MODELO DE FLUJO TRIDIMENSIONAL

MODELO DE FLUJO TRIDIMENSIONAL
El movimiento tridimensional de agua
subterránea de densidad constante a través
de un medio poroso heterogéneo y
anisotrópico es descrito por la siguiente
ecuación diferencial parcial
∂h ∂ 
∂h ∂ 
∂h
∂h
∂ 
 K X
 +
 K Y
 +
 K Z
 = S s
−R
∂x
∂ x ∂ y ∂ y ∂ z
∂z
∂t
DESCOMPOSICIÓN DEL DOMINIO EN CELDAS
Figura 1.1
ECUACIÓN POR DIFERENCIAS FINITAS
De acuerdo con la ecuación de continuidad, expresando el balance de flujo en
una celda, la suma de todos los flujos de entrada y salida a cada celda debe ser
igual a la razón de cambio en el almacenamiento de esa misma celda [Todd.
1980], o bien:
∆h
(1.1)
Q =S
∆V
∑
i
s
∆t
donde:
Qi
= razón de flujo hacia la celda, unidad de volumen por unidad de
tiempo[L-3 T-1 ]
Ss
= almacenamiento específico por unidad de volumen, por cambio de la
∆V
∆t
∆h
carga piezométrica. [L-1 ]
= volumen de la celda [L3 ]
= intervalo de tiempo [T]
= cambio de la carga piezométrica [L]
CELDAS ADYACENTES
Figura 1.2
LEY DE DARCY Y CONDUCTANCIA
Para las celdas adyacentes el cálculo de los caudales de entrada a la celda i,j,k
y con base en la ley de Darcy, es lo siguiente (figura 1.2):
De i, j-1, k
qi , j − 1 2,k = KRi , j − 12 ,k ∆ci ∆vk
hi , j −1,k − hi , j ,k
(1.2)
∆r j − 1 2
donde: KRi,j-1/2,k es la conductividad hidráulica a lo largo de i entre los dos nodos
en cuestión [LT-1 ]. El índice -1/2 significa el espacio entre los dos nodo.
De i, j+1, k
qi , j + 12, k = KRi , j + 12, k ∆ci ∆vk
De i+1, j, k
qi + 12, j , k = KCi + 12, j , k ∆rj ∆vk
De i-1, j, k
qi − 12, j , k = KCi − 12, j , k ∆rj ∆vk
De i, j, k+1
qi , j , k + 12 = KVi , j , k + 12 ∆rj ∆ci
De i,j, k-1
qi , j , k − 12 = KVi , j , k − 12 ∆rj ∆ci
hi , j +1,k − hi , j , k
∆r j + 1 2
hi +1, j , k − hi , j , k
∆ci + 12
hi −1, j , k − hi , j , k
∆ci − 12
hi , j , k +1 − hi , j , k
∆vk + 12
hi , j , k −1 − hi , j , k
∆vk − 12
(1.3)
(1.4 )
(1.5)
(1.6 )
(1.7 )
LEY DE DARCY Y CONDUCTANCIA
Llamando conductancia al producto de la conductividad hidráulica por el
área, dividida entre la separación de nodos:
CRi , j − 12 , k =
KRi , j − 12 , k ∆ci ∆vk
∆rj − 12
[L T ]
2
(1.8)
−1
Sustituyendo (1.8) en (1.2) a (1.7) se obtiene:
qi , j − 12,k = CRi , j − 12,k ( hi , j −1,k − hi , j ,k )
qi , j + 12,k = CRi , j + 12, k ( hi , j +1, k − hi , j ,k )
qi − 12, j ,k = CCi − 12, j ,k ( hi −1, j ,k − hi , j , k )
qi + 12, j ,k = CCi + 12, j ,k ( hi +1, j ,k − hi , j ,k )
qi , j ,k − 12 = CVi , j ,k − 12 ( hi , j ,k −1 − hi , j ,k )
qi , j ,k + 12 = CVi , j ,k + 12 ( hi , j , k +1 − hi , j ,k )
(1.9 )
(1.10 )
(1.11)
(1.12 )
(1.13)
(1.14 )
FUENTES EXTERNAS
• Las entradas a la celda i, j, k, provenientes de otras fuentes se pueden
hacer depender de la carga piezométrica de la celda que las recibe. La
expresión general puede ser:
ai , j ,k ,n = pi , j ,k ,n hi , j ,k + qi , j ,k ,n  L3T −1 
donde
ai , j ,k ,n es el flujo de la fuente n
pi , j ,k ,n es una contante [L2T -1 ]
qi , j ,k ,n es una contante [L3T -1 ]
(1.15)
FUENTES EXTERNAS
• Para una celda que recibe un caudal de un pozo recarga
(n=1) se puede considerar:
• a) que es independiente de la carga hi,j,k,1 de la celda i,j,k;
Para este caso pi,j,k,1 = 0 ∴ ai,j,k,1 = qi,j,k,1
(1.16)
• b) que depende de una carga.
Para este caso: ai,j,k,1 = pi,j,k,1hi,j,k + qi,j,k,1
(1.17)
FUENTES EXTERNAS
• Para una celda que recibe un caudal de la filtración de un río, (n=2),
dicho caudal depende de la carga hi,j,k de la celda y en su caso de la
diferencia de cargas.
Q=
K RIV ( Ri , j ,k − hi , j , k )
CRIV i , j ,k ,2 =
D
K RIV i , j ,k ,2
, y su conductancia es:
D
por lo que ai , j , k ,2 = CRIV ( Ri , j ,k − hi , j ,k ) , o bien:
ai , j ,k ,2 = −CRIVi , j ,k ,2 hi , j ,k + CRIVi , j ,k ,2 Ri , j , k
pi , j ,k ,2 = −CRIVi , j , k ,2
qi , j ,k ,2 = CRIVi , j ,k ,2 Ri , j , k
(1.19 )
(1.20 )
(1.21)
FUENTES EXTERNAS
• Para todas las fuentes externas se puede llegar a una
solución tal como:
N
∑a
i , j ,k ,n
N
N
n =1
n =1
= QSi , j , k = ∑ pi , j , k , n hi , j , k + ∑ qi , j ,k , n (1.22 )
n =1
donde
N
Pi , j ,k = ∑ pi , j , k ,n
N
Qi , j , k = ∑ qi , j , k , n
n =1
n =1
y el flujo externo hacia la celda i, j , k es:
QSi , j ,k = Pi , j , k hi , j ,k + Qi , j ,k
(1.23)
BALANCE DE FLUJO
• el balance de flujo es:
qi, j − 12,k + qi, j + 12,k + qi− 12, j ,k + qi+ 12, j ,k + qi, j,k − 12 + qi, j ,k + 12 + QSi, j ,k
= Ssi , j ,k
donde: Ssi , j ,k
∆hi, j ,k
∆hi, j ,k
∆rj ∆ci ∆vk
∆t
es el almacenamiento específico [L-1 ]
(1.24)
es el cambio de h con respecto al tiempo t [LT -1 ]
∆t
∆rj ∆ci ∆vk es el volumen [L3 ]
BALANCE DE FLUJO
• La ecuación (1.24) se puede utilizar para evaluar los términos de flujo
en el tiempo avanzado tm y la pendiente ∆h/∆t se puede obtener como
sigue:
∆him, j ,k
∆tm
=
him, j ,k − him, j−,1k
tm − tm−1
(1.25)
• Esta aproximación es hacia atrás, pues el valor de depende del
correspondiente anterior en el tiempo t. De esta forma, la ecuación
(1.24) queda expresada como:
CRi , j − 1 2, k ( him, j −1,k − him, j , k ) + CRi , j + 1 2, k ( him, j +1,k − him, j , k )
+CCi − 12 , j , k ( him−1, j ,k − him, j ,k ) + CCi + 1 2, j ,k ( him+1, j ,k − him, j ,k )
+CVi , j ,k − 1 2 ( him, j ,k −1 − him, j , k ) + CVi , j ,k + 12 ( him, j , k +1 − him, j ,k )
m
i , j ,k i , j ,k
+P
h
+ Qi , j ,k = S si , j ,k ( ∆rj ∆ci ∆vk )
(h
m
i , j ,k
− him, j−,1k )
tm − tm −1
(1.26 )
ITERACION
m ,0
h
i
• , j ,k representa la solución inicial de prueba en el nodo i, j, k y
him, j,0, k la que a su vez es la solución de prueba usada en la iteración 2 (ver figura 1.3).
Rearreglando la ecuación (1.26)
CVi , j ,k − 12 him, j ,k −1 + CCi − 12, j , k him−1, j , k + CRi , j − 12, k him, j −1, k
(
+ −CVi , j ,k − 12
−CRi , j + 12,k
− CCi − 12, j ,k
− CCi + 12, j ,k
− CRi , j − 12, k
− CVi , j , k + 12
)
+ HCOFi , j , k him, j , k
+CRi , j + 12, k him, j +1, k + CCi + 12, j , k him+1, j , k + CVi , j ,k + 12 him, j ,k +1 = RHSi , j ,k
donde
HCOFi , j ,k = Pi , j , k −
RHSi , j , k = Qi , j , k −
SC1i , j , k
tm − tm −1
SC1i , j , k him, j−,1k
tm − tm −1
SC1i , j , k = SSi , j ,k ∆rj ∆ci ∆vk
(1.27 )
ITERACION
Figura 1.3
DISEÑO DEL
PROGRAMA
Figura 1.4
DISEÑO DEL
PROGRAMA
Lista de paquetes
DISEÑO DEL
PROGRAMA
Programa principal:
1. Controla el orden de
ejecución de los módulos
primarios.
2. Es el que establece el
intercambio de información.
RIVER
• The River boundary condition is used to simulate the
influence of a surface water body on the groundwater flow.
Surface water bodies such as rivers, streams, lakes and
swamps may either contribute water to the groundwater
system, or act as groundwater discharge zones depending
on the hydraulic gradient between the surface water body
and the groundwater system. The MODFLOW River
Package simulates the surface water / groundwater
interaction via a seepage layer separating the surface water
body from the groundwater system (see figure below).
•
GHB
• The function of the General-Head Boundary (GHB) Package is
mathematically similar to that of the River, Drain, and ET Packages.
Flow into or out of a cell from an external source is provided in
proportion to the difference between the head in the cell and the
reference head assigned to the external source. The application of this
boundary condition is intended to be general, as indicated by its name,
but the typical application of this boundary conditions is to represent
heads in a model that are influenced by a large surface water body
outside the model domain with a known water elevation. The purpose
of using this boundary condition is to avoid unnecessarily extending
the model domain outward to meet the element influencing the head in
the model. As a result, the General Head boundary condition is usually
assigned along the outside edges of the model domain. This scenario is
illustrated in the following figure.