En los últimos 10 años, Jorge ha depositado $500.000 al final de

Desarrollo de aplicaciones financieras




Objetivos
Contenido
Procedimiento ejemplos
Bibliografía y Material de Apoyo
Hoy en día es inminente la necesidad para los directivos empresariales, conocer las
matemáticas financieras, operándolas con claridad y rapidez, con el fin de apoyar
oportunamente en la toma de decisiones gerenciales.
Por tal razón, esta asignatura ofrece al estudiante el aprendizaje para llegar a
identificar las modalidades de las tasas de interés que operan en Colombia y manejar
las transacciones de valores en dinero en el tiempo, bajo los diferentes esquemas que
utiliza el Sistema Financiero Colombiano.
[arriba]
Objetivos
Al finalizar la asignatura el estudiante estará en capacidad de:
a.
Identificar y operar las tasas de interés utilizadas en el Sistema
Financiero Colombiano, que conlleva a la toma de decisiones de
endeudamiento e inversión beneficiosas.
b.
Proyectar y operar flujos de caja en el tiempo para la toma de
decisiones financieras óptimas.
c.
Calcular tasas reales de rendimiento para determinar tasas de
rendimiento esperadas según condiciones de mercado y costos de
oportunidad.
d.
Interpretar y operar indicadores de evaluación financiera de proyectos
para concluir la viabilidad de un proyecto de inversión.
[arriba]
Contenido
Unidad 1: Interés simple e interés compuesto.
Al finalizar la unidad el estudiante estará en capacidad de identificar y realizar
transacciones financieras con interés simple o compuesto, manejando el concepto de
capitalización.
Unidad 2: Clasificación de tasas de interés.
Al finalizar la unidad el estudiante estará en capacidad de identificar, convertir y aplicar
las tasas de interés fijas y variables a las transacciones financieras, tal y como lo hace
el Sistema Financiero Colombiano.
Unidad 3: Anualidades y tablas de amortización.
Al finalizar la unidad el estudiante logrará calcular rentas, valores presentes y futuros
de rentas y analizar proyecciones de pagos, de tal manera que podrá decidir cuando
será conveniente para la empresa refinanciar obligaciones.
Unidad 4: Criterios en la evaluación financiera de proyectos de inversión.
Al terminar la unidad el estudiante estará en capacidad de operar y analizar los
indicadores financieros básicos utilizados en la evaluación financiera de proyectos de
inversión, a través de flujos de caja con gradientes, rentas y pagos únicos, que lo
llevará a la toma de decisiones de proyectos de inversión.
Bibliografía y Material de Apoyo
ÁLVAREZ,
Alberto.
Matemáticas
BACA
Currea,
Guillermo.
Ingeniería
BACA
Currea,
Guillermo.
Matemáticas
GUZMÁN
Cruz,
Aída.
Modulo
Matemáticas
Financieras.
Económica.
Mc
Fondo
Financieras.
Financieras,
Graw
Educativo
Politécnico
Universidad
Panamericano.
Gran
Jorge
Hill.
Colombiano.
Tadeo
Lozano.
GARCÍA Jaime A, Matemáticas Financieras con Ecuaciones de Diferencia Finita. Cuarta Edición,
Pearson.
MIRANDA
Miranda
Juan
José,
Gestión
de
Proyectos,
MM
Editores.
INFANTE Villareal Arturo, Evaluación Financiera de Proyectos de Inversión, Editorial Norma.
Periódicos: La República y Portafolio
Ver Unidad 1
Unidad 1: Interés simple e interés
compuesto
Introducción
Interés simple
Interés compuesto
Ejemplos de Interés Compuesto
Ejercicios para desarrollar
Introducción
El valor del dinero, en el tiempo, es un elemento determinante en la gestión de los
negocios, por lo tanto la adecuada medición y administración de los resultados facilita
efectuar un análisis de la generación de valor, contando para ello, con varios
instrumentos de organización y procesamiento de las variables transaccionales, que
permiten precisar los efectos sobre la disponibilidad del efectivo y consecuentemente
sobre la situación económica de las personas o empresas.
Un instrumento que contribuye a plasmar e interpretar correctamente la información
financiera es la línea de tiempo-valor (flujograma) y consiste en dibujar una línea
horizontal, la cual representa el tiempo total transcurrido en la transacción, desde su
inicio hasta su final. Ésta línea horizontal se fracciona identificando los momentos en
los cuales se generan ingresos o egresos, representado: días, semanas, meses,
trimestres, semestres, años o cualquier otro período determinado en la negociación.
La diferencia existente entre el valor actual de la inversión o del crédito y el valor
futuro se determina por el efecto causado por el interés acordado:

El interés no es más que el dinero adicional, que resulta después de
haber invertido y/o ahorrado un capital inicial. Es el precio por el uso
del dinero durante un determinado tiempo, está dado en términos de
unidad monetaria.

De éste concepto de Interés se desprenden dos formas de calcularlo:
interés simple e interés compuesto.
1.1 Interés simple
Para la aplicación del interés simple, se debe tener en cuenta las siguientes variables:
I = Monto de Interés
VA = Capital Inicial
VF = Saldo final obtenido después de transcurrido el
tiempo de la inversión
Ejemplo:
Si se invierte hoy $1.000.000 y al cabo de un año se recibe $1.250.000, simplemente
se determina que el interés ganado al invertir $1.000.000 es de $250.000.
I = $1.250.000 - $1.000.000 = $250.000
Entonces se deduce que:
I = VF - VA
Pero no siempre las cosas son tan sencillas, no se puede esperar que transcurra el
tiempo, para determinar el rendimiento de la inversión inicial, sino que se debe
anticipar a éste valor resultante, identificando la tasa de interés que se reconoce por la
transacción financiera.
Ahora se agregan dos variables más para resolver el ejercicio:
i = Tasa de interés (%)
t = 1 año
I=$
250.000
VA = $1.000.000
VF = $1.250.000
Por lo tanto la formula a utilizar es:
I = VA x i x t
i =(I / VA) / t
$250.000 = $1.000.000 x i x 1
i = 250.000 / 1.000.000 / 1 = 25%
Lo que quiere decir que la inversión tuvo una tasa de interés del 25% anual:
I = VA x i x t
I = $1.000.000 x 0,25 x 1
I = $250.000
1.2 Interés compuesto
En el interés compuesto existen los llamados períodos de capitalización (n), es decir,
en el interés simple se pagan los intereses al finalizar la transacción, o sea, presenta
un solo período de tiempo y un solo capital.
En el interés compuesto existen períodos en donde los intereses que se generaron en
el período inmediatamente anterior se suman al capital, conformándose nuevos
capitales; a esto es lo que se llama capitalización o valor cronológico del dinero.
Ejemplo:
Teniendo como base el ejemplo de interés simple y se trabaja con interés compuesto,
períodos de capitalización trimestrales, se encontrará:
VA = $1.000.000
VF = ?
n = 4 ( 4 períodos de capitalización en
1 año)
i = 5.74% trimestral
PERÍODO
Interés
Nuevos capitales
Trim.
0
1
2
3
4
$1.000.000
1.000.000 * 0,0574 = 57.400
1.057.400 * 0,0574 =
60.694.76
1.118.094.76 * 0.0574 =
64.178.64
1.182.273.40 * 0.0574 =
67.682.40
$1.057.400
$1.118.094.76
$1.182.273.40
$1.250.135.89
En cada uno de los períodos, resultan nuevos capitales por la suma de los intereses
generados.
Esto en cambio, no sucede en el interés simple.
Cuando existen numerosos períodos de capitalización sería muy tedioso realizar la
tabla anterior; para esto existen las siguientes fórmulas:
VF = VA (1 + i)n
VF =Saldo final obtenido o valor futuro
VA =Capital inicial o capital invertido o valor
presente
i =Tasa de interés
n =Número de períodos de capitalización a
que hay lugar durante en la transacción
Siguiendo el mismo ejemplo:
VF = 1.000.000 (1 + 0,0574)4
VF = $1.250.135.89
Ahora bien, se desea hacer lo contrario, es decir, obtener el valor actual conociendo el
valor futuro, se aplica la siguiente formula:
VA = VF (1 + i)-n
VA = $1.250.135.89 x (1 + 0,0574)-4
VA = $1.000.000
Muchas veces para facilitar la interpretación de problemas de valores presentes y
valores futuros, se usa la línea del tiempo.
Para afianzar los conceptos se presentan a continuación, a manera de ejemplo,
algunas transacciones que se realizan en la vida real.
1.2.1 Ejemplos de Interés Compuesto
1° Ejemplo. Pago de una Deuda
La señora Betty Páez tiene una deuda, la cual deberá cancelar
dentro de dos años y medio, por valor de $5'300.000, a una
tasa de interés del 2.5% mensual. Si la señora desea cancelar
la deuda hoy, ¿Cuánto debe pagar?
La representación en la línea del tiempo es:
VA = ?
VF = $5.300.000
i = 2.5% mensual
n = 30 meses
Una observación importante es que si los períodos de capitalización están en meses, la
tasa debe ir expresada en términos mensuales.
Es decir, la magnitud del tiempo de capitalización, debe ser la misma magnitud de
tiempo en que esté expresada la tasa.
Identificadas las variables, el valor actual de la deuda se estima mediante la formula:
VA = VF (1 + i)-n
VA = 5.300.000 (1 + 0,025)-30
VA = $2.526.736,25
Valor a cancelar hoy $ 2.526.736,25
2° Ejemplo. Apertura de una Cuenta de Ahorros
José Prieto va a depositar en una cuenta de ahorros hoy $500.000 y no
hará ningún otro tipo de depósito o de retiro durante 2 años.
Tiene las siguientes alternativas
a. Banco de Bogotá: reconoce un rendimiento del 2% mensual
b. Banco BBVA reconoce un rendimiento del 5% trimestral
c. Bancafé: reconoce un rendimiento del 6% semestral
d. Banco Colmena: reconoce un rendimiento del 4.5% bimestral
¿Cuál será la mejor opción?
Para determinar la alternativa más conveniente es necesario estimar el valor futuro
(VF) de cada posibilidad y la mayor será la mejor, desde el punto de vista de
generación de valor.
a. Banco de Bogotá
Representación en la línea del tiempo:
VA = $500.000
VF = ?
n = 24 meses
i = 2% mensual
Estimación del valor futuro (VF):
VF = VA (1 + i)n
VF = 500.000 (1 + 0,02)24
VF = $ 804.218.62
Valor acumulado en 2 años capitalizable mensualmente $ 804.218.62
b. Banco BBVA
Representación en la línea del tiempo:
VA = $500.000
VF = ?
n = 8 meses
i = 5% mensual
Estimación del valor futuro (VF):
VF = VA (1 + i)n
VF = 500.000 (1 + 0,05)8
VF = $738.727,72
Valor acumulado en 2 años capitalizable trimestralmente $738.727,72
c. Bancafé
Representación en la línea del tiempo:
VA = $500.000
VF = ?
n = 4 semestres
i = 6% semestral
Estimación del valor futuro (VF):
VF = VA (1 + i)n
VF = 500.000 (1 + 0,06)4
VF = $ 631.238,48
Valor acumulado en 3 años capitalizable semestralmente $631.238,48
d. Banco Colmena
Representación en la línea del tiempo:
VA = $500.000
VF = ?
n = 12 bimestres
i = 4.5 % bimestral
Estimación del valor futuro (VF):
VF = VA (1 + i)n
VF = 500.000 (1 + 0,045)12
VF = $ 847.940,72
Acumulado en 2 años capitalizable bimestral $847.940,72
Esta última es la mejor opción, ya que presenta el mayor valor futuro o monto
acumulado de todas las alternativas del mercado.
1.2.2 Ejercicios de Interés Compuesto para desarrollar
Ejercicio No. 1 Adquisición de un CDT (Certificado de Depósito a Término)
Usted, trabajador incansable, logró invertir $15.000.000 en un CDT que paga el 2.5%
trimestral. ¿Cuánto obtendrá al cabo de 1 año?
Ejercicio No. 2 Adquisición de un CDT
Si yo quiero invertir en un CDT que me ofrece una tasa del 1.5% trimestral y por cada
trimestre que deje el dinero me incrementa el 0.2% y planeo que en 2 años, para
viajar a Europa, debo reunir $30.000.000, ¿con cuánto debo abrir hoy este CDT?
Ejercicio No. 3 Selección de la mejor opción de inversión
Existen 3 alternativas de inversión sobre un capital disponible de $17.000.000, ¿cuál
es la más rentable, sabiendo que el dinero se dejará invertido durante 8 meses?

Alternativa 1: Invertir en una empresa productora de bienes, donde se
proyecta una rentabilidad del 9%.

Alternativa 2: Invertir en Banca Davivienda a través de un CDT pactado
al 3.8% semestral.

Alternativa 3: Prestarle el dinero a un amigo de toda la vida, que le
garantiza que le devolverá $18.500.000.
Nota: El riesgo es indiferente, solo interesa la mayor rentabilidad.
Ejercicio No. 4 Cálculo Valor futuro sobre un depósito inicial
Siete años después de la apertura de una cuenta de ahorros con $3.500.000, ganando
un interés del 0.9% mensual, la tasa de interés fue modificada al 1% mensual,
¿cuánto habrá en la cuenta diez años después de la modificación de la tasa?
Ejercicio No. 5 Variación de tasa de interés sobre un depósito de ahorro
Si se depositó hoy $1.800.000 en una cuenta de ahorros. Por el 1er año se reconoce el
0.8% mensual, por el 2do año se reconoce el 1.17% bimestral y por el 3er año se
reconocen el 5% semestral. ¿Cuánto se tendrá acumulado al cabo de los 3 años?
Nota Adicional
El manejo de valores presentes y valores futuros, se hace más interesante cuando
sabemos, conocemos e identificamos los tipos de tasas que se manejan
financieramente.
Clasificación de tasas de interés
En la vida cotidiana se realizan transacciones, cuyos resultados económicos, de una u
otra forma se ven afectados por la forma como se pactan los costos financieros,
influenciados principalmente por las tasas de interés. Es rutinario la celebración de
contratos de crédito, apertura de una cuenta de ahorro, la suscripción de un pagaré o
cualquier otro título valor y sin embargo no se conoce cómo manejar y calcular las
tasas de interés.
Cuando en una entidad financiera se escuchan afirmaciones como: "reconocemos
interés por sus ahorros al 8%", o "se presta al 26%", o "por el CDT se reconoce el
7.5% Anual Trimestre Anticipado", no siempre se reconoce el tipo de tasa y mucho
menos cómo se calcula y convierte para obtener el dato final, porque cada tasa tiene
una expresión diferente y por ende tiene un resultado de rentabilidad o de costo
financiero diferente.
Existen tres maneras de expresar una tasa de interés asociada a cualquier transacción
financiera y son:

Tasa Efectiva Periódica

Tasa Nominal

Tasa Efectiva Anual
Es importante anotar que para las matemáticas financieras la unidad de tiempo es el
año.
Tasa Efectiva Periódica
En interés compuesto, para las transacciones financieras existen varios períodos de
capitalización llamados "n" en un año. La tasa efectiva periódica es la que se paga
o cobra por un "n" o por cada uno de los períodos de capitalización.
Tasa Nominal
Es una tasa expresada anualmente que multiplica la tasa efectiva periódica por el
número de capitalizaciones que hay en un año.
Tasa Efectiva Anual
Es una tasa expresada también en año e incluye los intereses generados por la
capitalización en 1 año.
La diferencia radical con la nominal es que en la efectiva anual, incluye los
intereses por la capitalización y la nómina anual no los incluye.
Es importante, primero identificar cada una de estas tasas, luego convertirlas y por
último aplicarlas:
Tasa Efectiva Periódica
Al afirmar que un préstamo cobran el 2.2% mensual, quiere decir que por cada mes
cobran efectivamente el 2.2%.
Toda tasa efectiva periódica siempre debe ir acompañada por su período
correspondiente de capitalización.
Ejemplos:
2,2% mensual
4,0% trimestral
9,0% semestral
3,5% bimestral
El 4% trimestral quiere decir que por cada trimestre se cobra o se paga el 4% sobre
un capital determinado y que la periodicidad de capitalización es cada trimestre, es
decir, que los intereses generados en el período anterior se suman al capital originando
un nuevo capital y así sucesivamente hasta que la transacción termine.
Tasa Nominal
La tasa nominal es la resultante de multiplicar la tasa efectiva periódica por el número
de capitalizaciones que hay en un año.
Considerando las mismas tasas del ejemplo anterior y realizando la multiplicación por
el número de períodos al año, se obtendrá la tasa nominal:
2,2% mensual * 12
4,0% trimestral * 4
=
=
26,40%
Anual Mes Vencido
16,00%
Anual Trimestre Vencido
9,0% semestral * 2
=
18,00%
Anual Semestre Vencido
3,5% bimestral * 6
=
21,00%
Anual Bimestre Vencido
Como se observa, las tasas nominales van acompañadas de la periodicidad de
capitalización y si se trata de tasas anticipadas o vencidas.
Tasa vencida significa que los intereses se suman al capital, al finalizar cada período de
capitalización.
Tasa anticipada significa que los intereses se suman al inicio de cada período de
capitalización.
En el medio financiero, una tasa en donde no se anuncie que es
anticipada, se toma siempre como vencida.
Otra manera de identificar que la tasa es nominal es:
38,40% Convertible mensualmente ó
20,00% Capitalizable trimestralmente
Al hablar de tasas vencidas se quiere decir que los intereses se suman al capital al
finalizar cada período de capitalización mientras que con las tasas anticipadas se
suman los intereses al inicio de cada período de capitalización.
Nota: Suele suceder que quienes conocen y manejan a diario las tasas de interés,
omiten la palabra anual, sin embargo, sí identifican que es una tasa nominal. Para
efectos del curso se identificará la tasa nominal con la palabra anual y las otras que la
acompañan.
Tasa Efectiva Anual
Las tasas efectivas anuales, que incluyen los intereses que se han generado por la
capitalización durante un año, se reconocen porque van sin ninguna palabra que las
acompañe, acompañadas de la frase efectiva anual o simplemente la palabra anual.
Ejemplo:
38%
21,55% Efectivo anual
Toda tasa efectiva periódica tiene su equivalente nominal y su
equivalente efectiva anual y viceversa.
Ejercicio de identificación de tasas
Identificar las tasas en cada uno de los siguientes casos:
(Nota: Para confrontar su respuesta, pase el puntero del mouse sobre el espacio
blanco)
20% Convertible mensualmente
Tasa Nominal
1,2% Mensual
Tasa Efectiva
periódica
1,5% Mes anticipado
Tasa Efectiva
periódica
22% Efectivo Anual
10% Anual Trimestre Anticipado
(A.T.A.)
12% Anual Bimestre Vencido (A.B.V)
6% Semestral
17% Anual
6% Bimestre Vencido
18% Convertible Bimestre Anticipado
25% Anual Anticipado
25% Anual Vencido
21% A. M. V.
23% A. M. A.
Tasa Efectiva Anual
Tasa Nominal
Tasa Nominal
Tasa Efectiva
periódica
Tasa Efectiva Anual
Tasa Efectiva
Periódica
Tasa Nominal
Tasa Nominal
Tasa Efectiva Anual
Tasa Nominal
Tasa Nominal
3,8% Bimestral
Tasa Efectiva
Periódica
4% Bimestral Anticipado
Tasa Efectiva
Periódica
16% Convertible Bimestre Vencido
Tasa Nominal
11% A. S. V.
2% Mensual
Tasa Nominal
Tasa Efectiva
Periódica
2.1 Conversión de Tasas
El anterior gráfico, ayudará a comprender mejor el manejo que se deberá tener para la
conversión de las tasas de interés:

Es necesario identificar la tasa efectiva periódica (efectiva periódica periodicidad X).

Estimación de la tasa nominal equivalente.

Estimación de la tasa efectiva anual equivalente.

Con la tasa efectiva anual, se podrá estimar cualquier tasa nominal, en
periodicidad anticipada o vencida, según se requiera. En el gráfico
interpretamos que la tasa efectiva anual es como la tasa neutra y que a partir
de ésta podemos estimar la tasa que requiera, ya sea nominal o efectiva
periódica.
Hay que tener claro, para no caer en el error que comúnmente se comete, que si se
negocia una tasa anual mes vencido y se quiere estimar la tasa efectiva periódica
trimestral equivalente, no debe tomar la tasa nominal mensual y dividirla en cuatro ya
que la periodicidad es diferente. Se ha de calcular la equivalente efectiva anual,
estimar la tasa nominal trimestral y luego dividir ésta última por cuatro, para
encontrar la tasa trimestral.
Las siguientes cuatro (4) formulas de conversión ayudarán a clarificar el proceso de
estimación de tasas de interés equivalentes (inicialmente analizaremos la conversión
de tasas vencidas, posteriormente se estimarán las tasas anticipadas):
1. Para convertir una Tasa Nominal en Efectiva Anual
ie = (1 + j/n)n - 1
donde:
ie =
Tasa Efectiva Anual
j =
Tasa nominal
n=
Número de periodos de capitalización durante la
transacción financiera
2. Para convertir una Tasa Efectiva Anual en Nominal
in = [(1 + ie)1/n - 1] . n
donde:
in =
Tasa Nominal
3. Para convertir una Tasa Efectiva Anual en Efectiva Periódica
ip = (1 + ie)1/n - 1
donde:
ip = Tasa efectiva periódica
4. Para convertir una Tasa Nominal en Efectiva Periódica
ip = ( j / n )
2.1.1 Ejemplos de conversión de tasas
1. Convertir una tasa de 24% A.M.V en efectiva anual
y luego identificamos que debemos aplicar siendo la fórmula (1).
Identificar qué tasa es el 24% A. M. V
tasa nominal.
Seleccionar la formula o método para estimar:
ie = (1 + j/n)n - 1
ie = (1 + 0,24/12)12 - 1
La capitalización se realiza mensualmente porque la misma tasa nominal lo dice y
siempre se tiene como base 1 año. En un año hay 12 meses, por lo tanto el n es igual
a 12.
ie = 26,82% Efectivo Anual
El 24% A. M. V. y 26,82% efectiva anual son tasas equivalentes.
2. Convertir el 31.08% efectivo anual a Anual Trimestre Vencido
Como vamos a convertir una tasa efectiva anual en nominal, utilizamos la fórmula (2)
Identificar qué tasa es el 31.08%
tasa efectiva anual.
Seleccionar la fórmula o método para estimar:
in = [(1 + ie)1/n - 1].n
in = [ (1 + 0,3108)1/4 - 1] . 4
in = 28% A. T. V
El valor "n" es igual a 4 porque la nominal a que queremos llegar es trimestral y en un
año hay 4 trimestres.
El 31.08% efectivo anual es equivalente al 28% A.T.V.
3. Convertir el 25% en efectiva bimestral
Identificar qué tasa es el 25%
tasa efectiva anual.
Seleccionar la fórmula o método para estimar:
ip = (1 + ie)1/n - 1
ip = (1 + 0,25)1/6 - 1
ip = 3,79% bimestral
El 25% es equivalente al 3,79% bimestral
4. Convertir el 22.73% A. M. V en una tasa mensual
Identificar qué tasa es el 22.73% A.M.V.
Tasa Nominal.
Seleccionar la formula o método para estimar:
ip = ( j / n )
ip = 0,2273 / 12
ip = 1,89% mensual
El 22.73% A.M.V. es equivalente al 1,89% mensual
2.1.2 Ejercicios para desarrollar de conversión de tasas
1. Hallar la tasa efectiva anual equivalente al 18% A.B.V.
2. Convertir el 16% A.B.V en efectiva periódica bimestral
3. Convertir el 2% mensual en efectiva semestral
4. Convertir el 3% bimestral en efectiva trimestral
5. Convertir el 20% A.B.V. en efectiva anual
6. Convertir el 28% en efectivo periódico trimestral
2.2 Ejemplos prácticos de valor futuro con conversión de tasas
Es muy importante anotar que para trasladar una tasa a fórmulas de valor presente o
valor futuro, tiene que estar expresada en forma efectiva periódica.
Ejemplo No. 1
Ahorro y Financiación
Seis años después de haber abierto una cuenta de ahorros con $2.650.000,
ganando un interés del 18% A.T.V, la tasa fue modificada al 22,5% efectivo
anual, manteniéndose las capitalizaciones trimestrales ¿cuánto habrá en la
cuenta tres años después de haber sido cambiada la tasa?
Durante los primeros 6 años o sea durante los 24 trimestres iniciales, la entidad
financiera donde se abrió la cuenta de ahorros, pagó el 18% ATV, esta tasa es una
Nominal y se debe estimar la efectiva periódica trimestral para aplicarla en la fórmula;
entonces:
ip = ( j/n )
ip = 18% / 4
ip = 4,5% trimestral
Para estimar el valor al momento de la modificación de la tasa de interés, se debe
aplicar la siguiente formula:
VF = VA x (1 + ip)n
VF = 2.650.000 (1 + 0,045)24
VF = $7.621.436,66
Valor final obtenido al sexto año $ 7.621.436,66
El valor final obtenido al cabo de los seis años se convierte en el "VA" o capital para
averiguar el saldo final, tres años después de modificada la tasa de interés.
La tasa dada es del 22,5% Efectiva Anual, se debe estimar su equivalente efectiva
periódica trimestral, para así poder determinar el valor del saldo en la cuenta de
ahorros, transcurridos los tres años después de la modificación de la tasa de interés:
ip = (1 + ie)1/n - 1
ip = (1 + 0,0225 )1/4 - 1
ip = 5,2 % trimestral
Tasa que trasladaremos a la fórmula
VF = VA (1 + ip)n
VF = 7.621.436,66 (1 + 0,052)12
VF = $14.003.149,40
Valor final, tres años después de que la tasa fue cambiada $ 14.003.149.40.
Ejemplo No. 2
Ahorro
Si hoy se abre una cuenta de ahorros, en el Banco Agrario con $900.000, con una
tasa de interés del 2% mensual durante los 2 primeros años; por los 2 años
siguientes me pagan el 25.5% A.M.V ¿Cuánto dinero obtendré al cabo de estos 4
años?
VF = 900.000 (1 + 0,02)24 = $1.447.593,52
Para la segunda parte del ejercicio la tasa es 25,5% A.M.V, una tasa nominal, se divide
en 12 para conseguir la efectiva periódica mensual y ésta trasladarla a la fórmula.
ip = 25,5% / 12 = 2,13% mensual
VF = 1.447.593,52 (1 + 0,0213)24
VF = $2.400.637,56
Valor total final al cabo de los 4 años $2.400.637.56
Ejercicio No. 3
Comparación de tasas
Si el Banco Interbanco presta $5.000.000 a una tasa del 31% A.M.V a 36
meses y el Banco Ganadero presta al 32.5% A.S.V. a 36 meses, pagadero
semestral. ¿Qué opción es la más conveniente para solicitar un crédito?
Hay dos maneras de resolver este problema:

Una es convertir las tasas a efectivas anuales, compararlas y escoger la más
barata, dado que se ésta solicitando un crédito.

La segunda es llevar los $5.000.000 al correspondiente valor futuro y escoger el
valor futuro más bajo.
Conversión de tasas a efectivas anuales:
Banco
Interbanco :
31% A.M.V
Efectiva Anual
ie = (1 + j/n)n - 1
ie = (1 + 0,31/12)12 - 1
ie = 35,81% Efectivo Anual
Banco
Ganadero:
32.5% A.S.V
Efectiva Anual
ie = (1 + 0,325/2)2 - 1
ie = 35,14% Efectivo Anual
Es más barata la tasa del Banco Ganadero, por lo tanto es la opción más
conveniente.
La otra forma llevar los $5.000.000 a Valor Futuro:
Banco VA = 5.000.000
Interbanco:
n = 36 meses
i = 31% A.M.V.
 2,58% mensual
VF = ?
VF = 5.000.000 (1 + 0,0258)36
VF = $12.509.127.37
Valor
Futuro
Banco 32,5% A.S.V.
 32,5 / 2 = 16,25%
Ganadero: semestral
VF = 5.000.000 (1 + 0,1625)6
VF = $12.340.358,42
Valor
Futuro
La opción del Banco Ganadero resulta más barata que el Banco Interbanco
2.3 Tasas utilizadas en el sector financiero colombiano como base de
liquidación
2.3.1 Tasa fija
La tasa fija es la tasa que se paga o se cobra sin variarla durante el tiempo que dure la
transacción.
Ejemplos:

Si se adquiere un CDT por 6 meses al 20%, se firma y se sella por las partes.
Durante esos 6 meses no podrán modificar la tasa.

Si se contrata una deuda al 3,2% mensual durante 36 meses; esta tasa
cobrada al cliente no se podrá subir, ni bajar, hasta que la transacción finalice,
a menos que acuerden entre las partes un cambio de términos.
2.3.2 Tasa variable
La Tasa Variable, como lo dice la palabra, varía durante el tiempo que dure la
transacción financiera. Varía dependiendo de las condiciones de mercado o condiciones
económicas del momento. Las tasas variables más conocidas y utilizadas en el medio
financiero colombiano son la DTF (Tasa promedio ponderada de los Depósitos a
Término Fijo) y la TCC, (Tasa de Captación de Corporaciones Financieras) de las cuales
se hablará en detalle más adelante.
Para entender mejor la utilización de las tasas fijas y variables, se hará una pequeña
introducción de las operaciones financieras.
Una institución financiera (Banca Comercial, Banca Hipotecaria, Corporación
Financiera, Compañías de Financiamiento Comercial y compañías de Leasing), realiza
operaciones pasivas y operaciones activas de crédito.
Las operaciones pasivas hacen referencia a la captación de dinero y las
operaciones activas corresponden a la colocación de recursos (crédito).
Cuando se habla de tasa pasiva, se hace referencia a la tasa de interés que paga la
institución financiera a los clientes que dejaron su dinero allí.
Cuando se habla de una tasa activa, se hace referencia a la tasa que pagan los
clientes por los créditos a la institución financiera.
La diferencia entre la tasa de colocación y la tasa de captación (tasa activa - tasa
pasiva), se conoce como Margen de Intermediación o Spread.
Es de anotar que la denominación del Spread siempre está en términos nominales, por
ejemplo:
28% A.T.A +1, el Spread de 1, es 1% A.T.A, y siempre se suma a la tasa anual
nominal, correspondiente para hacer las conversiones requeridas.
TCC (Tasa de Captación de las Corporaciones Financieras):
Es la tasa promedio de captación a término de 90 días que realizan las
Corporaciones Financieras. El Banco de la República recibe los reportes
de estas operaciones realizadas de viernes a jueves y emite el dato.
Esta tasa varía cada semana, todos los lunes aparecen en los
periódicos una nueva TCC.
DTF (Tasa promedio ponderada de los Depósitos a Término
Fijo):
La única diferencia con la TCC, es que la DTF promedia a todas las
instituciones financieras.
En el sistema financiero se acostumbra a trabajar tanto la DTF como la TCC en
términos de anual trimestre anticipado para ello entonces se debe de tener en cuenta
las siguientes 2 fórmulas, para trabajarlas constantemente:

Convertir de Nominal a Anual Anticipada a Efectiva Anual
ie = ( 1 - j/n)-n - 1

Convertir de Efectiva Anual a Nominal Anticipada
in = [1 - (1 + ie)-1/n] . n
2.3.3. Ejemplos de Tasa Variable y Tasa Fija utilizadas en el sistema financiero
Una institución financiera al captar recursos a término, lo hace a través del título valor
denominado certificado de depósito a término CDT, entre otras alternativas. El
vencimiento del CDT oscila entre 1 mes y 1,5 años y puede negociarse a tasa de
interés fija o variable.
A medida que la transacción se realice a más corto plazo se pacta con tasa fija y si la
transacción se hace a largo plazo, se negocia con tasa variable, es decir asociada al
movimiento de las tasas en el mercado.
Ejemplos
1. Un cliente de una institución financiera, adquirió un CDT por $3.000.000 a
6 meses, conviniendo los intereses vencidos a una tasa fija del 19,09% anual
semestral vencido. ¿Cuánto dinero obtendrá este cliente?
VA = $3.000.000
n = 1 semestre
VF = ?
i = 19,09 % A.S.V.
 9,55% semestral
VF = 3.000.000 ( 1 + 0,0955)1
VF = $3.286.500
El cliente obtendrá $ 3.286.500 seis meses después de la apertura del CDT
2. Un cliente abre un CDT por $3.000.000 al TCC + 1, a 6 meses, al día de
hacer la liquidación la TCC de esa semana era 12% A.T.A. ¿Cuánto dinero
obtendrá el cliente?
12% A. T. A. + 1 = 13% A. T. A
13% A. T. A.
Efectivo Anual
ie = (1 - j/n)-n - 1
ie = (1 - 0,13/4)-4 - 1
ie = 14,13% Efectivo Anual
14,13% Efectivo Anual
Periódica Semestral
ip = (1 + ie)1/n - 1
ip = (1 + 0,1413)1/2 - 1
ip = 6,83% Semestral
VF = 3.000.000 (1 + 0,0683)1
VF = $3.204.900
El cliente obtendrá $ 3.204.900 seis meses después de la apertura del CDT
3. Si un banco otorga créditos al TCC + 11 y una compañía de financiamiento
comercial presta al 3,2% mensual. ¿Qué opción es más barata hoy, para un
cliente?
TCC = 27.5% A. T. A.
Banco: TCC + 11
27,5% + 11 = 38,5% A. T. A
38.5% A. T. A
Efectiva anual
ie = (1 - j/n)-n - 1
ie = (1 - 0,385 / 4)-4 - 1
ie = 49,90 % Efectivo Anual
49.90% Efectivo Anual
Mensual
Efectiva Periódica
ip = (1 + ie)1 /n - 1
ip = (1 + 0,4990)1/12 - 1
ip = 3.43% mensual
Financiamiento comercial: 3.2 % mes.
La opción más conveniente para un cliente que requiere recursos es la compañía de
financiamiento comercial al 3.2 % mensual.
2.3.4. Ejercicios de Tasa Fija y Variable para desarrollar
Ejercicio No. 1
Si el Banco Tequendama paga por invertir en su entidad la DTF + 1 y el Banco
Granahorrar paga el 0,9% mensual. ¿En cuál entidad financiera es más conveniente
colocar el dinero?
Liquidar con la DTF A. T. A vigente
Ejercicio No. 2
Si la TCC es el 7.65% A.T.A y la tasa activa de la Corporación Financiera Internacional
es el 1,34% mensual. ¿Cuántos puntos adicionales a la TCC están cobrando al cliente?
Ejercicio No. 3
Si la DTF es el 8% A.T.A. y la tasa pasiva de Leasing Colmena es el 0,9% mensual.
¿Cuántos puntos adicionales a la DTF está pagando esta compañía de Leasing?
Ejercicio No. 4
Si el Banco Mercantil presta al TCC + 10. ¿Qué tasa de interés mensual está cobrando
hoy?. (Trabajar con TCC vigente).
Ejercicio No. 5
Si la Financiera Crecer, presta al DTF + 9. ¿Qué tasa efectiva anual le está cobrando
hoy?. (Trabajar con la DTF vigente).
Ejercicio No. 6
Cuál de las 2 instituciones financieras siguientes está cobrando más barato hoy, al
trabajar con tasas activas de:
Banco Davivienda TCC + 9.5
Megabanco 1.5% mensual
Trabajar con la TCC vigente
Ejercicio No. 7
¿Cuál institución bancaria está cobrando más caro hoy?
Banco BBV: DTF + 8
Bancolombia: 21%
Trabajar con DTF vigente
Ejercicio No. 8
¿Cuál institución financiera está pagando más por los ahorros?
Financiera Andina: DTF + 1
Financiera Compartir: 2% trimestral
Trabajar con DTF vigente
2.3.5 Tasa Deflactada o Tasa Real
En el momento de invertir recursos, es necesario realizar un análisis teniendo en
cuenta que la inflación afecta la tasa de rentabilidad, deseándose siempre que la
inflación sea inferior a la tasa esperada de rentabilidad.
Para calcular la rentabilidad total de una inversión es necesario tener en cuenta la
siguiente formula:
it = (f + iR)+ (f X iR)
Donde:
It = Rentabilidad total de proyecto de inversión
F = Inflación, esta tasa siempre se da en términos de tasa efectiva anual.
iR = Tasa real (tasa descontada la inflación)
Para obtener la tasa real de la inversión, simplemente despejamos la fórmula antes
enunciada, quedando así:
iR = (it - f)/(1+ f)
Ejemplos:
1) Calcular la rentabilidad real que gana el inversionista, si la inflación del año es del
18% y se sabe que la rentabilidad fue del 27.2%.
iR = (27,2% - 18%)/(1 + 18%)
iR = 7.8% Efectivo anual
2) Suponiendo que una persona tiene un préstamo del IPC + 4, ¿cuál será el spread si
se cambia a otro plan cuya tasa es la DTF + 4; conociéndose que el IPC es del 8% y la
DTF del 18.67% A.T.A.?
IPC + 4 = DTF + 4
Utilizamos la fórmula de tasa combinada:
it =(i1 +i2) +( i1 x i2)
it = (0,08+0,04)+ (0,08 x 0,04)
it = 12,32% E.A. eqivalente al 11,45% A.T.A.
11,45% A.T.A. = DTF + X
11,45% A.T.A. = 18,67% + X
X = - 7,22 A.T.A.
3) Si se tiene una DTF del 7.46% A.T.A. y un IPC del 6% efectivo anual, se requiere
conocer cuántos puntos adicionales hay que sumarle a la DTF, de tal manera que sea
equivalente al IPC + 5.
IPC
+
5
it = (0,06+0,05)+ (0,06 x 0,05)
it =11.30% equivalente al 10.56% A.T.A.
=
DTF
+
X
10.56% A.T.A. = 7.46% A.T.A. + X
X = 3.10 puntos adicionales a la DTF
Anualidades vencidas
Una anualidad hace referencia a una serie de pagos iguales en intervalos de tiempo
iguales.
En esta unidad, se tratará el tema de Anualidades Ciertas y Ordinarias, cuyos
pagos son efectuados al final de cada intervalo de tiempo, por ejemplo:
Pago de rentas mensuales
Pagos iguales mensuales de créditos
Pagos iguales trimestrales de créditos empresariales
Pagos iguales de intereses sobre bonos
3.1 Valor presente de una anualidad
Cuando se conocen los pagos iguales a intervalos de tiempo iguales y se podrá
estimar su equivalente a valores de hoy; a esta operación se le llama obtener el valor
presente de la anualidad.
Por ejemplo, si se considera una anualidad de $1.500.000 trimestrales durante 1 año
al 6% trimestral. Se necesita hallar el valor presente de esta anualidad:
Para hallar el valor presente común y corriente, necesitamos trasladar cada uno de los
$1.500.000 al momento 0, como se indica en la gráfica:
Valor presente (Anualidad):
VP = A = 1.500.000(1+0,06)-1 + 1.500.000(1+0,06)-2 + 1.500.000(1+0,06)-3 +
1.500.000(1+0.06)-4
VP = A = $5.197.658,42
En este ejemplo es muy fácil calcular el valor presente, pero en caso de que no fueran
tres trimestres sino 36, 48, 60 o muchos más, sería muy difícil y largo calcularlo como
se realizó anteriormente.
Para facilitar la estimación se podrá utilizar la siguiente fórmula:
Fórmula para hallar el Valor Presente de una Anualidad:
A = Valor presente de la
anualidad
R = Renta, pago o cuota
i = Tasa de interés efectiva
periódica
n = Número de pagos
Al replantear el ejemplo anterior, aplicando la fórmula, se tendrá:
A = $5.197.658,42
El valor presente de la anualidad es $ 5.197.658,42
3.2 Valor futuro de una anualidad
Para calcular el valor futuro de la anualidad, es decir, para determinar cual es el valor
equivalente a la serie de pagos, es necesario llevar los valores regulares trimestrales al
final del cuarto trimestre, considerando la misma tasa de interés (6%).
Valor Futuro = VF = S
VF = S = 1.500.000(1+0,06)3 + 1.500.000(1+0,06)2 + 1.500.000(1+0,06)1 +
1.500.000
VF = S = $6.561.924
Se podrá utilizar, para simplificar la estimación, la siguiente fórmula:
Fórmula para hallar el Valor Futuro de una Anualidad:
S = Valor futuro de la
anualidad
R = Renta, pago o cuota
i = Tasa de interés efectiva
periódica
n = Número de pagos
En el ejemplo:
S = $6.561.924
El valor futuro de la anualidad es $ 6.561.924
3.3 Pagos, anualidad o cuotas
Es importante recordar:

Anualidad es una serie de pagos iguales en un período determinado a
intervalo de tiempos iguales.

Que en la anualidad la tasa de interés pactada se mantiene constante.

VP es el valor presente de la anualidad, al igual que "C" (capital) y "A"
(anualidad).
Cuando se solicita un crédito y se debe pagar cuotas iguales anuales de determinado
valor, eso es una anualidad.
Continuando con el ejercicio anterior:
Suponga que el VP = C = A es el valor del préstamo aprobado a un año o valor del
capital recibido como préstamo, en cuotas trimestrales y al 6%. Se debe estimar el
valor de la cuota a pagar en cada período (R):
A = $5.197.658,42
R=?
n=4
i = 6% trimestrales
Para hallar el valor del pago se utiliza la siguiente fórmula:
Fórmula para hallar el valor de la cuota conociendo el valor presente:
RA = Renta, pago periódico o
cuota
A = Valor presente de la
anualidad
i = Tasa de interés efectiva
periódica
n = Número de pagos
En el ejemplo:
RA = $1.500.000
$ 1.500.000, es el valor del pago a realizar trimestralmente, finalizando cada
período, por un crédito otorgado de $ $ 5.197.658,42
Ahora bien, si se conoce el Valor Futuro de la anualidad y se desea estimar el valor del
pago, se aplica la siguiente fórmula:
Fórmula para hallar el Valor de la Anualidad conociendo el Valor Futuro:
RS = Renta, anualidad, pago o
cuota
S = Valor futuro de la anualidad
i = Tasa de interés efectiva
periódica
n = Número de pagos
En el ejemplo:
RS = $1.500.000
$ 1.500.000, es el valor del pago a realizar trimestralmente, finalizando cada
período, por un crédito otorgado de $ $ 5.197.658,42 y con valor futuro de $
6.561.924
3.3.1 Ejemplos de anualidades
Ejemplo No. 1
Hallar el valor presente y valor futuro de una cuota de
$2.275.000, cada 6 meses; durante 8 años y medio, al 18% anual
semestre vencido
A=?
S=?
R = $2.275.000
n = 17 semestres
i = 18% A.S.V.
 9% semestral
Valor presente de la anualidad:
A = $19.436.761,37
Valor futuro de la anualidad:
S = $84.115.117,87
El valor actual de la anualidad es de $ 19.436.761,37 y el valor futuro de la
anualidad es de $84.115.117,87
Ejemplo No. 2
Al Sr. Pérez un banco le presta $10.000.000 y las condiciones del crédito son:
Tasa de interés = 18.5% efectivo anual
Pagadero en cuotas trimestrales iguales durante un año
y medio
¿Cuál es el valor de la cuota?
A = $10.000.000
n = 6 trimestres
i = 18,5%
R=?
Hay que obtener la tasa trimestral
18,5% efectivo anual
Efectivo periódico trimestral
ip = (1 + 0,185)1/4 - 1
ip = 4,34% trimestral
Entonces la cuota será:
R = $1.928.786,45
El valor de la cuota trimestral de $ 1.928.786,45
3.3.2 Ejercicios de anualidades para desarrollar
Ejercicio No. 1
En los últimos 10 años, Jorge ha depositado $500.000 al final de cada año en una
cuenta de ahorros que le paga el 10% ¿Cuánto habrá en la cuenta inmediatamente
después de haber realizado el décimo depósito?
Ejercicio No. 2
El día de hoy Mauricio realiza un negocio con la Fiduciaria Alianza, se compromete a
pagar $2.500.000 anuales durante 15 años, con una tasa de interés de 27% anual.
¿Cuál es el valor hoy de la anualidad?
Ejercicio No. 3
La compañía de T.V. Telejuntas Ltda. tiene en oferta una máquina de vídeo, la cual se
entrega al cliente con $200.000 de cuota inicial y $25.000 mensuales por los próximos
12 meses. Si Telejuntas Ltda. cobra un interés del 18% A.M.V., ¿Cuánto vale de
contado esta máquina de vídeo?
Ejercicio No. 4
El señor Ramírez, buscando un futuro económico feliz, deposita cada seis meses, en un
fondo $2.000.000. Este fondo paga el 9% A.S.V. El primer depósito lo hizo el Sr.
Ramírez cuando cumplió 40 años y el último lo realizó cuando cumplió 68 años. El
dinero permaneció en la cuenta y lo retiró cuando cumplió 75 años. ¿Cuánto dinero
recibió el señor Ramírez?
Ejercicio No. 5
Para liquidar una deuda, con un interés del 25% convertible mensualmente, se
acuerda hacer pagos de $500.000, al final de cada mes por los próximos 17 meses y
además un pago final al mes 18 por $925.000. ¿Cuál es el valor presente de esta
deuda?
Ejercicio No. 6
Para financiar la compra vehículo por $25.000.000, se realizó un sondeo de ofertas en
el sector financiero y éstos fueron los resultados:

Banco Caja Social: presta al 27%, con pagos iguales mensuales durante
3 años.

Banco Agrario: presta al 25% A.T.A, pagadero en cuotas iguales
mensuales durante 3 años.

Compañía de Financiamiento Comercial Suleasing: presta al 2.3%
mensual, durante 36 meses, pagos iguales mensuales.

Compañía de Financiamiento Comercial Sufinanciamiento: lo arrienda al
2.1% mensual y un pago final del 10%, pagadero durante 36 meses.
¿Qué opción será mejor?. Realizar el ejercicio comparando tasas de interés y valor
de cuotas.
Ejercicio No. 7
Un padre de familia debe reunir para dentro de cuatro años $36.000.000; con este fin
abre una cuenta de ahorros con $8.000.000, proponiéndose en adelante consignar
cuotas iguales. El interés reconocido es del 9.5%.
Hallar el valor de la cuota mensual a depositar (R), de tal manera que el padre de
familia cumpla su objetivo de reunir los $36.000.000.
Ejercicio No. 8
Una persona deposita $600.000 mensuales, durante 4 años, en una entidad financiera
que reconoce un interés del 18% ATV. Al cabo de ese tiempo, empieza a retirar la
suma de $600.000 mensuales durante 4 años. ¿Cuál es el saldo que le debe quedar
en su cuenta al final de los 8 años?
Ejercicio No. 9
Para cancelar una deuda de $15.000.000, se hacen pagos mensuales de $500.000,
tanto tiempo como sea necesario. La tasa de financiación es del 36%. Se pregunta:
a) ¿Cuántos pagos completos de $500.000 se deben realizar?
b) ¿Con qué pago adicional hecho en la fecha del último pago de $500.000 cancelará la
deuda?
Ejercicio No. 10
El Señor Pérez realiza una serie de depósitos en un fondo de ahorros donde le
reconocen las siguientes tasas de interés: El primer año el 14%, el segundo año el
14.5% A.S.V. y de ahí en adelante el 0.98% mensual. Durante el primer año realizó
depósitos iguales bimestrales de $400.000; durante el segundo año realizó depósitos
iguales trimestrales de $800.000. Retira el dinero acumulado al finalizar el cuarto año.
a) ¿Cuál es el valor acumulado al final del cuarto año
b) ¿Cuál el valor equivalente en el momento cero?
3.4 Tablas de amortización y saldos
Una obligación que causa intereses se liquida mediante una serie de pagos. El saldo de
la obligación (capital insoluto) justamente después de que se ha efectuado un pago es
el valor presente de todos los pagos que aún falta por hacer.
Amortizar es reducir el saldo de una obligación.
Una tabla de amortización y saldos va actualizando con cada pago (anualidad) que se
realiza, indicando cuánto amortiza a capital, cuánto paga por interés y cuál es el saldo
de la deuda, descontando del saldo anterior la amortización a capital de éste último
pago.
Períodos
Valor Cuota
Intereses
Amortización
de Capital
0
1
No. de la
cuota o
periodo
Saldo
$5.000.000
505.313,61
Valor de la
cuota
155.000
350.313,65
Saldo anterior
por la tasa de
Parte de la
interés
cuota que baja
pactada
el saldo del
(efectiva
préstamo
periódica)
4.649.686,39
Saldo anterior
menos la
amortización de
capital
Ejemplo:
Para una deuda de $5.000.000 al 3,1% mensual, pagadera en cuotas iguales
mensuales durante 1 año, calcular la cuota y elaborar la Tabla de Amortización y
Saldos.
VA = $5.000.000
R=?
n = 12
i = 3,1% mensual
El valor de la cuota mensual es:
R = $505.313,61
TABLA DE AMORTIZACIÓN Y SALDOS
Períodos
Valor Cuota
Interés
Amortización
de Capital
0
Saldo
$5.000.000
1
505.313,61
155.000,00
350.313,65
4.649.686,39
2
505.313,61
144.140,28
361.173,33
4.288.513,06
3
505.313,61
132.943,90
372.369,71
3.916.143,35
4
505.313,61
121.400,44
383.913,17
3.532.230,19
5
505.313,61
109.499,14
395.814,47
3.136.415,71
6
505.313,61
97.228,89
408.084,72
2.728.330,99
7
505.313,61
84.578,26
420.735,35
2.307.595,64
8
505.313,61
71.535,46
433.778,15
1.873.817,50
9
505.313,61
58.088,34
447.225,27
1.426.592,23
10
505.313,61
44.224,36
461.089,25
964.502,98
11
505.313,61
29.930,59
475.383,02
490.119,96
12
505.313,61
15.193,72
490.119,82
0
Recordar que:

La columna de períodos corresponde a la cantidad de pagos (n) que hay
en la transacción financiera, iniciando por el momento cero (0) en el cual
se desembolsa el crédito.

La columna de cuota corresponde al pago o la anualidad, que siempre es
la misma.

La columna de interés corresponde a la parte de la cuota que se paga
como costo financiero y se obtiene de multiplicar el saldo del período
inmediatamente anterior por la tasa de interés pacta.

La columna amortización de capital se coloca la parte de la cuota que va
a amortizar el capital y resulta de restar al valor de la cuota, el pago de
interés, correspondiente al periodo.

Por último, la columna de saldo es el valor de la deuda que hace falta
por pagar en ese momento, y resulta de restarle al saldo del período
inmediatamente anterior la parte de la cuota que amortiza a capital.
3.4.1 Ejemplo práctico de tablas de amortización y saldos
Un comerciante de repuestos pide un préstamo bancario por $20.000.000 para
remodelar su almacén y acuerda amortizar su deuda al 38% efectivo anual,
mediante pagos iguales semestrales durante los próximos 4 años. Hallar:
a. El valor del pago semestral (R)
b. Saldo (capital insoluto) justamente después del 3er pago.
A = $20.000.000
n = 8 semestres
i = 38%
 17.47 % semestre
ip = (1 + 0,38)1/2 - 1 = 17.47%
semestral
R=?
a. El costo anual de la deuda es:
R = 4.824.591,72
b. Tabla de amortización:
Períodos
Valor Cuota
Intereses
Amortización
de Capital
0
Saldo
$20.000.000
1
4.824.591,72
2
3.494.000
1.330.591,72
18.699.408,28
4.824.591,72 3.261.545,63
1.563.046,09
17.106.362,19
3
4.824.591,72 2.988.481,47
1.836.110,25
15.270.251,94
4
4.824.591,72 2.667.713,01
2.156.878,71
13.113.373,23
5
4.824.591,72 2.290.906,30
2.533.685,42
10.579.687,82
6
4.824.591,72 1.848.271,46
2.976.320,26
7.603.367,56
7
4.824.591,72 1.328.308,31
3.496.283,41
4.187.084,15
8
4.824.591,72
4.107.084,12
0
717.507,60
El saldo de la deuda justamente después del tercer pago es:
$15.270.251,94
3.4.2 Ejercicios para desarrollar sobre tablas de amortización y saldos
Ejercicio No. 1
Una deuda de $3.500.000 al 2.2% mensual, se va a amortizar mediante pagos iguales
semestrales en 3 años. Realizar la tabla de amortización y saldos.
Ejercicio No. 2
Un Banco, mediante aprobación del comité de crédito, le prestará a la compañía Safe
Ltda. la suma de $500.000.000, para financiar la compra de camiones que serán
utilizados para la distribución de sus productos a nivel nacional. Este préstamo se
amortizará en 3 años mediante cuotas semestrales iguales, a una tasa de interés del
25.5%.
Elaborar la tabla de amortización.
Ejercicio No. 3
Al Sr. Pérez el Banco le presta $13.000.000. Las condiciones del crédito son:

Tasa 27% efectiva anual

Pagos trimestrales iguales

Tiempo un año y medio

Abono extraordinario de $2.500.000 en el 3er trimestre
El señor Pérez necesita conocer la tabla de amortización, para analizar la operación.
Ejercicio No. 4
A la señora García, el Banco le otorga un préstamo por $17.000.000 con las siguientes
condiciones de crédito:
Tasa 17% A.M.V.
Plazo: 2 años pagadero en cuotas trimestrales iguales:
a. Realizar la tabla de amortización y saldos
b. La señora García, inmediatamente después de cancelar la cuarta cuota, pide
refinanciación del saldo, en las mismas condiciones inicialmente pactadas. Realizar la
nueva tabla de amortización y saldos.
Ejercicio No. 5
Una compañía ensambladora de vehículos vende un automóvil que tiene un valor de
contado de $35.000.000, para ser cancelado así: una cuota inicial de $6.000.000 y el
saldo financiado a 12 meses, en cuotas iguales mensuales y un interés del 2.1%
mensual.
El comprador del automóvil necesita saber:
a. El valor de la cuota mensual
b. El saldo de la deuda en cada uno de los meses después de pagar la cuota mensual
estipulada.
Ejercicio No. 6
El precio de un electrodoméstico, de contado, es $1.620.000. Se adquiere con una
cuota inicial de $162.000 y el saldo financiado a 6 meses, pagadero en cuotas iguales
bimestrales al 21% A.B.V. Realizar la tabla de amortización.
Ejercicio No. 7
Hoy se cancelará la totalidad de un préstamo que una entidad financiera realizó hace
exactamente 7 meses por $17.900.000 al 26%, pagadero en cuotas iguales mensuales
por 24 meses. ¿Cuánto debo cancelar hoy para liquidar completamente la deuda?.
Ejercicio No. 8
El año pasado el Banco le prestó al señor Rodríguez, cliente reconocido por su buen
cumplimiento en el pago, $22.500.000 pagadero bimestre vencido al 22% A.B.V a 3
años. Hoy, que acaba de cancelar la 10ª cuota y quiere bajar las cuotas a la mitad,
¿Cuánto debe abonar al saldo?.
Ejercicio No. 9
El cliente Gabriel Mejía está pagando una obligación a una entidad financiera de
$13.000.000 al 1.76% mensual, con pagos iguales bimestrales por 2 años. Después de
cancelar la sexta cuota solicita a la entidad financiera refinanciar el saldo por dos
años. ¿Cuál es el valor de la nueva cuota?.
Unidad 4: Criterios en la Evaluación Financiera de Proyectos de
Inversión
VPN - Valor Presente Neto
Criterios de selección sobre VPN para dos o más proyectos de inversión
Ejemplos
Ejercicios para desarrollar
TIR - Tasa Interna de Retorno
Método de la interpolación
Método de la Fórmula de Gittinger
Ejercicios para desarrollar
TIR en Selección de Alternativas
Ejercicio para desarrollar
CAUE - Costo Anual Uniforme Equivalente
CAUE - Costo Anual Uniforme Equivalente Neto
Selección de opciones con el CAUE
Resumen de Fórmulas
(c) Universidad de Bogotá Jorge Tadeo Lozano - Preparado por: Aída Guzmán Cruz
En la presente unidad se desarrollará la temática de evaluación financiera, partiendo
de un flujo de caja proyectado, al cual se llega después de haber realizado un estudio
de mercado, técnico y de costos, de un proyecto de inversión propuesto.
4.1 VPN - Valor Presente Neto
El Valor Presente Neto es el valor del proyecto medido en pesos de hoy, es decir, es el
resultado de traer a valor presente todos los ingresos y egresos de un flujo de caja
proyectado sobre un capital inicialmente invertido. Otra forma, resulta de deducir al
valor presente de los ingresos el valor presente de los egresos.
De acuerdo a lo anterior:
VPN = VP (I) - VP
(E)
VPN = Valor Presente Neto
VP (I) = Valor Presente de los
Ingresos
VP (E) = Valor Presente de los
Egresos.
Es importante considerar que si:
VPN > O
Los ingresos superan los egresos dando un VPN positivo, por
lo tanto el proyecto de inversión es viable.
VPN < O
Los egresos superan los ingresos, el VPN es negativo, por lo
tanto el proyecto de inversión no es viable.
VPN = O
Los ingresos son iguales a los egresos, no hay utilidades;
teóricamente es indiferente realizar o no el proyecto y tan solo
se debe determinar la conveniencia según otros factores como
la generación de empleo, el mejoramiento de algunos
indicadores sociales, como la reducción de la pobreza.
Ejemplo
Un proyecto, para adquirir una maquinaria de producción de dulces, tiene las
siguientes características:

Inversión inicial de $15.000.000

El primer mes tendrá costos de $200.000 y a partir del segundo mes
aumentarán en $3.000 en cada periodo.

Los ingresos generados por la producción de dulces, se proyectan en $ 400.000
el primer mes y aumentarán en 3% cada mes.

Se estima que el proyecto durará dos años (24 meses).

Valor de mercado del proyecto, transcurridos 24 meses, es de $ 5.000.000

La tasa de oportunidad es del 32% A.M.V.
¿Será viable adquirir la maquinaria?
Para resolver este ejemplo, se recomienda llevar a cabo el siguiente procedimiento:
a. Dibujar la línea de tiempo con su correspondiente flujo de caja.
b. Determinar la tasa efectiva periódica, según los intervalos de tiempo que el
proyecto tiene en sus ingresos y egresos.
c. Estimar el valor presente (VP) del proyecto, restando al valor presente del total
de los ingresos (VPI) el valor presente del total de los egresos (VPE).
d. Analizar el resultado.
a. Gráfico que representa el proyecto:
b. Tasa efectiva periódica: 32% A.M.V. equivale al 2,67% mensual.
c. Valor presente de los ingresos (VPI):
Se aplica la fórmula del Gradiente Geométrico Creciente y para el valor de mercado
simplemente se utiliza la formula de interés compuesto. El valor presente del proyecto
será la sumatoria del gradiente de los ingresos y del valor presente del valor de
mercado del proyecto.
Formula Valor Presente, utilizando Gradiente Geométrico Creciente.
VP = Valor Presente
A = Valor del primer pago de la
serie
k = Incremento
n = Número de períodos
i = Tasa de interés efectiva
periódica
VP(I) = 9.704.249,10 + 2.656.589,89
VP(I) = 12.360.838,99
Valor presente de los egresos (VPE):
Se utiliza la fórmula de Gradiente Aritmético Creciente.
Formula Valor Presente, utilizando Gradiente Aritmético Creciente
VP = Valor Presente
A = Valor del primer pago de
la serie
i = Tasa efectiva periódica
G = Valor del incremento
constante
n = Número de períodos
VP(E) = 4.050.277,57 + 15.000.000 = 19.050.277,57
d. Análisis del resultado:
VPN = VP(I) - VP(E)
VPN
=
12.360.838,99 - 19.050.277,57
VPN = - 6.689.438,58
VPN < 0
El proyecto no es viable.
Llevar a cabo este proyecto, equivale a tener hoy una pérdida de
$6.689.438.58
4.2 Criterios de selección sobre VPN para dos o más proyectos de inversión
Si se tienen dos opciones o alternativas de inversión, se puede presentar que tengan:
a. Vidas útiles iguales o
b. Vidas útiles diferentes.
4.2.1 Proyectos con vidas útiles iguales
En éste caso, se debe realizar el siguiente procedimiento:
a. Registro en la línea de tiempo, de los flujos de caja proyectados para cada proyecto
b. Estimación del valor presente de cada proyecto y
c. Evaluación: determinar cuál es el proyecto más conveniente. Se debe realizar
considerando:
Si VPN
proyecto 1
> VPN
proyecto 2
Si VPN
proyecto 1
< VPN
proyecto 2
Si VPN
proyecto 1
= VPN
proyecto 2
se escoge el proyecto 1
se escoge el proyecto 2
es indiferente la elección del proyecto
Ejemplo
De los proyectos de inversión expuestos a continuación, seleccionar el mejor proyecto:
Flujos de caja de los proyectos
Proyecto 1
Proyecto 2
Inversión hoy $8.000.000
Inversión hoy $10.000.000
Gastos mensuales $160.000
Gastos mensuales de $80.000 el
primer mes y aumentarán en $4.500
cada mes
Ingresos $640.000 el primer mes y
disminuirán en un 5% cada mes, a
partir del segundo mes.
Ingresos de $900.000 mensuales.
Vida útil 1.5 años (18 meses)
Vida útil 1.5 años (18 meses)
Valor de mercado $4.950.000
Valor de mercado Nulo
Tasa de oportunidad 34%
Tasa 34% efectivo anual.
Procedimiento de selección de la mejor alternativa de inversión entre los dos
proyectos:
a(1). Registro del flujo de caja del proyecto 1 en la línea del tiempo
Línea de tiempo Proyecto 1:
b(1).
VPN
del
Proyecto
1
34% Efectivo Anual es equivalente al 2,47% mensual.
Para obtener el VP de los ingresos se utiliza la fórmula de Gradiente Geométrico
Decreciente y el VP del valor de mercado se podrá estimar con la fórmula de interés
compuesto:
Formula Valor Presente, utilizando Gradiente Geométrico Decreciente.
VP = Valor Presente
A = Valor del primer pago de la
serie
k = Decrecimiento
n = Número de períodos
i = Tasa efectiva periódica
VP(I) = 9.564.614,78
Para obtener el VP(E), se utiliza la fórmula valor presente de una Anualidad y se suma
los $8.000.000 de la inversión.
Fórmula Valor Presente de una anualidad
A = Valor Presente de la
anualidad
R = Pago, cuota o anualidad
n = Número de pagos o
períodos
i = Tasa efectiva periódica
VP(E) = 10.302.489,59
VPN(1) = -$737.874,81
a(2). Registro del flujo de caja del proyecto 2 en la línea del tiempo
Línea de tiempo Proyecto 2:
b(2). VPN del Proyecto 2
VP(I) = 12.951.503,95
VP(E) = 11.659.289,86
VPN = $12.951.50393 - $11.659.28986
VPN(2) = $1.292.21409
c. Evaluación: la determinación de cuál es el proyecto más conveniente se
debe realizar considerando:
VPN(1) = -$737.874,81
VPN(2) = $1.292.21409
VPN(2) > VPN(1)
El proyecto a seleccionar debe ser el 2, puesto que el VPN es
mayor. En este ejemplo es importante considerar que el
proyecto 1 genera pérdidas a valor de hoy, por lo tanto,
tampoco es atractivo dado su resultado financiero.
4.2.2 Proyectos con vidas útiles diferentes
Cuando dos proyectos de inversión tienen vidas útiles diferentes, la comparación de
sus VPN, se puede resolver de dos formas:
Si en la vida útil de los proyectos, existe un comportamiento repetitivo en el flujo de
caja:
a. Se toma el mínimo común múltiplo de las vidas útiles, como nueva línea de
tiempo de los proyectos.
b. Se registra el flujo de caja, de cada proyecto, en la nueva línea de tiempo,
repitiendo el flujo original hasta completar la duración del mínimo común
múltiplo, y
c. Se obtienen los VPN correspondiente a los proyectos
d. Se realiza la evaluación, para determinar cuál proyecto es más conveniente.
Si los flujos de caja no se repiten en los ciclos de vida útil, se prolonga el ciclo menor
hasta igualar el mayor y/o viceversa.
Ejemplo
Una empresa metalmecánica necesita adquirir una máquina para la producción de
lámina extraplana. El Gerente financiero tiene dos opciones: adquirir la máquina X o la
máquina Z. Ambas máquinas producen el mismo producto terminado (lámina
extraplana), pero tienen vidas útiles diferentes. Se tiene una tasa de descuento del
2,6% mensual y los siguientes flujos de caja de cada máquina:
Máquina X
Máquina Z
Inversión inicial
$10.000.000
Ingresos mensuales
$650.000
$600.000 y aumentan en $10.000
cada mes.
Valor de mercado
$ 1.000.000
$ 1.500.000
Vida útil
2 años
3 años
"El
flujo
de
caja
se
$16.000.000
repite
en
cada
uno
de
los
ciclos."
a. Nueva línea de tiempo de los proyectos
Vida
útil
máquina
X
=
2
años
Vida
útil
máquina
Z
=
3
años
El mínimo común múltiplo 6 años (72 meses).
b(x). Flujo de caja en la nueva línea de tiempo del proyecto con la máquina X
Máquina X
Se registra el flujo de caja del proyecto con la máquina X en la línea de tiempo,
repitiendo este flujo 3 veces, hasta el mes 72:
c(x). Determinación del VPN máquina X
Valor presente neto, 1° ciclo, ubicado en el momento cero
VPN = $2.037.923,42
Valor presente neto del primer flujo de caja o primer ciclo, en el momento cero.
Como los flujos se repiten, tenemos:
VPN
=
$2.037.923,42 x (1+0,026)-24
VPN = $1.100.654,98
Valor presente neto del segundo flujo de caja o segundo ciclo, en el momento cero.
VPN = $2.037.923,42 x (1+0,026)-48
VPN = $594.448,92
Valor presente neto del tercer flujo de caja o tercer ciclo.
Valor presente neto del proyecto adquirir la máquina X es:
VPN(x) = $2.037.923,42 + $1.100.654,98 + $594.448,92
VPN(x) = $3.733.027,32
Valor presente del proyecto con la máquina X es de $ 3.733.027,32
Máquina Z
b(z). Flujo de caja en la nueva línea de tiempo del proyecto con la máquina Z
Se registra el flujo de caja del proyecto con la máquina Z, en la línea de tiempo con 2
ciclos que corresponden a 6 años (72 meses):
c(z). Determinación del VPN máquina Z
VPN del primer ciclo de caja:
VPN = $1.938.462,96
VPN del segundo ciclo:
VPN = $1.938.462,96 (1 + 0.026)-36
VPN = $769.400,60
El VPN de la máquina Z será la suma de los VPN de los dos ciclos.
VPN(Z) = 1.938.462,96 + 769.400,60
VPN(Z)= $2.707.863,56
Valor presente del proyecto con la máquina Z es de $ 2.707.863,56
d. Determinar cuál proyecto es más conveniente.
VPN(x) = $3.733.027,32
VPN(Z)= $2.707.863,56
VPN(x) > VPN(z)
La mejor alternativa es adquirir la máquina X, porque en
dineros de hoy, reporta mayores beneficios, ya que el VPN
del proyecto con la máquina X es mayor al VPN del
proyecto con la máquina Z.
4.2.3
Ejemplos
Ejemplo No. 1 - Negocio de Fotocopias
El Sr. Pérez de 60 años de edad, pensionado, y aburrido de encontrarse sin trabajo,
decide montar un negocio de fotocopias, ubicado junto a una universidad, para ello
tiene que elegir entre las siguientes dos opciones:
Opción 1
Costo inicial: adquisición de la máquina
fotocopiadora
MM, papelería, tintas y arriendo.
$6.000.000
Costos mensuales: mantenimiento, papel,
tinta y arriendo.
$300.000 y aumentará
en 2% cada mes
Capacidad de producción de fotocopias que
determina la
demanda y oferta completamente satisfecha
(ventas).
$600.000 Mensual
Vida útil
5 años
Valor de mercado, transcurridos los 5 años
$1.000.000
Opción 2
Costo inicial: adquisición de la
máquina fotocopiadora ZZ,
papelería, tintas y arriendo.
$7.000.000
Costos mensuales: mantenimiento, papel,
tinta y arriendo.
$250.000
Según capacidad de producción de
fotocopias,
ingreso estimado
Primer año
Segundo año
Tercero, cuarto y quinto año
Valor de mercado transcurrida la vida útil.
Vida útil
$650.000 Mensual
$550.000 Mensual
$400.000 Mensual
$500.000
5 años
La tasa de descuento del proyecto es del 30% efectivo anual. El Sr. Pérez está
confundido y no sabe cuál es la mejor opción. ¿Qué consejo le daría usted?
Opción 1
a(1). Registro del flujo de caja de la opción 1 en la línea del tiempo
La tasa de 30% equivale aproximadamente a: 2,21% mensual
b(1). Estimación del valor presente de la opción 1
Se debe estimar el valor presente de los ingresos mensuales durante los 5 años de
vida del proyecto, adicionar el valor presente del valor de mercado en el mes 60,
restar el valor presente de los egresos mensuales durante los 5 años de vida del
proyecto y por último restar la inversión inicial:
VPN = 19.835.309,08 + 269.399,45 - 6.000.000 - 16.584.587,75
VPN = - $2.479.897,22
VPN < 0
Esta opción no es viable.
Opción 2
a(2). Registro del flujo de caja de la opción 2 en la línea del tiempo
b(2). Estimación del valor presente de la opción 2
Primero se estima el valor presente de los ingresos:
VP(I) = 6.786.148,11 + 5.742.125,32 (0,77) + 4.176.091,14 (0,59) + 134.699,72
VP(I) = 6.786.148,11 + 4.421.436,50 + 2.463.899,77 + 134.699,72
VP(I) = $13.806.184,10
Después, el valor presente de los egresos:
VP(E) = 7.000.000 + 8.264.712,12
VP(E) = $15.264.71212
El valor presente neto de la segunda opción es:
VPN(2) = VP(I) - VP(E)
VPN(2) = 13.806.184,10 - 15.264.712,12
VPN(2) = -$1.458.528,02
VPN < 0
Esta opción no es viable.
c. Determinar cuál proyecto es más conveniente.
Ninguna opción es viable, se recomienda no llevar a cabo el negocio.
Ejemplo No. 2 - Adquisición de carros canastas para un hipermercado
El gerente financiero del Hipermercado "Compre Todo Aquí", autorizó la compra de
carros canasta, para ofrecer una mejor atención al cliente en el hipermercado.
Al realizar el estudio, en el mercado se encontraron dos alternativas de inversión:
Carro - Canasta
Valor de adquisición (cada carro-canasta)
Marca "Ruédame"
$32.000
Marca "Lléname"
$38.000
Cada año
Cada dos años
Costo por rueda
$1.200
$1.500
Valor del mercado
$8.000
$12.000
Vida útil
6 años
6 años
Las 4 ruedas se deben reponer
Tasa de oportunidad del hipermercado "Compre Todo Aquí" del 32 % efectivo anual.
¿Cuál opción deberá escoger el gerente financiero?
Opción 1 - Carro - Canasta marca "Ruédame":
a(1). Registro del flujo de caja de la opción 1 en la línea del tiempo
b(1). Estimación del valor presente de la opción 1
VPN(Ruédame) = 1.532,33 - 32.000 - 12.164,38
VPN(Ruédame) = -$ 42.632.05
Opción 2 - Carro - Canasta marca "Lléname":
a(2). Registro del flujo de caja de la opción 2 en la línea del tiempo
b(2). Estimación del valor presente de la opción 2
VPN(Lléname) = 12.000(1+0,32)-6 - 38.000 - 6.000(1+0,32 )-2 - 6.000(1+0,32)-4 6.000(1+0,32)-6
VPN(Lléname) = 2.268,49 - 38.000 - 3.443,53 - 1.976,31 - 1.134,25
VPN(Lléname) = - $ 42.285,60
c. Determinar cuál proyecto es más conveniente.
Ninguno de los dos proyectos por sí solo da utilidad, pero visto de forma global y
buscando la buena atención al cliente, se deberá escoger el que represente menores
costos:
VPN(Ruédame) = -$ 42.632.05
VPN(Lléname) = - $ 42.285,60
VPN(Lléname) < VPN(Ruédame)
La mejor opción es el carro canasta marca "Lléname".
4.2.4 Ejercicios para desarrollar
Ejercicio No. 1 - Empresa: "Constructora Ladrillo sobre Ladrillo"
Esta compañía dedicada a la construcción de edificios, esta decidiendo entre comprar o
arrendar: un buldózer, una mezcladora y una retroexcavadora.
Opción compra
Costo de adquisición de las
tres máquinas
$
350.000.000
Mantenimiento mensual
Primer año $ 1.500.000
Segundo año $ 2.000.000
Tercer año
Valor de mercado,
transcurridos los 5 años
Vida útil
$ 3.000.000
$
150.000.000
5 años
Opción arriendo
Cuota de arrendamiento
mensual
Primer año
$
10.000.000
Segundo año
$
11.900.000
Tercer año
$
14.161.000
Cuarto año
$
16.851.590
Quinto año
$
20.053.392
Mantenimiento y seguros
$ 1.000.000
mes y va
aumentado
el 2% cada
mes
La
tasa
de
oportunidad
de
esta
constructora
es
el
23%
efectivo
anual.
¿Cuál es la mejor opción?
Ejercicio No. 2 - Universidad Analítica de Colombia
La Universidad Analítica de Colombia, desea seleccionar entre dos clases de muebles
los más económicos, para un salón destinado a seminarios, conferencias, cursos y
diplomados. Estas son las dos alternativas:
Clase Estándar - muebles fijos al piso
Costo inicial
$ 5.500.000
Mantenimiento mensual
$ 50.000
Reparación cada cinco años
Año quinto
$ 600.000
Año décimo
$ 860.000
Valor de mercado
Vida útil
$ 2.000.000
10 años
Interés de oportunidad
22 % AMV
Clase Clásica - muebles móviles
Costo inicial
Mantenimiento mensual
y aumentará cada mes
$ 4.000.000
$ 60.000
1,5 %
Reparación cada dos años
$ 160.000
Valor de mercado
$ 600.000
Vida útil
5 años
Tasa de oportunidad
22 % AMV
¿Cuál opción le recomienda al gerente administrativo de esta institución?
4.3 - TIR - Tasa Interna de Retorno
La Tasa Interna de Retorno (TIR) de un proyecto, es la tasa de interés que iguala el
valor presente de los ingresos con el valor presente de los egresos (VP(I)= PV(E)), por
lo tanto el Valor Presente Neto VPN es igual a cero.
Para hallar la TIR de un proyecto de inversión, existen los siguientes métodos:
1. Método de la interpolación.
2 Método de la fórmula de Gittinger.
La estimación se puede realizar mediante la aplicación de las fórmulas, la utilización de
calculadoras financieras o la hoja electrónica.
4.3.1 Método de la interpolación
Para explicar cómo se realiza la interpolación, es conveniente realizar el seguimiento al
siguiente ejemplo:
Ejemplo No. 1:
El Sr. y Sra. Medellín invertirán en un negocio de venta de pescado, la suma de
$7.000.000 en el momento de instalación, al cabo de 3 meses será necesario hacer
otra inversión de $1.600.000. Las utilidades se proyectan trimestralmente de
$800.000 durante 10 trimestres, recibiendo la primera utilidad, 6 meses después de
instalado el negocio. Se proyecta que este negocio se podrá vender al final de 3 años
en $4.000.000.
¿Cuál
es
la
TIR
de
este
a. Registro del flujo de caja
b(1). Estimación del VPN con una tasa de interés
i = 6.5% trimestral:
VPN = 5.400.060,26 + 1.878.731,42 - 1.502.347,42- 7.000.000
VPN = -$1.223.555,74
Para utilizar más adelante ésta tasa de interés se identificará como i n
in = 6.5% trimestral
Tasa que hace el VPN < 0
proyecto?
b(2). Estimación del VPN con otra tasa de interés
i = 4% trimestral
VPN = 6.239.150,60 + 2.498.388,20 - 1.538.461,54 - 7.000.00
VPN = $199.077.26
Para utilizar más adelante ésta tasa de interés se identificará como i p
ip = 4% trimestral
Tasa que hace el VPN > 0
c. Estimación de la TIR (tasa interna de retorno)
Considerando los valores presentes netos de las tasas de interés:
in = 6,5%
VPN(in) = -$1.223.555,74
ip = 4,0%
VPN(ip) = $199.077.26
Se debe interpolar entre éstas tasas hasta encontrar la tasa
de interés que hace el VPN = cero o muy aproximado a cero.
La tasa resultante de la interpolación es 4,35%.
4.3.2 Método de la Fórmula de Gittinger
Cuando se necesita determinar la tasa interna de retorno, con mayor rapidez, se puede
evitar realizar la interpolación, aplicando la fórmula de Gittinger, descrita a
continuación:
ip = tasa que hace el VPN > 0
in = tasa que hace el VPN < 0
VPN
(ip)
= VPN > 0
VPN
(in)
= VPN < 0
No sobra resaltar que para la estimación de la TIR, se debe trabajar con el valor
absoluto del VPN resultante de trabajar con la tasa de interés que lo hace negativo
"VPN
(in)":
TIR = 4,35%
trimestral
4.3.3 Ejercicios para desarrollar
1. Si invertimos hoy $2.000.000 en un proyecto, cuya duración es de dos años y
obtenemos al final de este periodo $3.699.200. Calcular la TIR para esta
inversión.
2. Usted invierte hoy en un negocio $3.500.000 y adicionalmente, al cabo de 3
meses deberá invertir la suma de $800.000. Este negocio le reportará unas
utilidades trimestrales de $400.000 durante 3 años, recibiendo la primera
utilidad a los 6 meses de iniciado el negocio. Además, el negocio se podrá
vender al final de los tres años en $2.800.0000. Hallar la TIR.
4.3.4 TIR en selección de alternativas
En éste tema es importante tener claro el concepto de tasa de oportunidad (io) del
inversionista; ésta tasa hace referencia al rendimiento que renuncia el inversionista
por llevar a cabo el proyecto seleccionado. En otro escenario, se puede tomar como
tasa de oportunidad la tasa promedio, vigente en el mercado, por lo que el
inversionista pretenderá superarla mediante la obtención, en el desarrollo del proyecto,
de un rendimiento mayor.
Una vez teniendo claro éste concepto, se compara la TIR con la tasa de oportunidad y
se tiene otra herramienta de selección
Entonces:
TIR > io
El proyecto se acepta, pues tendrá utilidades superiores a la ofrecida por
el mercado.
TIR < io
El proyecto se rechaza, dado que el mercado ofrece mejores alternativas .
TIR = io
Es indiferente aceptarlo o no.
Ejemplo No. 1
La Sra. Clara Lozano invierte en la compraventa de joyas $4.000.000 y espera recibir
utilidades de $1.250.000 trimestralmente durante un año.
Si la tasa de oportunidad del inversionista es del 7.5% trimestral, determinar por
medio de la TIR, si este proyecto es bueno o no.
a. Registro del flujo de caja
b(1). Estimación del VPN con una tasa de interés de 8,5% trimestral
ip =8.5% Trimestral:
VPN= $ 94.495,82
VPN > 0
b(2). Estimación del VPN con una tasa de interés de 10,0% trimestral
in = 10% Trimestral:
VPN= - $ 37.668,19
VPN < 0
c. Estimación de la TIR (tasa interna de retorno)
TIR = 9,57% Trimestal
d. Determinación de la conveniencia de realizar el proyecto:
io = 7,5% Trimestral
TIR del proyecto = 9,57%
TIR > io
El proyecto es viable para el inversionista, dado que su
rendimiento es superior al ofrecido por el mercado, es decir,
es superior a la tasa de oportunidad. "El proyecto se
acepta".
Ejemplo No. 2
Un coleccionista de arte, compra hoy un cuadro en $ 4.000.000. Paga una cuota inicial
del 30%, en 4 meses deberá cancelar el 50% y a los 8 meses cancelará el resto.
Espera vender este cuadro en $ 7.300.000 un año y medio después de adquirirlo.
La tasa del mercado oscilará entre el 30 y 31 % (tasa de colocación bancaria).
¿El coleccionista hizo un buen negocio al adquirir este cuadro?
a. Registro del flujo de caja
b(1). Estimación del VPN con una tasa de interés de 4,6% mensual
in = 4,6% mensual:
VPN = 7.300.000 (1+ 0,046)-18 - 1.200.000 - 1.400.000 (1+0,046)-4 - 1.400.000
(1+0,046)-8
VPN = -$97.436,74
VPN < 0
b(2). Estimación del VPN con una tasa de interés de 4% mensual
ip = 4% mensual:
VPN = 7.300.000 (1+ 0,04)-18 - 1.200.000 - 1.400.000 (1+0,04)-4 - 1.400.000
(1+0,04)-8
VPN = $183.793,12
VPN > 0
c. Estimación de la TIR (tasa interna de retorno)
TIR = 4,39% mes
d.
Determinación
de
la
conveniencia
de
realizar
el
proyecto:
Tasa Bancaria:
30%
2,21 % mes
31%
2,28 % mes
TIR > Tasa Bancaria
El coleccionista realizó un buen negocio, dado que la utilidad
obtenida por su compra es superior a la tasa ofrecida en el
sector bancario.
4.3.5 Ejercicio para desarrollar
El señor José Cardozo, transportador de cebolla, carga sus camiones en Aquitania
(Boyacá) y los lleva a Corabastos (Bogotá). El señor Cardozo se ha dedicado a éste
oficio por más de quince años y ahora decide comprar un camión nuevo en
$55.000.000. El flujo de caja proyectado es el siguiente:
Ingresos:
$ 4.000.000 mensuales durante el primer año y se espera un incremento del
15% cada año.
Egresos:
$ 2.500.000 mensuales durante el primer año y se espera un incremento del
18% cada año.
Valor
La
de
mercado
tasa
de
del
camión,
captación
al
cabo
bancaria
de
es
3
años
del
es
18%
de
$
36.000.000.
efectivo
anual.
Hallar la TIR del proyecto.
¿La inversión que hizo el señor Cardozo en la compra del camión fue buena o mala?
4.4 - CAUE - Costo Anual Uniforme Equivalente
Cuando un mínimo común múltiplo de la vida útil de los proyectos, es un número
grande, se dificulta establecer los flujos de caja, las tasas de descuento y los valores
de mercado. El Costo Anual Uniforme Equivalente (CAUE), permite superar esta
dificultad.
Se le llama CAUE a la cuota o pago neto, periódica e igual que sustituye el flujo de caja
dado.
Al CAUE también se le llama Promedio Financiero del flujo de caja, dado de un
proyecto de inversión. Esta cuota o cantidad representa, financieramente, el promedio
de ganancia o perdida en un proyecto.
A partir de la línea de tiempo con el flujo de caja proyectado, se aplica la siguiente
formula, para hallar el CAUE o llamado, también, Factor de Distribución de un valor
presente:
CAUE = Costo Anual Uniforme Equivalente
P = Valor Presente del Flujo de Caja
i = Tasa Efectiva Periódica
n = Número de períodos
Ejemplo
Calcular el CAUE del siguiente flujo de caja, con una tasa de interés del 3% mensual.
a. Registro del flujo de caja
b. Estimación del VP
VP = -30.000 -10.000 (1+0,03)-3 - 40.000 (1+0,03)-5 - 20.000 (1+0,03)-10
VP = -$88.537,60
c. Determinación del CAUE
CAUE = - $10.379,30
El flujo de caja presentado es equivalente a un promedio
financiero
mensual
de
-$10.379,30
4.4.1 - Costo Anual Uniforme Equivalente Neto
El CAUE neto es igual al CAUE de los ingresos menos el CAUE de los egresos.
CAUE
(neto)
= CAUE(I) - CAUE
(E)
donde,
CAUE(I) = CAUE de los ingresos del flujo de caja del proyecto
CAUE(E) = CAUE de los egresos del flujo de caja del proyecto
Ejemplo
Un proyecto de compra y venta de ganado requiere de una inversión inicial de
$5.000.000 y nuevas inversiones de $950.000 en los trimestres 3, 5 y 7. Se espera
obtener unos ingresos de $1.600.000 trimestrales a partir del noveno trimestre hasta
que el proyecto termine. La vida útil del proyecto es de 13 trimestres con un valor de
mercado de $2.500.000. La tasa del inversionista es de 2.8 % mensual. Hallar su
correspondiente
CAUE
Neto:
a. Registro del flujo de caja
Dado que el proyecto se encuentra expresado en trimestres, se trabajará con la tasa
de interés equivalente:
2.8% mensual
8,64% trimestral
b(I). Estimación del VP(I)
VP
(I)
= $4.088.564,61
c(I). Estimación del CAUE(I)
CAUE(I) = $ 535.646,28
b(E). Estimación del VP(E)
VP(E) = 5.000.000 + 950.000(1+0,0864)-3 + 950.000(1+0,0864)-5 +
950.000(1+0,0864)-7
VP(E) = $6.900.481,35
c(E). Estimación del CAUE(E)
CAUE(E) = $ 904.037,85
d. Estimación del CAUE(NETO)
CAUE(neto) = $ 535.646,28 - $904.037,85
CAUE(neto) = -$368.391,57
Llevar a cabo éste proyecto, equivale a tener una pérdida
promedio trimestral de $368.391,57 durante los 13
trimestres de su vida útil. Se recomienda no llevar a cabo
este proyecto.
4.4.2 - Selección de opciones con el CAUE
Para comparar proyectos con vidas útiles iguales o diferentes por medio del CAUE, se
debe:
a. Registrar el flujo de caja de cada uno de los proyectos con sus vidas útiles
respectivas
en
la
b. Hallar el CAUE de cada proyecto.
línea
del
tiempo.
Es importante al estimar el CAUE, que los
proyectos deben estar expresados en el mismo período (mensual, trimestral, anual,
etc.)
c. Seleccionar el proyecto más conveniente.
Para seleccionar el proyecto se debe considerar que sí:
CAUE(1) > CAUE(2)
El más conveniente es el proyecto 1
CAUE(1) < CAUE(2)
El más conveniente es el proyecto 2
CAUE(1) = CAUE(2)
Indiferente realizar cualquiera de los dos proyectos
Ejemplo No. 1
Un empresario adquirirá, para su industria de textiles, una máquina por $5.000.000.
Los costos de revisión y repuestos se estiman en $ 800.000 anuales durante los tres
primeros años y de $ 1.000.000 de allí en adelante. La máquina se tendrá que reparar
al tercer año y tendrá un costo de $1.500.000. Dos años después se venderá en
$5.000.000. Los ingresos esperados, serán de $1.000.000 anuales.
Determinar
el
CAUE
con
una
tasa
a. Registrar el flujo de caja del proyecto
27 % A.M.V.
30.60%
b. Hallar el CAUE del proyecto.
VP(I) = $3.723.841,28
del
27%
A.M.V.
CAUE(I) = $1.546.544,21
VP(E) = $ 7.721.047,01
CAUE(E) = $ 3.206.619,09
CAUEproyecto = CAUE(I) - CAUE(E)
CAUEproyecto = $ 1.546.544,21 - 3.206.619,09
CAUEproyecto = - $ 1.660.074,80
El proyecto no es viable, considerando que el CAUE es
negativo.
Ejemplo No. 2
En una empresa importadora de computadores, donde mantienen altos niveles de
stock, deciden adquirir alarmas y equipos antirobos y de control. Para ello, el Gerente
Administrativo envía al Gerente Financiero dos propuestas para que las analice y de su
opinión. Las propuestas son las siguientes:
Propuesta X
Costo inicial de adquisición e instalación (promoción)
$ 2.000.000
Costo anual de mantenimiento y operación durante los primeros 4 años
$ 3.000.000
de allí en adelante aumentará anualmente
Valor de mercado
$ 200.000
$0
Vida útil
10 años
Tasa
34 %
Propuesta Y
Costo inicial de adquisición y mantenimiento
$ 3.500.000
Costo anual de operación, mantenimiento y asesoría durante los primeros 3 años
$ 2.500.000
de allí en adelante aumentará anualmente
Valor de mercado
Vida útil
$ 250.000
$ 6.000.000
15 años
Tasa
34 %
Propuesta X
a. Registrar el flujo de caja de la propuesta X
b. Hallar el CAUE:
VP(x) = $ 10.756.581,77
CAUE(x)= $ 3.864.260,73
Este proyecto en promedio tendrá costos anuales de $ 3.864.260,73
Propuesta Y
a. Registrar el flujo de caja propuesta Y
b. Hallar el CAUE:
VP(I)y = 6.000.000 (1+0,34)-15
VP(I)y = $ 74.401,09
CAUE(I)y= $ 25.613,99
VP(E)y = $ 16.406.481,09
CAUE(E)y= $ 5.648.242,80
CAUE(y) = CAUE(I)y - CAUE(E)y
CAUE(y) = $ 25.613,99 - $ 5.648.242,80
CAUE(y)= -$5.622.628,81
Este proyecto tendrá un promedio de costos anuales de $ 5.264.925,03
c. Seleccionar el proyecto más conveniente:
CAUE(x)= - $ 3.864.260,73
CAUE(y)= -$5.622.628,81
CAUE(y) < CAUE(x)
El Gerente Financiero debe recomendar la propuesta X
Resumen de Fórmulas
Formula Valor Presente, utilizando Gradiente Geométrico Creciente
VP = Valor Presente
A = Valor del primer pago de la
serie
k = Incremento porcentual
n = Número de períodos
i = Tasa de interés efectiva
periódica
Formula Valor Presente, utilizando Gradiente Aritmético Creciente
VP = Valor Presente
A = Valor del primer pago de la serie
i = Tasa efectiva periódica
G = Valor del incremento constante
n = Número de períodos
Formula Valor Presente, utilizando Gradiente Geométrico Decreciente.
VP = Valor Presente
A = Valor del primer pago de la
serie
k = Decrecimiento porcentual
n = Número de períodos
i = Tasa efectiva periódica
Formula Valor Presente, utilizando Gradiente Aritmético Decreciente.
VP = Valor Presente
A = Valor del primer pago de la serie
i = Tasa efectiva periódica
G = Valor del incremento constante
n = Número de períodos
Fórmula Valor Presente de una anualidad
A = Valor Presente de la
anualidad
R = Pago, cuota o anualidad
n = Número de pagos o
períodos
i = Tasa efectiva periódica
Fórmula de Gittinger para calcular la TIR
ip = tasa que hace el VPN > 0
in = tasa que hace el VPN < 0
VPN
(ip)
= VPN > 0
VPN
(in)
= VPN < 0
Fórmula del Costo Anual Uniforme Equivalente
CAUE = Costo Anual Uniforme Equivalente
P = Valor Presente del Flujo de Caja
i = Tasa Efectiva Periódica
n = Número de períodos