquinas de guerra que mantenían alejado
al enemigo: catapultas gigantes para lanzar piedras, sogas con garfios que alza-
Lugares Geométricos. Cónicas
18
ban las naves mediante poleas, espejos parabólicos para incendiarlas desde lejos,
etc. A pesar de todo, tras dos años de duro asedio, Siracusa fue tomada por los
romanos en el año 212 a. C. Un grupo de soldados irrumpió en la casa de Ar­
químedes, que estaba dibujando algunas complicadas figuras en la arena. "No
toquéis mis círculos!", exclamó Arquímedes, y, como respuesta, un soldado atra­
vesó con su lanza el cuerpo de aquel científico que tenía ya 75 años.
Además de numerosos inventos mecánicos, como el tornillo para sacar agua
de un pozo con forma de hélice (fig. 1 .6), Arquímedes descubrió varias leyes físi­
cas entre las que destaca la ley de la palanca y su famoso principio hidrostático,
recogidos en sus obras Sobre el equilibrio de los planos y Sobre los cuerpos flo­
tantes, respectivamente. Pero lo que más valoraba Arquímedes eran sus descu­
brimientos matemáticos, muchos de los cuales se han conservado en los siguien­
tes libros: El Arenario, La media del círculo, La cuadratura de la parábola, Sobre
los conoides y los esferoides, De la esfera y el cilindro, De las espirales y El méto­
do. El cúmulo de descubrimientos contenidos en estas obras convierten a Ar­
químedes en el matemático más genial de la Antigüedad.
FIGURA 1 .6. El tornillo de Arquímedes para elevar agua.
Por lo que respecta a los lugares geométricos, en La cuadratura de la pará­
bola encontramos el cálculo del área de un segmento parabólico realizado de la
FIGURA 1.7.
Breve tratado de los lugares geométricos
19
siguiente manera: Consideremos un segmento de parábola (fig. 1.7) donde se ins­
cribe el triángulo ABC, siendo C el punto en que la tangente es paralela a AB.
Sea D el punto en.·que la tangente es paralela a AC y E el punto en que la tan­
gente es paralela a BCLos triángulos ADC y BCE son equisuperficiales y cada
uno de ellos tiene un área igual a 1/8 del triángulo grande. Repitiendo este proce­
so constructivo se obtiene la serie 1+1/4+1/16+ ... que tiene como límite 4/3 y, en
consecuencia, el área del segmento parabólico es 4/3 la del triángulo ABC
En los tratados De la esfera y el cilindro y Sobre los conoides y los esferoides,
Arquímedes calcula también, entre otras cosas, el área y el volumen de una esfe­
ra así como el volumen de los segmentos que se obtienen al cortar un elipsoide,
paraboloide o hiperboloide de revolución (éste de dos hojas) por un plano per­
pendicular al eje principal. A estos cuerpos los llama, respectivamente, esferoide,
conoide rectángulo y conoide obtusángulo. Además, en el segundo de estos
libros, demuestra también que el área de una elipse completa, de semiejes a y b,
es rcab , basándose en la propiedad de que las áreas de las elipses están en la
misma proporción que las de los rectángulos construidos sobre sus ejes:
Debemos señalar que este gran genio no pudo determinar el área de un seg­
mento cualquiera de elipse o de hipérbola ni tampoco la longitud de uno de sus
arcos. Ambas empresas esconden dificultades que sólo fueron superadas 2000
años después de su muerte.
Finalmente, en su libro Sobre las espirales, Arquímedes descubre la espiral
que hoy lleva su nombre para resolver el problema de la trisección del ángulo.
Esta curva se define como el lugar geométrico de un punto del plano que, par­
tiendo del origen de una semirrecta, se mueve uniformemente sobre ella, mien­
tras que la semirrecta gira a su vez uniformemente alrededor de su origen. Por
esta razón, también se llama espiral uniforme (fig. 1.8). Para trisecar el ángulo
AOB (fig.1.9) dibujamos la espiral con el origen en O y.semirrecta OA. Sea P el
A
FIGURA 1 .8. Espiral de Arquímedes o
FIGURA 1 .9. Trisección de un ángulo
uniforme.
con la espiral uniforme.
20
Lugares Geométricos. Cónicas
punto donde la espiral corta por vez primera alIado OB del ángulo. Dividimos el
segmento OP en tres partes iguales por medio de los puntos O y R. Trazamos las
circunferencias con centro en O y radios OR y 00 respectivamente. Cortan a la
espiral en los puntos U y V. Las semirrectas OU y OV dividen al ángulo AOB en
tres ángulos iguales. Arquímedes dio además un método "cinemático" para tra­
zar la tangente a una espiral en uno cualquiera de sus puntos y demostró que el
área barrida por el radio vector en su primer giro completo es igual a la tercera
parte del área del círculo centrado en el origen y cuyo radio es igual a la longitud
del radio vector al finalizar la primera vuelta. También demostró que esta curva
podía emplearse para "cuadrar" un círculo (Boyer; 1986, 173).
1.2.3. Apolonio y su tratado sobre las cónicas
Mientras Arquímedes investigaba en Siracusa, Apolonio de Perga, el hombre
que completa con él y con Euclides el triunvirato del Siglo de Oro de la mate­
mática griega, estudiaba y enseñaba en el Museo de Alejandría. De su vida se
poseen menos datos aún que de la de sus compañeros. Se sabe que nació en
Perga,. una ciudad griega situada en la actual Turquía, y se han sugerido como
fechas de su nacimiento y muerte los años 262 y 190 a. C. respectivamente.
Además de matemático, Apolonio fue también un astrónomo famoso, creador
de un nuevo modelo para explicar los movimientos de los planetas, los cuales,
como ya habían observado otros astrónomos, no se ajustaban con exactitud a las
trayectorias circulares geocéntricas propugnadas por Eudoxo y Aristóteles, pues­
to que los diámetros de Venus y de Marte variaban perceptiblemente, era como
si "retrocedieran" en su órbita. Apolonio crea la teoría de los epiciclos que, seis­
cientos años después, en el s. JI, perfecciona el astrónomo alejandrino Ptolomeo.
Según esta teoría, el planeta describe con movimiento uniforme un círculo deno­
minado epiciclo, cuyo centro a su vez se desplaza en un círculo mayor, concéntri­
co con la tierra, llamado deferente. La trayectoria resultante se muestra en la
figura 1.10. Esta explicación fue aceptada como correcta par la mayoría de la
gente, incluidos los científicos, hasta el siglo XVIII, a pesar de que en los siglos
Planeta
...... _----
Epiciclo
=::..--==-___-.,;;;E�
l lelolde
;e
p
.:..:.
--
o Tierra
FIGURA 1.10. Modelo de Apolonio y Ptolomeo sobre el movimiento de los planetas.
Breve tratado de los lugares geométricos
21
XVI Y XVII Copémico, Galileo, Kepler y otros demostraron que la tierra y los
demás planetas giran alrededor del sol y que éste permanece fijo. Lo que ahora
nos interesa a nosotros es destacar el descubrimiento de un nuevo lugar geomé­
trico que pertenece a la familia de las epicicloides, curvas mecánicas que analiza­
remos más adelante.
Parece ser que Apolonio también estudió en su obra Lugares planos (recons­
truida en el s. XVII) varios problemas sobre la determinación de lugares geomé­
tricos como los siguientes: 1) Lugar geométrico de los puntos tales que la di­
ferencia entre los cuadrados de sus distancias a dos puntos fijos es constante (una
recta perpendicular a la que determinan estos dos puntos); y 2) Lugar geo­
métrico de los puntos cuya razón de distancias a dos puntos fijos es una constante
distinta de la unidad (una circunferencia).
La mayoría de las obras de Apolonio, "el gran geómetra", como le llamaban
los contemporáneos, han desaparecido y sólo de algunas conocemos breves des­
cripciones hechas, casi 500 años después, por otro matemático de Alejandría,
Pappus. Seis de esas obras, junto con dos de Euclides, fueron incluidas en una
colección, también desaparecida, titulada Tesoro del análisis que, según Pappus,
consistía en un cuerpo de conocimientos destinados a quienes, dominando ya la
geometría básica, quisieran abordar problemas relativos a curvas superiQres. Sin
embargo, se ha conservado, casi completa, su obra maestra, Las cónicas, gracias
sobre todo a una traducción al árabe realizada en el s. IX por Thabit Ibn-Qurra.
Este tratado consta de ocho libros con un total de 400 proposiciones en las que se
estudian estas curvas con todo detalle, superando ampliamente los estudios que,
sobre este tema, habían escrito con anterioridad Menecmo, Aristeo y Euclides.
En el prólogo a la segunda edición, Apolonio describe así el contenido de su
obra (Taton; 1988,11, 367):
"Apolonio a Eudemo, salud.
Si tu salud es buena y todo lo demás es como tú deseas, te felicito; en cuanto a
nosotros, estamos bastante bien. Durante el tiempo que pasé en Pérgamo contigo,
te vi muy deseoso de conocer nuestro trabajo sobre las cónicas; te envío, pues, el
primer libro, después de haberlo corregido; te mandaremos los otros cuando este­
mos satisfechos de ello; creo que no habrás olvidado lo que te dije: que he escrito
este tratado a petición del geómetra Naucrates, en la época en que éste estuvo en
Alejandría y compartió nuestras ocupaciones; y que después de redactar ocho
libros en total se lo dijimos en seguida; mas por la prisa, pues él estaba a punto de
embarcarse, no pudimos perfeccionarlos, sino que escribimos todo lo que nos vino
en mientes con la intención de volver más tarde sobre ello. Ahora, pues, que tene­
mos tiempo, vamos publicando estos libros a medida que son corregidos. Pero
como ocurre que varias de las personas que están en relación con nosotros han
conocido también el primero y el segundo libros antes de que fueran retocados, no
te asombre encontrar otra redacción.
De esos ocho libros, los primeros cuatro discurren en forma elemental; el pri­
mero contiene la generación de las tres secciones y de las opuestas, así como sus
propiedades capitales, expuesto todo de modo más amplio y con más generalidad
que en los demás tratados sobre este asunto. El segundo libro se refiere a los diá-
22
Lugares Geométricos. Cónicas
metros y a los ejes de las secciones, las asíntotas y otras cuestiones de uso general o
indispensables para la discusión de los problemas; por el primer libro sabrás cuáles
son las líneas que llamo diá�etros y las que llamo ejes. El tercero contiene gran
número de teoremas singulares que sirven ya para la síntesis de los lugares sólidos,
ya para los problemas; la mayoría de ellos y los más hermosos son nuevos; al bus­
carlos teníamos presente que Euclides no había efectuado la síntesis del lugar de
tres o cuatro líneas, sino sólo, y al azar, la de una parte de ese lugar, y ello de modo
bastante poco feliz; y es que era imposible hacer la síntesis completa sin lo que
hemos descubierto. El libro cuarto determina de cuántas maneras pueden encon­
trarse entre sí las secciones cónicas, así como una circunferencia de círculo, y
resuelve, además, otras cuestiones, ninguna de las cuales fue tratada por los que
nos han precedido, sobre cuántos puntos encuentra secciones opuestas una sección
cónica o una circunferencia de círculo.
Los últimos libros se refieren a teorías más especiales; el uno trata, en efecto,
los máximos y los mínimos con amplitud; el otro, de la igualdad y la semejanza de
las secciones cónicas; el siguiente, de teoremas para la discusión de los problemas,
y el último, de determinados problemas sobre las cónicas. Por lo demás, cuando
todos estén publicados, los que los estudien podrán apreciarlos según juzguen.
Saludos".
Ya puede apreciarse en este prólogo la calidad y la amplitud del estudio rea­
lizado por Apolonio sobre las cónicas que constituye "una de las más excelsas
obras de la literatura científica de todos los tiempos y de todas las naciones" (Lo­
ria; 1982, 61). A continuación vamos a detallar algunos de los temas desarro­
llados.
Como ya hemos señalado antes, Menecmo obtenía los tres tipos de curvas a
partir de conos rectos de tres tipos distintos, según que el ángulo del vértice fuese
agudo, recto u obtuso, y siempre tomando secciones perpendiculares a una genera­
triz. Apolonio las obtiene utilizando un cono circular cualquiera (no necesariamen­
te de revolución) variando la inclinación del plano secante. A partir de esta cons­
trucción, descubre una propiedad plana que caracteriza a cada una de las seccio­
nes, es decir, una caracterización de estas curvas como lugares geométricos planos.
Por ejemplo, en el caso de la elipse (fig. 1 . 1 1 ) demuestra que la condición necesa­
ria y suficiente para que. un punto P pertenezca a ella es que PQ2 = k·AQ·QN,
siendo k una cantidad positiva cori'stante.
A�------�--�
FIGURA 1.11.
Breve tratado de los lugares geométricos
23
Su razonamiento, adaptado al caso del cono recto, es como sigue (fig. 1.12):
Sea P un punto cualquiera de una sección plana APN que corta a todas las ge­
neratrices y sean Ct, C2 y CJ las secciones circulares por P, A Y Al respectiva­
mente. Si Q es la proyección ortogonal de P sobre DE (o sobre AAI), se verifica
PQ2 DQ . QE, ya que el triángulo APN es rectángulo. Como los triángulos
AQD y AAIC son semejantes, tendremos:
=
DQ= CAl � DQ
AQ AN
AQ·CAI
AN
FIGURA 1 . 12. La elipse como sección cónica.
También son semejantes los triángulos EQN y BAAI y, por lo tanto,
Al sustituir, obtenemos:
.,
AB . CN
una expreslOn que no depende de1 punto P escogI·do y que,
AN 2
es constante.
Análogamente se demuestra que todo punto P de una hipérbola (fig. 1.13)
verifica PQ2 = k . AQ . QN (2) Y todo punto P de una parábola (fig. 1.14)
PQ2 k AQ (3)
SIen
. do k
=
=
.
Lugares Geométricos. Cónicas
24
A
FIGURA 1.14.
FIGURA 1.13.
Las relaciones (1), (2) Y (3) permiten hallar de un modo inmediato las ecua­
ciones cartesianas de las cónicas, lo que nos hace pensar qué cerca estuvo
Apolonio .de la geometría analítica moderna. En efecto, al tomar un sistema de
referencia cartesiano coincidente con los ejes (fig. 1.15, 1.16 Y 1.17), obtenemos
las ecuaciones reducidas:
PARABOLA
HIPÉRBOLA
ELIPSE
i=k(a+x)(a-x)
i=kx
2p=k
y
y
x
x
A
A
A'
FIGURA 1.15.
FIGURA 1.16.
FIGURA 1.17.
En cambio, si tomamos los sistemas de referencia señalados en las figuras
1.18,1.19 Y 1.20, las relaciones de Apolonio se escriben así:
ELIPSE
i=2akx - kx2
i = lx-
lx2
-
2a
HIPÉRBOLA
y2=2a kx
i = lx+
PARABOLA
+ kx2
i=kx
lx2
y2=Ix
-
2a
I
Breve tratado de los lugares geométricos
FIGURA 1 . 18.
FIGURA 1 .19.
25
FIGURA 1 .20.
El coeficiente de la x en cada una de estas ecuaciones se llamó desde la
Antigüedad latus rectum y puede interpretarse geométricamente como el doble
de la ordenada de un foco. Además estas ecuaciones ponen de manifiesto la
razón de los nombres asignados por Apolonio a cada una de estas curvas (toma­
dos de los pitagóricos que los utilizaban en la resolución de ecuaciones cuadráti­
cas mediante la aplicación de áreas): elipse viene del término griego elleip 9is que
significa insuficiencia, hipérbola viene de hiperbolé que significa exceso y parábo­
la viene de parabole que significa equiparación. Estas ecuaciones muestran que
el cuadrado construido sobre la ordenada de cualquier punto es menor, mayor o
igual, respectivamente, al rectángulo construido con la abscisa y el latus rectum,
lo cual justifica su nombre.
Otra de las novedades introducidas por Apolonio fue el estudio de los diá­
metros y su relación con el trazado de tangentes. Dado un diámetro AB, Apo­
lonio demuestra que los puntos medios de las cuerdas paralelas a él determinan
otro diámetro CD (llamado diámetro conjugado); además las rectas paralelas a
AB que pasan por e y D son tangentes a la cónica (fig. 1.21) Y determinan junto
con las tangerítes en A y B un paralelogramo equivalente al rectángulo construido
sobre los ejes. Aunque esta propiedad ya permite trazar tangentes a una cónica en
un PJ.IDto, Apolonio propone todavía un nuevo método basado en las propiedades
de la división armónica de un segmento: Sea P un punto de una elipse y O su pro­
yección ortogonal sobre el eje AA (fig. 1.22). Se dibuja la circunferencia con el
centro en el centro de la elipse y diámetro el eje mayor. En ella se elige un punto
P perteneciente a la recta PO. Se duplica el ángulo OPIA y se obtiene el punto T
FIGURA 1.21. Diámetros conjugados.
Lugares Geométricos. Cónicas
26
en la prolongación del eje mayor. La recta TP es tangente a la elipse ya que TPI es
tangente a la circunferencia. Además, como T y O son conjugados armónicos res­
pecto a A y Al (ya que pertenecen a la bisectriz exterior e interior, respectivamen­
te, del ángulo P en el triángulo AIP'A), Apolonio generaliza este método para tra­
zar la tangente a una elipse desde un punto exterior cualquiera T.
P'
T�--�f----:!�--I A'
FIGURA 1.22. Trazado de la tangente a una elipse según Apolonio.
En esta obra se estudia también el trazado de normales, aunque su autor no
habla de rectas normales, sino de distancias mínimas o máximas. En su con­
cepción, el trazado de la normal a una cónica desde un punto exterior P consiste
en determinar otro punto O sobre la cónica tal que la distancia PO sea un míni­
mo o máximo relativo. (Después demuestra también que el segmento PO es per­
pendicular a la tangente en O). Ilustramos su método en .el caso de la parábola.
Si el punto P pertenece al eje de la parábola, se observa que la circunferencia
centrada en P y con radio igual a su distancia al vértice sólo corta a la parábola
en puntos distintos del vértice cuando esta distancia es mayor que el parámetro
p. Esto nos indica que si la distancia del punto P al vértice es menor o igual que
p, ésa es la distancia mínima y por lo tanto la normal coincide con el eje. Cuando
la distancia de P al vértice es mayor que p, Apolonio propone la siguiente cons­
trucción (fig. 1.23): Se toma un punto O tal que OP = p ; si la perpendicular al eje
FIGURA 1.23.
27
Breve tratado de los lugares geométricos
por O corta a la parábola en los puntos R y S, los segmentos PR y PS represen­
tan las distancias mínimas desde P. La justificación de esta construcción es inme­
diata utilizando el cálculo diferencial, descubierto casi 1 .500 años después, pero
para valorar esta solución debemos pensar que Apolonio utilizó solamente razo­
namientos de geometría sintética.
Más admirable aún es su método constructivo cuando el punto P no perte­
nece al eje de la parábola. En este caso (fig. 1.24) , se traza la perpendicular PO al
eje de la parábola y sobre él, a una distancia p de O, se toma un punto R en sen­
tido opuesto al de la parábola; se dibuja la hipérbola equilátera que pasa por P y
tiene como asíntotas el eje de la parábola y la perpendicular en R. Esta hipérbola
corta a la parábola en un punto S; la recta PS es la normal buscada. A esta sofisti­
cada construcción conduce también el método analítico. En efecto, tomemos un
sistema de referencia canónico (fig. 1.25) respecto del cual la ecuación de la paráp
T
R
FIGURA 1 .25.
FIGURA 1 .24.
bola sea y2 = 2px. Sean (a, b) las coordenadas de P y ( x, y) las de un punto S tal
que PS sea la recta normal buscada. Esta recta corta al eje de abscisas en un
punto T cuya abscisa es:
-b (x - a)
y- b
+
a
Como acabamos de ver, la construcción de la normal a una parábola desde un
punto de su eje nos indica que la longitud del segmento TU es p, es decir:
-b (x- a)
---"--,---Ly- b
+
a- x = p <=> y (x + p - a)
=
pb
Esta es la ecuación de una hipérbola equilátera que pasa por P y cuyas asínto­
tas son y 0, x a-p. Por lo tanto, el punto S queda determinado por la intersec­
ción de esta hipérbola y la parábola inicial.
=
=
Lugares Geométricos. Cónicas
28
También se trata en esta obra la semejanza de las cónicas. Para Apolonio, dos
cónicas son semejantes si las ordenadas trazadas al eje a distancias proporcio­
nales del vértice son respectivamente proporcionales a las correspondientes abs­
cisas. Demuestra, por ejemplo, que todas las parábolas son semejantes entre sí,
que ninguna cónica es semejante a otra de tipo distinto y que secciones paralelas
en un mismo cono producen cónicas semejantes.
En definitiva, el estudio de Apolonio sobre las cónicas aporta un conjunto de
propiedades que prácticamente sólo aumenta con el descubrimiento de las pro­
piedades proyectivas a partir del s. XVII. SU lectura y asimilación hoy resulta difí­
cil sin una preparación adecuada en los métodos de la geometría griega y una
buena dosis de paciente labor "debido al gran número de complejas proposi­
ciones y al contenido mucho más diversificado y especializado de lo que es habi­
tual en nuestros cursos modernos" (Collette; 1985, 145). Sin embargo, en esta
obra el pensamiento matemático de los griegos alcanzó una de sus cimas más
importantes.
1.3.
La herencia de la geometría griega
1.3.1.
Pappus y el lugar de las tres o cuatro rectas
Después de que la matemática atraviesa la Edad de Oro del s. III a. C. domi­
nado por los grandes genios de Euclides, Arquímedes y Apolonio, viene un
largo período en el que el pensamiento matemático se estanca y apenas surgen
algunas nuevas técnicas que podríamos considerar como el origen de la trigono­
metría. Probablemente el espíritu pragmático de los romanos, dueños por
entonces del mundo, sea una de las causas de esta decadencia. Sin embargo,
entre el año 250 y el 350, aproximadamente, aparece un período algo más bri­
llante, un cierto renacimiento, gracias, sobre todo, a dos destacados matemáti­
cos: Diofanto y Pappus. El primero, con su obra Arithmetica, puede considerar­
se como el más importante de los algebristas clásicos. El segundo, Pappus de
Alejandría, fue un notable geómetra que, además de obtener resultados origina­
les, se ocupó de estudiar y comentar los tratados de los grandes matemáticos
que le precedieron. Su obra más importante, Colección matemática, ha llegado
casi íntegra hasta nuestros días y, de hecho, fue la obra matemática griega más
estudiada por los científicos entre 1588 y 1650 aproximadamente en los que
actuó como un estimulante de la renovación de la matemática. Entre los temas
tratados encontramos algunos relacionados con los lugares geométricos, como
la generalización del "lugar determinado por tres o cuatro rectas". Este proble­
ma suele conocerse con el nombre de "problema de Pappus" aunque su origen
parece remontarse a la época de Euclides. Para tres rectas, su enunciado es el
siguiente: "Dadas tres rectas de un plano, hallar el lugar geométrico de los pun­
tos P que se mueven de tal manera que el cuadrado del segmento PA, trazado
con un ángulo fijo a una de las rectas, es proporcional al producto de los seg­
mentos PB y PC trazados a las otras dos con el mismo ángulo". Y para cuatro
29
Breve tratado de los lugares geométricos
rectas, el enunciado es como sigue: "Dadas cuatro rectas de un plano, hallar el
lugar geométrico de los puntos P que se mueven de tal manera que el producto
de los segmentos PA y PB, trazados con un ángulo fijo a dos de ellas, es propor­
cional al producto de los segmentos PC y PD trazados a las otras dos con el
mismo ángulo".
Quinientos años antes, Apolonio ya había determinado estos lugares geo­
métricos en su libro sobre las cónicas, aunque Pappus se considera a sí mismo
como el primer resolutor del problema al demostrar que, en todos los casos, el
lugar es una cónica. No obstante, sí le cabe el privilegio de haber sido el primero
en generalizar este problema para un número de rectas superior a cuatro. Por
ejemplo, para seis rectas en el plano, reconoce que queda determinada una curva
por la condición de que el producto de las distancias de un punto P a tres de las
rectas sea proporcional al producto de sus distancias a las otras tres. El producto
de estas tres longitudes está justificado porque da lugar al volumen de un sólido.
El problema se le planteó cuando, en lugar de seis rectas, consideraba ocho y,
por lo tanto, productos de cuatro segmentos difícilmente justificables en térmi­
nos geométricos. Aunque Pappus no estudió con profundidad estos lugares no
sólo por las dudas sobre su "sentido" sino también porque su tratamiento con los
métodos sintéticos hubiera sido muy difícil, dejó abierto el camino para que
Descartes, catorce siglos después, demostrase la eficacia de la geometría analítica
y se admitieran las curvas algebraicas de grado mayor que dos en la comunidad
de los objetos matemáticos. Otra de las partes de la Colección matemática con­
tiene el primer tratamiento que conocemos de las propiedades foco-directriz de
las secciones cónicas que no aparecen explícitamente en la obra de Apolonio.
El tratado de Pappus puede considerarse como el último verdaderamente
importante de la matemática antigua. En los años posteriores le siguen una gran
cantidad de "comentarios", como los realizados por la joven matemática Hy­
patia, muerta cruelmente en el año 415 por una turba de cristianos fanáticos,
organizados por el obispo Kirilos, que además incendian la riquísima biblioteca
de Alejandría de la que ella era responsable. También debe citarse a Proclo
(410-485) y a Eutocio (nacido hacia 460), al primero de los cuales suele atribuir­
se la determinación del lugar geométrico generado por un punto fijo de un seg­
mento cuando éste se mueve de manera que sus extremos se desplazan a lo
largo de dos rectas que se cortan perpendicularmente (una elipse). Eutocio es­
cribió un comentario sobre las Cónicas de Apolonio, que dedicó al matemático
y arquitecto de la iglesia de Santa Sofía, en Constantinopla, Antenio de Tralles,
quien a su vez escribió un libro Sobre los Espejos Ustorios en el que estudia las
propiedades focales de la parábola y describe el método del jardinero para el
trazado de la elipse.
1.3.2. La transmisión árabe
Desde el año 415 en que tuvo lugar la destrucción de la Biblioteca de Ale­
jandría, hasta el s. XVI en que se produce el renacimiento cultural europeo, el
, "j¡";;;;;;;;;:,;; ==.= =.=,, =.=. =., ::.•
. . .. ._ .-
-"
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\J J\ I J [!
!,
Lugares Geométricos. Cónicas
30
desarrollo del pensamiento matemático sufre un largo estancamiento motivado,
en un principio, por los intereses pragmáticos de los romanos y, después, por las
imposiciones ideológicas de la teología cristiana. Sin embargo, una parte de la
matemática griega se salvó a través del imperio árabe que fue formándose en el
transcurso del s. VII. En Córdoba, en Bagdad y en otras ciudades surgen centros
intelectuales donde se estudiaron y tradujeron manuscritos griegos rescatados de
las bibliotecas helénicas. Debemos mencionar la escuela fundada por Thabit-Ibn­
Qurra en el s. IX donde se tradujeron al árabe obras de Euclides, Arquímedes,
Apolonio, Ptolomeo y Eutocio, algunas de las cuales, como los tres últimos libros
del tratado de Apolonio sobre las cónicas, han llegado a nosotros gracias a estas
versiones.
La primera mitad del s. XI fue un período muy brillante para la ciencia islá­
mica y, en él, destacan grandes figuras como Ibn Sina (980-1037), Al-Biruni
(973-1048) e Ibn Al-Haytam (965-1039). Aunque ninguno de ellos fue un mate­
mático en el sentido estricto de la palabra, todos ellos se ocuparon de algún
tema relacionado con las matemáticas. Ibn Sina, médico y filósofo más conocido
en Occidente con el nombre de Avicena, hizo una traducción de Euclides, dio
una explicación de la regla de los nueves y aplicó algunas partes de las matemáti­
cas a la astronomía y a la física. Al-Biruni, médico, astrónomo, historiador y via­
jero incansable, se ocupó de la división de una circunferencia en partes iguales y
del tratamiento algebraico de este problema. Al-Haytam, el Alhazen de los occi­
dentales, es autor de numerosas obras de matemáticas, astronomía, medicina,
filosofía y ciencias físicas, de las cuales sólo se conserva su Tratado de curvas
geométricas y su Tesoro de la óptica. En este último libro, que contiene la prime­
ra descripción exacta del ojo y un estudio del aumento de las lentes, Alhazen
sostiene que la causa de la visión está en el objeto y no en el ojo, cita las leyes de
la reflexión y enuncia el principio de la cámara oscura. En el curso de sus inves­
tigaciones sobre la óptica, Alhazen se planteó el problema de encontrar un
punto sobre un espejo esférico en el que debe reflejarse la luz procedente de un
cierto foco luminoso para incidir en el ojo de un observador. Este problema se
conoce aún hoy como "el problema de Alhazen" y puede resolverse utilizando
las cónicas.
Algo más tarde, el matemático y poeta persa Omar Khayyan (ca. 1050-1 123),
en su Algebra, realiza otra aplicación de las cónicas resolviendo geométricamen­
te cualquier ecuación de tercer grado x 3 + ax2 + b x
2 + c 3 O mediante la sustitu­
ción de X2 por 2 py de la que obtiene 2 pxy + 2apy + b x
2 + c 3 O, que es la ecua­
ción de una hipérbola. De este modo, las abscisas de los puntos de intersección
de esta hipérbola con la parábola X2 2 py representan las raíces de la cúbica.
Aunque el método ya se había usado antes en algunos casos particulares (Me­
necmo en la duplicación del cubo, por ejemplo), Omar Khayyan lo aplicó a todos
los casos posibles según que los coeficientes fueran positivos, negativos o cero,
identificando en cada uno la cónica que obtenía.
En general, puede decirse que el trabajo de los matemáticos árabes fue mu­
cho más que una conservación de los conocimientos clásicos: "la tradición trans­
mitida al mundo latino durante los siglos XII Y XIII era considerablemente más
=
=
=
31
Breve tratado de los lugares geométricos
rica que la que se encontraron los conquistadores árabes casi analfabetos en el
siglo VII" (Boyer; 1986, 316).
L4. La núrada renacentista
1.4.1. Trazado de cónicas, espirales, hipocicloides y epicicloides
La llegada del renacimiento fue cambiando lentamente la mirada de los hom­
bres sobre la realidad y sus representaciones. Los artistas (Brunelleschi, Durero,
Leonardo ... ) miraban con nuevos ojos y deseaban descubrir las leyes que regían
una representación verídica del mundo. Los científicos (Kepler, Galileo, Stevin ...)
buscaban para los fenómenos reales una explicación más racional que las viejas
creencias heredadas del medioevo o rescatadas de los textos clásicos que poco a
poco se iban traduciendo e imprimiendo. En uno y otro caso, la matemática jugó
un papel cada vez más importante como lenguaje idóneo para expresar los nuevos
conocimientos. A continuación sintetizaremos las aportaciones más relevantes de
esta época sobre la evolución de los conceptos que nos ocupan.
Un sacerdote de Nuremberg, Johannes Werner (1468-1528), que empezó la
carrera científica como geógrafo para acabar ocupándose de las matemáticas,
publica en 1522 el primer tratado original sobre Los elementos de las cónicas en
Occidente, ya que la traducción de la obra de Apolonio se editó quince años des­
pués. Werner estudia sólo la parábola y la hipérbola pues su interés se centra en
la resolución de la duplicación del cubo y, entre las pocas novedades que presen­
ta con respecto al tratado de Apolonio, destaca el siguiente método para cons­
truir puntos de una parábola de parámetro p con regla y compás (fig. 1.26): se
dibujan dos rectas perpendiculares r y s que se cortan en un punto V. Sobre r se
señala un punto O a una distancia 2p de V. Se trazan circunferencias con el cen­
tro en la recta r y que pasan por O; éstas cortan a la recta s en puntos A, B, e, ...
y a la recta r en N, H , e .. Se trasladan paralelamente los segmentos VA, VB,
ve, ... a los puntos respectivos Al, H, e, . obteniéndose los puntos A", B", C'", ...
.
..
o
FIGURA 1 .26. Trazado de una parábola según Wemer.
32
Lugares Geométricos. Cónicas
los cuales pertenecen ya a la parábola de vértice V y parámetro p Gunto con sus
simétricos respecto de r). La justificación es sencilla puesto que la "ordenada" de
cada punto, AWI, por ejemplo, es igual a VA, Y VA2 2 p . VAl (teorema de la
altura aplicado al triángulo rectángulo OAN).
Tres años después de aparecer esta obra de Wemer, se publica, también en
Nuremberg, un libro del gran pintor Alberto Durero (1471-1528) titulado Ins­
trucción sobre la medida con regla y compás de figuras planas y sólidas. Aunque
no es un tratado teórico, sino que se dirige a técnicos y artistas a los que quiere
enseñar diversos métodos para trazar algunas figuras geométricas, siempre se
adjunta la justificación de los preceptos o reglas que se enuncian evitando caer
en un mero recetario y elevando esta obra a la categoría de "ciencia aplicada".
En esta obra, Durero enseña la construcción de algunas espirales. Como se sabe,
ni la espiral uniforme descubierta por Arquímedes (subepígrafe 1.2.2) ni la loga­
rítmica, estudiada un siglo más tarde, pueden construirse con regla y compás. Sin
embargo, la ostensible y abundante presencia de espirales en la naturaleza hizo,
sin duda, que Durero se interesara por investigar su representación aproximada
mediante arcos de circunferencia y expusiera en este libro sus resultados así
como los relativos a las proyecciones de hélices sobre un plano. Una de sus espi­
rales más famosas (fig. 1.27) se traza utilizando la propiedad que tiene el rectán=
FIGURA 1.27. La espiral de Durero.
gulo áureo de poder descomponerse en un cuadrado y en otro rectángulo áureo,
lo que permite obtener una sucesión infinita de cuadrados en los que se puede
inscribir el correspondiente cuadrante de circunferencia para ir construyendo la
espiral. (Esta "falsa" espiral es una aproximación de una espiral logarítmica tan­
gente a los lados de los sucesivos rectángulos y cuyo polo es el punto O).
Es muy famoso también su método para trazar una cónica mediante una
doble proyección ortogonal. En la figura 1.28, PQ representa el eje mayor de una
elipse y CD el diámetro de una circunferencia que cortará a la elipse en dos pun­
tos A y N. La proyectamos sobre el plano de la base del cono y obtenemos la cir­
cunferencia de centro 0, en la cual ya quedan completamente determinados los
puntos de la elipse A y Al que se trasladan al lugar correspondiente sobre el eje
PQ (segunda proyección sobre un plano paralelo al de la sección elíptica).
Breve tratado de los lugares geométricos
33
Repitiendo este proceso con otras circunferencias, se van obteniendo parejas de
puntos de la elipse. El resultado, obra del propio Durero, puede verse en la figu­
ra 1.29.
A
,-��----�
p
Q
E
A'
FIGURA 1 .28. Método de Durero para el
FIGURA 1 .29. Proyección de una sección
trazado de la elipse.
elíptica según Durero.
Durero construye también nuevos lugares geométricos como el que resulta
al considerar la trayectoria de un punto fijo P perteneciente a un círculo e que
rueda sin deslizarse sobre la circunferencia C. La curva obtenida se llama epici­
cloide acortada. Cuando el punto fijo P está en el exterior del círculo e pero
ligado a él, la curva se llama epicicloide alargada; y si está en la circunferencia
de e se llama epicicloide simple (fig. 1 .30). De un modo análogo se construyen
las hipocicloides haciendo rodar el círculo e sobre el interior de la circunferen­
cia C. En la figura 1.31 se ha representado una hipocicloide simple, es decir, la
p
FIGURA 1 .30. La nefroide como epicicloide simple (R
=
2r).
Lugares Geométricos. Cónicas
34
FIGURA 1.31. La astroide como hipocicloide simple (R
=
4r).
trayectoria de un punto P perteneciente a una circunferencia que rueda sobre el
interior de otra. En este caso el radio del círculo móvil, r, es la cuarta parte del
radio del círculo fijo, R,y la curva resultante se llama astroide. Si tomamos R 2r
y el punto P en el interior del círculo móvil, obtenemos una hipocicloide acorta­
da que es exactamente una elipse (fig. 1 .32). Fue Copérnico (1473-1543) quien
descubrió esta propiedad fácilmente demostrable si se observa que el diámetro
AB que pasa por el punto P y por el centro del círculo móvil siempre se apoya
sobre dos radios perpendiculares del círculo fijo, con lo cual las coordenadas del
punto P son x = AP cos a, y BP sen a, que representan paramétricamente a
una elipse de semiejes AP y BP.
=
=
c'
.
FIGURA 1.32. La elipse como hipocicloide acortada (R
=
2r).
Breve tratado de los lugares geométricos
35
Muchas otras curvas pueden caracterizarse como epicicloides o hipocicloides.
Por ejemplo, la cardioide (fig. 1.33) es una epicicloide simple en la cual los radios
de los círculos son iguales y la deltoide (fig. 1 .34) es una hipocicloide simple que
FIGURA 1.33. Cardioide.
FIGURA 1 .34. Deltoide.
se obtiene tomando como radio del círculo móvil la tercera parte del radio del
círculo fijo. Desgraciadamente Durero no disponía de las necesarias herramien­
tas algebraicas para realizar un estudio profundo de este tipo de curvas nuevas.
Con todo, abrió un camino "en el que el Renacimiento podía haber mejorado
fácilmente la obra de los antiguos que sólo habían estudiado un pequeño número
de curvas" (Boyer; 1986, 377).
1.4.2. Las cónicas: modelos de fenómenos mecánicos
Del arte pasamos a la ciencia. Siendo muy joven, Galileo Galilei (1564-1642)
ingresó en la Universidad de Pisa para estudiar Medicina, obligado (como solía
ocurrir en aquella época y quizás en la nuestra) por los deseos de su padre, un
hidalgo florentino, pobre pero instruido. Sin embargo, pronto encontró más exci­
tantes los enigmas de la física que la disección de los cuerpos muertos. Su espíritu
curioso empezó a plantearse muchas preguntas sobre los fenómenos que entra­
ban cada día por sus ojos: ¿El tiempo de las oscilaciones de una lámpara colgada
del techo va siendo cada vez más corto? ¿Cuáles son las leyes que rigen el movi­
miento de una piedra que se suelta desde una altura? ¿Qué trayectoria sigue la
bala de un cañón? A partir de estas preguntas, Galileo inicia una fabulosa aven­
tura científica: analiza cuidadosamente los fenómenos, hace mediciones, formula
conjeturas, realiza experimentos, efectúa cálculos matemáticos y enuncia sus
conclusiones en forma de leyes científicas que hoy todos conocemos. Pero su
mirada renacentista no se centró solamente en los fenómenos que tenía al alcan-
Lugares Geométricos. Cónicas
36
ce de la mano. Galileo también miró hacia los astros a través de un telescopio
que construyó él mismo y pudo comprobar que la luna no era lisa (como se
creía), que Júpiter tenía tres satélites girando a su alrededor y que los planetas,
incluida la Tierra, giraban en torno al Sol. Estas observaciones contradecían
frontalmente la concepción geocéntrica que, por entonces, se tenía del Universo
y Galileo, al defender públicamente sus descubrimientos como profesor de las
universidades de Pisa y de Padua, fue detenido por la Inquisición y sometido a
un largo proceso de aislamiento e interrogatorios que culminaría el 22 de junio
de 1633 en su famosa confesión. En este documento, a los 69 años de edad, el
viejo científico, para salvar su vida, reconocía que estaba equivocado y que acep­
taba las doctrinas de la Iglesia. Después, fue confinado en una casita cerca de
Florencia donde murió el 8 de enero de 1642 completamente ciego y cansado de
la vida.
Evocamos aquí la vida y la obra de Galileo, no sólo por ser paradigmáticas
del espíritu renacentista, sino porque entre sus aportaciones se encuentra el des­
cubrimiento de la trayectoria parabólica de un proyectil en ausencia de roza­
miento. Esta ley y la primera de Kepler que asigna órbitas elípticas a los planetas
demostraron la profunda relación entre matemática y realidad y favorecieron
una nueva concepción de la ciencia.
Pero Galileo, al igual que Durero, también reconoció y estudió nuevas curvas
como, por ejemplo, la cicloide, aunque su descubrimiento algunos autores (Ta­
ton; 1988, IV, 56) lo atribuyen a Charles de Bouelles (1470?-1553) quien la con­
fundió con un arco de círculo. La cicloide es la trayectoria de un punto fijo de
una circunferencia que rueda sin deslizamiento sobre una recta (fig. 1.35). Gali­
leo recortó una lámina de metal con la forma de un arco completo de esta curva
y otra con la forma del círculo generador; pesó ambas y conjeturó que el área de
FIGURA 1 .35. Cicloide.
FIGURA 1 .36. Catenaria.
la ciclóide era el triple que la del círculo. Como veremos más adelante, tal conje­
tura es verdadera. En cambio Galileo se confundió al identificar la curva forma­
da por una cadena homogénea suspendida entre dos puntos (catenaria, fig. 1.36)
con una parábola.
Otra mirada renacentista fue la de Kepler (1571-1630) que nació en la ciudad
alemana de Wil der Sadt. De padres pobres y aspecto enfermizo, gracias a su
�i
. 1!
.
,
Breve tratado de los lugares geométricos
37
inteligencia, a su trabajo y a la ayuda económica de los duques de Wurtemberg,
terminó su licenciatura a los 20 años en la universidad de Tubinga. Estudió luego
1
Teología durante tres años pero abandonó esos estudios para ocupar una plaza
como profesor de Matemáticas de Graz. En su primera obra, Mysterium Cosmographicum, publicada cuando tenía 25 años, defiende abiertamente las teorías
heliocéntricas de Copérnico, aunque mezcla en sus discusiones razonamientos
tan "místicos" como el siguiente: Puesto que sólo hay cinco poliedros regulares y
éstos pueden colocarse concéntricamente de forma que aparecen seis esferas
f alternativamente inscritas y circunscritas, sólo podrá haber seis planetas. (En
aquella época, en efecto, sólo se conocían seis planetas).
A pesar de los excesos de fervor geométrico, el libro de Kepler fue bien acogi­
do por Galileo y también por Tycho Brahe, astrónomo del emperador Rodolfo 11,
quien le propuso convertirse en su ayudante. Kepler aceptó y trabajó a su lado,
heredando a su muerte el cargo de astrónomo imperial y las abundantes y preci­
sas tablas de mediciones astronómicas que Tycho había elaborado a lo largo de
su vida. De este modo, Kepler, al analizar las observaciones sobre el movimiento
de Marte, concluyó que ningún sistema basado en la combinación de circunfe­
rencias podía explicar su órbita. Como conocía perfectamente las obras de los
grandes matemáticos griegos (Euclides, Arquímedes y Apolonio), probó con
otras figuras geométricas y, tras diez años de intenso trabajo, en 1609, publicó sus
descubrimientos en el libro Astronomía Nova. Estos descubrimientos pueden
resumirse en lo que hoy llamamos primera y segunda ley de Kepler: todos los
planetas recorren órbitas elípticas teniendo al sol en uno de sus focos, y el radio
vector que une el sol con un planeta recorre áreas iguales en tiempos iguales.
Más adelante, en 1619, en el libro Harmonices, Mundi, Libri, Kepler publica su
tercera ley sobre el movimiento de los planetas: los cuadrados de los periodos de
los planetas son proporcionales a los cubos de sus respectivas distancias medias
al sol. Así, con sus tres leyes, Kepler había abierto las puertas del Misterio Cós­
mico; medio siglo después, Newton, apoyándose en ellas, haría posible el viaje a
través de él.
Kepler fue también un matemático competente. En relación con las cónicas,
además de dar nombre al foco (como punto ocupado por el so1), desarrolla un
principio de continuidad unificado de todas ellas. A partir de la sección cónica
formada simplemente por dos rectas secantes, en las que los focos coinciden
con el punto de intersección, podemos pasar gradualmente por una familia infi­
nita de hipérbolas según uno de los focos se va alejando del otro. Cuando se ha
alejado infinitamente, tenemos una parábola y al traspasar el punto del infinito
y acercarse de nuevo por el otro lado, se va obteniendo una familia de elipses
hasta que, cuando los dos focos coinciden de nuevo, aparece una circunferen­
cia. Esta idea sería aprovechada más tarde por Desargues y la geometría pro­
yectiva.
También determinó el área de la elipse de ejes 2a y 2b a partir de la del círcu­
lo de diámetro 2a. Puesto que la relación entre las ordenadas de ambas figuras es
b/a y (según Oresme) el área está formada por todas las ordenadas, también ésta
debe ser la razón de las áreas. Como la del círculo es 1tllz, la de la elipse será 1tllb.
I
l·
,¡l
Lugares Geométricos. Cónicas
38
Para la longitud dio la fórmula aproximada n(a+b). Su cálculo exacto requiere
técnicas que aún tardarían en descubrirse más de medio siglo.
1.5. Aportaciones de la
1.5.1.
geometría analítica
Los lugares geométricos en el origen de la geometría analítica
A comienzo del s. XVII se fraguan las primeras ideas sobre un nuevo método
para enfocar los problemas geométricos que, dos siglos después, recibirá el nom­
bre de geometría analítica. Sus principales artífices, René Descartes y Pierre
Fermat, no fueron precisamente matemáticos profesionales: el primero fue un
filósofo de amplios conocimientos científicos y el segundo un abogado y parla­
mentario de Toulousse que dedicó sus ratos libres a leer y comentar los tratados
de los matemáticos griegos. Expusieron estas ideas en sendas obras, La Geo­
metría y Ad locos planos et solidos isagoge, que marcan el comienzo de una gran
transformación. Sin embargo, según Collette (1985; 11, 27), "ni Descartes ni
Fermat inventaron el uso de las coordenadas o de métodos analíticos, y ni uno ni
otro fueron los primeros en aplicar el álgebra a la geometría o en representar
gráficamente las variables. La contribución independiente de cada uno reposa
esencialmente en el reconocimiento de que una ecuación dada con dos incógni­
tas puede considerarse como la determinación de una curva plana, con respecto
a un sistema de coordenadas. Además, si se añaden a esto los métodos algorítmi­
cos desarrollados por cada uno para unir estrechamente la ecuación y la curva
correspondiente, todo ello bastará para atribuirles el mérito de ser los fundado­
res de la geometría analítica".
Descartes(1596-1650) estaba más interesado por la resolución geométrica de
las ecuaciones algebraicas con dos variables y encontró métodos para construir
geométricamente los valores de una variable fijados los de la otra. Aplicó estos
procedimientos a la resolución del famoso problema de Pappus sobre la determi­
nación del lugar de las cuatro rectas (fig. 1 .37) : dadas cuatro rectas de un plano, r,
s, t y u, hallar el lugar geométrico de los puntos P tales que el producto de los seg-
\
\
\
\
\
\
- - - -;0.- - - - --- p
FIGURA 1.37.
B
s
Breve tratado de los lugares geométricos
39
mentos PA Y PB trazados con un ángulo fijo a las rectas r y s es proporcional al
producto de los segmentos PC y PD trazados a t y u con el mismo ángulo.
Descartes simboliza con x la longitud del segmento OA y con y la del segmento
PA. Expresa las distancias PB, PC y PD como expresiones lineales en x e y con
coeficientes determinados por los segmentos y los ángulos fijos. Mediante razo­
namientos geométricos y el uso de notaciones apropiadas, llega a una ecuación
de la forma
y2
=
ay- bxy + cx- dx2
que identifica con una recta, una parábola, una elipse o una hipérbola según sean
los coeficientes.
Hasta aquí había llegado también Pappus por métodos sintéticos (subepígra­
fe 1.3.1). Pero Descartes, animado por este resultado, se plantea la generaliza­
ción del problema para más de cuatro rectas, casos que Pappus había sido inca­
paz de resolver. Descubre que para cinco o seis rectas el lugar geométrico es una
cúbica, para siete u ocho es una cuártica y así sucesivamente. En particular para
cinco rectas como las de la figura 1.38, tomando como constante de proporciona­
lidad la distanc�a a entre ellas, se obtiene como ecuación del lugar:
x
y
FIGURA 1 .38. Parábola cartesiana o tridente.
(a H) (a-x) (2a-x)
=
axy <=> x3 2ax2- a2x + 2a3 = axy,
-
una cúbica que Newton llamará parábola cartesiana o tridente. Sin embargo,
Descartes no dibujó nunca esta curva ni otras de grado superior, como los óva­
los, que descubrió cuando estudiaba algunos problemas de óptica y que se defi­
nen como el lugar geométrico de los puntos P tales que mPF + nPP constante"
siendo F y P dos puntos fijos. A él no le interesaba la forma de estos lugares,
sino estudiar las posibilidades de construir geométricamente sus puntos, es
decir, fijado un valor de la x, analizar cómo podría trazarse el correspondiente
valor de y.
=
Lugares Geométricos. Cónicas
40
Fermat, por su parte, en su intento de reconstruir los Lugares planos de Apo­
lonio, descubrió, un año antes de que apareciese la Geometría de Descartes, "el
principio fundamental de la geometría analítica: Siempre que en una ecuación
final aparezcan dos cantidades incógnitas, tenemos un lugar geométrico, al des­
cribir el extremo de una de ellas una línea, recta o curva" (Boyer; 1986, 437). Su
punto de partida, por lo tanto, son las ecuaciones algebraicas de dos variables
cuya representación realiza tomando una línea recta r, en la que señala los seg­
mentos OA, OAI, etc., cuyas longitudes son los valores de la x y sobre los puntos
A, Al, etc. dibuja los segmentos AB, AH, etc., cuyas longitudes son los corres­
pondientes valores de la y (fig. 1 .39). De este modo demuestra que todas las
ecuaciones de primer grado representan líneas rectas y las de segundo grado una
o
A
FIGURA 1.39.
cónica o un par de rectas. Fermat no pasó de este punto pero dejó clara su idea
de que la ecuación es la expresión algebraica de las propiedades que caracterizan
el lugar geométrico.
1.5.2.
Ampliación del concepto de lugar geométrico
La geometría analítica, por tanto, amplió el concepto de lugar geométrico al
incluir bajo su dominio, con pleno derecho, las ecuaciones algebraicas de dos
variables, es decir, las llamadas curvas algebraicas. Un ente algebraico tomó, de
este modo, naturaleza geométrica.
Durante la segunda mitad del siglo XVII y comienzos del siglo XVIII los nue­
vos métodos analíticos se fueron difundiendo, perfeccionando y completando
muy lentamente. Dos obras sobre las cónicas ocupan un lugar destacado en este
proceso: el Tractatus de sectionibus conicis, de John Wallis (1617-1703) y los
Elementa curvarum linearun, de Jan de Witt (1629-1672). En la primera, Wallis,
capellán del rey y profesor de geometría de Oxford, deduce todas las propieda­
des conocidas de las cónicas a partir de las ecuaciones obtenidas de las relaciones
de Apolonio (subepígrafe 1.2.3) y considera estas ecuaciones como las definicio­
nes de las secciones cónicas, con lo que se aproxima a la concepción moderna de
Breve tratado de los lugares geométricos
41
sección cónica como lugar geométrico de los puntos que satisfacen una ecuación
algebraica de segundo grado. La obra de De Witt tiene bastantes semejanzas con
la de Wallis, por lo que éste le acusó de imitación, aunque lo cierto es que se
trata de trabajos independientes. De Witt la escribió cuando tenía 26 años, antes
de llegar a ser primer ministro de los Países Bajos, y, en ella, mediante el uso sis­
temático de coordenadas, llega a reducir ciertas ecuaciones de segundo grado a
su forma canónica identificando la curva correspondiente. En la primera parte
introduce la definición de las cónicas utilizando para todas ellas la razón de las
distancias al foco y a la directriz (término introducido por él) tal como se hace
habitualmente en el caso de la parábola.
En efecto, una cónica puede definirse como el lugar geométrico de los puntos
del plano tales que el cociente entre sus distancias a un punto fijo, denominado
foco, y a una línea recta, denominada directriz, es siempre el mismo, es decir, es
constante; cuando esta constante es menor que la unidad, la cónica es una elipse,
cuando es igual, una parábola, y cuando es mayor, una hipérbola. Veamos una
justificación con razonamientos sintéticos de la equivalencia de esta definición
con la clásica de Apolonio para el caso de la elipse.
Dada una sección cónica determinada por el plano ex, como la elipse de la
figura 1.40, se considera una esfera tangente al cono y al plano ex; a éste lo toca
precisamente en uno de los focos F y al cono en una circunferencia. El plano �
FIGURA 1 .40. Propiedad foco-directriz en la elipse.
que contiene a esta circunferencia corta al plano ex de la sección en una línea
recta d que es una directriz. En efecto, consideremos un punto cualquiera P de la '
elipse y la circunferencia que pasa por él. Si pi es su proyección sobre el eje de la
elipse, la distancia de P a la recta d, Pd, es igual a la longitud del segmento pn. Por
otro lado, la generatriz que pasa por P toca a la esfera en T, luego PF PT eB.
=
=
Lugares Geométricos. Cónicas
42
Como se aprecia en la sección axial representada en la figura 1.41, aplicando el
Teorema de Tales, tendremos:
CB AB � PF
P'D AD Pd
- =
-
-=
..,... - - - .......
/
I
//
B
\
o
AB
AD
-
8'
\
I
I
/
e'
��__________�__�
'�
' __�
/�/
��__�A
__
A
�
p'
e
FIGURA 1.41.
Como la razón AB/AD no depende del punto P escogido, el cociente PF/Pd
es constante, como queríamos demostrar. Si hubiésemos escogido la esfera tan­
gente al cono por "debajo" del plano a, hubiésemos encontrado el otro foco y
su directriz correspondiente, lo que prueba la existencia de dos directrices para
la elipse. También analíticamente se puede comprobar que este lugar geométri­
co es una elipse. (Eligiendo el sistema de referencia habitual, como directriz la
recta x = a21c, o x -a21c, y como razón la constante da, se llega a la ecuación
canónica). Análogas demostraciones pueden reproducirse para los casos de la
hipérbola y de la parábola. La razón constante es la excentricidad de la cónica.
Después de estos trabajos de Wallis y De Witt, se inicia un largo camino
para explorar las curvas algebraicas de grado superior a dos admitidas ya con
todo derecho en el campo de los lugares geométricos. Un primer avance lo rea­
liza Newton (1642-1727) a finales del siglo XVII con su obra Enumeratio linea­
rum tertii ordinis ("Enumeración de las curvas ,de tercer grado"), en la cual
cataloga setenta y dos tipos de cúbicas y dibuja cuidadosamente una curva de
cada tipo, usando por primera vez los dos ejes de coordenadas incluidos los
valores negativos. Trece años después de aparecer esta obra, James Stirling
(1692-1770), otro matemático inglés, amigo de Newton, publica Lineae tertii
ordinis Newtonianae, en la cual completa su clasificación de las cúbicas aña­
diendo cuatro tipos nuevos y demuestra algunas propiedades de carácter gene­
ral sobre intersecciones, asíntotas, etc. La exploración continúa hasta nuestros
dias incorporando técnicas del análisis, de la topología, del álgebra conmutati­
va, etc., cuya descripción supera ya los límites de este trabajo.
=
Breve tratado de los lugares geométricos
43
1.6. ReJaciones con eJ cáJcuJo infinitesimal
1.6.1. La cicloide, cuerpo de celos y desvelos
En el siglo XVII, ganarse la vida como matemático profesional no fue una
tarea fácil y, tal vez, por eso hubo tantos ilustres "aficionados". El caso de Gilles
Persone de Roberval (1602-1675), aunque extremo, puede ilustrar esta afirma­
ción. De origen humilde, llega a París con un buen bagaje científico y humanísti­
co y en 1634 gana la cátedra de Ramus en el Colegio Real de Francia que ocupa
hasta su muerte. Ahora bien, el reglamento de este colegio "exigía que el puesto
de titular de una cátedra fuera: sometido, cada trés años, a una oposición prepa­
rada por el titular del momento, debiendo recaer el puesto en el que fuese decla­
rado vencedor. Por ello, Roberval fue siempre candidato y, para conservar cierta
superioridad sobre sus rivales, tuvo que ocultar los resultados de sus trabajos
para servirse de ellos cada tres años, en cada oposición. No hay, pues, que sor­
prenderse de que no publicara casi nada mientras vivió, y se le ha atribuido injus­
tamente una reputación de hombre taimado. Sin embargo, a lo largo de su vida,
perdió el crédito asociado a la mayoría de sus descubrimientos y, poseyendo ade­
más un carácter íntegro, se vio envuelto en numerosos litigios de prioridad"
(Collete; 1985, 11, 37). Uno de ellos fue acerca de la cicloide. Roberval corroboró
la conjetura de Galileo (subepígrafe 1.4.2) demostrando, hacia 1634, que el área
encerrada por un arco de cicloide era igual a tres veces el área del círculo genera­
dor. Cuatro años después, aproximadamente, descubrió un método para trazar la
tangente a la cicloide en uno cualquiera de sus puntos, problema que también
resolvieron más o menos a la vez Fermat y Descartes empleando métodos alge­
braicos frente al método cinemático de Roberval, quien, como siempre, no publi­
có estos descubrimientos para poder proponerlos como problemas a los futuros
candidatos a su cátedra. Este hecho generó ya una cierta tensión entre Descartes
y Roberval. Pero el mayor litigio surgió cuando un destacado discípulo de Ga­
lileo, Evangelista Torricelli (1608-1647), desconocedor de que estos resultados
habían sido ya alcanzados por Roberval, Fermat y Descartes, publica en 1644, en
el apéndice de su libro De parabo/e, la cuadratura de la cicloide y la construcción
de la tangente empleando el mismo método que Roberval y sin hacer ninguna
referencia a la prioridad de éste en el descubrimiento. Roberval le escribió una
carta acusándole de plagio que creó una larga y agria polémica entre ambos.
Intervino en ella el mismísimo Blaise Pascal (1623-1662) quien, catorce años des­
pués, ya muerto Torricelli, escribió una Historia de la cicloide en la que concede
a Roberval la prioridad en la consecución de aquellos resultados. Antes, había
convocado un concurso dirigido a los matemáticos que consistía en resolver
media docena de cuestiones sobre la cicloide. En el jurado estaba, naturalmente,
Roberval y, aunque no tuvo mucho éxito, fue una muestra del interés que suscitó
esta curva en los años centrales del siglo XVII.
Un científico holandés de amplios y profundos conocimientos en fi�ica y
astronomía, Christian Huygens
(1629-1695),
por aquella misma época, estaba
preocupado por adaptar el péndulo a la regulación de los relojes, para lo cual
44
Lugares Geométricos. Cónicas
necesitaba construir un péndulo totalmente isócrono, es decir, cuyo período de
oscilación fuese independiente de la amplitud, lo cual sólo ocurre en el péndulo
simple para amplitudes muy pequeñas. Huygens descubrió que, sobre un arco de
cicloide invertida, un objeto (una canica, por ejemplo) abandonado a su propio
peso, en ausencia de rozamiento se deslizará desde cualquier punto al punto más
bajo exactamente en el mismo tiempo, independientemente del punto de partida
(fig. 1 .42). El siguiente paso era conseguir un péndulo que oscilase describiendo
un arco de cicloide en lugar de un arco circular.
FIGURA 1.42. Sobre una cicloide, las canicas A y B tardan el mismo tiempo en llegar a P.
Según Boyer (1986; 473-4), "en la resolución de este problema hizo Huygens
otro descubrimiento de una gran belleza: Si suspendemos del punto P, que es el
punto cuspidal entre dos semiarcos de una cicloide invertida PQ y PR (fig. 1 .43),
un péndulo cuya longitud sea exactamente igual a la longitud común de dichos
semiarcos, entonces la lenteja del péndulo oscilará describiendo un arco que es
un arco de cicloide QSR exactamente de la misma forma y tamaño que el de la
cicloide de semiarcos PQ y PRo Dicho en otros términos, si el péndulo de un
reloj oscilase entre guías cicloides, entonces sería verdaderamente isócrono.
Huygens construyó varios relojes de péndulo con guías cicloidales, pero descu­
brió que, debido a los rozamientos, entre otras causas, no funcionaban con más
exactitud que los que accionaban las oscilaciones de un péndulo simple ordinap
R
Q
/
C:(
"
/
P
S
FIGURA 1 .43.
rio, las cuales son casi isócronas para oscilaciones de amplitud muy pequeña. A
pesar de sus escasos resultados prácticos, las investigaciones de Huygens le con­
dujeron a un descubrimiento de gran importancia matemática: la involuta (lla-
45
Breve tratado de los lugares geométricos
mada también evolvente) de una cicloide es otra cicloide igual, o, inversamente,
la evoluta de una cicloide es otra cicloide igual a ella. ( ... ) Si se hallan las norma­
les a una curva en dos de sus puntos próximos P y Q (fig. 1.44), así como su
punto de intersección 1, entonces, según Q va acercándose a P a lo largo de la
curva, el punto variable 1 va tendiendo a un punto fijo O que se llama el centro
de curvatura de la curva en el punto P, y a la distancia OP se la conoce como el
radio de curvatura de la curva en P. El lugar geométrico de los centros de curva-
FIGURA 1 .44.
tura O correspondientes a los puntos P de una curva dada C¡ constituyen otra
curva Ce que se conoce como la evoluta de la C¡ y a cualquier curva C¡ de la que
Ce sea su evoluta, recibe el nombre de una involuta (o evolvente) de la curva Ce.
Es inmediato comprobar que la envolvente de las normales a C¡ es Ce curva tan­
gente a cada una de dichas normales. En la figura 1.43 la curva QPR es la evoluta
de la curva QSR, y la curva QSR es una involuta de la curva QPR. Las sucesivas
posiciones de la cuerda, según oscila la lenteja del péndulo, son las normales a
QSR y
tangentes a
QPR. Según va
acercándose el péndulo a una de sus posicio­
nes extremas a uno u otro lado, la cuerda va enrollándose cada vez más en la
correspondiente guía cicloidal, mientras que según desciende la lenteja hacia el
punto más bajo S de su trayectoria, la cuerda se va desenrollando".
En general, si imaginamos un hilo inextensible arrollado sobre una curva C y
prolongado tangencialmente a ella, entonces al desenrollar el hilo, un punto fijo
de su prolongación describe una curva e que es una evolvente ("evolvere"
sarrollar) tal como muestra la figura
1.45;
=
de­
tomando diferentes puntos del hilo se
obtienen las infinitas evolventes de la curva e considerada como evoluta.
Huygens aprovechó este hecho para detenninar la longitud de un arco completo
de cicloide: como se �precia en la figura 1.43, el péndulo PS se desenrolla del
arco PO y por tanto sus longitudes son iguales; como la longitud de PS es igual al
doble del diámetro del círculo generador, necesariamente la del arco completo
de cicloide será cuatro veces la de este círculo.
Huygens fundó la teoría de evolutas y evolventes y demostró algunas propie­
dades generales como la siguiente: la evoluta de una curva algebraica es también
algebraica y rectificable; en particular, la evoluta de una elipse es una astroide
46
Lugares Geométricos. Cónicas
e'
FIGURA 1 .45. Trazado de una evolvente C' de una curva C.
"alargada" en la dirección de los ejes de coordenadas. Demostró también que la
catenaria no es una curva algebraica y estudió algunas propiedades de una de sus
'
evolventes: la tractriz (fig. 1.46). Huygens publicó estas investigaciones en 1673
en su famoso libro Horologium oscillatorium. Veintitrés años después, ya a fina-
FIGURA 1 .46. La tractriz como evolvente de la catenaria.
les de siglo, el físico y matemático suizo lean Bernouilli (1667-1748) propone, en
el Acta Eruditorum, el siguiente problema: Dados dos puntos, el primero, A,
colocado en un nivel más alto que el segundo, B, y en distinta vertical, hallar una
curva tal que una canica, rodando sin fricción, llegue de A a B en el menor tiem­
po posible. Contra toda sospecha intuitiva la curva solución, llamada braquisto­
crona ( braquisto corto, crono = tiempo), es la cicloide (fig. 1.47). El propio
lean encontró una demostración errónea que luego fue rectificada por su herma­
no mayor lacques (y por otros matemáticos como Leibniz y Newton), lo que
generó una cierta enemistad entre ellos. La solución de lacques es particular­
mente interesante porque utiliza la estrategia de convertir este problema en otro
equivalente relativo al paso de un rayo de luz refractado por varias capas de
material transparente con densidades decrecientes. (Para más detalles, véase
Courant y Robbins; 1974, 389-393).
=
Breve tratado de los lugares geométricos
47
FIGURA 1 .47. Desde el punto A, una canica emplea el menor tiempo
posible en llegar·a B si recorre una cicloide.
El interés que suscitó la cicloide entre los científicos del s. xvn, las polémicas
que encendió entre ellos y la belleza de todas estas propiedades (y otras, como la
de ser el arco de mayor resistencia estructural) hicieron que esta curva fuese lla­
mada la Helena de la geometría, un cuerpo de celos y desvelos.
1.6.2. Los lugares geométricos y el cálculo infinitesimal
El cálculo infinitesimal construye métodos sistemáticos y generales para abor­
dar el estudio de muchos problemas relativos a los lugares geométricos. En rela­
ción con el trazado de tangentes, por ejemplo, aporta una técnica que generaliza
los casos ya conocidos: cónicas, cicloides, concoides, espirales, etc. Permite, por
lo tanto, hallar la envolvente de una familia de líneas, es decir, aquella curva que
en cada uno de sus puntos es tangente a una de la familia. Problemas de este tipo
ya se le habían planteado a Kepler cuando quiso encontrar la anaclástica, una
curva tal que los rayos paralelos que se refracten en ella converjan en un mismo
punto. No pudo llegar a demostrar que esta curva era una hipérbola. En cambio,
Torricelli descubrió que la envolvente de la familia de todas las posibles trayecto­
rias del proyectil de un cañón contenidas en un mismo plano es una parábola.
Además, también las cáusticas de reflexión (o de refracción) de una curva son las
envolventes de los rayos reflejados (o r6fractados) en ella cuando parten de un
mismo punto. Jacques Bemouilli (1654-1705) demostró, por ejemplo, que la
cáustica de reflexión y de refracción de una espiral logarítmica para los rayos que
parten del polo es otra espiral logarítmica igual. Además demostró que su evolu­
ta es también otra espiral igual, por lo que, entusiasmado por esta curva, pidió
que la grabaran sobre su tumba junto con la inscripción Eadem mutata resurgo
("Aun siendo modificada, surjo de nuevo la misma"). Por desgracia, quien ejecu­
tó este encargo talló una espiral uniforme que, evidentemente, no goza de las
hermosas propiedades descubiertas por Jacques Bernouilli (fig. 1.48).
Por otro lado, una curva que tenga tangentes en todos sus puntos puede con­
siderarse como la envolvente de la familia de sus tangentes. Una elipse, por
ejemplo, puede obtenerse de la siguiente manera: en el interior de una circunfe­
rencia de centro F se elige un punto cualquiera P; se une P con todos los puntos
de la circunferencia y la envolvente de las mediatrices de estos segmentos es la
48
Lugares Geométricos. Cónicas
FIGURA 1.48. Espiral de la tumba de Jacques Bernouilli.
elipse de focos F y P (fig. 1 .49). Para la hipérbola hay que tomar el punto pi en el
exterior de la circunferencia (fig. 1 .50) y, en el caso de la parábola, hay que tomar
una recta y un punto exterior (fig. 1.51).
FIGURA 1.49. L a elipse como envolvente.
FIGURA 1 .50. La hipérbola como
FIGURA 1.51. La parábola como
envolvente.
envolvente.
lS
Breve,tratado de los lugares geométricos
49
Además de envolventes, las técnicas del análisis permiten hallar evolutas y
evolventes, y resolver, por lo tanto, numerosos problemas que, con tratamientos
puramente geométricos, pueden resultar difíciles. También se han desarrollado
métodos para hallar áreas y longitudes y para estudiar la "forma" de las curvas,
sus puntos singulares, sus asíntotas, etc. La posibilidad, por ejemplo, de represen­
tar una curva (algebraica) por la ecuación del haz de sus tangentes indujo a J.
Plücker (1801-1868) a definir el concepto de clase de una curva y a descubrir las
famosas fórmulas que relacionan el orden, la clase y los números de los diferen­
tes tipos de singularidades ordinarias de dicha curva.
:1
r
Pero no sólo el cálculo infinitesimal ha prestado sus instrumentos al análisis
de los lugares geométricos, también la geometría (como la física y otras ciencias)
ha ofrecido un ámbito extraordinario para que se configuraran, desarrollaran y
perfeccionaran tales procedimientos. La relación entre ambos campos ha sido,
por lo tanto, simbiótica y, como hemos visto, la separación que ahora se realiza
entre los dos campos es puramente artificial: en el estudio de los lugares geométricos históricamente no se desdeñó ninguna técnica que sirviera para obtener un
mejor grado de conocimiento sobre los mismos.
L7. Implicaciones didácticas
Exponemos en este apartado algunas implicaciones didácticas que se derivan
del estudio realizado sobre el desarrollo histórico de los conceptos y procedi­
mientos relacionados con el tema de los lugares geométricos. Constatamos, en
! primer lugar, que estos conocimientos se van construyendo mediante la resolu­
! ción de problemas que son
sentidos
problemas tienen orígenes diversos:
como tales por quienes los abordan. Estos
- Satisfacer o mejorar una necesidad técnica o práctica, como la construcción
de un reloj de péndulo que llevó a Huygens a encontrar varias propiedades
de la cicloide (subepígrafe 1.6.1).
- Buscar la "explicación" de un fenómeno físico o social, como la trayectoria
de los planetas que llevó a Apolonio y a Ptolomeo a construir las epicicloi­
.
des (subepígrafe 1.2.3) y a Kepler a encontrar una presencia de la elipse en
la naturaleza.
- Responder a una inquietud cultural o lúdica, como el problema de Delos
cuya resolución condujo a Menecmo al descubrimiento de las secciones
cónicas (subepígrafe 1.1.2).
- "Mejorar" conceptos o procedimientos que ya pertenecen al dominio de la
.
propia matemática, como el trazado de tangentes o el cálculo de áreas y
longitudes.
Algunos problemas se "reformulan" con el paso del tiempo: se añaden o qui­
tan condiciones; se aumenta la dimensión (del plano al espacio, por ejemplo); se
generaliza el contexto (de situaciones físicas concretas se pasa a situaciones cada
vez más abstractas), etc. De este modo, surgen constantemente nuevos problemas
50
Lugares Geométricos. Cónicas
cuyas soluciones conducen a nuevos conceptos y procedimientos. Por ejemplo, la
supresión de la condición de usar sólo la regla y el compás en los tres problemas
clásicos facilitó el descubrimiento de algunos lugares geométricos (cónicas, trisec­
triz, cuadratriz, concoide de Nicomedes... ); la generalización del problema de jas
tres o cuatro rectas le permitió a Descartes mventar las curvas algebraicas y am­
pliar el concepto de lugar geométrico (subepígrafe 1 .5.1). En el proceso de reso­
lución intervienen con frecuencia ideas de otras ciencias (por ejemplo, el trazado
cinemático de la tangente según Roberval y Torricelli) y se emplean todos los
métodos disponibles: sintéticos, analíticos, infinitesimales, mecánicos ... , aunque
en cada problema un tratamiento puede ser más eficaz que otro. Encerrarse en
un sólo ámbito puede conducir a la esterilidad.
Los conceptos y, sobre todo, los procedimientos, se van construyendo lenta­
mente a partir de tanteos, exploraciones, aproximaciones, formulaciones de con­
jeturas, etc. Muchas veces, en una primera etapa se producen "errores" que se
van corrigiendo cuando se formalizan posteriormente. En nuestro recorrido his­
tórico hemos encontrado bastantes ejemplos. Galileo confundió la catenaria con
una parábola pero conjeturó con buen tino que el área de un arco de cicloide era
cuatro veces la del círculo generador, empleando un método experimental (sub­
epígrafe 1 .4.2). Kepler aproximó la longitud de una elipse mediante la fórmula
1t( a+b) y hallar su verdadero valor llevaría dos siglos después a la invención de
las integrales y funciones elípticas.
Los conceptos, las estructuras conceptuales y los procedimientos matemáti­
cos, relacionándose unos con otros, se organizan y tienden a engendrar otros más
generales, es decir, más abstractos y/o con mayor ámbito de aplicabilidad. Por
ejemplo, hemos visto cómo las cónicas fueron, en primer lugar, secciones de un
cono, luego lugares geométricos planos caracterizados por las propiedades foca­
les o foco-directriz y, finalmente, una ecuación algebraica de segundo grado. El
concepto de lugar geométrico se amplió hasta incluir en él las ecuaciones alge­
braicas y, en general, las de cualquier curva (catenarias, cicloides, epicicloides,
etc.). Por tanto, se trata de conocimientos en continua evolución, donde algunos
pueden quedar obsoletos y otros se revisan para ampliar su significado o para
relegarlos a un segundo plano, como ha ocurrido con ciertas curvas griegas: tri­
sectriz, concoide de Nicomedes, etc.
De todo este análisis se deduce que el camino para aprender los conceptos y
procedimientos matemáticos ha de partir de un problema con sentido para los
estudiantes. Ya vimos cómo Pappus no abordó el problema de las ocho rectas
porque no tenía sentido para él el producto de cuatro segmentos: un producto
de dos segmentos representaba una superficie, tres un volumen, cuatro ... (sub­
epígrafe 1 .4.1). Los estudiantes deben encontrar sentido, significado, a los pro­
blemas para que los asuman como propios, para que se genere en ellos una cier­
ta tensión epistémica, un cierto deseo de saber, y pueda iniciarse el proceso de
aprendizaje. Esto no se consigue, muchas veces, trasvasando literalmente los
problemas que originaron el concepto o el procedimiento; es necesario reformu­
larIos o buscar otros cercanos a lo habitual, a lo ya conocido, pero a la vez desa­
fiantes y novedosos.
Breve tratado de los lugares geométricos
51
Además, el método de enseñanza debe permitir el uso del razonamiento
inductivo: explorar, tantear, buscar ejemplos y contraejemplos, analizar casos
particulares, formular conjeturas,... El trabajo práctico manipulativo con modelos
materiales y otros recursos puede ser una actividad instructiva muy importante
para promover este tipo de razonamiento. Luego debe venir una etapa de siste­
matización y formalización (hasta donde lo permita la capacidad de los estudian­
tes) en la que predomine ya el razonamiento deductivo. La formulación rigurosa
es la última fase en la construcción del conocimiento matemático, no la primera.
En segundo lugar, hemos comprobado, en nuestro análisis de la evolución
histórica, que las matemáticas no sólo son conceptos y procedimientos específi­
cos; también son un conjunto de estrategias cognitivas generales que actúan en
tres ámbitos distintos pero complementarios: resolución de problemas, descubri­
miento de propiedades o invención de conceptos y evaluación de conjeturas.
Muchas de ellas sirven para los tres ámbitos y otras tienen un uso más restringi. do. Entre las que hemos encontrado en nuestro anterior recorrido citaremos, a
modo de ejemplo, las siguientes:
- Análisis: esta estrategia para evaluar una conjetura o proposición p consiste
en buscar una cadena de proposiciones equivalentes a ella hasta llegar a
una proposición q ya conocida, en cuyo caso p es verdadera, o a una con­
tradicción, en cuyo caso p es falsa; esta técnica aplicada al ámbito de la
resolución de problemas sería semejante a la de "empezar el problema por
el final, por lo desconocido", enfoque usual de los problemas en geometría
analítica.
- Síntesis: es otra estrategia demostrativa, preferida por los griegos, que con­
siste en partir de varias proposiciones ya conocidas y, mediante argumentos
lógicos o deductivos, llegar a la proposición o conjetura que se desea pro­
bar; la obra de Apolonio sobre las cónicas es un modelo paradigmático del
uso de esta estrategia.
- Construcción de dibujos y modelos materiales: es una técnica polivalente e
imprescindible en geometría y otras .ciencias (mecánica, astronomía, etc.):
láminas recortadas con formas geométricas para estimar áreas (como hizo
Galileo), discos articulados o varillas para el trazado de curvas (como el
elipsógrafo de Arquímedes, epígrafe 2.6, 4.5.2), conos de cartón para anali­
zar sus secciones, etc.
- Búsqueda de regularidades, pautas o analogías: es una estrategia útil en el
descubrimiento de propiedades o invención de conceptos: definiciones uni­
ficadas de las cónicas (como lugar geométrico caracterizado por la razón de
la distancia foco-directriz, como ecuación algebraica, como proyección de
un círculo ...), principio de continuidad de Kepler (subepígrafe 1 .4.2); rela­
ciones entre la elipse y la circunferencia, etc.
- Generalización: relacionada con la anterior, esta estrategia se puede aplicar
a conceptos, a procedimientos y a problemas; Descartes, por ejemplo,
generaliza el problema de Pappus y encuentra las curvas algebraicas de
grado mayor que dos (subepígrafe 1.5.1).
52
Lugares Geométricos. Cónicas
- Análisis de posibilidades: esta técnica permite, por ejemplo, hallar todos los
tipos de curvas que se obtienen al seccionar un cono.
- Clasificación: suele ir ligada a la estrategia anterior y a la búsqueda de ana­
logías; los griegos hicieron una clasificación de los lugares geométricos
según su constructibilidad, Descartes la hizo por el grado de la ecuación
que los representa, Newton intentó clasificar las cúbicas; en cualquier caso,
clasificar conduce, en muchas ocasiones, a la invención de nuevos concep­
tos y de nuevos procedimientos.
- Estimación: se emplea esta estrategia como una primera aproximación (a
veces suficiente) a la solución de algún problema; hemos encontrado ejem­
plos en la determinación del área de un círculo, de una cicloide, longitud de
una elipse, etc.
- Variación de condiciones: es una técnica que puede servir para resolver
problemas, como ocurrió con los tres problemas clásicos al ir "relajando" la
condición de usar sólo la regla y el compás; pero también puede conducir a
la formulación de conjeturas si se varía la hipótesis de un teorema o, inclu­
so, se cambia por la tesis: la ecuación de cualquier cónica es de segundo
grado, ¿toda ecuación de segundo grado representa a una cónica?
Estas y otras estrategias cognitivas, comunes a muchas otras ciencias, deben
ser enseñadas como un contenido de aprendizaje en las mismas condiciones que
los conceptos y los procedimientos más específicos.
Hemos constatado, fmalmente, que las matemáticas fueron construidas (están
siendo construidas) por personas de carne y hueso, inmersas en un mundo con
unas características bien concretas que condicionaron enormemente su trabajo; y,
junto con algunas actitudes negativas, podemos reconocer en ellas muchas actitu­
des dignas de ser enseñadas a los jóvenes estudiantes si queremos aspirar a una
formación integral de su personalidad. Hay en estas personas (no siempre mate­
máticos profesionales ni científicos) curiosidad e interés por investigar y resolver
problemas que la mayoría de las veces necesitan concentración y tenacidad
(recordemos el esfuerzo de Kepler para caracterizar el movimiento de los plane­
tas). Además, se observa en muchos casos una actitud "lúdica" y desinteresada
para enfrentarse con problemas aparentemente con poco contenido científico o
con escaso interés instrumental o práctico (como el caso de los matemáticos grie­
gos frente a los tres problemas clásicos). Al mismo tiempo, mantienen una auto­
nomía y una independencia intelectual exentas de prejuicios religiosos, políticos
o culturales (paradigmático es el caso de Galileo). Los resultados obtenidos son
comúnicados a los demás para ser juzgados y revisados mediante cartas, discusio­
nes en academias, artículos en revistas, libros, etc. Esto genera satisfacciones per­
sonales para el autor y también, en algún caso, recelo por el reconocimiento
social, pero, sobre todo, fomenta la actitud crítica, favorece la flexibilidad para
admitir las formulaciones de los demás y para cambiar si es preciso las propias, y,
al mismo tiempo, permite a otros construir nuevos conocimientos (Fermat hizo
muchos de sus descubrimientos cuando revisaba obras clásicas; Stirling mejoró la
clasificación de las cúbicas realizada por Newton; Jacques Bernouilli detectó un
53
Breve tratado de los lugares geométricos
,
error en el razonamiento de su hermano Jean para encontrar la curva braquisto­
erona, etc.). Estas y otras actitudes son muy valiosas en un mundo tan cambiante
y contradictorio como el que nos ha tocado vivir. Parece necesario, por lo tanto,
fomentar en los estudiantes todo este cúmulo de actitudes y cambiar las contra­
rias porque, desde este sustrato afectivo, se enfrentan al aprendizaje de los con­
ceptos, de los procedimientos específicos y de las estrategias generales, condicio­
nándolo positiva o negativamente.
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2
PRESENCIA DE LOS LUGARES GEOMÉTRICOS EN LA VIDA
COTIDIANA, EN LA CIENCIA, EN LA TÉCNICA
Y EN EL ARTE
Completando la revisión científica del tema que nos ocupa, en este capítulo
describimos algunas presencias de los lugares geométricos en la "realidad".
Hemos seleccionado sólo aquéllas que, a nuestro juicio, tienen más posibilidades
de ser utilizadas en la Educación Secundaria. En el último apartado señalamos
algunas implicaciones didácticas que se derivan de este análisis el cual servirá
como elemento de referencia para las propuestas curriculares que desarrollare­
mos en los dos capítulos siguientes.
2.1. Los lugares geométricos en la vida cotidiana
Sin duda, es la circunferencia el lugar geométrico plano más abundante en la
vida cotidiana, aunque rara vez la veamos como tal porque, normalmente,
miramos los objetos circulares con una cierta perspectiva y entonces lo que
vemos en realidad son elipses. Por ejemplo, si nos disponemos a comer, la con­
templación de la mesa ya preparada es una sinfonía de elipses (fig. 2.1); si, ade-
FIGURA 2.1. Elipses en la mesa.