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Colegio Nacional de Educación Profesional
Tècnica
Manual Teórico Práctico del
Módulo Autocontenido Específico
Matemáticas Discretas
PROFESIONAL TÉCNICO BACHILLER EN
INFORMÁTICA
Capacitado por:
e-cbcc
Educación-Capacitación
Basadas en Competencias
Contextualizadas
PT Bachiller en Informática
Informática
Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica
Matemáticas Discretas
TECNOLOGÍAS DE LA INFORMACIÓN
Capacitado por:
e-cbcc
Educación-Capacitación
Basadas en Competencias
Contextualizadas
PT Bachiller en Informática
1
Informática
Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica
PARTICIPANTES
Matemáticas Discretas
Suplente del Director General
Joaquín Ruiz Nando
Secretario de Desarrollo Académico y de Capacitación
Marco Antonio Norzagaray
Director de Diseño de Curricular de la Formación Ocupacional
Gustavo Flores Fernández
Coordinadores de Área Tecnologías de la Información
Ma. Cristina Martínez Mercado
Grupo de Trabajo para el Diseño del Módulo
Especialistas de Contenido
Asociación Mexicana de Ingenieros Mecánicos y Electricistas (AMIME)
Adriana Morales Ramírez y Jesús Castillo Reyes
Especialistas Pedagógicas
Asociación Mexicana de Ingenieros Mecánicos y Electricistas, A. C. (AMIME)
Sandra Rubio Rosete y Ana Ma. Villafranco Tinoco
Revisor de contenido
Sandra Luz Lozano Ramírez (CONALEP)
Revisión Pedagógica
Patricia Toledo Márquez (CONALEP)
Revisores de la Contextualización
Agustín Valerio (CONALEP)
Guillermo Armando Prieto Becerril (CONALEP)
Tecnologías de la información
Manual del curso – módulo Autocontenido Específico
“Matemáticas Discretas”
Informática
D.R. © 2004 CONALEP.
“Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra, incluida la portada, por cualquier medio sin
autorización por escrito del CONALEP. Lo contrario representa un acto de piratería intelectual
perseguido por la Ley Penal”.
E-CBCC
Av. Conalep N° 5, Col. Lázaro Cárdenas, C.P. 52140 Metepec, Estado de México.
www.conalep.edu.mx
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PT Bachiller en Informática
Informática
Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica
Matemáticas Discretas
ÍNDICE
I
II
III
IV
V
VI
Capítulo 1
Capítulo 2
Capítulo 3
Capítulo 4
Mensaje al capacitando
¿Cómo utilizar este manual?
Propósito del Módulo Autocontenido
Normas de Competencia Laboral
Especificaciones de evaluación
Mapa curricular del Módulo
Empleo de métodos de conteo, recursividad y grafos.
1.1 Uso de métodos matemáticos mediante gráficas, árboles y
ordenamientos.
1.2 Realizar conteo de números de acuerdo con las técnicas de conteo y
recursión.
1.3 Convertir sistemas numéricos binario, octal, hexadecimal mediante
operaciones aritméticas.
Prácticas y Listas de Cotejo
Aplicación de álgebra booleana.
2.1 Manejar la teoría de conjuntos con base a operaciones, relaciones y
funciones.
2.2 Utilizar lógica matemática mediante los principios de tablas de verdad.
2.3 Manejar circuitos lógicos de acuerdo con los principios de álgebra
booleana.
Prácticas y Listas De Cotejo
PÁG.
4
5
9
10
11
12
13
14
29
30
61
84
86
115
128
174
Resumen
182
Autoevaluación de Conocimientos
Respuestas a la Autoevaluación de Conocimientos
Glosario de Términos
Referencias Documentales
Anexos
184
187
191
199
PT Bachiller en Informática
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Informática
Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica
I. MENSAJE AL CAPACITANDO
¡CONALEP TE DA LA BIENVENIDA AL
CURSO-MÓDULO
AUTOCONTENIDO
ESPECIFICO MATEMÁTICAS DISCRETAS!
EL CONALEP, a partir de la Reforma
Académica 2003, diseña y actualiza sus
carreras, innovando sus perfiles, planes y
programas
de
estudio,
manuales
teórico-prácticos, con los avances
educativos, científicos, tecnológicos y
humanísticos predominantes en el
mundo globalizado, acordes a las
necesidades del país para conferir una
mayor competitividad a sus egresados,
por lo que se crea la modalidad de
Educación y Capacitación Basada en
Competencias Contextualizadas, que
considera las tendencias internacionales
y
nacionales
de
la
educación
tecnológica, lo que implica un reto
permanente en la conjugación de
esfuerzos.
Este manual teórico práctico que apoya
al módulo autocontenido, ha sido
diseñado bajo la Modalidad Educativa
Basada en Competencias
4
Matemáticas Discretas
Contextualizadas, con el fin de ofrecerte
una alternativa efectiva para el
desarrollo de conocimientos, habilidades
y actitudes que contribuyan a elevar tu
potencial productivo y, a la vez que
satisfagan las demandas actuales del
sector laboral, te formen de manera
integral con la oportunidad de realizar
estudios a nivel superior.
Esta modalidad requiere tu participación
e involucramiento activo en ejercicios y
prácticas con simuladores, vivencias y
casos reales para promover un
aprendizaje integral y significativo, a
través de experiencias. Durante este
proceso deberás mostrar evidencias que
permitirán evaluar tu aprendizaje y el
desarrollo de competencias laborales y
complementarias requeridas.
El conocimiento y la experiencia
adquirida se verán reflejados a corto
plazo en el mejoramiento de tu
desempeño laboral y social, lo cual te
permitirá llegar tan lejos como quieras
en el ámbito profesional y laboral.
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Informática
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Matemáticas Discretas
II. CÓMO UTILIZAR ESTE MANUAL
Las instrucciones generales que a
muy claros los conceptos que a
continuación se te pide que cumplas,
continuación
se
mencionan:
tienen la intención de conducirte a
competencia laboral, competencia
vincular las competencias requeridas por
central,
competencia
básica,
el mundo de trabajo con tu formación
competencia clave, unidad de
de profesional técnico.
competencia (básica, genéricas
• Redacta cuáles serían tus objetivos
específicas),
elementos
de
personales al estudiar este cursocompetencia,
criterio
de
módulo autocontenido.
desempeño, campo de aplicación,
• Analiza
el Propósito del cursoevidencias
de
desempeño,
módulo autocontenido que se indica
evidencias
de
conocimiento,
al principio del manual y contesta la
evidencias por producto, norma
pregunta ¿Me queda claro hacia
técnica de institución educativa,
dónde me dirijo y qué es lo que voy a
formación ocupacional, módulo
aprender a hacer al estudiar el
autocontenido, módulo integrador,
contenido del manual? Si no lo
unidad de aprendizaje, y resultado
tienes claro, pídele al docente te lo
de aprendizaje. Si desconoces el
explique.
significado de los componentes de
• Revisa el apartado Especificaciones
la norma, te recomendamos que
de evaluación, son parte de los
consultes el apartado Glosario, que
requisitos por cumplir para aprobar
encontrarás al final del manual.
el curso-módulo. En él se indican las
evidencias que debes mostrar
durante el estudio del mismo para
considerar que has alcanzado los
resultados de aprendizaje de cada
unidad.
• Es
fundamental que antes de
empezar a abordar los contenidos
del manual tengas
En el desarrollo del contenido de
cada capítulo, encontrarás ayudas
visuales como las siguientes, haz lo
que ellas te sugieren. Si no lo haces no
aprendes, no desarrollas habilidades, y
te será difícil realizar los ejercicios de
evidencias de conocimientos y los de
desempeño.
•
Analiza
la
Matriz
de
•
. Recuerda que en la educación basada
en normas de competencia laborales la
responsabilidad del aprendizaje es tuya,
pues eres quien desarrolla y orienta sus
conocimientos y habilidades hacia el
logro de algunas competencias en
particular.
• Analiza el apartado Normas Técnicas
de Competencia Laboral, Norma
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Informática
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contextualización del curso-módulo
autocontenido. Puede ser entendida
como la forma en que, al darse el
proceso de aprendizaje, el sujeto
establece una relación activa del
conocimiento y sus habilidades sobre
el objeto desde un contexto científico,
tecnológico, social, cultural e histórico
que le permite hacer significativo su
aprendizaje, es decir, el sujeto aprende
durante la interacción social, haciendo
del conocimiento un acto individual y
social.
•
Realiza la lectura del contenido de
cada capítulo y las actividades de
aprendizaje que se te recomiendan.
Matemáticas Discretas
Técnica de Institución Educativa.
Revisa el Mapa Curricular del
curso–módulo
autocontenido.
Esta
diseñado
para
mostrarte
esquemáticamente las unidades y los
resultados de aprendizaje que te
permitirán
llegar
a
desarrollar
paulatinamente
las
competencias
laborales requeridas por la ocupación
para la cual te estás formando.
Revisa la Matriz de Competencias
del
curso-módulo
autocontenido.
Describe las competencias laborales,
básicas y claves que se contextualizan
como parte de la metodología que
refuerza el aprendiza lo integra y lo hace
significativo.
IMÁGENES DE REFERENCIA
6
Estudio
individual
Investigación
documental
Consulta
con el docente
Redacción
de trabajo
Comparación del
resultado con otros
compañeros
Repetición del
ejercicio
PT Bachiller en Informática
Informática
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Matemáticas Discretas
Trabajo
en equipo
Sugerencias
o notas
Realización del
ejercicio
Resumen
Observación
Consideraciones
sobre seguridad e
higiene
Investigación
de campo
Portafolio
de evidencias
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Informática
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Matemáticas Discretas
III. PROPÓSITO DEL CURSO-MÓDULO AUTOCONTENIDO
Al finalizar el módulo, el alumno desrrollrá destrezas en la aplicación
de matemáticas discretas con base en métodos, aspectos discretos y
álgebra booleana para la formulación de algoritmos.
8
PT Bachiller en Informática
Informática
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Matemáticas Discretas
IV. NORMAS TÉCNICAS DE COMPETENCIA LABORAL
Para que analices la relación que
guardan las partes o componentes de la
NTCL o NIE con el contenido del
programa
del
curso–módulo
autocontenido de la carrera que cursas,
te recomendamos consultarla a través
de las siguientes opciones:
•
Acércate con el docente para que
te permita revisar su programa de
estudio
del
curso-módulo
autocontenido de la carrera que
cursas, para que consultes el
apartado de la norma requerida.
•
Visita la página WEB del CONOCER
en www.conocer.org.mx en caso
de que el programa de estudio del
curso - módulo ocupacional esta
diseñado con una NTCL.
•
Consulta la página de Intranet del
CONALEP http://intranet/ en caso
de que el programa de estudio del
curso - módulo autocontenido está
diseñado con una NIE.
PT Bachiller en Informática
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Informática
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Matemáticas Discretas
V. ESPECIFICACIONES DE EVALUACIÓN
Durante el desarrollo de las prácticas de
ejercicio también se estará evaluando el
desempeño. El docente, mediante la
observación directa y con auxilio de una
lista
de
cotejo,
confrontará
el
cumplimiento de los requisitos en la
ejecución de las actividades y el tiempo
real en que se realizó.
En éstas
quedarán registradas las evidencias de
desempeño.
Las autoevaluaciones de conocimientos
correspondientes a cada capítulo,
además de ser un medio para reafirmar
los conocimientos sobre los contenidos
tratados, son también una forma de
evaluar y recopilar evidencias de
conocimiento.
Al término del curso-módulo deberás
presentar un Portafolios de Evidencias1,
el cual estará integrado por las listas de
cotejo correspondientes a las prácticas
de ejercicio, las autoevaluaciones de
conocimientos que se encuentran al
final de cada capítulo del manual y
muestras de los trabajos realizados
durante el desarrollo del curso-módulo,
con esto se facilitará la evaluación del
aprendizaje para determinar que se ha
obtenido la competencia laboral.
Deberás asentar datos básicos, tales
como: nombre del alumno, fecha de
evaluación, nombre y firma del
evaluador y plan de evaluación.
1
El portafolio de evidencias es una compilación de documentos que le permiten al evaluador, valorar los conocimientos,
las habilidades y las destrezas con que cuenta el alumno, y a éste le permite organizar la documentación que integra los
registros y productos de sus competencias previas y otros materiales que demuestran su dominio en una función
específica (CONALEP. Mtodología para el diseño e instrumentación de la educación y capacitación basada en
competencias, Pág. 180).
10
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Informática
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Matemáticas Discretas
VII. MAPA CURRICULAR
Matemáticas
Discretas
Módulo
Unidad
de
Aprendizaje
1. Empleo
métodos
conteo,
recursividad
grafos
de
de
2. Aplicación de
álgebra booleana
y
42 hrs
30 hrs.
42 hrs.
1.1
Resultados de
Aprendizaje
Uso de métodos matemáticos mediante gráficas, árboles y
ordenamientos.
1.2 Realizar conteo de números de acuerdo con las técnicas de
conteo y recursión.
1.3 Convertir sistemas numéricos binario, octal, hexadecimal
mediante operaciones aritméticas.
10 hrs.
2.1
15 hrs.
Manejar la teoría de conjuntos con base a operaciones,
relaciones y funciones.
2.2 Utilizar lógica matemática mediante los principios de tablas
de verdad.
2.3 Manejar circuitos lógicos de acuerdo con los principios de
álgebra boleana.
PT Bachiller en Informática
10 hrs.
10 hrs.
15 hrs.
12 hrs.
11
Informática
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Matemáticas Discretas
EMPLEO DE MÉTODOS
DE
CONTEO,
RECURSIVIDAD
Y
GRAFOS
Al finalizar la unidad, el alumno
realizará conteo y recursión de
números
utilizando
métodos
matemáticos, técnicas de conteo y
operaciones
aritméticas
para
la
elaboración de algoritmos.
12
PT Bachiller en Informática
Informática
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Matemáticas Discretas
VII. MAPA CURRICULAR
Matemáticas
Discretas
Módulo
Unidad
de
Aprendizaje
Resultados de
Aprendizaje
1. Empleo de
métodos de conteo,
recursividad y
grafos.
2. Aplicación de
álgebra booleana
30 hrs
30 hrs.
42 hrs
42 hrs.
1.1 Uso de métodos matemáticos mediante gráficas, árboles y
ordenamientos.
1.2 Realizar conteo de números de acuerdo con las técnicas de
conteo y recursión.
1.3 Convertir sistemas numéricos binario, octal,
hexadecimal mediante operaciones aritméticas.
2.1 Manejar la teoría de conjuntos con base a operaciones,
relaciones y funciones.
2.2
Utilizar lógica matemática mediante los principios de
tablas de verdad.
2.3 Manejar circuitos lógicos de acuerdo con los principios
de álgebra boleana.
PT Bachiller en Informática
10 hrs.
10 hrs.
10 hrs.
15 hrs.
15 hrs.
12 hrs.
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Informática
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Matemáticas Discretas
1. EMPLEO DE MÉTODOS DE CONTEO, RECURSIVIDAD Y GRAFOS.
Sumario
Teoría de grafos
Métodos de conteo
Permutaciones y Combinaciones
Recursión
Sistemas numéricos
Conversiones y Operaciones de sistemas numéricos.
RESULTADO DE APRENDIZAJE
1.1
Uso de métodos matemáticos mediante gráficas, árboles y ordenamientos.
1.2
Realizar conteo de números de acuerdo con las técnicas de conteo y recursión.
1.3
Convertir sistemas numéricos binarios, octal, hexadecimal mediante operaciones
aritméticas.
1.1.1 Teoría de grafos.
Conceptos
La importancia de la matemática en el
contexto del desarrollo científico y
tecnológico de la humanidad, está
determinada por la posibilidad de elaborar
modelos matemáticos de los objetos
estudiados por las diferentes ramas de la
ciencia y la técnica es decir, describir
mediante el lenguaje vigoroso de la
matemática, las propiedades de los
objetos reales.
Por otra parte, el acento en los algoritmos
discretos, usados en las ciencias de la
computación, en la informática, así como
en la modelización de diversos fenómenos
mediante el ordenador, ha dado lugar a
un traslado de énfasis en la matemática
actual hacia la matemática discreta.
La Teoría de Grafos juega un papel
importante
en
la
fundamentación
matemática de las Ciencias de la
Computación. Los grafos constituyen una
14
herramienta
básica
para
modelizar
fenómenos discretos y son fundamentales
para la comprensión de las estructuras de
datos y el análisis de algoritmos.
Un grafo es un objeto matemático que se
utiliza para representar circuitos, redes,
etc. Los grafos son muy utilizados en
computación, ya que permiten resolver
problemas muy complejos.
Imaginemos que disponemos de una serie
de ciudades y de carreteras que las unen.
De cada ciudad saldrán varias carreteras,
por lo que para ir de una ciudad a otra se
podrán tomar diversos caminos. Cada
carretera tendrá un coste asociado (por
ejemplo, la longitud de la misma). Gracias
a la representación por grafos podremos
elegir el camino más corto que conecta
dos ciudades, determinar si es posible
llegar de una ciudad a otra, si desde
cualquier ciudad existe un camino que
llegue a cualquier otra, etc.
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Informática
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Matemáticas Discretas
El estudio de grafos es una rama de la
algoritmia muy importante.
Un grafo consta de vértices (o nodos) y
aristas.
Las gráficas G1 y G2 son no dirigidas y G3
es una gráfica dirigida.
V(G3)=1,2,3 E(G3)= ( < 1,2 >, < 2,1 >,
< 2,3>)
Lazo (Arco)
Vértice
Los vértices son objetos que contienen
información, para representarlos se suelen
utilizar puntos.
Arista
Aristas son conexiones entre vértices. Para
representarlas se suelen utilizar líneas para
las conexiones.
En general, los árboles constan de nodos,
que están conectados mediante arcos.
Todos los arcos que tienen asociado un
sentido se le denomina arco dirigido. En la
representación gráfica de un árbol, el
sentido de los arcos es, por convención,
desde la parte superior hacia la inferior.
Camino
Un camino es una secuencia de arcos en
que el extremo final de cada arco coincide
con el extremo inicial del siguiente en la
secuencia.
Gráfica dirigida
En una gráfica dirigida cada arco está
representado
por
un
par
dirigido <v1,v2>. v1 es el tail y v2 es el
head
del
arco.
Por
lo
tanto
<v1,v2>
y
<v2,v1>
representan
diferentes arcos.
PT Bachiller en Informática
15
Informática
Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica
Un camino es simple si no se repiten
vértices, excepto posiblemente el primero
y el último.
Circuito
Un circuito es un camino simple y cerrado.
(Circuito en rojo)
Matemáticas Discretas
un
circuito
hamiltoniano
es
una
trayectoria que empieza y termina en el
mismo vértice, no tiene aristas repetidas y
pasa por cada vértice una sola vez.
Ejemplo: ¿Cuál de los grafos siguientes
admite un circuito hamiltoniano?
v1
e1
e2
e6
v2
e3
e5
e4
v4
v3
(a)
v2
Un camino tal que u1,u2,...,up-1 son
distintos y up=u1 lo llamamos un circuito,
es decir, un circuito es un camino cerrado.
Si el circuito contiene todos los vertices de
V decimos que el circuito es hamiltoniano.
Si G contiene un circuito hamiltoniano
decimos que el grafo es hamiltoniano.
Dodecaedro: ejemplo de grafo
hamiltoniano.
e1
e2
e5
v3
e3
e4
v1
v4
(b)
Solución
a) No admite circuitos hamiltonianos.
El razonamiento es el siguiente: Si
se empieza en v1, v2, v3, v4 y si se
está en los demás vértices, en el v5
se estará dos veces.
b) Si se empieza en v5, para luego ir a
los vértices v1 o v4 ó a v3 o v2
respectivamente, se tendrá que
pasar de nuevo por v5 (puesto que
se empezará en v5).
Un circuito o ciclo hamiltoniano es un
ciclo simple que contiene todos los
vértices de G. Lo anterior quiere decir que
16
Para completar el circuito, se debe
regresar a v5, por lo que se pasa tres veces
por él.
Un ciclo hamiltoniano es:
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Informática
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v1 e1 v2 e2 v3 e3 v4 e4 v1
Gráfica conexa
Sea G un grafo conexo con n vértices,
donde n≥3. Si la suma de los grados de
cada par de vértices no adyacentes es
mayor o igual a n, entonces G tiene un
circuito hamiltoniano.
Trabajo en equipo
Competencia Analítica
Ubicar la utilización de grafos en un caso
caso práctico.
Matemáticas Discretas
campos. La construcción de un modelo es,
en esencia, un proceso consistente en
decidir cuales son las características o
aspectos de un problema o aplicación del
mundo real que hay que representar para
su análisis o estudio.
El modelo de la aplicación dependerá
mucho del punto de vista u objetivo que
tenga quien haga el modelo de dicha
aplicación. Los buenos modelos capta la
esencia del mundo real que resulta
interesante ( esto es, tiene el punto de
vista de quien hace el modelo) e ignoraran
los detalles irrelevantes para ese punto de
vista.
Además los buenos modelos son robustos,
esto es, siguen siendo relevante aun
cuando cambien las aplicaciones.
El alumno:
•
•
•
•
Integrará un equipo de trabajo de
cuatro participantes.
Cada uno de los integrantes del equipo
investigará las calles y construcciones
que se encuentran en los cuatro
puntos cardinales que circundan su
escuela.
Los nodos serán las construcciones y
las aristas las calles.
Una vez obtenida esta información, el
equipo elaborará un grafo donde se
muestren con circulos color azul los
nodos y con líneas rojas las aristas.
Los grafos se utilizan mucho para modelar
problemas pertenecientes a muchos
PT Bachiller en Informática
17
Informática
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Matemáticas Discretas
Árbol
Uno de los tipos de grafos más
importantes son los árboles, los árboles se
utilizan en muchos campos de aplicación.
Como por ejemplo, en las ciencias de la
Computación los árboles se utilizan para
organizar información de tal forma que
sea posible efectuar eficientemente
operaciones que involucren a esa
información.
Por otra parte, es frecuente que resulte
muy posible el desglosar los problemas
complejos y representarlos mediante una
estructura en forma de árbol.
Y lo que es más, los árboles surgen en
redes que se modelan mediante grafos.
En una red de comunicaciones, por
ejemplo, puede ser necesario que toda
pareja de nodos de la red esté conectada
con el mínimo costo posible. Donde la
solución de este problema implica la
construcción de otra clase de árbol, que se
denomina árbol de expansión.
Un árbol es un grafo acíclico, conexo y no
dirigido. Es decir, es un grafo no dirigido
en el que existe exactamente un camino
entre todo par de nodos. Esta definición
permite implementar un árbol y sus
operaciones
empleando
las
representaciones que se utilizan para los
grafos.
18
Propiedades: Si G = (VA) es un árbol de
n vértices, entonces:
a. Para todo par de vértices x e y existe
un único camino de x a y.
b. Todas las artistas de G son puentes.
c. | A | = n – 1.
d. Todo árbol tiene al menos dos hojas
(vértices de grado uno).
La terminología que por lo regular se
utiliza para el manejo de árboles es la
siguiente:
HIJO. X es hijo de Y, sí y solo sí el nodo X
es apuntado por Y. También se dice que X
es descendiente directo de Y.
PADRE. X es padre de Y sí y solo sí el nodo
X apunta a Y. También se dice que X es
antecesor de Y.
HERMANO. Dos nodos serán hermanos si
son descendientes directos de un mismo
nodo.
HOJA. Se le llama hoja o terminal a
aquellos
nodos
que
no
tienen
ramificaciones (hijos).
NODO INTERIOR. Es un nodo que no es
raíz ni terminal.
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Informática
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GRADO. Es el número de descendientes
directos de un determinado nodo.
GRADO DEL ÁRBOL Es el máximo grado
de todos los nodos del árbol.
NIVEL. Es el número de arcos que deben
ser recorridos para llegar a un
determinado nodo. Por definición la raíz
tiene nivel 1.
ALTURA. Es el máximo número de niveles
de todos los nodos del árbol.
PESO. Es el número de nodos del árbol sin
contar la raíz.
LONGITUD DE CAMINO. Es el número de
arcos que deben ser recorridos para llegar
desde la raíz al nodo X. Por definición la
raíz tiene longitud de camino 1, y sus
descendientes directos longitud de
camino 2 y así sucesivamente.
Realización del ejercicio
Competencia
Información
de
Matemáticas Discretas
Un grafo H se dice que es un subgrafo de
G si todos los vértices y ramas de H son
vértices y ramas de G.
1.1.2 Árboles
Definimos a un árbol como un grafo (no
dirigido) conexo que no contiene circuitos.
Y una colección de árboles disjuntos es
llamado bosque y ya que un árbol es un
grafo conexo damos por hecho que existe
un paseo entre cualesquiera 2 vértices. No
obstante si hubiera 2 o más paseos entre
un par de vértices entonces diríamos que
existe un circuito en ese árbol.
En general, los árboles constan de nodos,
que están conectados mediante arcos.
Todos los arcos que tienen asociado un
sentido se le denomina arco dirigido. En la
representación gráfica de un árbol, el
sentido de los arcos es, por convención,
desde la parte superior hacia la inferior.
Identificar las estructuras de datos de
forma gráfica.
El alumno:
•
•
Consultará con sus padres como se
integra su familia (abuelos, tios,
primos).
Con esta información. Elaborará un
grafo donde se muestre el árbol
genealógico de su familia.
Subgráfica
Si existe un arco que va del nodo i al nodo
j, entonces se dice que i es un padre de j, y
que j es un hijo de i. En la figura anterior,
por ejemplo, b es padre de d y e, y a es
padre de b y c. El nodo c solo tiene un
hijo. Los nodos hijos se denominan hojas,
PT Bachiller en Informática
19
Informática
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Matemáticas Discretas
mientras que todos los demás nodos se
denominan nodos rama.
En la figura anterior, a,b y c son nodos
rama, y d,e y f son hojas. El nodo raíz es el
único nodo que no tiene padre.
Todo nodo de un árbol posee un nivel. El
nodo raíz del árbol tiene el nivel 1. Los
hijos de un nodo de nivel n tienen el nivel
n+1. Por consiguiente, los hijos del nodo
raíz tiene el nivel 2, los nietos del nodo
raíz están en el nivel 3, y así
sucesivamente.
En
general,
cada
generación corresponde a un nivel.
La altura de un árbol es el máximo nivel
que se encuentre en ese árbol. El árbol
vacío tiene una altura cero. Es definición
de la palabra altura resulta cómoda para
las demostraciones matemáticas y se
utiliza
en
textos
de
orientación
matemática; dicho de otra manera la
altura de un árbol se define, como el
número de pasos que hay que dar desde
el nodo raíz hasta alcanzar el nodo que
tenga el mayor nivel. La única excepción
es el árbol vacío, para el cual el nivel es
igual a cero por cualquiera de las dos
definiciones anteriores.
Un árbol binario es un árbol ordenado en
el cual cada nodo tiene como máximo dos
hijos. Típicamente los nodos hijos son
llamados izquierdo y derecho.
Ejemplo sencillo de árbol binario
Un árbol binario es un grafo conectado
acíclico tal que el grado de cada vértice no
es mayor a 3.
Un árbol binario con enraizado es como
un grafo que tiene uno de sus vértices de
grado no mayor a 2 el cual se llama raíz.
Con la raíz escogida, cada vértice tendrá
un único padre, y mas de dos hijos.
Tipos de árboles binarios:
Un Árbol
binario es un árbol con raíz en el cual
cada nodo tiene como máximo dos hijos.
Un Completo Árbol binario es un árbol
en el que cada nodo tiene cero o mas
hijos.
Un Perfecto árbol binario es un
Completo Árbol binario en el que las
hojas (vértices con cero hijos) están a la
misma profundidad que (distancia de la
raíz, también llamados altura).
A veces un perfecto árbol binario es
llamado un completo árbol binario.
Algunos otros definen un completo árbol
binario como un árbol binario lleno en el
que todos los hijos son de profundidad n
o n-1 para alguno n
20
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Matemáticas Discretas
Redes Mínimas
Caracterizaciones
Caracterizaciones: Un grafo G=(V,A) es
un árbol ⇔ Para todo par de vértices x e y
existe un único camino de x a y ⇔ G es
conexo y todas las aristas son puentes ⇔
G es acíclico y maximal (la adición de una
arista nueva origina un ciclo) ⇔ G es
conexo y |A| = n - 1 ⇔ G es acíclico y |
A| = n - 1
Árboles Generadores
Un árbol generador (o de expansión) de
un grafo G, es un subgrafo que es árbol y
contiene a todos los vértices del grafo.
Un árbol T, subgrafo de un grafo G que
contenga todos los vértices de G se
denominan Árbol Generador de G.
A esta característica general es posible
agregar ciertos teoremas de modo de
detallar aún más el alcance de la
definición. Es así como el Grafo que
contiene a T debe ser conexo, pues de lo
contrario no existiría un subgrafo que
contuviera todos sus vértices.
En general un grafo G tendrá varios
árboles generadores, como el del
siguiente ejemplo, el cual tiene a lo
menos dos árboles generadores T1 yT2.
Árbol T1
Árbol T2
Algoritmos
para
hallar
un
árbol
generador, que se base en el teorema de
que el grafo G debe ser conexo, pueden
ser los que se realizan a través de los
métodos llamados buscar primero a lo
ancho, buscar primero a lo largo y el de
regreso al nivel anterior.
Árboles Generadores mínimos.
Un Árbol Generador Minimal es el que
resulta de la construcción en primer lugar
de un Árbol generador, pero con la
característica de ser el de menos peso del
grafo al cual genera.
Por ejemplo sea un grafo ponderado (con
peso) con cinco vértices.
La idea es construir un subgrafo que una a
todos los puntos pero con el mínimo de
peso (el peso se refiere al valor que se le
da a cada uno de los lados de un grafo).
Este subgrafo debe ser un árbol
generador, ya que debe unir todos los
vértices, debe ser conexo y debe haber un
único camino entre cada par de vértices,
por lo tanto, lo que se necesita es un árbol
generador con el mínimo de peso, es a
Grafo G
PT Bachiller en Informática
21
Informática
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Matemáticas Discretas
esto lo que se llama árbol generador
minimal.
Def.: Sea G un grafo con peso. Un árbol
generador mínimal de G es un árbol
generador de G con peso mínimo.
Ej.: Sea el Grafo G :
Éste parte con un grafo T que contiene
inicialmente todos los vértices y ningún
lado. en cada iteración se agrega un lado
a T de peso mínimo, tal que no complete
un circuito en T. Cuando T tenga n-1
lados, se termina.
Observación
Competencia Analítica
Analizar la estructura del algoritmo de
Kruskal.
Árbol T1
El alumno:
•
Observará como se desarrolla paso a
paso el algoritmo de Kruskal.
Árbol T2
Los Árboles T1 y T2 son árboles
generadores de G, sin embargo el peso de
ambos es distinto (T1=32 y T2=41). Por
lo tanto el Árbol Generador Minimal de G
es T1.
Algoritmo de Kruskal
Un algoritmo que origina un árbol
generador minimal en un grafo G de n
vértices, conexo y con peso es el
Algoritmo de Kruskal.
22
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Informática
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Matemáticas Discretas
La secuencia del algoritmo de Kruskal es la
siguiente:
Paso 4: Se selecciona el arco (d,f) cuyo
peso es 2
Paso 1: Se selecciona el arco (a,b) cuyo
peso es 1
Paso 2: Se selecciona el arco (c,d) cuyo
peso es 1
Paso 5: Se selecciona el arco (d,e) cuyo
peso es 4. Antes se intentó seleccionar los
arcos (a,c) y (c,f) cuyo peso es 3 pero
forman ciclo. Debido a que todos los
nodos están conectados el algoritmo
termina.
Paso 3: Se selecciona el arco (b,d) cuyo
peso es 2
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23
Informática
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Matemáticas Discretas
Competencia para la
Vida
Confirmar la exactitud de la elaboración
del ejercicio.
El alumno:
Costo = (a,b)+(b,d)+(d,c)+(d,e)+d (f)
= 1 + 2 + 1 + 4 + 2 = 10
Trabajo en equipo
•
Mostrará al P. S. A. el resultado del
ejercicio para confirmar la exactitud de
sus respuestas.
La ruta más corta
Competencia Analítica
Analizar la estructura del algoritmo de
Kruskal
El alumno:
•
•
•
Integrará un equipo de trajo con otro
compañero.
Analizará el siguiente grafo.
La ruta más corta es la suma de los costos
de los arcos del camino (a veces la
longitud de camino denota el número de
arcos en el camino)
El algoritmo de Dijsktra se basa en el
hecho de que tal vez sea más económico
pasar a través de uno o más nodos para ir
del vértice origen a algún otro, en vez de
ir directamente. Considere la siguiente
figura:
Mostrará en grafos independientes la
secuencia para la elaboración del grafo
antes mostrado según el algoritmo de
Kruskal.
Consulta con el docente
24
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Informática
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Matemáticas Discretas
desiguales, y en este último caso cual
precede en el orden.
En particular pueden ocurrir dos cosas,
que sea más económico ir directamente
del vértice i al vértice j (i.e., costo (i,j) <
costo (i,k) + costo (k,j) o sea más
económico pasar por el vértice k antes de
llegar al vértice j (i.e, (costo (i,k) + costo
(k, j) < costo (i,j))
Ordenamientos
Los árboles desde el punto de vista
matemático pertenece a la teoría de
grafos; desde el punto de vista
informático son estructuras de datos, lo
que significa que cada elemento,
denominado nodo u hoja, contiene un
valor. Los nodos que “cuelgan” de otros
se denominan hijos. Cada hoja puede
tener un máximo de hijos (si no tiene
ninguno se dice que es un nodo terminal).
Son especialmente interesantes y útiles los
árboles ordenados. Esto significa que
para su construcción, los nodos que se
van agregando no se colocan al azar,
colgando de cualquier nodo existente,
sino según un criterio que tiene en
consideración el “valor” de la hoja. Es
decir: que se establezca una regla por la
que se pueda determinar de forma
inequívoca si dos valores son iguales, o
Creación.- Hemos dicho que los árboles
son estructuras generalmente ordenadas;
aunque pueden no estarlo, la mayoría de
sus aplicaciones requieren que lo estén.
Es importante señalar que la disposición
final de los nodos depende del orden de
creación. Una vez establecido el criterio
de ordenación que se utilizará, el proceso
de construcción es el siguiente: El primer
elemento se coloca como nodo raíz; a
continuación se añade el segundo
elemento, que colgará de la rama derecha
si es mayor que el raíz, y del izquierdo en
caso contrario igual o menor.
A
continuación se añade el tercero, que se
colocará en la rama izquierda si es mayor
que el raíz y en la derecha si menor o
igual. El proceso sigue indefinidamente
hasta que se han colocado todos los
elementos del árbol.
En la siguiente figura se muestra el
aspecto de un árbol de 6 elementos,
suponiendo un orden de colocación
numérico. Se han colocado elementos con
valores 6, 8, 9, 10, 12 y 14 en el orden de
creación siguiente: 10, 8, 9, 12, 6, 14.
Si el
orden de
inserción
hubiese
sido
ligeramente
distinto, por ejemplo: 8, 9, 12, 6, 14, 10,
el aspecto sería:
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25
Informática
Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica
o iguales
existencia).
A su vez, en la siguiente figura se muestra
el aspecto con un tercer orden de
creación, cambiando solo el orden del
segundo y tercer elementos del caso
anterior: 8, 12, 9, 6, 14, 10.
Equilibrio: La forma de un árbol
ordenado depende exclusivamente del
orden de introducción de los nodos.
Cuando el árbol adopta la forma
aproximada de la figura 8 se dice que
En la siguiente figura se muestra un caso
extremo; el aspecto del árbol con un
orden de creación 6, 8, 9, 10, 12 y 14, es
decir: cuando los elementos han sido
previamente ordenados.
Como
puede
observarse,
con
independencia de cual sea el orden de
creación, ocurre que en cualquier nodo
del árbol ordenado, los elementos de la
rama inferior derecha (caso de existir) son
mayores que el elemento del nodo, y los
de la rama inferior izquierda son menores
26
Matemáticas Discretas
(suponiendo también su
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Matemáticas Discretas
está equilibrado; por el contrario, el de la
figura 9 está desequilibrado. A su vez, el
caso representado en la figura 11 ha
degenerado en una simple lista. Habrás
observado
que
el
árbol
más
desequilibrado (degenerado) se obtiene
precisamente cuando se suministran los
datos ordenados, y que los mejores
resultados, en cuanto al equilibrio, se
obtienen con un orden aleatorio.
En realidad la cuestión del equilibrio no es
de tipo estético sino práctico. El número
de saltos para encontrar un dato en un
árbol depende de su altura (número de
niveles), que es menor cuanto más
equilibrado esté. Cuando se trata de
árboles de cientos o miles de nodos en los
que se repiten cientos o miles de accesos,
las diferencias globales pueden ser muy
significativas. Por ejemplo, para encontrar
un dato en un árbol de 1.024 elementos
los valores teóricos medios oscilan entre
10 pasos si está equilibrado y 512 si
degenera en una lista.
Puede concluirse por tanto, que un árbol
equilibrado es una buena
estructura
desde la óptica de los mecanismos de
acceso a la información.
La secuencia de los recorridos en los tres
casos serían:
Inorden A D E b e g k
Preorden: b D A E g e k
Postorden: A E D e k g b
Realización del ejercicio
Competencia Lógica
Determinará la importancia del uso de
árboles para la solución de un problema.
El alumno:
•
En las semifinales y finales de una
competencia de tenis en Wimbledon,
en la cual participaron cuatro de las
mejores jugadoras en la historia del
tenis, en Wimbledon, cuando una
jugadora pierde, queda fuera del
torneo. Las ganadoras continúan
jugando hasta que solo queda una, la
campeona (este tipo de competencia
se llama torneo de eliminación simple.)
Recorrido de un árbol: Suponiendo un
árbol ordenado, como el de la figura 12,
existen tres formas estándar de recorrer la
totalidad de sus nodos: inorden, preorden
y postorden.
La diferencia está en el criterio seguido en
uno y otro caso para recorrer las ramas.
El primero es el que produciría una salida
ordenada de los valores de sus nodos.
Analizará el siguiente planteamiento:
•
Elaborará un árbol que muestre que:
en las semifinales, Mónica Seles
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27
Informática
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Matemáticas Discretas
derrotó a Martina Narvatilova y Steffi
Graf derrotó a Gabriela Sabatini. Luego
jugaron las ganadoras que fueron
Seles, y Graf, donde Graf derrotó a
Seles. Por lo tanto Steffi Graf, al ser la
única jugadora que no fue derrotada,
se convirtió en la campeona de
Wimbledon.
•
Mostrará al P.S.A. la solución del
ejercicio.
Uno de los tipos de grafos más
importantes son los árboles. Los árboles se
utilizan en muchos campos de aplicación .
Como por ejemplo , en las ciencias de la
Computación los árboles se utilizan para
organizar información de tal forma que
sea posible efectuar eficientemente
operaciones que involucren a esa
información.
Por otra parte , es frecuente que resulte
muy posible el desglosar los problemas
complejos y representarlos mediante una
estructura en forma de árbol .
Y lo que es más, los árboles surgen en
redes que se modelan mediante grafos. En
una red de comunicaciones, por ejemplo,
puede ser necesario que toda pareja de
nodos de la red esté conectada con el
mínimo coste posible.
28
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Informática
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Donde la solución de este problema
implica la construcción de otra clase de
árbol, que se denomina árbol de
expansión.
Definimos a un árbol como un grafo (no
dirigido) conexo que no contiene circuitos.
Y una colección de árboles disjuntos es
llamado bosque y ya que un árbol es un
grafo conexo damos por hecho que existe
un paseo entre cualesquiera 2 vértices. No
obstante si hubiera 2 o más paseos entre
un par de vértices entonces diríamos que
existe un circuito en ese árbol.
1.2.1 Conteo
Concepto
En muchos problemas podemos establecer
un espacio muestral equiprobable y
entonces el problema de calcular
probabilidades se convierte en un
problema de contar de cuántas maneras
se puede hacer algo.
Matemáticas Discretas
Sin saberlo hemos estado haciendo uso de
lo que se llama Principio Fundamental del
Conteo.
Características
Regla de la suma :
Si se puede realizar una primera tarea de
m maneras, mientras que una segunda se
puede efectuar de n maneras, y no se
pueden realizar las dos a la vez, entonces
tenemos un repertorio de m+n maneras
de realizar una tarea.
Ejemplo: Cinco empresas de transporte
terrestre tienen servicio diario entre
Mérida y México. Tres empresas de
aviación tienen vuelo diario entre Mérida y
México. En consecuencia, hay 5+3
maneras de ir de Mérida a México en
avión o en autobús.
Para empezar con algo sencillo, veamos
este problema. Tengo tres progamas para
ver correo electrónico: Mail, Pine y ZMail;
además recibo dos tipos de mensajes: de
trabajo y personales. Ud. me sorprende
viendo un mensaje y anota el tipo de
programa y el tipo de mensaje que estoy
viendo. ¿Cuántos puntos tiene el espacio
muestral?
Casi automáticamente hemos contestado
que son 6. Si alguien no nos cree,
podemos escribirle cuales son.
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29
Informática
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En los problemas de conteo, la palabra "o"
se traduce en suma.
Regla del producto :
Si un procedimiento se puede separar en
las etapas primera y segunda, y si hay
m posibles resultados para la primera
etapa y n para la segunda, entonces el
procedimiento total se puede realizar, en
el orden designado, de m·n maneras.
Ejemplo:
¿Cuántas cadenas de longitud 4 pueden
formarse mediante las letras ABCDE si no
se permiten repeticiones?
¿Cuántas cadenas de la parte (a)
comienzan con la letra B?
¿Cuántas cadenas de la parte (a) no
comienzan con la letra B?
Matemáticas Discretas
la primera letra, luego la segunda, luego
la tercera y por último la cuarta. La
primera letra (B) puede escogerse de una
manera, la segunda de cuatro formas, la
tercera de 3 formas y la cuarta de 2
formas. Así, por el principio de
multiplicación, existen:
1 * 4 * 3 * 2 = 24 cadenas que comienzan
con la letra B.
(c) La parte (a) muestra que existen 120
cadenas de longitud 4 que pueden
formarse mediante las letras ABCDE y la
parte (b) muestra que 24 de ellas
comienzan con la letra B. Esto implica que
existen 120 – 24 = 96 cadenas que no
comienzan con la letra B.
(a)
Utilizamos
el
principio
de
multiplicación. Una cadena de longitud 4
puede construirse en cuatro pasos
sucesivos: se elige la primera letra, luego
la segunda letra, luego la tercera letra y
finalmente la cuarta letra. la primera letra
puede escogerse de 5 maneras.
Una vez elegida la primera letra, la
segunda puede seleccionarse de cuatro
formas, una vez elegida la segunda letra,
la tercer puede escogerse de 3 maneras.
Una vez elegida la tercera letra, la cuarta
puede seleccionarse de 2 formas.
Entonces por el principio de multiplicación
existen:
5 * 4 * 3 * 2 = 120 cadenas.
(b) Las cadena que comienzan con la letra
B pueden construirse en 4 pasos: Se elige
30
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Informática
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Matemáticas Discretas
a + (n - 1)d n = 1, 2, 3, ... si el término
inicial se toma como el 1º.
Realización del ejercicio
Competencia Lógica
Visualizar la aplicación de la lógica
matemática
relacionada
con
las
permuaciones y combinaciones.
El alumno:
•
•
•
Analizará el siguiente planteamiento:
El menú de un restaurante ofrece 3
platos calientes y 4 postres. ¿De
cuántas maneras se puede elegir un
almuerzo de 1 plato caliente y 1
postre?
Para la solución de este ejercicio,
aplicará la regla del producto.
Para su comprobación elaborará un
grafico donde muestres la solución.
La primera opción ofrece una fórmula más
sencilla, pero emplea una terminología
más confusa, ya que no es común en el
lenguaje el uso de "cero" como ordinal.
La suma de los términos en un segmento
inicial de una sucesión aritmética se
conoce a veces como serie aritmética.
Existe una fórmula para las series
aritméticas. La suma S de los n primeros
valores de una sucesión finita viene dada
por la fórmula:
S = ½n(a1 + an)
donde a1 es el primer término y an el
último.
Conteo Lineal
Una progresión aritmética es una
sucesión de números tales que la
diferencia de dos términos sucesivos
cualesquiera de la secuencia es una
constante. Por ejemplo, la sucesión 3, 5, 7,
9, 11,... es una progresión aritmética de
constante (o diferencia común) 2.
Si el término inicial de una progresión
aritmética es a y la diferencia común es d,
entonces el término n-ésimo de la
sucesión viene dada por
a + nd,
n = 0, 1, 2, ... si el término
inicial se toma como el cero.
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31
Informática
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Matemáticas Discretas
Por ejemplo, para hallar la suma de los n
primeros enteros positivos:
Cada agrupación está formada por n
elementos distintos entre sí
Dos
agrupaciones
distintas
se
diferencian al menos en un elemento,
sin tener en cuenta el orden.
lo que también se conoce como número
triangular.
Ejemplo: Un grupo de 5 estudiantes,
María, Beto, Rosa, Alma y Norma, ha
decidido hablar con el director de la
escuela. El director ha
avisado que
hablará con 3 estudiantes ¿ De cuántas
maneras pueden elegir estos 5 estudiantes
a 3 de ellos para hablar con el director?
Conteo Geométrico
En matemáticas, una secuencia de
números en la que la proporción entre
cualquier número y el número siguiente es
constante. Por ejemplo, {1,2,4,8,16,...} es
una
progresión
geométrica
con
proporción constante de 2.
Para resolver este problema, no debemos
tomar en cuenta el orden. ( por ejemplo,
no importa si la jefa habla con María,
Alma y Norma o con Norma,
La progresión puede representarse de
forma recursiva con la siguiente ecuación:
t 1 = t1
tn = ptn-1
donde t es cada término, n el puesto que
ocupa en la progresión, y p la proporción
constante.
También puede representarse de forma
explícita con la siguiente ecuación:
tn = t1rn-1
1.2.2 Permutaciones y
Combinaciones
Combinaciones
Se llama combinaciones de n elementos
tomados de k en k (k ≤ n) a todas las
clases posibles que pueden hacerse con
los n elementos de forma que:
32
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Informática
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María y Alma.) Si enumeramos las
posibilidades, vemos que existen 10
maneras en que los 5 estudiantes pueden
elegir a 3 de ellos para hablar con la jefa y
son:
MBR MBA MRA BRA MBN MRN BRN
MAN BAN RAN
Permutaciones
Existen 4 candidatos para un puesto de
elección: Zeke, Yung, Xeno y Wilma. Para
que las posiciones de los nombres en la
boleta electoral no influyan sobre los
votantes, es necesario imprimir boletas
con los nombres enumerados en todos los
ordenes
posibles
¿Cuántas
boletas
distintas puede haber?
Podemos
utilizar
el
principio
de
multiplicación. Podemos formar una
boleta en cuatro pasos: se elige el primer
nombre por enumerar, se elige el segundo
nombre, se elige el tercer nombre y
finalmente se elige el cuarto nombre. El
primer nombre puede elegirse de 4
formas. Una vez elegido el primer nombre,
el segundo nombre puede elegirse de 3
formas.
Una vez elegido el segundo nombre, el
tercero puede elegirse de 2 formas. Una
vez elegido el tercer nombre, el cuarto
puede elegirse de una sola forma. Por el
principio de multiplicación, el número
total de boletas es:
Matemáticas Discretas
Se llama permutación simple de n
elementos tomados de k en k (k < n) a
los distintos grupos formados por k
elementos de forma que:
Los k elementos que forman el grupo
son distintos (no se repiten)
Dos grupos son distintos si se
diferencian en algún elemento o en el
orden en que están colocados (influye
el orden).
Aquí, no se utilizan todos los
elementos.
Si elegimos un primer elemento, lo
podemos hacer de n formas. Quitamos el
elemento elegido y elegimos otro de entre
los n-1 que quedan. Esto podrá hacerse de
n-1 formas.
Quitamos también este elemento y nos
quedamos con n-2, de entre los que
elegimos el tercero. Esto lo podremos
hacer de n-2 formas.
4 * 3 * 2 * 1 = 24
Un ordenamiento de objetos, como los
nombres
en
la
boleta,
es
una
permutación.
PT Bachiller en Informática
33
Informática
Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica
Según la regla del producto, las maneras
de escoger k elementos de entre un total
de n según un determinado orden, será
igual
al
producto
de:
n ⋅ (n − 1) ⋅ (n − 2 ) ⋅ ... ⋅ (n − k + 1)
Notación. Pn,k denota el número de
permutaciones de n elementos distintos
tomados de k en k.
Para llegar a una versión simplificada se
opera así:
n(n-1)(n-2)(n-3)...(n-(k-1))•(n-k)(n-(k+1))...(3)(2)(1)
(n-k)(n-(k+1))...(3)(2)(1)
= n! = Pn,k
(n-k)!
Ejemplo. P10,4 son las permutaciones de
10 elementos agrupándolos en subgrupos
de 4 elementos:
P10,4 =
10! = 10⋅9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 = 5,0
(10-4)!
6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1
Matemáticas Discretas
Notación. PRn, k denota el número de
permutaciones con repetición de n
elementos distintos tomados de k en k
PRnk = nk
Ejemplo. ¿Cuántos números de tres cifras
pueden formarse con los dígitos 1 y 2?
Solución: 2 3 = 8
Son permutaciones con repetición de n
elementos, no todos distintos. Todas las
agrupaciones de n elementos, formadas
por aquellos, están dispuestos linealmente
y sin que ninguno haga falta.
El número de permutaciones con
repetición que pueden realizarse con n
elementos, donde existen 1, 2, 3,... m
elementos iguales entre sí (de una misma
clase) y el resto distintos entre
Entonces
podemos
formar
5,040
subgrupos diferentes de 4 elementos a
partir de los 10 elementos.
Permutaciones con repetición
Se llaman Permutaciones con repetición
de n elementos tomados de k en k a los
distintos grupos formados por k
elementos de manera que:
Los elementos que forman los grupos
pueden estar repetidos.
Dos grupos son distintos si se
diferencian en algún elemento o en
el orden en que éstos están
colocados (influye el orden)
34
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Informática
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sí y distintos también a los anteriores es:
Pn∝1,∝2,∝3,...∝m =
n!
∝1!x∝2!x...x∝m!
Ejemplo 1. Calcular las permutaciones de
10 elementos, en los que uno de ellos se
repite en 2 ocasiones y otro se repite en 3
ocasiones:
10
2,3
P
•
•
•
•
•
Matemáticas Discretas
Eligirá 3 compañeros cuyos nombres
empiecen uno con A, otro con B y
otro más con C.
Existen 6 permutaciones de 3
elementos.
¿Cuales son dichas permutaciones?
Tres parejas de amigos se sientan en
una mesa circular.
¿De cuántas formas se pueden sentar?
Triangulo de Pascal
10!
=
= 302,400
2!×3!
Es decir, tendríamos 302,400 formas
diferentes de agrupar estos 10 elementos.
Si en cada agrupación figuran todos
o algunos de los elementos
disponibles, importando su orden de
colocación, entonces se trata de un
problema de permutaciones.
Blaise Pascal fue un matemático y físico
francés que vivió de 1623 a 1662. Trabajó
en distintas áreas de las matemáticas pero
uno de sus descubrimientos más famosos
es el conocido "triángulo de Pascal".
Como
su
nombre
nos
lo
dice,
construiremos un triángulo formado por
números de la siguiente manera.
Si en cada agrupación figuran todos
o algunos de los elementos
disponibles, sin importar el orden de
colocación
de
éstos,
entonces
estamos ante un problema de
combinaciones.
Realización del ejercicio
Competencia Lógica
Visualizar la aplicación de la lógica
matemática
relacionada
con
las
permutaciones y combinaciones.
El alumno:
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35
Informática
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Empezamos dibujando
formado por tres 1.
un
triángulo
Matemáticas Discretas
El triángulo de Pascal es el triángulo
generado por dos números de la siguiente
forma:
a
b
a a+b
El siguiente renglón lo obtendremos
continuando con la forma del triángulo,
escribiendo primero el número 1, después
el 2, que es el resultado de sumar los dos
1 que están justo encima de él y por
último otro 1.
b
a 2a+b 2b+a b
a 3a+b 3a+3b 3b+a b
a
4a+b 6a+4b 4a+6b a+4b b
Se puede ver que cada número es la suma
de los dos que están inmediatamente por
encima de él.
Cuando a y b son 1, se obtiene el llamado
triángulo de Tartaglia, que representa los
coeficientes combinatorios.
Si observamos con cuidado el siguiente
dibujo podrás darte cuenta de que todos
los renglones del triángulo de Pascal se
construyen de la misma manera:
Empiezan y terminan con un 1 y cada uno
de los número siguientes se obtiene
sumando los dos números que están justo
arriba en el renglón anterior.
36
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Matemáticas Discretas
conteo. Varias técnicas avanzadas de
conteo utilizan estos métodos.
1
1
1
1
1
4
3
2
1
6
Los números C(n,r) se llaman Coeficientes
Binomiales, pues aparecen en el
desarrollo del binomio (a+b) elevado a
una potencia. La interrelación entre los
números que aparecen en los problemas
de conteo y los que aparecen en
expresiones algebraicas tiene importantes
implicaciones. Por ejemplo , en el análisis
de un problema de conteo se pueden
deducir algunas relaciones algebraicas que
producen una solución al problema
original. Unaidentidad que es una
consecuencia de algún proceso de conteo
se denomina identidad combinatoria y el
razonamiento que lleva a su formulación
se conoce como razonamiento (o
argumento) combinatorio.
1
3
1
4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
Estudio individual
Competencia
Tecnológica
Utilizar el equipo de computo como una
herramienta de trabajo.
El alumno:
•
Accederá a un ordenador que cuente
con conexión a Internet.
• Ingresará a la siguiente dirección.
http://redescolar.ilce.edu.mx/redescolar/ac
t_permanentes/mate/ap_tpi/Page2.htm
[Consulta: 22 febrero 2005].
• Realizará la actividad que se indica en
la página.
Coeficientes
biominales
teorema del binomio.
y
Se podría decir a primera vista, la
expresión (a + b)n no parece tener mucho
que ver con las combinaciones, pero como
veremos a continuación, podemos obtener
una fórmula para desarrollar (a + b)n
utilizando la fórmula para el número de rcombinaciones de n objetos. Con
frecuencia, podemos relacionar una
expresión algebraica con algún proceso de
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El Teorema del Binomio proporciona una
fórmula para los coeficientes en el
desarrollo de (a + b)n. Como
n
(a + b) = (a + b)(a + b)...(a + b)
factores de n
el desarrollo surge al elegir a o b en cada
uno de los n factores, multiplicando las
selecciones entre ellas, y luego sumando
todos los productos obtenidos de esta
manera. Por ejemplo, en el desarrollo de
(a + b)3, se elige a o b en el primer factor
(a + b) ; a o b en el segundo factor (a +
b), y a o b en el tercer factor (a + b); se
multiplican las selecciones entre ellas y
luego se suman los productos obtenidos.
Si elegimos a en todos los factores y
multiplicamos, obtenemos el término aaa.
Si elegimos a en el primer factor, b en el
segundo factor y a en el tercer factor y
multiplicamos , obtenemos el término
aba. La tabla muestra todas las
posibilidades. Si sumamos los productos
de todas las selecciones, obtenemos
Matemáticas Discretas
(a+b) =C(n,0)a b +C(n,1)a1bn-1 +
C/n,n)a0bn
n
0
Este resultado se conoce como el teorema
del binomio.
Teorema del Binomio. Si a y b son
números reales y n es un entero positivo ,
entonces
n
(a+b)n = ∑ C(n,k)nn-kbk
k-0
DEMOSTRACIÓN.
La
demostración
aparece antes del enunciado del teorema.
El teorema del Binomio también puede
demostrar por inducción sobre n.
(a+ b)³ = (a + b)(a + b)(a + b)
= aaa + aab + aba + abb + baa + bab
+ bba + bbb
= a³ + a² b + a²b +ab² + a²b + ab² +
ab² + b³
= a³ + 3ª²b + 3ab² + b³
En el teorema del binomio, un término de
la forma an-kbk surge de elegir b en k
factores y a de los otros n-k factores . Pero
esto puede realizarse de C(n,k) formas ,
pues C(n,k) cuenta el número de formas
de elegir K cosas de n elementos. Así , ank k
b aparece C(n,k) veces. Esto implica que
38
n
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Matemáticas Discretas
Concepto
Selección Selección
del
del
1er. Factor 2º. Factor
(a + b)
(a + b)
a
a
a
a
a
b
a
b
b
a
b
a
b
b
b
b
Selección Producto
del
de
3er. Factor Selección
(a + b)
A
aaa = a3
B
aab = a2b
A
aba = a2b
B
abb =ab2
a
baa =a2b
b
bab =ab2
a
bba =ab2
b
bbb =b3
Cálculo de (a + b)1
Los números C(n,r) se conocen como los
coeficientes binomiales, pues aparecen en
el desarrollo de la ecuación:
Ejemplo: Tomando n = 3 de acuerdo con
el teorema se obtiene
Recursión es la forma en la cual se
especifica un proceso basado en su propia
definición. Siendo un poco más precisos, y
para evitar el aparente circulo sin fin en
esta definición, las complejas instancias de
un proceso se definen en términos de
instancias más simples, estando las finales
más simples definidas de forma explícita.
Sucesiones de números.
Se entenderá por sucesión una colección
de
números
dispuestos
uno
a
continuación de otro.
Sirvan de ejemplo:
a) –3, 0, 1/5, √2, 7, Π, 13...
(a+b)³=C(3,0)a³+C(3,1)a²b+C(3,2)ab²+
C(3,3)b³
= a³ + 3ª²b + 3ab² + b³
si se toma a = b = 1 en el teorema, da
como resultado la siguiente identidad
n
2 = (1,1) = ∑ C(n,k)
k-0
n
n
en esta ecuación también se puede probar
mediante un razonamiento combinatorio.
Las Permutaciones y Combinaciones nos
sirven para
distribuir y seleccionar n
objetos de diferentes maneras de acuerdo
a
reglas
establecidas
usando
procedimientos sistemáticos .
1.2.3 Recursión
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2 2 4 5
b) -1, 3, 7, 11, 15...
4, 4, 16, 25, ... bn = (n + 1)²
2 3 4
n
c) 3, 6, 12, 24, 48...
En el primero no es posible averiguar qué
número seguiría a 13 (no se encuentra
una regla que indique la relación entre los
términos). En el segundo, a 15 le seguirían
19, 23, 27... (cada término es cuatro
unidades mayor que el anterior). En el
tercero, al término quinto, que es 48, le
seguiría 96 (cada término es el doble del
anterior).
Cuando se habla de una sucesión
cualquiera, la forma más usual de referirse
a ella es escribir a1, a2, a3, a4, ..., an - 2 , an - 1
, an , ... donde los subíndices determinan
el lugar que cada término ocupa dentro
de la sucesión, y los puntos suspensivos
evitan la necesidad de escribir todos los
números.
Es
también
sucesión
frecuente
simbolizada
encontrar
por
simplemente (an).
1, 1, 9, 1, 25, ...
2
8
32
Una progresión aritmética es una sucesión
en la que cada elemento se obtiene
sumando al anterior un número fijo
llamado diferencia, que se representa por
la letra d .
Así, si (an) es una progresión aritmética, se
verifica que:
an = an - 1 + d
una
(an)nN,
o
De entre los muchos ejemplos que se
podrían citar, valgan los siguientes:
40
an =
cn = n2
2n
Sucesiones Aritméticas
Término general de una sucesión. El
término general de una sucesión es una
fórmula que permite conocer el valor de
un determinado término si se conoce
previamente el lugar que ocupa en la
misma. Por costumbre, al término general
de una sucesión se le denota por an y se
hablará de término n-ésimo.
1, 3, 3, 4, ...
Matemáticas Discretas
n+1
n
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Matemáticas Discretas
Término general de una progresión
aritmética
La fórmula del término general de una
progresión aritmética (an) se encuentra sin
más que observar que:
a2 = a1 + d
a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2 d
a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d
a5 = a4 + d = (a1 + 3d) + d = a1 + 4d
Nótese que en todos los casos el término
correspondiente es la suma de dos
cantidades:
- La primera es siempre a1
- La segunda es el producto (n - 1) d .
Estudiando más detalladamente algunos
modelos de progresiones aritméticas, se
pueden deducir propiedades de enorme
interés:
Propiedad: Si an es una progresión
aritmética de diferencia d y r + s = u + v,
entonces ar + as = au + av.
Demostración:
ar = a1 + (r – 1) d
as = a1 + (s – 1) d
ar + as = 2ª1 + (r + s –2) d
au = a1 + (u – 1) d
av = a1 + (v – 1) d
au + av = 2ª1 + (u + v – 2) d
Estos dos resultados son iguales
por ser r + s = u + v.
an = a1 + (n - 1) d
Si la diferencia de una progresión
aritmética es positiva, la progresión es
creciente; es decir cada término es mayor
que el anterior.
·
· Si la diferencia de una progresión
aritmética es cero, la progresión es
constante, es decir, tiene todos sus
términos iguales.
· Si la diferencia de una progresión
aritmética es negativa, la progresión es
decreciente, es decir, cada término es
menor que el anterior.
Términos equidistantes de una
progresión aritmética
El interés de las progresiones aritméticas
no acaba en el cálculo del término
general.
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Sucesiones Geométricas
Una progresión geométrica es una
sucesión en la que cada elemento se
obtiene multiplicando el anterior por un
número fijo llamado razón, y que se
representará por la letra r .
Así, si (an) es una progresión geométrica,
se verifica
an = an - 1 · r
Término general de una progresión
geométrica
La fórmula del término general de una
progresión geométrica (an) se encuentra
sin más que observar que:
a2 = a1 · r
a3 = a2 · r = (a1 · r) · r = a1 · r2
a4 = a3 · r = (a1 · r2) · r = a1 · r3
a5 = a4 · r = (a1 · r3) · r = a1 · r4
Matemáticas Discretas
progresión es creciente, es decir, cada
término es mayor que el anterior.
· Si la razón de una progresión
geométrica está comprendida entre
cero y uno, la progresión es
decreciente, es decir, cada término es
menor que el anterior.
· Si la razón de una progresión
geométrica es igual a uno, la
progresión es constante, es decir, tiene
todos los términos iguales.
· Si la razón de una progresión
geométrica es menor que cero, la
progresión es alterna, es decir, sus
términos son alternativamente positivos
y negativos.
Sucesiones Binarias
Denotemos por A al conjunto de todas las
sucesiones binarias de longitud n.
Nótese que, en todos los casos, el término
correspondiente es el producto de dos
cantidades:
- La primera es siempre a1
- La segunda es una potencia de base r
y exponente un cierto número, que se
obtiene restando una unidad al
subíndice.
En definitiva, la expresión del término
general es:
an = a1 · rn - 1
· Si la razón de una progresión
geométrica es mayor que uno, la
42
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Matemáticas Discretas
Esta sucesión es la llamada "sucesión de
Sea Å una operación binaria sobre A tal
que para x y y en A, x Å y es una sucesión
de longitud n que tiene números uno en
las posiciones donde x y y difieren y
números cero en las posiciones donde x y
y son iguales.
Por ejemplo, sea x = 00101 y y = 10110 ,
entonces x Å y = 10011 . Una palabra con
únicamente ceros es la identidad, y que
cualquier palabra es su propio inverso en
(A,Å).
Sea x una palabra en A . Definimos el peso
de x, denotado por w(x) , como la
cantidad de números uno en x .
Fibonacci. Es el sobrenombre con el que
se conoció al rico comerciante Leonardo
de Pisa (1170-1240). Viajó por el Norte de
África y Asia y trajo a Europa algunos de
los conocimientos de la cultura árabe e
hindú, entre otros la ventaja del sistema
de numeración arábigo (el que usamos)
frente al romano.
La sucesión de Fibonacci presenta
diversas regularidades numéricas. Para
que resulte más sencillo las hemos
enunciado en casos particulares (aunque
se cumplen en general) y hemos calculado
los primeros catorce términos de esta
sucesión:
Así, el pero de 1110000 es igual a 3 , al
igual que el de 1001100 . Para x y Y en A,
definimos la distancia entre x y y,
denotada por d(x,y), como el peso de x Å
y , w(x Å y) .
Por ejemplo la distancia entre 1110000 y
1001100 es 4 , y la distancia entre
1110000 y 0001111 es de 7.
Observamos que en la distancia entre las
dos palabras es exactamente el número de
posiciones en las cuales éstas difieren.
Fiobonacci
Consideremos la siguiente sucesión de
números: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34...
Cada número a partir del tercero, se
obtiene sumando los dos que le preceden.
Por ejemplo, 21=13 + 8; el siguiente a 34
será 34 + 21=55.
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t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7
1 1
t8
t9
t10 t11 t12
t13
t14
2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377
Si sumas los cuatro primeros términos y
añades 1, obtendrás el sexto (1+1+2+3
+ 1 = 8). Si sumas los cinco primeros
términos y añades 1, obtendrás el séptimo
(1+1+2+3+5 + 1 = 13).
Si sumas los tres primeros términos que
ocupan posición impar (t1,t3,t5) obtienes el
sexto término (t6), (1+2+5 = 8). Si sumas
los cuatro primeros términos que ocupan
posición impar (t1,t3,t5,t7) obtienes el
octavo término (t8), (1+2+5+13 = 21).
Si sumas los tres primeros términos que
ocupan posición par (t2,t4,t6) y añades 1,
sale el séptimo término (t7), (1+3+8 + 1
=13). Si sumas los cuatro primeros
términos que ocupan posición par
(t2,t4,t6,t8) y añades 1, obtienes el noveno
término (t9), (1+3+8+21 + 1 =34).
Matemáticas Discretas
Los
números
consecutivos
de
Fibonacci son primos entre si.
La propiedad mas curiosa de esta
sucesión es que el cociente de dos
números consecutivos de la serie se
aproxima a la razón áurea. Esto es:
an+1/an tiende a (1 + 5)/2.
Cuyos valores comienzan con 1, 1,
3,5,8,13,..... y fue llamada así en honor a
Leonardo Fibonacci. Desde este momento
en adelante denotaremos la sucesión de la
siguiente manera:
f1,f2....
Esta sucesión queda definida mediante las
siguientes ecuaciones:
f1 = 1
f2 = 2
fn = fn-1 + fn-2 ,n ≥ 3
Propiedades. La sucesión de Fibonacci
tiene muchas propiedades curiosas:
La suma de los n primeros términos
es: a1 + a2 +... + an = an+2 – 1
La suma de los términos impares es:
a1 + a3 +... + a2n-1 = a2n
La suma de los términos pares es: a1
+ a4 +... + a2n = a2n+1 - 1
La suma de los cuadrados de los n
primeros términos es: a12 + a22 +... +
an2 = anan+1
Si n es divisible por m entonces an es
divisible por am
44
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La sucesión de Fibonacci surge en los
lugares menos esperados. Como por
ejemplo, el número de espirales realizadas
en el sentido de las manecillas del reloj y
el número de las espirales realizadas en
sentido contrario al de las manecillas del
reloj y el número de espirales realizadas en
sentido contrario al de las manecillas del
reloj formadas por las semillas de ciertas
variedades que aparecen en la sucesión de
Fibonacci.
EJEMPLO
La sucesión de Fibonacci (explicada
anteriormente), se define mediante la
siguiente relación de recurrencia
fn = fn-1 + fn-2, n ≥ 3
Matemáticas Discretas
inducción matemática supone la verdad
de instancias anteriores del enunciado,
para demostrar la verdad del enunciado
en cuestión.
Una relación de recurrencia que define
una sucesión se puede convertir de
manera directa en un algoritmo para el
cálculo de la sucesión.
La torre de Hanoi
La torre de Hanoi es un juego que consta
de tres postes montados sobre un tablero
y n discos de diversos tamaños con
agujeros en sus centros.
Se supone que si un disco está en algún
poste, sólo se puede colocar sobre tal
disco otro con diámetro menor.
con la siguientes condiciones iniciales
f1 = 1
f2 = 2
Recurrencia
Todo surge debido a que en muchos de
los problemas del cálculo, algunas veces
en muchos más fácil el obtener la
especificación de una función numérica en
términos de una relación de recurrencia,
que obtiene una expresión general para el
valor de una función numérica ; y por lo
tanto es obvio que en una relación de
recurrencia podemos llevar acabo un
cálculo paso por paso para de esta
manera llegar a determinar el valor .
Una relación de recurrencia utiliza valores
anteriores en una sucesión para calcular el
valor actual. Un algoritmo recursivo utiliza
instancias menores de la entrada actual
para calcular ésta. Y en su caso el paso
inductivo en una demostración por
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Dados todos los discos apilados en un
poste, como en la figura, el problema
consiste en transferir los discos a otro
poste, moviendo un disco a la vez.
Daremos
la
solución
y
luego
determinaremos
una
relación
de
recurrencia y una condición inicial para la
sucesión c1,c2,.. donde cn denota el
número de movimientos necesarios en
nuestra solución del problema con n
discos. Luego mostraremos que nuestra
solución optima; es decir, mostraremos
que ninguna otra solución utiliza menos
movimientos.
Matemáticas Discretas
poste 3. Con esto hemos podido mover n
discos del poste 1 al poste 3.
Si n > 1 , resolvemos dos veces el
problema con ( n – 1 ) discos y movemos
de manera explícita un disco.
Por tanto,
cn = 2cn-1 + 1,
n>1
por lo tanto la condición inicial es
c1 = 1
La solución que nosotros consideraremos
como óptima .
Daremos un algoritmo recursivo. Si sólo
existe un disco, basta moverlo al poste
deseado. Si tenemos n > 1 discos en el
poste 1, como en la figura anterior,
primero llamamos de manera recursiva a
nuestro algoritmo, para mover los n – 1
discos superiores al poste 2 (véase la
siguiente
figura).Durante
estos
movimientos, el disco inferior en el poste
1 permanece fijo. A continuación
movemos el disco restante del poste 1 al
poste 3. Por último, de nuevo llamamos
de manera recursiva a nuestro algoritmo
para mover los n – 1 discos del poste 2 al
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Matemáticas Discretas
Sea dn el número de movimientos necesarios por
una solución óptima. Utilizaremos la inducción
matemática para mostrar que
cn = dn, n ≥ 1
(a)
PASO BASE ( N = 1 ). Por inspección:
c1 = 1 = d1
De modo que la ecuación (a) es verdadera
para n = 1.
PASO INDUCTIVO .- supongamos que la
ecuación (a) es verdadera para n – 1.
Consideremos el momento de una
solución óptima para el problema con n
discos en que el disco de mayor tamaño se
mueve por vez primera.
dn ≥ 2dn-1 +1 = 2cn-1 + 1 = cn
(b)
la última igualdad es consecuencia de la
relación de recurrencia para la sucesión
c1,c2,... Por definición, ninguna solución
puede realizarse en menos movimientos
que la solución que hemos considerado
como óptima, de modo que
cn ≥ dn
(c)
Combinamos las desigualdades de las
ecuaciones (b) y (c) para poder obtener
cn = dn
Hemos concluido el paso inductivo. Por lo
tanto queda demostrado que la solución
es óptima.
Este disco debe estar sólo en un poste
(para que pueda moverse) y otro poste
debe estar vacío ( de modo que este poste
pueda recibir el disco de mayor tamaño).
Así los n – 1 discos menores deben estar
apilados en un tercer poste.
En otras palabras, debe haberse resuelto
el problema con n - 1 discos, lo cual
requería al menos dn-1 movimientos. Luego
se mueve el disco mayor, para lo cual se
requiere de un movimiento adicional. Por
último, en algún momento, los n – 1
discos se colocan sobre el disco mayor, lo
que requiere al menos dn-1 movimientos
adicionales.
Todo lo anterior implica
dn ≥ 2dn-1 + 1
Por la hipótesis de inducción cn-1 = dn-1 .
Así
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Matemáticas Discretas
movimientos para resolver el juego con 64
discos, podremos estar seguros de que
algo ocurriría a la torre antes de que se
moviera por completo.
Realización del ejercicio
Competencia
Tecnológica
Utilizar el equipo de computo como una
herramienta de trabajo.
El alumno:
•
•
•
Accederá a un ordenador que cuente
con conexión a Internet.
Ingresará a la siguiente dirección:
http://www.acertijos.net/juegos/tower/
[Consulta: 22 febrero 2005]
Realizará la actividad que se solicita en
dicha página.
La definición de relación de recurrencia se
puede ampliar para incluir funciones con
índices dados por n-adas de enteros
positivos.
EJEMPLO. La función de Ackermann se
puede definir mediante las relaciones de
recurrencia
A(m,0) = A(m-1,1) m = 1,2,. . . . , (X)
A(m,n) = A(m-1,A(m,n-1) )m = 1,2, . . . .
, n = 1,2,. . . . ,
(Y)
por lo tanto las condiciones iniciales son
A(0,n) = n+1 n = 0,1, . . . .
La leyenda
Este juego fue ideado por el matemático
francés Éduard Lucas y fue también quién
llamo la sucesión 1,1,3,5,... sucesión de
Fibonacci.
Se creó la siguiente leyenda para
acompañar el juego. Se decía que el juego
se había deducido de una mítica torre de
oro con 64 discos.
Los 64 discos debían ser trasladados por
monjes, de acuerdo con las reglas ya
establecidas. Se decía que antes de que
los monjes terminasen de mover la torre,
ésta caería y el mundo llegaría a su fin.
Como al menos necesitan:
264 – 1 = 18,446,744,073,709,551,615
48
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(Z)
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La
función
de
Ackermann
tiene
importancia teórica debido a su rápida
tasa de crecimiento. Las funciones
relacionadas con la función de Ackermann
aparecen en la complejidad del tiempo de
ciertos algoritmos, como el tiempo para
ejecutar algoritmos de unión y búsqueda .
El cálculo es por tanto
A(1,1) = A(0,A(1,0)) por la ecuación (Y )
= A(0,A(0,1)) por la ecuación ( X)
= A(0,2) por la ecuación ( Z )
= 3 por la ecuación ( Z )
Matemáticas Discretas
el último paso surge de la fórmula para la
suma geométrica.
EJEMPLO: Podemos resolver la relación de
recurrencia
Pn = a – b pn-1
k
para el precio pn en un modelo económico
si lo realizamos por medio del método de
iteración.
Pero para que la notación nos resulte más
sencilla, hacemos s = -b/k
El juego
Pn = a + spn-1
Determine una fórmula explícita para cn, el
número mínimo de movimientos en que
puede resolverse el juego de la Torre de
Hanoi con n discos.
En la
relación de recurrencia de la
ecuación:
Cn = 2cn-1 + 1
= a + s (a + spn-2)
= a + as + s2 pn-2
= a + as + s² (a + spn-3)
= a + as + as² + s³ pn-3
.
.
.
donde la condición inicial es: c1 = 1
Al aplicar el método
ecuación, obtenemos
Cn = 2cn-1 + 1
iterativo
a
la
= 2(2cn-2 + 1) + 1
= 22 cn-2 + 2 + 1
=23 cn-3 + 22 + 2 + 1
.
.
.
=2n-1c1+ 2n-2 + 2n-3 + ... + 2 + 1
= 2n-1 + 2n-2 + 2n-3 +... + 2 + 1
=2n-1
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Matemáticas Discretas
ordenados ya no se
= a + as + as² + ... + asn-1 + sn p0
= a – asn + sn p0
= a – asn + sn p0
1-s
= sn –a + p0 + a
1-s
1-s
= -b
k
n
-ak + p0 + ak
k+b
k+b
(M)
observamos que si b/k < 1, entonces el
término
-b
k
n
-ak + p0
k-b
es cada vez más pequeño conforme n
crece, de modo que el precio tiende a
estabilizarse en aproximadamente ak/(k +
b).
Entonces si b/k = 1, la ecuación (M)
muestra que pn oscila entre p0 y f(x) = 1
/(1-x).
van quedando
comparan.
El bubble sort, también conocido como
ordenamiento burbuja, funciona de la
siguiente manera: Se recorre el arreglo
intercambiando los elementos adjacentes
que estén desordenados. Se recorre el
arreglo tantas veces hasta que ya no haya
cambios. Prácticamente lo que hace es
tomar el elemento mayor y lo va
recorriendo de posición en posición hasta
ponerlo en su lugar.
Supongamos que se desea clasificar en
orden ascendente el vector o lista,
50 15 56 14 35
1 12 9
A[1] A[2] A[3] A[4] A[5] A[6] A[7] A[8]
Los pasos a seguir son:
- Comparar A[1] y A[2] si están en orden,
se mantienen como están, en caso
contrario se intercambian entre si.
Si b/k > 1 , la ecuación (3.3.8) muestra
que las diferencias entre los precios
sucesivos aumentan.
Método de la burbuja
Bubble sort (Ordenamiento de burbuja).
El método de burbuja va comparando
cada elemento del arreglo con el
siguiente; si un elemento es mayor que el
que le sigue, entonces se intercambian;
esto producirá que en el arreglo quede
como su último elemento, el más grande.
Este proceso deberá repetirse recorriendo
todo el arreglo hasta que no ocurra
ningún intercambio. Los elementos que
50
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- A continuación se comparan los
elementos 2 y 3; de nuevo se intercambian
si es necesario.
- El proceso continua hasta que cada
elemento del vector ha sido comparado
con sus elementos adyacentes y se han
realizado los intercambios necesarios.
Un ejemplo en seudo código es:
desde I
1 hasta 7 hacer
si elemento [I] <elemento [I + 1]
entonces
intercambiar (elemento [I] , elemento [I
+ 1]
fin_si
fin_desde
Las relaciones de recurrencia no sólo
aparecen en el análisis de complejidad,
sino además en muchos otros campos,
tanto dentro de las ciencias de la
computación como fuera de ellas. Por
ejemplo, el crecimiento de una población
suele darse en términos de una relación de
recurrencia. El modelo de crecimiento más
sencillo está basado en la suposición
consistente en que la población crece un
factor constante a cada año.
Matemáticas Discretas
Un sistema numérico está definido por la
base que utiliza. La base de un sistema
numérico es el número de símbolos
diferentes o guarismos, necesarios para
representar un número cualquiera de los
infinitos posibles en el sistema.
Los símbolos numéricos que hoy se
utilizan fueron introducidos por los
matemáticas árabes, quienes los habrían
tomado de los hindúes.
Números decimales (Base 10).
Los símbolos numéricos que hoy se
utilizan fueron introducidos por los
matemáticas árabes, quienes los habrían
tomado de los hindúes.
Los símbolos que se usan actualmente en
el sistema de numeración decimal son los
siguientes: {1,2,3,4,5,6,7,8,9,0}
1.3.1 Sistemas numéricos.
Concepto
En matemáticas, varios sistemas de
notación que se han usado o se usan para
representar
cantidades
abstractas
denominadas números.
PT Bachiller en Informática
51
Informática
Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica
Matemáticas Discretas
A estos símbolos básicos indoarábicos se
les llama también dígitos.
6ª
5ª
4ª
3ª
2ª
1ª
Posición Posición Posición Posición Posición Posición
1
1
1
1
1
1
Características principales del Sistema
de Numeración Decimal. En un numeral,
cada dígito tiene un valor relativo y un
valor posicional.
Valor
Valor
Valor
Valor
Valor
Valor
32
16
8
4
2
1
La base del sistema decimal es diez. Diez
unidades de un orden cualquiera forman
una unidad del orden inmediatamente
superior.
En un numeral, cada posición es diez
veces
mayor
que
la
que
está
inmediatamente a su derecha.
El valor de los dígitos según su posición en
un numeral, hasta la centena de millar,
aparece en el cuadro siguiente:
La computadora utiliza el sistema
numérico binario para realizar sus
operaciones. Es importante porque posee
dos dígitos que facilitan el manejo de
datos.
La computadora considera los números 0
y 1. Observarás que la presencia de una
corriente eléctrica = 1 (encendido), o que
la ausencia = 0 (apagado).
Cuando la corriente eléctrica pasa a través
de la computadora, ésta lee un 1 cuando
percibe la corriente eléctrica y un 0
cuando no hay corriente eléctrica.
6ª
5ª
4ª
3ª
2ª
1ª
Posición Posición Posición Posición Posición Posición
centenas decenas unidades
centenas decenas unidades
de mil
de mil de mil
CM
DM
UM
C
D
U
Números binarios (Base 2).
El sistema de numeración binario o de
base 2 es un sistema posicional que utiliza
sólo dos símbolos para representar un
número. Los agrupamientos se realizan de
2 en 2: dos unidades de un orden forman
la unidad de orden superior siguiente.
Este
sistema
de
numeración
es
sumamente importante ya que es el
utilizado por las computadoras para
realizar todas sus operaciones.
52
PT Bachiller en Informática
Informática
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Matemáticas Discretas
Números decimales del 0 al 15 y sus
equivalentes en sistema binario.
Decimal Binario
0
0
1
1
2
10
3
11
4
100
5
101
6
110
7
111
8
1000
9
1001
10
1010
11
1011
12
1100
13
1101
14
1110
15
1111
Números octales (Base 8).
Decimal Octal
0
0
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
7
7
8
10
9
11
10
12
11
13
12
14
13
15
14
16
15
17
El sistema de numeración octal es también
muy usado en la computación por tener
una base que es potencia exacta de 2 o de
la numeración binaria. Esta característica
hace que la conversión a binario o
viceversa sea bastante simple.
El
sistema
octal
usa
8
dígitos
(0,1,2,3,4,5,6,7) y tienen el mismo valor
que en el sistema de numeración decimal.
El sistema de numeración octal usa la
notación posicional.
Números decimales del 0 al 15 y sus
equivalentes en sistema numérico octal.
PT Bachiller en Informática
53
Informática
Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica
Números hexadecimmales (Base
16).
Por su parte, el sistema hexadecimal,
como su propio nombre indica, es un
sistema de codificación análogo al
anterior, con la diferencia de que su base
es 16. Como el sistema de representación
arábigo (que utilizamos) solo tiene 10
dígitos (0 al 9), para su representación se
han utilizado además las seis primeras
letras del alfabeto: A,B,C,D,E,F (en
algunos sistemas pueden utilizarse tanto
mayúsculas como minúsculas). Resulta así
que los dígitos de este sistema van del 0 al
F
(sus
valores
decimales
son
respectivamente 0 y 15).
La representación de cualquier cantidad
sigue las mismas reglas que la codificación
decimal, con la diferencia de que la base
es ahora 16.
13
14
15
1.3.2 Conversiones y Operaciones de
sistemas numéricos.
Conversión decimal a binario.
Para convertir números enteros de decimal
a binario, la forma más simple es dividir
entre 2 sucesivamente al numero decimal
y los cocientes que se van obteniendo
hasta que una de las divisiones resulte 0.
La unión de todos los residuos obtenidos
escrito en orden inverso nos proporcionan
el número inicial expresado en el sistema
binario.
Ejemplo: si queremos convertir el número
75 (decimal) a binario decimos que:
Números decimales del 0 al 15 y sus
equivalentes en hexadecimal.
Decimal Hexadecimal
0
0
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
7
7
8
8
9
9
10
A
11
B
12
C
54
Matemáticas Discretas
D
E
F
PT Bachiller en Informática
Informática
Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica
División entre 2
Base del sistema
Binario
75
37
18
9
4
2
0
Matemáticas Discretas
orden inverso, nos proporcionan el
número inicial expresado en el sistema
octal.
1
1
0
1
0
1
Ejemplo: si queremos convertir el número
75 (decimal) a octal decimos que:
Nuestro número decimal 75 = 1 0 0 1
0 11
Para convertir de un número binario a
decimal y nuevamente recordando que el
valor de la posición de cada número es el
valor que adquiere decimos que:
1001011= 1
0
0
1
0
1
1
(26)+(25)+(24)+(23)+ (22)+ (21)+ (20)
26 = 64
23 = 8
21 = 2
20 = 1
División entre 8
Que es la base
Del sistema
Octal.
75
9
1
3
1
Nuestro número decimal 75 = 1 13 en
sistema octal.
Para convertir de un número octal a
decimal y nuevamente recordando que el
valor de la posición de cada número es el
valor que adquiere decimos que:
113 =
1
1
3
2
1
(8 ) + (8 ) + (80)
64 + 8 + 2 + 1 = 75
Solo usamos las posiciones que contienen
nuestro código 1, pues el cero significa
que no tiene valor dicha posición.
Conversión decimal a octal.
Para convertir de decimal a octal, usamos
la misma forma que el sistema binario con
la diferencia que la división será entre 8,
esto es, dividimos el número decimal entre
ocho, moviendo el residuo a la posición
derecha, hasta que nuestro cociente sea
cero o ya no se pueda dividir. La unión de
todos los restos obtenidos escritos en
PT Bachiller en Informática
55
Informática
Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica
Matemáticas Discretas
82 * 1 = 64
81 * 1 = 8
80 * 3 = 3
4 B=
64 + 8 + 3 = 75
Elevamos el número ocho a la potencia
161 * 4 = 64
160 * 11 = 11
4
B
(161) + (160)
64 + 11 = 75
que corresponde según la posición del
dígito y el resultado lo multiplicamos por
su valor absoluto.
Aquí elevamos el número 16 a la potencia
que corresponde según la posición del
dígito y el resultado lo multiplicamos por
su valor absoluto.
Conversión
hexadecimal.
Como se habrá observado se puede usar
cualquier
base
numérica
y
la
metodología de conversión es la misma.
Las bases numéricas que aquí se exponen
son las que se usan normalmente en
informática. Esto es porque así lo
requieren los ordenadores.
decimal
a
Para convertir de decimal a hexadecimal,
usamos nuevamente la misma forma que
las planteadas en los sistemas binario y
octal con la diferencia que la división será
entre 16, esto es, dividimos el número
decimal entre 16, moviendo el residuo a la
posición derecha, hasta que nuestro
cociente sea cero o ya no se pueda dividir.
La unión de todos los restos obtenidos
escritos
en
orden
inverso,
nos
proporcionan el número inicial expresado
en el sistema hexadecimal.
Ejemplo: si queremos convertir el número
75 (decimal) a hexadecimal decimos que:
División entre 16 75 11
que es la base
4
del sistema
Hexadecimal.
Recordemos que el valor 75 = 4 B
del número nos lo da la posición
Para convertir de un número hexadecimal
a decimal y nuevamente recordando que
el valor de la posición de cada número es
el valor que adquiere decimos que:
56
PT Bachiller en Informática
Informática
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•
Investigación documental
•
Competencia
Tecnológica
•
Visualizar un caso práctico donde se usa el
sistema numérico hexadecimal.
El alumno:
•
•
•
•
•
Integrará equipo de trabajo con uno
de sus compañeros.
Seleccionará los tres colores favoritos
de cada uno de los integrantes del
equipo.
Accederá a un ordenador con conexión
a Internet.
Localizará en algún buscador como
o
www.google.com
www.altavista.com los códigos en
hexadecimal de los colores que fueron
seleccionados.
Esta es una utilización práctica del uso
del sistema numérico hexadecimal.
Matemáticas Discretas
Convertirá este número a sistema
numerico binario.
Convertirá el mismo número a
sismtema numérico octal.
Convertirá nuevamente el mismo
número
a
sistema
numérico
hexadecimal.
Operaciones aritméticas.
Suma binaria: En binario, la cifra más alta
es el 1, por lo tanto, cuando en la suma
encontramos dos unos resulta 1 + 1 = 10,
entonces se deja el 0 y se arrastra el 1
para ser sumado a la izquierda. Debido al
1 de arrastre pueden juntarse tres unos,
con lo que obtenemos.
Realización del ejercicio
Competencia Lógica
Convertir números
numérico a otro.
de
un
sistema
El alumno:
•
Como sabemos, los ordenadores
obedecen a un lenguaje binario en el
que 1 Kb equivale a 1024 bytes.
PT Bachiller en Informática
57
Informática
Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica
1 + 1 + 1 = 11 luego dejaremos un 1 y
arrastramos otro 1 a la izquierda.
Resta binaria: Se ha puesto un ejemplo de
resta en decimal como punto de
referencia para restar en binario. Vea que
empezando por la derecha, en cuarto
lugar encontramos que de 7 a 13 van 6 y
arrastramos 1 a la izquierda que se suma
al 4 (quedando 5 y faltando 3 para llegar
a 8). En sexto lugar encontramos que de 9
a 15 van 6 y arrastramos 1 a la izquierda
que se suma al 9. Esto hace que 9 + 1 =
10, con lo que queda 0 (de 0 a 4 van 4) y
se arrastra el 1 para sumarse al 1 del
extremo izquierdo, con lo que de 2 a 5
van 3. En el ejemplo binario, en cuarto
lugar comenzando por la derecha,
encontraremos que de 1 a 10 (será 2
pasado a decimal) va 1 y se arrastra 1 a la
izquierda para sumar al 0. En sexto lugar
volvemos a encontrar que de 1 a 10 va 1 y
se arrastra 1 a la izquierda para sumar al 1
(esto desencadena otro arrastre hasta la
última posición.
Matemáticas Discretas
no encontraremos ningún problema para
hacerlo en binario.
Si el número de cifras es grande, es
posible que se junten muchos unos en las
sumas finales, por ejemplo 5 unos cuya
suma binaria es 101, en cuyo caso queda
1, se arrastra un 0 a la izquierda (que no
afecta) y se arrastra un 1 dos lugares a la
izquierda.
Producto binario: La multiplicación es tan
sencilla que no se necesita explicación. Si
sabemos multiplicar en sistema decimal
58
PT Bachiller en Informática
Informática
Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica
Matemáticas Discretas
que 1510, se reduce la suma que excede de
16 pasando acarreo de 1 a a la siguiente
columna.
Ejemplo de suma hexadecimal, sumar los
números DF16 + AC16:
División binaria: En este ejemplo, hay que
comenzar cogiendo 4 cifras del dividendo
para sobrepasar al divisor. Así resulta que
1011 entre 111 toca a 1 (solo puede ser 1
o 0). 1 por 111 es 111 y falta 100 hasta
llegar a 1011. Bajando la siguiente cifra
(un 0) resulta que 1000 entre 111 toca a
1. Así sucesivamente.
Pasos realizados:
En la columna derecha: F16 + C16 = 1510 +
1210 = 2710 (el número es mayor de 1510
por lo que aplicamos el paso 3)
2710 – 1610 = 1110 = B16 (con acarreo de 1
a la siguiente columna)
La suma de números hexadecimales puede
realizarse teniendo en cuenta los
siguientes pasos:
1. En cualquier columna de la suma se
presenta el valor decimal de los dígitos
hexadecimales.
2. Si la suma de los dos dígitos es 1510 o
menor, se pasa al dígito hexadecimal
correspondiente.
3. Si la suma de los dos dígitos es mayor
PT Bachiller en Informática
59
Informática
Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica
Matemáticas Discretas
En la columna izquierda: D16 + A16 + 116 =
1310 + 1010 + 110 = 2410 (el número es
mayor de 1510 por lo que aplicamos el
paso 3)
Competencia Ambiental
Proteger los recursos naturales.
2410 – 1610 = 810 = 816 (con acarreo de 1 a
la siguiente columna).
Como se habrá notado, la lógica para
realizar
operaciones
aritméticas
en
cualquier sistema numérico, es la misma
que en base decimal, la diferencia es que
debemos respetar la base en la que
estamos realizando las operaciones.
Anteriormente describimos paso a paso
como se realizan las operaciones
aritméticas con números binarios, y
también expusimos la suma en sistema
numérico hexadecimal.
•
•
Sugerencias o Notas
Competencia de Calidad
Realizar el trabajo en forma eficiente y
oportuna.
•
Realización del ejercicio.
El alumno, usará las hojas de papel por
ambos lados.
Depositará las hojas de papel de
desperdicio
en
los
recipientes
destinados para su reciclaje.
El alumno, realizará los ejercicios y
prácticas incluídas en este manual con
orden,
limpieza,
eficiencia
y
responsabilidad.
Competencias
Emprendedoras
Practicar la realización de operaciones
aritméticas con los sistemas numércios
(binario, octal y hexadecimal).
El alumno:
• Realizará operaciones aritméticas con
los sistemas numéricos binario, octal y
hexadecimal, con cifras elegidas por él
para lograr el dominio de los sistemas
numéricos usados en informática.
Sugerencias o Notas
60
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Informática
Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica
Matemáticas Discretas
Practicas de Ejercicio y listas de cotejo
Portafolio
de evidencias
Unidad de
aprendizaje:
1
Práctica número:
1
Nombre de la
práctica:
Resolución de problemas de combinación y
permutación
Propósito de la
práctica:
Al finalizar la práctica el alumno realizará ejercicios de
combinaciones y permutaciones por medio de fórmulas para
obtener su solución.
Escenario:
Aula.
Duración:
6 hrs.
•
Materiales
Hojas
•
Lápiz
•
Goma
Maquinaria y equipo
PT Bachiller en Informática
Herramienta
61
Informática
Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica
Matemáticas Discretas
Procedimiento
­Aplicar las medidas de seguridad e higiene.
• Evitar la manipulación de líquidos.
• Tener condiciones adecuadas en el aula (iluminación, ventilación y limpieza).
PERMUTACIÓN
1. Escribir “ ¿De cuántas maneras distintas se pueden ordenar 5 personas en una fila?
2. Escribir “ La primera persona puede ocupar uno de los 5 puestos y, una vez que se ha
situado en uno de ellos”
3. Escribir “ La segunda puede ocupar uno de los 4 restantes, etc.”
4. Escribir “ Se podrán colocar de 5 por 4 por 3 por 2 por 1 = 120 “
5. Escribir “ P5 = 5! = 5 por 4 por 3 por 2 por 1 = 120”
COMBINACIÓN
6. Escribir “ ¿Cuántos grupos de 7 miembros se pueden formar con 6 químicos y 5 biólogos
de manera que en cada uno se encuentren 4 químicos?
7. Escribir “ Cada grupo de 4 químicos de los 6 se puede asociar con cada uno de 3 biólogos
de los 5”
8. Escribir “Por lo tanto el número de grupos es = 6C4 por 5C3 = 15 por 10 = 150”
9. Repetir los procedimientos en varias ocasiones con asesoría del PSA.
Nota: El instructor deberá adecuar la práctica al equipo con el que se cuenta.
4 Separar los residuos recuperables (usar las dos caras de las hojas y colocar los desechos
en el lugar indicado).
62
PT Bachiller en Informática
Informática
Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica
Matemáticas Discretas
Lista de cotejo de la práctica
número 1:
Resolución de
permutación
problemas
de
combinación
y
Nombre del alumno:
Instrucciones:
A continuación se presentan los criterios que van a ser
verificados en el desempeño del alumno mediante la
observación del mismo.
De la siguiente lista marque con una
aquellas
observaciones que hayan sido cumplidas por el
alumno durante su desempeño
Desarrollo
Sí
No
No
Aplica
®Aplicó las medidas de seguridad e higiene.
• Evitó la manipulación de líquidos.
• Tuvo condiciones adecuadas en el aula (iluminación,
ventilación y limpieza.
PERMUTACIÓN
1. Escribió “ ¿De cuántas maneras distintas se pueden ordenar 5
personas en una fila?
2. Escribió “ La primera persona puede ocupar uno de los 5
puestos y, una vez que se ha situado en uno de ellos”
3. Escribió “ La segunda puede ocupar uno de los 4 restantes,
etc.”
4. Escribió “ Se podrán colocar de 5 por 4 por 3 por 2 por 1 = 120
“
5. Escribió “ P5 = 5! = 5 por 4 por 3 por 2 por 1 = 120”
COMBINACIÓN
PT Bachiller en Informática
63
Informática
Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica
Matemáticas Discretas
6. Escribió “ ¿Cuántos grupos de 7 miembros se pueden formar
con 6 químicos y 5 biólogos de manera que en cada uno se
encuentren 4 químicos?
7. Escribió “ Cada grupo de 4 químicos de los 6 se puede asociar
con cada uno de 3 biólogos de los 5”
8. Escribió “Por lo tanto el número de grupos es = 6C4 por 5C3 =
15 por 10 = 150”
9. Repitío los procedimientos en varias ocasiones con asesoría del
PSA.
4 Separó los residuos recuperables (usar las dos caras de las hojas
y colocar los desechos en el lugar indicado).
Observaciones:
PSA:
Hora de
inicio:
64
Hora de
término:
PT Bachiller en Informática
Evaluación:
Informática
Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica
Matemáticas Discretas
Unidad de
aprendizaje:
1
Práctica número:
2
Nombre de la
práctica:
Algoritmo del método de burbuja.
Propósito de la
práctica:
Al finalizar la práctica, el alumno resolverá el algoritmo de la burbuja
realizando una prueba de escritorio para conocer el procedimiento
de ordenación.
Escenario:
Duración:
Aulas.
6 hrs.
•
Materiales
Hojas
•
Lápiz
•
Goma
Maquinaria y equipo
Herramienta
Procedimiento
PT Bachiller en Informática
65
Informática
Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica
Matemáticas Discretas
­Aplicar las medidas de seguridad e higiene.
• Evitar la manipulación de líquidos.
• Tener condiciones adecuadas en el aula (iluminación, ventilación y limpieza).
1- Escribir un algoritmo guardando la sangría debida entre cada instrucción.
2. - Escribir “Inicio”
3. - Escribir “i se le asigna 1”
4. - Escribir “repetir”
5. - Escribir “NoIntercambio se le asigna trufe”
6. - Escribir “desde j se le asigna hasta n-i hacer”
7. - Escribir “sí A[j] > A[j+1]”
8. - Escribir “entonces Intercambio (A[j], A[j+1])”
9. - Escribir “NoIntercambio se le asigna false “
10. Escribir “fin-si”
11. Escribir “fin-desde”
12. Escribir “i se le asigna y+1”
13. Escribir “hasta-que NoIntercambio = Trufe“
14. Escribir “Fin”
15. Realizar una prueba de escritorio a este algoritmo.
4 Separar los residuos recuperables (usar las dos caras de las hojas y
desechos en el lugar indicado).
Lista de cotejo de la práctica
número 2:
Algoritmo del método de burbuja.
Nombre del alumno:
66
colocar los
PT Bachiller en Informática
Informática
Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica
Instrucciones:
Matemáticas Discretas
A continuación se presentan los criterios que van a ser
verificados en el desempeño del alumno mediante la
observación del mismo.
De la siguiente lista marque con una
aquellas
observaciones que hayan sido cumplidas por el
alumno durante su desempeño
Desarrollo
Sí
No
No
Aplica
­Aplicó las medidas de seguridad e higiene.
• Evitó la manipulación de líquidos.
• Tuvo condiciones adecuadas en el aula (iluminación,
ventilación y limpieza).
1.- Escribió un algoritmo guardando la sangría debida entre cada
instrucción.
2. – Escribió “Inicio”
3. – Escribió “i se le asigna 1”
4. – Escribió “repetir”
5. – Escribió “NoIntercambio se le asigna trufe”
6. – Escribió “desde j se le asigna hasta n-i hacer”
7. – Escribió “sí A[j] > A[j+1]”
8. – Escribió “entonces Intercambio (A[j], A[j+1])”
9. – Escribió “NoIntercambio se le asigna false “
10.–Escribió “fin-si”
11.– Escribió “fin-desde”
12.– Escribió “i se le asigna y+1”
13.– Escribió “hasta-que NoIntercambio = Trufe“
14.– Escribió “Fin”
15.– Realizó una prueba de escritorio a este algoritmo.
4 Separó los residuos recuperables (usó las dos caras de las hojas
y colocó los desechos en el lugar indicado).
Observaciones:
PSA:
PT Bachiller en Informática
67
Informática
Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica
Hora de
inicio:
68
Hora de
término:
PT Bachiller en Informática
Matemáticas Discretas
Evaluación:
Informática
Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica
Matemáticas Discretas
Unidad de
aprendizaje:
1
Práctica número:
3
Nombre de la
práctica:
Conversión de números de sistema numérico
decimal a sistema numérico binario y
biceversa.
Propósito de la
práctica:
Al finalizar la práctica el alumno realizará converciones de números
de sistema numérico decimal a sistema numérico binario y de
sistema numerico binario a decimal.
Escenario:
Aula.
Duración:
1 hrs.
•
Materiales
Hojas
•
Lápiz
•
Goma
Maquinaria y equipo
PT Bachiller en Informática
Herramienta
69
Informática
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Matemáticas Discretas
Procedimiento
­Aplicar las medidas de seguridad e higiene.
• Evitar la manipulación de líquidos.
• Tener condiciones adecuadas en el aula (iluminación, ventilación y limpieza).
Considerar el número decimal 2,870 (este número fue seleccionado al azar, puede usarce
cualquier número) el cual se encuentra en sistema numérico decimal.
1. Dividir el número seleccionado entre 2 hasta que ya no se pueda dividir.
2. Colocar los residuos (1 o 0) de derecha a izquierda empezando por el primero obenido
y adicionando el último cociente al final (último número de la izquierda).
3. Obtener el número en sistema numérico binario (101100110110).
4. El número binario que se obtuvo, elevar el número 2 a la potencia correspondiente
según su posición para realizar la comprobación.
5. Obtener el siguiente resultado: 2048 + 512 + 256 + 32 + 16 + 4 +2 = 2870
•
Repetir el procedimiento modificando las cifras a convertir.
4 Separar los residuos recuperables (usar las dos caras de las hojas y colocar los desechos
en el lugar indicado).
70
PT Bachiller en Informática
Informática
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Lista de cotejo de la práctica
número 3:
Matemáticas Discretas
Conversión de números de sistema numérico decimal
a sistema numérico binario y biceversa.
Nombre del alumno:
Instrucciones:
A continuación se presentan los criterios que van a ser
verificados en el desempeño del alumno mediante la
observación del mismo.
De la siguiente lista marque con una
aquellas
observaciones que hayan sido cumplidas por el
alumno durante su desempeño
Desarrollo
Sí
No
No
Aplica
®Aplicó las medidas de seguridad e higiene.
• Evitó la manipulación de líquidos.
• Tuvo condiciones adecuadas en el aula (iluminación,
ventilación y limpieza.
1. Dividió el número seleccionado entre 2 hasta que ya no fue
posible dividir.
2. Colocó los residuos (1 o 0) de derecha a izquierda empezando
por el primero obenido y colocó el último cociente al final
(último número de la izquierda.
3. Obtuvo el número en sistema numérico binario 101100110110.
4. Elevó el número 2 a la potencia correspondiente según su
posición para realizar la comprobación.
5. Obtuvo el siguiente resultado: 2048 + 512 + 256 + 32 + 16 +
4 +2 = 2870
• Repitió el procedimiento modificando las cifras a convertir.
4 Separó los residuos recuperables (usar las dos caras de las hojas
y colocar los desechos en el lugar indicado).
Observaciones:
PSA:
PT Bachiller en Informática
71
Informática
Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica
Matemáticas Discretas
Hora de
inicio:
72
Hora de
término:
PT Bachiller en Informática
Evaluación:
Informática
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Matemáticas Discretas
Unidad de
aprendizaje:
1
Práctica número:
4
Nombre de la
práctica:
Conversión de números de sistema numérico
decimal a sistema numérico octal y
biceversa.
Propósito de la
práctica:
Al finalizar la práctica el alumno realizará converciones de números
de sistema numérico decimal a sistema numérico octal y de sistema
numerico octal a decimal.
Escenario:
Aula.
Duración:
1 hrs.
•
Materiales
Hojas
•
Lápiz
•
Goma
Maquinaria y equipo
PT Bachiller en Informática
Herramienta
73
Informática
Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica
Matemáticas Discretas
Procedimiento
­Aplicar las medidas de seguridad e higiene.
• Evitar la manipulación de líquidos.
• Tener condiciones adecuadas en el aula (iluminación, ventilación y limpieza).
Considerar el número decimal 250 (este número fue seleccionado al azar, puede usarce
cualquier número) el cual se encuentra en sistema numérico decimal.
1. Dividir el número seleccionado entre 8 hasta que ya no se pueda dividir.
2. Colocar los residuos (0 al 7) de derecha a izquierda empezando por el primero obenido
e incluyendo el último cociente obtenido (último número de la izquierda).
3. Obtener el número en sistema numérico octal (372).
4. El número octal que se obtuvo, elevar el número 8 a la potencia correspondiente según
su posición para realizar la comprobación.
5. Obtener el siguiente resultado: 3 x (82) + 7 x (81) + 2 x (80) = 3 x 64 + 7 x 8 + 2 x 1 =
250
•
Repetir el procedimiento modificando las cifras a convertir.
4 Separar los residuos recuperables (usar las dos caras de las hojas y colocar los desechos
en el lugar indicado).
74
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Informática
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Lista de cotejo de la práctica
número 4:
Matemáticas Discretas
Conversión de números de sistema numérico decimal
a sistema numérico octal y biceversa.
Nombre del alumno:
Instrucciones:
A continuación se presentan los criterios que van a ser
verificados en el desempeño del alumno mediante la
observación del mismo.
De la siguiente lista marque con una
aquellas
observaciones que hayan sido cumplidas por el
alumno durante su desempeño
Desarrollo
Sí
No
No
Aplica
®Aplicó las medidas de seguridad e higiene.
• Evitó la manipulación de líquidos.
• Tuvo condiciones adecuadas en el aula (iluminación,
ventilación y limpieza.
1. Dividió el número seleccionado entre 8 hasta que ya no fue
posible dividir.
2. Colocó los residuos (0 al 7) de derecha a izquierda empezando
por el primero obenido y adicionó el último cociente (último
número de la izquierda).
3. Obtuvo el número en sistema numérico octal 372.
4. Elevó el número 8 a la potencia correspondiente según su
posición y lo multiplicó por el valor absoluto del número para
realizar la comprobación.
5. Obtuvo el siguiente resultado: 3 x (82) + 7 x (81) + 2 x (80) = 3 x
64 + 7 x 8 + 2 x 1 =250
• Repitió el procedimiento modificando las cifras a convertir.
4 Separó los residuos recuperables (usar las dos caras de las hojas
y colocar los desechos en el lugar indicado).
Observaciones:
PT Bachiller en Informática
75
Informática
Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica
Matemáticas Discretas
PSA:
Hora de
inicio:
76
Hora de
término:
PT Bachiller en Informática
Evaluación:
Informática
Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica
Matemáticas Discretas
Unidad de
aprendizaje:
1
Práctica número:
5
Nombre de la
práctica:
Conversión de números de sistema numérico
decimal a sistema numérico hexadecimal y
biceversa.
Propósito de la
práctica:
Al finalizar la práctica el alumno realizará converciones de números
de sistema numérico decimal a sistema numérico hexadecimal y de
sistema numerico hexadecimal a decimal.
Escenario:
Aula.
Duración:
1 hrs.
•
Materiales
Hojas
•
Lápiz
•
Goma
Maquinaria y equipo
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Herramienta
77
Informática
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Matemáticas Discretas
Procedimiento
­Aplicar las medidas de seguridad e higiene.
• Evitar la manipulación de líquidos.
• Tener condiciones adecuadas en el aula (iluminación, ventilación y limpieza).
Considerar el número decimal 1485 (este número fue seleccionado al azar, puede usarce
cualquier número) el cual se encuentra en sistema numérico decimal.
1. Dividir el número seleccionado entre 16 hasta que ya no se pueda dividir.
2. Colocar los residuos (0 al 9 y si es mayor las letras correspondientes A B C D E F) de
derecha a izquierda empezando por el primero obenido e incluyendo el último cociente
obtenido (último número de la izquierda).
3. Obtener el número en sistema numérico hexadecimal (5BC).
4. El número hexadecimal que se obtuvo, elevar el número 16 a la potencia
correspondiente según su posición para realizar la comprobación.
5. Obtener el siguiente resultado: 5 x (162) + 12 x (161) + 13 x (160) = 5 x 256 + 12 x 16 +
13 x 1 = 1485
•
Repetir el procedimiento modificando las cifras a convertir.
4 Separar los residuos recuperables (usar las dos caras de las hojas y colocar los desechos
en el lugar indicado).
78
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Informática
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Lista de cotejo de la práctica
número 5:
Matemáticas Discretas
Conversión de números de sistema numérico decimal
a sistema numérico hexadecimal y biceversa.
Nombre del alumno:
Instrucciones:
A continuación se presentan los criterios que van a ser
verificados en el desempeño del alumno mediante la
observación del mismo.
De la siguiente lista marque con una
aquellas
observaciones que hayan sido cumplidas por el
alumno durante su desempeño
Desarrollo
Sí
No
No
Aplica
®Aplicó las medidas de seguridad e higiene.
• Evitó la manipulación de líquidos.
• Tuvo condiciones adecuadas en el aula (iluminación,
ventilación y limpieza.
1. Dividió el número seleccionado entre 16 hasta que ya no fue
posible dividir.
2. Colocó los residuos (0 al 9 y si es mayor consideró las letras
correspondientes A B C D E F) de derecha a izquierda
empezando por el primero obenido y adicionó el último
cociente (último número de la izquierda).
3. Obtuvo el número en sistema numérico hexadecimal 5BC.
4. Elevó el número 16 a la potencia correspondiente según su
posición y lo multiplicó por el valor absoluto del número para
realizar la comprobación.
5. Obtuvo el siguiente resultado: 5 x (162) + 12 x (161) + 13 x
(160) = 5 x 256 + 12 x 16 + 13 x 1= 1485
• Repitío el procedimiento modificando las cifras a convertir.
4 Separó los residuos recuperables (usar las dos caras de las hojas
y colocar los desechos en el lugar indicado).
Observaciones:
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79
Informática
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Matemáticas Discretas
PSA:
Hora de
inicio:
80
Hora de
término:
PT Bachiller en Informática
Evaluación:
Informática
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Matemáticas Discretas
APLICACIÓN DE ÁLGEBRA
BOOLEANA
Al finalizar la unidad, el alumno
aplicará lógica, conjuntos y álgebra
booleana con base a sus principios
y teorías para la elaboración de
rutinas de programación.
PT Bachiller en Informática
81
Informática
Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica
Matemáticas Discretas
VII. MAPA CURRICULAR
Matemáticas
Discretas
72 hrs.
Módulo
Unidad
de
Aprendizaje
Resultados de
Aprendizaje
82
1. Empleo de
métodos de
conteo,
recursividad y
grafos.
30 hrs.
2. Aplicación de
álgebra booleana
42 hrs.
1.1 Uso de métodos matemáticos mediante gráficas, árboles y
ordenamientos.
1.2 Realizar conteo de números de acuerdo con las técnicas de
conteo y recursión.
1.3 Convertir sistemas numéricos binario, octal,
hexadecimal mediante operaciones aritméticas.
2.1 Manejar la teoría de conjuntos con base a operaciones,
relaciones y funciones.
2.2 Utilizar lógica matemática mediante los principios de tablas de
verdad.
2.3 Manejar circuitos lógicos de acuerdo con los principios de álgebra
boleana.
PT Bachiller en Informática
10 hrs.
10 hrs.
10 hrs.
15 hrs.
15 hrs.
12 hrs.
Informática
Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica
Matemáticas Discretas
2 APLICACIÓN DE ÁLGEBRA BOOLEANA.
Sumario
Teoría de conjuntos
Operaciones con conjuntos
Relaciones
Funciones
Tablas de verdad
Proposiciones
Conectivos
Álgebra Booleana
Circuitos Lógicos
Funciones booleanas
RESULTADO DE APRENDIZAJE
2.1 Manejar la teoría de conjuntos con base a operaciones, relaciones y funciones.
2.2 Utilizar lógica matemática mediante los principios de tablas de verdad.
2.3 Manejar circuitos lógicos de acuerdo con los principios de álgebra booleana.
2.1.1 Conjunto.
Definición
Un Conjunto es una colección de cualquier
tipo de objetos considerada como un todo,
una multiplicidad vista como unidad;
entidad completa bien determinada.
Los objetos que forman al conjunto son
nombrados elementos del conjunto o
miembros del conjunto.
Por colección entenderemos a una
agrupación que está determinada por una
propiedad enunciada por medio de un
lenguaje preciso.
Todo conjunto es una colección de objetos,
pero no toda colección de objetos es un
conjunto.
PT Bachiller en Informática
83
Informática
Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica
Para representar los conjuntos, los
elementos y la relación de pertenencia,
mediante símbolos, tendremos en cuenta
las siguientes convenciones:
a) Los conjuntos se designan con letras
mayúsculas.
b) Los elementos que forman el
conjunto se encierran entre llaves.
c) Los elementos se designan con letras
minúsculas.
d) Para indicar que un elemento
pertenece al conjunto se escribe el
signo ∈. Para indicar que un
elemento no pertenece a cierto
conjunto, se escribe el signo ∉.
e)
Tipos
Vacío.
Es un conjunto que carece de elementos.
Se le llama conjunto nulo, y se le denota
por el símbolo ø o { }.
Matemáticas Discretas
M = { x / x es un río de la tierra } Conjunto
finito
N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ... } Conjunto
infinito
P = { x / x es un país de la tierra }
Conjunto finito
V = { 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, ... }
Conjunto infinito
Universal
Es el conjunto que contiene a todos los
elementos del discurso. Es un término
relativo. Se le denota por la letra U.
Ejemplos: Sean los conjuntos:
Ejemplos
A = { Los perros que vuelan }
A={} A=Ø
B = { x / x es un mes que tiene 53
B={} B=Ø
días}
C = { x / x3 = 8 y x es impar }
C={} C=Ø
D = { x / x es un día de 90 horas } D = { } D = Ø
Finito
Un conjunto es finito si consta de un cierto
número de elementos distintos, es decir si
al contar los diferentes elementos del
conjunto el proceso de contar puede
acabar. En caso contrario, el conjunto es
infinito.
Ejemplos
84
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Informática
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Matemáticas Discretas
A = {aves}
B = {peces}
C = {conejos}
D = { monos }
Existe otro conjunto que incluye a
los conjuntos A, B, C y D. Es U = {
animales }
Subconjunto
Gráficamente se representa por un
rectángulo tal como se observa a
continuación.
Un conjunto A es subconjunto de un
conjunto B, si todo elemento de A es un
elemento
de
B. Todo
conjunto es
subconjunto de sí mismo.
Realización del ejercicio
Competencia Analítica
Sean los conjuntos:
E = { mujeres } F = { hombres }
Existe otro conjunto que incluye a
los conjuntos E y F. Es U = {seres
humanos}
Gráficamente se representa por un
rectángulo tal como se observa a
continuación.
Reconocer las relaciones que existen entre
los diferentes elementos de los conjuntos y
sus propiedades.
El alumno:
•
•
Elaborará
gráficamente
con
sus
compañeros de equipo un conjunto
que contenga los meses del año que
terminan con la letra A.
(b) Elaborará gráficamente un conjunto
finito por cada semestre que cursará en
el CONALEP, cada
PT Bachiller en Informática
85
Informática
Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica
Matemáticas Discretas
conjunto contendrá las materias que
cursará en el semestre.
• identificará los gráficos del punto (b)
como un conjunto universal.
Propiedades.
Pertenencia
Es la relación que existe entre un elemento
y un conjunto, así, un elemento pertenece
al conjunto, y se representa de esta forma.
∈
La igualdad de conjuntos cumple las
propiedades:
Reflexiva: Todo conjunto es igual a si
mismo.
Ejemplo, A = {x/x es dedo de la mano}
B= índice, entonces
Simétrica: Si un conjunto A es igual a otro
conjunto B, el conjunto B es igual al
conjunto A.
B∈ A
Cuando un elemento
no esta en el
conjunto dicho elemento no pertenece al
conjunto, y se representa de la siguiente
manera
∉
Transitiva: Si un conjunto es igual a otro, y
éste último es igual a un tercero, el primer
conjunto es igual al tercer conjunto.
Ejemplo, A = {x/x es mes del año}
B = índice, entonces
B∉ A
Igualdad
Dos conjuntos son iguales cuando están
formados por los mismos elementos.
86
PT Bachiller en Informática
Informática
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Matemáticas Discretas
B A; esto equivale a decir que tienen los
mismos elementos (o también la misma
propiedad característica).
a
2.1.2 Operaciones con conjuntos.
Contención
Un conjunto es la reunión en un todo de
objetos bien definidos y diferenciables
entre si, que se llaman elementos del
mismo.
Si a es un elemento del conjunto A se
denota con la relación de pertenencia a
A.
En caso contrario, si a no es un elemento
de A se denota a A.
Se puede definir un conjunto:
Unión
Se llama unión o reunión de dos conjuntos
A y B al conjunto formado por los
elementos que pertenecen a A, o a B o a
ambos.
A ∪B={x∈U/x∈A ∨ x∈B}
La unión de dos conjuntos, lo mismo que
la intersección, es una operación binaria
definida en el conjunto de partes de U.
De acuerdo con la definición, podemos
escribir:
por extensión, enumerando todos y
cada uno de sus elementos.
o por comprensión, diciendo cuál es la
propiedad que los caracteriza.
o
Un conjunto se suele denotar encerrando
entre llaves a sus elementos, si se define
por extensión,
o su propiedad
característica,
si
se
define
por
comprensión. Por ejemplo:
A := {1,2,3, ... ,n}
B := {p Z | p es par}
U
A
B
a∈A∪B⇒a∈A ∨ a∈B
Se dice que A está contenido en B
(también que A es un subconjunto de B o
que
A
es
una
parte
de
B),
y se denota A B, si todo elemento de A lo
es también de B, es decir, a A a B.
Dos conjuntos A y B se dicen iguales, y se
denota A = B, si simultáneamente A B y
El "o" utilizado es incluyente, y pertenecen
a la unión aquellos elementos de U para
los cuales es verdadera la disyunción;
entonces un elemento pertenece a la unión
si y sólo si pertenece a alguno de los dos
conjuntos.
PT Bachiller en Informática
87
Informática
Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica
Es claro, además, que todo conjunto es
contenido en su unión con cualquier otro.
Matemáticas Discretas
también tienes libros prestados por otros,
sólo le podrás prestar sólo aquellos que
son
x∈A ⇒ x∈A ∨ x∈B ⇒ x∈A∪B
Propiedades de la unión de conjuntos
Unicidad: Dados dos conjuntos A y B, el
resultado de la unión de los conjuntos A y
B es un único conjunto C y no puede ser
otro distinto.
Propiedad conmutativa: Si se cambia el
orden de los conjuntos, el conjunto unión
no se altera.
Propiedad asociativa: Si en la unión de 3
conjuntos se reemplaza a dos de ellos por
su conjunto unión el resultado no se altera.
Elemento neutro: El elemento neutro de la
operación unión es el conjunto vacío.
Intersección
Supongamos los conjuntos:
A = {Libros de tu biblioteca}
B = {Libros de matemática}
y que un compañero te pidió prestado
algunos libros de matemáticas. En este
caso, el Referencial en el cual vas a buscar
sería el total de libros que tienes en tu
casa. Ahora bien, está claro que, como vos
88
PT Bachiller en Informática
Informática
Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica
Matemáticas Discretas
de tu biblioteca. Por lo tanto, los libros
que vas a buscar deben cumplir dos
condiciones: pertenecer al conjunto A y,
además, pertenecer al conjunto B. Por lo
tanto, estos elementos forman un nuevo
conjunto que se llama Intersección entre
los conjuntos A y B.
A
B
A = { números pares }
B = { números impares }
A ∩ B = ∅ pues no existe ningún número
que sea par e impar a la vez.
Propiedades
conjuntos
de
la
intersección
de
Unicidad: Dados dos conjuntos A y B, el
resultado de la intersección de los
conujntos A y B es un único conjunto C y
no puede ser otro distinto.
A∩B
Definición: Intersección de dos conjuntos A
y B se llama al conjunto formado por
aquellos elementos que pertenecen a A y
pertenecen a B.
Propiedad conmutativa: Si se cambia el
orden de los conjuntos, el conjunto
intersección no se altera.
A ∩ B = { x ∈ U / x ∈A ∧ x ∈ B }
La intersección entre dos conjuntos es una
operación binaria, pues a partir de dos
conjuntos se obtiene un tercero.
Propiedad asociativa: Si en la unión de 3
conjuntos se reemplaza a dos de
La propiedad que caracteriza a los
elementos de la intersección es la de
pertenecer simultáneamente a los dos
conjuntos, y se establece en términos de la
conjunción.
La definición de intersección establece:
x ∈ A∩B ⇔ x∈A ∧x∈B
Si la intersección de dos conjuntos es vacía
dichos conjuntos se llaman disjuntos.
A y B son disjuntos ⇔ A ∩ B = ∅
Ejemplo.
PT Bachiller en Informática
89
Informática
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Matemáticas Discretas
ellos por su conjunto intersección el
resultado no se altera.
Elemento neutro: El elemento neutro de la
operación intersección es su conjunto
universal.
Sobreentendemos que en este caso el
Referencial o universal es el conjunto de
libros de mi biblioteca. Por lo tanto, el
complemento del conjunto A es el
conjunto total de libros de mi biblioteca
excepto aquellos que son de matemática,
es decir:
A' = { Libros de mi biblioteca que no son
de matemática }
Trabajo en equipo
Competencia Lógica
Complemento
Dado un Referencial U y un conjunto A,
queda determinado otro conjunto formado
por todos los elementos del Referencial
que no pertenecen a A. Se llama
complemento de A y se designa A' o A (es
el área coloreada del dibujo)
Definición: Complemento de A es el
conjunto de todos los elementos que
pertenecen a U y no pertenecen a A.
Identificar las propiedades existentes entre
conjuntos.
El alumno:
•
•
•
Integrará un equipo de trabajo con tres
participantes.
Realizará un inventario de los libros de
texto que tengan cada uno.
Elaborará conjuntos de libros por tema.
A' = { x / x ∈ U ∧ x ∉ A }
U
A
A'
Ejemplo.
Sea A = { Libros de mi biblioteca que
son de matemáticas }
90
PT Bachiller en Informática
Informática
Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica
•
Realizará un gráfico donde
se
muestren
dichos
conjuntos,
representando las propiedades de
pertenencia, igualdad y contención.
2.1.3 Relaciones
Definición
Las relaciones entre dos o más conjuntos
son frecuentes tanto en las Matemáticas
como en sus aplicaciones, especialmente
en Informática. Ejemplos prácticos de
relaciones son las de orden y divisibilidad
entre
números,
las
relaciones
de
equivalencia entre los datos de entrada de
un programa en cuanto a la detección de
posibles
errores
de
programación
(validación de programas), la relación de
dependencia entre las distintas fases
producción en una industria o la
agrupación de datos aislados en complejas
bases de datos con relaciones de
dependencia entre sus campos.
Matemáticas Discretas
que es el más extendido hoy en día por su
simplicidad, su potencia y su coherencia
teórica y práctica.
El producto cartesiano de dos conjuntos
A x B es el conjunto de todos los pares
ordenados que se pueden formar con un
elemento perteneciente al conjunto A y un
elemento del conjunto B.
Los elementos de A x B son pares
ordenados. Cada par que se forma con un
elemento del conjunto A y uno del
conjunto B, en ese orden y recibe el
nombre de par ordenado. Sus elementos
se colocan entre paréntesis, separados por
coma.
Desde el punto de vista matemático, estas
relaciones se pueden describir simplemente
como subconjuntos de un cierto producto
cartesiano. De entre los diversos tipos de
relaciones,
las
funciones
pueden
considerarse un caso especial en donde se
interpreta que uno de los campos es el
resultado de realizar una cierta operación
con el resto. Asimismo, las relaciones de
equivalencia describen similitudes entre
elementos con respecto a una propiedad
particular, y las relaciones de orden
establecen una jerarquía con respecto a un
criterio fijado.
Por último, las relaciones entre múltiples
conjuntos son el fundamento matemático
del modelo relacional de bases de datos,
PT Bachiller en Informática
91
Informática
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Matemáticas Discretas
El conjunto de pares ordenados que
forman parte de R están formados por un
elemento del primer conjunto y un
elemento del segundo conjunto, en ese
orden y satisfacen la condición que define
esa relación:
Como ejemplo:
Al cambiar el orden de los elementos del
par ordenado, debe invertirse la definición
de la relación para que el resultado sea
verdadero, obteniéndose una relación
inversa a la dada.
Se define como relación entre los
conjuntos A y B a un subconjunto del
producto cartesiano A x B. Este puede estar
formado por un solo par ordenado, varios,
todos o ninguno de los que forman parte
de A x B, por lo tanto:
Para el ejemplo anterior:
Como ejemplo:
92
PT Bachiller en Informática
Informática
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•
Matemáticas Discretas
Ilustrará
gráficamente
la
correspondencia entre los elementos
del conjunto A y los de B, bajo el
criterio "Estudiar en".
Dominio
Realización del ejercicio
Competencia Lógica
El conjunto de salida es aquel del cual
salen las flechas que representan la
relación.
Identificar las relaciones entre conjuntos.
El alumno:
•
Analizará el siguiente planteamiento.
Sean los siguientes conjuntos :
A = { Jóvenes del CONALEP}
A = { Andrés, Carolina, Manuel, Fabián,
Norma, Esteban }
B = { Colegios existentes en la zona}
B = { Escuela Nacional Preparatoria,
Colegio de Bachilleres, CETIS, CONALEP} .
Del conjunto Jóvenes, tenemos que
Norma estudia en el Colegio de Bachilleres,
Manuel en el CETIS y los demás jóvenes
estudian en CONALEP.
PT Bachiller en Informática
93
Informática
Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica
Matemáticas Discretas
El conjunto de llegada es aquel al cual
llegan las flechas que representan la
relación.
El rango o codominio es el conjunto de los
segundos elementos de cada par
ordenado. En una relación, a cada
elemento del rango llega por lo menos
una flecha. El rango o codominio es un
subconjunto del conjunto de llegada, ya
que algunos elementos de la llegada
pueden no formar parte de la relación.
El dominio es el conjunto de los primeros
elementos de cada par ordenado.
De cada elemento del dominio sale por lo
menos una flecha.
El dominio es un subconjunto del conjunto
de salida, ya que algunos elementos de la
salida pueden no formar parte de la
relación.
Rango
Relaciones de Equivalencia
Una relación de equivalencia es aquella
que cumple las propiedades reflexiva,
simétrica y transitiva.
94
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Informática
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Matemáticas Discretas
Propiedad asimétrica: Cuando ningún par
ordenado de la relación cumple la
propiedad simétrica.
Propiedad antisimétrica: Cuando sólo
cumplen la propiedad simétrica los pares
de elementos iguales y no la cumplen los
pares formados por distintos elementos.
o Propiedad reflexiva:
Propiedad transitiva: Cuando cada vez que
un elemento está relacionado con otro, y
éste está relacionado con un tercero, el
primer elemento está relacionado con el
tercero.
o Propiedad simétrica:
Casos especiales: Como casos especiales
de las relaciones en un conjunto se define:
o Propiedad transitiva:
Propiedades: Si establecemos una relación
entre los elementos de un mismo conjunto,
tendremos un subconjunto del producto
cartesiano A x A. Las propiedades
fundamentales puede presentar este tipo
de relación son:
Propiedad
reflexiva:
Cuando
todo
elemento del conjunto está relacionado
con sí mismo.
Propiedad simétrica: Cuando cada vez que
un elemento está relacionado con otro,
éste segundo también está relacionado con
el primero.
PT Bachiller en Informática
95
Informática
Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica
Relación de equivalencia: Permite marcar
características similares entre los elementos
de un conjunto mediante su clasificación,
determinando una partición del mismo en
clases de equivalencia.
Matemáticas Discretas
estudios, visten ambos uniforme y estudian
carreras diferentes.
•
Localizará las relaciones de equivalencia
existentes entre ambos conjuntos y
mostrarlas gráficamente.
Relaciones de orden: Permite ordenar los
elementos a través de la relación. Pueden
definirse dos tipos de relación, de orden
amplio y de orden estricto.
Las relaciones como su nombre lo indica es
la relación que existe entre dos conjuntos
un ejemplo práctico de relaciones son las
que existen entre hijos y padres, clima y
vegetación, suelo y cultivos etc.
2.1.4 Funciones
Definición
Una función es una correspondencia entre
conjuntos que se produce cuando cada
uno de los elementos del primer conjunto
se halla relacionado con un solo elemento
del segundo conjunto.
Realización del ejercicio
Competencia Lógica
Identificar las relaciones de equivalencia
entre conjuntos.
El alumno:
•
Analizará el siguiente planteamiento:
Sea el conjunto A = Mujeres que asisten
al CONALEP y B= Hombres que asisten al
CONALEP.
Considerando que los elementos de ambos
conjuntos tienen una edad promedio de
16 años, cuentan con el mismo nivel de
96
PT Bachiller en Informática
Informática
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Matemáticas Discretas
Estamos en presencia de una función
cuando de cada elemento del primer
conjunto solamente sale una única flecha.
No estamos en presencia de una función
cuando:
⌦ De algún elemento del conjunto de
partida no sale ninguna flecha.
⌦ De algún elemento del conjunto de
partida salen dos o más flechas.
Podemos imaginarnos la función como una
máquina a la que se le suministra unos
datos y que obtiene un valor.
A veces esta 'máquina' no funciona con
determinados valores. Al conjunto de
valores de la variable para los que la
función existe (para los que la 'máquina'
funciona) se llama dominio de definición
de la función.
Dominio
Se dice que el dominio de una función
son todos los valores que puede tomar el
conjunto del dominio y que encuentra
correspondencia en el conjunto llamado
codominio, generalmente cuando se habla
del
Una función obtiene un valor, pero esto no
quiere decir que se obtengan todos los
valores que se nos antojen. El conjunto de
valores que se obtienen a partir del
conjunto de valores del dominio de
definición se llama recorrido de la función.
Esto se expresa:
Se observa que:
De cada elemento de la salida sale a lo
sumo una flecha.
De cada elemento del dominio sale una y
sólo una flecha.
PT Bachiller en Informática
97
Informática
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Matemáticas Discretas
plano, el dominio es el intervalo de valores
que están sobre el eje de las X´s y que nos
generan una asociación en el eje de las Y´s.
Realización del ejercicio
Contradominio (codominio o
rango de la función).
El otro conjunto que interviene en la
definición es el conjunto llamado
codominio o rango de la función,, este
conjunto es la gama de valores que puede
tomar la función; en el caso del plano son
todos los valores que puede tomar la
función o valores en el eje de las Y´s.
También, cuando se grafica en el plano
cartesiano se tiene una relación de dos
variables, considerando como variable
aquella literal que esta sujeta a los valores
que puede tomar la otra.
Competencia Lógica
Identificar los elementos de una función.
El alumno:
•
Resolverá el siguiente ejercicio:
Ejercicio: Sea X = {-4, -1, 0, 4, 9} , Y = {4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4} y que la regla de
correspondencia es "asignar a cada
elemento de X el resultado de extraer su
raíz cuadrada".
Ejemplo 1. Suponga que el conjunto A es A
= {1,2,3} y que el conjunto B (de llegada)
es B = {0,4,6,8,10,12} y que la relación de
dependencia o correspondencia entre A y B
es "asignar a cada elemento su cuádruplo".
decidir si esta relación es una función de A
en B y determinar su dominio y recorrido.
Solución. A los elementos 1,2 y 3 del
conjunto
A
les
corresponden,
respectivamente, los elementos 4,8 y 12
del conjunto B. Como a cada elemento de
A le corresponde un único elemento de Y,
la relación de dependencia es una función
(función de A en B).
Dominio = {1,2,3}
Recorrido = {4, 8, 12}
Observar que el recorrido es un
subconjunto del codominio B = {0, 4, 6, 8,
10, 12}
98
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•
Determinará si esta regla constituye
función de X en Y.
Tipos de funciones
Inyectiva
Función inyectiva: a elementos diferentes
en un conjunto de partida le corresponden
elementos diferentes en un conjunto de
llegada.
Una función es inyectiva si cada f(x) en el
recorrido es la imagen de exactamente un
único elemento del dominio. En otras
palabras, de todos los pares (x,y)
pertenecientes a la función, las y no se
repiten.
Para determinar si una función es inyectiva,
graficamos la función por medio de una
tabla de pares ordenados. Luego trazamos
líneas horizontales para determinar si las y
(las ordenadas) se repiten o no.
Ejemplo:
A
B
X
Y
Z
1
2
3
4
Matemáticas Discretas
de B es imagen de al menos un elemento
de A , bajo f .
A elementos diferentes en un conjunto de
partida le corresponden elementos iguales
en un conjunto de llegada. Es decir, si todo
elemento R es imagen de algún elemento X
del dominio.
Ejemplo:
A = {a,e,i,o,u}
B = {1,3,5,7}
f = {(a,1),(e,7),(i,3),(o,
5),(u,7)}
Simbólicamente:
f: A l B es biyectiva Û f es inyectiva y f es
sobreyectiva
Ejemplo:
A
B
X
Y
Z
1
2
3
4
Suprayectiva
Función
suprayectiva:
a
elementos
diferentes en un conjunto de partida le
corresponden elementos iguales en un
conjunto de llegada.
Sea f una función de A en B , f es una
función epiyectiva (tambien llamada
sobreyectiva) , si y sólo si cada elemento
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99
Informática
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Matemáticas Discretas
Biyectiva
Función
biyectiva:
es
inyectiva
sobreyectiva a un mismo tiempo.
y
Sea f una función de A en B , f es una
función biyectiva , si y sólo si f es
sobreyectiva e inyectiva a la vez .
Si cada elemento de B es imagen de un
solo elemento de A, diremos que la
función es Inyectiva. En cambio, la función
es Sobreyectiva cuando todo elemento de
B es imagen de, al menos, un elemento de
A. Cuando se cumplen simultáneamente
las dos condiciones tenemos una función
BIYECTIVA.
Ejemplo:
A={a,e,i,o,u}
B={1,3,5,7,9}
f = { ( a , 5 ),( e , 1 ),( i , 9 ),( o , 3 ), ( u
,7)}
Suma de funciones: Sean f y g dos
funciones reales de variable real definidas
en un mismo intervalo. Se llama suma de
ambas funciones, y se representa por f +
g, a la función definida por
(f + g) (x) = f(x) + g(x)
Resta de funciones: Del mismo modo que
se ha definido la suma de funciones, se
define la resta de dos funciones reales de
variable real f y g, como la función
(f – g) (x) = f(x) – g(x)
Para que esto sea posible es necesario que
f y g estén definidas en un mismo
intervalo.
Producto de funciones: Sean f y g dos
funciones reales de variable real, y
definidas en un mismo intervalo. Se
Teorema:
Si f es biyectiva , entonces su inversa f –
1 es también una función y además
biyectiva.
Ejemplo:
A
X
Y
Z
ones
Q
100
B
1
2
3
4
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Informática
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llama función producto de f y g a la
función definida por
(f ⋅ g (x) = f(x) ⋅ g(x)
Cociente de funciones: Dadas dos
funciones reales de variable real, f y g, y
definidas en un mismo intervalo, se llama
función cociente de f y g a la función
definida por
(La función f/g está definida en todos los
puntos en los que la función g no se
anula.)
Producto de un número por una
función: Dado un número real a y una
función f, el producto del número por la
función es la función definida por
(a⋅f) (x) = a⋅f(x)
Ejemplo:
Sean las funciones f(x) = x + 3 y g(x) = x2.
Calcular g o f y la imagen mediante esta
función de 1, 0 y -3.
•(g o f) (x)=g[f(x)]=g[(x+3)]=(x + 3)²
Dadas dos funciones reales de variable real,
f y g, se llama composición de las
funciones f y g, y se escribe g o f, a la
función definida de R en R, por (g o f )(x) =
g[f(x)].
La función ( g o f )(x) se lee « f compuesto
con g aplicado a x ».
R
f(x)
1. Se calcula la imagen de x mediante la
función f, f(x).
Resolución:
COMPOSICIÓN DE FUNCIONES
f
Para obtener la imagen de la función
compuesta aplicada a un número x, se
siguen estos pasos:
2. Se calcula la imagen mediante la función
g, de f(x). Es decir, se aplica la función g al
resultado obtenido anteriormente.
f (x) = f(x)
g
g(x)
R
x
Matemáticas Discretas
Cálculo de la imagen de un elemento
mediante una función compuesta
g
R
g[f(x)]
Primero actúa la función f y después actúa
la función g, sobre f(x).
f
R
x
R
g
R
f(x) = x + 3
g[f(x)] = g(x + 3)= (x + 3)2
La imagen de dos números 1, 0, -3,
mediante la función g o f es:
(g o f) (1)=g[f(1)]=g(1+3)=g(4)=4²=16
(g o f) (1)=g[f(0)]=g(0+3)=g(3)=3²=9
(g o f) (-3)=g[f(-3)]=g[(-3)+3]=g(0)=0² =0
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101
Informática
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Dadas las funciones f(x) = x2 + 1, y g(x) =
3x - 2, calcular:
a) (g o f ) (x)
Matemáticas Discretas
d) El original de 49 para la función (g o f)
(x) = 49
b) (f o g ) (x)
c) (g o f ) (1) y (f o g ) (-1)
d ) El original de 49 para la función g o f.
Resolución:
a) La función g o f está definida por:
R
x
f
R
g
R
f(x) = x² + 1
g[f(x)] = g(x² + 1) = 3(x² + 1)-2=
= 3x² + 3 – 2 = 3x² + 1
b) La funcion f o g está definida por:
R
x
f
R
g
R
g(x) = 3x - 2
f[g(x)] = (3x – 2)² + 1 =
= 9x² +4 –12x + 1 = 9x² - 12 x + 5
Observese que g o f ≠ f o g.
c) Aplicando los resultados
apartados anteriores:
de
los
(g o f) (1) = 3⋅ 1² + 1 = 4
(fog) (-1) = 9⋅(-1)² - 12(-1) + 5 = 26
102
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Matemáticas Discretas
(g o f ) (x) = 3x2 + 1 = 49. Basta con
resolver esta ecuación.
3x² + 1 = 49 ⇒ x² = 16 ⇒ x = ± 4
Las funciones matematicas, en terminos
simples, corresponden al proceso logico
comun que se expresa como “depende
de”. Este proceso logico se aplica a todo lo
que tiene relacion a un resultado o efecto
sea este medible o no en forma
cuantitativa.
Las
funciones
matematicas
pueden
referirse a situaciones cotidianas, tales
como: el valor del consumo mensual de
agua potable que depende del número de
metros cúbicos consumidos en el mes; el
valor de un departamento que depende
del número de metros cuadrados
construidos; la sombra proyectada por un
edificio que depende de la hora del día; el
costo de una llamada telefónica que
depende de su duración; el costo de enviar
una encomienda que depende de su peso;
la estatura de un niño que depende de su
edad.
q:
-17 + 38 = 21
Las proposiciones se indican por medio de
una letra minúscula, dos puntos y la
proposición propiamente dicha:
Los proposiciones anteriores sabemos que
pueden tomar un valor de falso o
verdadero; por lo tanto son proposiciones
validas.
Una Tabla de Verdad nos permite mostrar
gráficamente
el
valor
de
dichas
proposiciones.
Concepto.
La interpretación de una fórmula queda
completamente determinado por los
valores de verdad de las variables
proposicionales
(VP)
que
dicha
interpretación asigna a las letras
2.2.1 Tablas de Verdad.
Una proposición o enunciado es una
oración que puede ser falsa o verdadera
pero no ambas a la vez. La proposición es
un elemento fundamental de la lógica
matemática.
Por ejemplo:
p:
La tierra es plana.
PT Bachiller en Informática
103
Informática
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enunciativas que aparecen en esa fórmula.
Una vez que conocemos el valor de verdad
que la interpretación asigna a cada VP y
tenemos presentes las definiciones de los
conectivos resulta fácil determinar el valor
de verdad que le corresponde a la fórmula
completa.
El
procedimiento
de
determinación
requiere ir por pasos, estableciéndolos
valores correspondientes a los diferentes
niveles de subfórmulas (indicados por los
paréntesis) hasta alcanzar el nivel de la
fórmula completa. Así obtenemos una
tabla de verdad para la fórmula en
cuestión.
Una tabla de verdad establece las
diferentes posibles combinaciones de
valores de verdad de las VP de una fórmula
y determina los valores correspondientes a
esa fórmula para cada una de esas
combinaciones, es decir, cada renglón será
una interpretación posible para esa
fórmula a partir de las diferentes
combinaciones de valores de verdad para
las VP que la compongan.
Matemáticas Discretas
contenga n VP, ese número es 2n. Así la
tabla de verdad de una fórmula que tenga
2 variables tendrá 22 = 4 renglones, una
que tenga 3, tendrá 23 = 8, una que tenga
4 24 = 16 y así sucesivamente.
Luego de calcular el número de renglones
necesarios (en este caso hay sólo dos VP,
luego serán 4 renglones) procedo de la
siguiente
manera:
Paso 1: La columna 1 corresponde a la
asignación de todas las combinaciones de
valores de verdad posibles de las VP que
aparecen en la fórmula.
Cada tabla requiere un número de
interpretaciones que se corresponde con el
número de combinaciones de valores de
verdad para las VP que aparezcan en la
fórmula. El criterio para determinar
cuantas interpretaciones posibles tiene una
fórmula depende del número de VP
distintas que aparezcan en ella.
Dado que según el Principio de Bivalencia
que rige la Lógica Clásica una fórmula sólo
puede tener dos valores de verdad (a
saber, V o F) para una fórmula que
104
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Paso 2: Calculo el valor de Verdad
correspondiente a las negaciones de VP.
Paso 3: Calculo los conectivos binarios que
afecten directamente a VP o a negaciones
de VP.
Paso 4: Calculo conectivos binarios que
afecten a los resultados del paso anterior
hasta llegar al conectivo principal de la
fórmula.
El resultado de la tabla aparecerá reflejado
debajo del conectivo principal.
Matemáticas Discretas
independientemente de como sea el
mundo (es decir, independientemente de
los valores de verdad que tengan de
hecho
las
VP componentes) y
SOLAMENTE
es
verdadera
por
la
contribución semántica de sus conectivos.
Cada interpretación (renglón de la tabla)
representa un modo posible de ser “el
mundo” – para la fórmula considerada –
donde el total de los mundos posibles está
dado por el modo en que se “conectan” las
VP.
Si la tabla de verdad arroja solamente F
entonces decimos que la fórmula es una
CONTRADICCIÓN.
Obviamente
una
fórmula resultará ser CONTINGENTE sí y
solo sí su valor de verdad es F para al
menos una interpretación y V para al
menos otra.
El resultado de la tabla de verdad de una
fórmula
es
la
última
columna
(correspondiente al conectivo principal de
la fórmula molecular). Como se habrá
observado pueden ocurrir tres casos:
a) el resultado final de la tabla sólo arroja
signos de V.
b) el resultado final de la tabla solo arroja
signos de F.
c) el resultado final presenta signos de V y
signos de F indistintamente.
Se dice que una fórmula es una
TAUTOLOGÍA sí y solo si su valor de verdad
es siempre V para toda interpretación
posible. Es decir, si el resultado de la tabla
arroja solo V en su columna final. Esto
significa que la fórmula es verdadera
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105
Informática
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Ejemplo:
El candidato del PRI dice “Si salgo electo
presidente de la República recibirán un
50% de aumento en su sueldo el próximo
año”. Una declaración como esta se
conoce como condicional. Su tabla de
verdad es la siguiente:
Sean
Matemáticas Discretas
que el candidato dijo la verdad en su
campaña. Cuando p=1 y q=0 significa que
p → q =0; el candidato mintió, ya que
salió electo y no se incrementaron los
salarios. Cuando p=0 y q=1 significa que
aunque no salió electo hubo un aumento
del 50% en su salario, que posiblemente
fue ajeno al candidato presidencial y por lo
tanto; tampoco mintió de tal forma que p
→ q =1.
p: Salió electo Presidente de la República.
q: Recibirán un 50% de aumento en su
sueldo el próximo año.
Realización del ejercicio
De tal manera que el enunciado se puede
expresar de las siguiente manera.
p→q
Su tabla de verdad queda de la siguiente
manera:
p
1
1
0
0
q
1
0
1
0
Competencia Lógica
Identificar los elementos que conforman
las tablas de verdad.
p→q
1
0
1
1
La interpretación de los resultados de la
tabla es la siguiente:
Considere que se desea analizar si el
candiato presidencial mintió con la
afirmación del enunciado anterior. Cuando
p=1; significa que salió electo, q=1 y
recibieron un aumento de 50% en su
sueldo, por lo tanto p → q =1; significa
106
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Informática
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Matemáticas Discretas
El alumno:
Operador
Significado
Elaborará las tablas de verdad para
Demostrar:
1.- p ⇒ ( p ∨ q )
2.- ( p ∧ q ) ⇒ p
3.- q ⇒ ( p ⇒ q )
4.- p′ ⇒ ( p ⇒ q )
5.- ( p ⇒ q ∧ p ⇒ r ) ⇒ ( p ⇒ ( q ∧ r ) )
<
menor que
>
mayor que
=
Igual que
<=
menor o igual a
>=
mayor o igual a
Expresiones booleanas y tablas de
verdad.
<>
Distinto de
•
Una expresión es una forma especial de
asignación.
Las
expresiones
son
combinaciones de constantes, variables,
símbolos de operación, paréntesis y
nombres de funciones especiales.
El formato general para las comparaciones
es:
Expresión 1 operador de relación
Expresión 2
Una expresión lógica es una expresión que
sólo puede tomar dos valores: verdadero y
falso. Se denominan también expresiones
booleanas en honor del matemático
británico George
Boole, que desarrolló el Algebra lógica o
de Boole.
Las expresiones lógicas se forman
combinando constantes lógicas, variables
lógicas y otras expresiones lógicas
utilizando los operadores
lógicos not, and y or, y los operadores
relacionales ( de relación o comparación )
=,<,>,<=,>=,<>.
Operadores de relación: Los operadores
relacionales o de relación permiten realizar
comparaciones de valores de tipo
numérico o caracter. Los operadores de
relación
sirven
para
expresar
las
condiciones en los algoritmos.
PT Bachiller en Informática
107
Informática
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y el resultado de la expresión será
verdadero o falso. Así, por ejemplo, si A =
4 y B = 3, entonces
A > B es verdadero
mientras que
( A - 2 ) < ( B - 4 ) es falso
Los operadores de relación se pueden
aplicar a cualquiera de los cuatro tipos de
datos estándar: enteros, real, lógico,
carácter.
La aplicación a valores numéricos es
evidente. Los ejemplos siguientes son
significativos.
N1 N2 Expresión lógica Resultado
3
6
3<6
verdadero
0
1
0>1
falso
4
2
4=2
falso
8
5
8<=5
falso
9
9
9>=9
falso
5
5
5<>5
falso
Matemáticas Discretas
prácticamente estándar los códigos de los
caracteres alfanuméricos más usuales.
Operadores lógicos. Los operadores
lógicos o booleanos básicos son not (no)
and (y) or (o). La tabla a continuación
recoge el funcionamiento de dichos
operadores:
Operador
lógico
Expresión
lógica
Significado
no ( not )
no p ( not p )
Negación de p
y ( and )
p y q ( p and
q)
Intersección de p y
q
o(o)
poq(poq)
unión de p y q
Las definiciones de las operaciones no, y, o
se resumen en unas tablas conocidas como
tablas de verdad.
Para realizar comparaciones de datos tipo
caracter, se requiere una secuencia de
ordenación de los caracteres, similar al
orden creciente o decreciente. Esta
ordenación suele ser alfabética, tanto
mayúsculas
como
minúsculas,
considerándolas de modo
independiente, pero si se consideran
caracteres mixtos, se debe recurrir a un
código normalizado como es el ASCII.
Aunque no todas las computadoras siguen
el código normalizado en su juego
completo
de
caracteres,
si
son
108
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Informática
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Matemáticas Discretas
no b
falso
verdadero
a
verdadero
falso
b
verdadero
falso
verdadero
falso
ayb
verdadero
falso
falso
falso
a y b es verdadero sólo si a y b son
verdaderos.
a
verdadero
verdadero
falso
falso
b
verdadero
falso
verdadero
falso
Verdadero
no PRUEBA
Falso
* PRUEBA es un
valor lógico falso
(0 < 5) o (0 > 5) Verdadero * número es una
variable entera de
valor 5
no (6 >10) es verdadera
ya que (6>10) es falsa
a
verdadero
verdadero
falso
falso
(1 > 0) y (3 = 3)
aob
verdadero
verdadero
verdadero
falso
(5 < = 7) y (2 >
4)
Falso
no (5 < > 5)
Verdadero
(número = 1) o
(7 > = 4)
Verdadero
Prioridad de los operadores lógicos. Los
operadores aritméticos seguían un orden
específico o de prioridad cuando existían
más de un operador en las expresiones. De
modo similar los operadores lógicos y
relacionales tienen un orden de prioridad.
a o b son verdaderas cuando a, b o ambas
son verdaderas.
En las expresiones lógicas se pueden
mezclar operadores de relación y lógicos.
Así, por ejemplo:
( 1 < 5 ) y ( 5 < 10 ) es verdadera
( 5 > 10 ) o ( ‘A’ < ‘B’ ) es verdadera, ya
que ‘A’ < ‘B’
La siguiente tabla resume una serie de
aplicaciones de expresiones lógicas.
Expresión
lógica
Resultado
Observaciones
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109
Informática
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Operador
no
Prioridad
más alta (primera
ejecutada)
/,*, div, mod, y
+, -, o
<, >,=,<=,>=,<> más baja (ultima
ejecutada)
Matemáticas Discretas
Las Tablas de Verdad dan el valor de la
salida X para cada combinación de valores
de entrada. El mapa Karnaugh proporciona
la misma información en un formato
diferente. Cada caso en la Tabla de Verdad
corresponde a un cuadrado en el mapa de
Karnaugh.
Al igual que en las expresiones aritméticas,
los paréntesis se pueden utilizar y tendrán
prioridad sobre cualquier operación.
Ejemplo:
no 4 > 6 produce un error, ya que el
operador no se aplica a 4
no ( 4 > 14 ) produce un valor verdadero
( 1.0 < x ) y ( x < z + 7.0) si x vale 7 y z
vale 4, se obtiene un valor falso.
Mapa de Karmaugh
La condición A=0, B=0 en la Tabla de
Verdad corresponde al cuadrado AB
negada en el mapa de Karnaugh. En forma
semejante, la condición A=1, B=1 en la
Tabla de Verdad corresponde
El mapa de Karnaugh es un dispositivo
gráfico que se utiliza para simplificar una
ecuación lógica o para convertir
una Tabla de Verdad en su circuito lógico
correspondiente en un proceso simple y
ordenado, aunque un mapa de Karnaugh
se puede usar para resolver problemas con
cualquier número de variables de entrada,
su utilidad práctica se limita a seis
variables.
FORMATO DEL MAPA DE KARNAUGH. El
mapa de Karnaugh, al igual que la Tabla de
Verdad, es un medio para demostrar la
relación existente entre las entradas lógicas
y la salida que se busca.
110
PT Bachiller en Informática
Informática
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al cuadrado AB del mapa de Karnaugh ya
que X=1 en este caso se coloca un 1 en el
cuadrado AB, los otros cuadrados se llenan
con ceros; este mismo procedimiento se
realiza con los mapas de tres y cuatro
variables.
Los cuadrados del mapa de Karnaugh se
marcan de modo que los cuadrados
horizontalmente
adyacentes
difieran
únicamente de una variable.
Una vez que el mapa de Karnaugh se ha
llenado con ceros y unos, la expresión en
suma de productos para la salida X se
puede obtener operando con OR aquellos
cuadrados que contienen un uno.
Matemáticas Discretas
Lo único que debemos tener en cuenta es
que debemos seguir un procedimiento
para ver lo que escogeremos
Esto es llevando a cabo los siguientes
puntos:
Tratar de abarcar todos los unos con el
MENOR número de agrupaciones
Esto trae como consecuencia que
formaremos los grupos de los mas grandes
o sea de 8 y así ir bajando hasta abarcar
todos los unos.
Formar sólo grupos de dos, cuatro y ocho
unos.
REPETICION:-La expresión de la salida X se
puede
simplificar
adecuadamente
combinando los cuadrados en el mapa
Karnaugh que contengan unos el proceso
para combinar estos unos se le llama
repetición
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111
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•
Matemáticas Discretas
Consultará con el P.S.A. la correcta
elaboración del ejercicio.
Redacción de trabajo
2.2.2 Proposiciones
Competencia
Emprendedora
Identificar las diferencias entre tablas de
erdad y mapa de Kamaugh.
El alumno:
•
•
Redactará un trabajo que contenga los
conceptos de las tablas de verdad, del
mapa de Karnaugh.
Comparará resultados y llegará a
conclusiones
Una proposición se considera una frase, a
la cual, se le puede asignar dos valores: o
bien es verdadera, o bien es falsa, pero no
ambas cosas. La verdad o falsedad de
dicha proposición se le llama su valor de
verdad .
Algunas
proposiciones
se
pueden
componer de dos o varias proposiciones
simples, a los cuales, les llamaremos
proposiciones compuestas .
Comúnmente se suele denotar a las
proposiciones mediante las letras: « p, q, r,
s...etc. »
A continuación, veremos algunos ejemplos
muy simples, de manera que se comprenda
que son las proposiciones en Lógica.
Realización del ejercicio
Competencia Científico Teórica.
Realizar el mapa de Karnaugh partiendo de
una función dada.
El alumno:
•
Elaborará el mapa de Karnaugh la
siguiente función.
f(x, y, z) = x' y' z + x’ y z' + x y' z.
112
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Matemáticas Discretas
un cierto valor de verdad, o bien es
verdadero, o bien es falso. Para la segunda
proposición: «Pedro es viejo» también se le
puede asignar su valor de verdad: falso o
verdadero.
p: 7 es un número par;
q: 2 + 2 = 4;
r: 2 es un número impar.
Como
puedes
darte
cuenta,
las
proposiciones tanto p, q y r, tienen valores
de verdad. De manera que la proposición
p, su valor de verdad será Falso , pues 7 no
es un número par. Para la proposición q,
su valor de verdad será verdadero, siempre
y cuando estemos hablando de el sistema
decimal. El valor de verdad para r, será
falso, pues 2 no es un número impar.
Ahora observemos este otro ejemplo:
¿Cómo éstas?
La manera en que van a estar unidas
ciertas proposiciones simples, para dar
forma a proposiciones compuestas, será
determinado rotundamente por el uso de
conectivos.
Conjunción. Anteriormente vimos que la
unión de proposiciones simples dan lugar a
proposiciones compuestas. El primer caso
que veremos de proposiciones compuestas
será la conjunción.
Observa que para esta expresión no es
posible asignar un valor de verdad, no
podemos decir que es falso, o bien,
verdadero. De manera que no se trata de
una proposición.
Bueno, dejemos éste ejemplo, y ahora
veamos este otro:
Pedro está enfermo o viejo.
Esta
expresión
está
formada
implícitamente por dos proposiciones
simples: «Pedro está enfermo» y la otra
proposición, «Pedro es viejo».
Se trata de una proposición compuesta,
donde su valor de verdad, está
determinado por completo por el valor de
verdad de cada uno de las proposiciones
simples, y por el modo de como se les
reúne para formar la proposición
compuesta.
De manera que, la primera proposición:
«Pedro está enfermo», le podemos asignar
PT Bachiller en Informática
113
Informática
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Cuando dos proposiciones simples se
combinan mediante la palabra « y » , la
proposición compuesta resultante se le
llama conjunción.
Para la conjunción usaremos el símbolo
lógico ^. De esta manera, se tiene que la
nueva proposición p ^ q se llama
conjunción de « p y q ».
Ahora, el valor de verdad, para la
conjunción
de
dos
proposiciones
cualesquiera, «p y q» será de la siguiente
manera:
p ^ q debe ser verdadera, si, y solamente
si, tanto p, como q, son verdaderas. De
manera que, si al menos, una de las
proposiciones simples es falsa, entonces, el
valor de verdad para p ^ q , es falso.
Matemáticas Discretas
Disyunción. Se emplea la palabra «o» en
el sentido inclusivo, como el término y/o.
Entonces una proposición del tipo «p o q»
se toma siempre como «p o q ó
ambas».Dado esto admitimos la frase
compuesta como una proposición.
Simbolicamente
la
denotaremos
escribiendo p v q . A esta nueva
proposición compuesta se le llama
Disyunción, de modo que la proposición p
v q se llama disyunción de p y q.
El valor de verdad de la proposición
compuesta p v q cumple la condición
siguiente:
Veamos un par de ejemplos sencillos para
comprender el estudio de la conjunción.
1.- Si p es la proposición: «1 es un
número impar» y q es la proposición: «3
es un número primo», entonces p ^ q
será la proposición: «1 es un número
impar y 3 es un número primo». En
donde se observa que p ^ q su valor de
verdad es verdadero, pues tanto p: «1 es
un número impar», como q: «3 es un
número primo»,ambos son verdaderos.
2.- Si p es la proposición: «París está en
Francia» y q es la proposición: «2 es un
número impar», entonces la proposición:
p ^ q será «París está en Francia y 2 es
un número impar», donde su valor de
verdad es: falso, pues el valor de verdad de
q: «París está en Francia» , es verdadero,
pero el valor de q: «2 es un número
impar» es falso.
114
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Si p es verdadero o q es verdadero o si
ambos, entonces p v q es verdadero; en
cualquier otro caso p v q es falso. Es decir
la disyunción de dos proposiciones es falsa
solamente si cada proposición componente
es falsa.
Veamos a continuación los siguientes
ejemplos:
1.- Si p es la proposición «2 es un número
par» y q es la proposición «3 es un
número primo», entonces la disyunción p
v q será la proposición «2 es un número
par o 3 es un número primo».Donde el
valor de la disyunción es verdadero pues
tanto p y q son ambas verdaderas.
2.- Si p es la proposición «2 < 3» y q es la
proposición «4 es un número primo».
Entonces la disyunción p v q es la
proposición:«2 < 3 o 4 es un número
primo». Donde el valor de verdad de p v q
es verdadero, pues p «2 < 3» es
verdadero, y q «4 es un número primo»
es falso.
Con esto se observa: si al menos una de las
proposiciones que forman la disyunción p
v q es verdadera, entonces el valor de la
disyunción es verdadera.
3.- Si p es: «París se encuentra en
Inglaterra» y q es: «2 + 2 = 5», luego
entonces el valor de la disyunción p v q
será falso, pues tanto p como q, ambas
son falsas.
Negación. Si p es una proposición
fundamental, de ésta se puede formar otra
proposición, que se le llama Negación de
Matemáticas Discretas
p, escribiendo: «Es falso que» antes de p,
ó, cuando es posible, se inserta en p la
palabra «No».
Simbólicamente
denotaremos
a
la
negación por ~p, aunque existen varias
maneras de hacerlo, algunos autores usan
las notaciones para la negación de una
proposición p como: ¬p ,-p , etc....,
nosotros utilizaremos la notación ~p.
El valor de verdad de la negación de una
proposición fundamental depende de la
condición siguiente:
Si p es verdadero, entonces ~p es falso;
si p es falso, entonces ~p es verdadero. Es
decir el valor de verdad de la negación de
una proposición fundamental es siempre
opuesto del valor de verdad de la
proposición.
Consideremos los siguientes ejemplos:
1.- Si p es la proposición «Alemania se
encuentra
en
Europa»,entonces
la
negación de p, ~p, será la proposición:
«Es falso que Alemania se encuentre en
Europa»
Es obvio que el valor de verdad para ~p es
falso, pues la proposición p: «Alemania se
encuentra en Europa» es verdadero.
Tambien se pudo haber expresado la
negación de p como:«Alemania no se
encuentra en Europa».
2.- Si p es la proposición: «2 * 3 = 7»,
entonces ~p es la proposición: «2 * 3 /=
7», donde el valor de verdad de ~p es
verdadero, pues p«2 * 3 = 7», es falso.
Condicionales
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Matemáticas Discretas
En matemáticas se suele utilizar muy
frecuentemente la proposición «Si p,
entonces q». Tales proposiciones se
llaman condicionales y se le denota por: p
--> q
El condicional p --> q también se puede
expresar de las siguientes maneras:
a. p implica q
b. p solamente si q
c. p es suficiente para q
d. q es necesario para p
Veamos un ejemplo, el cual te ayudara a
comprender las maneras en que una
proposición condicional se puede expresar:
Por ejemplo, cuando decimos:
Mi automóvil funciona si hay gasolina en el
tanque.
Este enunciado es equivalente a expresarlo
de las siguientes maneras:
a) Si hay gasolina en el tanque, entonces
mi automóvil funciona.
Observa que en este caso la proposición
condicional es del caso: «Si p, entonces
q».
b) Mi automóvil sólo funciona si hay
gasolina en el tanque.
En este caso la proposición condicional es
del caso: «p solamente si q».
116
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c) Si hay gasolina en el tanque, es
suficiente para que mi automovil
funcione
En este caso la condicional es de la forma:
«p es suficiente par q».
d) Para que mi automóvil funcione es
necesario que haya gasolina en el
tanque.
Para este caso la proposición condicional
es de la forma: «q es necesario para q».
e) Que haya gasolina en el tanque
implica que mi auto funcione.
Matemáticas Discretas
También, es muy importante comprender
el carácter que tiene el condicional p --> q,
es decir, si llegara a ocurrir p....entonces q,
no es necesario a que siempre ocurra p
para que entonces q.
Veamos algunos ejemplos para aclararte
esto:
1.- Si mañana llueve, entonces hará frío.
Se observa, de que, si llega a ocurrir de
que el día de mañana llueva, entonces el
día de mañana será frío. Ahora, para saber
el valor de verdad de esta proposición,
depende de los factores climatológicos que
se presenten para el día de mañana.
En este caso la condicional es de la forma:
«p implica q».
El valor de verdad de la proposición
condicional p --> q está dada de la
siguiente condición:
El condicional p --> q es verdadero a
menos que p sea verdadero y q falso. Es
decir, una proposición verdadera no puede
implicar una falsa.
La proposición condicional juega un papel
muy importante en matemáticas, en
particular, en la demostración matemática.
Veremos mas adelante cuando lleguemos a
este
tema,
que
los
teoremas,
corolarios,.etc,etc...vendrán dadas por una
serie de condiciones a la que llamaremos:
Hipótesis o antecedentes, lo cual implican
un consecuente. En el condicional p --> q
a p se le llama el antecedente, y a q el
consecuente.
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117
Informática
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Es decir, puede ser que mañana llueva,
pero no haga frío, en este caso dado la ley
del valor de verdad de la condicional, sería
falsa. Pues una proposición verdadera no
implica una proposición falsa.
2.- Si a y b son números pares, entonces la
suma (a+b) también es un número par.
Para este caso, si se tienen que dos
números son pares entonces su suma son
otro número par, es decir, no afirma que
para cualesquiera dos números la suma de
estos es un número par.
Otra observación interesante que hay que
notar, es como ya dijimos anteriormente
de que el valor de verdad de la proposición
condicional p --> q es falso, si p es
verdadero y q es falso.
Matemáticas Discretas
Sea la proposición condicional: «Si 4 es un
número primo, entonces 6 es un número
primo».
•
Con los conceptos expuestos en el tema
de proposición condicional, elaborará la
proposición antes enunciada.
Equivalencia lógica
Se dice que dos proposiciones son
lógicamente equivalentes, o simplemente
equivalentes. Si coinciden sus resultados
para los mismo valores de verdad. Se
indican como p ≡ q.
Ahora puede ser que te sorprenda de que
el valor de verdad de la condicional p --> q
es verdadero, dado que q es falsa y q
verdadera, o más aún, es verdadero, dado
que p es falsa y también q es falsa.
Realización del ejercicio
Competencia Analitica
Razonar el concepto de proposición
condicional y su correspondiente notación.
EL alumno:
•
118
Analizará la siguiente proposición.
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Matemáticas Discretas
Un buen ejemplo es el que se estableció
para ilustrar la tautología en donde se
puede observar que las columnas de (p→q)
y (q’→p’) para los mismo valores de
verdad, por lo tanto se puede establecer
que (p→q) ≡ (q’→p’)
Reglas de inferencia
Los argumentos basados en tautologías
representan métodos de razonamiento
universalmente correctos. Su validez
depende solamente de la forma de las
proposiciones que intervienen y no de los
valores de verdad de las variables que
contienen. A esos argumentos se les llama
reglas de inferencia. Las reglas de
inferencia permiten relacionar dos o más
tautologías
o
hipótesis
en
una
demostración.
Ejemplo 1
¿Es valido el siguiente argumento?
Si usted invierte en el mercado de valores,
entonces se hará rico.
Si se hace usted rico, entonces será feliz.
___________________________________________
∴Si usted invierte en el mercado de
valores, entonces será feliz.
Sea:
p: Usted invierte en el mercado de valores.
q: Se hará rico.
r: Será feliz
De tal manera que el enunciado anterior se
puede representar con notación lógica de
la siguiente manera:
p→q
q→r
______
∴p→r
En una demostración no solamente hay
tautologías e hipótesis, también
existen reglas de inferencia que permiten
obtener nuevas líneas válidas, esta es la
parte en donde la mayoría de alumnos
tienen problemas y en donde no sabe que
regla aplicar para resolver un determinado
problema. A continuación se cita una lista
de las principales reglas de inferencia que
se pueden aplicar en una demostración.
Adición
p
_______
∴p∨q
Conjunción
p
q
_________
∴ p ∧q
Simplificación
Modus pones
p ∧q
p
____________
p→q
∴ p
_________
∴ q
Silogismo disyuntivo
Modus tollens
p∨q
p→q
p’
q’
_________
___________
∴ q
∴
p’
Silogismo hipotético
p→q
q→r
________
p→r
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Matemáticas Discretas
Realización del ejercicio
Competencia Analítica
Razonar
sobre
el
concepto
de
proposiciones equivalentes, sus reglas de
inferencia y su correspondiente notación.
El alumno:
•
Analizará el siguiente argumento:
Si bajan los impuestos, entonces se eleva el
ingreso
El ingreso se eleva.
___________________________________
∴Los impuestos bajan
•
Determinará la validez del mismo.
•
Representará en notación lógica el
argumento antes enunciado y su
correspondiente demostración.
Cuantificadores
Los cuantificadores permiten expresar
propiedades de grupos completos de
objetos. La lógica de primer orden consta
de
dos
cuantificadores
estándar,
denominados
Universales: Equivale a la conjunción de
todas las oraciones que se obtienen al
sustituir el nombre de un objeto por la
variable que aparece en la expresión
120
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Existenciales:
Sirve
para
realizar
afirmaciones acerca de algún objeto en el
universo sin tener que nombrarlo. Equivale
a la disyunción de todas las oraciones
obtenidas al sustituir el nombre de un
objeto por la variable x.
Esta oración es verdadera solo cuando una
de las disyunciones es verdaderas.
El orden de los cuantificadores es muy
importante. Surge una dificultad que no es
grave
cuando
se
utilizan
dos
cuantificadores que tienen el mismo
nombre de variable. La regla es que la
variable pertenece al más interno de los
cuantificadores que en ella se mencionan.
El término fórmula bien configurada se
emplea para calificar oraciones en las que
todas sus variables se han introducido
mediante un cuantificador.
Matemáticas Discretas
Existencia y Unicidad: Se utiliza con
frecuencia un cuantificador más: ∃!, que se
lee “existe un único”. Dada una función
proposicional p (x)
(∃!x) p (x) es
verdadero cuando hay exactamente un
elemento que hace verdadero p (x).
Los símbolos ∀ (cuantificador universal) y ∃
(cuantificador existencial) se utilizan en
Matemáticas para enunciar proposiciones
lógicas relativas a objetos matemáticos.
Sea A un conjunto y p(x) una proposición o
propiedad que hace referencia a un
elemento x.
(1) Cuantificador universal : La expresión
∀ x ∈ A ⇒ p(x)
Cuantificador Universal (se escribe ∀ y se
lee “para todo”): dada una
función
proposicional
p
(x)
definimos
la
proposición cuantificada universalmente
asociada a p (x) por
p ⇔ (∀x) p (x).
Cuantificador existencial (se escribe ∃ y se
lee
“existe”):
Dada
una
función
proposicional
p
(x)
definimos
la
proposición
p ⇔ (∃x) p (x)
que es verdadera ssi podemos encontrar
por lo menos un elemento que hace p (x)
verdadero
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121
Informática
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Matemáticas Discretas
llaman
proposiciones
compuestas.
Podemos tener ahora proposiciones
compuestas del tipo (p ^ q)v r.
se lee "para todo x que pertenece a A se
verifica p(x)", representa la proposición
{x
A : p(x) } = A
El valor de verdad que se asigna a una
proposición compuesta suponemos que se
asigna de acuerdo con la extensión natural
de las hipótesis anteriores.
(2) Cuantificador existencial: La expresión
∃ x ∈ A | p(x)
se lee "existe x que pertenece a A tal que
p(x)", representa la proposición
{
x
∈
A
:
p(x)
}
≠
∅
La negación de cualquiera de las dos
proposiciones
anteriores
se
realiza
negando la proposición p(x) y cambiando
el
cuantificador
universal
por
el
cuantificador existencial, o viceversa.
Dichas hipótesis se resumen y se
generalizan por medio de lo que se llama
una tabla de verdad.
Se puede conocer el valor de verdad de
una proposición, que contiene conectivos,
determinando el valor de verdad de cada
una de las componentes. A una
proposición p se le asigna los valores V o F,
escritos en este orden, debajo de la
proposición p
Así, la negación de la proposición "∀ x ∈ A
⇒ p(x)" es "∃ x ∈ A | p(x)' ", mientras que la
negación de "∃ x ∈ A | p(x)" es "∀ x ∈ A ⇒
p(x)' "
2.2.3 Conectivos
Condicional
A partir de el conjunto original de
proposiciones
fundamentales
hemos
formado un nuevo conjunto, aceptando en
él toda combinación de proposiciones del
conjunto original, que se pueden formar
empleando los conectivos lógicos ^, v, ~.
Los elementos del último conjunto se le
122
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. Las tablas de verdad para los conectivos
~, v, ^,-->, <--> se verán a continuación.
Tabla de verdad para ~p. (~ Falso)
p
V
F
~p
F
V
Esta tabla nos hace recordar la definición
que vimos anteriormente de la negación,
que dice: si el valor de verdad de p es
verdadero, entonces el valor de verdad de
~p es falso. Si el valor de verdad de p es
falso, entonces el valor de verdad de ~p es
verdadero.
Matemáticas Discretas
Esta tabla nos hace ver la definición de la
conjunción: Si p es verdadero y q es
verdadero, entonces p ^ q es verdadero;
en otro caso p ^ q es falso. Es decir, la
conjunción de dos proposiciones es
verdadera solamente si cada componente
es verdadero.
Tabla de
(Entonces)
P
V
V
F
F
q
V
F
V
F
verdad
para
p
-->
q.
p --> q
V
F
V
V
Tabla de verdad para p v q. (Disyunción)
p
q
pvq
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
De la tabla anterior se observa que el
condicional p --> q es verdadero a menos
que p sea verdadero y q falso.
En esta tabla se observa: Si p es verdadero
o q es verdadero o si ambos p y q son
verdaderos, entonces p v q es verdadero;
en otro caso p v q es falso. Es decir, la
disyunción de dos proposiciones es falsa
solamente si cada proposición componente
es falsa.
Tabla de verdad para p ^ q.
(Conjunción)
p
q
p^q
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
F
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123
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Matemáticas Discretas
Es decir una proposición verdadera no
puede implicar una falsa.
Bicondicional
Otro tipo de proposición que se presenta
con frecuencia es de la forma «p si, y
solamente si, q» que se suele abreviar «p
ssi q». Intuitivamente esta proposición
parece ser la combinación de p --> q y q ->p
A este conectivo lógico especial lo
llamamos condicional y se denota por el
simbolo <-->, entonces p <--> q es lo
mismo que (p --> q) y (q --> p) o
aplicando la definición de la conjunción,
que vimos en una de las secciones
anteriores, (p --> q) ^ (q --> p).
Si se toma p como: «3 + 2 = 7» y q como:
«4 + 4 = 8», entonces el valor de verdad
de p, es falso, pero el valor de verdad de q
es verdadero, luego
entonces la bicondicional p <--> q es
falsa.
2.- Londres está en Inglaterra
solamente si, París está en Francia.
y
Sea p «Londres está en Inglaterra» y q
«París está en Francia», entonces tanto el
valor de p, como de q, son verdaderos,es
decir tienen el mismo valor de verdad,
luego entonces la bicondicional p <--> q
es verdadera.
El valor de verdad de las proposiciones
Bicondicionales p <--> q obedece a la
condición:
Si p y q tienen el mismo valor de verdad,
entonces p <--> q, es verdadero.
Si p y q tienen valores de verdad opuestos,
entonces p <--> q es falso. Dicho de otra
manera: si tanto p como q son verdaderos,
entonces p <--> q es verdadero. Si tanto
p como q son falsos, entonces p <--> q
también es verdadero.
Si p es verdadero y q falso, entonces p <-> q es falso.
Si p es falso y q verdadero, entonces p <-> q también es falso
Veamos los ejemplossiguientes:
1.- 3 + 2 = 7 si, y solamente si, 4 + 4 = 8.
124
si,
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Matemáticas Discretas
3.- 10 es un número impar si, y solamente
si, 6 es un número primo
Si p es: «10 es un número impar» y q es:
«6 es un número primo», entonces se
observa que tanto el valor de verdad de p,
como de q, son falso, es decir tienen el
mismo valor de verdad, luego entonces la
bicondicional p <--> q es verdadera.
Tabla de verdad para p <--> q.
(Bicondicional)
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p <--> q
V
F
F
V
2.3.1 Álgebra Booleana.
Concepto.
Las álgebras booleanas, estudiadas por
primera vez en detalle por George Boole ,
constituyen un área de las matemáticas
que ha pasado a ocupar un lugar
prominente con el advenimiento de la
computadora
digital.
Son
usadas
ampliamente en el diseño de circuitos de
distribución y computadoras, y sus
aplicaciones van en aumento en muchas
otras áreas. En el nivel de lógica digital de
una computadora, lo que comúnmente se
llama hardware, y que está formado por
los componentes electrónicos de la
De la anterior tabla se puede observar que:
Si p y q tienen el mismo valor de verdad,
entonces p <--> q es verdadero; si p y q
tienen valores de verdad opuestos,
entonces p <--> q es falso.
La lógica matemática es la disciplina que
trata de métodos de razonamiento. En un
nivel elemental, la lógica proporciona
reglas y técnicas para eterminar si es o no
valido
un
argumento
dado.
El
razonamiento lógico se emplea en
matemáticas para demostrar teoremas; en
ciencias de la computación para verificar si
son o no correctos los programas; en las
ciencias física y naturales, para sacar
conclusiones de experimentos; y en las
ciencias sociales y en la vida cotidiana, para
resolver una multitud de problemas.
Ciertamente se usa en forma constante el
razonamiento lógico para realizar cualquier
actividad.
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125
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máquina, se trabaja con diferencias de
tensión, las cuales generan funciones que
son calculadas por los circuitos que forman
el nivel.
Éstas funciones, en la etapa de diseña del
hardware,
son
interpretadas
como
funciones de boole.
Todas las variables y constantes del
Álgebra booleana, admiten sólo uno de
dos valores en sus entradas y salidas: Sí/No,
0/1 o Verdadero/Falso. Estos valores
bivalentes y opuestos pueden ser
representados por números binarios de un
dígito (bits), por lo cual el Álgebra
booleana se puede entender cómo el
Álgebra del Sistema Binario.
Al igual que en álgebra tradicional,
también se trabaja con letras del alfabeto
para denominar variables y formar
ecuaciones para obtener el resultado de
ciertas operaciones mediante una ecuación
o expresión booleana.
Matemáticas Discretas
Nivel Lógico 0/Nivel lógico 1 (salida lógica
de un circuito semiconductor), etcétera.
El álgebra booleana es un sistema
matemático deductivo centrado en los
valores cero y uno (falso y verdadero). Un
operador binario " º " definido en éste
juego de valores acepta un par de entradas
y produce un solo valor
booleano, por ejemplo, el operador
booleano AND acepta dos entradas
booleanas y produce una sola salida
booleana.
Para cualquier sistema algebraico existen
una serie de postulados iniciales, de aquí
se pueden deducir reglas adicionales,
teoremas y otras propiedades del sistema,
el álgebra booleana a menudo emplea los
siguientes postulados:
Evidentemente los resultados de las
correspondientes operaciones también
serán binarios.
Todas las operaciones (representadas por
símbolos determinados) pueden ser
materializadas mediante elementos físicos
de diferentes tipos (mecánicos, eléctricos,
neumáticos o electrónicos) que admiten
entradas binarias o lógicas y que devuelven
una respuesta (salida) también binaria o
lógica. Ejemplos de dichos estados son:
Abierto/Cerrado (interruptor).
Encendida/Apagada (bombilla).
Cargado/Descargado (condensador).
126
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Cerrado. El sistema booleano se considera
cerrado con respecto a un operador binario
si para cada par de valores booleanos se
produce un solo resultado booleano.
Elementos
Basaremos el álgebra booleana en el
siguiente juego de operadores y valores:
o Los dos posibles valores en el sistema
booleano son cero y uno, a menudo
llamaremos
a
éstos
valores
respectivamente
como
falso
y
verdadero.
o El símbolo · representa la operación
lógica AND. Cuando se utilicen
nombres de variables de una sola letra
se eliminará el símbolo, por lo tanto
AB representa la operación lógica
AND entre las variables A y B, a esto
también le llamamos el producto
entre A y B.
o El símbolo El símbolo "+" representa
la operación lógica OR, decimos que
A+B es la operación lógica OR entre A
y B, también llamada la suma de A y
B.
Matemáticas Discretas
AND como el OR son asociativos por
la izquierda.
o Si dos operadores con la misma
procedencia
están
adyacentes,
entonces se evalúan de izquierda a
derecha. El operador lógico NOT es
asociativo por la derecha.
Utilizaremos
postulados:
además
los
siguientes
P1.- El álgebra booleana es cerrada bajo las
operaciones AND, OR y NOT
P2.El elemento de identidad con
respecto a · es uno y con respecto a + es
cero.
El complemento lógico, negación ó NOT
es un operador unitario, en éste texto
utilizaremos el símbolo " ' " para denotar
la negación lógica, por ejemplo, A'
denota la operación lógica NOT de A.
o Si varios operadores diferentes
aparecen en una sola expresión
booleana, el resultado de la expresión
depende de la procedencia de los
operadores, la cual es de mayor a
menor, paréntesis, operador lógico
NOT, operador lógico AND y operador
lógico OR. Tanto el operador lógico
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127
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No existe elemento de identidad para el
operador NOT
P3.Los operadores
conmutativos.
·
y
+
son
P6.- - y + son ambos asociativos, ésto
es, (AB) C = A (BC) y (A+B)+C = A+
(B+C).
Expresiones booleanas
Las expresiones booleanas se usan para
determinar si un conjunto de una o más
condiciones es verdadero o falso, y el
resultado de su evaluación es un valor de
verdad. Los operandos de una expresión
booleana pueden ser cualquiera de los
siguientes:
Matemáticas Discretas
P4.- - y + son distributivos uno con
respecto al otro, esto es, A· (B+C) =
(A·B)+(A·C) y A+ (B·C) = (A+B) ·(A+C).
P5.- Para cada valor A existe un valor A' tal
que A·A' = 0 y A+A' = 1. Éste valor es el
complemento lógico de A.
operador-de-relación es uno de los
siguientes:
= Igual
<> No igual (diferente de)
< Menor que
<= Menor o igual que
> Mayor que
>= Mayor o igual que
: Contiene (puede ser usado sólo en
expresiones de cadena)
Expresiones relacionales: que comparan
dos valores y determinan si existe o no
una cierta relación entre ellos (ver más
adelante), tal como mfn<10;
Funciones booleanas: tal como p(v24),
que regresa un valor de verdad (estos se
explican bajo "Funciones booleanas").
Las expresiones relacionales permiten
determinar si una relación dada se verifica
entre dos valores. La forma general de una
expresión relacional es:
expresión-1
expresión-2
operador-de-relación
donde:
expresión-1 es una expresión numérica o
de cadena
128
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expresión-2 es una expresión del mismo
tipo que expresión-1, o sea, expresión-1 y
expresión-2 deben ser ambas expresiones
numéricas o ambas expresiones de
cadena.
Los operadores de relación = <> < <=
> >= tienen su significado convencional
cuando se aplican a expresiones numéricas
(dentro de los límites de precisión de los
valores
numéricos
definidos
bajo
"Expresiones numéricas". Cuando se
comparan expresiones de cadena, se
aplican las siguientes reglas:
Excepto por el operador ":" (contiene), las
cadenas se comparan exactamente en la
forma en que ocurren, o sea, las letras
mayúsculas y minúsculas se comparan de
acuerdo con el código ASCII que les
corresponde (p.ej. A será considerada
menor que a);
iguales
a
correspondiente.
Matemáticas Discretas
su
letra
mayúscula
Por ejemplo, el resultado de:
v10:
'química' será Verdadero (True) si, y sólo
si, el campo 10 contiene la cadena
química. en caso contrario, el resultado
será Falso (False). Nótese que el segundo
operando puede ser cualquier cadena o
carácter, y no necesita ser una palabra
como tal. Por lo tanto, en este ejemplo, el
resultado será Verdadero no sólo si el
campo 10 contiene la palabra química,
sino también si contuviera bioquímica,
fotoquímicas, químicamente, etc.
Los operandos de una expresión booleana
pueden combinarse con los operadores
siguientes:
Dos expresiones de cadena no son
consideradas iguales, a menos que tengan
la misma longitud. Si dos expresiones
generan cadenas de diferente longitud
que son idénticas, carácter por carácter,
hasta el total de la longitud de la más
corta, entonces, la más corta será
considerada menor que la más larga.
El operador: (contiene), busca una cadena
de caracteres (definida por expresión-2) en
otra cadena (definida por expresión-1). Si
el segundo operando existe en cualquier
parte del segundo operando, el resultado
es Verdadero (TRUE). Este operador es
insensible al hecho de que los caracteres
se hallen en mayúsculas o minúsculas: por
lo que las letras minúsculas se consideran
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NOT (NO) Este operador produce el valor
Verdadero, si su operando es Falso; y el
valor Falso, si su operando es Verdadero.
El operador NOT sólo puede usarse como
operador signo +, o sea, siempre se aplica
a la expresión booleana que le sigue.
AND (Y) Este operador produce el valor
Verdadero si ambos operandos son
Verdadero. Si cualquiera de los dos
operandos es Falso, entonces el resultado
será Falso;
OR (O) Este operador realiza una
operación O-inclusivo. El resultado es
Verdadero si cualquiera de los dos
operandos, o ambos son Verdadero. En
caso contrario, es Falso.
v24:’plants’
v24:’PLANTS’
v44.6 =’method’
v44.6=’Method’
v24:’plants’
v44:’method’
Expresiones booleanas simples
Las expresiones booleanas simples pueden
ser:
constantes y variables booleanas;
referencias a funciones booleanas;
expresiones de la forma
expresión-1 operador-relacional expresión-2
Al evaluar expresiones booleanas, y en
ausencia de paréntesis, CDS/ISIS ejecutará
las operaciones NOT en primer lugar,
después
las
operaciones
AND,
y
finalmente las OR. Las series de dos o más
operadores del mismo nivel, se ejecutan
de izquierda a derecha. Se pueden usar
paréntesis para alterar el orden de
evaluación: las expresiones dentro de
paréntesis se evalúan antes, y las
expresiones entre paréntesis internos a
otros, son evaluadas antes que las
expresiones externas a los paréntesis.
La siguiente tabla presenta ejemplos de
expresiones booleanas.
Expresión
mfn = 4
not mfn = 4
not (not min = 4)
v24 = ‘plants’
130
Matemáticas Discretas
Verdadero
Verdadero
Falso
Verdadero
and Verdadero
Valor
Verdadero
Falso
Verdadero
Falso
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donde expresión-1 y expresión-2 son del
mismo tipo y el operador-relacional puede
ser cualquiera de los siguientes:
Matemáticas Discretas
Para los datos numéricos, los operadores
relacionales son los estándar usados para
comparar números.
Expresiones booleanas compuestas
Las expresiones booleanas compuestas se
forman
combinando
expresiones
booleanas
usando
los
operadores
booleanos NOT, AND y OR.
Operador
Relacional
Definición
<
Es menor que
>
Es mayor que
=
Es igual a
<=
Es menor que o igual a
>=
Es mayor que o igual a
<>
No es igual a
Las definiciones de los operadores
booleanos se resumen en las siguientes
tablas de verdad:
NOT
true false
Los operadores relaciones pueden usarse
con los tipos integer, real, boolean y char
(y también con otros tipos ordinales como
se verá más adelante).
false true
Para establecer un orden en el conjunto de
caracteres se usan los códigos ASCII y
EBCDIC. En cualquier caso, las letras están
en orden alfabético y los dígitos en orden
numérico. Por tanto,
'A' < 'F'
'6' < '4'
son expresiones booleanas ciertas.
true true true
Para los valores booleanos, la constante
false (falso) es menor que la constante
true (verdadero).
true true false
OR
true true true
false true true
false false false
AND
true true true
false true false
false false false
En una expresión booleana que contengan
algunos de estos operadores, las
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131
Informática
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Matemáticas Discretas
operaciones se ejecutan en el orden NOT,
AND, OR. Se pueden usar paréntesis para
indicar
subexpresiones
que
deben
evaluarse primero.
La evaluación de una expresión booleana
que contiene operadores aritméticos,
operadores booleanos y operadores
relacionales se lleva a cabo usando los
siguientes niveles de prioridad:
Operador
Prioridad
NOT
1 la más alta
(ejecutada primero)
/, *, DIV, MOD, AND 2
+, -, ORD
3
<, >, =, <=, >=, <>
4, la menor (ejecutada
en último lugar)
Teoremas
Los teoremas booleanos son enunciados
siempre verdaderos, lo que permite la
manipulación de expresiones algebraicas,
facilitando el análisis ó síntesis de los
circuitos digitales. Los teoremas booleanos
son los siguientes:
Teorema 1. X + X = X
Teorema 2. X + 1 = 1
Teorema 3. X·0 = 0
Teorema 4. X·1 = X
Teorema 5. (X’)’=X
Teorema 6. X + 0 = X
Teorema 7. X·X = X
Teorema 8. X + X’ = 1
132
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Matemáticas Discretas
Teorema 9. X.X’= 0
Teorema 10. X + XY = X
Teorema 11. X +X’·Y = X + Y
Teorema 12. X·Y + X·Y’ = X (Teorema de
combinación)
Teorema 13. (X +Y)(X + Y’) = X + X·Y’ +
X·Y = X
Teorema 14. X·Y + X·Z + Y·Z’ = XZ + Y·Z’
(Consenso)
Se dice que un operador binario " º " es
conmutativo si A º B = B º A para todos
los posibles valores de A y B.
Distributiva
El teorema 12 se conoce como la ley
distributiva para tres variables.
Dos operadores binarios " º " y " % " son
distributivos si A º (B % C) = (A º B) % (A º
C) para todos los valores booleanos A, B, y
C.
Identidad. Un valor booleano I se dice que
es un elemento de identidad con respecto
a un operador binario " º " si A º I = A.
Demostración teorema 12: X·Y + X·Y’ =
X
Redacción de trabajo
Utilizando la ley distributiva para tres
variables
X·Y + X·Y’= X·(Y+Y’)
Aplicando el teorema 8 se tiene, X·Y +
X·Y’= X·1
Competencia de
Información
Reconocer la definición de expresiones
booleanas.
Dando como resultado, X·Y + X·Y’= X
Esta expresión indica que la suma de dos
productos canónicos adyacentes, es decir
que difieren en una sola de las variables,
se reduce al producto de los demás
términos suprimiéndose dicha variable. El
teorema 13 es otro caso del teorema de
combinación.
Leyes
Asociativa
Se dice que un operador binario " º " es
asociativo si (A º B) º C = A º (B º C) para
todos los valores booleanos A, B, y C.
Conmutativa
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133
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El alumno:
•
Elaborará trabajo escrito sobre el tema,
resaltando
los
conceptos
más
importantes del álgebra booleana,
ejemplificará estos conceptos con
casos relacionados con su vida
cotidiana.
ALGEBRA BOOLEANA: El álgebra del
mecanismo lógico y de toma de decisiones
desarrollada por el matemático inglés
George Boole. De ella depende la
capacidad que muestra el ordenador a la
hora de tomar decisiones. Asimismo, gran
parte de la fuerza del ordenador para
demostrar un comportamiento inteligente
reside en el uso del Algebra Booleana.
Matemáticas Discretas
"componentes básicos". Los componentes
que resultan de la combinación de dos o
más componentes básicos se llaman
"componentes combinados".
Todos los componentes arrojan una señal
de salida, pero pueden recibir una o dos
señales de entrada. En general, se los
llama "compuertas" (en inglés, gates). Las
compuertas se construyen con resistores,
transistores, diodos, etc., conectados de
manera que se obtengan ciertas salidas
cuando
las
entradas
adoptan
determinados valores. Los circuitos
integrados actuales tienen miles de
compuertas lógicas. En el cuadro siguiente
se presenta la lista completa de los
componentes de los circuitos lógicos.
Nos permite inferir, a partir de un
conjunto de premisas, cuáles son las
conclusiones a las que se puede llegar de
una manera lógica. Y dado que una
conclusión puede ser verdadera o falsa (2
estados), esta álgebra puede representarse
mediante el uso de interruptores.
2.3.2 Circuitos lógicos
Compuertas
Los circuitos cuyos componentes realizan
operaciones análogas a las que indican los
operadores lógicos se llaman "circuitos
lógicos" o "circuitos digitales".
Los operadores lógicos básicos son "Y", "O"
y "N", los cuales se representan
respectivamente con los símbolos: ∧, ∨ y
~. Por eso, los componentes que realizan
operaciones
análogas
se
llaman
134
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CONECTOR/COMPUERTA,
ENTRADA(S),
SALIDA
CONNECTOR/GATE,
INPUT(S), OUTPUT
TABLA
DE
VERDAD
TRUTH TABLE
NOMBRE
NAME
A
0
1
AMORTIGUADOR
BUFFER
Z
0
1
Y
AND
A
0
1
0
1
B
0
0
1
1
Z
0
0
0
1
O (O, en sentido
inclusivo)
OR
A
0
1
0
1
B
0
0
1
1
Z
0
1
1
1
OE
(O,
en
sentido
exclusivo)
XOR (EXCLUSIVEOR)
A
0
1
0
1
B
0
0
1
1
Z
0
1
1
0
A
0
1
N,
NEG
o
INVERSOR
NOT or INVERTER
Matemáticas Discretas
"memorias"
(memories);
"microprocesadores"
(microprocessors).
Para representar un circuito lógico se
pueden
emplear
símbolos
para
componentes (básicos y combinados) y
elementos complejos, pero siempre esa
representación se puede reducir a otra
que sólo incluya los componentes básicos.
Simples
Los circuitos lógicos simples son los que
nos permiten representar las operaciones
boolenas con los operados binarios
negación, suma y multiplicación, es decir
que estos combinan dos o más variables
para conformar funciones lógicas. Una
compuerta es un circuito útil para realizar
las
operaciones
anteriormente
mencionadas.
Z
1
0
NY
(N
Y)
NAND (NOT AND)
A
0
1
0
1
B
0
0
1
1
Z
1
1
1
0
NO
(N
O)
NOR (NOT OR)
A
0
1
0
1
B
0
0
1
1
Z
1
0
0
0
NOE
(N
OE)
NXOR
(NOT
EXCLUSIVE-OR)
A
0
1
0
1
B
0
0
1
1
Z
1
0
0
1
De la asociación de componentes resultan
elementos más complejos que ya no se
llaman "componentes" sino, por ejemplo:
"sumadores" (adders); "decodificadores"
(decoders); "multiplexores" (multiplexers);
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135
Informática
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Inversión o negación (complemento).
Esta operación se indica con una barra
sobre la variable o por medio de un
apóstrofe en el lado superior derecho de
la variable. El apóstrofe (’) es un operador
algebraico que invierte el valor de una
variable, es decir, si X denota la señal de
entrada de un inversor, entonces X’
representa el complemento de tal señal.
Ejemplo
Sí X = 0 entonces X’ = 1.
En la siguiente tabla de verdad se muestra
el resultado de la inversión lógica.
Ecuación
B=A’
Entrada A
Salida B
0
1
1
0
El símbolo lógico de la negación booleana
se representa:
Matemáticas Discretas
La tabla de verdad de la suma se muestra
en la tabla .
Entrada A Entrada B Salida X
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
Tabla de Verdad de la función OR
En circuitos digitales, el equivalente de la
suma booleana es la operación OR y su
símbolo lógico se representa:
Con la correspondiente ecuación X= A +
B.
El inverso de la función OR es la función
NOR. La tabla de verdad.
Suma
booleana.
La
representación
matemática de una suma booleana de dos
variables se hace por medio un signo más
entre las dos variables.
Ejemplo
La suma booleana de las variables A y B se
enuncia de la siguiente forma,
X=A+B
La suma booleana es 1 si alguna de las
variables lógicas de la suma es 1 y es 0
cuando todas las variables son 0. Esta
operación se asimila a la conexión paralela
de contactos.
136
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Matemáticas Discretas
Entrada A Entrada B Salida X
0
0
1
0
1
0
1
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
Tabla de verdad de la función AND
1
1
0
Tabla de verdad de la función NOR
En circuitos digitales, el equivalente de la
multiplicación booleana es la operación
AND y su símbolo se representa:
El símbolo lógico de la compuerta NOR se
representa:
Símbolo lógico de la función AND
Símbolo lógico para la compuerta NOR
Con la correspondiente ecuación X=
(A+B)’
La suma booleana difiere de la suma
binaria cuando se suman dos unos. En la
suma booleana no existe acarreo.
Con la correspondiente ecuación X= A·B
El inverso de la función AND es la función
NAND. La tabla de verdad se muestra
Multiplicación booleana
La representación matemática de una
multiplicación booleana de dos variables
se hace por medio un signo punto (·)
entre las dos variables.
La multiplicación booleana de las variables
A y B se enuncia de la siguiente forma,
X=A·B
La multiplicación booleana es 1 si todas
las variables lógicas son 1, pero si alguna
es 0, el resultado es 0. La multiplicación
booleana se asimila a la conexión serie de
contactos.
La tabla de verdad de la multiplicación
booleana
Entrada A Entrada B Salida X
0
0
0
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137
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Entrada A Entrada B Salida X
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
Tabla de verdad de la función NAND
El símbolo lógico de la compuerta NAND
se representa:
Símbolo lógico de la función NAND
Leyes asociativas en tres variables
Ley asociativa de la adición, se escribe en
forma algebraica de la siguiente forma
A+(B+C)=(A+B)+C
Se muestra la aplicación de la propiedad a
las compuertas OR,
Matemáticas Discretas
En la figura se muestra la aplicación de la
propiedad a las compuertas AND y OR,
Ley distributiva para tres variables
Teoremas de DeMorgan
Los teoremas de DeMorgan demuestran la
equivalencia entre las puertas NAND y
negativa - OR, y las puertas NOR y
negativa – AND.
El complemento de la suma de variables
es igual al producto de los complementos
de las variables.
(X1 + X2 +.....+ Xn)’ = X1’ · X2’ · ..... · Xn’
Ley asociativa de la adición
Ley asociativa de la multiplicación
A·( B· C) = ( A·B )· C
Se muestra la aplicación de la propiedad a
las compuertas AND,
Ley asociativa de la multiplicación
Ley distributiva para tres variables
En el álgebra de Boole, la multiplicación
lógica se distribuye sobre la suma lógica,
A·( B + C ) = A·B + A·C
138
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Matemáticas Discretas
En el caso de dos variables se tiene,
(X + Y)’ = X’ · Y’
El circuito equivalente a la ecuación
anterior se muestra en la figura.
Símbolo lógico para la compuerta NOR.
Ejemplo
Obtener una compuerta AND utilizando
compuertas NOR.
Y = A·B = [(A.B)’]’ = (A’+B’)’
Símbolo lógico para la compuerta NOR.
Ejemplo. Obtener una compuerta OR
utilizando compuertas NAND.
Y = (A + B) = [(A + B)’]’ = (A’·B’)’
Compuerta OR utilizando compuertas
NAND
Circuito lógico para la compuerta AND
Simplificación de Expresiones Lógicas
El objetivo de la simplificación de
expresiones lógicas es reducir la expresión
al menor número posible de términos. Las
expresiones lógicas se pueden simplificar
utilizando los teoremas anteriores.
El complemento del producto de variables
es igual a la suma de los complementos de
las variables.
(X1 · X2 ·.....· Xn)’ = X1’ + X2’ + .....+ Xn’
En el caso de dos variables se tiene,
(X · Y)’ = X’ + Y’
El circuito equivalente en dos variables a la
ecuación se muestra en la figura.
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139
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Matemáticas Discretas
comenzar con las entradas situadas más a
la izquierda e ir avanzando hasta la salida
de cada compuerta lógica, obteniendo la
expresión para cada una de ellas. Al final
del recorrido se debe tener la expresión
para todo el circuito. La expresión
resultante podemos simplificarla para
obtener una más sencilla y así obtener un
circuito más reducido.
Ejemplo
F = A·B’·C + A·B’C’
F = A·B’·(C + C’)
F = A·B’
Ejemplo
F= (A’+B)·(A+B’)
F = A·A’ + A’·B’ + A·B + B·B’
F = A’·B’ + A·B
Ejemplo
Encontrar la expresión para el circuito de
la figura.
Ejemplo
F = [(A’ + C)·(B + D’)]’
F = (A’ + C)’+(B + D’)’
F= A·C’ + B’·D
Ejemplo
F = (X + Z’)·(Z + W·Y)’ + (V·Z + W·X’)·(Y
+ Z)’
F = (X + Z’)·[Z’·(W’ + Y’)] + [(V·Z +
W·X’)·(Y’·Z’)]
F = (X + Z’)·(Z’·W’ + Z’·Y’) + V·Y’·Z·Z’ +
W·X’·Y’·Z’
F = W’·X·Z’ + X·Y’·Z’ + Z’·Z’·W’ + Z’·Z’·Y’
+ W·X’·Y’·Z’
F = W’·X·Z’ + X·Y’·Z’ + W’·Z’ + Y’·Z’ +
W·X’·Y’·Z’
F = W’·Z’·(1 + X) + Y’·Z’·(1 + X) +
W·X’·Y’·Z’
F = W’·Z’ + Y’·Z’ + W·X’·Y’·Z’
F = W’·Z’ + Y’·Z’·(1 + W·X’)
F = Z’·(W’ + Y’)
Símbolo lógico para la compuerta NOR.
Implementación de Funciones Lógicas
mediante Compuertas.
La forma más fácil de encontrar la
expresión de un circuito lógico consiste en
140
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Matemáticas Discretas
La expresión de la compuerta NOR situada
a la izquierda cuyas entradas son A y B es
(A+B)’. Esta es la primera entrada de la
compuerta AND situada a la derecha.
La expresión de la compuerta AND cuyas
entradas son (A+B)’ y C es (A+B)’·C.
La salida de la compuerta AND es la
primera entrada de la compuerta OR del
extremo derecho. Por lotanto, la expresión
de esta compuerta OR es [(A+B)’·C]+D.
Una tabla de verdad es una representación
básica de una función lógica, en la cual se
listan las salidas del circuito lógico para las
posibles combinaciones de entrada. Las
combinaciones
de
entrada
están
ordenadas por renglones (líneas) y cada
renglón contiene su salida respectiva. Por
ejemplo, la tabla de verdad para una
función lógica de 3 variables, tendrá 8
líneas para 8 combinaciones de entrada,
conteniendo cada línea, su salida
respectiva. En la tabla se ilustra una
función de 3 variables para el caso
mencionado.
Combinatorios (Combinacionales)
Los circuitos lógicos para sistemas
digitales pueden ser combinacionales o
secuenciales. Un circuito combinacional
consta de compuertas lógicas cuyas
salidas en cualquier momento están
determinadas en forma directa por la
combinación presente de las entradas sin
tomar en cuenta las entradas previas.
Un Circuito combinacional realiza una
operación específica de procesamiento de
información, especificada por completo en
forma lógica por un conjunto de
funciones
booleanas.
Los
circuitos
secuenciales emplean elementos de
memoria (celdas binarias) además de las
compuertas lógicas. Sus salidas son una
función de las entradas y el estado de los
elementos de memoria.
Síntesis se entiende como la obtención de
circuitos lógicos, a partir de una
descripción inicial que utiliza el lenguaje
convencional y luego es transferida a una
tabla de verdad.
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141
Informática
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Matemáticas Discretas
Renglón A
o línea
0
1
2
3
4
5
6
7
0
0
0
0
1
1
1
1
B
C
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
Función
de
salida
F(0,0,0)
F(0,0,1)
F(0,1,0)
F(0,1,1)
F(1,0,0)
F(1,0,1)
F(1,1,0)
F(1,1,1)
Mintér- Maxtérmino
mino
A'·B'·C'
A'·B'·C
A'·B·C'
A'·B·C
A·B'·C'
A·B'·C
A·B·C'
A·B·C
A+B+C
A+B+C'
A+B'+C
A+B'+C'
A'+B+C
A'+B+C'
A'+B'+C
A'+B'+C'
Funciones de salida, maxtérminos y
Mintérminos
En general, la tabla de verdad para una
función lógica de n variables tendrá 2n
líneas.
Métodos para Sintetizar Circuitos Lógicos:
Término producto: Un solo literal o el
producto lógico (multiplicación booleana)
de dos o más literales.
Ejemplo: X’, X·Y’, Z·Y, X·Y’·Z
Un término producto es 1 sólo para una
combinación de valores de las variables.
Ejemplo: El término producto X·Y'·Z es 1
sólo para X=1, Y=0 y Z=1 y es 0 para el
resto de combinaciones. El valor en
binario será 101 ó 5 en decimal.
Término suma: Un solo literal o una suma
lógica (suma booleana) de dos o más
literales.
Ejemplo: X, X + Y’,X’+Z’, X+Y+Z,
X+Y’+Z’
Los métodos para sintetizar circuitos
lógicos requieren en primer lugar, la
comprensión de algunos conceptos, entre
ellos:
Literal: Variable o el complemento de una
variable.
Ejemplo: X’, Y’, X, Y.
Dominio de una expresión booleana: Es el
conjunto de variables contenido en una
expresión booleana.
Ejemplo: Determine el dominio de la
expresión X’·Y·Z + X·Y’·Z·W.
El dominio es X, Y, Z, W.
Término normal: Un producto o término
suma en donde ninguna variable aparece
repetida.
Ejemplo de término repetido: X·Y·Y,
Z·X’·X’·Y
Ejemplo de término no repetido: X’·Y·Z,
Z·Y’·X
142
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Un término suma es 1 cuando cualquier
literal que lo compone es 1.
Ejemplo: El término X+Y’+Z’ es 0 para
X=0 ó Y=1 ó Z=1 y es 1 para el resto de
combinaciones. El valor en binario será
011 ó 3 en decimal.
Suma de productos: Suma lógica de
términos productos (Ver tabla anterior).
Ejemplo: X’+ X·Y’ + Z·Y + X·Y’·Z
Forma estándar de la suma de productos
Una suma de productos no se encuentra
en su forma estándar cuando alguno de
los términos producto no contiene alguna
de las variables del dominio de la
expresión.
Matemáticas Discretas
términos suma no contiene alguna de las
variables del dominio de la expresión.
Ejemplo
(X’+W+Z')·(X'+Y’+Z+W')·(X+Y).
El
dominio es X, Y, Z, W. El primer término
suma no contiene el literal Y ó Y'. El tercer
término suma no contiene los literales Z ó
Z' y W ó W'.
Ejemplo
(X'·Y·Z'.W)·(X·Y'·Z·W). En cada uno de los
términos de la expresión aparecen todas
las variables del dominio. Por lo tanto, el
producto de sumas está en su forma
estándar.
Mintérmino: Es un término de producto
con n literales en el cual hay n variables.
De n variables obtenemos 2n mintérminos.
Ejemplo
X’·Y·Z + X·Y’·Z·W. El dominio es X, Y, Z,
W. El primer término producto no
contiene el literal W ó W'.
Ejemplo
X'·Y·Z'.W + X·Y·Z·W. En cada uno de los
términos de la expresión aparecen todas
las variables del dominio. Por lo tanto, la
suma de productos está en su forma
estándar.
Producto de sumas: Producto lógico de
términos suma (Ver tabla anterior).
Ejemplo:
X·(X+Y’)·(X’+Z’)·(X+Y+Z)·(X+Y’+Z’).
Forma estándar del producto de sumas.
Un producto de sumas no se encuentra en
su forma estándar cuando alguno de los
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143
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Matemáticas Discretas
Ejemplo de mintérminos de 3 variables:
X’·Y’.Z’, X’.Y’.Z, X’.Y.Z’, X’.Y.Z, X.Y’.Z’,
X.Y’.Z, X.Y.Z’, X.Y.Z.
Maxtérmino: Es un término de suma con n
literales en el cual hay n variables. De n
variables obtenemos 2n maxtérminos.
Ejemplo de maxtérminos de 3 variables:
X+Y+Z, X+Y+Z’, X+Y’+Z, X+Y’+Z’,
X’+Y+Z, X’+Y+Z’, X’+Y’+Z, X’+Y’+Z’.
Los métodos existentes para sintetizar
circuitos lógicos son:
Suma de productos (SDP).
Producto de sumas (PDS).
Mapas de Karnaugh 4.
Algoritmo de Quine McCluskey 5.
Método de Suma de Productos (SDP). La
suma de productos de una función lógica
es la suma de los mintérminos
correspondientes a las líneas de la tabla de
verdad para las que la función produce
una salida igual a 1. La función obtenida
es la suma de productos.
7
1 111
Tabla de verdad para la función lógica F1
La
función
puede
ser
expresada
conformando un término mínimo por
cada combinación de variables que
producen un 1 en la función para luego
obtener la suma de todos los términos. La
función lógica para la tabla anterior se
determina expresando las combinaciones
010, 100, 101 y 111 como A'·B·C', A·B'·C',
A·B'·C y A·B·C:
F1= S A,B,C( 2,4,5,7)= A'·B·C' + A·B'·C' +
A·B'·C + A·B·C.
Cada mintérmino de la función anterior
representa una compuerta AND de tres
entradas y la implementación de la
función es posible a través de la
Ejemplo. Obtener la suma de productos
para la función lógica de la tabla:
Línea A B C
144
Función de
salida F1
0
0 000
1
0 010
2
0 101
3
0 110
4
1 001
5
1 011
6
1 100
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aplicación de la operación OR a las salidas
de las cuatro compuertas AND. Por tanto,
el número total de compuertas AND
dependerá del total de mintérminos de la
expresión. El circuito se muestra en la
figura.
Matemáticas Discretas
esta condición se puede expresar como el
producto lógico: A’·B
La segunda condición se presenta cuando
A es 1 y B es 0. Esta condición ocasiona un
resultado 1, si el producto lógico es: A·B’
Como cualquiera de estas 2 condiciones
hace que la salida sea 1, entonces la
función lógica que los representa es la
suma lógica de los productos anteriores:
F2= A’·B + A·B’ = A Å B
La representación de la función anterior
con compuertas OR y AND se muestra en
la figura.
Circuito lógico para la función lógica F1.
En una suma de productos se cumple la
igualdad de la función al valor lógico 1 si
al menos uno de sus términos productos
es igual a 1.
Ejemplo. Obtener la suma de productos
para la función lógica de la tabla.
Función F2 utilizando compuertas AND Y
OR
A B F2
0 00
0 11
1 01
1 10
Tabla de verdad de la función F2.
En la tabla de verdad existen dos
condiciones para las cuales la salida es 1.
Estas son las siguientes:
La primera se presenta cuando A es
Bajo(0) y B es Alto(1). El resultado 1 de
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145
Informática
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Esta función corresponde a la función OR
exclusiva, cuya compuerta se representa
en la figura.
Ejemplo. Obtener la función SDP para la
función lógica de la tabla Simplificar la
función y dibujarla.
A B F3
0 01
0 10
1 00
1 11
Tabla de verdad de la función F3
Utilizando suma de productos para las
líneas 1 y 4 de la tabla se obtiene,
F3=A'·B'+ A·B, simplificando
F3=(A+B)’ + A·B
F3= (A Å B)'
Matemáticas Discretas
Conversión de una expresión lógica a
formato de suma de productos.
La
metodología
empleada
en
la
transformación de una suma de productos
a su forma estándar se basa en el teorema
6 (Ver lección 1 parte 2), que establece
que una variable sumada con su
complemento es siempre igual a 1; A + A'
= 1. Los pasos son los siguientes:
Los términos producto que no contengan
la(s) variable(s) del dominio, multiplicarlos
por un término formado por dicha
variable más el complemento de la misma
(teorema 6).
Repetir el paso 1 para todos los términos
de la expresión que no contengan todas
las variables (o sus complementos) del
dominio.
Resolver
los
términos
intervenidos.
El circuito lógico de la función anterior se
muestra en la figura.
Función F3 utilizando compuertas AND,
NOR y OR.
El símbolo lógico de la compuerta NOR Exclusiva se muestra en la figura.
146
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Matemáticas Discretas
Ejemplo. Convertir la expresión booleana
A·B.C' + B·C + A' a su forma estándar.
El dominio de la expresión es el conjunto
de variables A, B y C. Se observa la falta de
formato estándar para el segundo y tercer
término producto. Sobre ellos se aplicará
el procedimiento, para luego volver a
agrupar toda la expresión:
Término B·C
B·C = B·C ·(A+A') = A·B·C + A'·B·C
Término A
A' = A'·(C+C') = A'·C+A'·C' ; la expresión
aún no tiene el formato estándar,
entonces multiplicamos cada término por
(B+B')
A'·C·(B+B') +A'·C'·(B+B') = A'·B·C + A'·B'·C
+ A'·B·C' + A'·B'·C'
2
0 101
3
0 110
4
1 000
5
1 011
6
1 101
7
1 111
Tabla de verdad para la función lógica F4
La
función
puede
ser
expresada
conformando un término máximo para
cada combinación de variables que
producen un 0 en la función y luego
obtener el producto de todos los
términos. La función lógica para la tabla
se
determina
expresando
las
combinaciones 000, 001, 011 y 110
La expresión en su formato estándar es:
A·B.C' + B·C + A' = A·B·C + A'·B·C +
A'·B·C + A'·B'·C + A'·B·C' + A'·B'·C'
Método de producto de sumas (PDS). El
producto de sumas de una función lógica
es la multiplicación de los maxtérminos
correspondientes a las líneas de la tabla de
verdad para las que la función produce
una salida igual a 0. La función obtenida
es el producto de sumas.
Ejemplo. Obtener el producto de sumas
para la función lógica de la tabla.
Renglón
o línea
ABC
Función de
salida F4
0
0 000
1
0 010
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147
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Matemáticas Discretas
como (A+B+C),(A+B+C'),(A+B'+C')
(A'+B+C).
y
La función lógica es la siguiente:
F4= S A,B,C( 0,1,3,4)=
(A+B+C)·(A+B+C')·(A+B'+C')·(A'+B+C).
Cada maxtérmino de la función anterior
representa una compuerta OR de tres
entradas y la implementación de la
función es posible a través de la aplicación
de la operación AND a las salidas de las
cuatro compuertas AND. Por tanto, el
número total de compuertas AND
dependerá del total de mintérminos de la
expresión. El circuito se muestra en la
figura.
0
1
1
1
0
1
1
1
0
Tabla de verdad de la función OR exclusiva
Considere el complemento de la función
de Boole F5. Este puede obtenerse de la
tabla formando un término mínimo por
cada combinación que produce un cero y
luego haciendo la suma de los términos. El
complemento de F5 se expresa así:
F5' = A'·B' + A·B
La expresión F5 se obtiene la negar F5':
F5 = (F5')' = (A'·B' + A·B)' =(A'·B')'·(A·B)' =
[(A')'+(B')']·(A'+B') = (A+B)·(A'+B')
Si cualquiera de los términos del PDS es
cero, la función es cero.
De los 2 métodos anteriores, se pueden
escoger algunos criterios para aplicar un
método u otro, siendo estos los
siguientes:
Circuito lógico para la función lógica F4
Un producto de sumas es igual a 0 si al
menos uno de los términos suma es igual
a 0.
Ejemplo. Obtener el producto de sumas
para la función lógica de la tabla.
148
A
B
F5
0
0
0
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Si en la última columna de la tabla de
verdad, o sea en la columna que indica los
resultados, sí predominan los ceros es más
conveniente
utilizar
las
suma
de
productos.
Si en la columna que indica los resultados,
predominan los unos, es más conveniente
utilizar el método del producto de sumas.
Mapas de Karnaugh
Un mapa de Karnaugh es una
representación gráfica de una función
lógica a partir de una tabla de verdad. El
número de celdas del mapa es igual al
número de combinaciones que se pueden
obtener con las variables de entrada. Los
mapas se pueden utilizar para 2, 3, 4 y 5
variables.
Mapa de Karnaugh empleando Suma de
Productos (SDP). La simplificación de
expresiones lógicas mediante el mapa de
Karnaugh utiliza un método gráfico
basado en la Suma de Productos.
Mapa de Karnaugh de tres variables
El mapa de Karnaugh se construye a partir
de la tabla de verdad de la función lógica.
El mapa por medio de una matriz de 8
celdas, representa los ocho mintérminos
posibles que se pueden obtener con tres
variables, en un arreglo de una matriz de
2x4. Por tanto, la primera fila contiene el
primer valor posible ("0") y la segunda fila
el valor ("1").
Las variables 2 y 3 se agrupan por
columna y se distribuyen en las cuatro
columnas de acuerdo a las combinaciones
posibles para obtener los mintérminos
requeridos. Sus valores son 00, 01, 10 y
11. Por ejemplo, la celda m2 corresponde
Matemáticas Discretas
al mintérmino 2, ubicado en la fila 0 y la
columna 10. La unión de estos dos
números da el número 010, cuyo
equivalente es el término A’·B·C’ ó el
decimal 2. La tabla muestra el mapa de
Karnaugh para 3 variables.
Línea
ABC
Mintérmino Mintérmino Función
mx
de
Salida
0
0 0 0 A’·B’·C’
m0
F(0,0,0)
1
0 0 1 A’·B’·C
m1
F(0,0,1)
2
0 1 0 A’·B·C’
m2
F(0,1,0)
3
0 1 1 A’·B·C
m3
F(0,1,1)
4
1 0 0 A·B’·C’
m4
F(1,0,0)
5
1 0 1 A·B’·C
m5
F(1,0,1)
6
1 1 0 A·B·C’
m6
F(1,1,0)
7
1 1 1 A·B·C
m7
F(1,1,1)
(a)
(b)
(c)
La característica de ordenamiento de un
mapa de Karnaugh radica en el cambio de
un solo bit en los términos de las celdas
adyacentes de filas y columnas. En la tabla
anterior las entradas BC se colocan
secuencialmente, cambiando cada vez una
sola variable, por eso resulta el orden: 00,
01, 11 y10.
Por ejemplo, la variable C está negada en
m4 y m5 no lo está, mientras que A y B no
cambia. Las celdas de los bordes superior
e inferior e izquierdo y derecho también
cumplen esta condición al agruparlas unas
PT Bachiller en Informática
149
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a otras. En el teorema 12 de la lección 1,
se demuestra que la suma de los términos
mínimos en celdas adyacentes pueden ser
simplificadas en un término AND de dos
literales. Por consiguiente, aplicando el
teorema para los términos m4 y m5 del
mapa se tiene:
m4 + m5 = A·B’·C’ + A·B’·C = A·B’·(C’+C)
= A·B
Matemáticas Discretas
F(1,1,0)= A·B·C’ = 1 se situaría un 1 en la
celda 110. Para los mintérminos
Los términos m4 y m6 se pueden asociar de
la misma forma:
m4 + m6 = A·B’·C’ + A·B·C’ = A·C’·(B’+B)
= A·C’
Ejemplo
Simplificar la función F1= Σ(m3, m4, m5, m6, m7).
F1 = Σ(m3, m4, m5, m6, m7) = A’·B·C + A·B’·C’+
A·B’·C + A·B·C’+ A·B·C
F1 = Σ(m3, m4, m5, m6, m7) = Σ(m4, m5, m6, m7)
+Σ(m3, m7) = [A·B’·C’+ A·B’·C + A·B·C’+ A·B·C] +
[A’·B·C + A·B·C].
El primer término en la sumatoria es el
grupo 1 y el segundo término
corrresponde al grupo 2. En un mapa de
karnaugh, los mintérminos de cada grupo
se relacionarían a través de lazos
independientes.
Desarrollando la expresión,
F1 = [A·B’·(C’+C) + A·B·(C’+ C)] +
[B·C·(A’+A)]= A·B’·(1) + A·B·(1) + B·C·(1)
= A·(B’+B) + B·C = A + B·C.
El mapa se construye colocando un 1 en
las celdas correspondientes a los
mintérminos presentes en la función de
salida. Por ejemplo, para el término
150
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Matemáticas Discretas
no presentes en la función se pone un 0.
Por ejemplo el término F(0,0,1)= A’·B'·C =
0, será una celda con valor 0 en la celda
001.
3
0
1
1 1
4
1
0
0 1
5
1
0
1
1
6
1
1
0
1
Después de situar los unos en el mapa, se
procede con la agrupación de 1s, la
determinación del término producto
correspondiente a cada grupo y la suma
de los términos producto obtenidos. La
determinación del término producto se
realiza de acuerdo los siguientes criterios:
7
1
1
1
1
Tabla de verdad de la función F1.
El mapa de Karnaugh se configura de
acuerdo a los mintérminos iguales a 1 y
las celdas se agrupan.
1.Una celda representa un mintérmino,
dando como resultado un término de
cuatro literales.
2. Dos celdas agrupadas pueden
representar
la
asociación
de
dos
mintérminos, dando como resultado un
término de dos literales.
3.Cuatro celdas agrupadas pueden
representar la asociación de cuatro
mintérminos, dando como resultado un
término de un literal.
Mapa de Karnaugh de la función F1.
El primer grupo se forma con los
mintérminos m4, m5, m6 y m7 y el segundo
grupo con los mintérminos m3 y m7.
4. Ocho celdas agrupadas representan un
valor de función igual a 1.
Ejemplo
Sea la función del ejemplo anterior,
simplificarla por medio del método del
mapa.
La tabla de verdad del ejemplo anterior es
la siguiente:
Línea A B
C Salida F
0
0
0
0 0
1
0
0
1 0
2
0
1
0 0
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151
Informática
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Del primer grupo resulta el término A ya
que para las cuatro columnas de la tabla
existen transiciones entre las variables B y
C. El segundo grupo da como resultado el
término BC por el cambio existente en la
variable A.
En total, la función queda reducida a la
expresión:
F1 = A + B·C
Matemáticas Discretas
la columna de resultados de la tabla de
verdad predominan los ceros.
Ejemplo. Utilizar el mapa de Karnaugh
para minimizar el producto de sumas,
F3 =
(A+B+C)·(A’+B+C)·(A+B’+C)·(A’+B’+C)
Los maxtérminos se trasladan a cada una
de las celdas del mapa de Karnaugh y las
celdas se agrupan tal como en la figura.
Mapas de Karnaugh empleando Producto
de Sumas (PDS). La simplificación de
expresiones lógicas mediante el mapa de
Karnaugh también es posible mediante el
método de producto de sumas. En este
método, cada celda representa un
maxtérmino.
La construcción del mapa es similar a la
suma de productos. La diferencia radica
en que cada celda representa un
maxtérmino. Por ejemplo, la celda m2
corresponde al maxtérmino 2, ubicado en
la fila 0 y la columna 10. La unión de estos
dos números da el número 010, cuyo
equivalente es el término A+B’+C. La
figura muestra el mapa de Karnaugh para
3 variables.
Mapa de Karnaugh de la función F3
Mapa de tres variables.
La representación de la función lógica se
hace simplemente copiando los ceros de la
tabla de verdad en las celdas del mapa.
Este método es más apropiado cuando en
152
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El término suma para cada grupo se
muestra en la figura y la suma de
productos resultante es:
F3 = C
Ejemplo. Utilizar el mapa de Karnaugh
para minimizar el producto de sumas,
F4 =
(A+B+C+D)·(A+B’+C)·(A+B’+C’+D’)·(A’
+B’+C+D’)·(A’+’B+C’+D’)·(A’+B+C+D’)·
(A’+B+C’+D’)·(A’+B'+C+D’)
El segundo término tiene que ampliarse a
(A+B’+C+D)·(A+B’+C+D’). La función
completa se pasa al mapa de karnaugh
mostrado en la figura.
Matemáticas Discretas
es igual a 1. En algunas aplicaciones esta
suposición no es siempre verdadera ya que
existen combinaciones de entrada que no
presentan. En un mapa de Karnaugh estas
combinaciones de entrada sirven de
herramienta para simplificar la función y
su representación se hace por medio de
una X en la celda del mapa. Según la
agrupación que convenga se asume un
valor de 1 ó 0 para la X con el fin de
obtener la expresión más simple.
Ejemplo. Simplificar la función de Boole F5
=Σ(m0, m4, m7, m9) con condiciones de
importa, NI = Σ(m1, m5, m11, m14).
Los mintérminos se marcan con un 1, las
condiciones de no importa con una X y las
celdas restantes con 0.El mapa de
Karnaugh de la función F5 se muestra en la
figura.
Mapa de Karnaugh de la función F4
El término suma para cada grupo se
muestra en la figura 2.4.5. y el producto
de sumas resultante es:
F4 = (A+C+D)·(B'+D')·(A'+D')
Condiciones de No Importa. Hasta el
momento se ha asumido que la función es
igual a 0 en los casos donde la función no
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153
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Matemáticas Discretas
organizados según el número de unos que
contenga. La aplicación de este paso se
muestra en la tabla.
Mintérminos A B C D Grupo
Mapa de Karnaugh de la función F5
En suma de productos obtenemos,
F5 = A’·C’·D’ + A'·B’·C’ + A’·B·C·D +
A·B'·D
Algoritmo de Quine – McCluskey. El
empleo del mapa de Karnaugh es
conveniente cuando la función a
minimizar no contiene más de cinco o seis
variables. En estos casos, empleamos un
procedimiento sistemático, llamado el
algoritmo de Quine–McCluskey, el cual
produce una expresión normalizada y
simplificada. El algoritmo debe obedecer a
un conjunto de pasos que se verán a
través de un ejemplo.
1
0001
2
0 0 1 0 Grupo 1
8
1000
3
0011
6
0110
9
1001
10
1010
7
0 1 1 1 Grupo 3
15
1 1 1 1 Grupo 4
Mintérminos agrupados según la cantidad
de unos
Entre los grupos adyacentes buscar los
mintérminos que sólo difieren en un bit en
la misma posición, para hallar los primeros
implicantes primos.
Ejemplo. Simplificar la función de Boole
usando el algoritmo de Quine-McCluskey.
F1
∑ (m1, m2, m3, m6, m7, m8, m9, m10, m15)
=
A’·B’·C’·D + A’·B’·C·D’+ A’·B’·C·D +
F1
A’·B·C·D’+ A’·B·C·D + A·B’·C’·D’ +
=
A·B’·C’·D + A·B’·C·D’+ A·B·C·D.
Enumerar en
mintérminos
154
una
en
Grupo 2
tabla todos los
forma
binaria,
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Matemáticas Discretas
implicante primo. El resto de la tabla se
construye de forma similar.
La metodología consiste en comparar el
primer mintérmino con el resto de los
términos del segundo grupo. Así, los
términos del segundo grupo se comparan
con los mintérminos del grupo siguiente.
De la forma anterior, se procede con los
demás mintérminos de los demás grupos.
Los mintérminos utilizados se les pone una
marca (√) con el fin de ir diferenciando los
términos utilizados y la variable apareada
en el proceso se reemplaza con un guión
para denotar la eliminación de la variable.
Los términos no marcados en la tabla son
los primeros implicantes primos (PIX). Los
mintérminos utilizados se les pone una
marca (√) con el fin de ir diferenciando los
términos utilizados y la variable apareada
en el proceso anterior se reemplaza con
un guión para denotar la eliminación de la
variable.
Implicante
Primo
1 2 3 6 7 8 9 10 15
* PI1
X X X X
PI2
X
PI3
X
PI4
X
X
X
X
PI5
X X
PI6
X
* PI7
X
X
X
Selección de implicantes primos esenciales
Min
Min
A B C D ter
A B C D Plx ter
A B C D Plx
mino
mino
Min
ter
mi
no
1
0 0 0 1 1-3
2
0 0 1 0 1-9
8
3
6
9
10
7
15
1
0
0
1
1
0
1
0
0
1
0
0
1
1
0
1
1
0
1
1
1
0
1
0
1
0
1
1
2-3
2-6
2-10
8-9
8-10
3-7
6-7
7-15
0 0 -
1 PI2
-
0 0 1 PI3
0
0
1
1
0
0
-
0
0
0
0
1
1
1
1
1
0
1
1
1
0
0
0
1
1
2–6 0 3-7
2-3 0 6-7
1
1
-
PI1
-
PI4
PI5
PI6
PI7
Implicantes primos de la función F1
Construir una tabla que enumere los
implicantes primos y los mintérminos
contenidos por cada implicante primo. La
letra X en la tabla siguiente indica el
mintérmino contenido en cada implicado
por fila. Por ejemplo, en la tabla se
observa en el primer renglón los
mintérminos 2, 3, 6 y 7 para el primer
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155
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Matemáticas Discretas
En la tabla se seleccionan las columnas de
los mintérminos que contengan solamente
una cruz. En este ejemplo, hay dos
mintérminos cuyas columnas tienen una
sola cruz: 6 y 15. Es decir, la selección del
primer implicado PI1 (A’·C) garantiza que
el término mínimo 6 está incluido en la
función. De la misma forma, el término
mínimo 7 está cubierto por el primer
implicado PI7 (A'·B·C·D). Los primeros
implicados que cubren los mintérminos
con una sola cruz, se llaman primeros
implicados esenciales (en la tabla se
encuentran marcados con un asterisco) y
son indispensables en la construcción de
la función.
Seleccionar en cada columna los
mintérminos que estén cubiertos por los
primeros implicados esenciales. Por
ejemplo, el primer implicado esencial * PI1
(A’·C) cubre los mintérminos 2, 3, 6 y 7.
De la misma forma, el primer implicado
esencial
*PI7
(A'·B·C·D)
cubre
los
mintérminos 7 y 15. Hasta el momento la
selección de primeros implicados cubre los
mintérminos 2, 3, 6, 7 y 15 excepto 1, 8, 9
y 10. Estos términos mínimos deben ser
seleccionados por medio de otros
primeros implicados esenciales. En la tabla
2.5., la selección de los primeros
implicados PI3 y PI6 garantiza el
cubrimiento de los términos mínimos 1, 8,
9 y 10. En la tabla . se muestra el proceso
de selección.
Implicante Primo 1 8 9 10
156
PI2
X
*PI3
X
X
PI4
PI5
X
X X
*PI6
X
X
Selección de primeros implicados
esenciales
La función simplificada se obtiene de la
suma de los primeros implicados hallados:
F= PI1 + PI3 +PI6 + PI7
F= (0-1-) + (-001) + (10-0) + (-111)
F = A'·C + B’·C’·D + A·B’·D’ + B·C·D
Circuitos Lógicos Combinatorios
Sumador y Restador de Cuatro Bits.
Las operaciones aritméticas se pueden
implementar mediante circuitos lógicos. El
nivel de sencillez obtenido en los circuitos
está dado por la técnica de diseño
utilizada. La implementación de una
unidad aritmética que realice las
operaciones de suma y resta en un sólo
circuito, es más simple comparándola con
una de dos circuitos para las mismas
funciones. En la lección se verán los
métodos de diseño de circuitos lógicos
para sumar y restar números binarios de
cuatro bits.
La suma de dos números binarios de
cuatro bits se realiza de derecha a
izquierda, teniendo en cuenta los
correspondientes posiciones significativas
y el bit de arrastre (acarreo Cinx). El bit de
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arrastre generado en cada posición se
utiliza
en
la
siguiente
posición
significativa. La siguiente figura muestra la
suma de dos números de cuatro bits.
Suma binaria de cuatro bits
En un sumador completo, la suma de un
par de bits genera un bit de acarreo. Un
sumador de 2 números de n bits se puede
implementar de la forma descrita a
continuación. Los bits de la posición
menos significativa se suman con un
acarreo inicial de 0, generando el bit de
suma y el de acarreo. El bit de acarreo
generado es usado por el par de dígitos en
la siguiente posición significativa. La suma
se propaga de derecha a izquierda según
los acarreos generados en cada sumador y
los sumandos presentes. Por consiguiente,
la suma de dos 2 números binarios de n
bits se puede implementar mediante la
utilización de n
sumadores completos. Así, para números
binarios de dos bits se necesitan dos
sumadores completos; para números de
cuatro bits cuatro sumadores. En la
siguiente figura se muestra un sumador
de cuatro bits.
Símbolo lógico del sumador en paralelo de
cuatro bits
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157
Informática
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Matemáticas Discretas
El símbolo lógico del sumador de cuatro
bits se muestra en la siguiente figura.
Entradas Salida Descripción
S
I
Y
0
0
0
Pasa a Y
0
1
1
Pasa a Y
1
0
1
Complemento a Y
1
1
0
Complemento a Y
Tabla de verdad de un complementador
Circuito lógico del sumador en paralelo de
cuatro bits
La resta de dos números A y B se puede
realizar sumando el complemento a dos
de B a A. Un sumador se puede modificar
en forma de sustractor invirtiendo cada bit
del sustraendo y sumando 1 al establecer
un acarreo de entrada Cin1.
De la tabla de verdad se observa que Y =
S Å I. La siguiente figura muestra la
función
OR
Exclusiva
como
complementador.
Una sola entrada de control S con n líneas
de entrada de datos Ii sirve para
Observese el complementador de la
siguiente figura. Si la entrada de control
es igual a S=0, la entrada de datos I pasa
sin ningún cambio a la salida. Si S=1, la
entrada de datos se complementa.
Diagrama de bloque de un
complementador
El funcionamiento de este elemento se
describe en la siguiente tabla de verdad.
158
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Matemáticas Discretas
complementar o no complementar la
entrada, según la operación de resta o
suma binaria. La siguiente figura ilustra un
complementador de 4 bits.
El alumno:
•
Elaborará el circuto lógico para la
siguiente expresión booleana:
p∨
•
_
q∧r
Consulta con el P.S.A. docente la
correcta elaboración del ejercicio.
Diseño de circuitos
El
circuito
completo
de
un
sumador/restador de 4 bits se representa
en la figura.
El diseño de un circuito combinacional se
inicia con las especificaciones verbales de
una función requerida y culmina con un
conjunto de funciones booleanas de salida
o un diagrama lógico. El análisis de un
circuito combinacional es en cierta forma
el proceso inverso. Principia con un
diagrama lógico dado y termina con un
conjunto de funciones booleanas, una
tabla de verdad o una explicación verbal
de la operación del circuito.
Sumador/restador de 4 bits
Realización del ejercicio
Competencia Lógica
Desarrollar un circuito lógico para una
expresión booleanada dada.
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159
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Matemáticas Discretas
Si el diagrama lógico que va a analizarse
se acompaña con una función nombre o
una explicación de lo que se supone que
realiza, entonces el problema del análisis
se reduce a una verificación de la función
enunciada.
El primer paso en el análisis es tener la
seguridad de que el circuito dado es
combinacional y no secuencial. El
diagrama de un circuito combinacional
tiene compuertas lógicas sin trayectorias
de retroalimentación o elementos de
memoria.
Una
trayectoria
de
retroalimentación es una conexión de la
salida de una compuerta a la entrada de
una, segunda compuerta que forma parte
de la entrada a la primera compuerta. Las
trayectorias de retroalimentación o
elementos de memoria en un circuito
digital definen un circuito secuencial.
Una vez que se ha verificado que el
diagrama
lógico
es
un
circuito
combinacional, puede procederse a
obtener las funciones booleanas de salida
y/o la tabla de verdad. Si el circuito está
acompañado por una explicación verbal
de su función, entonces las funciones
booleanas o la tabla de verdad son
suficientes para la verificación.
Si la función del circuito está bajo
investigación, entonces es necesario
interpretar la operación del circuito
mediante la tabla de verdad derivada. El
éxito de tal investigación se favorece si se
tiene experiencia previa y familiaridad con
una amplia variedad de circuitos digitales.
La habilidad para correlacionar una tabla
de
verdad
con
una
tarea
de
procesamiento de información es un arte
que se adquiere con la experiencia.
160
Para obtener las funciones booleanas de
salida de un diagrama lógico, se procede
como sigue:
1. Se etiquetan con símbolos arbitrarios
todas las salidas de compuerta que son
una función de las variables de entrada. Se
obtienen las funciones booleanas para
cada compuerta.
2. Se etiqueta con otros símbolos
arbitrarios las compuertas que son una
función de las variables de entrada y/o
compuertas previamente etiquetadas. Se
encuentran las funciones booleanas para
esas compuertas.
3. Se repite el proceso delineado en el
paso 2 hasta que se han obtenido las
salidas del circuito.
4. Por sustitución repetida de las
funciones previamente definidas, se
obtienen las funciones booleanas de salida
en términos sólo de las variables de
entrada.
2.3.3 Funciones booleanas
Una función booleana es una expresión
formada por variables binarias.
Ejemplo: F1 = xyz’
Para F1 considerar que es igual a 1 si:
x = 1; y = 1 ; z’ = 1; de otra manera F1
= 0.
Por lo tanto tendremos que una función
booleana también puede representarse en
una tabla de verdad. Para representar una
función booleana en una tabla de verdad
se necesita una lsit de 2ncombinaciones
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de 1 y 0 de las n variables binarias, y una
columna que muestra combinaciones para
las cuales f es igual a 1 ó 0.
x
0
0
0
0
1
1
1
1
y
0
0
1
1
0
0
1
1
z
0
1
0
1
0
1
0
1
F1
0
0
1
1
1
0
1
0
F2
0
1
0
1
0
0
1
1
F3
1
0
0
1
0
1
1
0
F4
0
0
0
1
1
1
1
1
F1 = x’yz’ + x’yz + xy’z + xyz’ = x’y
(z+z’) + xz’ (y+y’) = x’y + xz’
F2 = x’y’z + x’yz + xyz’ + xyz = x’z
(y+y’) + xy (z+z’) = x’z + xy
F3 = x’y’z’ + x’yz + xy’z + xyz’
F4 = x’y’z + xy’z’ + xy’z + xyz’ + xyz
= xy’ (z+z’) + xy (z+z’) + x’yz
= xy’ + xy + x’yz
= x (y+y’) + x’yz
= x + x’yz
Funciones Logicas
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161
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Complemento de una función. El
complemento de una función F es F’
obteniendose por el intercambio de 1’s y
0’s y de 0’s y 1’s.
Ejemplo:
(A+B+C)’ = (A+X)’ para X = B+C
A’ . X’ ? A’ . (B+C)’ ? A’ . B’ .C’
(A+B+C+D+E+F+……..I)
(A’.B’.C’.D’.E’.F’…….I’)
La forma generalizada de D’Morgan
enuncia que el complemento de una
función se obtiene del intercambio de los
operadores AND y OR y complementando
cada literal.
Manipulación algebraica. Cuando una
función se incrementa con compuertas
lógicas, cada literal en la función denota
una entrada a una compuerta.
F1 = (x’yz’ + x’y’z)’ = (x+y’+z . x+y+z’)
F2 = ? x (y’z’+yz)? = x’ + ? x
(y+z).(y’+z’)?
Otra forma más simple para derivar el
complemento de una función es tomar
1. Cada literal denota la entrada a una
compuerta.
2. Cada termino se implanta con una
compuerta.
Minimización por literales. Por lo cual
debe quedar muy claro que en la
manipulación algebraica no hay reglas
especificas a seguir a que garanticen la
respuesta final.
Ejemplo: Reducir las siguientes funciones
booleanas.
1. x (x’+y) = xx’ + xy = xy
2. x’y’z + x’yz + xy = x’z (y+y’) + xy = x’z
+ xy
3. x + x’y = (x+x’)(x+y) = x+y
162
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el dual de la función y complementar cada
literal.
Hay que recordar que el cual de una
función se obtiene por el intercambio de
los operadores AND y OR y los 1’s y los
0’s.
Ejemplo:
F1 = x’yz’ + x’y’z
el dual: F1 = (x+y’+z) . (x+y+z’)
Cada minitermino se representa por mj
donde j representa el equivalente decimal
del número binario del minitermino de la
misma forma podemos tener los
maxiterminos con las n variables
formando un término OR para cada
maxitermino.
En estas se hace la consideración de que
cada
variable
no
complementada
corresponde al bit 0 y complementada al
bit 1.
Las variables pueden ser normales (x) ó
complemento (x’).
Cuando tenemos un conjunto de n
variables nosotros podemos formar 2n
miniterminos de acuerdo a la siguiente
tabla:
Para n=3 2n-1 combinaciones iniciando a
partir de cero.
xyz
Término
000
001
010
011
100
101
110
111
x’y’z’
x’y’z
x’yz’
x’yz
xy’z’
xy’z
xyz’
xyz
Suma de
productos
Designación
m0
m1
m2
m3
m4
m5
m6
m7
Término
X+y+z
X+y+z’
X+y’+z
X+y’+z’
X’+y+z
X’+y+z’
X’+y’+z
X’+y’+z’
Productos
de sumas
Designasión
M0
M1
M2
M3
M4
M5
M6
M7
Cada minitérmino lo obtenemos de un
término AND de las n variables y
complementado cada variable si el
número binario que representa es un 0 y
no complementando si es un 1.
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163
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Matemáticas Discretas
x
0
0
0
0
1
1
1
1
y
0
0
1
1
0
0
1
1
z
0
1
0
1
0
1
0
1
F1
0
1
0
0
1
0
0
1
Algunas veces es conveniente expresar la
función booleana en la forma de suma de
miniterminos. Si no puede hacerse en
esta forma entonces puede realizarse
primero por la expansión de la expresión
en una suma de los términos AND.
F2
0
0
0
1
0
1
1
1
F1= x’y’z + xy’z’ + xyz = m1+m4+m7
F2= x’yz + xy’z + xyz’ + xyz =
m3+m5+m6+m7
F1’= x’y’z’ + x’yz’ + x’yz + xy’z + xyz’
(F1’)’ = (x+y+z) . (x+y’+z) . (x+y’+z’) .
(x’+y+z’) . (x’+y’+z)
= M0 . M2 . M3 . M5 . M6
El complemento de una función booleana
lo
podemos
obtener
al
formar
miniterminos para cada combinación que
produce un cero en la función y aplicando
el operador OR a esos términos.
Después cada término se inspecciona para
ver si contiene todas las variables, si se
han perdido una o más variables, se aplica
el operador AND con una expresión x+x’
en donde x es una de las variables
perdidas.
Ejemplo: Expresar la función F = A+B’C
en una suma de miniterminos.
F= A+B’C
F(A,B,C)
A= A(B+B’) = AB+AB’
Las funciones booleanas expresadas como
una suma de miniterminos o productos de
maxiterminos se dice que esta en forma
canónica.
Simplificación de funciones
Suma de miniterminos. Como sabemos
cualquier
función
booleana
puede
expresarse
como
una
suma
de
miniterminos.
La suma de estos
elementos que son los que definen una
función booleana son aquellos que dan
los 1’s de la función en una tabla de
verdad.
164
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= AB(C+C’) + AB’(C+C’)
= ABC + ABC’ + AB’C +AB’C’
B’C = B’C (A+A’)
= AB’C + A’B’C
F = ABC+ABC’+AB’C+AB’C’+AB’C+A’B’C
F = A’B’C+AB’C’ +AB’C+ABC’+ABC
F = m1+ m4+m5+ m6+ m7
F(A,B,C)=SUM(1,4,5,6,7)
La SUMatoria representa al operador OR
que opera en los términos y números
siguientes son los minitérminos de la
función.
Las letras entre paréntesis que siguen a F
forman una lista de las variables en el
orden tomado cuando el minitérmino se
convierte en un término AND.
Producto de los maxitérminos. Para
expresar una función booleana como un
producto de maxitérminos, primero debe
llevarse a una forma de términos OR. Esto
es posible al uso de la ley distributiva; esto
es si x+yz = (x+y) (x+z); para cualquier
variable perdida x en cada término se
opera a OR con xx’.
M0
M2
F(x,y,z) = PI(0,2,4,5)
Matemáticas Discretas
M4
M5
El operador PI denota la operación AND
de maxitérminos; y los números son los
maxitérminos de la función.
Conversión entre formas canónicas.
El complemento de una función expresada
como suma de minitérminos es igual a la
suma de los minitérminos perdidos de la
función original.
Ejemplo:
F(A,B,C)
=
SUM(1,4,5,6,7)
F’(A,B,C) = SUM(0,2,3) = m0+m2+m3
Si obtenemos el complemento de F’
porque el teorema de D’Morgan se
obtiene F en una forma diferente.
Ejemplo:
F = (x’+y) (x+z) (y+z)
(x’+y) = x’+y+zz’
= (x’+y+z) (x’+y+z)
(x+z) = x+z+yy’
= (x+y+z) (x+y’+z)
(y+z) = y+z+xx’
= (x+y+z) (x’+y+z)
F = (x’+y+z) (x’+y+z’) (x+y+z) (x+y’+z)
(x+y+z) (x’+y+z)
F = (x’+y+z) (x’+y+z’) (x+y+z) (x+y’+z)
F = (x+y+z) (x+y’+z) (x’+y+z) (x’+y+z’)
PT Bachiller en Informática
165
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(F’)’ = (m0+m2+m3)’ = m0’.m2’.m3’ =
M0
.
M2
.
M3
=
PI(0,2,3)
= (x+y+z) . (x+y’+z) . (x+y’+z’)
F = A’D+BD+B’D
A’D = A’D(B+B’)
= A’BD+A’B’D
= A’BD(C+C’) = A’BCD+A’BC’D
= A’B’D(C+C’) = A’B’CD+A’B’C’D
BD = BD(A+A’)
= ABD+A’BD
= ABD(C+C’) = ABCD+ABC’D
= A’BD(C+C’) = A’BCD+A’BC’D
B’D = B’D(A+A’)
= AB’D+A’B’D
= AB’D(C+C’) = AB’CD+AB’C’D
= A’B’D(C+C’) = A’B’CD+A’B’C’D
F=
A’BCD+A’BC’D+A’B’CD+A’B’C’D+ABCD+
ABC’D+AB’CD+AB’C’D
Mapas de Karnaugh
2m = 2 2 = 4
0
1
0
0
2
1
1
3
0
1
0
m0
m2
1
m1
m3
23 = 8
00
0 0
1 4
01
1
5
11
3
7
00 01 11
0 m0 m1
m2
1 m4 m5- m6
00
01
11
10
01
1
5
13
9
25 = 32
000 001 011
00 0
1
3
01 8
9
11
11 24 25 27
10 16 17 19
010 110 111
2
6
7
10 14 15
26 30 31
18 22 23
101
5
13
29
21
100
4
12
28
20
26 = 64
000 001 011 010 110 111 101 100
000 0
1
3
2
6
7
5
4
001 8
9
11 10 14 15 13 12
011 24 25 27 26 30 31 29 28
010 16 17 19 18 22 23 21 20
110 48 49 51 50 54 55 53 52
111 56 57 59 58 62 63 61 60
101 40 41 43 42 46 47 45 44
100 32 33 35 34 38 39 37 36
10
2
6
10
m3
m7
24 = 16
166
00
0
4
12
8
Matemáticas Discretas
11 10
3
2
7
6
15 14
11 10
PT Bachiller en Informática
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Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica
00
F(w,x,y,z) =∑(0,2,3,7,9,11,12,13)
00
1
0
1
0
00
01
11
10
01
0
0
1
1
11
1
1
0
1
00
01 1
11
10
1
fb = w’xy’z’+x’y’z+w’x’y
10
1
0
0
0
F(w,x,y,z) = ∑(1,3,5,7,9,11,13,15)
00
0
0
0
0
01
1
1
1
1
11
1
1
1
1
10
0
0
0
0
x
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
y
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
z
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
f1
1
0
1
1
0
1
1
1
0
1
00
01
11
00
01
1
1
11
10 1
1
fa = w’xy’z+w’xy+wx’y’
01
00
1
1
01
00
01
11
10 1
fd = w’z’+x’y’z’
F=z
W
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
00
1
1
f2
0
0
1
0
1
0
1
1
1
0
11
1
1
10
11
10
1
1
00
01
11
10 1
fc = w’y’z’+w’yz+x’y’z’
F = wxz’ + w’yz+wxz+wxy’
00
01
11
10
01
1
Matemáticas Discretas
11
10
1
1
f3
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
Simplificar la siguiente función de Boole
usando el método del taulado.
f(w,x,y,z) =∑(0,1,2,8,10,11,14,15)
10
1
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167
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f(w,x,y,z) = ∑(1,4,6,7,8,9,10,11,15)
Método del tabulado.
w
0
0
0
0
1
1
1
1
1
x
0
1
1
1
0
0
0
0
1
y
0
0
1
1
0
0
1
1
1
z
1
0
0
1
0
1
0
1
1
w
0
0
1
0
1
1
0
1
1
x
0
1
0
1
0
0
1
0
1
y
0
0
0
1
0
1
1
1
1
z
1
0
0
0
1
0
1
1
1
(1,9)
(8.10)
(8,9)
(8,10)
(6,7)
(9,11)
(10,11)
(7,15)
(11,15)
1
1
1
0
1
1
1
0
0
0
0
1
0
0
1
-
0
0
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
w x y z
1 0 - 1 0 - Implicantes primos
F = x’y’z+w’xz’+wxy+xyz+wyz+wx’
3
3
3
3
1 4 6 7 8 9 10 11 15
1,9
X
4,6
X X
6,7
X X
7,15
X
X
11,15
X X
8,9,10,11
X X X X
3 3
3
3
Matemáticas Discretas
términosde las constantes 0 figuran las n
variables xi y ninguna otra letra (y en
particular, no hay constantes); y cada uno
de los términos es único. Ejemplos: x +y’ ,
x’y + xy’ .
La forma normal completa disyuntiva en n
variables x1, x2, ...,xn resulta desarrollando
(x1 + x1’). ... .(xn + xn’) = 1 y para cada
sistema de reemplazos de las variables x1,
x2, ...,xn por las constantes 0 y 1, uno y
uno sólo de los términos da 1 y los demás
0.
Se dice que una expresión lógica está en
forma normal disyuntiva si está escrita
como una disyunción, en la cual todos los
términos son conjunciones de letras de
variables proposicionales.
Una función An hacia se denomina función
booleana si puede ser especificada
mediante una expresión
Gráficas
Normal disyuntiva
Una función de Boole se llama forma
normal disyuntiva o polinomio normal en
n variables x1, x2, ... , xn (n>0) si es una , o
bien un polinomio en cada uno de cuyos
168
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booleana sobre ({ 0,1 }, , ,¯ ) está en
su forma normal disyuntiva si es una
adición de minterms . Por ejemplo :
_ _
_
_
_
x1∧x2∧x3 ∨ x1∧x2∧x3 ∨ (x1∧x2∧x3)
es una expresión booleana en forma
normal disyuntiva. Más aún existen 3
minterms en la expresión, a saber,
_ _ _ _
_
x1∧x2∧x3,x1∧x2∧x3,x1∧x2∧x3
Normal conjuntiva
Una función de Boole se llama forma
normal conjuntiva o producto normal en n
variables x1, x2, ... , xn (n>0) si es una , o
bien una forma lineal o un producto de
formasde las constantes 0 lineales en
cada uno de cuyos factores figuran las n
variables xi y ninguna otra letra (y en
particular, no hay constantes); y cada uno
de los términos es único. Ejemplos: xy’, (x’
+ y) . (x + y’).
Matemáticas Discretas
x1∨x2∨...∨xn
_
donde nuevamente usamos xi para
denotar ya
_
sea xi o bien xi. Se dice que una expresión
booleana sobre ({ 0,1 }, ∨ ,∧ ,¯ ) está en
su forma normal conjuntiva si es una
multiplicación de maxterms . Por ejemplo :
_
_ _
_
x1∨x2∨x3 ∧ x1∨x2∨x3 ∧ x1∨x2∨x3
_
_
_ _
∧ x1∨x2∨x3 ∧ x1∨x2∨x3
es una expresión booleana en forma
normal conjuntiva consistente en 5
maxterms .
La forma normal completa conjuntiva en n
variables x1, x2, ...,xn resulta desarrollando
(x1 . x1’)+ ... +(xn . xn’) = 0 y para cada
sistema de reemplazos de las variables x1,
x2, ...,xn por las constantes 0 y 1, uno y
uno sólo de los factores da 0 y los demás
1.
Se dice que una expresión lógica está en
forma normal conjuntiva si está escrita
como una conjunción de disyunciones de
letras de variables proposicionales.
Diremos que una expresión booleana de n
variables x1,x2,...,xn es un maxterm si es de
la forma
_ _
_
PT Bachiller en Informática
169
Informática
Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica
•
Un tipo especial de funciones son las
denominadas funciones booleanas. Su
especificidad se centra en el hecho que su
dominio e imagen se basan en el conjunto
{0,1}. Su importancia radica en el hecho
que son imprescindibles en la era digital:
forman parte del núcleo que permite
comprender,
más
allá
de
los
requerimientos meramente tecnológicos,
las bases de la Informática.
La raíz de las funciones booleanas está
en la denominada álgebra booleana, o
álgebra de Boole (gran matemático del s.
XIX que desarrollo este área). El álgebra
de Boole contiene las bases de la lógica
binaria, en las que el 0 representa el valor
lógico "falso", y el 1 representa el valor
lógico "verdadero". Las variables lógicas,
cuyos valores son los anteriores, se
combinan
mediante
los
llamados
conectores u operadores lógicos para dar
lugar a expresiones complejas; a partir de
los valores iniciales de las variables lógicas
puede calcularse el valor de la expresión
compleja, expresión que se denomina
función booleana.
Matemáticas Discretas
Depositará las hojas de papel de
desperdicio
en
los
recipientes
destinados para su reciclaje.
Sugerencias o Notas
Competencia de Calidad
Realizar el trabajo en forma eficiente y
oportuna.
•
El alumno, realizará los ejercicios y
prácticas incluídas en este manual con
orden,
limpieza,
eficiencia
y
responsabilidad.
Sugerencias o Notas
Competencia Ambiental
Proteger los recursos naturales.
•
170
El alumno, usará las hojas de papel por
ambos lados.
PT Bachiller en Informática
Informática
Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica
Matemáticas Discretas
Practicas de Ejercicio y listas de cotejo
Portafolio
de evidencias
Unidad de
aprendizaje:
2
Práctica número:
6
Nombre de la
práctica:
Multiplicación
cuadradas.
Propósito de la
práctica:
Al finalizar la práctica, el alumno realizará la multiplicación de dos
matrices cuadradas tomando en cuenta los índices para su
multiplicación.
Escenario:
Aulas.
Duración:
6 hrs.
•
Materiales
Hojas
•
Lápiz
•
Goma
de
dos
matrices
Maquinaria y equipo
PT Bachiller en Informática
Herramienta
171
Informática
Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica
Matemáticas Discretas
Procedimiento
­Aplicar las medidas de seguridad e higiene.
• Evitar la manipulación de líquidos.
• Tener condiciones adecuadas en el aula (iluminación, ventilación y limpieza).
1. - Escribir la matriz A que tiene los siguientes índices (a11=5, A12=3,A13=-1, A21=0,
A22=1, A23=-3).
2. - Escribir la matriz A que tiene los siguientes índices (a31=-2, A32=0, A33=-1, A41=1,
A42= -1, A43=-3).
3. - Escribir la matriz B que tiene los siguientes índices (a11=2, A12= 0, A21= -3, A22=4,
A31= -1, A32= 3).
4. - Multiplicar AB, P11 = (5) (2)+(3) (-3)+ (-1) (-1)= 10-9+1=2
5. - Multiplicar AB, P12 = (5) (0)+(3) (4)+ (-1) (3)= 0+12-3=9
6. - Multiplicar AB, P21 = (0) (2)+(1) (-3)+ (-3) (-1)=0-3+3=0
7. - Multiplicar AB, P22 = (0) (0)+(1) (4)+ (-3) (3)=0+4-9=-5
8. - Multiplicar AB, P31 = (-2) (2)+(0) (-3)+ (1) (-1)=-4+0-1=-5
9. - Multiplicar AB, P32 = (-2) (0)+(0) (4)+ (1) (3)=0+0+3=3
10. - Multiplicar AB, P41 = (1) (2)+(-1) (-3)+ (3) (-1)=2+3-3=2
11. - Multiplicar AB, P42 = (1) (0)+(-1) (4)+ (3) (3)=0-4+9=5
12. - Escribir el resultado AB = (a11=2, a12=9, a21= 0, a22=-5, a31=-5, a32=3, a41= 2,
a42=5).
4 Separar los residuos recuperables (usar las dos caras de las hojas y
el lugar indicado).
172
PT Bachiller en Informática
colocar los desechos en
Informática
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Lista de cotejo de la práctica
número 6:
Matemáticas Discretas
Multiplicación de dos matrices cuadradas.
Nombre del alumno:
Instrucciones:
A continuación se presentan los criterios que van a ser
verificados en el desempeño del alumno mediante la
observación del mismo.
De la siguiente lista marque con una
aquellas
observaciones que hayan sido cumplidas por el
alumno durante su desempeño
Desarrollo
Sí
No
No
Aplica
­Aplicó las medidas de seguridad e higiene.
• Evitó la manipulación de líquidos.
• Tuvo condiciones adecuadas en el aula (iluminación,
ventilación y limpieza).
1. - Escribió la matriz A que tiene los siguientes índices (a11=5,
A12=3,A13=-1, A21=0, A22=1, A23=-3).
2. - Escribió la matriz A que tiene los siguientes índices (a31=-2,
A32=0, A33=-1, A41=1, A42= -1, A43=-3).
3. - Escribió la matriz B que tiene los siguientes índices (a11=2,
A12= 0, A21= -3, A22=4, A31= -1, A32= 3).
4. – Multiplicó AB, P11 = (5) (2)+(3) (-3)+ (-1) (-1)= 10-9+1=2
5. – Multiplicó AB, P12 = (5) (0)+(3) (4)+ (-1) (3)= 0+12-3=9
6. – Multiplicó AB, P21 = (0) (2)+(1) (-3)+ (-3) (-1)=0-3+3=0
7. – Multiplicó AB, P22 = (0) (0)+(1) (4)+ (-3) (3)=0+4-9=-5
8. – Multiplicó AB, P31 = (-2) (2)+(0) (-3)+ (1) (-1)=-4+0-1=-5
9. – Multiplicó AB, P32 = (-2) (0)+(0) (4)+ (1) (3)=0+0+3=3
10. – Multiplicó AB, P41 = (1) (2)+(-1) (-3)+ (3) (-1)=2+3-3=2
11. – Multiplicó AB, P42 = (1) (0)+(-1) (4)+ (3) (3)=0-4+9=5
12. - Escribió el resultado AB = (a11=2, a12=9, a21= 0, a22=-5,
a31=-5, a32=3, a41= 2, a42=5).
4 Separó los residuos recuperables (usó las dos caras de las hojas
y colocó los desechos en el lugar indicado).
Observaciones:
PT Bachiller en Informática
173
Informática
Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica
Matemáticas Discretas
PSA:
Hora de
inicio:
174
Hora de
término:
PT Bachiller en Informática
Evaluación:
Informática
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Matemáticas Discretas
Unidad de
aprendizaje:
2
Práctica número:
7
Nombre de la
práctica:
Aplicar el teorema 1 y teorema 2 del
álgebra boolena
Propósito de la
práctica:
Al finalizar la práctica, el alumno manejará impresoras de acuerdo
con los procedimientos y normas establecidas en los manuales del
fabricante.
Escenario:
Aulas.
Duración:
4 hrs.
Materiales
• Hojas
• Lápiz
• Goma
Maquinaria y equipo
PT Bachiller en Informática
Herramienta
175
Informática
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Matemáticas Discretas
Procedimiento
­Aplicar las medidas de seguridad e higiene.
• Evitar la manipulación de líquidos.
• Tener condiciones adecuadas en el aula (iluminación, ventilación y limpieza).
TEOREMA 1
1. - Comprobar “x+x=x”
2. - Escribir “x+x= (x+x) por 1”
3. - Escribir “(x+x)(x+x’).
4. - Escribir “x+xx’ “
5. - Escribir “x+0”
6. - Escribir “ x”
TEOREMA 2
7. - Adquirir una hoja de papel
8. - Comprobar “x+1=1”
9. - Escribir “x+1=1 por (x+1).
10.- Escribir “ = (x+x’) (x+1)”
11.- Escribir “ = x+x’ por 1”
12.- Escribir “ x+x’ “
13.- Escribir “ 1 “
4 Separar los residuos recuperables (usar las dos caras de las hojas y
desechos en el lugar indicado).
176
PT Bachiller en Informática
colocar los
Informática
Colegio Nacional de Educación Profesional Técnica
Matemáticas Discretas
Lista de cotejo de la práctica
número 7:
Aplicar el teorema 1 y teorema 2 del álgebra boleana.
Nombre del alumno:
Instrucciones:
A continuación se presentan los criterios que van a ser
verificados en el desempeño del alumno mediante la
observación del mismo.
De la siguiente lista marque con una
aquellas
observaciones que hayan sido cumplidas por el
alumno durante su desempeño
Desarrollo
­Aplicó las medidas de seguridad e higiene.
• Evitó la manipulación de líquidos.
• Tuvo condiciones adecuadas en el aula (iluminación,
ventilación y limpieza).
TEOREMA 1
1. – Comprobó “x+x=x”
2. – Escribió “x+x= (x+x) por 1”
3. – Escribió “(x+x)(x+x’).
4. – Escribió “x+xx’ “
5. – Escribió “x+0”
6. – Escribió “ x”
TEOREMA 2
7. – Adquirió una hoja de papel
8. – Comprobó “x+1=1”
9. – Escribió “x+1=1 por (x+1).
10. – Escribió “ = (x+x’) (x+1)”
11. – Escribió “ = x+x’ por 1”
12. – Escribió “ x+x’ “
13. – Escribió “ 1 “
Sí
No
No
Aplica
•
4 Separó los residuos recuperables (usó las dos caras de las hojas
y colocó los desechos en el lugar indicado).
Observaciones:
PT Bachiller en Informática
177
Informática
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Matemáticas Discretas
PSA:
Hora de
inicio:
178
Hora de
término:
PT Bachiller en Informática
Evaluación:
Informática
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Matemáticas Discretas
RESUMEN
Las matemáticas discretas proporcionan los fundamentos teóricos apropiados para la
solución de problemas cotidinos que se deben resolver en el campo de la informática.
Por medio de la inducción matemática se pretende ayudar a entender de una mejor
manera el razonamiento de las matemáticas, ya que la inducción de cualquier término
hace cualquier tipo de matemáticas fácil de comprender.
Principios de conteo: De los procesos físicos se observará el gran número de resultados
obtenibles por medio de reglas establecidas y se encontrarán los procedimientos
sistemáticos que generan de manera exhaustiva todas las maneras de distribuir n objetos
y también las maneras de seleccionar n objetos.
Relaciones de recurrencia: Todo surge debido a que en muchos de los problemas del
cálculo, algunas veces en muchos más fácil el obtener la especificación de una función
numérica en términos de una relación de recurrencia, que obtener una expresión general
para el valor de una función numérica ; y por lo tanto es obvio que en una relación de
recurrencia podemos llevar acabo un cálculo paso por paso para de esta manera llegar a
determinar el valor.
Grafos: En la mayoría de los problemas donde se involucran objetos discretos y relaciones
binarias, una representación gráfica (GRAFOS) de los objetos sobre los mismos conjuntos
resultan una forma de representación muy conveniente, lo cual nos conduce de una
forma natural al estudio de la Teoría de los Grafos .
Árboles: Los empleamos porque nos ayuda a determinar con cierta rapidez el valor o el
lugar de un objeto en particular dependiendo de la ordenación que la estructura (árbol)
tenga y también de los objetos (nodos) que contenga.
Relaciones: Surgen como consecuencia de que debido a que las relaciones comparten
muchas de sus propiedades, se puede entonces comprobar que hay cierta
correspondencia uno a uno entre los elementos de dos relaciones, siempre y cuando
exista una función biyectiva involucrada.
Álgebra booleana: Con las expresiones booleanas podremos obtener un circuito
electrónico que tenga las mismas entradas y salidas que tiene la expresión original.
Donde los conceptos de izquierda y de derecha puede ser intercambiados en situaciones
encontradas en donde nosotros podremos refrasear el significado o el sentido de la
expresión. A lo cual determinaremos que existe libertad suficiente para construir
multitudes de álgebras boleabas diferentes.
PT Bachiller en Informática
179
Informática
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Matemáticas Discretas
AUTOEVALUACIÓN DE CONOCIMIENTOS
1. ¿Cuál es la definición de grafo?
2. ¿Cuáles son los elementos que integran un grafo?
3. ¿Para qué nos sirve un grafo?
4. ¿En informática a qué llamamos árbol?
5. ¿Qué es un árbol generador?
6. ¿Qué es un árbol generador mínimo?
7. ¿Cómo podemos describir el algoritmo de Kruskal?
8. ¿De qué manera están conectados los árboles?
9. ¿Cuándo decimos que dos nodos son hermanos?
10. ¿ Para qué nos sirven la regla de la suma y la regla del producto?
11. ¿ Qué nos dice la regla de la suma ?
12. ¿ Qué nos indica la regla del producto ?
13. ¿Cuál es la regla de la suma?
14. ¿Cuál es la regla del producto?
15. ¿Qué es una progresión aritmética?
16. ¿Qué es una progresión geométrica?
17. ¿Cuál es la definición de permutaciones?
18. ¿A qué llamamos combinaciones?
19. ¿De cuantas maneras se pueden dividir un grupo de 10 personas en 2 grupos si
cada grupo debe contener al menos una persona ?
20. ¿Cuál es la forma más conocida en que podemos escribir los coeficientes
binomiales ?
21. ¿Cómo podrías definir con tus propias palabras la relación de recurrencia?
22. ¿Cuáles son los símbolos usados en sistema numérico binario?
180
PT Bachiller en Informática
Informática
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Matemáticas Discretas
AUTOEVALUACIÓN DE CONOCIMIENTOS
23. ¿De cuantos símbolos consta el sistema numérico octal?
24. ¿Cuáles son los símbolos usados en el sistema numérico hexadecimal?
25. ¿A que llamamos conjunto vacío?
26. ¿Cuándo decimos que un conjunto es finito?
27. ¿Con que letra identificamos a un conjunto universal?
28. ¿Con que símbolo identificamos la relación de pertenencia entre conjuntos?
29. Definición de Relación.
30. ¿Qué es el dominio en la teoría de conjuntos?
31. ¿Qué es el Rango en la teoría de conjuntos?
32. ¿Qué propiedades debe cumplir la relación de equivalencia?
33. ¿Qué es una función en el álgebra de Boole?
34. ¿Cuáles son los tipos de función que existen?
35. ¿Para que nos sirven las tablas de verdad?
36. ¿Para qué nos sirve un Mapa de Karnaugh?
37. ¿Qué es una proposición?
38. ¿ Cuando dos proposiciones simples se combinan mediante la palabra « y » , la
proposición compuesta resultante se le llama?
39. ¿Simbólicamente como denotamos una disyunción?
40. ¿Cómo se denota una proposición condicional?
41. ¿Cuáles son los cuantificadores?
42. ¿Cuántos valores admiten las variables y constantes del álgebra booleana y
cuales son?
43. ¿Para qué se usan las expresiones booleanas?
44. ¿Qué son los teoremas booleanos?
PT Bachiller en Informática
181
Informática
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Matemáticas Discretas
AUTOEVALUACIÓN DE CONOCIMIENTOS
45. ¿Cuáles son las leyes booleanas?
46. ¿Qué es una compuerta?
47. ¿Qué es un circuito lógico simple?
48. ¿ A qué corresponde una señal de salida de la compuerta OR ?
49. ¿ Qué función realiza la compuerta NOT ?
50. ¿ A qué corresponde una señal de salida de la compuerta AND ?
51. ¿ Qué hace una compuerta AND ?
52. ¿ Qué es una función booleana?
53. ¿Cómo podemos expresar una función booleana?
182
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Informática
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Matemáticas Discretas
RESPUESTAS A LA AUTOEVALUACIÓN DE CONOCIMIENTOS
1. Un grafo es un objeto matemático que se utiliza para representar circuitos, redes,
etc.
2. Un grafo consta de vértices (o nodos) y aristas.
3. Los grafos permiten resolver problemas muy complejos, por medio de ellos
podemos elegir el camino más corto para la solución del problema.
4. Es un conjunto de grafos que nos permiten organizar información de tal forma
que sea posible efectuar eficientemente operaciones que involucren a esa
información.
5. Un árbol generador (o de expansión) de un grafo G, es un subgrafo que es árbol
y contiene a todos los vértices del grafo.
6. Un árbol Generador mínimo es el que resulta de la construcción en primer lugar
de un árbol generador, pero con la característica de ser el de menos peso del
grafo al cual genera.
7. Un algoritmo que origina un árbol generador minimal en un grafo G de n
vértices, conexo y con peso es el Algoritmo de Kruskal.
8. Por medio de arcos.
9. Si ambos nodos son descendientes directos del mismo nodo.
10. Nos sirve para poder contar el número de permutaciones .
11. Indica que si hay 2 conjuntos que contengan n1 y n2 elementos , y si no hay
elementos comunes en ambos conjuntos , el resultado es la unión de n1 + n2
elementos .
PT Bachiller en Informática
183
Informática
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Matemáticas Discretas
RESPUESTAS A LA AUTOEVALUACIÓN DE CONOCIMIENTOS
12. Indica que el número de pares ordenados que se pueden formar a partir de los
2 conjuntos A y B , de tal manera que el primero provenga de A y el segundo
provenga de B.
13. Si se puede realizar una primera tarea de m maneras, mientras que una egunda
se puede efectuar de n maneras, y no se pueden realizar las dos a la vez,
entonces tenemos un repertorio de m+n maneras de realizar una tarea.
14. Si un procedimiento se puede separar en las etapas primera y segunda, y si hay
m posibles resultados para la primera etapa y n para la segunda, entonces el
procedimiento total se puede realizar, en el orden designado, de m·n maneras.
15. Es una sucesión de números tales que la diferencia de dos términos sucesivos
cualesquiera de la secuencia es una constante.
16. Una secuencia de números en la que la proporción entre cualquier número y el
número siguiente es constante.
17. Son maneras de distribuir objetos.
18. Son maneras de seleccionar objetos sin importar el orden .
19. 210 –2 = 51
20. Es el Triangulo de Pascal.
21.
22. 0 1
23. De 8
24. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F
25. Es un conjunto que carece de elementos.
26. Un conjunto es finito si consta de un cierto número de elementos distintos, es
decir si al contar los diferentes elementos del conjunto el proceso de contar
puede acabar
27. Con la letra U
184
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Informática
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Matemáticas Discretas
RESPUESTAS A LA AUTOEVALUACIÓN DE CONOCIMIENTOS
28.
∈
29. Se define como relación entre los conjuntos A y B a un subconjunto del
producto cartesiano A x B. Este puede estar formado por un solo par ordenado,
varios, todos o ninguno de los que forman parte de A x B.
30. El dominio es un subconjunto del conjunto de salida, ya que algunos
elementos de la salida pueden no formar parte de la relación.
31. El rango o codominio es el conjunto de los segundos elementos de cada par
ordenado.
32. Propiedades reflexiva, simétrica y transitiva.
33. Una función es una correspondencia entre conjuntos que se produce cuando
cada uno de los elementos del primer conjunto se halla relacionado con un
solo elemento del segundo conjunto.
34. Inyectiva, Suprayectiva y Biyectiva.
35. Una tabla de verdad establece las diferentes posibles combinaciones de valores
de verdad de las Variables Proposicionales de una fórmula y determina los
valores correspondientes a esa fórmula para cada una de esas combinaciones
36. El mapa de Karnaugh, al igual que la Tabla de Verdad, es un medio para
demostrar la relación existente entre las entradas lógicas y la salida que se
busca.
37. Una proposición se considera una frase, a la cual, se le puede asignar dos
valores: o bien es verdadera, o bien es falsa, pero no ambas cosas. La verdad o
falsedad de dicha proposición se le llama su valor de verdad
38. Conjunción.
39. Escribiendo p v q
40. p --> q
41. Universales, Existenciales, Existencia y Unicidad.
PT Bachiller en Informática
185
Informática
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Matemáticas Discretas
RESPUESTAS A LA AUTOEVALUACIÓN DE CONOCIMIENTOS
42. Admiten solo uno o dos valores en sus entradas y salidas: Sí/No, 0/1 o
Verdadero/Falso.
43. Se usan para determinar si un conjunto de una o más condiciones es verdadero
o falso, y el resultado de su evaluación es un valor de verdad.
44. Son enunciados siempre verdaderos, lo que permite la manipulación de
expresiones algebraicas, facilitando el análisis ó síntesis de los circuitos
digitales.
45. Asociativa: Se dice que un operador binario " º " es asociativo si (A º B) º C = A
º (B º C) para todos los valores booleanos A, B, y C.
Conmutativa: Se dice que un operador binario " º " es conmutativo si A º B = B
º A para todos los posibles valores de A y B.
Distributiva: Dos operadores binarios " º " y " % " son distributivos si A º (B % C)
= (A º B) % (A º C) para todos los valores booleanos A, B, y C.
46. Una compuerta es un circuito lógico cuya operación puede ser definida por una
función del álgebra lógica.
47. Los circuitos lógicos simples son los que nos permiten representar las
operaciones boolenas con los operados binarios negación, suma y
multiplicación, es decir que estos combinan dos o más variables para
conformar funciones lógicas.
48. Corresponde a una proposición la cual es la disyunción de las proposiciones
correspondientes a las señales de entrada.
49. Es un circuito que tiene una entrada y una salida.
50. Corresponde a una proposición la cual es la conjunción de las proposiciones
correspondientes a las señales de entrada .
51. Es un circuito que tiene dos entradas y una salida.
52. Una función booleana es una expresión formada por variables binarias.
53. Como una suma de miniterminos
186
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Informática
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Matemáticas Discretas
GLOSARIO DE TÉRMINOS
ÁLGEBRA BOOLEANA: El álgebra booleana es un sistema matemático deductivo
centrado en los valores cero y uno (falso y verdadero). Un operador binario " º "
definido en éste juego de valores acepta un par de entradas y produce un solo valor
booleano, por ejemplo, el operador booleano AND acepta dos entradas booleanas y
produce una sola salida booleana.
ALGORITMO: Una posible definición de algoritmo es un conjunto de reglas que
permiten obtener un resultado determinado a partir de ciertas reglas definidas
ALGORITMO DE DIJKTRA: Se basa en el hecho de que tal vez sea más económico pasar
a través de uno o más nodos para ir del vértice origen a algún otro, en vez de ir
directamente.
ALGORITMO DE KRUSKAL: Parte con un grafo T que contiene inicialmente todos los
vértices y ningún lado. en cada iteración se agrega un lado a T de peso mínimo, tal
que no complete un circuito en T. Cuando T tenga n-1 lados, se termina.
ALTURA (árbol). Es el máximo número de niveles de todos los nodos del árbol.
ÁRBOL: Grafo acíclico, conexo y no dirigido.
ÁRBOL BINARIO: Árbol con raíz en el cual cada nodo tiene como máximo dos hijos
ÁRBOL GENERADOR: Un árbol generador (o de expansión) de un grafo G, es un
subgrafo que es árbol y contiene a todos los vértices del grafo.
ÁRBOL GENERADOR MINIMAL: Es el que resulta de la construcción en primer lugar de
un Árbol generador, pero con la característica de ser el de menos peso del grafo al
cual genera.
ARISTA: Conexiones entre vértices. Para representarlas se suelen utilizar líneas para las
conexiones.
ARCO: (Lazo) Los árboles constan de nodos, que están conectados mediante arcos.
BICONDICIONAL: Otro tipo de proposición que se presenta con frecuencia es de la
forma «p si, y solamente si, q» que se suele abreviar «p ssi q». Intuitivamente esta
proposición parece ser la combinación de p --> q y q --> p
PT Bachiller en Informática
187
Informática
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Matemáticas Discretas
GLOSARIO DE TÉRMINOS
BINARIO: (base 2) Sistema numérico que consta de dos símbolos que son 0 y 1.
CAMINO (árbol): Secuencia de arcos en que el extremo final de cada arco coincide
con el extremo inicial del siguiente en la secuencia.
CIRCUITO HAMILTONIANO: Si el circuito contiene todos los vértices de V decimos
que el circuito es hamiltoniano.
CIRCUITO LÓGICO COMBINACIONAL: Un Circuito combinacional realiza una
operación específica de procesamiento de información, especificada por completo
en forma lógica por un conjunto de funciones booleanas.
COMBINACIÓN: Todas las combinaciones posibles que pueden hacerse con los n
elementos de un grupo.
COMPLEMENTO CONJUNTO: Complemento de A es el conjunto de todos los
elementos que pertenecen a U y no pertenecen a A.
COMPUERTA LÓGICA: Una puerta lógica, o compuerta lógica, es un dispositivo
electrónico que es la expresión física de un operador booleano en la lógica de
conmutación. Cada puerta lógica consiste en una red de dispositivos interruptores
que cumple las condiciones booleanas para el operador particular. Son
esencialmente circuitos de conmutación..
CONDICIONALES (PROPOSICIONES): En matemáticas se suele utilizar muy
frecuentemente la proposición «Si p, entonces q». Tales proposiciones se llaman
condicionales.
CONECTIVO: A partir de el conjunto original de proposiciones fundamentales hemos
formado un nuevo conjunto, aceptando en él toda combinación de proposiciones
del conjunto original, que se pueden formar empleando los conectivos lógicos ^, v,
~.
CONTEO: Método para distribuir n objetos de acuerdo a reglas establecidas.
CONJUNCIÓN: Cuando dos proposiciones simples se combinan mediante la palabra
« y » , la proposición compuesta resultante se le llama conjunción.
CONJUNTO: Ccolección de cualquier tipo de objetos considerada como un todo.
GLOSARIO DE TÉRMINOS
188
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Informática
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Matemáticas Discretas
CONJUNTO FINITO: Conjunto que consta de un cierto número de elementos
distintos, es decir si al contar los diferentes elementos del conjunto el proceso de
contar puede acabar.
CONJUNTO UNIVERSAL: Es el conjunto que contiene a todos los elementos del
discurso.
CONJUNTO VACÍO: Es un conjunto que carece de elementos.
CONTRADICCIÓN: Si la tabla de verdad arroja solamente F entonces decimos que la
fórmula es una contradicción.
CONTRADOMINIO FUNCIÓN: El otro conjunto que interviene en la definición es el
conjunto llamado codominio o rango de la función,, este conjunto es la gama de
valores que puede tomar la función.
CUANTIFICADORES: Los cuantificadores permiten expresar propiedades de grupos
completos de objetos.
CUANTIFICADORES UNIVERSALES: Equivale a la conjunción de todas las oraciones
que se obtienen al sustituir el nombre de un objeto por la variable que aparece en la
expresión.
CUANTIFICADORES EXISTENCIALES: Sirve para realizar afirmaciones acerca de
algún objeto en el universo sin tener que nombrarlo. Equivale a la disyunción de
todas las oraciones obtenidas al sustituir el nombre de un objeto por la variable x.
Esta oración es verdadera solo cuando una de las disyunciones es verdaderas.
CIRCUITO LÓGICO SIMPLE: Nos permiten representar las operaciones boolenas con
los operados binarios negación, suma y multiplicación, es decir que estos combinan
dos o más variables para conformar funciones lógicas. Una compuerta es un circuito
útil para realizar las operaciones anteriormente mencionadas.
EQUIVALENCIA LÓGICA:
Se dice que dos proposiciones son lógicamente
equivalentes, o simplemente equivalentes. Si coinciden sus resultados para los
mismo valores de verdad. Se indican como p ≡ q.
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GLOSARIO DE TÉRMINOS
EQUIVALENCIA RELACIÓN: Una relación de equivalencia es aquella que cumple las
propiedades reflexiva, simétrica y transitiva.
DISYUNCIÓN: Se emplea la palabra «o» en el sentido inclusivo, como el término y/o.
Entonces una proposición del tipo «p o q» se toma siempre como «p o q ó ambas.
DOMINIO CONJUNTOS: El dominio es el conjunto de los primeros elementos de
cada par ordenado.
DOMINIO FUNCIÓN: Se dice que el dominio de una función son todos los valores
que puede tomar el conjunto del dominio y que encuentra Correspondencia en el
conjunto llamado codominio.
EXPRESIÓN BOOLEANA: Expresión que sólo puede tomar dos valores: verdadero y
falso.
FIBONACCI. Es el sobrenombre con el que se conoció al rico comerciante Leonardo
de Pisa (1170-1240). Viajó por el Norte de África y Asia y trajo a Europa algunos de
los conocimientos de la cultura árabe e hindú, entre otros la ventaja del sistema de
numeración arábigo (el que usamos) frente al romano.
FUNCIÓN: Una función es una correspondencia entre conjuntos que se produce
cuando cada uno de los elementos del primer conjunto se halla relacionado con un
solo elemento del segundo conjunto.
FUNCIÓN ACKERMAN: Utilizada en la teoría de la computación, es una función
recursiva que toma dos números naturales como argumentos y devuelve un número
natural.
FUNCIÓN BIYECTIVA: es inyectiva y sobreyectiva a un mismo tiempo.
FUNCIÓN BOOLEANA: Una función booleana es una expresión formada por variables
binarias.
FUNCIÓN INYECTIVA: A elementos diferentes en un conjunto de partida le
corresponden elementos diferentes en un conjunto de llegada.
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GLOSARIO DE TÉRMINOS
FUNCIÓN SUPRAYECTIVA (sobreyectiva): a elementos diferentes en un conjunto de
partida le corresponden elementos iguales en un conjunto de llegada.
GRADO (árbol). Es el número de descendientes directos de un determinado nodo.
GRADO DEL ÁRBOL Es el máximo grado de todos los nodos del árbol.
GRAFO: Un grafo es un objeto matemático que se utiliza para representar circuitos,
redes, etc.
HERMANO (árbol). Dos nodos serán hermanos si son descendientes directos de un
mismo nodo.
HEXADECIMAL: (base 16) Sistema numérico que consta de 16 símbolos que son: 0 1
2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F.
HIJO (árbol). X es hijo de Y, sí y solo sí el nodo X es apuntado por Y. También se dice
que X es descendiente directo de Y.
HOJA (árbol). Se le llama hoja o terminal a aquellos nodos que no tienen
ramificaciones (hijos).
INTERSECCIÓN CONJUNTOS: Dados dos conjuntos A y B, se llama intersección del
conjunto A con el conjunto B al conjunto formado por todos los elementos
pertenecientes al conjunto A y al conjunto B.
Lazo: (Arco) Los árboles constan de nodos, que están conectados mediante arcos.
LONGITUD DE CAMINO. Es el número de arcos que deben ser recorridos para llegar
desde la raíz al nodo X.
MAPA DE KARMAUGH: Es un dispositivo gráfico que se utiliza para simplificar una
ecuación lógica o para convertir una Tabla de Verdad en su circuito lógico
correspondiente en un proceso simple y ordenado.
NIVEL (árbol). Es el número de arcos que deben ser recorridos para llegar a un
determinado nodo. Por definición la raíz tiene nivel 1.
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NODO INTERIOR (árbol). Es un nodo que no es raíz ni terminal.
OCTAL: (base 8) Sistema numérico que consta de 8 símbolos que son: 0 1 2 3 4 5 6
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ORDENAMIENTO: Orden en el que se elabora un árbol (adicionan los nodos). Esto
significa que para su construcción, los nodos que se van agregando no se colocan al
azar, colgando de cualquier nodo existente, sino según un criterio que tiene en
consideración el “valor” de la hoja.
PADRE (árbol) . X es padre de Y sí y solo sí el nodo X apunta a Y. También se dice
que X es antecesor de Y.
PASCAL: Clermont-Ferrand, Francia, 1623-París, 1662) Filósofo, físico y matemático
francés.
PASCAL: Lenguaje de programación.
PERMUTACIÓN: Un ordenamiento de n objetos.
PESO (árbol) . Es el número de nodos del árbol sin contar la raíz.
PROGRESIÓN ARITMÉTICA: Sucesión de números tales que la diferencia de dos
términos sucesivos cualesquiera de la secuencia es una constante. Por ejemplo, la
sucesión 3, 5, 7, 9, 11,... es una progresión aritmética de constante.
PROGRESIÓN GEOMÉTRICA: Secuencia de números en la que la proporción entre
cualquier número y el número siguiente es constante.
PROPIEDAD ANTISIMÉTRICA: Cuando sólo cumplen la propiedad simétrica los pares
de elementos iguales y no la cumplen los pares formados por distintos elementos.
PROPIEDAD ASIMÉTRICA: Cuando ningún par ordenado de la relación cumple la
propiedad simétrica.
PROPIEDAD PERTENENCIA: Es la relación que existe entre un elemento y un
conjunto.
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GLOSARIO DE TÉRMINOS
PROPIEDAD REFLEXIVA: Cuando todo elemento del conjunto está relacionado con sí
mismo.
PROPIEDAD SIMÉTRICA: Cuando cada vez que un elemento está relacionado con
otro, éste segundo también está relacionado con el primero.
PROPIEDAD TRANSITIVA: Cuando cada vez que un elemento está relacionado con
otro, y éste está relacionado con un tercero, el primer elemento está relacionado
con el tercero.
PROPOSICIÓN: Frase, a la cual, se le puede asignar dos valores: o bien es verdadera,
o bien es falsa, pero no ambas cosas
RANGO (codominio): El rango o codominio es el conjunto de los segundos
elementos de cada par ordenado.
RECURSIÓN: Forma en la cual se especifica un proceso basado en su propia
definición.
RECURRENCIA: Se utilizan instancias menores de la entrada actual para calcular ésta.
En una relación de recurrencia podemos llevar acabo un cálculo paso por paso para
de esta manera llegar a determinar el valor buscado.
SUBCONJUNTO: Un conjunto A es subconjunto de un conjunto B, si todo
elemento de A es un elemento de B. Todo conjunto es subconjunto de sí
mismo.
SUBGRAFO: Un grafo H se dice que es un subgrafo de G si todos los vértices y ramas
de H son vértices y ramas de G.
SUCESIÓN DE NÚMEROS: Se entenderá por sucesión una colección de números
dispuestos uno a continuación de otro.
TABLA VERDAD: Tabla que nos permite mostrar gráficamente el valor de dichas
proposiciones F (falso) V (verdadero).
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GLOSARIO DE TÉRMINOS
TAULOGÍA: Sí y solo si su valor de verdad es siempre V para toda interpretación
posible. Es decir, si el resultado de la tabla arroja solo V en su columna final.
TRIÁNGULO PASCAL: Triángulo formado que se construye desde la cúspide hacia
abajo. El primer elemento es el número 1, formando la fila 0. La fila 1 está formada
por dos elementos, ambos también el número 1. A partir de aquí, la construcción es
como sigue: cada fila está formada por un elemento más que la anterior. El
elemento primero y último de cada una siempre será el número 1, y cada elemento
interior será el número resultado de sumar los dos elementos que se sitúan encima
de él y adyacentes en la fila superior.
TORRE HANOI: Juego que consta de tres postes montados sobre un tablero y n
discos de diversos tamaños con agujeros en sus centros.
UNIÓN CONJUNTOS: Se llama unión o reunión de dos conjuntos A y B al conjunto
formado por los elementos que pertenecen a A, o a B o a ambos.
VÉRTICE: objeto que contienen información, para representarlos se suelen utilizar
puntos.
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REFERENCIAS DOCUMENTALES
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Grimaldi.Addison-Wesley, Ralph P. Matemáticas Discreta y Combinatoria
E.U.A., Iberoamericana, 1989.
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Johnsonbaugh, Richard. Matemáticas Discretas. México, Grupo Editorial
Iberoamérica, 1988.
•
Lipschutz, Seymour. Matemática Discreta. Madrid España, Mc. Graw-Hill,
1990.
•
Universidad Nacional de Colombia, Electronica Digital I, Disponible en:
http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2000477/index.html
[Consulta: 20 febrero 2005].
•
Rivas Miranda, Blanca Selene, El Triangulo de Pascal, Disponible en:
http://redescolar.ilce.edu.mx/redescolar/act_permanentes/mate/ma2_01.htm
[Consulta: 20 febrero 2005]..
•
Acertijos.net,
La
Torre
de
Hanoi,
Disponible
http://www.acertijos.net/juegos/tower/ [Consulta: 20 febrero 205].
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