guia finanza

1ª El 2º término de una progresión geométrica es 6, y el 5º es 48. Escribir la progesión.
a2= 6;
a5= 48;
an = ak · r n-k
48 = 6 r5-2 ;
r3 = 8;
r = 2.
a1= a2 / r; a1= 6/2= 3
3, 6, 12, 24, 48, ...
2ª El 1er término de una progresión geométrica es 3, y el 8º es 384. Hallar la razón, y la
suma y el producto de los 8 primeros términos.
a 1 = 3;
a 8 = 384;
384 = 3 · r8-1 ;
r7 = 128;
r7 = 27;
r= 2.
S8 = (384 · 2 - 3 ) / (2 − 1) = 765
3ª Calcular la suma de los primeros 5 términos de la progresión : 3, 6, 12, 24, 48, ...
4ª Juan ha comprado 20 libros, por el 1º ha pagado 1€, por el 2º 2 €, por el 3º 4 €, por el
4º 8 € y aí sucesivamente. Cuánto ha pagado por los libros.
a1= 1
r= 2;
n = 20;
S= (1 · 220-1 - 1) / (2 - 1) = 1048575 € .
Interes compuesto
1ª Determine el monto acumulado de $50 000 que se depositan en una cuenta
de valores que paga 15% anual convertible mensualmente:
a) Al cabo de un año
b) Al cabo de dos años
SOLUCION
Se utiliza la fórmula de monto a interés compuesto:
DATOS
C = $50 000.00
j = 15%
m = 12
La tasa de interés compuesto para cada inciso es:
i
j 15%

 1.25% _ mensual  0.0125 _ mensual
m
12
El número de periodos “n” depende del plazo, y se obtiene multiplicando el
número de años por ñla frecuencia de conversión.
a) Al cabo de un año
n = 1(12) = 12 meses
M  C 1  i 
n
M  50,0001  0.0125.
12
M  50,0001.025

M  50,0001.160754518
12
M = $58,037.73
b) Al cabo de dos años
n = 2(12) = 24 meses
M  C 1  i 
n
M  50,0001  0.0125.
24
M  50,0001.0125
M  50,0001.34735105
12
M = $67,367.55
2ª Cuánto dinero debe pagarse a un banco que hizo un préstamo de $300 000
si se reembolsa al año capital e interés y la tasa aplicada es de 0.24 anual
convertible trimestralmente?
DATOS
C=$300 000.00 (cantidad prestada por el banco)
Tasa nominal anual = 0.24 = 24%
Plazo = 1 año
Periodo de capitalización = trimestre
Frecuencia de conversión = 4 (un año tiene 4 trimestres)
M=?
SOLUCION
tasa nominal anual
f recuenciade conversión
0.24
i
 6% trimestral
4
i
n  frecuenciade conversiónplazo en años
n  41  4 trimestres
M  C 1  i 
n
M  300,0001  0.06
4
M  300,0001.06
M  300,0001.26247696
4
M = $378,743.09 (dinero que se le debe pagar al banco)
3ª ¿Cuánto dinero debe depositarse en el banco si se desea acumular un
monto de $250 000 en un plazo de 2 años, y la tasa de interés es de 9%
convertible mensualmente?
DATOS
C = ? (La cantidad que se debe depositar es un valor actual)
M = $250 000 (La cantidad a acumular es valor futuro)
Plazo = 2 años
j = 9%
m = 12
SOLUCION
Entonces, se busca el valor actual a interés compuesto conociendo el monto.
n = 2(12) = 24 meses




C  2500001.0075 24
C  2500000.8358314
j 9%
iC  M
 1  i n
m 12
iC 
0.75
%  0.0075
250000
1  0.0075  24
C  208957.85
C = $208 957.85 (Cantidad a depositar para acumular
$250 000.00 en dos años)
4ª ¿Qué cantidad de dinero recibe una empresa en calidad de préstamo si ha
firmado un documento por $650 000 que incluye capital e intereses a 18%
convertible trimestralmente, y tiene vencimiento en 18 meses?
DATOS
C = ? (La cantidad que recibe en préstamo es un valor actual)
M = $650 000 (valor nominal del documento o valor futuro)
Plazo = 18 meses
j = 18%
m=4
SOLUCION
Entonces, se busca el valor actual a interés compuesto conociendo el monto.
n = (18/12)(4) = 6 trimestres
j 18%

m
4
i  4.50%  0.45
i
C  M 1  i  n
C  650 0001  0.0456
C  650 0001.0456
C  650 0000.76789574
C  499132.229881
C = $499 132.23 es la cantidad que se recibe en préstamo
5ª Una deuda de $50 000 se documenta mediante un pagaré que incluye
intereses a razón de 3% trimestral, y que será pagadero al cabo de un año.
¿Qué cantidad puede obtenerse por él si se descuenta al cabo de 4 meses a
una tasa de interés de 12% convertible mensualmente?
DATOS
M = $50 000 (valor futuro de la deuda o del pagaré)
i = 3% trimestral (Tasa de interés por periodo de la deuda)
plazo = 1 año (Tiempo en que se pagará la deuda)
plazo = 4 meses (tiempo transcurrido desde que se documentó la deuda)
plazo = 12 – 4 = 8 meses (plazo que se anticipa el pago)
j = 12%
m = 12
SOLUCION
Se busca el valor actual considerando el descuento y transcurridos 4 meses
después de que se firmó el pagaré.
j 12%

m
12
i  %  0.01
i
n = 8 meses
C  M 1  i  n
C  50 0001  0.018
C  50 0000.92348322
2
C  46174.1611
24
C = $46 174.16 (Cantidad que se puede obtener si se
descuenta)
6ª Por la venta de una casa, una compañía inmobiliaria recibe un pagaré por $140 000
con vencimiento a 5 años que devenga intereses a razón de 10% anual convertible
semestralmente. ¿Qué cantidad recibirá la empresa si al cabo de un año descuenta el
documento en su banco y éste le cobra 16% de interés anual?
SOLUCION
El pagaré produce intereses, por lo que es necesario calcular el valor del mismo en la
fecha de su vencimiento, es decir, se debe calcular el monto con los siguientes:
DATOS
C = $140 000 (importe de la venta de la casa a valor actual)
Plazo = 5 años (tiempo en que vencerá el pagaré)
j = 10%
m=2
M = ? (valor nominal del pagaré)
M  C 1  i n
M  1400001  0.0510
M  1400001.628894627
M  228045.2477
M = $228 045.25 (valor del pagaré cuando venza)
Con este valor futuro se calcula su valor actual con las condiciones del descuento que
aplica el banco:
M = 228 045.25
Plazo = 4 años
j = 16%
m=1
C=?
C  228045.251  0.164

C  228045.250.552291097
C  125947.3615
C = $125 947.36 (valor que recibe la empresa un año
después)
6ª ¿En cuánto tiempo se duplica un capital si la tasa de interés efectiva anual
es de:
a)
10%?
b)
20%?
DATOS
Plazo = ?
C=C
(el capital puede ser cualquier cantidad)
M = 2C
(el monto será el doble del capital)
De la fórmula del monto a interés compuesto se despeja el plazo (n):
a)
10%?
M  C 1  i n
2C  C 1  0.10n
2C
 1.10n
C
2  1.10n
log2  log1.10n
log2  n log1.10
log2
n
log1.10
0.301029995
n
 7.272540897
0.041392685
n = 7.272540897 años es el tiempo que tarda en
duplicarse un capital al 10% efectivo anual
a)
20%?
M  C 1  i n
2C  C 1  0.20n
2C
 1.20n
C
2  1.20n
n = 3.8018 años es el tiempo que tarda en
duplicarse un capital al 20% efectivo anual
log2  log1.20n
log2  n log1.20
log2
n
log1.20
0.301029995
n
 3.8018
0.079181246
7ª Una inversión duplica su valor en 18 meses a una determinada tasa de
interés. ¿En cuánto tiempo lo triplicará?
SOLUCION
La inversión inicial puede ser cualquier cantidad, la condición es que 18 meses
después será el doble de esa cantidad. Con estos datos se calcula la tasa de
interés con la que se duplica:
C=C
M = 2C
n = 18 meses
n=?
aplicando la fórmula de la tasa de interés compuesto, que se despeja de la
fórmula del monto a interés compuesto:
M  C1  i
n
Despejando, tenemos:
in
M
1
C
Sustituyendo los datos, se tiene:
in
M
1
C
i  18
2C
1
C
i  18 2  1  1.039259226 1
i  0.039259226
A esta tasa se duplica el
capital
Para conocer el tiempo en que se triplica el capital, los datos son:
C=C
M = 3C
i = 3.9259226% mensual
n=?
Ahora, de la fórmula del monto a interés compuesto se despeja otra para
calcular el plazo:
M
log 
C
n
log1  i
 3C 
log

C 

n
log1  0.039259226 
log3 
0.477121254
n

log1.039259226  0.016723888
n  28.52932504
n  28.53 m e s e s
La inversión se triplica en 28.53 meses
8ª Se realiza una inversión de $50 000 en un banco el día 1º de febrero. ¿En
qué fecha valdrá $55 000 si la tasa de interés es de 15% compuesta
mensualmente?
SOLUCION
La cantidad invertida de $50 000 es el capital (C) y el 1 de febrero la fecha
inicial. Los $55 000 es el monto (M)(o valor futuro de la inversión) y se busca la
fecha final. Para encontrarla, primero calculamos el plazo de la inversión,
determinando el valor de “n” a interés compuesto:
j = 15%
m = 12
i
j

m
15%
12
i  0.0125
M
log 
C
n
log1  i
 55000 
log

 50000 
n
log1  0.0125
log1.1
0.041392685
n

log1.0125 0.005395031887
n  7.672370808
n  7.67 m e s e s
n  7 m e s e s20 días
fe cha final  21 de s e ptie m bre(cons ide rando tie m poaproxim ado)
n  7.67/12 x 365  233 días (tie m poe xacto)
fe cha final  22 de s e ptie m bre (cons ide rando tie m poe xacto)
9ª ¿A qué tasa de interés un capital quintuplica su valor en 10 años?
SOLUCION
El capital (C) puede ser cualquier cantidad. Si se quintuplica, el monto (M) es 5
veces C, es decir, 5C.
DATOS
C=C
M = 5C
Plazo = 10 años
m = 1 (la frecuencia de conversión es 1, pues el plazo se expresa en años)
n = 10 años
De la fórmula del monto a interés compuesto se despeja la tasa de interés
compuesto, se sustituyen los datos, y se resuelve:
in
M
1
C
5C
 1  i  10 5  1
C
i  1.174618943 1  0.174618943
i  10
i  17.4618943% anual
10ª ¿Qué tasa de interés nominal ha ganado un capital de $20 000 que se ha
incrementado a $50 000 en 3 años, si dicho interés se capitaliza:
a)
mensualmente?
b)
trimestralmente?
SOLUCION
Para encontrar la tasa nominal (j) primero se calcula la tasa de interés por periodo (i),
con la fórmula que se despeja de la fórmula del monto a interés compuesto:
DATOS
j=?
C = $20 000
M = $50 000
Plazo = 3 años
a)
mensualmente?
La frecuencia de conversión es:
m = 12
Entonces:
n = 3 años x 12 = 36 meses
in
M
1
C
50000
 1  i  36 2.5  1
20000
i  1.025779201 1  0.025779201
i  2.578% m e ns ual (tas a por pe riodo)
i  36
Ahora, calculamos la tasa nominal (j):
j
m
im   j
j  0.02577920112
i
j  0.309350417
J = 30.94% anual convertible mensualmente
b)
trimestralmente?
La frecuencia de conversión es:
m=4
Entonces:
n = 3 años x 4 = 12 trimestres
in
M
1
C
50000
 1  i  12 2.5  1
20000
i  1.079348438 1  0.079348438
i  7.9348438% trim e s tral (tas a por pe riodo)
i  12
Ahora, calculamos la tasa nominal (j):
j
m
im   j
j  0.0793484384   0.317393752
i
j  31.74% anual convertible trimestralmente
11ª Pablo Pérez depositó $100 000 en una cuenta bancaria hace 3 años y 9
meses. Actualmente tiene $208 862, y desea saber cuál es la tasa de interés
que ha ganado si la capitalización es trimestral.
DATOS
C = $100 000 (la cantidad depositada es el capital)
M = $208 862 (la cantidad que ahora tiene es el valor futuro de su depósito)
plazo = 3 años y 9 meses
j=?
m = 4 (la frecuencia de conversión es trimestral, o sea, 4 por año)
SOLUCION
Se busca la tasa de interés por periodo y luego la tasa nominal:
n = 15 trimestres
(3 años x 4) + 9/3 = 12 + 3 = 15 trimestres
M
1
C
in
208862
 1  i  15 2.08862 1
100000
i  1.050325627 1  0.050325627
i  5.03% trim e s tral (tas a por pe riodo)
i  15
Ahora, calculamos la tasa nominal (j):
j
m
im   j
i
4  0.201302508
j  0.050325627
i  20.13% an ualcon ve rtibl
e trim e stral
m e n te
Valor presente
¿Cuál es el valor actual de $4,000 a pagar dentro de cuatro años, si la tasa nominal es del 4% anual
capitalizable
semestralmente?
Solución:
Identificamos los datos:
F = $4,000 Sabemos que es el monto porque es una cantidad que se pagará en el futuro.
i = 0.04 Anual, capitalizable semestralmente. Para obtenerlo por periodo de capitalización se divide entre
2 porque en un año
hay dos semestres. i = 0.04 / 2 = 0.02
n = 4 años. En cuatro años existen: (2)(4)= 8 semestres.
Se sustituye en la formula el valor actual.
Tiene un valor actual de $3,415.96
1. ¿Cuál es el valor actual de $ 9,304.80 a pagar dentro de 5 meses, si la tasa de interés es del
4% mensual
capitalizable cada quincena? $7,633.18
2. Encuentre el valor presente de 1500 dólares pagaderos en 18 meses si el interés es del 10%
compuesto
semestralmente. $1,295.76 dólares
3. ¿Qué cantidad debe invertirse en este momento al 33% capitalizable cada mes para
convertirse en un millón
de pesos en 15 años? ¿Cuánto interés habrá ganado? $7,573.04; $992,426.96
4. Andrés tiene que pagar $4,435.88 dentro de 8 meses. Si el valor del dinero es 50%
capitalizable en forma
mensual, ¿cuál sería la cantidad a pagar en este momento? $3,200.00
5. Un padre de familia desea tener $20,000 disponibles para cuando su hijo ingrese ala
universidad dentro de 3
años y costear, con este dinero, los dos primeros años de su educación universitaria. ¿Qué
cantidad debe
depositar hoy en el banco, de tal manera que dentro de 3 años tenga los veinte mil pesos? La
tasa que le paga
el banco es del 3% mensual con capitalización mensual. $ 6,900.65
6. El Sr. Lara le debe al Sr. Zambrano dos sumas de dinero: $10,000 apagar en 2 años y
$60,000 a pagar en 3
años. Si el Sr. Lara desea pagar el total de la deuda en este momento mediante un solo pago,
¿cuánto debe
pagar si la tasa de interés del mercado es de 21.8% compuesto cada trimestre? $38,279.67.
7. Jaime desea establecer un fondo de ahorro con el fin de comprar de contado su próximo
automóvil y evitar,
de esta manera, el crédito. Calcula comprar el automóvil dentro de 4 años y pagar alrededor de
$120,000 por él.
¿Cuánto tiene que invertir ahora, sabiendo que puede colocar el dinero en una cuenta de
inversión que le da el
32.125% capitalizable cada día? $33,216.84
8. ¿Qué suma se debe depositar hay al 10% anual capitalizable semestralmente, si la meta es
tener en 8 años
un monto de $60,000? ¿Cuánto se percibirá de intereses durante ese tiempo?
9. ¿Qué suma deberá depositarse hoy al 8% capitalizable anualmente, si se pretende tener un
monto
compuesto de $100,000 al cabo de 15 años? ¿Cuánto se obtendrá pro concepto de intereses
en ese tiempo?
10. Si un banco cooperativo da intereses de 7% anual capitalizables trimestralmente ¿qué
cantidad habrá que
depositar hay a fin de acumular $20,000 después de 10 años? ¿Cuánto se percibirá por
concepto de intereses
durante ese lapso?