Ayudantía 01 Microeconomia 1

Facultad de Ingeniería
Universidad Diego Portales
CII-2001
Microeconomía
Profesor: Carolina Rojas García
Ayudante: Javier Ormeño Soto 1
AYUDANTIA 1
COMENTES
1.- Cualquier transformación monótona creciente de la función de utilidad representa la
misma preferencia debido a que la relación marginal de sustitución es igual a la razón
entre las utilidades marginales.
Respuesta: Falso, cualquier transformación monótona creciente de la función de utilidad
representa la misma preferencia, pero esto es debido a que utilidad es ordinal.
2- En la teoría del consumidor, para bienes que provocan utilidades marginales positivas
y decrecientes, la relación marginal de sustitución es constante y no depende del nivel
que se esté consumiendo.
Respuesta: Falso. La relación marginal de sustitución depende de la cantidad de bienes
que se esté consumiendo. Si hay UM positivas y decrecientes, implica que mientras
más tengo de un bien (y menos de otro), más estoy dispuesto a sacrificar del bien
abundante a cambio del bien escaso. Por lo tanto, la RMS cambia.
3.- El delantero Felipe Flores de Colo-Colo gana el mismo sueldo que Cristiano Ronaldo del
Real Madrid. ¿Cómo se podría explicar lo anterior si Flores hace muchos menos goles que
Ronaldo? (Es decir, el valor del producto marginal de Flores es claramente menor que
aquel de Ronaldo).
Respuesta
Podría haber muchas razones. Por ejemplo, que el producto de cada jugador no sólo sean
los goles que haga, sino que otras instancias con que aporta. Otra razón es que lo
contrataron por las expectativas de goles, y como se negocia antes, entonces su salario
queda fijado sin conocer el rendimiento efectivo que tendrá en el futuro. Otra explicación
sería que el precio del producto que vende Colo-Colo es mayor que el del Real Madrid y
por tanto aún cuando la productividad de Ronaldo sea mayor que la de Flores, la
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discrepancia de precios logra compensar las diferencias en las productividades logrando
así que ambos jugadores obtengan el mismo salario.
MATEMÁTICOS
1- Un consumidor tiene la siguiente función de utilidad 𝑈 = 𝑥1 𝑥2 2 y se enfrenta a los
precios 𝑝1 = 10 y 𝑝2 = 20. El ingreso del consumidor es m = 180.
a) Calcule la máxima utilidad del consumidor, dado su ingreso y los precios de los
productos.
b) Si al consumidor le restringen a 4 unidades el consumo del bien 1, pero su ingreso
aumenta en $20, ¿debería aceptar?.
c) ¿En el caso anterior el consumidor está maximizando su utilidad?
Respuesta:
a) El problema de maximización de utilidades del consumidor muestra que
Aplicándolo al problema se obtiene que:
𝑈𝑀1
𝑥2
=
𝑈𝑀2
2𝑥2
→
𝑥2
10
=
2𝑥1
20
→ 𝑥2 = 𝑥1
Por otro lado, a partir de la restricción presupuestaria se tiene que:
𝑝1 𝑥1 + 𝑝2 𝑥2 = 𝑚
10𝑥1 + 20𝑥2 = 180
Como 𝑥2 = 𝑥1 :
10𝑥1 + 20𝑥1 = 180
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𝑈𝑀1
𝑈𝑀2
=
𝑝1
𝑝2
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→ 𝑥1 = 𝑥2 = 6
Luego la funcion de utilidad maxima es:
𝑈 = 𝑥1 𝑥2 2 = 63 = 216
b) Si al consumidor le pagan $20 adicionales, la recta presupuestaria se desplaza
paralelamente hacia la derecha, pues 10𝑥1 + 20𝑥 2 = 200.
En este caso, si 𝑥1 = 4, a partir de la restricción presupuestaria se tiene que:
20𝑥2 = 200 − 10 ∗ 4 → 𝑥2 = 8.
En ese punto la función de utilidad es 𝑈 = 4 ∗ 82 = 256.
Como la utilidad en este caso es mayor que en a), el consumidor aceptaría la oferta.
c) En el caso b) el consumidor tiene una utilidad de 256, pero esta no es la máxima
que puede obtener, dada su restricción presupuestaria. Recordemos que para que
𝑈𝑀
𝑝
la utilidad sea máxima se tiene que cumplir que 𝑈𝑀1 = 𝑝1 , es decir, que 𝑥1 = 𝑥2 .
2
2
Por lo tanto, reemplazando esto en la nueva restricción presupuestaria, se tiene que:
10𝑥1 + 20𝑥1 = 200
→ 𝑥1 = 𝑥2 = 6,68
Luego la canasta que maximiza su utilidad es (𝑥1 , 𝑥2 ) = ( 6,68; 6,68). Y la utilidad es 𝑈 =
6,683 = 296,3
2.- Supongamos que se tiene la siguiente función de producción:
𝑓(𝐿, 𝐾) = 8𝐿1/2 𝐾 1/2
Donde L representa la cantidad de trabajo y K la cantidad de capital para producir ese
nivel de producción. Suponga que los precios del trabajo y el capital son, 𝑤𝐿 = 4 y 𝑤𝐾 =
16, respectivamente. Por último suponga que el nivel óptimo de producción es de 100
unidades.
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a) Plantee el problema del productor de forma de resolverlo a través de la
Minimización de Costos y encuentra las cantidades óptimas de trabajo y capital.
El problema a resolver se transforma en:
min 𝐶 = 4𝐿 + 16𝐾
𝑠𝑎. 𝑓(𝐿, 𝐾) = 8𝐿1/2 𝐾 1/2 = 100
Empleando multiplicadores de Lagrange:
ℒ: 4𝐿 + 16𝐾 − 𝜆(8𝐿1/2 𝐾 1/2 − 100) (1)
Las CPO son:
𝜕ℒ
: 4 − 𝜆4𝐿−1/2 𝐾 1/2 = 0 (2)
𝜕𝐿
𝜕ℒ
: 16 − 𝜆4𝐿1/2 𝐾 −1/2 = 0 (3)
𝜕𝐾
𝜕ℒ
: −8𝐿1/2 𝐾 1/2 + 100 = 0 (4)
𝜕𝜆
Despejando para (2) y (3) y dividiéndolas:
1 𝐾
=
→ 𝐿 = 4𝐾 (5)
4 𝐿
Reemplazando (5) en (4):
8(4𝐾)1/2 𝐾 1/2 = 100
16𝐾 = 100
𝐾 ∗ = 6.25
Luego reemplazando el 𝐾 ∗ en (4):
𝐿 = 4 ∗ 6.25
𝐿∗ = 25
b) A partir de lo anterior encuentre la función de costo mínimo.
𝐶 ∗ = 𝐶(𝐿∗ , 𝐾 ∗ )
𝐶 ∗ = 4 ∙ 25 + 16 ∙ 6.25
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𝐶 ∗ = 200
Ahora asuma que el precio de venta unitario es igual a 2
c) Plantee el problema del productor de forma de resolverlo a través de la
Maximización de utilidades escogiendo la cantidad de factores. (Asuma que el
productor conoce la función de costo mínimo obtenida en b) ).
El problema a resolver se transforma en:
max 𝜋 = 2 ∙ 8𝐿1/2 𝐾 1/2 − 4𝐿 − 16𝐾
Las CPO son:
𝜕𝜋
: 8𝐿−1/2 𝐾 1/2 − 4 = 0 (5)
𝜕𝐿
𝜕𝜋
: 8𝐿1/2 𝐾 −1/2 − 16 = 0 (6)
𝜕𝐾
Despejando y dividiendo las CPO se llega a qué:
𝐾 1
= → 𝐿 = 4𝐾 (7)
𝐿 4
Cómo la función de costo mínima se asume conocida entonces reemplazamos el resultado
anterior, en la ecuación:
4 ∙ 4𝐾 + 16𝐾 = 200
32𝐾 = 200
𝐾 ∗ = 6.25
Reemplazando 𝐾 ∗ en (7):
𝐿 = 4 ∗ 6.25
𝐿∗ = 25
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3- Considere una función de producción dada por q = 6𝐾 1/6 donde q es la cantidad de
producto y K es la cantidad del factor capital. Si el precio de una unidad de capital
(w) es 8 y la función de costo está dada por C = 12 + wK encuentre:
a) La curva de oferta
b) Las curvas de costo marginal, costo medio y costo variable medio.
c) Si el precio de venta del producto p*= 6, ¿cuál es el excedente del productor?
Respuesta:
a) Para encontrar la curva de oferta resolvemos el problema de maximización de
beneficios del productor:
max 𝜋 = 𝑝𝑞 − 𝐶
→ max 𝜋 = 6𝑝𝑘1/6 − 12 − 8𝐾
→
𝜕𝜋
=0
𝜕𝐾
→ 𝑝𝐾 −5/6 = 8
𝑝 6/5
𝐾=( )
8
Luego, introducimos este resultado en la función de producción:
𝑝 1/5
𝑞 = 6𝐾 1/6 = 6 ( )
8
𝑝=
𝑞5
972
b) De la maximización de la firma se obtiene que p =CMg, por lo tanto la curva de
costo marginal se obtiene directamente de la función de oferta encontrada en a):
𝑞5
𝐶𝑀𝑔 =
972
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El costo medio es 𝐶𝑀𝑒 = 𝐶(𝑞)/𝑞. Como w = 8 se tiene que 𝐶 = 12 + 8𝐾.
En la parte a) encontramos el valor de K en función de p:
𝑝 6/5
𝐾=( )
8
Usamos la curva de oferta encontrada en a) para reemplazar el valor de p en K y
obtener K(q):
𝑝=
→ 𝐾=
𝑞5
972
1
86/5
→ 𝐶 = 12 +
𝐶𝑀𝑒 =
6/5
𝑞5
(
)
972
𝑞6
5832
𝐶
12
𝑞5
=
+
𝑞
𝑞
5832
El costo variable medio es CVMe = CV=q, por lo tanto:
𝐶𝑉𝑀𝑒 = 𝑞 5
1
5832
c) Si p* = 6, entonces reeemplazando en la curva de oferta se obtiene que:
6 1/5
𝑞 = 6 ( ) = 5,66
8
∗
El excedente del productor es 𝑝∗ 𝑞 ∗ − 𝐶𝑉(𝑞 ∗ )
De b) tenemos que : 𝐶𝑉(𝑞 ∗ ) =
𝑞∗
6
5832
Reemplazando el valor de q* se tiene obtiene que
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𝐶𝑉 (𝑞 ∗ ) = 5, 66.
Por lo tanto, el excedente del productor es:
𝑝∗ 𝑞 ∗ − 𝐶𝑉(𝑞 ∗ ) = 6 ∗ 5,66 − 5,66 = 28,3
4- Considere el mercado de bufandas que puede ser representado por las siguientes curvas de
oferta y demanda respectivamente:
𝑄 = 5𝑃
𝑄 = 4800 − 𝑃
a) Determine el precio y cantidad de equilibrio de este mercado. Grafique
Respuesta
Igualando las curvas de oferta y demanda despejamos el precio de equilibrio:
5𝑃 = 4800 − 𝑃
𝑃∗ = 800
Reemplazamos en cualquiera de las dos funciones para obtener la cantidad de equilibrio:
𝑄 ∗ = 5 ∙ 800
𝑄 ∗ = 4000
Gráficamente sería:
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b) Encuentre los excedentes del consumidor y del productor. ¿Cuál de los dos sectores se ve
más beneficiado por el intercambio?
Respuesta
El excedente del consumidor corresponde al diferencial entre lo que paga por unidad del bien y lo
que lo valora. Sería el área triangular sobre la línea del Precio de equilibrio y bajo la curva de
demanda.
𝐸𝑥𝑐. 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑢𝑚𝑖𝑑𝑜𝑟 =
(4000 − 0) ∙ (4800 − 800)
2
𝐸𝐶 = 8000000
Análogamente, el excedente del productor corresponde al diferencial entre lo que vende y lo que
le cuesta producir el bien. Por ende, corresponde al área triangular bajo la línea del precio de
equilibrio y sobre la curva de oferta.
𝐸𝑥𝑐. 𝑃𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜𝑟 =
(4000 − 0) ∙ (800 − 0)
2
𝐸𝐶 = 1600000
Luego dado que 8.000.000 > 1.600.000, los consumidores tienen un mayor excedente y se ven más
beneficiados que los productores por el intercambio.
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c) Suponga que ahora los consumidores deciden demandar 4000 bufandas de manera fija. ¿Qué
forma toma la curva de demanda? ¿Qué ocurre con los excedentes de ambos sectores?
Respuesta
En este caso los consumidores tienen una función de demanda completamente inelástica pues
demandaran 4000 bufandas sin importar el precio. Gráficamente la demanda se vuelve una recta
vertical, por lo que el excedente del consumidor sería infinito.
El excedente del productor se mantiene igual a la situación de (b)
c) Regresando a la situación inicial, el cambio climático provoca que este invierno sea uno de
los más cálidos del último, contrayendo la demanda de bufandas. Ahora esta toma la
forma de:
𝑄 = 2400 − 𝑃
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¿Cómo cambian los excedentes del consumidor y productor en comparación a (b)? ¿Quién
obtiene más beneficios del intercambio en este caso?
Respuesta
Necesitamos obtener nuevamente el equilibrio de mercado por lo que volvemos a igualar oferta y
demanda.
5𝑃 = 2400 − 𝑃
𝑃∗ = 400
𝑄 ∗ = 2000
Ahora los nuevos excedentes serían:
𝐸𝐶 =
(2000 − 0) ∙ (2400 − 400)
2
𝐸𝐶 = 2000000
𝐸𝑃 =
(2000 − 0) ∙ (400 − 0)
2
𝐸𝑃 = 400000
Los consumidores continúan percibiendo mayores excedentes por el intercambio pues 2.000.000 >
400.000
Ambos sectores perciben excedentes cuatro veces menores a la situación de (b), pero en términos
absolutos el sector de los consumidores disminuyó en mayor medida su excedente que el sector
de los productores.
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