Año 2010 (Específica)

Selectividad
Junio 2010 (Prueba Específica)
JUNIO 2010
Opción A
1.- Discute y resuelve según los distintos valores del parámetro a el siguiente sistema de
ecuaciones:
a 2 x + a 3 y + az = 1

2
 x+a y+z =0
2.- Una panadería se dedica a la elaboración y venta de magdalenas caseras. El coste en euros de
35
producir diariamente x kg de magdalenas viene dado por la función f (x) = 0,02x3 – 0,3x2 +
x. El
6
precio de venta de 1 kg de magdalenas es 5 euros.
a) Determina la función de beneficio neto diario de la panadería por la producción y venta de
las magdalenas. ¿Cuál es el beneficio del panadero si en un día elabora y vende exactamente
5 kg de magdalenas?
b) Halla la cantidad de magdalenas que debe elaborar diariamente para conseguir el mayor
beneficio. ¿Cuál es el beneficio máximo que puede alcanzar al día por la elaboración y venta
de magdalenas?
3.- En una cofradía de Semana Santa el 60 % de sus miembros son mujeres; la mitad de ellas y el
20 % de los varones participaron en una procesión. Se elige al azar un miembro de la cofradía.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea uno de los participantes en la procesión?
b) Si la persona elegida no estuvo en la procesión, ¿cuál es la probabilidad de que se trate de
una mujer?
4.- Se elige al azar un número de 4 cifras distintas escrito con las cifras 1, 2, 3 y 4. Calcula la
probabilidad de que en dicho número las cifras 2 y 3 aparezcan seguidas y en el orden 23.
Dpto. Matemáticas
1 / 11
IES “Ramón Olleros”
Selectividad
Junio 2010 (Prueba Específica)
Opción B
1.- En un hipermercado se realiza el recuento de caja final de cierto día. En monedas de 10, 20 y 50
céntimos de euro, el importe total obtenido asciende a 500 euros. Por otro lado, se sabe que 200
euros corresponden, conjuntamente, a las monedas de 10 y 20 céntimos. Si en total se cuentan 1800
monedas, ¿cuántas monedas debe haber de 10, 20 y 50 céntimos para que la caja cuadre?
( x − 3) 2
2.- Dada la función f (x) =
.
x+3
a) Calcula sus asíntotas.
b) Determina sus intervalos de crecimiento, sus máximos y sus mínimos.
3.- La temperatura del cuerpo humano sigue una distribución normal de media 37º C y desviación
típica de 0,5º C.
a) Halla la probabilidad de que la temperatura de una persona esté comprendida entre 36,5º C y
37,5º C.
b) Si elegimos una muestra de 25 personas, ¿cuál es la probabilidad de que la media de sus
temperaturas sea mayor que 36,7º C?
4.- En un grupo de danza hay 7 mujeres y 12 hombres. Si se escogen tres personas al azar, halla la
probabilidad de que se seleccionen 2 mujeres y un hombre.
Dpto. Matemáticas
2 / 11
IES “Ramón Olleros”
Selectividad
Junio 2010 (Prueba Específica)
SOLUCIONES
Opción A
1.- Discute y resuelve según los distintos valores del parámetro a el siguiente sistema de
ecuaciones:
a 2 x + a 3 y + az = 1

2
 x+a y+z =0
Solución:
a) Consideremos la matriz de los coeficientes A y la matriz ampliada A :
 a2
A= 
1
a3
a2
 a2
A =
1

a

1
a3
a
2
a 1

1 0 
Estudiemos los rangos de estas matrices. Se tiene que la matriz A como mínimo tiene rango 1, ya
que encontramos elementos no nulos en la misma, como por ejemplo a21 = 1. Orlando dicho
elemento podemos formas dos menores de orden dos:
a2 a3
a2 a
4
3
3
= a – a = a (a – 1)
y
= a2 – a = a (a – 1)
2
1 a
1 1
Ambos menores se anulan para los valores a = 0 y a = 1.
Sin embargo, a partir del elemento a21, orlándolo con los elementos de la primera fila y los de la
columna de los términos independientes, obtenemos que:
a2 1
=–1≠0
1 0
Por tanto, el rango de la matriz ampliada siempre es 2.
Así:
•
Si a ≠ 0 y a ≠ 1 ⇒ rango A = rango A = 2 < número de incógnitas = 3 ⇒
S.C.I.
⇒ Infinitas soluciones. En este caso, tomando a z como parámetro (z = λ), tenemos el
siguiente sistema:
a 2 x + a 3 y = 1 − aλ

2
 x + a y = −λ
Resolviendo este sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas obtenemos que:
1
−1
λ
y= 3
− 2
z=λ
x=
a (a − 1)
a (a − 1) a
con λ ∈ ℝ
•
•
Si a = 0
Si a = 1
Dpto. Matemáticas
⇒
⇒
El rango A = 1 ≠ rango A = 2.
El rango A = 1 ≠ rango A = 2.
3 / 11
⇒
⇒
S.I. ⇒ Sin soluciones.
S.I. ⇒ Sin soluciones.
IES “Ramón Olleros”
Selectividad
Junio 2010 (Prueba Específica)
2.- Una panadería se dedica a la elaboración y venta de magdalenas caseras. El coste en euros de
35
producir diariamente x kg de magdalenas viene dado por la función f (x) = 0,02x3 – 0,3x2 +
x. El
6
precio de venta de 1 kg de magdalenas es 5 euros.
a) Determina la función de beneficio neto diario de la panadería por la producción y venta de
las magdalenas. ¿Cuál es el beneficio del panadero si en un día elabora y vende exactamente
5 kg de magdalenas?
b) Halla la cantidad de magdalenas que debe elaborar diariamente para conseguir el mayor
beneficio. ¿Cuál es el beneficio máximo que puede alcanzar al día por la elaboración y venta
de magdalenas?
Solución:
a) la función de beneficio neto diario de la panadería por la producción y venta de las magdalenas,
B (x), viene dada por la diferencia entre los ingresos por la venta de las magdalenas, I (x) = 5x, y los
costes de producción, f (x). Así:
35
5
B (x) = I (x) – f (x) = 5x – 0,02x3 + 0,3x2 –
x = – 0,02x3 + 0,3x2 – x
6
6
El beneficio del panadero si en un día elabora y vende exactamente 5 kg de magdalenas viene dado
por B (5):
5
5
B (5) = – 0,02 · 53 + 0,3 · 52 – · 5 = €
6
6
b) Para calcular la cantidad de magdalenas que debe elaborar diariamente para conseguir el mayor
beneficio, estudiemos la derivada primera de los beneficios B (x):
5
B ‘ (x) = – 0,06x2 + 0,6x –
6
Igualándola a cero para calcular los puntos singulares obtenemos que:
5
5
25
– 0,06x2 + 0,6x – = 0
⇒ 9x2 – 90x + 125 = 0
⇒ x=
y x=
6
3
3
Estudiemos qué son los puntos singulares que hemos obtenido a través de la derivada
segunda, B ‘’ (x):
B ‘’ (x) = –0,12x + 0,6
5
5
 
B ‘’   = –0,12 · + 0,6 = –0,2 + 0,6 = 0,4 > 0 ⇒ Mínimo.
3
 3
25
 25 
B ‘’   = –0,12 ·
+ 0,6 = –1 + 0,6 = –0,4 < 0 ⇒ Máximo.
3
 3 
Por tanto, la cantidad de magdalenas que debe elaborar diariamente para conseguir el mayor
25
 25 
beneficio es
kg. En este caso, el beneficio obtenido viene dado por B   :
3
 3 
3
2
5 25 125
 25 
 25 
 25 
B   = – 0,02 ·   + 0,3 ·   – ·
=
€ = 2,31 €
6 3
54
 3 
 3 
 3 
Dpto. Matemáticas
4 / 11
IES “Ramón Olleros”
Selectividad
Junio 2010 (Prueba Específica)
3.- En una cofradía de Semana Santa el 60 % de sus miembros son mujeres; la mitad de ellas y el
20 % de los varones participaron en una procesión. Se elige al azar un miembro de la cofradía.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea uno de los participantes en la procesión?
b) Si la persona elegida no estuvo en la procesión, ¿cuál es la probabilidad de que se trate de
una mujer?
Solución:
Para resolver este ejercicio, hagamos el siguiente diagrama de árbol, considerando los sucesos:
M: “ser mujer”.
I: “ir de procesión”.
I
0,5
M
0,5
0,6
I
0,4
I
0,2
M
0,8
I
a) La probabilidad de que sea uno de los participantes en la procesión viene dada por (teorema de la
probabilidad total):
P (I) = P (M) · P (I / M) + P ( M ) · P (I / M ) =
= 0,6 · 0,5 + 0,4 · 0,2 = 0,38
b) La probabilidad de que, sabiendo que la persona no estuvo en la procesión, se trate de una mujer,
viene dada por (teorema de Bayes):
P( M ∩ I )
0, 6·0,5
P (M / I ) =
=
= 0,4839
1 − 0,38
P( I )
4.- Se elige al azar un número de 4 cifras distintas escrito con las cifras 1, 2, 3 y 4. Calcula la
probabilidad de que en dicho número las cifras 2 y 3 aparezcan seguidas y en el orden 23.
Solución:
Utilicemos la regla de Laplace para calcular la probabilidad pedida. Dicha regla nos dice que la
probabilidad de un suceso A viene dada por:
Número de casos favorables
P (A) =
Número de casos posibles
En nuestro ejercicio, los casos posibles, que son los números de cuatro cifras distintas que se
pueden formar con las cifras 1, 2, 3 y 4, vienen dados por las permutaciones sin repetición de 4
elementos (las cifras 1, 2, 3 y 4), P4:
P4 = 4! = 24
Dpto. Matemáticas
5 / 11
IES “Ramón Olleros”
Selectividad
Junio 2010 (Prueba Específica)
Para calcular el número de casos favorables, observemos que los números de 4 cifras sin repetir que
se pueden formar con las cifras 1, 2, 3 y 4, y en los que las cifras 2 y 3 estén seguidas y en ese orden
tendrán la forma:
23__
ó
_23_
ó
__23
En cualquiera de los tres casos, los huecos estarán ocupados por las cifras 1 y 4 (sin repetir), y por
tanto, el número de posibles formas en que estén colocados viene dado por las permutaciones sin
repetición de dos elementos, P2. Así el número de casos favorables es:
Número de casos favorables = 3 · P2 = 3 · 2 = 6
Por tanto, la probabilidad pedida viene dada por:
Número de casos favorables
6 1
=
=
P (A) =
Número de casos posibles
24 4
Dpto. Matemáticas
6 / 11
IES “Ramón Olleros”
Selectividad
Junio 2010 (Prueba Específica)
Opción B
1.- En un hipermercado se realiza el recuento de caja final de cierto día. En monedas de 10, 20 y 50
céntimos de euro, el importe total obtenido asciende a 500 euros. Por otro lado, se sabe que 200
euros corresponden, conjuntamente, a las monedas de 10 y 20 céntimos. Si en total se cuentan 1800
monedas, ¿cuántas monedas debe haber de 10, 20 y 50 céntimos para que la caja cuadre?
Solución:
Sean:
x = nº de monedas de 10 céntimos.
y = nº de monedas de 20 céntimos.
z = nº de monedas de 50 céntimos.
Teniendo en cuenta los datos del problema, podemos sacar a partir del enunciado el siguiente
sistema de tres ecuaciones con las tres incógnitas antes mencionadas:
10 x + 20 y + 50 z = 50000
 x + 2 y + 5 z = 5000


⇒
 10 x + 20 y = 20000
 x + 2 y = 2000

 x + y + z = 1800
x + y + z = 1800


Se comprueba sin dificultad que es un sistema compatible determinado, pues la matriz de los
coeficientes tiene determinante no nulo.
1 2 5
1 2 0 = –5 ≠ 0
1 1 1
⇒
S.C.D.
Resolvamos este sistema por el método de Gauss:
1 2 5 5000 


f 2 → f 2 − f1
→
f 3 → f3 − f1
1 2 0 2000  
1 1 1 1800 


⇒ Solución única.
1 2 5

 0 0 −5
 0 −1 −4

5000 

−3000 
−3200 
De la segunda ecuación ya podemos despejar una de las incógnitas, z, y obtenemos que z = 600.
Sustituyendo este valor en la última ecuación hallamos el valor de y = 800. Finalmente sustituyendo
los valores de y y z en la primera ecuación obtenemos la incógnita que falta x = 400.
Por tanto en la caja había 400 monedas de 10 céntimos, 800 monedas de 20 céntimos y 600
monedas de 50 céntimos.
Dicho sistema también se podía haber resuelto utilizando la regla de Cramer:
5000 2 5
2000 2 0
x=
1800 1 1
−2000
=
= 400
1 2 5
−5
1 2 0
1 1 1
Dpto. Matemáticas
7 / 11
IES “Ramón Olleros”
Selectividad
Junio 2010 (Prueba Específica)
1 5000 5
1 2000 0
1 1800 1
−4000
y=
= 800
=
1 2 5
−5
1 2 0
1 1 1
1 2 5000
1 2 2000
z=
1 1 1800
−3000
= 600
=
1 2 5
−5
1 2 0
1 1 1
( x − 3) 2
.
x+3
a) Calcula sus asíntotas.
b) Determina sus intervalos de crecimiento, sus máximos y sus mínimos.
2.- Dada la función f (x) =
Solución:
a) En primer lugar, tengamos en cuenta que el dominio de la función f (x) es: Dom f = ℝ – {–3}.
Estudiemos las asíntotas verticales en los puntos que no pertenecen al dominio:
( x − 3) 2 (−3 − 3) 2 36
=∞
Lim f ( x) = Lim
=
=
x → −3
x → −3 x + 3
0
−3 + 3
Por tanto la recta x = –3 es una asíntota vertical.
Estudiemos las asíntotas horizontales:
( x − 3) 2
=± ∞
x → ±∞
x → ±∞ x + 3
por tratarse de una función racional en la que el grado del numerador es mayor que el grado del
denominador. Por tanto no hay asíntotas horizontales.
Lim f ( x) = Lim
Estudiemos las asíntotas oblicuas. Si existen han de ser de la forma y = mx + n, siendo m y n dos
números reales finitos que se obtienen como:
f ( x)
m = Lim
y
n = Lim [ f ( x) − mx]
x →∞
x →∞
x
Calculémoslos:
f ( x)
( x − 3)2
x2 − 6 x + 9
= Lim 2
= Lim 2
=1
x →∞
x →∞ x + 3 x
x →∞
x
x + 3x
por tratarse de una función racional en la que el grado del numerador es igual al grado del
denominador.
m = Lim
Dpto. Matemáticas
8 / 11
IES “Ramón Olleros”
Selectividad
Junio 2010 (Prueba Específica)
 ( x − 3) 2

x 2 − 6 x + 9 − x 2 − 3x
−9 x + 9
n = Lim [ f ( x) − mx] = Lim 
− x  = Lim
= Lim
= –9
x →∞
x →∞
x →∞
x+3
x+3
 x+3
 x →∞
por tratarse de una función racional en la que el grado del numerador es igual al grado del
denominador.
Por tanto, existe una asíntota oblicua cuya ecuación es y = x – 9.
b) Para estudiar la monotonía y los extremos de la función, calculemos la derivada primera:
2( x − 3)·( x + 3) − ( x − 3) 2 ·1 x 2 + 6 x − 27
f ‘ (x) =
=
( x + 3)2
( x + 3) 2
Igualándola a cero, obtenemos los puntos singulares:
x 2 + 6 x − 27
f ‘ (x) = 0
⇒
=0
⇒ x2 + 6x – 27 = 0
2
( x + 3)
⇒
x = 3 y x = –9
Representemos sobre la recta real estos puntos, junto con aquellos en los que la función no es
derivable (que en este caso coinciden con los que no pertenecen al dominio, x = –3) y estudiemos el
signo de la derivada primera en los distintos intervalos en los que ha quedado divida la recta:
+
–
−9
−
−3
+
3
Por tanto, f (x) crece en (–∞, –9) ∪ (3, +∞) y decrece en (–9, –3) ∪ (–3, 3). Teniendo en cuenta
además cómo cambia la monotonía en los puntos singulares, se llega a la conclusión de que:
• Hay un máximo en el punto (–9, –24) ya que en x = –9 la monotonía cambia de creciente a
decreciente.
• Hay un mínimo en el punto (3, 0) ya que en x = 3 la monotonía cambia de decreciente a
creciente.
3.- La temperatura del cuerpo humano sigue una distribución normal de media 37º C y desviación
típica de 0,5º C.
a) Halla la probabilidad de que la temperatura de una persona esté comprendida entre 36,5º C y
37,5º C.
b) Si elegimos una muestra de 25 personas, ¿cuál es la probabilidad de que la media de sus
temperaturas sea mayor que 36,7º C?
Solución:
a) Según los datos del problema, la variable aleatoria T, que nos da la temperatura del cuerpo
humano, sigue una distribución normal de media µ = 37º C y desviación típica σ = 0,5º C:
T ∼ N (37; 05)
La probabilidad de que la temperatura de una persona esté comprendida entre 36,5º C y 37,5º C
viene dada por:
P (36,5 < T < 37,5)
Como la variable T no sigue una distribución normal estándar, tipificamos: Z =
Dpto. Matemáticas
9 / 11
T −µ
σ
IES “Ramón Olleros”
Selectividad
Junio 2010 (Prueba Específica)
37,5 − 37 
 36, 5 − 37
P (36,5 < T < 37,5) = P 
<Z<
= P (–1 < Z < 1) = 2 P (Z < 1) – 1 = 0,6826
0,5 
 0,5
b) Se tiene que si una variable aleatoria X sigue una distribución normal de media µ y desviación
típica σ, N (µ, σ), entonces la variable aleatoria media muestral, X , sigue una distribución de
σ
media µ y desviación típica
, siendo n el tamaño de la muestra.
n
 σ 
X ∼ N  µ,

n

En el caso que nos ocupa, la variable aleatoria media de las temperaturas de las personas de la
σ
0, 5
muestra, T , sigue una distribución normal de media µ = 37º C y desviación típica
=
=
n
25
= 0,1º C:
 σ 
T ∼ N  µ,
 = N (37; 0,1)
n

Si elegimos una muestra de 25 personas, la probabilidad de que la media de sus temperaturas sea
mayor que 36,7º C viene dada por:
P ( T > 36,7)
Como la variable T no sigue una distribución normal estándar, tipificamos:
36, 7 − 37 

P ( T > 36,7) = P  Z >
= P (Z > –3) = P (Z < 3) = 0,9987
0,1 

4.- En un grupo de danza hay 7 mujeres y 12 hombres. Si se escogen tres personas al azar, halla la
probabilidad de que se seleccionen 2 mujeres y un hombre.
Solución:
Utilicemos la regla de Laplace para calcular la probabilidad pedida. Dicha regla nos dice que la
probabilidad de un suceso A viene dada por:
Número de casos favorables
P (A) =
Número de casos posibles
En nuestro ejercicio, los casos posibles, que son los grupos de tres personas que se pueden formar
con 7 mujeres y 12 hombres, vienen dados por las combinaciones sin repetición de 19 elementos en
grupos de 3, C193 :
19 
C193 =   = 969
3
Para calcular el número de casos favorables, observemos que los grupos de tres personas han de
estar formados por 2 mujeres y un hombre. El número total de casos favorables vendrá dado por
tanto por el producto:
Dpto. Matemáticas
10 / 11
IES “Ramón Olleros”
Selectividad
Junio 2010 (Prueba Específica)
 7  12 
C72 · C121 =   ·   = 21 ·12 = 252
 2  1 
Por tanto, la probabilidad pedida viene dada por:
Número de casos favorables
252 84
P (A) =
=
=
≈ 0,26
Número de casos posibles
696 323
Este problema también se puede resolver utilizando el siguiente diagrama de árbol, en el cual
elegimos a tres personas de manera consecutiva y sin devolución (M : “ser mujer”; H: “ser
hombre”):
M
M
5/17
12/17
6/18
H
M
12/18
M
H
7/19
6/17
11/17
H
M
M
12/19
6/17
11/17
7/18
H
H
11/18
M
H
7/17
10/18
H
Si se escogen tres personas al azar, la probabilidad de que se seleccionen 2 mujeres y un hombre
viene dada por tres caminos diferentes en el diagrama de árbol (teorema de la probabilidad total).
Así, si sumamos las probabilidades de esas tres ramas obtenemos:
7 6 12 7 12 6 12 7 6
12 7 6
84
P (2M y 1H) =
· · + · · + · · = 3· · ·
=
≈ 0,26
19 18 17 19 18 17 19 18 17
19 18 17 323
Dpto. Matemáticas
11 / 11
IES “Ramón Olleros”