Funciones hiperbólicas

Funciones hiperbólicas
Se llaman así a las funciones
e x − e−x
ex + e−x
Coseno hiperbólico: cosh( x ) =
2
2
x
−x
e −e
Tangente hiperbólica: tgh ( x ) = x
e + e− x
Existen muchas analogías entre estas funciones y las correspondientes funciones
trigonométricas. Lo mejor es verlo gráficamente:
Seno hiperbólico: senh ( x ) =
Las líneas trigonométricas se definen1 sobre la circunferencia de radio unidad: x 2 + y 2 = 1 y
las hiperbólicas sobre la hipérbola fundamental x 2 − y 2 = 1
Las líneas hiperbólicas se relacionan entre sí con expresiones parecidas a las que relacionan las
líneas trigonométricas: cosh 2 x − senh 2 x = 1 que se puede demostrar fácilmente utilizando las
definiciones de las funciones hiperbólicas:
2
2
 e x + e − x   e x − e − x  e 2 x + 2 e x e − x + e − 2 x e 2 x − 2e x e − x + e − 2 x 4e x e − x 4
 − 
 =
cosh x − senh x = 
−
=
= =1
4
4
4
4
 2   2 
De la misma forma podemos determinar las expresiones de las derivadas del seno y coseno
hiperbólico de f:
−f
f
−f
f
−f

 f
(senh( f ) )' =  e − e ' = f ' e + f ' e = f ' e + e = f ' cosh( f )
2
2
2


2
2
e f − e− f
+ e− f  f ' e f − f ' e− f
' =
= f'
= f ' senh ( f )
2
2
2


Ejercicio.- Puedes tratar de encontrar la expresión para la derivada de la tangente hiperbólica de f(x)

(cosh( f ) )' =  e
f
1
En el espacio euclídeo bidimensional son la circunferencia euclídea y la hipérbola euclídea. Sin
embargo, en el espacio hiperbólico de Minkowski, la hipérbola euclidiana es una circunferencia
(circunferencia minkowskiana).
Matemáticas II – 2º Bachillerato – David Miguel del Río – IES Europa (Móstoles)
1
La forma de las funciones hiperbólicas es:
Las funciones hiperbólicas también tienen funciones
recíprocas. Se llama argumento al ángulo sobre el que actúa la
función. Por lo tanto, la recíproca de la función seno
hiperbólico es la función argumento del seno hiperbólico, etc.
Por lo tanto, si y = senh( x ) ⇒ x = arg senh ( y )
∫
1
dx
1 + x2
e y − e− y
Si y = arg senh(x ) , entonces x = senh( y ) =
⇒ e y − e− y = 2 x ⇒ e y − 2 x − e− y = 0
2
y
Si multiplicamos la última expresión por e queda:
Vamos a tratar de resolver la integral:
e y (e y − 2 x − e − y ) = e y ·0 ⇒ e 2 y − 2 xe y − 1 = 0 ⇒ (e y ) − 2 x (e y ) − 1 = 0
Ecuación de segundo grado en e y , por lo que podemos aplicar la fórmula:
2
2x ± 4x2 + 4
= x ± x2 + 1
2
y
y como e > 0 únicamente es buena la solución suma:
(e )
y 2
− 2 x (e y ) − 1 = 0 ⇒ e y =
e y = x + x2 + 1
(
+ 1)
aplicando las propiedades de los logaritmos: e y = x + x 2 + 1 ⇒ y = ln x + x 2 + 1
(
Como teníamos que y = arg senh( x ) ⇒ y = arg senh( x ) = ln x + x 2
Vamos a derivar el argumento del seno hiperbólico:
((
))
)
 x2 + 1 + x 


1
1

=
(arg senh( x ) )' = ln x + x + 1 ' =
·1 +
·2 x  =
2
2
2
2

x + x +1  2 x +1  x + x +1 
x + 1 
1
1
por lo tanto, si (arg senh( x ) )' =
⇒∫
dx = arg senh( x ) + K , K ∈ ℜ
x2 + 1
x2 + 1
1
Por lo tanto: ∫
dx = arg senh( x ) + K = ln x + x 2 + 1 + K , K ∈ ℜ
2
x +1
2
1
(
1
x2 + 1
)
Bibliografía.1.- “CALCULUS. Cálculo infinitesimal” M. Spivak. Ed Reverté. 1985
2.http://www.javeriana.edu.co/Facultades/Ciencias/fnovoa/ponencias%20web/comunicaciones%20cor
tas/FUNC_HIPERB%20Carmen%20Pulido%20Yolima%20Alvarez.pdf
Matemáticas II – 2º Bachillerato – David Miguel del Río – IES Europa (Móstoles)
2