cinematica

Cinemática
103
TEST
1.-
Un móvil que va con M.R.U. inicia su movimiento
en x = 12 m y luego de 8 s está en x = 28 m. Hallar su
velocidad.
a)
b)
c)
2 m/s
8 m/s
4 m/s
d)
e)
a)
b)
c)
d)
6 m/s
7 m/s
e)
6.-
2.-
Señalar verdadero o falso respecto al M.R.U.
I.- La velocidad es tangente y contraria al movimiento.
II.- La aceleración es igual a cero.
III.- El radio de curvatura de la recta de movimiento
es considerado infinitamente grande.
a)
b)
c)
3.-
VVV
FVV
FVF
FFF
VVF
Se muestran la velocidad de
dos móviles en M.R.U., al cabo
de 5 s estarán separados:
a)
b)
c)
7.-
a)
b)
c)
∆x
∆t
4
m/ s
5
8
− m/ s
5
d)
e)
25 m
30 m
Señalamos las velocidades de 4 móviles en M.R.U., al
cabo de 10 s, que alternativa se cumple si salen del
mismo punto.
a)
b)
c)
d)
−4 m/s
e)
4 m/s
8.-
12
m/ s
5
∆x
∆t
9.-
b)
a)
–5 m/s
d)
b)
+5 m/s
e)
N.A.
c)
20
m/ s
6
Los móviles“A”y“B”
parten de las posiciones mostradas
simultáneamente
con vA = 4 m/s y
vB = 3 m/s. ¿Qué
podemos opinar?
c)
d)
e)
10.-
d)
e)
C dista de D 40 m
A dista de B 25 m
78 m
48 m
30 m
d)
e)
18 m
N.A.
Marque la proposición correcta.
a)
10
−
m/ s
6
A dista de B 40 m
C dista de D 55 m
A dista de B 30 m
La figura muestra dos móviles
en M.R.U. que parten del mismo punto. Al cabo de 6 s ¿qué
distancia los separa?
a)
b)
c)
Para el movimiento de la partícula en M.R.U. en la figura, podemos decir que su velocidad media es:
Vm =
5.-
10 m
15 m
20 m
Para el movimiento de la partícula en M.R.U. en la figura podemos decir que su velocidad media es:
Vm =
4.-
d)
e)
“A” llega primero a “P”.
“B” llega primero a “P”.
Ambos llegan simultáneamente a “P”.
Falta precisar información para decidir que responder.
Ninguno llega.
En el M.R.U. el vector velocidad cambia
contínuamente.
En el M.R.U. la trayectoria no siempre es una línea recta.
En el M.R.U. la aceleración siempre es cero.
El espacio es una magnitud vectorial.
Todas las anteriores son falsas.
Marque la proposición correcta según el siguiente esquema.
a)
b)
c)
d)
e)
El móvil tiene velocidad
constante.
La velocidad del móvil aumenta.
El cuerpo se detendrá en el plano inclinado.
La velocidad del móvil disminuye.
Todas son falsas.
Jorge Mendoza Dueñas
104
PROBLEMAS RESUEL
TOS
RESUELTOS
A
1.-
problemas de aplicación
Cuantas horas dura un viaje hasta una ciudad sureña
ubicado a 540 km, si el bus marcha a razón de 45 km/h?
e A = v At = 40t
eB = v Bt = 60t
Solución:
OBSERVACIÓN
Tiempo de Encuentro:
tE =
e
v A + vB
e : espacio de separación
inicial
d = vt ⇒ 540 = 45t
o De la figura:
t = 12 horas
2 000 = e A + eB
NOTA
2000 = 40t + 60t ⇒ 2000 = 100t
Antes de realizar cualquier operación es necesario
homogenizar el sistema de unidades, si fuese necesario.
2.-
Un cazador se encuentra a 170 m de un “Blanco” y
efectúa un disparo saliendo la bala con 85 m/s (velocidad constante), ¿después de que tiempo hará impacto la bala?
t = 20 s
4.-
Dos autos se mueven en el mismo sentido con velocidades constantes de 40 m/s y 60 m/s. ¿Después de que
tiempo uno de ellos alcanza al otro? ver figura.
Solución:
Solución:
e A = v At = 60t
d = vt ⇒ 170 = 85t
eB = vBt = 40t
t = 2s
3.-
Dos autos se mueven en sentidos contrarios con velocidades constantes. ¿Después de que tiempo se encuentran si inicialmente estaban separados 2 000 m?
(velocídad de los autos 40 m/s y 60 m/s).
Solución:
o De la figura:
e A = eB + 200
60t = 40t + 200
t = 10 s
⇒
20t = 200
Cinemática
105
2.-
OBSERVACIÓN
Tiempo de Alcance:
t AL =
e
v A − vB
e : espacio de separación inicial
v A > vB
Tres móviles pasan simultáneamente por los puntos A,
B, C con velocidades de 10, 15 y 13 m/s. Si la distancia
entre A y B es 8 m, y entre B y C es de 32 m. Luego de
qué tiempo la distancia entre los móviles serán iguales,
si en ese instante guardan el mismo ordenamiento.
Solución:
5.-
Un móvil “A” que se desplaza con una velocidad de
30 m/s, se encuentra detrás de un móvil “B” a una distancia de 50 m, sabiendo que los móviles se mueven
en la misma dirección y sentido, y que la velocidad
de “B” es de 20 m/s. ¿Calcular después de qué tiempo, “A” estará 50 m delante de “B”?
Solución:
o De la figura:
8 + 32 + e 3 = e1 + 2x
40 + v 3t = v1t + 2x
40 + 13t = 10t + 2x
40 + 3t = 2x
o También:
e A = v At = 30t
e 2 = e1 + x − 8
eB = v Bt = 20t
v 2t = v1t + x − 8
o De la figura:
15t = 10t + x − 8
eA = 50 + eB + 50
30t = 50 + 20t + 50
5t = x − 8
⇒ 10t = 100
t=
1.-
............ (2)
o De (1) y (2):
t = 10 s
B
............ (1)
problemas complementarios
3.-
Un barco navega rumbo al Norte recorriendo 540 m.
Luego va hacia el Este recorriendo 720 m. Determinar
el espacio y distancia que recorrió el barco (en m).
24
s
7
Un muchacho para bajar por una escalera empleó 30 s.
¿Cuánto demoraría en subir la misma escalera si lo hace
con el triple de velocidad?
Solución:
o Cuando el
muchacho baja
Solución:
b g
L = v 30 ..... (1)
o Cuando el
muchacho sube
Cuando el muchacho baja
bg
L = 3v t ..... (2)
o Espacio = ?
o Distancia = ?
e = OA + AB
d = OB
e = 540 + 720
d=
e = 1 260 m
d = 900 m
o De (1) y (2):
2
2
b540g + b720g
t = 10 s
Cuando el muchacho sube
Jorge Mendoza Dueñas
106
4.-
Una persona sale todos los días de su casa a la misma
hora y llega a su trabajo a las 9:00 a.m. Un día se traslada al doble de la velocidad acostumbrada y llega a su
trabajo a las 8:00 a.m. ¿A que hora sale siempre de su
casa?
6.-
Un tren de pasajeros viaja a razón de 36 km/h, al ingresar a un túnel de 200 m de longitud demora 50 s
en salir de él ¿Cuál es la longitud del tren?
Solución:
Solución:
o De la fig (1):
fig (1)
d = vt ..... (α)
o De la fig (2):
La distancia que recorre el tren es el mismo que recorre el punto A.
b g
d = 2v t − 1 .... (β)
o De (α) y (β):
d = vt
fig (2)
b g
vt = 2v t − 1
200 + L = 10 50
t = 2h
L = 300 m
b g
7.-
Rpta: Sale de su casa a las 7:00 a.m.
5.-
Dos móviles A y B situados en un mismo punto a
200 m de un árbol, parten simultáneamente en la
misma dirección. ¿Después de que tiempo ambos
móviles equidistan del árbol? (vA = 4 m/s y vB = 6 m/s).
De Lima a Huacho hay aproximadamente 160 km; de
Lima a Barranca hay 200 km, un auto va de Lima con
velocidad constante saliendo a las 8 a.m. y llega a Barranca al medio día. ¿A qué hora habrá pasado por
Huacho?
Solución:
Solución:
o Lima a Barranca:
d = vt
bg
200 = v 4
De la figura:
o
dB = dA + 2x
o Lima a Huacho:
v B t = v A t + 2x
Dato: velocidad constante = 50 km/h
6t = 4 t + 2x ⇒ 2t = 2x
d = vT
t = x ............ (1)
o
160 = 50 T ⇒ T = 3, 2 h
dA + x = 200
Rpta: Pasó por Huacho a las 11.2 a.m. ó 11h 12m a.m.
4 t + x = 200 ............ (2)
o
(1) en (2):
4 t + t = 200
t = 40 s
⇒ v = 50 km / h
8.-
Un auto debe llegar a su destino a las 7:00 p.m., si
viaja a 60 km/h llegará una hora antes, pero si viaja a
40 km/h llegará una hora después. Si en ambos casos la hora de partida es la misma, encontrar dicha
hora de partida.
Cinemática
107
o Sabemos que el tren (1) se mueve con velocidad
de 15 m/s y el tren (2) con velocidad de 20 m/s,
pero en sentido contrario.
Respecto al pasajero. ¿Qué velocidad creerá él,
que tiene el tren (2)?. La respuesta es (15 + 20) es
decir 35 m/s, y esto es lógico pues el pasajero verá
moverse al tren (2) con mayor rapidez.
Visto esto, podemos suponer al tren (1) en reposo,
pero el tren (2) tendrá una velocidad de 35 m/s.
Solución:
fig. (1)
fig. (2)
fig. (3)
o Tren (2) a punto de pasar por el pasajero,
o De la figura (1):
d = vt ........................ (a)
o De la figura (2):
d = 60 t − 1 ............ (b)
o De la figura (3):
d = 40 t + 1 ............ (c)
b g
b g
o De (b) y (c):
b g b g
60 t − 1 = 40 t + 1 ⇒ t = 5 h
o Tren (2) ya pasó por completo al pasajero.
Rpta: La hora de partida será las 2:00 p.m.
9.-
Dos trenes corren en sentido contrario con velocidades de v1 = 15 m/s y v2 = 20 m/s. Un pasajero del primer tren (el de v1) nota que el tren 2 demora en pasar
por su costado 6 s. ¿Cuál es la longitud del segundo
tren? (Se supone que el pasajero está inmóvil mirando a través de la ventana).
Solución:
o Supongamos que el pasajero se encuentra en la
parte delantera del tren (1)
o Para el pasajero:
bg
e = vt ⇒ L = 35 6
L = 210 m
10.-
Dos móviles se mueven con M.R.U. en dos carreteras
que se cruzan en 90° simultáneamente del punto de cruce con velocidades v1 = 4 m/s y v2 = 2 m/s. Si las carreteras están desniveladas 10 m. ¿Qué tiempo después, la
distancia de separación entre móviles es de 90 m?
Jorge Mendoza Dueñas
108
o Al formar el triángulo DFE, se tiene:
Solución:
L=
o Por motivos didácticos tomaremos parte de las
carreteras los lados AB y CD de un paralelepípedo.
2
b2tg + b4tg
2
L = 2 5t
o Ahora, en el triángulo DEB:
902 = L2 + 102
2
902 = 2 5t + 102
d
i
8100 = 20t2 + 100
8 000 = 20t 2
t2 = 400
t = 20 s
PROBLEMAS PROPUESTOS
A
1.-
problemas de aplicación
Dos móviles parten de un punto A en direcciones perpendiculares con velocidades constantes de 6 m/s y
8 m/s respectivamente. ¿Determinar al cabo de que
tiempo se encontrarán separados 100 m?
Rpta.
6.-
Una moto y un auto se encuentran a una distancia
de 1 000 m. Si parten simultáneamente en la misma
dirección y con velocidades de 25 m/s y 15 m/s respectivamente. ¿En que tiempo se produce el encuentro?
10 s
Rpta.
2.-
Un móvil que va con M.R.U. inicia su movimiento
en: x = −12 m y luego de 8 s está en x = +28 m, hallar
su velocidad.
Rpta.
3.-
5 m/s
Javier un joven estudiante, desea saber a qué distancia se encuentra el cerro más próximo, para lo cual
emite un grito y cronómetro en mano, comprueba que
el eco lo escucha luego de 3 s. ¿Cuál es esa distancia
en metros? (vsonido = 340 m/s).
Rpta.
7.-
Dos móviles con velocidades constantes de 40 y
25 m/s parten de un mismo punto, y se mueven en
la misma recta alejándose el uno del otro. ¿Después de cuanto tiempo estarán separados 13 km?
Rpta.
8.-
510 m
Dos atletas parten juntos en la misma dirección y sentido con velocidades de 4 m/s y 6 m/s, después de
1 minuto. ¿Qué distancia los separa?
Rpta.
5.-
9.-
120 m
10.200 m
100 km/h
Dos móviles se mueven en línea recta con velocidades
constantes de 10 m/s y 20 m/s, inicialmente separados
por 15 m. ¿Qué tiempo transcurre para que el segundo
después de alcanzar al primero se aleje 15 m?
Rpta.
Hallar el espacio que recorre una liebre en 10 s. Si en
un quinto de minuto recorre 40 m más.
Rpta.
200 s
Un móvil debe recorrer 300 km en 5 h, pero a la mitad
del camino sufre una avería que lo detiene 1 h, ¿con
que velocidad debe continuar su viaje para llegar a
tiempo a su destino?
Rpta.
4.-
25 s
3s
Dos móviles con velocidades constantes parten simultánea y paralelamente de un mismo punto. Si la dife-
Cinemática
109
rencia de sus velocidades de 108 km/h. Hallar la distancia que los separa después de 30 s.
Rpta.
B
1.-
Un auto vá de una ciudad a otra en línea recta con
velocidad constante a razón de 30 km/h, pensando
cubrir la travesía en 8 h. Pero luego de 3 h, el auto se
malogra; la reparación dura 1 h, ¿con qué velocidad
debe proseguir para que llegue a su destino con 1 h
de adelanto?
Rpta.
4.-
5.-
15 s
Dos móviles están en “A” y “B” en la misma recta. El
primero parte de “A” hacia “B” a las 7 a.m. a razón de
90 km/h, el segundo parte de “B” hacia “A” a las 12 m.
Si se encuentran a las 3 p.m. Hallar AB, sabiendo además que el espacio del primero es al del segundo
como 2 es a 1.
Rpta.
8.-
1 080 km
1 190 m
Un avión desciende con velocidad constante de
100 km/h bajo un ángulo de 16° con el horizonte. ¿Qué
tiempo tardará su sombra en llegar a tocar un objeto
que se encuentra a 4 km? (cos 16° = 24/25).
Rpta.
10.-
120 m
Un alpinista se encuentra entre dos montañas y emite un grito. Si registra los ecos después de 3 s y 4 s de
haber emitido el grito. ¿Cuál será la distancia que separa las montañas? velocidad del sonido en el aire,
considerar 340 m/s.
Rpta.
9.-
v2
=2
v1
Dos autos separados a una distancia, parten simultáneamente con velocidades constantes de 30 m/s y
20 m/s en el mismo sentido para luego encontrarse
en un punto “P”. Si el segundo auto partiese 2 s después, el encuentro de los autos sería “x” m antes de
“P”, calcular “x”.
Rpta.
600 m
Dos móviles se desplazan en la misma pista con velocidades constantes. Luego de 10 s el móvil “A” gira
180° y mantiene su rapidez constante. ¿Qué tiempo
emplean hasta encontrarse desde las posiciones indicadas?
Rpta.
7.-
15 s
“A” y “B” realizan una carrera de 300 m, con velocidades constantes en módulo de 5 m/s y 10 m/s. Al llegar
“B” a la meta regresa donde “A” y luego así sucesivamente hasta que “A” llega a la meta. ¿Qué espacio total recorrió “B”?
Un alumno sale de su casa todos los días a las 7:00 y se
dirige al colegio a velocidad constante v1 llegando
siempre a las 8:00. Si el alumno un día sale de su casa a
las 7:15 y a medio camino observa que no llegará a
tiempo por lo que aumenta su velocidad a v2 (cte), llegando finalmente a tiempo. Determinar v2/v1.
Rpta.
50 km/h
Un tren de pasajeros viaja a razón de 72 km/h y tiene
una longitud de 100 m. ¿Qué tiempo demorará el tren
en cruzar un túnel de 200 m?
Rpta.
3.-
900 m
problemas complementarios
Rpta.
2.-
6.-
150 s
Dos trenes de longitudes diferentes van al encuentro por vías paralelas con velocidades v 1 y v2 demorando en cruzarse 20 s. Si van al encuentro con velocidades v1 y (8/5)v2 respectivamente demoran en cruzarse 15 s. ¿Cuánto tiempo tardarán en cruzarse si
viajan en la misma dirección con velocidades v 1 y v2
respectivamente.
Rpta.
180 s