Ajuste a la nube de perfiles fila en Rp {fij }( Masa f C.G f·j

(tra-acs1)
Ajuste a la nube de perfiles fila en Rp
fij
fi·
tjj 0
Masa fi·
C.G f·j
"
n
X
=
fi·
i=1
Max
−→
fij
p
fi· f·j
n
X
)
(
fi·Ψ2i
fij
p
fi· f·j
#"
p
− f·j
=
p
Masap
fi·
C.G f·j
fij 0
q
−
fi· f·j 0
p
fij
p
− f·j
fi· f·j
−→
#
q
f·j 0
0
j, j = 1, . . . , p
0 p
0
fi·Hu
fi·Hu = (Xu) (Xu)
i=1
0
Tp×p = Xp×nXn×p
b αi =
Ψ
xij =
p
X
j=1
fij
p
fi· f·j
p
fij − fi·f·j
fi·hij = p
fi·f·j
!
p
− f·j uαj
Simplificación de cálculos
fij
x∗ij = p
fi·f·j
0
T ∗ = X∗ X∗
√
p
• El vector up =
f·1, . . . ,
con respecto al autovalor 0.
b αi =
Ψ
p
X
j=1
fij
p
fi· f·j
!
uαj
p 0
f·j , . . . , f·p es un vector propio de T ,
Tp×pup(n×1) = 0p×1 = λpup
• Los autovectores uα 6= up de T , lo son también de T ∗ = X ∗0X ∗, y
respecto de los mismos autovalores λα . Además, up también es autovector de T ∗ pero respecto del autovalor unidad de T ∗.
!
b αi
Simplificación en los cálculos de las proyecciones Ψ
p
p 0
√
• El vector up =
f·1, . . . , f·j , . . . , f·p es un vector propio de T ,
con respecto al autovalor 0. (Tp×pup(p×1) = λpup = 0p×1) =⇒
p
q
X
tjj 0 f·j 0 = 0 (elemento j-ésimo del vector T up) ∀(j = 1, · · · , p)
0
j =1
b αi =
Ψ
p
X
fij
p
fi· f·j
j=1
!
p
− f·j
j=1
En efecto:
"
p X
p
n
q
X
X
fi·
tjj 0 f·j 0 =
0
j =1 i=1
0
j =1
=
" n
p
X
X
0
i=1
j =1
−
n
X
i=1
uαj =
p
X
fij
p
−
fi· f·j
fij
p
fi· f·j
#"
p
f·j
!
uαj ;
!
p
X
p
f·j uαj = 0
j=1
#
q
q
fij 0
q
f·j 0 =
− f·j 0
fi· f·j 0
n
X
fij 0 q
fij q q
fij
q
f·j 0 −
fi· p
f·j 0 f·j 0 −
fi· p
fi· f·j fi· f 0
f
f
i·
·j
i=1
·j
#
n
q
q
q
X
0
f
p
p
ij
fi· f·j q
f·j 0 +
fi· f·j f·j 0 f·j 0 =
fi· f·j 0
i=1
" n
#
p
n
n
n
X
X fij fij 0
X
X
X
p
p
fij
p
p
0
0
=
−
f·j −
fi· f·j f·j 0 =
fij f·j +
f f·j
f·j
0
i=1 i·
i=1
i=1
i=1
j =1
n
X
=
i=1
−
n
X
i=1
=
n
X
i=1




p
p
n
fij X  X fij X 
p
p
fij 0 −
f·j 0 −
fi· f·j
f
·j
0
0
i=1
j =1
j =1




p
p
n
X
X p
X
p



f·j
fij 0 +
fi· f·j
f·j 0  =
0
j =1
n
0
i=1
j =1
n
n
X fij
Xp
X p
fij
p fi· −
p −
f·j fi· +
fi· f·j = 0
fi· f·j
f
·j
i=1
i=1
i=1
fij −fi· f·j
• La matriz T = X X donde xij = √
tiene de término general
0
fi· f·j
tjj 0 =
n
X
"
fi·
i=1
f
Si x∗ij = √ ij
fi· f·j
fij
p
−
fi· f·j
#"
p
f·j
q
fij 0
q
− f·j 0
fi· f·j 0
#
0
vamos a ver que el término general de T ∗ = X ∗ X ∗ es:
t∗jj 0
=
n
X
fij
p
fi· f·j
fi·
i=1
En efecto:
n
X
fij 0
fij
∗
p
·q
tjj 0 =
f
f
i· ·j
fi·f
i=1
n
X
i=1
=
·j
fi·
n
X
0
i=1
!
fij 0
q
fi· f·j 0
!
n
X
fij fij 0
fij fij 0 fi·
=
=
p q
p q
2
fi· f·j f·j 0
f·j f·j 0
i=1 fi·
fij
p
fi· f·j
!
fij 0
q
fi· f·j 0
!
Se observa que el término t∗jj 0 es análogo a tjj 0 salvo que no está centrado,
p
f
( f·j es el centro de gravedad de los perfiles √ij ), por lo que podemos
fi·
∗
f·j
decir que X es la matriz no centrada respecto de X.
0
• Los autovectores uα 6= up de T , lo son también de T ∗ = X ∗ X ∗, donde
f
x∗ij = √ ij y respecto de los mismos autovalores. Además, up también
fi. f.j
es autovector de T ∗ pero respecto del autovalor unidad de T ∗. En efecto,
sea uα 6= up, de componentes uαj .
T uα = λα uα
T ∗uα = λα uα =⇒ T uα = T ∗uα
Considerando la j-ésima componente de ambos vectores, se debe cumplir:
p
X
0
j =1
tjj 0 uαj 0 =
p
X
0
j =1
t∗jj 0 uαj 0 En efecto:
p
X
tjj 0 uαj 0 =
0
"
fi·

 i=1
0
j =1
j =1
=

p 
n
X
X

p 
n
X
X
0
j =1
"
fi·

 i=1
−
n
X
fij
p
fi· f·j
p
fi· f·j
i=1
=

p 
n
X
X
fi·

 i=1
0
j =1
Ya que como
p
X
p
fij
p
− f·j
fi· f·j
#"
#"

#

q
fij 0
q
uαj 0 =
− f·j 0


fi· f·j 0
#
n
X
fij 0
fij q
q
uαj 0 −
fi· p
f·j 0 uαj 0 −
f
f
i·
·j
fi· f·j 0
i=1



n
X
fij 0
p q
q uαj 0 +
fi· f·j f·j 0 uαj 0 =


fi· f·j 0
i=1

!
!
p

X
fij 0
fij
q
p
uαj 0 =
t∗jj 0 uαj 0
fi· f·j

fi· f·j 0 
0
j =1
p
uαj f·j = 0 se tiene:
j=1
1.
( n
p
X
X
0
fi·
i=1
j =1
fij
p
fi· f·j
=
)
q
f·j 0
n
X
i=1
uαj 0
( n
)
p
X fij q
X
p
f·j 0 uαj 0 =
=
f
·j
0
i=1
j =1

f
pij 
f·j
p q
X

f·j 0 uαj 0  = 0
0
j =1
2.

p 
n
X
X

 i=1
0
j =1
=
p
X
0
j =1
fi·
p

p 
n
X
X
p



fij 0
q
uαj 0 =
f·j


 i=1
fi· f·j 0 
0
j =1
p
f·j
q
f·j 0
n
X
f·j 0
i=1
!
fij 0
uαj 0 =
p
X
p
0
j =1



fij 0
q
uαj 0 =
f·j

f·j 0 
q
f·j f·j 0 uαj 0 =
p q
p X
= f·j
f·j 0 uαj 0 = 0
0
j =1
3.

p X
n n
X
n
X
p q o
p
fi· f·j f·j 0 uαj 0 =
fi· f·j 
0
j =1 i=1
i=1
p q
X

f·j 0 uαj 0  = 0
0
j =1
p
Además si uα = up = ( f·j ) autovector de T respecto al autovalor λp = 0,
veamos que es autovector también de T ∗ pero respecto del autovalor λp = 1,
es decir T ∗up = up, (tomando el elemento j-ésimo del vector T ∗up), se tiene
que cumplir:
!
!
p
p
n
q
XX
X
fij 0
fij
∗
p
q
tjj 0 upj 0 =
fi·
f·j 0 =
f
f
i·
·j
fi· f 0
0
0
i=1
j =1
·j
j =1
p
p X
n
n
X
fij fij 0
p
1
1 X fij X
p =p
fij 0 = p f·j = f·j
f
f
f
f
f·j
i·
·j
·j i=1
0
0
i=1 i·
j =1
j =1
Ajuste a la nube de perfiles columna en Rn
p
f
f
Masa f·j
Masa f·j
ij
ij
√
√
√
−→
−→
− fi·
C.G fi·
C.G fi·
f·j fi·
f·j fi·
#"
#
"
p
q
X
p
fi0 j
fij
0
0
√
p − fi0 · i, i = 1, . . . , n
0
− fi·
S = XX
sii =
f·j
f·j fi·
f·j fi0 ·
j=1
fij
f·j
Max
p
X
f·j Φ2j
p
0 p
0
0
0
0
0
0
0
0
=
f·j H v
f·j H v = (H ∗ v) (H ∗ v) = (X v) (X v)
j=1
0
0
Sn×n = H ∗H ∗ = Xn×pXp×n
b αj
Φ
p
fij − f·j fi·
f·j hij = h∗ij = p
f·j fi·
p
− fi· vαi
xij =
n X
fij
√
=
f·j fi·
i=1
Simplificación de cálculos
S ∗ = X ∗X ∗
fij
x∗ij = p
f·j fi·
0
√
√
b αj
Φ
√
• El vector vp =
f1·, . . . , fi·, . . . , fn·
con respecto al autovalor 0.
n X
fij
√
=
vαi
f
f
·j
i·
i=1
0
es un vector propio de S,
Sn×nvp(n×1) = 0n×1 = µpvp
• Los autovectores vα 6= vp de S, lo son también de S ∗ = X ∗X ∗0, y
respecto de los mismos autovalores µα . Además, vp también es autovector de S ∗ pero respecto del autovalor unidad de S ∗.
Relación entre los dos subespacios ajustados
En AFG
Rp
Rn
λα
µα
0
0
(X X)p×p
(XX )n×n
uα
vα
λα = µα
uα = √1λ X 0vα vα = √1µα Xuα
α
p
X
p
X=
λα vα u0α
α=1
En ACS
0
(X X)p×p
0
X∗ X∗
Rp
fij −fi· f·j
xij = √
fi· f·j
fij
x∗ij = √
fi· f·j
0
(XX )n×n
X ∗X ∗
0
Rn
fij −fi· f·j
xij = √
fi· f·j
fij
x∗ij = √
0
uα = √1λ X ∗ vα
α
!
p
X
p
fij
b
p
Ψαi =
− f·j uαj
f
f
i·
·j
j=1
P
fij
b αi = p
√
Ψ
uαj
j=1
fi· f·j
vα = √1λ X ∗uα
α
n X
p
f
ij
b αj =
√ − fi· vαi
Φ
f·j fi·
i=1
P
f
n
ij
b αj =
√
Φ
i=1 f·j fi· vαi
fi· f·j
n
n p
1 X fij
1 X f·j fij
1 p b
p
√ vαi = √
uαj = √
vαi = √
f·j Φαj
λα i=1 fi·f·j
λα i=1 f·j fi·
λα
p
p √
1 X fij
1 X fi·fij
1 p b
p
p uαj = √
vαi = √
uαj = √
fi·Ψαi
λα j=1 fi·f·j
λα j=1 fi· f·j
λα
√
√
b αi = λα √1 vαi
b αj = λα √1 uαj
Ψ
Φ
fi·
f·j
!
!
p
p
p
X
X
X
p
f
f
1
1
fij b
ij
ij
b αi =
b αj = √
p
p
√
Ψ
uαj =
f·j Φ
Φαj
f
λ
λ
f
f
f
f
i·
α
α j=1
i·
·j
i·
·j
j=1
j=1
n
n
n
X
X
X
p
f
f
1
1
fij b
ij
ij
b αj =
b αi = √
√
√
√
Φ
vαi =
fi·Ψ
Ψαi
f
f
f
f
f
λ
λ
·j
·j
i·
·j
i·
α
α i=1
i=1
i=1
p
n
1 X fij b
1 X fij b
b
b
Ψαi = √
Φαj
Φαj = √
Ψαi
fi·
f·j
λα
λα
j=1
i=1