1. Ecuaciones de primer grado Una ecuación de

Tema 3: Algebra y funciones
Contenidos: Operatoria algebraica – Ecuaciones de primer grado
Ficha 5: Ecuaciones de primer grado
Nivel: 1° Medio
1. Ecuaciones de primer grado
Una ecuación de primer grado es una igualdad de dos expresiones en las que
aparece una incógnita cuyo valor está relacionado a través de operaciones
aritméticas. Se denominan ecuaciones de primer grado si el exponente de la
incógnita es uno.
Para resolver una ecuación de primer grado se deben traspasar los términos de
un lado a otro de la ecuación, de manera que todos los términos que tengan la
incógnita queden a un lado y los demás al otro, teniendo la precaución de
mantener la igualdad de la expresión.
Por eso, cada vez que trasponemos un término se aplica el opuesto (inverso
aditivo), tal como se ilustra en el siguiente ejemplo:
Resolver la ecuación:
(x + 3)2 – (x - 1)2 = 3x – (x – 4)
a) Primero desarrollamos todas las operaciones de la expresión
x2 + 6x + 9 – (x2 – 2x + 1) = 3x – x + 4
x2 + 6x + 9 – x2 + 2x – 1 = 3x – x + 4
b) Trasponemos los términos:
x2 + 6x – x2 + 2x –3x + x = 4 – 9 + 1;
c) Reducimos términos semejantes:
6x = -4 ;
d) Dividimos por 6:
x = -4/6
e) Simplificamos por 2:
x = -2/3
1.1. Ecuaciones literales de primer grado
Una ecuación de primer grado literal es aquella que contiene expresiones
literales además de la incógnita. Por convención, se identifica como incógnitas
a las últimas letras del alfabeto y como literales a las primeras letras del
alfabeto (estos literales se suponen valores constantes).
Para resolver ecuaciones literales se efectúa el mismo procedimiento aplicado
en la ecuación del ejemplo anterior. La variante es que cuando tengamos todas
las incógnitas a un lado de la ecuación, factorizaremos por ella para poder
despejarla.
Desarrollemos un ejemplo: ax – b(x – 1) = 3(x + a)
Tal como en el caso anterior, efectuamos las operaciones, reducimos términos
semejantes y trasponemos términos:
a) Resolvemos las operaciones ax – bx + b = 3x + 3ª
b) Reducimos términos semejantes y trasponemos términos: ax – bx – 3x =
3a – b
c) Factorizamos al lado izquierdo por la incógnita: x(a – b – 3) = 3a – b
d) Para despejar x y calcular su valor, debemos dividir por (a – b – 3):
(¿Por qué se divide? Porque el factor de la incógnita es diferente de 1)
Por lo tanto:
1.2. Planteo de ecuaciones de primer grado
Le pregunté a José su edad y me contestó que tiene el sucesor del doble de la
edad de Andrés. Si Andrés tenía 34 años cuando se casó y esto fue hace 5
años, ¿Qué edad tenía José entonces?
¿Cómo resolvemos este y otros problemas?
Para plantear ecuaciones es conveniente que sepas transformar un enunciado
en una expresión algebraica. Para ello a continuación te entregamos una lista
de transformaciones:
El doble de a.........................................................2a
El triple de b..........................................................3b
El cuádruplo de c..................................................4c
El cuadrado de d...................................................d2
El cubo de e..........................................................e3
El antecesor del N° entero f..................................f – 1
El sucesor del N° entero g ...................................g + 1
El cuadrado del doble de h...................................(2h)2
El doble del cuadrado de m.....................................2· m2
La mitad de x..........................................................
La tercera parte de y..............................................
Si n es un número natural:
Un número par......................................................2n
Un número impar .................................................2n – 1 o 2n + 1
Dos números consecutivos....................................n y n +1
Dos números pares consecutivos..........................2n y 2n + 2
Dos números impares consecutivos......................2n – 1 y 2n + 1
Para mayor ejercitación acerca de interpretaciones de enunciados, te
sugerimos visitar la página. Guía de ecuaciones
Ejemplos de planteo de ecuaciones:
Ejemplo 1:
Encuentra dos números consecutivos cuya diferencia de cuadrados sea igual a
9.
Sean x y x + 1 los números. Entonces, según el enunciado dado:
(x + 1)2 – x2 = 9; desarrollando el cuadrado de binomio, tenemos:
x2 + 2x + 1 – x2 = 9
2x + 1 = 9
x = 4;
Por lo tanto los números son 4 y 5.
Ejemplo 2:
Sergio tiene un año más que el doble de la edad de Humberto, y sus edades
suman 97. ¿Qué edad tiene el menor?
Si x es la edad de Humberto, entonces la edad de Sergio es 2x + 1. Planteando
que la suma de las edades es 97, obtenemos la ecuación:
x + 2x + 1 = 97
3x = 96
x = 32
Reemplazando este valor de x, se concluye que la edad de Humberto es 32 y la
de Sergio es 65.
Respuesta: la edad del menor es 32.