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II- Tipos de sólidos
a- Cristales moleculares
b- Cristales covalentes
c- Cristales iónicos
d- Cristales metálicos
Introduction to solid state physics, Charles kittel, Ed. John wiley & Sons, Inc.
Cristales moleculares
Fuerzas de interacción débiles:
Dipolo-Dipolo
moléculas con momento dipolar (H2O)
Van der Waals
moléculas sin momento dipolar (gases nobles)
Cristales de gases nobles
Aislantes
Débilmente ligados
Temperaturas de fusión muy bajas
¿Qué mantiene a los gases nobles juntos en el cristal?
Consideramos primero la interacción entre dos átomos de un gas noble
1
1- Potencial atractivo   6
r
(r=distancia entre átomos)
- Interacción de van der Waals o de dipolo inducido
- Aumenta a distancias pequeñas
Cristales moleculares
2- Potencial repulsivo 
1
r 12
- Principio de exclusión de Pauli
El solapamiento electrónico aumenta
la energía total del sistema
- Aumenta rápidamente a distancias pequeñas
1
r 12
1
 6
r
Cristales moleculares
Potencial total = Potencial de Lennard-Jones
  12   6 
V (r )  4      
 r   r  
La fuerza entre dos átomos viene
dada por:
dV (r )
F 
dr
Distancia de equilibrio (F=0)
1/
r0  2 6 
Profundidad del pozo de potencial
V (r0 )  
Cristales moleculares
La energía de cohesión del cristal vendrá dada por la suma de potenciales
Leonnard-Jones de todos los pares de átomos del cristal
 
1

V (r )  N (4 ) 
 j  rij
2

12


   

r
j

 ij




6




N: nº total de átomos
½: evita contar dos veces cada par de átomos
rij: es la distancia entre el átomo de referencia y cualquier otro átomo
rij se puede expresar en función de
la distancia al vecino más próximo R : rij  pij R
6
   12

  
V (r )  2 N  A12    A6   
 R  
  R 
N
Ak   pij
j 1
k
Cristales moleculares
Ejemplo: cálculo de Ak para una red cúbica fcc
R
√2R
√3R
2R
√6R
12
6
24
12
8
Contribución a ΣP-6
ΣP-6 (acumulado)
Contribución a ΣP-12
ΣP-12 (acumulado)
12.00
0.75
0.8888
0.1875
0.0370
12.00
12.75
13.6388
13.8263
13.8633
12.00
0.09375
0.03292
0.00293
0.00017
12.00
12.0937
12.1266
12.1296
12.1297
Valores correctos
A6=14.4539
A12=12.1318
 Sólo los átomos más cercanos contribuyen
significativamente a la energía de cohesión
Distancia de equilibrio
 dV (r ) 
R0  1.09
0


 dR  R R0
E  8.61N
Cristales covalentes
Cristales formados por átomos neutros
Fuertemente ligados (enlaces covalentes)
Energías de cohesión muy altas
1- Hibridación sp3
Enlaces tetraédricos, forman estructuras 3D
Ejemplo: Diamante
Nota: Si, Ge, Sn cristalizan
Igual que el diamante
Cristales covalentes
2- Hibridación sp2
Enlaces trigonales, forman estructuras 2D
Ejemplo: Arsénico, grafito
Enlaces lineales, forman cadenas
Ejemplo: Selenio, Teluro
Cristales iónicos
Cristales formados por una red de iones positivos y negativos
Interacción mediante fuerzas electrostáticas
Enlaces iónicos
Configuración electrónica de capa cerrada
Energía electrostática de interacción entre dos iones de carga q es igual a:
Eij 
qi q j
rij
q2

rij
Energía electrostática de interacción de un ion con todos los demás:
q2 N 1
E1   E1i    
R i 2 pi
i 2
N
Donde r1i=piR, siendo R la distancia al vecino más próximo
Cristales iónicos
Constante de Madelung:
N
1
  
pi
i 1
 depende de la geometría del cristal; la suma converge lentamente
Ejemplo: NaCl
Na
Cl

6 12
8
6 24 24 12 24
8
 1  1   1  1  1  1  1 
1
2
2 2 32
5 2 6 2 8 2 9 2 12 2
-2.49
2.13
-0.87
6.46
-3.34
-7.58
0.42
Valor exacto de  = 1.74756
-1.89
Cristales iónicos
Energía electrostática del cristal:
(2 N )q
Nq
Eel  

2R
R
2
Nº de iones, N moléculas
2
Debemos contar cada enlace iónico sólo una vez
Energía de repulsión del cristal:
Erep
NB
 n
R
Energía total:
E  Eel  Erep
 q 2 B 
 N  
 n 
R 
 R
Cristales iónicos
La energía por molécula
E  q 2 B 
  
 n 
N  R
R 
Podemos calcular B en función de la distancia mínima R0
 d (E / N ) 
0
 dR 
R R0
B
q 2 R0n 1
n
2
E

q
 
 1
  
1  
R0  n 
 N eq
Nota: n se determina experimentalmente
Cristales iónicos
Si sólo se tiene en cuenta la interacción repulsiva entre los vecinos más
próximos, el potencial repulsivo tiene la forma
 R
Eij   exp  
 
Y la energía total tiene la forma

 R  q 2 

E  N  z exp   


R




z es el numero de vecinos mas próximos de cada ion
Escribiendo  en función de R0, la energía total por molécula viene dada por
2

E

q

 
1  
  
R0  R0 
 N eq
Cristales metálicos
Cristales formados por una red de iones
Alta conductividad eléctrica. Un gran número de electrones se mueven
libremente por el metal
Metales alcalinos: conjunto ordenado de cargas positivas en el interior de
un mar uniforme de cargas negativas
Metales de transición: la presencia de electrones en la banda d aumenta la
energía de ligadura, debido tanto a enlaces covalentes
como a interacciones de van der Waals entre núcleos
 La mayoría cristaliza en estructuras hexagonal compacta (hcp), cúbica
centrada en las caras (fcc) y cúbica centrada en el cuerpo (bcc)