Funciones holomorfas

CAPÍTULO 1
Funciones holomorfas
1.1
INTRODUCCIÓN
La definición y primeras propiedades de la derivación de funciones complejas son
muy similares a las correspondientes para las funciones reales (exceptuando, como
siempre, las ligadas directamente a la relación de orden en R, como por ejemplo
el teorema del valor medio). Sin embargo, iremos comprobando poco a poco que
la derivabilidad compleja es una condición mucho más fuerte que la derivabilidad
real, o incluso que la diferenciabilidad de las funciones de dos variables reales. La
explicación final la encontraremos en resultados posteriores.
Para las primeras secciones de este capı́tulo puede usarse como libro de consulta el texto de Open University: Complex Numbers / Continuous Functions /
Differentiation. The Open University Press, Milton Keynes (1974); para las finales,
ver Duncan, J.: The elements of complex analysis. Wiley, London (1968).
1.2
DERIVABILIDAD DE LAS FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA
1. Definición y primeras propiedades.
Como C es un cuerpo y tiene sentido la división, podemos imitar literalmente
la definición de derivabilidad de funciones reales.
Definición. Sea abierto de C. Sea f : −→ C y sea z 0 ∈ . Diremos que f
es derivable en z 0 si existe
lim
z→z 0
f (z) − f (z 0 )
= f (z 0 ) ∈ C.
z − z0
Al valor de dicho lı́mite f (z 0 ) lo llamaremos derivada de f en z 0 .
Observación. Aunque, formalmente, la definición es como en R, la existencia
de lı́mite es aquı́ más exigente, al tener que existir de cualquier modo que nos
acerquemos a z 0 por el plano. Esto hará que las funciones derivables en C sean
mejores que las derivables en R, y que podamos desarrollar una teorı́a mucho más
redonda para éstas.
Para empezar, listamos las propiedades de derivabilidad que se demuestran
imitando punto por punto lo que se hace en R.
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18
Funciones holomorfas
1. f derivable en z 0 ⇒ f continua en z 0 .
2. Si f y g son derivables en z 0 ,
i) f + g es derivable en z 0 y ( f + g) (z 0 ) = f (z 0 ) + g (z 0 ).
ii) f · g es derivable en z 0 y ( f · g) (z 0 ) = f (z 0 )g(z 0 ) + g (z 0 ) f (z 0 ).
iii) (Si f (z 0 ) = 0), 1/ f es derivable en z 0 y (1/ f ) (z 0 ) = − f (z 0 )/ f (z 0 )2 .
3. Regla de la cadena. Sean f : 1 −→ C, g : 2 −→ C con f (1 ) ⊆ 2 .
Si f derivable en z 0 y g es derivable en f (z 0 ), entonces g ◦ f es derivable en
z0, y
(g ◦ f ) (z 0 ) = g ( f (z 0 )) f (z 0 ).
4. Derivación de la función inversa en un punto. Sea f : −→ C inyectiva,
derivable en z 0 con f (z 0 ) = 0. Supongamos además que f () es abierto y
que f −1 es continua en f (z 0 ). Entonces, f −1 es derivable en f (z 0 ) y
( f −1 ) f (z 0 ) =
1
.
f (z 0 )
Veamos, a modo de ejemplo, cómo este último resultado se prueba igual que
para funciones reales:
La derivabilidad de f en z 0 es equivalente a la continuidad en z 0 de la función
g : → C dada por
f (z) − f (z )
0
g(z) =
z − z0
f (z 0 )
si z ∈ \ {z 0 };
si z = z 0 .
Esta función permite escribir para todo z ∈ f (z) − f (z 0 ) = g(z)(z − z 0 ),
y como ahora g es continua en z 0 con g(z 0 ) = f (z 0 ) = 0, se verificará g(z) = 0
en un entorno de z 0 . Poniendo w0 = f (z 0 ), si tomamos w ∈ f () y z = f −1 (w),
w − w0 = g f −1 (w) f −1 (w) − f −1 (w0 ) ,
y, teniendo en cuenta que f −1 es continua en w0 , para w en un entorno reducido
de w0 ,
f −1 (w) − f −1 (w0 )
1
=
;
w − w0
g f −1 (w)
Funciones holomorfas
19
usando nuevamente la continuidad de f −1 en w0 y la de g en z 0 = f −1 (w0 ), vemos
que existe
1
f −1 (w) − f −1 (w0 )
lim
.
= w→w0
w − w0
f (z 0 )
Ejemplos de funciones derivables.
1. Las funciones constantes son derivables en todo punto de C con derivada 0.
La función identidad es derivable en todo C y su derivada es constantemente
1.
2. Por operaciones algebraicas con funciones derivables, todo polinomio es derivable en C y su derivada tiene la misma expresión que en R. Del mismo modo,
toda función racional, puesta en forma irreducible, es derivable en todo C
salvo los ceros del denominador.
1.3
CONDICIONES DE CAUCHY-RIEMANN
El problema que ahora vamos a tratar es exclusivo del contexto de C. Ya sabemos
que dar una función de variable compleja es dar dos funciones reales de dos variables
reales. Nos vamos a preguntar por la relación que existe entre la derivabilidad de
la función compleja y la diferenciabilidad de estas dos funciones.
En este apartado emplearemos sin más comentarios la notación:
f : −→ C, f (z) = u(z) + iv(z) = u(x, y) + iv(x, y),
z = x + i y ∈ , z 0 = x0 + i y0 ∈ .
Tenemos:
Teorema. f es derivable en z 0 si y solo si
i) u , v son diferenciables en (x0 , y0 ).
ii) Se cumplen las llamadas condiciones de Cauchy-Riemann:
∂u ∂v =
,
∂ x (x0 ,y0 )
∂ y (x0 ,y0 )
∂u ∂v =− .
∂ y (x0 ,y0 )
∂ x (x0 ,y0 )
Demostración. Antes de entrar en ella, modifiquemos un poco las notaciones.
Primero, es claro que f derivable en z 0 se puede escribir de la forma
lim
h→0
f (z 0 + h) − f (z 0 ) − h. f (z 0 )
= 0.
h
(1)
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Funciones holomorfas
Por otra parte, recordemos la noción de diferenciabilidad. u diferenciable en
(x0 , y0 ) significa que existe una forma lineal
L : R2 −→ R (k, l) −→ L(k, l) = ak + bl
tal que
u(x0 + k, y0 + l) − u(x0 , y0 ) − L(k, l)
= 0.
√
(k,l)→(0,0)
k2 + l2
lim
Recuérdese además que
∂u ∂u a=
, b=
.
∂ x (x0 ,y0 )
∂ y (x0 ,y0 )
⇒) Supongamos que f es derivable en z 0 y sea su derivada f (z 0 ) = α + iβ.
Escribimos h = k + il para el parámetro complejo h.
(1) implica que
f (z 0 + h) − f (z 0 ) − h. f (z 0 )
= 0.
lim
h→0
|h|
(2)
porque (2) se obtiene de (1) multiplicando por h/|h| que es una función acotada.
Ahora,
u(x0 + k, y0 + l) − u(x0 , y0 ) − (αk − βl)
f (z 0 + h) − f (z 0 ) − h. f (z 0 )
=
√
|h|
k2 + l2
v(x0 + k, y0 + l) − v(x0 , y0 ) − (βk + αl)
+i
√
k2 + l2
(3)
luego, las partes real e imaginaria de esta expresión tienen que tender a 0 cuando
h → 0 (o, lo que es lo mismo (k, l) → (0, 0)).
Pero esto quiere decir exactamente que u y v son diferenciables en (x0 , y0 )
con
∂v ∂u ∂v ∂u =α=
y
= −β = − .
∂ x (x0 ,y0 )
∂ y (x0 ,y0 )
∂ y (x0 ,y0 )
∂ x (x0 ,y0 )
⇐) Si u y v son diferenciables en (x0 , y0 ) y se cumplen las condiciones de CauchyRiemann, llamamos
∂v ∂u ∂v ∂u =α=
y
= −β = − ∂ x (x0 ,y0 )
∂ y (x0 ,y0 )
∂ y (x0 ,y0 )
∂ x (x0 ,y0 )
Funciones holomorfas
21
y se tiene que cumplir que la expresión en (3) tiende a 0.
Por tanto, se cumple (2) y de aquı́ (1) (otra vez porque (1) se obtiene de (2)
multiplicando por |h|/ h). Ası́, f es derivable en z 0 con derivada f (z 0 ) = α + iβ.
Observación.
De paso, hemos visto en la demostración que la derivada de f se puede obtener
a partir de las derivadas parciales de u y de v,
∂u ∂u ∂v ∂u f (z 0 ) =
−i =
−i ∂ x (x0 ,y0 )
∂ y (x0 ,y0 )
∂ y (x0 ,y0 )
∂ y (x0 ,y0 )
∂u ∂v ∂v ∂v =
+i =
+i .
∂ x (x0 ,y0 )
∂ x (x0 ,y0 )
∂ y (x0 ,y0 )
∂ x (x0 ,y0 )
Observación.
En el teorema anterior vemos que el concepto de derivabilidad compleja es
más exigente que el de diferenciabilidad real. Si miramos a f como función de R2
en R2 , ser diferenciable significa sin más que lo sean sus dos componentes u y v,
mientras que ser derivable exige, además de esto, que se cumplan las condiciones
sobre las derivadas parciales de u y v que establecen las ecuaciones de CauchyRiemann. Algunas de las consecuencias de este hecho se verán al final del capı́tulo.
NOTA.
En Levinson, N.; Redheffer, R.M.: Curso de variable compleja. Reverté,
Barcelona (1990), págs. 77 y ss. se da una interpretación fı́sica de las condiciones
de Cauchy-Riemann, en términos del estudio del flujo bidimensional de un fluido
ideal.
Para una interpretación geométrica de las condiciones de Cauchy-Riemann y
otras muchas consideraciones interesantes sobre la derivada y demás conceptos,
con un enfoque muy original, v. Needham, T.: Visual Complex Analysis. Clarendon
Press, Oxford (1997).
1.4
FUNCIONES HOLOMORFAS. FUNCIONES ARMÓNICAS.
Definición. Sea abierto de C. Sea f : −→ C. Diremos que f es holomorfa
en un punto z 0 ∈ (o también, que z 0 es un punto regular para f ) si f es derivable
en todos los puntos de un entorno de z 0 . Diremos que f es holomorfa en si f es
holomorfa en z 0 , ∀z 0 ∈ .
Claramente, f es holomorfa en ⇐⇒ f es derivable en todos los puntos de
(pues al ser abierto, es entorno de todos sus puntos).
22
Funciones holomorfas
Denotaremos
H() = { f : −→ C : f es holomorfa en }.
Por otra parte, recordemos el concepto de función armónica.
Definición. Sea abierto de R2 . Sea u : −→ R. Diremos que u es armónica
en si u es de clase C 2 (i.e., u tiene derivadas parciales hasta el orden 2 y son
continuas) y cumple
∂ 2u
∂ 2u
u = 2 + 2 = 0
∂x
∂y
en todo punto del abierto .
Gracias a las condiciones de Cauchy-Riemann tenemos:
Corolario. Si f ∈ H(), f = u + iv , y u , v son de clase C 2 , entonces u , v son
armónicas en .
Demostración. Por las condiciones de Cauchy-Riemann, se tiene
∂ 2u
∂ ∂v
∂ 2u
∂ ∂v
∂ ∂u
∂ ∂u
=
,
=−
=
=
∂x2
∂x ∂x
∂x ∂y
∂ y2
∂y ∂y
∂y ∂x
y, como u es de clase C 2 , las derivadas cruzadas coinciden y tenemos que u es
armónica. Análogamente se razona con v.
Observación.
Veremos más adelante que si f ∈ H() entonces f es indefinidamente derivable, lo cual implicará que la hipótesis C 2 del corolario es innecesaria.
Las condiciones de Cauchy-Riemann nos van a permitir obtener funciones
holomorfas a partir de funciones armónicas en abiertos de R2 . Empecemos con la
siguiente definición:
Definición. Dada u armónica en un abierto de R2 , diremos que v es armónica
conjugada de u en si f = u + iv es holomorfa en . O, equivalentemente, por
las condiciones de Cauchy-Riemann, v satisface las condiciones
vx = −u y , v y = u x
en todo punto de .
Es inmediato demostrar que una función armónica conjugada de otra es,
asimismo, armónica.
Funciones holomorfas
23
Ejemplo 1.
Tomemos la función
u(x, y) = e x cos y.
Es una comprobación inmediata que dicha función es armónica en todo R2 . Para
tratar de encontrar una armónica conjugada, planteamos las ecuaciones:
vx (x, y) = −u y (x, y) = e x sen y
v y (x, y) = u x (x, y) = e x cos y
Es fácil resolver este sistema, obteniendo que la función
v(x, y) = e x sen y
es solución en todo R2 . Por tanto, hemos obtenido que la función
f (z) = e x cos y + ie x sen y, z = x + i y
es una función holomorfa en todo C. Si utilizamos la notación polar, podemos
poner
f (z) = e x ei y
Con lo que esta función compleja parece tener derecho a llamarse la función
exponencial compleja. En efecto lo será, aunque la introduciremos de forma oficial
con las series de potencias.
Que hayamos podido resolver el sistema en el ejemplo anterior no ha sido
casual. En efecto, vamos a ver en el siguiente resultado que para ciertos abiertos
de C, una función armónica siempre tiene armónica conjugada.
Teorema. Sea abierto estrellado de R2 . Sea u armónica en . Entonces, existe
v armónica conjugada de u en .
Demostración. El resultado es una simple aplicación del lema de Poincaré para
abiertos estrellados. Recordemos que este resultado dice que toda forma diferencial
cerrada es exacta. Entonces, dada nuestra función u, consideramos la forma
ω(x, y) = −u y (x, y)d x + u x (x, y)dy
El ser u armónica implica que ω es una forma cerrada. Entonces, es exacta, lo
cual quiere decir (por definición) que existe una función v diferenciable tal que
vx = −u y y v y = u x . Luego v es armónica conjugada de u.
24
Funciones holomorfas
Observación.
Más adelante veremos que el teorema anterior es cierto en abiertos más generales (los simplemente conexos). Pero, con el siguiente ejemplo, vamos a demostrar
que no es ampliable a abiertos cualesquiera.
Ejemplo 2.
Sea el abierto = C \ {0} y sea la función
u(x, y) =
1
log(x 2 + y 2 )
2
que se comprueba sin dificultad que es armónica en .
Esta función u no tiene armónica conjugada en .
En efecto, si existiera v armónica conjugada de u en , consideramos la
función de variable real
g(t) = v(cos t, sen t), t ∈ [0, 2π ].
g es una función continua en [0, 2π ] (por composición de funciones continuas). La
derivamos por la regla de la cadena para funciones de varias variables y utilizamos
las ecuaciones de Cauchy-Riemann, obteniendo
g (t) = −vx (cos t, sen t) sen t + v y (cos t, sen t) cos t
= u y (cos t, sen t) sen t + u x (cos t, sen t) cos t = 1.
Esto implica que g(t) = t + C, lo cual no puede ser porque g(0) = g(2π ).
Sin embargo, en un abierto estrellado como C \ (−∞, 0], por el teorema ya
probado, la función anterior debe tener armónica conjugada o, lo que es lo mismo,
ser la parte real de una función holomorfa. Esta función holomorfa cuya parte real
es u veremos más adelante que es la función logaritmo principal.
4. Consecuencias de las condiciones de Cauchy-Riemann.
Las condiciones de Cauchy-Riemann nos permiten obtener con facilidad varios resultados para funciones holomorfas, apoyándonos en el conocimiento de
funciones reales de dos variables.
1. Sea una región (i.e., abierto y conexo) de C. Si f es holomorfa en y
f (z) = 0 para todo z ∈ , entonces f es constante.
Funciones holomorfas
25
En efecto, si f = u + iv, f = u x − iu y = v y + ivx = 0 en implica que
u x = u y = v y = vx = 0 y esto, ya sabemos que implica u, v constantes y,
por tanto f constante.
2. Sea región. Si f es holomorfa en y e f (z) = C (ó m f (z) = C ) para
todo z ∈ , entonces f es constante.
En efecto, si u = cte, entonces u x = u y = 0. Luego, por Cauchy-Riemann,
también será vx = v y = 0, lo que implica v =cte. Por tanto, f es constante.
Análogamente se razonarı́a si fuera constante la parte imaginaria.
3. Sea región. Si f es holomorfa en y | f (z)| = C para todo z ∈ , entonces
f es constante.
En efecto, la hipótesis es u 2 + v 2 = cte. Derivando en esta expresión con
respecto a x e y, tenemos
2uu x + 2vvx = 0, 2uu y + 2vv y = 0.
Si utilizamos las ecuaciones de Cauchy-Riemann tendremos
2uu x − 2vu y = 0, 2uu y + 2vu x = 0
Multiplicando la primera × u y la segunda × v, nos da
(u 2 + v 2 )u x = 0,
de donde u x = 0. De forma parecida se obtiene u y = vx = v y = 0. Por tanto,
u y v son constantes y en consecuencia lo es f .
Observación.
Nótese cómo las condiciones de Cauchy-Riemann impiden que una función
holomorfa pueda tomar valores de forma caprichosa. A poco que exista una ligazón
entre las partes real e imaginaria, ésta fuerza a que la función holomorfa sea constante.
Por ejemplo, resultados de esta naturaleza serı́an:
i) Si f = u + iv es holomorfa en región y u 3 = v entonces f ≡ C .
ii) Si f = u + iv es holomorfa en región y 5u + 2v = cte entonces f ≡ C .
Comprobamos ası́ que la derivabilidad en C es muy exigente, y no sólo a nivel
local.
26
1.5
Funciones holomorfas
APÉNDICE: CÁLCULO DE ARMÓNICAS CONJUGADAS
Y MÉTODO DE MILNE-THOMSON
La Teorı́a de funciones analı́ticas constituye un auténtico filón
de métodos de gran eficacia para resolver importantes problemas
de Electroestática, Conducción del calor, Difusión, Gravitación,
Elasticidad y Flujo de corrientes eléctricas. La gran potencia del
Análisis de variable compleja en tales campos se debe, principalmente, al hecho de que las partes real e imaginaria de una función
analı́tica satisfacen la ecuación de Laplace.
Este párrafo, tomado de Levinson–Redheffer, loc. cit., pág. 77, da idea de que la
búsqueda de funciones holomorfas con parte real (o parte imaginaria) conocidas
es una cuestión importante en muchas aplicaciones de la teorı́a de funciones de
variable compleja.
Hemos visto una solución de este problema mediante el cálculo de funciones
armónicas conjugadas siguiendo lo que, a falta de otro nombre mejor, podemos
denominar “el método real”: dada una función u armónica en un abierto conexo de R2 , nos son conocidas las derivadas parciales de su armónica conjugada v (¡si
existe!) a través de las condiciones de Cauchy-Riemann, de manera que el cálculo de
primitivas de funciones reales de una variable real [o, equivalentemente, el cálculo
de las funciones potenciales de la forma diferencial −u y (x, y) d x + u x (x, y) dy]
nos lleva, en casos sencillos al menos, a expresiones explı́citas para la(s) funcion(es)
v. Este procedimiento es fácilmente “automatizable”, y resulta cómodo llevarlo a
cabo mediante programas de cálculo simbólico como Mathematica.
Esquemáticamente, podrı́amos proceder ası́: dada u(x, y),
1.- calcular la derivada parcial de u respecto de x, u x (x, y);
2.- calcular la derivada parcial de u respecto de y, u y (x, y);
3.- “integrar −u y (x, y) respecto de x”, es decir, obtener una primitiva W (x, y)
de −u y (x, y) como función sólo de x;
4.- calcular su derivada parcial respecto de y, W y (x, y);
5.- calcular ϕ(y) = u x (x, y) − W y (x, y)
6.- “integrar ϕ(y) respecto de y”, es decir, obtener una primitiva (y) de ϕ(y);
7.- calcular W (x, y) − (y): esta será una función v(x, y) armónica conjugada
de u (y las demás diferirán de ella en la adición de una constante real).
Téngase en cuenta que Mathematica no proporciona “constantes de integración”.
Además, el número de funciones cuyas primitivas puede calcular “explı́citamente”
es limitado.
Funciones holomorfas
27
Hay también un “método complejo” para tratar el problema, el denominado
método de MILNE-THOMSON (ver Phillips, E.G.: Funciones de variable compleja. Dossat, Madrid (1963), p. 17–18, y Needham, T.: Visual Complex Analysis.
Clarendon Press, Oxford (1997), pp. 512–513), que, aunque precise ciertas condiciones restrictivas, proporciona directamente las funciones holomorfas f con parte
real prefijada u. Su justificación se basa en resultados importantes que probaremos
posteriormente: toda función holomorfa es analı́tica (y su derivada también), y dos
funciones analı́ticas en un abierto conexo son iguales si y sólo si coinciden en
un conjunto de puntos de que tenga al menos un punto de acumulación dentro
de ; por ejemplo, en un segmento abierto (principio de prolongación analı́tica).
Sea, pues, un abierto conexo de R2 que corte al eje real, con lo cual la
intersección de con R contendrá al menos un segmento abierto (¿por qué?)
Dada entonces una función u armónica en , notemos que la función g dada
en por f 1 (x + i y) = u x (x, y) − i u y (x, y) es holomorfa en (¿por qué?).
Supongamos que sabemos encontrar una función g holomorfa en tal que g (x) =
f 1 (x) = u x (x, 0)−i u y (x, 0) para todo x ≡ (x, 0) ∈ ∩R: entonces g (z) = f 1 (z)
por el principio de prolongación analı́tica, y la parte real de g difiere de u en una
constante real (¿por qué?). La función f = g + C, para una constante real C
adecuada, tiene como parte real u.
El método de Milne-Thompson es también fácilmente “traducible” a Mathematica. Pero tanto si se usa este método como el anterior, sigue siendo necesario
verificar los resultados obtenidos y valorar el alcance de los procedimientos empleados, muy especialmente debido a que los programas de cálculo simbólico, en
general, no tienen en cuenta el dominio de las funciones que intervienen, manipulando tan sólo “nombres” de funciones o “funciones dadas por fórmulas”, por
decirlo de alguna manera. Como ejemplo recomendamos vivamente al lector que
pruebe a aplicar los métodos descritos a la ‘malvada’ función u(x, y) = ln(x 2 + y 2 ),
definida y armónica en R2 \ {(0, 0)}. ¿Cuáles son sus armónicas conjugadas, según
Mathematica?
NOTA.
1.2.3.4.5.6.7.8.-
El método de Milne-Thompson puede esquematizarse ası́: dada u(x, y),
calcular la derivada parcial de u respecto de x, u x (x, y);
calcular la derivada parcial de u respecto de y, u y (x, y);
calcular u x (x, 0), es decir, “sustituir y por 0” en u x (x, y);
calcular u y (x, 0), es decir, “sustituir y por 0” en u y (x, y);
“sustituir x por z” en u x (x, 0) − i u y (x, 0) para obtener f 1 (z);
“integrar f 1 (z) respecto de z”, es decir, obtener una primitiva g(z) de f 1 (z);
calcular f (z) = g(z) − e g(x0 ) + u(x0 , 0) para cualquier x0 ∈ ∩ R.
Entonces f (z) + ic, c ∈ R, son las funciones holomorfas con parte real u;
si se busca una función armónica conjugada de u, hallar la parte imaginaria
de f (z).