Redes complejas: Un punto de encuentro para las Matemáticas, la

Redes complejas:
Un punto de encuentro para
las Matemáticas, la Física, la
Química y la Biología
Ernesto Estrada Roger
Grupo de Sistemas Complejos, RIAIDT
Universidad de Santiago de Compostela
[email protected]
300 Aniversario del Natalicio de
Leonhard Euler
1707-1783
Sistema simple
Sistema complicado
Sistema complejo
Características de los sistemas complejos
Emergencia: los patrones del sistema emergen como resultado de
los patrones de relaciones entre los elementos.
Relaciones de corto-rango: la información se recibe normalmente
desde los vecinos más cercanos.
Relaciones no lineales: pequeños estímulos pueden causar grandes
efectos o ningún efecto.
Las partes no pueden contener al “todo”.
Las fronteras del sistema son difíciles de determinar.
Estos sistemas se pueden representar como REDES COMPLEJAS.
¿Es este un mundo enREDado?
Red de amistad entre adolescentes en un colegio
Red de contactos sexuales
Red de colaboración científica
Relaciones tróficas entre especies
Red de interacciones entre proteínas
Internet
Redes terroristas
Contribución de las Matemáticas:
Los pioneros
Contribución de la Física:
La era moderna de
las redes complejas
La importancia de ser “popular”
Centralidad en Redes Complejas
Regla 1: Mientras más amigos, más popular
k=2
k=3
k=4
Grado del nodo i, ki = # de nodos directamente unidos al nodo i
La importancia de la importancia de nuestros amigos
El mismo problema con diferente collar
Pero...se hace camino al andar
l= 2
l= 4
l= 5
Un sendero cerrado de longitud l que comienza (y termina) en el nodo
n0 es una secuencia n0, n1,..., nr de nodos (no necesariamente diferentes)
tal que nr = n0 y nr-1 es adyacente a ni para 1 ≤ i ≤ r
Algunas definiciones...
Para l ≥ 0 sea µk(i) el número de senderos cerrados de longitud l en el grafo
que comienzan en i
Sea A la matriz de adyacencia del grafo:
µ l (i ) = ∑ (λ j )l [v j (i )]2
N
j =1
donde λj es el j-ésimo valor propio de A y vj(i) es el i-ésimo componente
del j-ésimo vector propio.
Definamos la “Centralidad de Subgrafos”:
µ l (i )
SC (i ) = ∑
l!
l =0
∞
Usando el espectro del grafo obtenemos:
N
[
2
]
SC (i ) = ∑ v j (i ) e
j =1
λj
Estrada & Rodríguez-Velázquez, Phys. Rev. E 2005, 71, 056103
¿Como SC(i) ordena los nodos de una red?
Red de colaboración en “Geometría computacional”
(98)
(79)
(52)
(22)
T.M.Y. Chan
δi = 10
SC(i) = 8.09 1010
(16)
(42)
(70)
(76)
(87)
(91)
(15)
(10)
(5)
(7)
S.L. Abrams
δi = 10
SC(i) = 974.47
(3)
(9)
(31)
(14)
(16)
(6)
Aplicaciones a la Química
Problema: Identificar las proteínas esenciales en un proteoma
Estrategia
Ordenar las proteínas de acuerdo con sus
medidas de centralidad,
Determinar cuántas proteínas esenciales
existen entre las x proteínas más centrales
según cada medida.
Proteínas esenciales: aquellas que al ser dañadas producen la muerte
del organismo.
Antecedentes
Las proteínas esenciales son
las más conectadas en la red.
Jeong, et al. Nature 411, 2001, 41
65
63.3%
Percentage of Essential Proteins
60
55
50
Estrada, E. Proteomics 6, 2006, 35
45
40.0%
40
35
30
25
22.7%
20
SC(i)
Degree
Random
Comunidades: Organización modular de las
redes complejas
Global property based on node i
Redes homogéneas
Local property based on node i
Red homogénea: la organización local en la vecindad de un nodo
es similar a la organización global de la red
Global property based on node i
Redes modulares
Local property based on node i
Red modular: la organización local en la vecindad de un nodo
es diferente a la organización global de la red
Método de escalado espectral
0.300
B
Eigenvector Centrality
A
B
0.100
0.080
0.060
0.040
0.020
Propiedad global
v1(i): i-ésimo componente
del vector propio
correspondiente a λ1 de A
A
0.009
250
750
5000
25000
75000
Subgraph Centrality
∞
Propiedad local SC (i ) = ∑
l =0
Estrada, E. Europhys. Lett. 73, 2006, 649
Estrada, E. Phys. Rev. E 75, 2007, 016103
µ l (i )
l!
Ejemplo: red de interacciones entre residuos en proteínas
Cuello de botella
0.5000
0.0500
0.0050
0.0005
0.05
0.25
0.75
5.00
Fragilidad de sistemas ecológicos
Redes tróficas
Especies
Relaciones tróficas
Especies claves en sistemas ecológicos
Mayor número de
relaciones tróficas
Cuellos de botella
estructurales
Efectos de la extinción de especies claves
Extinción primaria
Extinción secundaria
Simulación en redes tróficas reales
Cumulative secondary extinctions / S
1.0
0.8
0.6
0.4
Group I (Hubs removal)
Group II (Hubs removal)
Group II (Bottlenecks removal)
Group IV (Hubs removal)
Group V (Hubs removal)
0.2
0.0
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
Species removed / S
Estrada, E., J. Theor. Biol. 244, 2007, 296.
0.5
0.6
Relación estructura-robustez en redes complejas
Estrada, E., J. Theor. Biol. 244, 2007, 296.
Estrada, E., Eur. Phys. J B 52, 2006, 563.
Retorno a las Matemáticas
Definamos las siguientes proporciones:
λ2 − λn
w(G ) =
λ1 − λ2
(λ1 − λ2 ) ≠ 0
Spectral gap
λ1 − λ n
w2 (G ) =
λ2 − λn
(λ2 − λn ) ≠ 0
Spectral spread
Problema: ¿Existe algún grafo para el cuál se
cumpla que:
λ2 − λn λ1 − λn
=
=ϕ ?
λ1 − λ2 λ2 − λn
1+ 5
ϕ=
2
Denominemos a dicho grafo, un grafo espectral áureo.
Un par de resultados...
Teorema 1. El ciclo Cn es un grafo espectral áureo si, y sólo si, n = 5.
C5 es el grafo espectral áureo más pequeño.
Teorema 2. Los grafos C 5 ⊗ J k son grafos espectrales áureos
C5 ⊗ J 3
Más en:
C5 ⊗ J 4
Estrada, E. Chaos, Solitons & Fractals 2007, en prensa.
http://arxiv.org/ftp/math-ph/papers/0612/0612044.pdf
Otros resultados
8
Class I
Class II
Class III
Class IV
6
S S
S
4
P
PE
PP
P I
B
Root 2
2
S
I P
T
P
P
0
I
S
-2
S
B
S
B
TT
ES
S
T
S
T
E
T
S
E
B
B T
E
T B
T
I
E
E I EE
EE
E ES E
I
E
T
T
-4
EE
-6
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
Root 1
Hiper-redes
Estrada & Rodríguez-Velázquez,
Physica A 364, 2006, 581
Clasificación de redes
Estrada, E. Phys. Rev E 75, 2007, 016103
40
kq
30
20
10
0
0
10
20
30
40
kp
Empatía molecular
Estrada et al. J. Chem. Inf. Model. 46, 2006, 2709
Comunicabilidad
Estrada & Hatano, enviado
Conclusiones
Aunque no se nos está permitido penetrar en los
misterios de la Naturaleza y por tanto aprender
las causas reales de los fenómenos, a veces puede
ocurrir que cierta hipótesis ficticia sea suficiente
para explicar muchos fenómenos distintos.
L. Euler