Clase #7 - WordPress.com

LÍMITES
Problema de tangente a una curva en un punto P.
Inicialmente consideramos una recta secante PQ con Q sobre la curva y
cerca de P. Movemos Q hacia P, y por tanto las coordenadas de Q
tienden a las coordenadas de P.
√
Ej 1: Sea f (x) = x y P = (1, 1). La siguiente tabla contiene información
de la coordenada xQ y de la pendiente de la respectiva recta secante
()
27 de abril de 2012
1 / 11
LÍMITES
Problema de tangente a una curva en un punto P.
Inicialmente consideramos una recta secante PQ con Q sobre la curva y
cerca de P. Movemos Q hacia P, y por tanto las coordenadas de Q
tienden a las coordenadas de P.
√
Ej 1: Sea f (x) = x y P = (1, 1). La siguiente tabla contiene información
de la coordenada xQ y de la pendiente de la respectiva recta secante
()
27 de abril de 2012
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LÍMITES
Problema de tangente a una curva en un punto P.
Inicialmente consideramos una recta secante PQ con Q sobre la curva y
cerca de P. Movemos Q hacia P, y por tanto las coordenadas de Q
tienden a las coordenadas de P.
√
Ej 1: Sea f (x) = x y P = (1, 1). La siguiente tabla contiene información
de la coordenada xQ y de la pendiente de la respectiva recta secante
()
27 de abril de 2012
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LÍMITES
Problema de tangente a una curva en un punto P.
Inicialmente consideramos una recta secante PQ con Q sobre la curva y
cerca de P. Movemos Q hacia P, y por tanto las coordenadas de Q
tienden a las coordenadas de P.
√
Ej 1: Sea f (x) = x y P = (1, 1). La siguiente tabla contiene información
de la coordenada xQ y de la pendiente de la respectiva recta secante
()
27 de abril de 2012
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LÍMITES
Problema de tangente a una curva en un punto P.
Inicialmente consideramos una recta secante PQ con Q sobre la curva y
cerca de P. Movemos Q hacia P, y por tanto las coordenadas de Q
tienden a las coordenadas de P.
√
Ej 1: Sea f (x) = x y P = (1, 1). La siguiente tabla contiene información
de la coordenada xQ y de la pendiente de la respectiva recta secante
()
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xQ
4
3
2
1,5
1,1
1,01
1,001
1,0001
mPQ
2−1
= 31
√ 4−1
3−1
= 0,366
√3−1
2−1
= 0,4142
√2−1
1,5−1
= 0,4494
√1,5−1
1,1−1
= 0,4880
√1,1−1
1,01−1
= 0,4988
√1,01−1
1,001−1
= 0,4949
√ 1,001−1
1,0001−1
1,0001−1 = 0,49999
Decimos que lı́mQ→P mPQ = m = 0,5, o equivalentemente que
√
x −1
1
=
lı́m
x→1 x − 1
2
Adicionalmente: y − 1 = 12 (x − 1) (Recta Tangente)
()
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xQ
4
3
2
1,5
1,1
1,01
1,001
1,0001
mPQ
2−1
= 31
√ 4−1
3−1
= 0,366
√3−1
2−1
= 0,4142
√2−1
1,5−1
= 0,4494
√1,5−1
1,1−1
= 0,4880
√1,1−1
1,01−1
= 0,4988
√1,01−1
1,001−1
= 0,4949
√ 1,001−1
1,0001−1
1,0001−1 = 0,49999
Decimos que lı́mQ→P mPQ = m = 0,5, o equivalentemente que
√
x −1
1
=
lı́m
x→1 x − 1
2
Adicionalmente: y − 1 = 12 (x − 1) (Recta Tangente)
()
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xQ
4
3
2
1,5
1,1
1,01
1,001
1,0001
mPQ
2−1
= 31
√ 4−1
3−1
= 0,366
√3−1
2−1
= 0,4142
√2−1
1,5−1
= 0,4494
√1,5−1
1,1−1
= 0,4880
√1,1−1
1,01−1
= 0,4988
√1,01−1
1,001−1
= 0,4949
√ 1,001−1
1,0001−1
1,0001−1 = 0,49999
Decimos que lı́mQ→P mPQ = m = 0,5, o equivalentemente que
√
x −1
1
=
lı́m
x→1 x − 1
2
Adicionalmente: y − 1 = 12 (x − 1) (Recta Tangente)
()
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Problema de velocidad instantanea.
Consideremos un objeto en caida libre y supongamos que no existen
fuerzas diferentes a la gravedad. Para este moviemiento se obtiene que:
”La distancia recorrida es proporcional al cuadrado del tiempo empleado
en la caida”, luego
s(t) = 4,9 t 2
Ej: Si se suelta una pelota desde una plataforma de 450 m de altura,
determinar la velocidad al cabo de 5 s
Utilizando la idea de velocidades promedio
vm =
()
Cambio de posición
Tiempo transcurrido
27 de abril de 2012
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Problema de velocidad instantanea.
Consideremos un objeto en caida libre y supongamos que no existen
fuerzas diferentes a la gravedad. Para este moviemiento se obtiene que:
”La distancia recorrida es proporcional al cuadrado del tiempo empleado
en la caida”, luego
s(t) = 4,9 t 2
Ej: Si se suelta una pelota desde una plataforma de 450 m de altura,
determinar la velocidad al cabo de 5 s
Utilizando la idea de velocidades promedio
vm =
()
Cambio de posición
Tiempo transcurrido
27 de abril de 2012
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Problema de velocidad instantanea.
Consideremos un objeto en caida libre y supongamos que no existen
fuerzas diferentes a la gravedad. Para este moviemiento se obtiene que:
”La distancia recorrida es proporcional al cuadrado del tiempo empleado
en la caida”, luego
s(t) = 4,9 t 2
Ej: Si se suelta una pelota desde una plataforma de 450 m de altura,
determinar la velocidad al cabo de 5 s
Utilizando la idea de velocidades promedio
vm =
()
Cambio de posición
Tiempo transcurrido
27 de abril de 2012
3 / 11
Problema de velocidad instantanea.
Consideremos un objeto en caida libre y supongamos que no existen
fuerzas diferentes a la gravedad. Para este moviemiento se obtiene que:
”La distancia recorrida es proporcional al cuadrado del tiempo empleado
en la caida”, luego
s(t) = 4,9 t 2
Ej: Si se suelta una pelota desde una plataforma de 450 m de altura,
determinar la velocidad al cabo de 5 s
Utilizando la idea de velocidades promedio
vm =
()
Cambio de posición
Tiempo transcurrido
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Intervalo de tiempo
5≤t≤6
5 ≤ t ≤ 5,1
5 ≤ t ≤ 5,05
5 ≤ t ≤ 5,01
5 ≤ t ≤ 5,001
vm
s(6)−s(5)
= 53,9
6−5
s(5,1)−s(5)
= 49,49
0,1
s(5,05)−s(5)
= 49,245
0,05
s(5,01)−s(5)
= 49,049
0,01
s(5,001)−s(5)
= 49,0049
0,001
Por tanto es natural decir que la velocidad instantanea es vt=5 = 49m/s y
denotamos este comportamiento por
4,9 t 2 − 122,5
= 49
t→5
t −5
lı́m
()
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Intervalo de tiempo
5≤t≤6
5 ≤ t ≤ 5,1
5 ≤ t ≤ 5,05
5 ≤ t ≤ 5,01
5 ≤ t ≤ 5,001
vm
s(6)−s(5)
= 53,9
6−5
s(5,1)−s(5)
= 49,49
0,1
s(5,05)−s(5)
= 49,245
0,05
s(5,01)−s(5)
= 49,049
0,01
s(5,001)−s(5)
= 49,0049
0,001
Por tanto es natural decir que la velocidad instantanea es vt=5 = 49m/s y
denotamos este comportamiento por
4,9 t 2 − 122,5
= 49
t→5
t −5
lı́m
()
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DEFINICION INTUITUVA DE LIMITE
lı́m f (x) = L
x→a
quiere decir que f (x) está tan cerca de L como se quiera, siempre que x
este lo suficientemente cerca de a, pero x diferente de a.
Ej 1: Consideremos f (x) = xx−1
2 −1 , x 6= 1. Entonces estudiamos el
comportamiento de f (x) para x ≈ 1
x
0,5
0,9
0,99
0,999
0,9999
()
f (x)
x
0,6667
1,5
0,526316
1,1
0,502513
1,01
0,500250 1,001
0,500025 1,0001
f (x)
0,4
0,476190
0,497512
0,499750
0,499975
27 de abril de 2012
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DEFINICION INTUITUVA DE LIMITE
lı́m f (x) = L
x→a
quiere decir que f (x) está tan cerca de L como se quiera, siempre que x
este lo suficientemente cerca de a, pero x diferente de a.
Ej 1: Consideremos f (x) = xx−1
2 −1 , x 6= 1. Entonces estudiamos el
comportamiento de f (x) para x ≈ 1
x
0,5
0,9
0,99
0,999
0,9999
()
f (x)
x
0,6667
1,5
0,526316
1,1
0,502513
1,01
0,500250 1,001
0,500025 1,0001
f (x)
0,4
0,476190
0,497512
0,499750
0,499975
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DEFINICION INTUITUVA DE LIMITE
lı́m f (x) = L
x→a
quiere decir que f (x) está tan cerca de L como se quiera, siempre que x
este lo suficientemente cerca de a, pero x diferente de a.
Ej 1: Consideremos f (x) = xx−1
2 −1 , x 6= 1. Entonces estudiamos el
comportamiento de f (x) para x ≈ 1
x
0,5
0,9
0,99
0,999
0,9999
()
f (x)
x
0,6667
1,5
0,526316
1,1
0,502513
1,01
0,500250 1,001
0,500025 1,0001
f (x)
0,4
0,476190
0,497512
0,499750
0,499975
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Concluimos que
1
x −1
=
2
x→1 x − 1
2
Nota: No importa como definamos la función en x = 1, el lı́mite es
siempre igual a 1.
lı́m
(
g (x) =
x−1
x 2 −1
3/2
si x 6= 1
si x = 1
lı́m g (x) =
x→1
()
1
2
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Concluimos que
1
x −1
=
2
x→1 x − 1
2
Nota: No importa como definamos la función en x = 1, el lı́mite es
siempre igual a 1.
lı́m
(
g (x) =
x−1
x 2 −1
3/2
si x 6= 1
si x = 1
lı́m g (x) =
x→1
()
1
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Concluimos que
1
x −1
=
2
x→1 x − 1
2
Nota: No importa como definamos la función en x = 1, el lı́mite es
siempre igual a 1.
lı́m
(
g (x) =
x−1
x 2 −1
3/2
si x 6= 1
si x = 1
lı́m g (x) =
x→1
()
1
2
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Algunos inconvenientes en el cálculo de lı́mites
√
x2 + 9 − 3
lı́m
x→0
x2
Utilizando una calculadora básica encontramos
x
f (x)
±1 0,16228
±0,5 0,16553
±0,1 0,16662
±0,005 0,16666
±0,001 0,16667
±0,0001
0,2
±0,00005
0
±0,00001
0
Pero el verdadero valor del limites es:
lı́m f (x) =
x→0
()
1
6
27 de abril de 2012
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Algunos inconvenientes en el cálculo de lı́mites
√
x2 + 9 − 3
lı́m
x→0
x2
Utilizando una calculadora básica encontramos
x
f (x)
±1 0,16228
±0,5 0,16553
±0,1 0,16662
±0,005 0,16666
±0,001 0,16667
±0,0001
0,2
±0,00005
0
±0,00001
0
Pero el verdadero valor del limites es:
lı́m f (x) =
x→0
()
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Algunos inconvenientes en el cálculo de lı́mites
√
x2 + 9 − 3
lı́m
x→0
x2
Utilizando una calculadora básica encontramos
x
f (x)
±1 0,16228
±0,5 0,16553
±0,1 0,16662
±0,005 0,16666
±0,001 0,16667
±0,0001
0,2
±0,00005
0
±0,00001
0
Pero el verdadero valor del limites es:
lı́m f (x) =
x→0
()
1
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OTROS LIMITES
Ej 2: Asegurandose que tenemos el ángulo en radianes estudiemos
sinx
x→0 x
lı́m
utilizando una calculadora, estudiamos el comportamiento de la función
cerca de 0
x
f (x)
±1 0,84147098
±0,5 0,95885108
±0,1 0,99833417
±0,005 0,99958339
±0,001 0,99998333
±0,0001 0,99999983
luego concluimos que el valor del limite es 1. También podemos encontrar
una justificación geométrica en el cı́rculo unitario.
()
27 de abril de 2012
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OTROS LIMITES
Ej 2: Asegurandose que tenemos el ángulo en radianes estudiemos
sinx
x→0 x
lı́m
utilizando una calculadora, estudiamos el comportamiento de la función
cerca de 0
x
f (x)
±1 0,84147098
±0,5 0,95885108
±0,1 0,99833417
±0,005 0,99958339
±0,001 0,99998333
±0,0001 0,99999983
luego concluimos que el valor del limite es 1. También podemos encontrar
una justificación geométrica en el cı́rculo unitario.
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Lı́mites que no existen
π
lı́m sin( )
x→0
x
Para x ≈ 0 la función dada es altamente oscilatoria, si x = n1 , entonces
2
f (x) = 0, sin embargo si x = 4n+1
, entonces f (x) = 1.
- Si H(x) denota la función de Heaviside,
lı́m H(x) =?
x→0
- Sea f (x) = x1 .
lı́m f (x) =?
x→0
()
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Lı́mites que no existen
π
lı́m sin( )
x→0
x
Para x ≈ 0 la función dada es altamente oscilatoria, si x = n1 , entonces
2
f (x) = 0, sin embargo si x = 4n+1
, entonces f (x) = 1.
- Si H(x) denota la función de Heaviside,
lı́m H(x) =?
x→0
- Sea f (x) = x1 .
lı́m f (x) =?
x→0
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Lı́mites que no existen
π
lı́m sin( )
x→0
x
Para x ≈ 0 la función dada es altamente oscilatoria, si x = n1 , entonces
2
f (x) = 0, sin embargo si x = 4n+1
, entonces f (x) = 1.
- Si H(x) denota la función de Heaviside,
lı́m H(x) =?
x→0
- Sea f (x) = x1 .
lı́m f (x) =?
x→0
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Lı́mites que no existen
π
lı́m sin( )
x→0
x
Para x ≈ 0 la función dada es altamente oscilatoria, si x = n1 , entonces
2
f (x) = 0, sin embargo si x = 4n+1
, entonces f (x) = 1.
- Si H(x) denota la función de Heaviside,
lı́m H(x) =?
x→0
- Sea f (x) = x1 .
lı́m f (x) =?
x→0
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Lı́mites que no existen
π
lı́m sin( )
x→0
x
Para x ≈ 0 la función dada es altamente oscilatoria, si x = n1 , entonces
2
f (x) = 0, sin embargo si x = 4n+1
, entonces f (x) = 1.
- Si H(x) denota la función de Heaviside,
lı́m H(x) =?
x→0
- Sea f (x) = x1 .
lı́m f (x) =?
x→0
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LIMITES LATERALES
Hemos visto situaciones en las que no existe el lı́mite, pero lateralmente la
función tiende a un valor.
Definición: Decimos que lı́mx→a− f (x) = L, si f (x) se acerca a L cuando
x se acerca a a, pero x se mantiene menor que a y analogamente decimos
que lı́mx→a+ f (x) = M, si f (x) se acerca a M cuando x se acerca a a,
pero x se mantiene mayor que a.
Es decir, en los lı́mites laterales, la variable tiende al valor a por la
izquierda o por la derecha respectivamente.
()
27 de abril de 2012
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LIMITES LATERALES
Hemos visto situaciones en las que no existe el lı́mite, pero lateralmente la
función tiende a un valor.
Definición: Decimos que lı́mx→a− f (x) = L, si f (x) se acerca a L cuando
x se acerca a a, pero x se mantiene menor que a y analogamente decimos
que lı́mx→a+ f (x) = M, si f (x) se acerca a M cuando x se acerca a a,
pero x se mantiene mayor que a.
Es decir, en los lı́mites laterales, la variable tiende al valor a por la
izquierda o por la derecha respectivamente.
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LIMITES LATERALES
Hemos visto situaciones en las que no existe el lı́mite, pero lateralmente la
función tiende a un valor.
Definición: Decimos que lı́mx→a− f (x) = L, si f (x) se acerca a L cuando
x se acerca a a, pero x se mantiene menor que a y analogamente decimos
que lı́mx→a+ f (x) = M, si f (x) se acerca a M cuando x se acerca a a,
pero x se mantiene mayor que a.
Es decir, en los lı́mites laterales, la variable tiende al valor a por la
izquierda o por la derecha respectivamente.
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LIMITES LATERALES
Hemos visto situaciones en las que no existe el lı́mite, pero lateralmente la
función tiende a un valor.
Definición: Decimos que lı́mx→a− f (x) = L, si f (x) se acerca a L cuando
x se acerca a a, pero x se mantiene menor que a y analogamente decimos
que lı́mx→a+ f (x) = M, si f (x) se acerca a M cuando x se acerca a a,
pero x se mantiene mayor que a.
Es decir, en los lı́mites laterales, la variable tiende al valor a por la
izquierda o por la derecha respectivamente.
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Ej 1: Si H(x) es la función de Heaviside
lı́m H(x) = 0
x→0−
y
lı́m H(x) = 1
x→0+
Ej 2: Determinar los lı́mites laterales en a = 2 si
(
si x < 2
− x2
f (x) =
x +1
si x > 2
()
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Ej 1: Si H(x) es la función de Heaviside
lı́m H(x) = 0
x→0−
y
lı́m H(x) = 1
x→0+
Ej 2: Determinar los lı́mites laterales en a = 2 si
(
− x2
si x < 2
f (x) =
x +1
si x > 2
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Ej 1: Si H(x) es la función de Heaviside
lı́m H(x) = 0
x→0−
y
lı́m H(x) = 1
x→0+
Ej 2: Determinar los lı́mites laterales en a = 2 si
(
− x2
si x < 2
f (x) =
x +1
si x > 2
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