Método del Elemento Frontera en el estudio de placas sometidas a

MEMORIAS DEL XV CONGRESO INTERNACIONAL ANUAL DE LA SOMIM
23 al 25 DE SEPTIEMBRE, 2009 CD. OBREGÓN, SONORA. MÉXICO
A5_92
Método del Elemento Frontera en el estudio de placas sometidas a temperatura
1
H. Terres1 *, J. A. Ortega2, M. Gordon1, J. R. Morales1, A. Lizardi1, A. Lara1,
Departamento de Energía, Área de Termofluidos, UAM-Azcapotzcalco, Av. San Pablo 180, Col. Reynosa Tamaulipas,
C. P. 2200, México. D. F., Tel. 5318 9061,
2
Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica, SEPI-ESIME Zacatenco, Instituto Politécnico Nacional,
Edif. 5, 3er Piso, C. P. 07738, Col. Zacatenco
[email protected], [email protected], [email protected], [email protected]
[email protected], [email protected]
RESUMEN
En este trabajo se muestran los resultados para
el caso de placas cuadradas sometidas a
condiciones de temperatura y flujo de calor en su
frontera.
El método empleado para la generación de
resultados es por medio del Método del elemento
frontera (MEF) y los resultados obtenidos son
comparados con los logrados por medio del
software ANSYS, el cual se basa en el método
del elemento finito (MEFI).
Se muestra que el MEF es un método muy
preciso para obtener el comportamiento térmico
en placas, mediante la discretización de la
frontera en las mismas, lo que simplifica su
tratamiento. Con este método, también es posible
obtener valores interiores en estas, lo que hace
mayor la descripción de su comportamiento
térmico.
Los resultados muestran que las diferencias
mayores en los resultados son de 1.7 °C y de 0.2
°C para el MEFI y MEF correspondientemente,
lo que resalta las bondades de este último en la
solución de problemas de transferencia de calor.
ABSTRACT
In this paper results for the case of square
plates subjected to conditions of temperature and
heat flux on its border are showed.
The method used for the generation of results
is via the boundary element method (FEM) and
the results are compared with those achieved by
the software ANSYS, which is based on the
finite element method (MEFI).
The MEF is a very accurate method for
obtaining the thermal behavior in plates, by
discretization of the boundary in them, which
simplifies their treatment. With this method, it is
also possible to obtain values in the inner plate,
which makes the greatest description of the
behavior in the same one.
The results show that major differences in the
results are 1.7 °C and 0.2 ° C for MEFI and MEF
correspondingly, which highlights the benefits of
the latter in solving problems of heat transfer.
ISBN 978-607-95309-1-4
1. NOMENCLATURA
MEF Método del Elemento Frontera
MEFI Método del Elemento Finito
u, T
Temperatura, °C
un, q
Flujo de calor, W/m²
Γ
Ω
H, G
P, q
Frontera
Dominio o región
Matrices
Puntos de localización
1. INTRODUCCIÓN
En muy diversas situaciones es requerido
establecer variables tales como temperatura y
flujo de calor en arreglos varios, lo que en casos
específicos es posible resolver ya sea por
técnicas experimentales o numéricas.
Sin embargo, en la obtención de las soluciones,
no siempre resultan simple el lograr los mejores
resultados, ya sea por la complejidad de los
métodos usados o por las dificultades que
presenta el trabajo experimental para tales fines.
Como una alternativa en el campo de los
estudios numéricos, se ha venido resaltando ya
desde hace tiempo, el Método del Elemento
frontera (MEF) como una técnica que posibilita
la obtención de resultados de una manera precisa
y rápida, dado que para su aplicación se requiere
tan solo de la discretización de la frontera del
dominio a considerar, lo que en gran cantidad de
arreglos prácticos puede ser muy útil, tal y como
en tuberías, estructuras, vigas etc.
Se han realizado trabajos diversos sobre el
MEF buscando en ellos dar elementos que
permitan apreciar sus bondades, alcances y
limitaciones.
Entre estos trabajos se tiene el realizado por
Zhang et al. [1], quienes mediante el MEF
lograron realizar una simulación para los
esfuerzos residuales y de contacto que ocurren en
cuerpos de formas no regulares. Sus resultados
consisten en la generación de un algoritmo con
una tolerancia razonable para la medición de
esfuerzos.
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Zhou et al. [2], aplicando las técnicas del MEF
obtuvieron un modelo para predecir la
conductividad térmica efectiva en camas de
empaquetamiento, su modelo considera los
mecanismos de transferencia de calor que
ocurren (conducción y radiación) en el proceso
de intercambio de calor entre superficies. En su
estudio consideraron un cuadrado y un exágono
como elementos en el modelado.
Atalay et al. [3], estudiaron la solución
bidimensional en estado estable para la
conducción de calor en problemas con varias
regiones en un arreglo de forma no regular. En
su trabajo propusieron para el estudio de la
transferencia de calor la aplicación del MEF en
sistemas homogéneos y heterogéneos. Sus
resultados muestran extensiones a los casos de
sistemas de elementos lineales y orden superior
teniéndose resultados muy precisos respecto de
valores teóricos.
Mera et al. [4], lograron establecer un
algoritmo numérico para determinar los
coeficientes de conductividad y los datos en la
frontera en un problema de conducción en estado
estable para un medio anisotrópico. Su algoritmo
esta basado en el MEF. Investigaron la
estabilidad y convergencia del método respecto
al número de mediciones realizadas en la
experimentación para los casos considerados.
Shiah et al. [5], aplicaron el método directo del
MEF para investigar la conducción de calor que
ocurre en compuestos de múltiples medios
anisotrópicos que incorporan fuentes de calor. En
tal estudio las subregiones contemplaron los
efectos asociados al equilibrio térmico
considerado para tal fin, lográndose con esto
establecer la distorsión que ocurre en la frontera.
En este trabajo se presentan los resultados
logrados de manera numérica para determinar la
temperatura y flujo de calor en un arreglo
cuadrado, el cual es discretizado en su frontera y
sometido a condiciones de frontera variadas.
2. TEORÍA DEL ELEMENTO FRONTERA
PARA PROBLEMAS DE POTENCIAL EN 2
DIMENSIONES
Una gran cantidad de problemas de ingeniería
en 2 dimensiones están regidos por la ecuación
de potencial
∇ 2 u = f(x, y)
(x, y ∈ Ω)
(1)
ecuación de Laplace, caso considerado en este
trabajo.
Cuando f ≠ 0, la ecuación se conoce como la
ecuación de Poisson.
Para dar solución a la ecuación (1) se necesitan
conocer las condiciones de frontera adecuadas,
las cuales para este trabajo son
Dirichlet
u=u
en Γ
(2)
∂u
= un
∂n
en Γ
(3)
Neumann
Estas condiciones se refieren a la temperatura y
al flujo de calor sobre la frontera
respectivamente.
En la figura 1 se muestra una representación de
las condiciones de frontera en una figura
cualesquiera.
Fig. 1 Condiciones de frontera en una forma
cualesquiera
Las cantidades u y u n son datos conocidos en
la frontera, teniéndose en cuenta que cuando se
proporciona una de estas cantidades en la
frontera, la otra es un dato a determinar.
Para resolver la ecuación (1) se requiere de
conocer la solución fundamental que satisface a
esta. Esta solución es
ν=
1
λnr
2π
(4)
Aplicando la identidad de Green
 ∂u
∂υ 
∫ (υ∇ u − u∇ υ )dΩ = ∫ υ ∂n − u ∂n ds
2
2
Ω
(5)
Γ
Así se obtiene
Esta es la ecuación gobernante de la teoría de
potencial, la cual, para f = 0 se conoce como la
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− ∫ u (Q)δ (Q − P)dΩ Q =
Las integrales involucradas en la ecuación (10)
relacionan al nodo pi, donde la solución
fundamental es aplicada, con el punto pj.
Sus valores expresan la contribución de los
Ω

∫ υ (q, P)
Γ

∂u (q ) ∂υ (q, P) 
−
 dsq
∂nq
∂nq 
valores nodales uj y
(6)
Con P, Q ∈ Ω y q ∈ Γ
u nj en la formación del
valor 1 u i . Haciendo
2
∂υ (pi , q)
Ĥij = ∫
ds y Gij = ∫ υ (pi , q)ds
Γ
Γ,
∂n q
(11)
j
La ecuación (6) puede ser llevada a la forma

∂u (q )
∂υ ( P, q ) 
− u (q)
u ( P) = − ∫ υ ( P, q )
dsq
∂nq
∂nq 

Γ
(7)
Esta ecuación es la solución de la ecuación
diferencial (1) para cualquier punto interior del
dominio Ω en términos de las condiciones de
frontera u, ∂u ∂n . Esta ecuación también es
conocida como representación integral de la
solución de la ecuación de Laplace.
La solución de la ecuación (7) para las
condiciones de frontera es

∂υ
1
u = − ∫ υ u n − u

∂
nq
2
Γ
elemento
elemento
Fig. 2 Disposición de la localización de puntos
nodales

ds q (8)


Con incógnitas u y ∂u ∂n .
La ecuación (8) es discretizada en N elementos
constantes, con lo que toma la forma
N
N
1 i
∂u(q)
∂v(pi , q)
u = −∑ ∫ υ (pi , q)
ds q + ∑ ∫ u(q)
ds q
Γj
Γj
2
∂
n
∂n q
j=1
j=1
q
(9)
Donde Γj es el segmento (recta) en el que el j ésimo nodo se encuentra y sobre el cual la
integración se lleva a cabo; pi es el punto nodal
de la i-ésimo elemento.
En este trabajo se considera que los elementos
son del tipo constantes. En estas condiciones, se
sabe que para elementos constantes, la frontera
es suave en los puntos nodales.
Dado que los valores de u y ∂u/∂n son
constantes en cada elemento, estos pueden ser
sacados de la integral. Definiendo u y un como uj
y
Donde el punto pi permanece constante (punto
de referencia) mientras que el punto q varía
sobre el j-ésimo elemento (punto de integración).
Esto puede verse en la figura 2.
Sustituyendo las ecuaciones de (11) en la
ecuación (10) se tiene
N
N
1
- u i + ∑ Ĥiju j = ∑ G iju jn
2
j=1
j =1
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(10)
1
δij , con δij conocida como
2
Si H ij = Ĥ ij -
la delta de Kronecker, definida como δ ij = 0 para
i ≠ j y δ ij = 1 para i = j. Con esto se tendrá
N
N
∑ H u = ∑G u
j
ij
j =1
ij
j
n
(13)
j =1
Que se aplica para todos los nodos pi (i =
1,2,…,N), lo que genera un sistema lineal
algebraico de ecuaciones, que puede ser
arreglado en forma matricial como
[H]{u} = [G ]{u n }
u nj respectivamente se tienen
N
1
 ∂υ  j N 
− ui + ∑ ∫
ds u = ∑  ∫ υds u jn
Γ j ∂n
Γ
2



j =1
j =1  j
(12)
(14)
Con [H] y [G] como matrices cuadradas y {u}
y {un} vectores de dimensión N. Esta ecuación a
su vez puede ser reescrita para su solución como
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{u}
{u } 
[[H11 ] [H12 ]] 1  = [[G11 ] [G12 ]] n 1 
{u}2 
{u n }2 
(15)
Donde
{u}1
y
{u }2
n
son las cantidades
conocidas en G1 y G2 respectivamente, mientras
que {un}1 y {un}2 son los valores desconocidos
para los mismos.
Si
Método del Elemento Finito (MEFI) para
generar sus resultados.
3.1 Ejemplo de aplicación 1
Dos lados con temperaturas conocidas y
aislada en sus otros dos lados
En este caso las condiciones que actúan sobre
la placa mostrada son como se indican en la
figura 4.
 {u}2 
 y
{
}
u
n

1
[A ] = [[H12 ] - [G11 ]] , {X} = 
{B} = −[H11 ]{u}1 + [G12 ]{u n }2 ,
se tendrá el
sistema que soluciona el problema tratado, lo que
es
[A]{X} = {B}
(16)
Para los puntos interiores se obtiene de
N
N
u (P ) = ∑ Ĥ ij u j − ∑ G ij u jn
j=1
(17)
j =1
3.
RESULTADOS
NUMÉRICOS
Y
EJEMPLOS DE APLICACIÓN
Para generar soluciones aplicables a la teoría
mostrada, se consideran 2 casos referidos a una
placa cuadra sometida a condiciones de frontera
de Dirichlet (temperatura) y Neumann (flujo),
esta placa es mostrada en la figura 3.
Fig. 4 Ejemplo 1. Dos lados con temperatura
conocida y dos lados aislados.
La solución lograda por medio de la
programación aplicada a las ecuaciones (16) y
(17) permite establecer los valores de la
temperatura y del flujo en la frontera.
Estos resultados son comparados tanto con los
obtenidos mediante el MEFI (ANSYS) así como
con el valor analítico correspondiente, la cual
puede ser obtenida por ecuaciones diferenciales
parciales, y que se define para casos particulares
como [6]


w

nπx′  
2

[ f ( x) − T1 ]sen
θ ( x, y ) = ∑ 
dx 
 nπH  ∫0
 w  
n =1 
w sinh 



 w 
 nπ x 
 nπ y 
sen
 senh

 w 
 w 
∞
(18)
Fig. 3 Placa cuadrada con 16 nodos en la
frontera y 9 nodos interiores.
Las soluciones logradas para la ecuación de
Laplace se comparan con una solución obtenida
mediante el software ANSYS, el cual se basa en
ISBN 978-607-95309-1-4
Donde las variables w y H, representan las
longitudes horizontal y vertical máximas de la
placa, x e y, definen la posición en la placa, f(x)
es el valor de la temperatura en la frontera, la
cual se redefine para cada aplicación y n
representa la periodicidad de la función
Los valores de temperatura y flujo obtenidos
para los nodos exteriores se pueden ver en la
tabla 1.
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Tabla 1 Temperatura y flujo para los nodos
exteriores en la placa cuadrada, ejemplo 1.
Temperatura
°C
Coordenadas
NODO
X
Y
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
0.125
0.375
0.625
0.875
1
1
1
1
0.875
0.625
0.375
0.125
0
0
0
0
0
0
0
0
0.125
0.375
0.625
0.875
1
1
1
1
0.875
0.625
0.375
0.125
MEFI
(ANSYS)
MEF
200.0
200.0
200.0
200.0
195.1
185.7
178.9
175.4
174.6
171.1
164.3
154.9
150.0
150.0
150.0
150.0
Flujo
W/m²
Exacto
200.0
200.0
200.0
200.0
194.8
185.5
178.8
175.4
174.5
171.1
164.4
155.1
150.0
150.0
150.0
150.0
MEF
200.0
200.0
200.0
200.0
195.2
185.7
178.9
175.4
174.6
171.1
164.3
155
150.0
150.0
150.0
150.0
294.0
75.0
52.0
44.6
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
-44.6
-52.0
-75.0
-294.0
En la tabla 2 son mostrados los resultados
correspondientes a las temperaturas en los nodos
interiores y son comparados con los logrados por
MEFI (ANSYS) y la solución analítica.


w

2
 nπx′  
[ f ( x) − T1 ]sen
θ (x, y ) = ∑ 
dx 
 nπH  ∫0
 w  
n =1 
w sinh 



 w 
 nπ x 
 nπ y 
sen
 senh

 w 
 w 
∞
(18)
Donde las variables w y H, representan las
longitudes horizontal y vertical máximas de la
placa, x e y, definen la posición en la placa, f(x)
es el valor de la temperatura en la frontera, la
cual se redefine para cada aplicación y n
representa la periodicidad de la función
Tabla 2 Temperatura y flujo para los nodos
interiores en la placa cuadrada, ejemplo 1.
Temperatura
°C
Coordenadas
NODO
1
2
3
4
5
6
7
8
9
X
0.250
0.500
0.750
0.250
0.500
0.750
0.250
0.500
0.750
Y
0.250
0.250
0.250
0.500
0.500
0.500
0.750
0.750
0.750
MEF
175.0
185.1
189.0
164.9
175.0
180.3
161.0
169.7
175.0
MEFI
(ANSYS)
174.9
185
188.8
164.9
174.9
180.2
161.1
169.7
174.9
Exacto
175.1
185.1
189
164.9
175
180.3
161
169.7
175
La distribución de temperatura para este caso
se puede apreciar de manera gráfica en la figura
5.
ISBN 978-607-95309-1-4
Fig. 5 Ejemplo 1. Distribución de temperatura
para temperatura conocida en dos lados y
aislada en otros dos, valores en °C.
Es importante señalar que la malla definida
para el MEF se ubica solo en la frontera del
cuerpo a estudiar, mientras que el mallado
empleado en MEFI se debe establecer en el
dominio del mismo.
En una comparativa adicional se debe indicar
que el número de elementos utilizados en este
caso para el MEF es de 16 elementos, 16 nodos
en la frontera y 9 nodos interiores para
caracterizar el comportamiento térmico. En el
MEFI se requirieron de 1024 elementos y 1088
nodos (todos estos definidos en el dominio, dado
el principio en el que se basa el método).
Para lograr la comparativa mostrada en el
MEFI el número de elementos definidos en la
frontera fue de 32 con 32 nodos, de los cuales se
seleccionaron los correspondientes a la
comparativa, lo que muestra la ventaja del MEF
para la solución de este tipo de problemas.
Los resultados mostrados en las tablas 1 y 2
muestran que la precisión lograda por el MEF es
mayor que la obtenida por el MEFI (ANSYS).
Esto se aprecia cuando los resultados de ambos
métodos son comparados con los valores
logrados de manera analítica (exacta).
La diferencia entre los valores logrados por
ambos métodos no es en ningún caso mayor 0.5
°C cuando se comparan con la solución exacta.
Esta diferencia es menor a 0.2 °C para el MEF.
En términos prácticos, dependiendo de la
aplicación a tratar estas diferencias pudieran ser
insignificantes.
Adicionalmente, el MEF provee los resultados
logrados para el flujo de calor en la frontera, tal
como se ve en la ultima columna de la tabla 1, lo
que de acuerdo con este método, es posible
lograrse. Estos resultados para el flujo de calor
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son difíciles de lograr con el ANSYS, lo que
resalta una bondad importante del MEF.
Tabla 4 Temperatura y flujo para los nodos
interiores en la placa cuadrada, ejemplo 2.
3.2 Ejemplo de aplicación 2
Tres lados con temperaturas conocidas y un
lado aislado
Para este caso las condiciones que actúan sobre
la placa mostrada son como se indican en la
figura 6.
Temperatura
°C
Coordenadas
NODO
1
2
3
4
5
6
7
8
9
X
0.250
0.500
0.750
0.250
0.500
0.750
0.250
0.500
0.750
Y
0.250
0.250
0.250
0.500
0.500
0.500
0.750
0.750
0.750
MEF
463.4
469.8
611.3
587.8
637.5
777.3
640.0
714.3
838.6
MEFI
(ANSYS)
463.7
470.8
611.8
587.2
637.1
776.3
639.4
713.1
837.1
Exacto
463.5
469.7
611.2
587.7
637.4
777.2
640
714.3
838.5
Correspondientemente, la distribución de
temperatura para este caso se puede apreciar de
manera gráfica en la figura 7.
Fig. 6 Ejemplo 2. Tres lados con temperatura
conocida y un lado aislado.
Los valores de temperatura y flujo obtenidos
para los nodos exteriores para este caso son
mostrados en la tabla 3. Estos datos son
comparados con los logrados por MEFI
(ANSYS) y la solución analítica.
En la tabla 4 se muestran los resultados de las
temperaturas para los nodos interiores de igual
manera como se indico para el caso 1,
Tabla 3 Temperatura y flujo para los nodos
exteriores en la placa cuadrada, ejemplo 2.
Temperatura
°C
Coordenadas
NODO
X
Y
MEF
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
0.125
0.375
0.625
0.875
1
1
1
1
0.875
0.625
0.375
0.125
0
0
0
0
0
0
0
0
0.125
0.375
0.625
0.875
1
1
1
1
0.875
0.625
0.375
0.125
200.0
200.0
200.0
200.0
1000.0
1000.0
1000.0
1000.0
928.7
790.9
690.2
624.3
600.0
600.0
600.0
600.0
Flujo
W/m²
MEFI
(ANSYS)
Exacto
MEF
200.0
200.0
200.0
200.0
1000.0
1000.0
1000.0
1000.0
927.5
789
689.6
625.1
600.0
600.0
600.0
600.0
200.0
200.0
200.0
200.0
1000.0
1000.0
1000.0
1000.0
928.5
790.7
690.1
624.3
600.0
600.0
600.0
600.0
-2459.4
-1037.5
-1289.8
-4723.1
4685
1146
771.94
653.22
0
0
0
0
-198.88
-46.81
260.63
2245.6
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Fig. 7 Ejemplo 2. Distribución de temperatura
para temperatura conocida en dos lados y
aislada en otros dos, valores en °C.
Una vez más se aprecia que la precisión
lograda por el MEF es mayor que la obtenida por
el MEFI (ANSYS), tal y como puede verse en
las tablas 1 y 2.
En este caso la diferencia mayor entre los
valores logrados por ambos métodos ocurre para
el MEFI en el nodo 10 y este valor es de 1.7 °C,
mientras que en el MEF el valor más grande para
la comparación entre diferencias de todos los
datos generados es de 0.2 °C.
4. CONCLUSIONES
Se ha mostrado que el MEF provee soluciones
muy precisas para los casos de determinación de
temperatura en placas sometidas a temperatura.
Una ventaja relevante del MEF es que no
requiere de una discretización en el dominio para
lograrse resultados, situación necesaria en el
MEFI, dado el principio en el que se basa este
método.
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MEMORIAS DEL XV CONGRESO INTERNACIONAL ANUAL DE LA SOMIM
23 al 25 DE SEPTIEMBRE, 2009 CD. OBREGÓN, SONORA. MÉXICO
La comparativa entre el MEF y el MEFI
muestra una superioridad del primero respecto
del segundo.
El emplear MEF puede ser una herramienta
muy útil para el estudio de la transferecia de
calor en placas sometidas a condiciones de
fronteras diversas, tales como las consideradas
en este trabajo.
5. REFERENCIAS
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elasticity problem and applications to
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