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Análisis de sistemas en el
dominio de la frecuencia
PALABRAS CLAVE Y TEMAS
Respuesta en frecuencia
Diagrama de Bode
Pico y frecuencia de resonancia
Ancho de banda
OBJETIVOS
Definir y graficar la respuesta en frecuencia
Analizar el comportamiento dinámico de un sistema desde
el punto de vista de la frecuencia
1
¿Qué es el análisis de
respuesta en frecuencia?
|
La respuesta en frecuencia de un sistema se define como la
respuesta de un sistema en el estado estacionario a una
señal sinusoidal de entrada.
|
La respuesta en frecuencia corresponde a entradas
sinusoidales: es simple y muy útil como señal de prueba.
La forma en la que el sistema responde da mucha
información para análisis y diseño.
2
Respuesta en frecuencia
U(s)
u ( t ) = A sin ωt
G(s)
Y(s)
y ss ( t ) = A G ( j ω ) sin( ω t + φ )
Amplitud de la salida:
Ángulo de fase:
Y = A G ( jω )
φ = arg(G( jω)) = ∠G( jω )
La respuesta del sistema oscila con la misma frecuencia ω
que la sinusoide de entrada pero ponderada por un factor
|G(jω)| y desfasada un ángulo φ = arg(G(jω)) que dependen
de ω
3
Ejemplo
G(s) =
Para una entrada
u ( t ) = A sin ω t
donde
G ( jω ) = G ( s ) s= jω
75
s 2 + 5s + 15
Transitorio
y(t)
A =1
ω = 5 rad / s
Permanente
φ
Desfase t0 = ω [s]
30 75
j
−
29 29
G ( j ω ) = 2 .7854
G ( jω ) = −
Y = A G ( j ω ) = 2 .7854
Im( G ( j ω ))
=
Re( G ( j ω ))
= arctg ( 2 .5 ) = 1 .1903 [ rad ]
φ = arctg
u(t)
4
Diagrama de Bode
Consta de 2 trazados representados en función de la
frecuencia en escala logarítmica
1. Diagrama del logaritmo del módulo de
una función sinusoidal
2. Diagrama del ángulo de fase
Matlab:
bode(sys)
Bode Diagrams
From: U(1)
10
arg(G(jω)) [º]
en grados
0
-10
ω en escala
logarítmica
-20
50
To: Y(1)
dB = 20log10 | . |
Phase (deg); Magnitude (dB)
20log|G(jω)| [dB]
(en decibelios)
0
-50
-100
10-1
100
Frequency (rad/sec)
101
5
Diagrama de Bode
Trabajar en decibelios
U(s)
u ( t ) = A sin ωt
G(s)
Mag [dB] = 20log10 | Mag |
Y(s)
y ss ( t ) = A G ( j ω ) sin( ω t + φ )
Amplitud de la salida: Y = A G ( jω )
Si |G(jω)|=1, en decibelios es 0
Si |G(jω)|>1 (la amplitud Y de la salida se amplifica), entonces el
valor de |G(jω)| en decibelios será positiva
Si |G(jω)|<1 (la amplitud Y de la salida se atenúa), |G(jω)| en
decibelios será negativa
6
Diagrama de Bode
Usamos la escala logarítmica ya que trabajando con este tipo de
escala se sintetiza y se simplifica el análisis de la respuesta en
frecuencia.
20log|G(jω)| [dB]
20
10
0
Multiplicar o dividir por 10 a |G(jω)| supone
sumar o restar 20 dB a |G(jω)|
(la multiplicación de amplitudes se convierte en
adición)
La representación logarítmica presenta las
características de alta y baja frecuencia de la función
de transferencia en un solo diagrama
-10
Multiplicar por 10 la frecuencia
supone subir una década
-20
Se puede realizar una misma
gráfica en un intervalo de
frecuencias mayor que en las
gráficas lineales 7
1
10
102
103
ω (rad/s)
década
7
Escala logarítmica
100000
10000
1000
100
10
1
8
Los logaritmos crecen mucho más despacio que los
números a los que se aplican
8
Escala logarítmica
Considerando la siguiente función de transferencia:
Ke− ds ( s + z1 )(s + z2 )...(s + zk )
G( s) = m
s (s + p1 )(s + p2 )...(s + pn )
La magnitud de la respuesta en frecuencia es el producto de la
magnitud de las respuestas en frecuencia de cada término:
G( jω ) =
K e−ds (s + z1 ) (s + z2 ) ... (s + zk )
s m (s + p1 ) (s + p2 ) ... (s + pn )
s = jω
Usando el logaritmo de la magnitud, se simplifica la estimación
de la magnitud, puesto que la magnitud de las respuestas de los
términos de ceros se sumarían y la magnitud de las respuestas de
los términos de polos se restarían.
9
Escala logarítmica
20 log G ( j ω ) = 20 log K + 20 log e − dj ω + 20 log ( j ω + z1 ) + ...
+ ... − 20 log ( j ω ) − 20 log ( j ω + p1 ) − ...
m
En decibelios, el diagrama de |G(jω)| puede obtenerse por
superposición de los diagramas de términos elementales
correspondientes a cada polo, cero, ganancia y retardo.
arg(G ( jω )) = arg( K ) + arg(e − jωd ) + arg( jω + z1 ) + ...
+ arg(1 / jω ) + arg(1 /( jω + p1 )) + ...
10
Factores básicos
Los factores básicos que se producen
frecuentemente en una función arbitraria G(jω) son:
1. Ganancia K
2. Factores integrales y derivativos
( jω )m1
3. Factores de primer orden
(1 + jωT )±1
4. Factores cuadráticos
5. Retardo
2
⎡ 2δ
⎛ jω ⎞ ⎤
⎟ ⎥
⎢1 +
jω + ⎜⎜
⎟
ω
ω
⎢⎣
n
⎝ n ⎠ ⎥⎦
e − djω
La respuesta en frecuencia del sistema puede obtenerse por
superposición de los diagramas de los términos elementales
que componen la función de transferencia.
11
±1
Bode: respuesta de un término
constante
G( s) = K
G( jω ) = K
20 log G ( jω ) = 20 log K
φ = ∠ G ( jω ) = arctg
0 ⎧ 0º
=⎨
K ⎩ − 180 º
K>0
K<0
Al variar K, la línea sube
o baja
Las curvas son líneas
rectas horizontales (no
varían con la frecuencia)
12
Bode: respuesta de un polo en el origen (integrador)
G(s) =
1
s
20 log G ( jω ) = 20 log
G( jω) =
1
jω
Pendiente = -20 dB/década
1
=
jω
= 20 log1 − 20 logω =
= −20 logω
[dB]
⎧ ω = 0 . 1 ⇒ 20 dB
⎪
⎨ ω = 1 ⇒ 0 dB
⎪ ω = 10 ⇒ − 20 dB
⎩
1
jω
= ∠1 − ∠jω = −90º
φ = ∠G( jω ) = ∠
La curva de la magnitud logarítmica es una recta
con una pendiente de –20 dB/década que pasa por
cero dB en ω=1.
La gráfica de fase es igual a una constante13de –90º.
Bode: respuesta de un polo simple
(1/3)
G (s) =
1
1 + Ts
G ( jω ) =
20 log G ( jω ) = 20 log
1
1 + Tjω
1
=
1 + jωT
⎧ω → 0 (bajas frecuencias) ⇒ −20 log 1 + ω 2T 2 → 0
⎪
φ → 0º
⎪(ω << 1/T)
⎨
2 2
⎪ω → ∞ (altas frecuencias) ⇒ −20 log 1 + ω T → −20 log ωT
⎪(ω >> 1/T)
φ → −90º
⎩
= −20 log 1 + ω 2T 2 [dB]
φ = ∠G( jω ) = −arctg(Tω )
Cuando ω=1/T la aproximación de
alta frecuencia es igual a la
aproximación de baja frecuencia y
también φ=45º
ω=1/T = frecuencia de corte (de
transición)
Cuando ω=10/T, el log de la
amplitud es de –20 dB
(Ejemplo para T=1)
14
Bode: respuesta de un polo simple
(2/3)
ωc = 1/T = frecuencia de corte (la frecuencia
a la que se encuentran las dos asíntotas)
Error max. 3dB
Pendiente = -20 dB/década
Curva exacta
ω=0.1/T
real
ωc
asintótico
Pendiente = -45º/dec
ω=10/T
La frecuencia de corte
separa dos regiones:
a) una recta en 0 dB para la
baja frecuencias (0<
ω<1/T )
b) una línea recta con
pendiente –20
dB/década) para altas
frecuencia (1/T< ω<∞).
(Esto es aproximado: hay un
pequeña diferencia sobre la
frecuencia de corte.
15
Bode: respuesta de un polo simple
(3/3)
La función de transferencia 1/(1+jωτ) tiene las
características de un filtro de pasa baja: la
salida puede seguir a una entrada sinusoidal a
bajas frecuencias pero la amplitud disminuye
rápidamente a partir de la frecuencia de corte.
Al variar la constante de tiempo τ la frecuencia
de corte se desplaza y con ella las curvas.:
•Sistemas lentos (τ grande) tienen frecuencias de
corte pequeñas y atenúan los cambios rápidos.
•Sistemas rápidos responden a un rango mayor de
velocidades de cambio.
Frecuencia
de corte
|G(jω)| en dB
0 dB
1/τ
10/τ
log ω
-20 dB
argG(jω) en º
0º
1/τ
log ω
-45º
-90º
16
Bode: cero simple
20 log jωc + 1 = 20 log 1 + c 2ω 2 =
|G(jω)| en dB
= 10 log(1 + c 2ω 2 )
monótonamente decreciente
0 dB
para ω → 0
para ω → ∞
10 log(1 + c ω ) → 0
2
Frecuencia
de corte
1/c
10/τ
log ω
2
10 log(1 + c 2ω 2 ) → 20 log c + 20 log ω
recta de pendiente 20dB y
que pasa por (ω = 1/τ , 0 dB)
-20 dB
argG(jω) en º
⎧ω → 0 φ → 0
arg( jωc + 1) = arctg (ωc) ⎨
⎩ω → ∞ φ → 90º
monótonamente creciente, φ = 45º para ω = 1 / c
90º
45º
0º
log ω
1/c
Las frecuencias altas
se amplifican
17
Bode: polo doble
Frecuencia
de corte
|G(jω)| en dB
20 log
(
1
2 2
=
−
+
τ
ω
20
log
1
2
( jωτ + 1)
)
0 dB
monótonamente decreciente
para ω → 0
para ω → ∞
10/τ
1/τ
log ω
− 20 log(1 + τ ω ) → 0
2
2
− 20 log(1 + τ ω ) → −40 logτ − 40 log ω
2
-40 dB
2
recta de pendiente - 40dB y
argG(jω) en º
que pasa por (ω = 1/τ , 0 dB)
⎛
⎞
⎧ω → 0 φ → 0
1
⎜
⎟
arg⎜
= −2arctg(ωτ ) ⎨
2 ⎟
(
)
j
ωτ
+
1
⎩ω → ∞ φ → −180º
⎝
⎠
monótonamente decreciente, φ = −90º para ω = 1 / τ
0º
1/τ
log ω
-90º
-180º
18
Bode: polos complejos conjugados
Caso δ < 0.707 (caso con resonancia)
(1/7)
Asíntotas
ωr frecuencia de resonancia
Real
Pico de resonancia
-40dB/dec
ωn frecuencia de corte
0.1 ωn
-90º/dec
10 ωn
Bode: polos complejos conjugados
(2/7)
ω n2
G ( jω ) = 2
s + 2δω n s + ω n2
20 log G ( jω ) = 20 log
=
s = jω
1
donde
⎛ ω ⎞ ⎛ ω ⎞
⎟⎟ + ⎜⎜ j
⎟⎟
1 + 2δ ⎜⎜ j
⎝ ωn ⎠ ⎝ ωn ⎠
1
⎛ ω ⎞ ⎛ ω ⎞
⎟⎟
⎟⎟ + ⎜⎜ j
1 + 2δ ⎜⎜ j
⎝ ωn ⎠ ⎝ ωn ⎠
2
0 <δ <1
2
(Si δ>1 el factor
cuadrático se puede
expresar como un
producto de dos de primer
orden con polos reales)
⎛ ω2
= − 20 log ⎜⎜ 1 − 2
⎝ ωn
2
⎞ ⎛
ω ⎞
⎟ + ⎜ 2δ
⎟
⎟ ⎜
ω n ⎟⎠
⎠ ⎝
20
2
Bode: polos complejos conjugados
(3/7)
20 log G ( j ω ) = 20 log
1
⎛ ω ⎞ ⎛ ω ⎞
⎟⎟ + ⎜⎜ j
⎟⎟
1 + 2δ ⎜⎜ j
ω
ω
n ⎠
n ⎠
⎝
⎝
2
= − 20 log
⎛
ω2
⎜1 − 2
⎜
ωn
⎝
2
⎞
⎛
ω ⎞
⎟ + ⎜ 2δ
⎟
⎟
⎜
⎟
ω
n ⎠
⎝
⎠
2
Para bajas frecuencias tales que
ω <<ωn
20 log G ( j ω ) → − 20 log 1 = 0 db
La asíntota de baja frecuencia es una
línea horizontal a 0 db.
Para frecuencias elevadas tales que
ω >>ωn
Las asíntotas son
independientes del valor de δ
ω2
20 log G ( jω ) → −20 log 2 = -40log ω + 40log ω n db
ωn
La asíntota de alta frecuencia es una línea
recta con pendiente de –40 db/década que
pasa por 0 dB cuando ω=ωn
Frecuencia de corte para el
factor cuadrático
21
Bode: polos complejos conjugados
(4/7)
¿ Presenta un máximo la magnitud 20log|G(jω)| ?
2
⎛ ω2
20 log G ( jω ) = − 20 log ⎜⎜ 1 − 2
⎝ ωn
d
dω
2
2
⎡⎛
⎛
ω2 ⎞
ω ⎞ ⎤
⎟ ⎥=0
⎢ ⎜ 1 − 2 ⎟ + ⎜ 2δ
⎜
⎟
⎜
⎟
ω
ω
⎢⎝
n ⎠ ⎥
n ⎠
⎝
⎣
⎦
⎞
⎛
ω ⎞
⎟ + ⎜ 2δ
⎟
⎜
⎟
ω n ⎟⎠
⎝
⎠
2
⎛ ω 2 ⎞⎛ 2ω ⎞ ⎛
1 ⎞
ω ⎞⎛
⎟⎜ 2δ
⎟=0
2⎜⎜1 − 2 ⎟⎟⎜⎜ − 2 ⎟⎟ + 2⎜⎜ 2δ
⎟
⎜
⎟
⎝ ω n ⎠⎝ ω n ⎠ ⎝ ω n ⎠⎝ ω n ⎠
(
)
(1 − 2δ )
− ω n2 − ω 2 + 2δ 2ω n2 = 0
ω 2 = ω n2
Cuando
0 < δ ≤ 1 / 2 = 0.7071
2
existirá un máximo en |G(jω)| conocido
como pico de resonancia Mr cuando
ω r = ω n 1 − 2δ 2 ≤ ω n
frecuencia de resonancia
M r = G( jω) max = G( jωr ) =
1
2δ 1 − δ 2
22
Bode: polos complejos conjugados
(5/7)
El ángulo de fase de G(jω):
⎤
⎡
ω
⎥
⎢ 2δ
ωn ⎥
⎢
φ = ∠G ( jω ) = − arctg ⎢
2 ⎥
⎛
⎞
⎢1 − ⎜ ω ⎟ ⎥
⎢ ⎜ω ⎟ ⎥
⎣ ⎝ n⎠ ⎦
ω → 0 ⇒ φ → 0º
ω = ω n ⇒ φ = −90 º
ω → ∞ ⇒ φ → −180 º
G ( jω ) =
1
⎛ ω ⎞ ⎛ ω ⎞
⎟⎟ + ⎜⎜ j
⎟⎟
1 + 2δ ⎜⎜ j
⎝ ωn ⎠ ⎝ ωn ⎠
El ángulo de fase depende tanto
de ω como de δ
En la frecuencia de transición el ángulo
es –90º independientemente de δ
En la frecuencia en que se produce
el pico de resonancia ω=ωr:
φ = − arctg
1 − 2δ
2
δ
23
2
Bode: polos complejos conjugados
Caso δ < 0.707 (caso con resonancia)
(6/7)
Asíntotas
Real
ωr frecuencia de resonancia
20logMr
Pico de resonancia
La amplitud de la salida se ve
amplificada a ciertas frecuencias
y es máxima para ωr,, creciendo
inversamente con δ
δ → 0 ⇒ M r→ ∞
-40dB/dec
ωn frecuencia de corte
Ejemplo para ωn=1 y δ=0.1
0.1 ωn
ω r = ω n 1 − 2δ 2 =
= 1 − 2(0.1) 2 = 0.9899
-90º/dec
Mr =
10 ωn
=
1
2δ 1− δ
1
2
=
2(0.1) 1 − (0.1)
2
= 5.0252
24
Bode: polos complejos conjugados
(7/7)
Caso δ > 0.707 (caso sin resonancia)
-40dB/dec
ωn frecuencia de corte
Sin resonancia, la
atenuación es
monótonamente
decreciente, con
pendiente -40dB por
década para frecuencias
superiores a ωn
Ejemplo para ωn=1 y δ =0.8
Mr = 0
-90º/dec
Asíntotas
Real
25
Bode: retardo
e − djω
20 log e − jω d = 20 log 1 = 0
|G(jω)| en dB
0 dB
log ω
arg( e − jω d ) = −ω d
El retardo no modifica las
curvas del módulo pero el
desfase aumenta a medida
que ω crece.
Dificultad para controlar un
sistema con retardo
argG(jω) en º
0º
log ω
26
Ancho de banda
From: U(1)
0
-3 dB
Phase (deg); Magnitude (dB)
• Da una indicación de las propiedades
de la respuesta transitoria en el dominio
del tiempo de un sistema: una ancho de
banda grande corresponde a un tiempo
de subida corto; en cambio, un ancho
de banda pequeño tendrá una respuesta
en el tiempo más lenta
Bode Diagrams
-5
-10
-15
-20
0
ωB
-20
To: Y(1)
• Frecuencia a la cual | G(jω) | cae 3 dB
por debajo de su valor en la frecuencia
cero
-40
-60
-80
• Da una medida del rango de
frecuencias de la señal de entrada a la
que el sistema responde sin atenuación
notable.
-100
10-1
100
101
Frequency (rad/sec)
27
Diagrama de Nyquist
Para cada
valor de ω, se
dibuja el
módulo y
argumento de
G(jω)
arg(G ( jω))
G ( jω)
ω
Matlab: nyquist(sys)
28