Método de la secante - DiDePA - Universidad Autónoma del Estado

Universidad Autónoma del Estado de México
Facultad de Contaduría y Administración
l
Método de la secante
El principal inconveniente del método de Newton estriba en que requiere conocer el
valor de la primera derivada de la función en el punto. Sin embargo, la forma funcional
de f(x) dificulta en ocasiones el cálculo de la derivada. En estos casos es más útil
emplear el método de la secante.
El método de la secante parte de dos puntos (y no sólo uno como el método de Newton)
y estima la tangente (es decir, la pendiente de la recta) por una aproximación de acuerdo
con la expresión:
Sustituyendo esta expresión en la ecuación del método de Newton, obtenemos la
expresión del método de la secante que nos proporciona el siguiente punto de iteración:
Representación geométrica del método de la secante.
En la siguiente iteración, emplearemos los puntos x1 y x2 para estimar un nuevo punto
más próximo a la raíz de acuerdo con la ecuación. En la figura se representa
geométricamente este método.
En general, el método de la secante presenta las mismas ventajas y limitaciones que el
método de Newton-Raphson.
Ing. David Valle Cruz
1
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Generalizando, tenemos que la derivada en cualquier punto, será aproximada por:
Sustituyendo en la fórmula de Newton-Raphson, obtenemos:
Que es la fórmula del método de la secante. Nótese que para poder calcular el valor de
, necesitamos conocer los dos valores anteriores
y
.
Ejemplo
Usar el método de la secante para aproximar la raíz de
con
,
y hasta que
Solución
Tenemos que
.
y
secante para calcular la aproximación
1
, comenzando
, que sustituimos en la fórmula de la
:
Con un error aproximado de:
Como todavía no se logra el objetivo, continuamos con el proceso. Resumimos los
resultados en la siguiente tabla:
Aprox. a la raíz
0
1
0.612699837
0.653442133
Ing. David Valle Cruz
Error
aprox.
100%
63.2%
6.23%
2
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0.652917265
l
0.08%
De lo cual concluímos que la aproximación a la raíz es:
Ejemplo
Usar el método de la secante para aproximar la raíz de
comenzando con
y
Solución
Tenemos los valores
, y hasta que
2
,
.
y
, que sustituímos en la
fórmula de la secante para obtener la aproximación
:
Con un error aproximado de:
Como todavía no se logra el objetivo, continuamos con el proceso. Resumimos los
resultados en la siguiente tabla:
Aprox. a la raíz
0
1
0.823315073
0.852330280
0.853169121
Error aprox.
100%
21.4%
3.40%
0.09%
De lo cual concluimos que la aproximación a la raíz es:
Ing. David Valle Cruz
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