Guía de Sumatoria

UNIVERSIDAD NACIONAL ANDRES BELLO
AREA DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS
GUIA EJERCICIOS
NUMEROS NATURALES
Segundo Semestre 2002
1.1. EJERCICIOS RESUELTOS
50
P1.-
a) Calcular:
 (3k 2  2k  5)
k 1
40
b) Calcular
 (k  1)3  3(k  5)2  35 k 
k 10
 10 2

   (i  j  2i  23 j ) 
i 1  j 1

15
c) Calcular
n
d) Calcular el valor de
 k3
si se sabe que
k 1
1 20
  (n  k )  500 .
3 k 1
n
e) Calcular
 k  k! en función de n.
k 1
80
f) Calcular

1

.
k 1  k 
 
k 1
n
g) Calcular
 (k 2  1)  k!
k 1
Solución:
a)
50
50
50
50
k 1
k 1
k 1
k 1
 (3k 2  2k  5)  3 k 2  2 k   5  3 
 (k  1)
40
b)
3
5 k
 3(k  5)  3
2
k 10
   (k  1)   (k  5)   3
1
  k  3 k   3   
 3
k 11
k 5
k 10
40
3
35
2
40
50  51 101
50  51
 2
 5  50  131.075
6
2
40
40
k 10
k 10
2
40
5 k
k 10
k
5
k
k
9
 35 2 4 2  5  40  1 
1  

  k   k  3  k   k   3       
 k 1  3  k 1  3  
k 1
k 1
k 1
 k 1



41
3
10
3
9
  1  40

    1  1   1 
2
2
2
2

41  42 10  11
3
 35  36  71 4  5  9  5   3 


 3 

 
3 

1
1
4
4
6
6 

 3  1 3  1 
 3 
 3  

10
 10 2
 15  10 2
 15  2 10

i 3 j 
i
3j 
i



(
i

j

2
)

(
i

j

2

2
)

i
j

2
8j 
 





 i 1  j 1
 i 1  j 1

i 1  j 1
j 1





15
c)
 2 10  11 i
810  1  10  11 15  16  31
810  1
215  1


 i 
 2 8


 8
2
2
8  1 
2
6
8 1
2 1
i 1 
15
d)
20
1 20
1
1
20  21
  (n  k )  500   n k   n 
 500  n  50
3 k 1
21 i 1
21
2
502  512
k  k 
4
k 1
k 1
n
e)
50
3
3
.
n
n
n
n
k 1
k 1
k 1
k 1
 k  k!   (k  1  1)  k!  (k  1)  k!k!  (k  1)!k!  (n  1)!1
(TELESCÓPICA)

80
1


k 1  k 
 
f) Calcular
k 1
Solución:
1
1
k 1  k 

 80 
  k  1  k     k  1  k  k  1  k 
k 1
k 1 

80


K 1




2
K 
K 1  K
80
=
 K 1  K
K 1 K  1  K
80
 
  
=   K  1  K   80  1 
2
K 1 
80
18




(Telescopica)
K 1
 k 2  1k!
n
g)
Calcular
en función de
k 1
Solución :
 k
n
k 1
2

n


n



n
 1 k!   k 2  1  2 k!   k 2  1 k!2k!   k  1k  1!2k!  %
k 1
n
n
k 1
k 1
k 1
k 1
n
%   k (k  1)!(k  1)!2k!   k (k  1)!k!(k  1)  2k!   k (k  1)!k!(k  1  2)
n
n
k 1
k 1
k 1
  k (k  1)!k!(k  1)   k (k  1)!(k  1)k!  n(n  1)!(1  1)1! n(n  1)!
1.2 PROBLEMAS PROPUESTOS:
 (k  14)3  3  25k  2(k  5)2 
40
a)
Calcular
k 15
 22i  (i  2)3  n
n
b)
Calcular
en función de n
i 1
 k i
 k  2 
k 0  i0

n
c)
Calcular
c)
Calcular
en función de n
n
k
en función de n ( indicación : considerar la identidad
(k  1)2  k 2  2k  1
k 1
y aplicar telescópica).
n
e)
Calcular
 (kak )
en función de n y a (a

1)
k 1
20

1

  k (k  1) 
f)
Calcular
II)
2.1
PRINCIPIO DE INDUCCION MATEMATICA
PROBLEMAS RESUELTOS.
a)
Demostrar que
k 1 

n
k3 
k 1
n 2 (n  1) 2
,...,n  IN
4
12 (1  1) 2
 k  4  13  1
k 1
1
Solución :
n
Pd
k3 
k 1
Si n=1 pd :
3
n1
n 2 (n  1) 2
(n  1) 2 (n  2) 2
 k3 
4
4
k 1
En efecto :
n1
n
k 1
k 1
 k 3   k 3  (n  1)3 
n 2 (n  1) 2
n 2 (n  1) 2  4(n  1) 3
 (n  1) 3 
4
4
=
=
(n  1) 2 (n 2  4n  4)
4
(n  1) 2 (n  2) 2
4
QED.
n
b)
 kk! (n  1)!1,....,n  IN
Demostrar que
k 1
1
Solución:
Si n= 1 Pd:
1  1! 2!1
 kk! (1  1)!1
k 1
11
Pd
n
n1
k 1
K 1
 kk! (n  1)!1   kk! (n  2)!1
En efecto:
n1
n
k 1
k 1
 kk!  kk!(n  1)(n  1)! (n  1)!1  (n  1)(n  1)!
n
c)
Demostrar que
=
(n  1)!1  (n  1)  1
=
(n  1)!(n  2)  1  (n  2)!1
 n
  k   2 n  1,....,n  IN
k 1 

1
Solución:
QED.
Si n = 1 Pd:
1
  k   21  1
k 1 

1
    1  1  1
1
En efecto:
 n  1 n  n  1  n  1 n   n   n  
   
  
      
   1
k 1  k 
k 1  k   n  1
k 1  k   k  1 
n 1
 
n
n
 n n  n 
 n  n 1  n 
  1          1
      
k 1  k 
k 1  k  1
k 1  k 
k 0  k 
n
 n n  n  n  n
               1  2 n  1  2 n  1  1  1  1
k 1  k 
k 1  k   0   n 
 2  2 n  1  2 n 1  1
QED.
d)
Sea
a1 
en
ak / k  IN
conjunto
3
3
; ai 1 
4
4  ai
definido
n  IN . Demostrar que an 
recursivamente
por
3n 1  3
n  IN .
3n 1  1
311  3 6 3
Solución: Para n = 1  a1 
 
311  1 8 4
3n 1  3
3n  2  3
Por demostrar que: an 

a

n 1
3n 1  1
3n  2  1
En efecto:
an 1 
3

4  an
3
4
n 1
3 3
3n 1  1

n 1
4(3
3
3
3

 n 2
n 1
n 1
 1)  (3  3) 3  3  1 3  1
3n 1  1
3n 1  1
3n 1  1
3(3n 1  1) 3n  2  3
. QED.
 n 2
 n 2
3 1
3 1
1 2n (1)k 1
   k n  IN
k  n 1 k
k 1
2n
e)
Demostrar que
1 21  1k 1
  k
k 11 k
k 1
21
Solución:
Para n = 1 , pd
 1  1  1  1 ,....evidente
1  1


2
1
2
2
2
2
3
2n 2
1 2n  1k 1
1 2n 2  1k 1


  k
  k
k  n1 k
k 1
k  n 2 k
k 1
2n
PD
2n 2
2n
1
1
1
1
1

 k  k  n  1  2n  1  2n  2
k  n 2
k  n1
En efecto :
H.I.
2n

 1k 1 
k 1
2n
=

k 1
k
1
1  2n  1k 1
1
1
 1





2n  1  2n  2 n  1  k 1 k
2n  1 2n  2
 1k 1   12n2   12n3
k
2n  1
2n  2

2 n 2

k 1
 1k 1 ,....QED
k
f)
Demostrar que
2 4n  1
Para n= 1
Solución :
16  1
2
4n
2
41
 1 es divisible por 15
es divisible por 15
 es divisible por 15  2
1
En efecto:
n  IN
es divisible por 15
15
Pd
es divisible por 15
4( n1)
es divisible por 15
2 4( n1)  1  2 4n 4  1  2 4n  2 4  1  2 4n  16  1  2 4n (15  1)  1
 15  2 4n  2 4n  1
Divisible por 15
Divisible por 15 por hipótesis de inducción. QED
2.2 PROBLEMAS PROPUESTOS.
Demostrar por inducción :
n
a)
1
n
 k (k  1)  n  1 ,......n  IN
k 1
n
b)
 (k 2  1)k! n(n  1)!,.....n  IN
k 1
n
c)
k
1
 (k  1)!  1  (n  1)!,.......n  IN
k 1
 1
  1k 1k 2 
n1
n
d)
2
k 1
n(n  1),.....n  IN
e)
k 1
 1  2 n1  1 
,.......n  IN
  

k 
k 0  n  k 
k 1 
f)
 n  
(1  x)     x k ,.........n  IN ,....x  IR
k 0  k 

g)
x n  y n n1 n1k k
 x
 y ,......n  IN,.......x, y  IR,....x  y
x y
k 0
n 1
n
n
h) Si

u0  0
y

uk 1  (1  a)uk  ka,.......k  IN  {0}, a  1
entonces
n 2
i) 10
un 


1
na  1  (1  a) n ,....n  IN
a
 4  10n  4
es divisible por 9
n  IN
UNIDAD 3 TEOREMA DEL BINOMIO DE NEWTON.
3.1 Problemas Resueltos.
a)
En el desarrollo de
i) El cuarto término.
2 
 2
 3x 

x

20
, determinar:
10
ii) El coeficiente de x .
iii) El término independiente de x.
Solución:
20
k
20 20
 20
  20 k k 40 52 k
 2 
i)
   (3x 2 )20 k 
2 x
    3
 x
k 0 k 
k 0 k 
 20 20 k k 40 52 k
Se tiene, Tk 1  
representa un término cualquiera del
2 x
 k 3
 
 20 17 3 652
Luego, el cuarto término, T4 se obtiene para k = 3. Luego T4  
 3 3  2  x .
 
 20
ii) El coeficiente de
x10 es  320 k  2k para un valor de k,
k
2 
 2
 3x 

x

20
desarrollo.
tal
que
40  52 k  10  k  12 .
 20
 El coeficiente de x10 es  38  212 .
 12 
 20 20 k k
 3
 2 para un valor
k
 20
40  52 k  0  k  16 .  El término independiente de x es  34  216 .
 16 
iii) El término independiente de x es
b)
En el desarrollo de
1

x x  4 
x 

de k tal que
n
, encontrar el término independiente de x, si se sabe que
el coeficiente del tercer término es mayor que el coeficiente del segundo término en 44
unidades.
Solución:
n
n n
n n
  32 n  k
  32 n  112 k
1

4 k


   x
x
x


(
x
)

(
x
)






4
x 

k 0 k 
k 0 k 
 n
 n
  ; Coeficiente seg.término:  
 2
1
 n  n
n2  n
       44 
 n  44  n2  3n  88  0  n  11  n  8
2
1
2
   
Coeficiente tercer término:
Como
1

n  IN  n  11 . Luego  x x  4 
x 

11
 
k
El término independiente de x es
=
11 11
  332  112 k
1

   x
x
x





x4 

k o k 
donde k es tal que
Finalmente el término independiente de x es
c)
11
n
33 11
 k  0  k  3.
2
2
11! 8!9  10  11

 165 .
3!8! 1  2  3  8!
Determinar el valor de n para que los quintos términos de
1

a  3 
a 

sean iguales.
Solución:
1

a  3 
a 

4n
 2 1 
a  4 
a 


     4kn   a
 
 4n 
  k   a4n k  a3

k 0
4n
4n

 
 4n 
  k   a 2

k 0
4n
El quinto término de
El quinto término de
 2 1 
a  4 
a 

Luego
d)
 4n  4 n 16
   a
4
Demostrar que
4n
4n  4k
k 0
     4kn   a
 
4n  k
 a4
k
4n
8n  6 k
k 0
4n
1

a  3 
a 

k
es
 4n  4 n 16
   a
4
4n
es
 4n  8n  24
   a
4
=
 4n  8n  24
   a
 a4n 16  a8n  24  n  2 .
4
n
 n
  k   2n
k 0
n  IN

Solución:
a  bn   
n  nk k
  a  a
k 0 k 
n
Teorema de Binomio:
. Si a = b = 1:
4n
1

y  a2  4 
a 

4n
 n
 (1  1)    
k 0 k 
n
e)
n
En el desarrollo de
2 
n
1 

 ax  2 
bx 

n
 n
  k  . QED.
k 0

n
, determinar la condición que debe cumplir n para que
exista el término independiente de x.
Solución:
n
k
n n
n n
 
  n  k  k n  3k
1 

nk  1 
 ax  2       ax   2       a  b  x
bx 

 bx 
k 0 k 
k 0 k 
El término independiente de x se obtiene para aquel valor de k tal que
Como
f)
k  1,2,3,.........., la condición sobre n es que n debe ser múltiplo de 3.
Determinar el coeficiente de
Solución:
1  2 x 1  x 3 
9
9

x19 en el desarrollo de 1  2 x   1  x3

 1  2 x  9 k   19 k  x 3

k
k 0
9
k 0
9
--------------------------
3k  19  k 
Luego, el coeficiente de
2.-
--------------------------
19
 IN
3
x19
3k  1  19  k  6
es
 9
2 (1) 6  168
 6
PROBLEMAS PROPUESTOS.
Verifique si se cumplen las siguientes igualdades:
a)
n
 n   n   n  2
   2 
  
  

k 
 k 1  k  2   k 
b)
 n  3
 n  2
 n  1  n   n 

  3
  3
     

k
k
k
k
k

3





   

En cada caso, encuentre el valor de n que satisface la condición dada.
a)
 n
   55
 2
b)

9
 1  2 x  9 k  1k x 3k
9
k
k
  9 k  1 x 3k   2  1 x 3k 1
k 0
k 0  k 
9
3.2
1.-
n  3k  0  k 
 n   n  1
   

 2  3 
n
.
3
c)
 n  n  n
2        
 5  4  6
d)
n n
    
 5  4  1
2
n n
    
 5  4
3.-
Desarrolle:
a)
 a  b 7
1
c)  5 x  y 2 


b)
c)
d)
5.-
6.-
2
x
5
d)
4.- Determine:
a)
 2x  y 
b)

El cuarto término de:
x
y

1
3
 2 y 1

6
6
6
El término central de:
 3

 a 

 a

Los términos centrales de:
1 
 2
 6x  3 
3x 

El término central en:
1 

 x 
x 

15
2n
Determine el término independiente de x en el desarrollo de:
 2 1
 x  
x

9
a)
3n
b)
1 

 x 2 
x 

1

 x  
x

2n
c)
Determine:
15
en el desarrollo de
 2 3a 
 x 

x 

en el desarrollo de
1 
 4
 x  3 
x 

en el desarrollo de
1 
 2
 x 

2x 

en el desarrollo de
1 

2
 5x 

3x 

El coeficiente de x
18
El coeficiente de x
30
El coeficiente de x
38
d)
El coeficiente de x
17
e)
El coeficiente del término que está en la posición 28 en el desarrollo de :
a)
b)
c)
 3 1
 x  
x

52
18
25
34
UNIDAD 4: PROGRESIONES ARITMETICA Y GEOMETRICA
1.-
Determine:
a) a11 y S11 en la P.A. 2, 6, 10, ...
b) a9 y S7 en la P.A. –3, -1, 1, ....
c) a24 y S15 en la P.A.
3,
8 7
, , ......
3 3
2.-
El cuarto término de un P.A. es 21 y el décimo es 48. Calcule la diferencia y el tercer término.
3.-
La suma de tres números de una P.A. es 21 y el producto del primero por el tercero es 33 ¿Cuáles
son los números?
4.-
¿Cuántos términos de P.A. 6, 10, 14, .... deben considerarse para que sumen 1920?
5.-
Determine tres números de una P.A. tales que su suma sea 27 y su producto 288
6.-
Determine k de modo que 8k + 4, 6k – 2, 2k – 7 estén en P.A.
7.- Determine:
a)
a6 y S7 en la P.G.
1 1 2
, , , ......
2 3 9
b) a10 y S10 en la P.G. 2, 4, 6,....
c)
a5 y S6 en la P.G.
2,
2 2
, , ....
3 9
8.-
En una P.G. dados r = 2 y S7 = 635, Calcule a1 y a7
9.-
El tercer término de una P.G. es 3 y el séptimo término es
3
16
, calcule la razón y el primer término
de dicha P.G.
10.- Calcule la suma de los 2n primeros términos de la P.G.
3,  4,
16
.....
3
11.- Una persona arrienda una pieza en una pensión durante el año 1989. Acuerda con la dueña reajustar la
renta mes a mes en una cantidad fija. El arrendatario calcula que deberá pagar $105.840 anuales y
que en el mes de diciembre deberá cancelar $13.440.
a)
¿Cuál fue la renta de Enero?
b)
¿Cuál es el monto del reajuste acordado?
12.-Un individuo conviene en pagar una deuda de $36.000 en 40 pagos parciales anuales que forman una
P.A. Cuando 30 de los pagos están cubiertos, el duedor fallece dejando una tercera parte de la
deuda sin cancelar. Calcule el valor del primer pago.
13.-A un empleado una empresa A le ofrece una renta de $120.000 anuales con un aumento de $3.000
anuales, por un periodo de 15 años. Otra empresa B, por el mismo periodo de tiempo, le ofrece
$140.000 y anuales un aumento de $2.000 por año ¿Cuál ofrecimiento es más conveniente para el
empleado?
14.- Un cuerpo al caer recorre 4 metros en el primer segundo. Si en cada segundo la distancia recorrida
aumenta en 1,6 veces, de que altura cae este cuerpo se demoró 10 segundos en tocar el suelo
15.-Una pelota de hule cae de una altura de 20 metros y rebota ascendiendo cada vez hasta una cuarta
parte del ascenso anterior. Calcular la distancia total recorrida por la pelota cuando pega en el suelo
por sexta vez.