Método Gráfico

Método Gráfico
El procedimiento geométrico, es únicamente adecuado para resolver
problemas muy pequeños (con no más de dos variables debido al problema de
dimensionalidad). Este método provee una gran introducción a los problemas
de Programación Lineal.
Considere el problema siguiente:
Min Z =Cx
Sujeto a:
Ax > b
X<O
Nótese que la región factible consistirá de todos los vectores x que
satisfagan Ax > b ( Zona de soluciones factibles, es decir todos los valores de
xl y x2 que satisfagan a las restricciones Ax > b) y x > O. Entre tales puntos
deseamos encontrar un punto con mínimo valor Cx.
Z = Cx = Σ, ; c x = 1, 2 ,. . . ,n (n = No. de variables)
j
Si Z va a ser minimizada, entonces una vez establecida la región
factible, la correspondiente recta de Z = Cx es deslizada paralelamente a si
misma en la dirección que optimice (minimice) más el valor del objetivo. En la
figura 1 se muestra un ejemplo del método gráfico.
6
Z Optima
X1 + X2 ≤ 5
Punto óptimo
Región factible
Z1
-X1 + 2X2 ≤ 6
6
Figura 1
La región factible es la encerrada en el recuadro formado por las rectas x
>_O, y > O, xl + xl <_5 y –xl +2x2 <_6 . La línea de la función objetivo Z, se
mueve paralelamente desde la esquina inferior derecha hacia la e8squina
superior izquierda, alcanzándose el óptimo en el punto último que toque la
recta Z de la función objetivo de la zona de soluciones factibles.
Es importante hacer notar que el Punto Optimo es una de las 5 esquinas que
son denominadas puntos extremos
Nota:
Si Z va a ser maximizada, entonces Z = Cx será deslizada paralelamente
a sí misma en la dirección que optimice (maximice) el valor del objetivo.
EXISTEN CUATRO TIPOS DE SOL UCION
1.2.3.4.-
Solución Única :
* región limitada.
* región ilimitada.
Solución Múltiple :
* región limitada.
* región ilimitada.
Solución Factible Vacía (No Solución).
Solución no Factible.
PASOS A SEGUIR PARA DAR SOL UCION POR ME TODO GRAFICO
1.- Identificar el tipo de problema, ya sea maximización o Minimización.
2.- Tabular cada una de las ecuaciones para graficarlas ( obtenga para cada
ecuación dos puntos dando un valor cero a una de las variables, para luego
obtener el valor de la otra variable, después a la otra variable asígnele un valor
de cero para obtener el valor de la otra variable). Entonces grafique estos
puntos. 3.- Asigne un valor inicial a Z, que sea un múltiplo de los coeficientes de las
variables en la función objetivo y obtenga dos punto Como en el paso 2 para
graficar esta función, ahora asigne otro valor de z tal que la función objetivo
mejore y obtenga dos puntos para que esta sea graficada.
4.- Determinar la zona de soluciones factibles, observe en que dirección se
encuentran los puntos que satisfacen a cada ecuación , esto es; evaluar el
origen (punto (0,0)) en cada ecuación, si este satisface a la ecuación, entonces
todos los puntos hacia donde se encuentre el origen satisfacen a la ecuación.
Caso contrario su sentido será opuesto a donde se encuentre el origen.
5. - Obtener la solución óptima moviendo la línea de Z paralelamente en la
dirección en que optimice a la función objetivo y dentro de la zona de
soluciones factibles. El último punto que esta línea toque en esta zona será el
punto óptimo.
A continuación se presentan los diferentes casos posibles que se pueden
presentar en la solución de un problema de Programación Lineal.
Solución Optima Única
Si la solución óptima ocurre en un punto extremo, entonces a esta
solución se le denomina óptima única. La figura 2 muestra a
el comportamiento gráfico de esta situación, en la que la región factible esta
limitada.
Max Z = -X1 +3X2
Sujeto a
X 1+ X 2 ≤ 6
-X1+ 2X2 ≤ 8
X’s ≥ O
Tabulando los valores de las restricciones y de la función objetivo tenemos;
Ecuación 1
Z0 = 6
Ecuación 2
Z1 = 12
X1
X2
X1
X2
X1
X2
X1
X2
0
6
6
0
0
-8
4
0
0
-6
2
0
0
4
0
-12
-X1 + 2X2 ≤ 8
7
Punto optimo
Región factible limitada
Z optima
Solución única
Z1
Región factible
Zo
X1 + X2 ≤ 6
7
Figura 2
La región factible es la encerrada en el recuadro formado por las rectas x <
O, y > O, xl + xl ≤ 6 y –xl +2x2 ≤ 8. La línea de la función objetivo Z, se mueve
paralelamente desde Z = 6 hacia la esquina superior izquierda, alcanzándose
el óptimo en el punto último que toque la recta Z de la función objetivo de la
zona de soluciones factibles. Esto ocurre cuando Z = 12 en el cruce de las
ecuaciones
xl + xl ≤ 6 y -xl + 2x2 ≤ 8.
La figura 3 presenta el comportamiento gráfico cuando la región esta ilimitada
(No Acotada).
Max Z = -X1 + 4X2
Sujeto a:
-Xl + 2X2 ≤ 1
X l- X 2 ≤ O
X’s ≥O
Tabulando los valores de las restricciones y de la función objetivo tenemos;
Ecuación 1
Ecuación 2
Z0 = 1
Z1 = 3
X1
X2
X1
X2
X1
X2
X1
X2
0
-1
5
0
0
2
0
2
0
-1
0.25
0
0-75
0
-3
0
X1 - X2 ≤ 0
-X1 + 2X2 ≤ 1
Z1
Z optima
Región factible
La región factible esta acotada por las rectas x ≥O, -xl-2x2 ≥-1 y xl-x2 ≥O, pero
no esta acotada por la derecha, existiendo por lo anterior una región factible
ilimitada. La línea de la función objetivo Z, se mueve paralelamente desde Z =1
hacia la esquina superior izquierda, alcanzándose el óptimo en el punto último
que toque la recta Z de la función objetivo de la zona de soluciones factibles.
Esto ocurre cuando Z =3 en el punto donde se cruzan las ecuaciones -xl-2x2 ≤
1 y xl-x2 ≤ O.
Solución optima múltiple
Cuando dos punto extremos (esquinas del área acotada) son óptimos,
entonces todos los puntos que se encuentran en el segmento de línea que une
a esos dos puntos también son puntos óptimos. Cuando existe esta situación,
se que existen soluciones óptimas múltiples.
A continuación la figura 4 muestra esta situación en la que la región
factible esta limitada (Acotada)
Max Z = 2.5Xl + X2
Sujeto a:
3Xl +5X1 < 15
5x1+ 2X2 < 10
X’s < O
Tabulando los valores de las restricciones y de la función objetivo tenemos;
Ecuación 1
Z0 = 2.5
Ecuación 2
Z1 = 5
X1
X2
X1
X2
X1
X2
X1
X2
0
5
3
0
0
2
5
0
0
1
2.5
0
2
5
0
0
X2
5
5X1 +2X2 ≤ 10
Región factible Limitada
Tramo de puntos
óptimos
Solución Múltiple
3X1 + 5X2 ≤ 15
factible
X1
5
Figura 4
La región factible es la encerrada en el recuadro formado por las rectas x > O,
y > 0, 3xl + 5x2 ≤ 15 y 5x1+ 2x2 ≤ 10. La línea de la función objetivo Z, se
mueve paralelamente desde Z =2.5 hacia la esquina superior derecha,
alcanzándose el óptimo en el punto último que toque la recta Z de la función
objetivo de la zona de soluciones factibles. Esto ocurre sobre la recta 5x1+ 2x2
≤10 cuando Z =1O desde x =2 hasta el punto en el cruce de las ecuaciones S x
l + 2x2 ≤10 y 3xl + 5x2 ≤ 15. Existiendo por esto una zona de soluciones
múltiples.
A continuación se presenta en la figura 5 el mismo caso usando la
•región es ilimitada ( No Acotada ).
Max Z = 2X2 – X1
Sujeto a:
Xl - X2 >-l
5X1 + X2 < 2
X’s > O
Tabulando los valores de las restricciones y de la función objetivo tenemos;
Ecuación 1
Ecuación 2
Z0 = 2
Z1 = 4
X1
X2
X1
X2
X1
X2
X1
X2
0
-1
1
0
0
-4
2
0
0
-2
1
0
0
-4
2
0
X2
X1 - X2 ≥ -1
4
-5x1 +2X2 ≤ 2
Z optima
Tramo de sol. Optimas
Z1
Región factible
X1
4
Figura 5
La región factible esta acotada por las rectas x > 0, y > O, xlx2 > -l y - 5x1
+x2 _ 2, pero no esta acotada por la derecha, existiendo por lo anterior una
región factible ilimitada. La línea de la función objetivo Z, se mueve
paralelamente desde Z =2 hacia la esquina superior izquierda, alcanzándose
el óptimo en el punto último que toque la recta Z de la función objetivo de la
zona de soluciones factibles. Esto ocurre cuando Z =4 sobre la línea de la
ecuación –5x1 +x2 < 2, desde el punto donde se cruzan las ecuaciones xl-x2 >
-l y -. 5x1+ x2 < 2 hasta el infinito.
Solución Optima Ilimitada
Esto sucede cuando la región es factible y la línea correspondiente de
la Función Objetivo Z va optimizándose conforme se desplaza. Su valor cada
vez va mejorando y debido al comportamiento de la función de Z y a que la
región es ilimitada este valor tiende a mejorar infinitamente.
La figura 6 muestra una gráfica en la que se aprecia como avanza la línea de Z
indefinidamente debido a su pendiente y a que la región de soluciones factibles
no esta acotada en su lado derecho.
Ecuación 1
Ecuación 2
Z0 = 2.5
Z1 = 5
X1
X2
X1
X2
X1
X2
X1
X2
0
-1
1
0
0
-4
2
0
0
2
1
0
0
4
2
0
X2
Z1
4
Z2
X1 - X2 ≥ -1
23
Región factible ilimitada
Solución ilimitada
-5X1 + X2 ≤ 2
Región factible
X1
Figura 6
La región factible esta acotada por las rectas x > 0, y > O, x1x1 – x2 > -l y 5xl + x2 < 2, pero no esta acotada por la derecha, existiendo por lo anterior una
región factible ilimitada. La línea de la función objetivo Z, se mueve
paralelamente desde Z =2 hacia la esquina superior derecha, alcanzándose el
óptimo en el punto último que toque la recta Z de la función objetivo de la zona
de soluciones factibles. Esto no ocurre en ningún punto ya que en sobre la
recta de la ecuación -. 5x1 + x2 _ 2 y a partir del cruce de las ecuaciones xl-x2
_ -l y -. Sxl + x2 _ 2 conforme el valor de Z se optimiza(crece), la recta de la
función objetivo Z se desplaza hacia la derecha y como la región esta ilimitada
por este lado siempre un desplazamiento hacia la derecha será una mejor
solución.
SOLUCION FACTIBLE VACIA
Esto sucede cuando las ecuaciones del sistema son inconsistentes, es decir
son paralelas no coincidentes entre si, por lo que no existe una región de
soluciones factibles que satisfagan a las funciones en el sistema Ax =b. la
figura 7 muestra esta situación.
Max Z= 3X1 – 2X2
Sujeto a
X1 + X2 ≤ 1
2X1 +2X2 ≥ 4
x`s ≥ 0
tabulando los valores de las restricciones y de la función objetivo tenemos
Ecuación 1
Ecuación 2
Z0 = 6
Z1 = 12
X1
X2
X1
X2
X1
X2
X1
X2
0
1
1
0
0
2
2
0
0
2
-3
0
4
-6
0
0
X2
Solución factible vacía
Región factible de
2X1 +2X2 ≥ 4
Z1
Z2
No existe ningún punto que
satisfaga las ecuaciones, e
independientemente de la
función objetivo no existe
solución a este problema
X1
4
X1 + X2 ≤ 1
Región factible
Figura 7
SOLUCION NO FACTIBLE.
Las ecuaciones pueden ser consistentes y aun así no tener solución factible,
porque ningún punto satisfaciendo las ecuaciones, no satisface la nonegatividad de las restricciones.
La figura 8 muestra esta situación. En la que se puede observar que la región
que satisface al sistema de ecuaciones se encuentra en el tercer cuadrante ,
mismo que no satisface la no negatividad de las x´s.
Max z = x1 + x2
Sujeto a:
’S > 0
X1 + X2 > 0
3x1 – X2 < -3
Tabulando los valores de las restricciones y de la función objetivo tenemos;
Ecuación 1
X1
0
Ecuación 2
X2
X1
X2
X1
X2
-3
0
3
0
-8
-8
0
-1
3
Z0 = -8
0
0
Z1 = -4
X2
X1
X2
0
-4
-4
0
3x1-x2<=-3
X1-x1>=0
-4
-8
X1
4
-4
Region factible ax
No Solución factible:
=b
La zona de soluciones factibles
encuentran en tercer cuadrantes donde
no se satisface la no negatividad de las
restricciones por lo tanto no se existe
solución a este problema.
Z2
-8
Z1
8
EJEMPLO 1
MAXIMIZAR Z = X1 + 14X2
SUJETO A:
_ 16
1) X1 + 37X2 <
< 20
2) 4 X1 + X2 _
_
<4
3) X1
_
0
X1, X2 >
Tabulando los valores de las restricciones y de la función
objetivo tenemos;
X1 X2
0 4
10 0
3
2
20 15 SOL.
ÓPTIMA
10 -
13
5-
REGIÓN
FACTIBLE
5
10
--
Solución:
Como el punto optimo ocurre en el
cruce de las ecuaciones
x1+ 3x2 = 16 y 4x1 + x2 = 20
resolviendo este sistema
obtenemos el cruce que ocurre
Z2
X 1 = X 2 = 4, dando un valor
Z1
Z = 2(4) + 5(4) =28
X1
-
X1 X2
0 2
5 0
-
X1 X 2
0 20
5 5
-
X1 X2
0 16/3
16 0
15 2 0
1
X2
EJEMPLO 2
MINIMIZAR Z = 2X1 + 5X2
SUJETO A:
1) X1
2) X2
X1, X2 _
>0
X1 X2
0 16
8 0
10 8-
REGIÓN
ILIMITADA
SOL.
ÓPTIMA
642-
-
El punto optimo ocurre en el
cruce de las ecuaciones x _
> 6, y
X 1+ X 2 _
> 10 resultando el punto
óptimo X 1 = 8 y X 2 = 16 con un valor
de Z = 32
Z1 X1
-
Z2
-
X1 X 2
0 24
12 0
-
X1 X 2
0 10
10 0
-
X1 X2
6 1
6 2
2
4
6
8
10
1
X2
2
EJEMPLO 3
MINIMIZAR Z = 4X1 + X2
SUJETO A:
1) 2X1 + 7X2 _
< 21
< 49
2) 7X2 + 2X2 _
X1, X2 _
>0
X 1 X2
0
3
10.5 0
X1 X 2
0 24.5
7 0
X1 X 2
0 4
1 0
X1 X2
0 16
4 0
X1
2
Z2 Z1
38 25 20 10 53-
-
-
REGIÓN
FACTIBLE
-
1
SOL.
ÓPTIMA
-
La solución óptima ocurre en el
cruce de las ecuaciones en el punto
x >.689 , y X2 = 1.089 y el valor
óptimo de Z = 4 (6.689) + 1.089 = 25.667
2
4
6
8
10
12
X2
EJEMPLO 4
MAXIMIZAR Z = X1 + 14X2
SUJETO A:
< 21
1) 2 X1 + 7X2 _
<2
2) 7 X2 + 2X2 _
_
0
X1, X2 >
X1 X 2
0 4
1 0
X1 X2
0 16
4 0
1
El punto optimo ocurre en el
cruce de las ecuaciones x _
> 6, y
X 1+ X 2 _
> 10 resultando el punto
óptimo X 1 = 8 y X 2 = 16 con un valor
de Z = 32
12 10 -
SOLUCION: Son todos los puntos que
se encuentran en la linea formada en la
intersección de la ecuación 1 con el eje
x2 hasta la intersección de la ecuación 1
con la ecuación 2
864-
2
4
-
REGIÓN
ILIMITADA
2-
-
1
-
Z1
Z2
X1
-
X 1 X2
0 10.5
3 0
-
X1 X2
0
3
10.5 02
6
8
10
12
X2