Deber 11 ´Algebra Lineal

Deber 11
Álgebra Lineal
Prof. Dr. Joseph Páez Chávez
II Término 2009–2010
Problema 1. Para las matrices abajo indicadas, haga lo siguiente:
(i) Encuentre valores y espacios propios.
(ii) Encuentre las multiplicades aritméticas y geométricas de cada valor propio.
(iii) Determine cuántos vectores propios linealmente independientes tiene la matriz.
(iv) Verifique para cada matriz si se cumplen los Teoremas 5.2 y 5.3.


−8 0
0
•  0 3 −5 
0 1 −1


2 5
6
•  0 3 −5 
0 0
8


3 2 4
•  2 0 2 
4 2 3


−5 −5 −9
9 18 
•  8
−2 −3 −7
−1 2
Problema 2. Sea A =
. Sea p(t) el polinomio caracterı́stico de A. Demuestre
3 8
que1 p(A) = 0. Mediante esta relación calcule A−1 , y verifique que AA−1 = I.
1
Si p ∈ P2 , tal que p(t) = at2 + bt + c, entonces p(A) = aA2 + bA + cI.
1
Problema 3. Sean B1 , B2 bases de un espacio vectorial V y T : V → V un operador lineal.
Demuestre que [T ]B1 y [T ]B2 son semejantes. Qué se puede concluir acerca de los valores
propios de [T ]B1 , [T ]B2 y de T ?
Ayuda: Revise el Problema 5 del Deber 8.
Problema 4. Sea T : P2 → P2 una transformación lineal, tal que T (a + bt + ct2 ) =
(3a − 2b) + (3b − 2a)t + 5ct2 . Encuentre dos bases B1 , B2 de P2 , diferentes. Encuentre [T ]B1
y [T ]B2 . Calcule los valores y espacios propios de T mediante las matrices [T ]B1 y [T ]B2 .
Hubo alguna diferencia en el resultado? por qué?
Problema 5. Sean A, B ∈ Mn×n . Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas
o falsas:
(i) A es invertible, si y sólo si λ = 0 no es un valor propio de A.
C un valor propio de A. Entonces, mg(λ) ≥ 1.
Sea λA ∈ C un valor propio de A y λB ∈ C un valor propio de B. Entonces, λA + λB
(ii) Sea λ ∈
(iii)
es un valor propio de A + B.
(iv) Sea A invertible. Sea λ ∈
A−1 .
C un valor propio de A.
Entonces,
1
λ
es un valor propio de
(v) La semejanza de matrices constituye una relación de equivalencia2 .
(vi) Sean pA (t), pB (t) polinomios caracterı́sticos de A, B, respectivamente. Si pA (t) =
pB (t), entonces A = B.
(vii) Sean pA (t), pB (t) polinomios caracterı́sticos de A, B, respectivamente. Si pA (t) =
pB (t), entonces A es semejante a B.
(viii) Sean λ1 , λ2 , . . . , λn los valores propios de A. Entonces, det(A) = λ1 λ2 · · · λn .
2
Es decir que cumple para cuaquier A, B, C ∈ Mn×n :
(a) A es semajante a A.
(b) Si A es semejante a B, entonces B es semejante a A.
(c) Si A es semejante a B y B es semejante a C, entonces A es semejante a C.
2