Ö Ó× ÔÖÓ Ð

Estadística
EIAE (UPM)
Ejeriios de
probadilidad
Estadística– p. 1
Ejercicio 1
Estadística
EIAE (UPM)
Caballero de Merè: Deseo averiguar si es o no ventajoso jugar apostando
cantidades iguales a que, por lo menos, aparece un 6 en cuatro tiradas de un
dado.
S = obtener al menos un 6 en 4 tiradas
S̄ = no obtener ningún 6 en 4 tiradas
4
5 5 5 5
5
P (S) = 1 − P S̄ = 1 − × × × = 1 −
≃ 0.518
6 6 6 6
6
“Es ligeramente mejor apostar a que sí sale al menos un 6 en cuatro
tiradas”
Estadística– p. 2
Ejercicio 2 (Paradoja de De Merè)
Estadística
EIAE (UPM)
Demostrar que es más probable obtener por lo menos un as con cuatro dados, que por lo menos un as doble en 24 tiradas de dos dados.
(a) Un dado y 4 tiradas
4
5
≃ 0.518
P (al menos un as) = 1 − P (ningún as) = 1 −
6
(b) Dos dados y 24 tiradas
P (al menos un as doble) = 1 − P (ningún as doble)
P (no as doble en un lanz.) = P ({no as} y {no as}) + 2P ({as} y {no as}) =
=
15
35
55
+2
=
66
66
36
P (al menos un as doble) = 1 − P (ningún as doble) = 1 −
35
36
24
≃ 0.491
Estadística– p. 3
Estadística
Ejercicio 3
EIAE (UPM)
Dos jugadores igualmente hábiles, A y B, apuestan 1000e en una
partida a los chinos a tres juegos ganados. ¿Cómo deben repartirse los 2000e de la mesa si tienen que interrumpir la partida cuando
llevan: A dos juegos ganados y B uno?
P (A gane un juego) = P (B gane un juego) = p = 1/2
Ak ≡ A gana el juego k
Bk ≡ B gana el juego k
3
1 11
=
P (A gane la partida) = P (A4 ) + P (B4 ∩ A5 ) = +
2 22
4
11
1
P (B gane la partida) = P (B4 ∩ B5 ) =
=
22
4
Reparto:


 A −→

 B −→
3
× 2000 = 1500e
4
1
× 2000 = 500e
4
Estadística– p. 4
Ejercicio 4
Estadística
EIAE (UPM)
Una antena de telefonía móvil está situada en una zona con muchas
interferencias, de forma que es capaz de enviar un mensaje SMS
correctamente con una probablidad 0.70. Si la antena envía 10 mensajes, calcular la probabilidad de que
a) Lleguen todos los mensajes
b) No llegue ningún mensaje
c) Llegue un mensaje
d) Lleguen cuatro mensajes
e) Llegue al menos un mensaje
f) Lleguen al menos ocho mensajes
Estadística– p. 5
Ejercicio 4
Estadística
EIAE (UPM)
Una antena de telefonía móvil está situada en una zona con muchas
interferencias, de forma que es capaz de enviar un mensaje SMS
correctamente con una probablidad 0.70. Si la antena envía 10 mensajes, calcular la probabilidad de que
a) Lleguen todos los mensajes
Sk = {el mensaje k llega correctamente} −→ P (Sk ) = p = 0.70
S k = {el mensaje k no llega correctamente} −→ P S k = 1 − p = 0.30
P (lleguen todos los mensajes) =
= P (llegue el primero y llegue el segundo y . . . y llegue el décimo) =
= P (S1 ∩ S2 ∩ · · · ∩ S10 ) =
= P (S1 ) × P (S2 ) × · · · × P (S10 ) = p10 ≃ 0.0282
Estadística– p. 6
Ejercicio 4
Estadística
EIAE (UPM)
Una antena de telefonía móvil está situada en una zona con muchas
interferencias, de forma que es capaz de enviar un mensaje SMS
correctamente con una probablidad 0.70. Si la antena envía 10 mensajes, calcular la probabilidad de que
b) No llegue ningún mensaje
Sk = {el mensaje k llega correctamente} −→ P (Sk ) = p = 0.70
S k = {el mensaje k no llega correctamente} −→ P S k = 1 − p = 0.30
P (No llegue ningún mensajes) =
= P (No llegue el primero y No llegue el segundo y . . . y No llegue el décimo) =
= P S 1 ∩ S 2 ∩ · · · ∩ S 10 =
= P S 1 × P S 2 × · · · × P S 10 = (1 − p)10 ≃ 5.9049 × 10−6 Estadística– p. 7
Ejercicio 4
Estadística
EIAE (UPM)
Una antena de telefonía móvil está situada en una zona con muchas
interferencias, de forma que es capaz de enviar un mensaje SMS
correctamente con una probablidad 0.70. Si la antena envía 10 mensajes, calcular la probabilidad de que
c) Llegue un mensaje
Sk = {el mensaje k llega correctamente} −→ P (Sk ) = p = 0.70
S k = {el mensaje k no llega correctamente} −→ P S k = 1 − p = 0.30
Tk = {llega el mensaje k correctamente y los demás no llegan}
P (Llegue un mensaje) = P(llegue el primer mensaje y no lleguen los demás o
llegue el segundo y no lleguen los demás o . . . o llegue el décimo y no lleguen los demás )
= P (T1 ∪ T2 ∪ · · · ∪ T10 ) = P (T1 ) + P (T2 ) + · · · + P (T10 ) =
= p (1 − p)9 + . . . + p (1 − p)9 = 10 × p (1 − p)9 ≃ 1.37781 × 10−4
Estadística– p. 8
=
Estadística
Ejercicio 4
EIAE (UPM)
Una antena de telefonía móvil está situada en una zona con muchas
interferencias, de forma que es capaz de enviar un mensaje SMS
correctamente con una probablidad 0.70. Si la antena envía 10 mensajes, calcular la probabilidad de que
c) Llegue un mensaje
Caso particular
P (Llegue un mensaje) =
= P (llegue el primer mensaje y no lleguen los demás) =
= p (1 − p)9
Generalizo
10 × p (1 − p)9 ≃ 1.37781 × 10−4
Estadística– p. 9
Estadística
Ejercicio 4
EIAE (UPM)
Una antena de telefonía móvil está situada en una zona con muchas
interferencias, de forma que es capaz de enviar un mensaje SMS
correctamente con una probablidad 0.70. Si la antena envía 10 mensajes, calcular la probabilidad de que
d) Lleguen cuatro mensaje
Caso particular
P (Lleguen cuatro mensajes) =
= P (lleguen los cuatro primeros mensajes y no lleguen los demás) =
= p4 (1 − p)6
Generalizo
10
4
× p4 (1 − p)6 ≃ 0.0367
Estadística– p. 10
Ejercicio 4
Estadística
EIAE (UPM)
Una antena de telefonía móvil está situada en una zona con muchas
interferencias, de forma que es capaz de enviar un mensaje SMS
correctamente con una probablidad 0.70. Si la antena envía 10 mensajes, calcular la probabilidad de que
e) Llegue al menos un mensaje
Sk = {el mensaje k llega correctamente} −→ P (Sk ) = p = 0.70
S k = {el mensaje k no llega correctamente} −→ P S k = 1 − p = 0.30
Rk = {llegan k mensajes correctamente y 10 − k no llegan}
P (Llegue al menos un mensaje) =
= P (llegue un mensaje o lleguen dos mensajes o . . . o lleguen diez mensajes) =
= P (R1 ∪ R2 ∪ · · · ∪ R10 ) = 1 − P (No llegue ningún un mensaje) =
= 1 − P (R0 ) = 1 − (1 − p)10 = 1 − 5.9049 × 10−6 = 0.9999941
Estadística– p. 11
Estadística
Ejercicio 4
EIAE (UPM)
Una antena de telefonía móvil está situada en una zona con muchas
interferencias, de forma que es capaz de enviar un mensaje SMS
correctamente con una probablidad 0.70. Si la antena envía 10 mensajes, calcular la probabilidad de que
f) Lleguen al menos ocho mensaje
Sk = {el mensaje k llega correctamente} −→ P (Sk ) = p = 0.70
S k = {el mensaje k no llega correctamente} −→ P S k = 1 − p = 0.30
Rk = {llegan k mensajes correctamente y 10 − k no llegan}
P (Lleguen al menos 8 mensajes) =
= P (lleguen 8 mensajes o lleguen 9 mensajes olleguen 10 mensajes) =
= P (R8 ∪ R9 ∪ R10 ) =
=
10
8
!
p8 (1 − p)2 +
10
9
!
p9 (1 − p) +
10
10
!
p10 = 1 − 5.9049 × 10−6 ≃ 0.3828
Estadística– p. 12
Ejercicio 5
Estadística
EIAE (UPM)
La urna U1 contiene 4 bolas rojas y 2 azules. La urna U2 contiene 6 bolas rojas y 6 bolas azules.
(a) Se elige una urna al azar y se saca una bola. Probabilidad
de que sea azul.
(b) Se elige una urna al azar y se saca una bola, que resulta ser
azul. Probabilidad de que la bola haya salido de la urna U2 .
(c) Se saca una bola de la urna U1 y se pasa a la urna U2 . A
continuación se saca una bola de la urna U2 . Probabilidad
de que sea azul.
Estadística– p. 13
Estadística
Ejercicio 5
EIAE (UPM)
La urna U1 contiene 4 bolas rojas y 2 azules. La urna U2 contiene 6 bolas rojas y 6 bolas azules.
(a) Se elige una urna al azar y se saca una bola. Probabilidad
de que sea azul.
4
2
U1
P (azul) = P
azul|U
1
6
6
U2
P (U1 ) + P
21
6 1
5
=
+
=
6 2 12 2
12
azul|U
2
P (U2 ) =
Estadística– p. 14
Estadística
Ejercicio 5
EIAE (UPM)
La urna U1 contiene 4 bolas rojas y 2 azules. La urna U2 contiene 6 bolas rojas y 6 bolas azules.
(b) Se elige una urna al azar y se saca una bola, que resulta ser
azul. Probabilidad de que la bola haya salido de la urna U2 .
4
2
U1
6
6
U2
P azul|U2 P (U2 )
=
P (U2 |azul ) =
P azul|U1 P (U1 ) + P azul|U2 P (U2 )
=
6 1
3
12 2
=
21
6 1
5
+
6 2 12 2
Estadística– p. 15
Estadística
Ejercicio 5
EIAE (UPM)
La urna U1 contiene 4 bolas rojas y 2 azules. La urna U2 contiene 6 bolas rojas y 6 bolas azules.
(c) Se saca una bola de la urna U1 y se pasa a la urna U2 . A
continuación se saca una bola de la urna U2 . Probabilidad
de que sea azul.
4
2
U1
P (azul) = P
+ P
6
6
U2
azul|bola pasada roja
azul|bola pasada azul
× P (bola pasada roja)+
× P (bola pasada azul) =
4
7
2
19
6
× +
× =
=
13 6 13 6
39
Estadística– p. 16
Ejercicio 6
Estadística
EIAE (UPM)
De una baraja francesa (52 cartas) se reparten 5 cartas a 4 jugadores
A, B, C y D en ese mismo orden.
(a) Probabilidad de que el jugador A tenga 4 ases.
(b) Probabilidad de que el jugador B tenga 4 ases.
(c) Probabilidad de que el jugador C tenga 4 ases.
(d) Probabilidad de que el jugador D tenga 4 ases.
Estadística– p. 17
Ejercicio 6
Estadística
EIAE (UPM)
De una baraja francesa (52 cartas) se reparten 5 cartas a 4 jugadores
A, B, C y D en ese mismo orden.
(a) Probabilidad de que el jugador A tenga 4 ases.
4
48
4
1
5!
48
P (A4 ) = =
=
52!
52 · 51 · 50 · 49
52
5! 47!
5
Estadística– p. 18
Ejercicio 6
Estadística
EIAE (UPM)
De una baraja francesa (52 cartas) se reparten 5 cartas a 4 jugadores
A, B, C y D en ese mismo orden.
(b) Probabilidad de que el jugador B tenga 4 ases.
4
48
43
4
1
5
P (B4 ) = P B4 P (A0 ) = × =
A0
47
52
5
5
48!
43
5!
5!
43!
=
=
47! 52!
52 · 51 · 50 · 49
5! 42! 5! 47!
Estadística– p. 19
Ejercicio 6
Estadística
EIAE (UPM)
De una baraja francesa (52 cartas) se reparten 5 cartas a 4 jugadores
A, B, C y D en ese mismo orden.
(c) Probabilidad de que el jugador C tenga 4 ases.
48
43
4
38
5
5
4
1
P (C4 ) = P C4 P (A0 ∩ B0 ) = × =
A0 ∩B0
42
52
47
5
5
5
48! 43!
38
5!
5! 43! 5! 38! =
=
42! 52! 47!
52 · 51 · 50 · 49
5! 37! 5! 47! 5! 42!
Estadística– p. 20
Estadística
Ejercicio 6
EIAE (UPM)
De una baraja francesa (52 cartas) se reparten 5 cartas a 4 jugadores
A, B, C y D en ese mismo orden.
(d) Probabilidad de que el jugador D tenga 4 ases.
P (D4 ) = P
=
=
D4 A0 ∩B0 ∩C0
P (A0 ∩ B0 ∩ C0 ) =
48
43
4
38
33
5
5
4
5
1
× =
37
52
47
42
5
5
5
5
48! 43! 38!
33
5!
5! 43! 5! 38! 5! 33! =
37! 52! 47! 42!
52 · 51 · 50 · 49
5! 32! 5! 47! 5! 42! 5! 37!
Estadística– p. 21
Ejercicio 7
Estadística
EIAE (UPM)
En una ciudad el 55 % de la población consume aceite de tipo
A, el 30 % consume aceite tipo B y el 20 % consume de ambos.
Se escoge a una persona al azar.
(a) Si la persona consume aceite tipo A. ¿Cuál es la probabilidad de que consuma también aceite tipo B?
(b) Si la persona consume aceite tipo B. ¿Cuál es la probabilidad de que no consuma de tipo A?
(c) ¿Cuál es la probabilidad de que no consuma de ninguno de
los 2 tipos?
Estadística– p. 22
Estadística
Ejercicio 7
EIAE (UPM)
En una ciudad el 55 % de la población consume aceite de tipo
A, el 30 % consume aceite tipo B y el 20 % consume de ambos.
Se escoge a una persona al azar.
(a) Si la persona consume aceite tipo A. ¿Cuál es la probabilidad de que consuma también aceite tipo B?
E
E
35%
A
35%
A
35%
35%
B
20%
B
20%
10%
10%
P (tipo B ∩ tipo A)
20/100
20
P tipo B|tipo A =
=
=
P (tipo A)
55/100
55
Estadística– p. 23
Estadística
Ejercicio 7
EIAE (UPM)
En una ciudad el 55 % de la población consume aceite de tipo
A, el 30 % consume aceite tipo B y el 20 % consume de ambos.
Se escoge a una persona al azar.
(b) Si la persona consume aceite tipo B. ¿Cuál es la probabilidad de que no consuma de tipo A?
E
E
E
35%
A
35%
A
35%
B
20%
35%
B
20%
10%
35%
A
35%
B
20%
10%
10%
P (no tipo A ∩ tipo B)
10/100
1
=
=
P no tipo A|tipo B =
P (tipo B)
30/100
3
Estadística– p. 24
Estadística
Ejercicio 7
EIAE (UPM)
En una ciudad el 55 % de la población consume aceite de tipo
A, el 30 % consume aceite tipo B y el 20 % consume de ambos.
Se escoge a una persona al azar.
(c) ¿Cuál es la probabilidad de que no consuma de ninguno de
los 2 tipos?
E
E
E
35%
A
35%
A
35%
B
20%
35%
B
20%
10%
35%
A
35%
B
20%
10%
10%
35
P (no tipo A ∩ no tipo B) =
100
Estadística– p. 25
Ejercicio 8
Estadística
EIAE (UPM)
Una alergia afecta al 10 % de la población. Hay un test para comprobar si se es alérgico cuya sensibilidad (tasa de aciertos sobre alérgicos) es 0.6 y su especifidad (tasa de aciertos sobre no alérgicos) es
0.99.
(a) Calcular el índice predictivo positivo (probabilidad de ser alérgico,
si el resultado del test ha sido positivo)
(b) Calcular el índice predictivo negativo (probabilidad de no ser alérgico, si el test ha sido negativo).
Estadística– p. 26
Estadística
Ejercicio 8
EIAE (UPM)
Una alergia afecta al 10 % de la población. Hay un test para comprobar si se es alérgico cuya sensibilidad (tasa de aciertos sobre alérgicos) es 0.6 y su especifidad (tasa de aciertos sobre no alérgicos) es
0.99.
0.10
0.60
Alérgico
0.40
Test positivo
Test negativo
Individuo
0.90
0.01
No alérgico
0.99
Test positivo
Test negativo
(a) Calcular el índice predictivo positivo (probabilidad de ser alérgico,
si el resultado del test ha sido positivo)
P test positivo|alérgico P (alérgico)
=
P alérgico|test positivo
=
P (test positivo)
=
0.060
0.60 × 0.10
=
≃ 0.869
0.60 × 0.10 + 0.01 × 0.90
0.069
Estadística– p. 27
Estadística
Ejercicio 8
EIAE (UPM)
Una alergia afecta al 10 % de la población. Hay un test para comprobar si se es alérgico cuya sensibilidad (tasa de aciertos sobre alérgicos) es 0.6 y su especifidad (tasa de aciertos sobre no alérgicos) es
0.99.
0.10
0.60
Alérgico
0.40
Test positivo
Test negativo
Individuo
0.90
0.01
No alérgico
0.99
Test positivo
Test negativo
(b) Calcular el índice predictivo negativo (probabilidad de no ser alérgico, si el test ha sido negativo).
P test negativo|no alérgico P (no alérgico)
=
P no alérgico|test negativo
=
P (test negativo)
=
0.891
0.99 × 0.90
=
≃ 0.957
0.40 × 0.10 + 0.99 × 0.90
0.931
Estadística– p. 28
Ejercicio 9
Estadística
EIAE (UPM)
El dado A tiene 4 caras rojas y 2 blancas. El dado B tiene 2 caras
rojas y 4 blancas. Se lanza una moneda una sola vez: si sale cara, se
juega sólo con el dado A y si sale cruz, se juega sólo con el dado B.
(a) Probabilidad de que salga rojo tras un lanzamiento del dado.
(b) Si en los dos primeros lanzamientos del dado ha salido rojo, ¿cuál
es la probabilidad de que en el tercer lanzamiento también salga
rojo?
(c) Si en los n primeros lanzamientos del dado ha salido rojo, ¿cuál
es la probabilidad de que se esté usando el dado A?
Estadística– p. 29
Ejercicio 9
Estadística
EIAE (UPM)
dado A ≡ 4 caras rojas y 2 blancas
dado B ≡ 2 caras rojas y 4 blancas
(a) Probabilidad de que salga rojo tras un lanzamiento del dado.
P (R) = P (R|dado A ) × P (dado A) + P (R|dado B ) × P (dado B ) =
=
4 1 2 1
1
× + × =
6 2 6 2
2
Estadística– p. 30
Estadística
Ejercicio 9
EIAE (UPM)
dado A ≡ 4 caras rojas y 2 blancas
dado B ≡ 2 caras rojas y 4 blancas
(b) Si en los dos primeros lanzamientos del dado ha salido rojo, probabilidad de que en el tercer lanzamiento también salga rojo.
Si ≡ el lanzamiento i sale rojo
P (S3 ∩ S1 ∩ S2 )
P
=
=
S1 ∩S2
P (S1 ∩ S2 )
P S3 ∩ S1 ∩ S2 × P (A) + P
A
=
P S1 ∩ S2 × P (A) + P
S3 A
3
4
6
= 2
4
6
1
2
1
2
3
2
+
6
2
2
+
6
1
2
S3 ∩ S1 ∩
S1 ∩
1 43 + 23
3
=
=
2
2
64 +2
5
1
2
S2 B
S2 B
× P (B)
=
× P (B)
Estadística– p. 31
Estadística
Ejercicio 9
EIAE (UPM)
dado A ≡ 4 caras rojas y 2 blancas
dado B ≡ 2 caras rojas y 4 blancas
(b) Si en los 100 primeros lanzamientos del dado ha salido rojo, probabilidad de que en el 101 lanzamiento también salga rojo.
Si ≡ el lanzamiento i sale rojo
P
P
S101 S1 ∩···∩S100
=
P
101
\
i=1
100
\
i=1
..
.
Si
Si
!
!=
1 2102 + 2
1 2 4
1 4101 + 2101
=
≈
2
=
=
P
R
=
100
100
100
A
64 +2
62 +1
6
6
Estadística– p. 32
Estadística
Ejercicio 9
EIAE (UPM)
dado A ≡ 4 caras rojas y 2 blancas
dado B ≡ 2 caras rojas y 4 blancas
(c) Si en los n primeros lanzamientos del dado ha salido rojo, probabilidad de que se esté usando el dado A.
Sn ≡ los n primeros lanzamientos sale rojo
P Sn × P (A)
A
= =
P A
Sn
P Sn × P (A) + P Sn × P (B)
A
B
n
4
1
2n
4n
6
2
n = n
= n
= n
n
4 +2
2 +1
1
1
4
2
+
6
2
6
2
Estadística– p. 33