PDF (Tesis) - Repositorio Institucional Centro Atómico Bariloche e

PROYECTO INTEGRADOR DE LA CARRERA DE
INGENIERÍA MECÁNICA
ANÁLISIS DE VIBRACIONES Y DISEÑO DE UN SISTEMA DE
BALANCEO PARA ROTORES DE ALTA VELOCIDAD
Alfredo Raúl Carella
Ing. Kyu-Hyung Kyung
Ing. Rubén E. Sosa
Director
Co-Director
Junio 2008
Centro Atómico Bariloche
Instituto Balseiro
Universidad Nacional de Cuyo
Comisión Nacional de Energía Atómica
Argentina
Abstract
A balancing system for high-speed rotating shafts, was designed, built, calibrated
and tested. The balancing system can be used for many different shafts sizes,
and for calibration with the one-plane and two-plane methods. Several types of
vibration transducers were tested. Also analog filters for signal conditioning were
designed, characterized and tested. User-friendly software was developed for data
acquisition and frequency spectra analysis. Fast Fourier Transform was used to
transform raw data to frequency spectra which was presented using a graphic user
interface. The balancing system was assembled and tested, and high sensitivity
and repeatability were verified. Good results were obtained for frequencies below
the design range. As a test sample, a rotor weighing 930 grams -unbalanced by
107,69 g · mm- was balanced at 2400 rpm, and the final unbalancing was reduced
to 0.72 g · mm.
Keywords: balancing, FFT, vibration, spectra analysis, resonance, high-speed
i
ii
Resumen
Se diseñó, construyó y caracterizó un sistema de balanceo en uno y dos planos para
rotores de alta velocidad de giro adaptable a distintos tamaños de eje. Se probaron
para el mismo diferentes tipos de transductores de vibraciones y se diseñaron filtros
analógicos de acondicionamiento de señal. Se desarrolló un programa de adquisición y análisis espectral empleando FFT y modulación por ventanas con interfaz
gráfica amigable (GUI). Se montó y caracterizó el sistema diseñado, obteniéndose
buena repetitividad y alta sensibilidad en las mediciones, incluso muy por debajo
de la frecuencia de diseño. Se balanceó un rotor de 930 gramos a 2400rpm, logrando reducir el desbalance desde un valor inicial de 107,69 g · mm hasta un valor
final de 0,72 g · mm.
Palabras clave: balanceo, FFT, vibración, análisis espectral, alta velocidad
iii
iv
Agradecimientos
Creo que estas son las palabras más difíciles de escribir de cualquier texto, aunque
también las más gratificantes. Es una satisfacción poder materializar un pequeño
reconocimiento a la gente que contribuyó a mi formación, cada cual a su manera,
aportando ejemplo, experiencia, empatía, solidaridad y un sinfín de otros valores.
La lista de agradecimientos es larga, pero los primeros son Luis, Adolfo, José
y Ana: mis hermanos y mis ”viejos”. A ellos les debo la fuerza y la paciencia para
alcanzar mis conquistas y levantarme de mis caídas, mi deseo de mejorar cada día.
Gracias Seba, Javi, Oscar, Elbi, Daniel, Colo, mis padrinos en lo deportivo,
por su integridad y por enseñarme sin palabras el significado de la perseverancia
y la modestia.
Gracias Kyu y Rubén, mis directores en este trabajo, por su excelente predisposición, su calidad humana y la invaluable experiencia que supieron transmitirme.
Gracias Gastón, Germán, Ana, Euge, Natalia, Laura, Ramiro, Cecilia, Úrsula,
Agustina, Martín, Mirna, Tita, Marcos, Rorro, Ladino, Mati, Pepe, Javier, Mercha, Patro, Fran, Diego, Pablo, Sebo, Emmanuel, Pau Z, Nacho, Emi, Danilo,
Titi, Pablito, Manco, José Pablo, Paraguayo, Seba (15), Suja, Leandro, Esteban,
Marcelo, Rubio, Nati, Vane, Hernán, por estar siempre en forma generosa, incondicional, desinteresada.
Gracias José y Virginia, dos de las personas más nobles que he conocido. Al
primero por hacer mi vida más fácil, divertida y agradable este último tiempo; a
la segunda por hacerla más complicada, divertida y agradable.
Gracias Ezequiel, Fernando, Alejandro, Santiago, Roberto, Julio y Diego, compañeros de promoción, por compartir esta experiencia conmigo y ayudarme a
aprovecharla al máximo. Gracias Simón, Gastón, Gustavo, Florencia, Juan Pablo,
Marisol, Necios, Renzo, Panchito, Eduardo, Sol, Santiago, Nuria, Joaquín, Fernando, Yamiel, Juan, Ariel, Mariano, Nono, Manque, Migui, Eduardo, Guido,
Tuna, Pablo, Nacha, Tomás, Beto, Alejandra, Gabriela, Marisa, Hugo, Morzipan.
Gracias Kay, Martín, Claudio, José, Mimi, Nico, Seba, por la ayuda para
conseguir mis primeras armas en la técnica experimental, tan nueva para mí antes
de comenzar este trabajo.
Gracias a los buenos profesores (Alejandro, Javier, Horacio, Eduardo, Daniel,
Néstor, Pepe, Celso, Agustín, Nicolás, Juan y otros) por sus aportes inestimables
a mi formación humana y profesional, a los malos por enseñarme el valor de la
escucha crítica y ayudarme a comenzar a perder mi exceso de ingenuidad.
v
Mi memoria no es perfecta y es posible que esté olvidando a algunas personas
importantes. A ellas les pido disculpas, innecesarias ya que quienes me conocen
no se sentirán ofendidos.
Alfredo R. Carella
San Carlos de Bariloche, Junio 2008
vi
Tabla de contenidos
Abstract
i
Resumen
iii
Agradecimientos
v
Tabla de contenidos
vii
Lista de figuras
ix
Lista de tablas
xi
1 Introducción
1
1.1 Análisis de vibraciones en el mantenimiento predictivo de maquinaria 1
1.1.1 Análisis de amplitud espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.2 Análisis de forma de onda en el dominio temporal . . . . . . 2
1.1.3 Análisis de fase de vibraciones . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Importancia del balanceo para máquinas de ejes rotantes . . . . . . 3
2 Conceptos teóricos de balanceo
2.1 Definición de desbalance . . . .
2.1.1 Fuerza centrífuga . . . .
2.1.2 Introducción al balanceo
2.2 Balanceo dinámico . . . . . . .
2.2.1 Balanceo en un plano . .
2.2.2 Balanceo en dos planos .
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3 Adquisición de datos
3.1 Procesamiento digital de señales . . . . . . .
3.2 Transformada Discreta de Fourier . . . . . .
3.3 Aliasing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Supresión del aliasing . . . . . . . . .
3.4 Descripción de entradas y salidas de la FFT
3.5 Leakage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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vii
4 Aplicaciones y ensayos de balanceo
4.1 Primer balanceo en un plano . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Descripción física del sistema . . . . . . . . . . .
4.1.2 Arreglo para la adquisición de datos . . . . . . . .
4.1.3 Caracterización del sistema . . . . . . . . . . . .
4.1.4 Detección de picaduras mediante análisis espectral
4.1.5 Balanceo en un plano . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Balanceo en dos planos de una amoladora . . . . . . . .
4.2.1 Descripción física del sistema . . . . . . . . . . .
4.2.2 Mediciones y resultados . . . . . . . . . . . . . .
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5 Diseño del dispositivo de balanceo en dos planos
5.1 Diseño mecánico del dispositivo de balanceo . . .
5.1.1 Diseño conceptual . . . . . . . . . . . . . .
5.1.2 Diseño del sistema de suspensión . . . . .
5.2 Esquema de adquisición de datos . . . . . . . . .
5.2.1 Descripción del arreglo . . . . . . . . . . .
5.2.2 Circuito de filtrado . . . . . . . . . . . . .
5.2.3 Programa de adquisición de datos . . . . .
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6 Caracterización del dispositivo de balanceo
6.1 Primer montaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Segundo montaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.1 Ensayo de impacto para determinar la frecuencia de resonancia
6.2.2 Configuraciones para caracterizar la respuesta en amplitud .
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52
7 Análisis económico del proyecto de desarrollo
7.1 Cronograma de tareas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Análisis de costos de desarrollo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3 Evaluación de costos a valor presente . . . . . . . . . . . . . . . . .
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63
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66
8 Conclusiones
67
A Programa de adquisición de datos
A.1 Descripción del programa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.1.1 Medición de frecuencia y adquisición de las señales de vibración
A.1.2 Cálculo de amplitud y fase para cada componente en frecuencia
A.1.3 Presentación de los datos en pantalla en tiempo real . . . . .
A.1.4 Cálculo de la masa de corrección . . . . . . . . . . . . . . .
A.2 Diagrama de flujo del programa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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72
Bibliografía
77
viii
Lista de figuras
2.1
2.2
2.3
2.4
Sistema de coordenadas cilíndricas para la definición de desbalance
6
Fuerza centrípeta sobre partícula describiendo una trayectoria circular 7
Esquema de un rotor con desbalance en un plano . . . . . . . . . . 9
Ejemplos de desbalance estático y de cupla . . . . . . . . . . . . . . 12
(a) Desbalance estático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
(b) Desbalance de cupla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
Discretización de una señal analógica . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo de aliasing en el dominio temporal . . . . . . . . . .
Frecuencia detectada en función de la frecuencia de muestreo
Función de transferencia de un filtro pasa-bajos ideal . . . .
Esquema del algoritmo de transformada rápida de Fourier .
Ilustración del efecto de leakage . . . . . . . . . . . . . . . .
(a) Número entero de períodos . . . . . . . . . . . . . . .
(b) Número no entero de períodos . . . . . . . . . . . . . .
Onda senoidal modulada por 4 ventanas diferentes . . . . . .
(a) Ventana rectangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(b) Ventana triangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(c) Ventana Hanning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(d) Ventana Hamming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
4.10
4.11
Dispositivo preliminar de balanceo en un plano . . . . . . . . . . . .
Circuito electrónico de acondicionamiento y amplificación . . . . . .
Circuito electrónico de sincronismo . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Medición de vibración en función de la frecuencia de giro . . . . . .
Esquema a escala del rodamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Desbalance en función del número de iteraciones de balanceo . . . .
Amoladora empleada para practicar balanceo en dos planos . . . . .
Amoladora adaptada para ensayo de balanceo en dos planos . . . .
Amplitud y fase de vibración para la primera iteración de balanceo
Desbalance para la segunda iteración de balanceo . . . . . . . . . .
Amplitud de vibración para cada iteración de balanceo . . . . . . .
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35
5.1
Piezas principales del dispositivo de balanceo . . . . . . . . . . . . . 38
(a) Base elástica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.7
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(b) Soporte superior . . . . . . . . . . . . . . . . .
(c) Soporte para rodamientos inferiores . . . . . . .
(d) Soporte para rodamiento superior . . . . . . . .
5.2 Zonas de concentración de tensiones . . . . . . . . . .
5.3 Cálculo de la frecuencia de resonancia del dispositivo
5.4 Cálculo de resistencia al pandeo del dispositivo . . . .
5.5 Diseño final ensamblado del dispositivo de balanceo .
5.6 Arreglo de adquisición y procesamiento de datos . . .
5.7 Circiuto de filtrado y acondicionamiento de señal . .
5.8 Función de transferencia del filtro electrónico . . . . .
(a) Representación lineal . . . . . . . . . . . . . . .
(b) Representación logarítmica . . . . . . . . . . . .
5.9 Pestaña de señales del programa de adquisición . . .
5.10 Pestaña de medición del programa de adquisición . .
5.11 Ventana de configuración del programa de adquisición
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6.16
6.17
Primer montaje del dispositivo de balanceo . . . . . . . . . . . . .
Disposición final del dispositivo de balanceo . . . . . . . . . . . .
Medición de la frecuencia de resonancia del dispositivo . . . . . .
Configuraciones para caracterización del dispositivo de balanceo .
Medición de vibración en función de la velocidad de giro . . . . .
Primera iteración de balanceo en dos planos . . . . . . . . . . . .
Segunda iteración de balanceo en dos planos . . . . . . . . . . . .
Configuración 1: tres iteraciones de balanceo en un plano del disco
Configuración 1: balanceo en un plano del disco 2 . . . . . . . . .
Configuración 1: resultados de balanceo en 1 y 2 planos . . . . . .
(a) Balanceo en dos planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(b) Balanceo en un plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Configuración 2: vibración en función del desbalance . . . . . . .
Configuración 2: resultados del balanceo en dos planos . . . . . .
Configuración 2: mediciones para balanceo en un plano del disco 2
Configuración 2: mediciones para balanceo en un plano del disco 1
Configuración 2: comparación entre resultados de balanceo . . . .
(a) Balanceo en dos planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(b) Balanceo en un plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Configuración 3: vibración en función del desbalance . . . . . . .
Configuración 3: convergencia del balanceo en dos planos . . . . .
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7.1
Diagrama de Gant del proyecto de desarrollo . . . . . . . . . . . . . 64
A.1
A.2
A.3
A.4
Diagrama de flujo del programa de adquisición de datos
Referencias para el diagrama de flujo de la Figura A.1 .
Esquema explicativo del promediado de mediciones . .
Segmentos asincrónicos de la rutina de adquisición . . .
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
6.6
6.7
6.8
6.9
6.10
6.11
6.12
6.13
6.14
6.15
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75
Lista de tablas
1.1
Comparación entre vibraciones por desbalance y desalineación . . .
4
4.1
4.2
Masas de corrección para la primera iteración de balanceo . . . . . 33
Masas de corrección para la segunda iteración de balanceo . . . . . 34
6.1
6.2
6.3
Comparación entre métodos de balanceo para la configuración 1 . . 57
Comparación entre métodos de balanceo para la configuración 2 . . 60
Resultados de balanceo en dos planos para la configuración 3. . . . 61
7.1
7.2
Listado de costos del equipamiento electrónico . . . . . . . . . . . . 65
Flujo de fondos del proyecto de desarrollo . . . . . . . . . . . . . . 65
xi
xii
Capítulo 1
Introducción
En este capítulo se realiza una breve introducción para destacar la importancia
del análisis de vibraciones en las tareas de mantenimiento de maquinaria. A continuación se describen someramente las principales técnicas de análisis y se hace
hincapié en la importancia del balanceo en máquinas de ejes rotantes.
1.1
Análisis de vibraciones en el mantenimiento
predictivo de maquinaria
La predicción de posibles fallas en maquinaria es clave para la operación confiable
y segura de cualquier instalación. Esto es especialmente crítico en vehículos aéreos
como aviones y helicópteros y en plantas de generación eléctrica, ya que cualquier
falla no planeada puede resultar desastrosa. El riesgo para el personal y el tiempo
que una máquina queda fuera de servicio pueden reducirse considerablemente si
los problemas son pronosticados con un grado razonable de certeza. Esto permite
asegurar la continuidad en servicio del dispositivo y planificar las detenciones en
forma conveniente.
Las vibraciones excesivas en una máquina producen consecuencias no deseables.
Pueden causar desgaste, fisuras por fatiga, pérdida de efectividad de sellos, rotura
de aislantes, ruido, etc. Por otro lado, las vibraciones dan la mejor información
sobre la condición mecánica de una maquinaria ya que constituyen un indicador
muy sensible de la evolución de un defecto. Las fallas catastróficas en máquinas
muchas veces son precedidas, a veces con meses de anticipación, por un cambio
en las condiciones de vibración de las mismas. Por lo general, un bajo nivel de
vibraciones en una máquina es una indicación de que ésta funcionará correctamente
durante un largo período de tiempo, mientras que un aumento en el nivel de
vibraciones indica la proximidad de algún tipo de falla.
El análisis de vibraciones es utilizado en muchas industrias como técnica de
diagnóstico de fallas y evaluación de la integridad de máquinas y estructuras. Su
utilidad radica en el hecho de que en muchos casos las frecuencias espurias de
1
Capítulo 1. Introducción
vibración señalan el problema específico, mientras que la amplitud de las mismas
da una buena indicación de la severidad del problema. La ventaja que presenta
esta técnica con respecto a otras es que la evaluación puede realizarse durante
la operación de la máquina. Esto minimiza las detenciones, que muchas veces
tienen costos inadmisibles y pueden producir daños a la cadena de producción (ej.
industria siderúrgica).
Las mediciones de vibración responden por lo general a dos tipos de necesidades
particulares. La primera de ellas es una revisión rutinaria para comprobar el buen
funcionamiento del equipo. Ésta es una tarea habitual para los programas de
mantenimiento predictivo, ya que casi el 90% del total de las fallas en maquinaria
es precedido por un cambio en las vibraciones detectadas. La segunda se presenta
durante el proceso de análisis de un problema particular, en el cual el objetivo
final es determinar su causa para adoptar la solución más adecuada.
Los sensores más utilizados en la actualidad para la medición de vibraciones
en el exterior de máquinas y estructuras son los acelerómetros. Su popularidad se
debe a su tamaño y peso reducidos, su amplio rango de frecuencias y su capacidad
de integrar la señal para obtener velocidad o desplazamiento vibratorio.
Las técnicas más empleadas para el análisis de vibraciones son:
• Análisis de amplitud espectral
• Análisis de forma de onda en el dominio temporal
• Análisis de fase de vibraciones
1.1.1
Análisis de amplitud espectral
La esencia de este análisis es descomponer la señal de vibración en sus componentes
espectrales en frecuencia. Esto permite correlacionar las vibraciones medidas con
las fuerzas que actúan dentro del dispositivo, asociando la causa del problema con
la frecuencia y su severidad con la amplitud.
1.1.2
Análisis de forma de onda en el dominio temporal
El análisis de la forma de la vibración en el dominio temporal provee información
complementaria al análisis espectral. En general permite identificar los problemas
de
• Impactos
• Modulaciones en amplitud y frecuencias
• Truncaciones por saturación de la capacidad del transductor
2
1.2. Importancia del balanceo para máquinas de ejes rotantes
1.1.3
Análisis de fase de vibraciones
El análisis de diferencias de fase entre las vibraciones horizontales, verticales y
axiales medidas en diferentes puntos permite determinar los movimientos relativos
entre los distintos componentes de un sistema. De esta forma pueden diferenciarse
diversos problemas que generan vibraciones a una misma frecuencia.
A modo de ejemplo: sea una máquina rotante en la cual el eje es soportado por
dos cojinetes. Los problemas de desbalance y desalineación en un acople con otra
máquina generan (cada uno por separado) vibraciones a la frecuencia de rotación
(denominada frecuencia 1X). Complementando adecuadamente diferentes técnicas
de análisis puede distinguirse entre ellos y establecer de forma certera la causa de
la vibración, como se muestra en la Tabla 1.1 [Wowk, 1995].
En menor medida, también se emplean en forma complementaria técnicas de
análisis de órbitas, análisis de vibraciones en transitorios de arranque y análisis de
modulaciones en el dominio temporal.
1.2
Importancia del balanceo para máquinas de
ejes rotantes
Un análisis estadístico de las ocurrencias de los distintos problemas asociados a
máquinas rotantes indica que el 90% de los problemas de vibraciones son originados
por desbalance, desalineación y resonancias. El porcentaje aproximado para cada
ítem es:
• 40% debido a desbalance,
• 30% debido a desalineación (en máquinas acopladas),
• 20% debido a resonancias,
• 10% debido a otras causas.
Por lo tanto, un análisis metódico de vibraciones debería comenzar analizando
los problemas de mayor ocurrencia estadística y, luego de descartarlos, seguir con
los menos probables.
El balanceo de rotores es imprescindible para mantener la vibración de una
máquina dentro de los niveles aceptables, lo que resulta esencial para minimizar
las tensiones mecánicas y maximizar la confiabilidad a largo plazo. Las variaciones
geométricas de una pieza rotante debido a las tolerancias de producción generan
pequeños desequilibrios en cada una. Para corregir estos desequilibrios, en cada
rotor debe aplicarse algún procedimiento de balanceo. Esto significa determinar
con la mayor exactitud posible la magnitud y localización de cualquier desequilibrio
y compensarlo agregando o quitando material en las ubicaciones correctas.
3
Capítulo 1. Introducción
Desalineación
Frecuencia 1X predominante
Desbalance
Frecuencia 1X con importante
amplitud de armónicos
Baja amplitud de vibración axi- Alta amplitud de vibración axial
ales
Vibración en fase en ambas Vibración desfasada casi 180◦ enmáquinas
tre máquinas
Independiente de la temperatura Dependiente de la temperatura
Amplitud
proporcional
al Amplitud relativamente indecuadrado de la velocidad de pendiente de la velocidad de
rotación
rotación
Tabla 1.1: Comparación entre vibraciones por desbalance y desalineación
El balanceo es actualmente preciso, rápido y fácil para el usuario y las ventajas
de realizarlo superan ampliamente el esfuerzo y tiempo necesarios para reparar un
rotor. Las turbinas son balanceadas durante su proceso de manufactura y deben
ser rebalanceadas después de cualquier montaje o desmontaje de partes rotantes,
ya sea por causas de mantenimiento de rutina o por daños. Lograr un balanceo
completo requiere restablecer el equilibrio dinámico de una pieza, para lo cual es
necesario contar con una máquina con capacidad de balancear en dos planos.
Los resultados del balanceo deben ser comparables, sin importar dónde se balancee un módulo ni quién realice la operación. La calidad del balanceo depende de
tres factores: la capacidad de la máquina balanceadora, la configuración del rotor
y el diseño de las herramientas.
En el presente trabajo se presenta un estudio sistemático del fenómeno de
desbalance y el diseño y la puesta en marcha de un dispositivo diseñado para
realizar balanceo de rotores en uno y dos planos. Como parte de la caracterización
del dispositivo, se estudia la respuesta de distintos tipos de rotores al procedimiento
de balanceo.
4
Capítulo 2
Conceptos teóricos de balanceo
En este capítulo se enuncian los conceptos teóricos de balanceo a abordar a lo
largo del trabajo. Se comienza con una definición formal de desbalance y un
repaso del concepto de fuerza centrífuga. Se mencionan los beneficios de balanceo
y se concluye con una explicación detallada de los métodos de balanceo con masa
de prueba en uno y dos planos.
2.1
Definición de desbalance
Para explicar qué es el balanceo, es necesario introducir antes el concepto de desbalance. Para ello se comenzará enunciando una breve definición, razonablemente
rigurosa para los conceptos que se desarrollarán en este trabajo, y luego se discutirán sus implicancias.
Definición: Se denomina desbalance a una inhomogeneidad en la distribución
del producto masa por radio alrededor del eje de rotación de un rotor.
→
→
Escrito como ecuación para un sistema de coordenadas cilíndricas (−
r , θ, −
z)
como el de la Figura 2.1, resulta:
ZZ
→
desbalance =
(−
r δ)dzi para algún plano zi
(2.1)
zi
→
donde −
r es el vector posición cuyo origen se encuentra en el eje de rotación del
rotor, δ es la masa por unidad de volumen y el recinto de integración zi es cualquier
plano del rotor perpendicular al eje de rotación.
La definición anterior da lugar a tres observaciones significativas. La primera
de ellas es que la unidad de la magnitud desbalance es el producto de una unidad de
masa por otra de longitud. La segunda es que el desbalance es una magnitud vectorial asociada a una dirección específica. Estos dos hechos implican que no resulta
suficiente especificar una masa para determinar completamente el desbalance de
una pieza. Es decir, para que la descripción sea unívoca deben especificarse además
una distancia al eje de rotación y un ángulo respecto de una referencia dada. La
5
Capítulo 2. Conceptos teóricos de balanceo
Figura 2.1: Sistema de coordenadas cilíndricas para la definición de desbalance
tercera consideración a mencionar es que el desbalance en cualquier plano paralelo
a zi es independiente del desbalance del resto de los planos con esta orientación.
Esta última será muy importante más adelante.
Para simplificar la matemática empleada en la descripción y eliminar la necesidad del cálculo integral, suele representarse un rotor desbalanceado como la superposición de dos elementos más simples. Por un lado un rotor perfectamente
balanceado y por otro una partícula o ”heavy spot” (HS) de masa m fija al rotor en
→
una posición −
r . La condición necesaria para que se cumpla la equivalencia entre
el desbalance y su representación simplificada es:
−
m→
r =
ZZ
→
(−
r δ)dzi = desbalance.
(2.2)
zi
2.1.1
Fuerza centrífuga
Para comprender la importancia de los efectos del desbalance es útil recordar
brevemente el concepto de fuerza centrífuga. Para que una partícula diferencial
de masa dm describa una trayectoria circular alrededor de un eje (Figura 2.2), es
−
→
necesario aplicarle un diferencial de fuerza centrípeta dFr . La dirección de esta
fuerza es radial y su magnitud está dada por:
−
→
→
r,
dFr = −dmω 2 −
6
(2.3)
2.1. Definición de desbalance
→
donde ω es la velocidad angular de la partícula y −
r es el vector con origen en el
eje de rotación y fin en la posición de la partícula.
Figura 2.2: Fuerza centrípeta sobre partícula describiendo una trayectoria circular
Considérese un sistema de referencia fijo al centro de la trayectoria y que gira
con velocidad angular ω de modo que la partícula permanece fija. En este sistema
→
−
aparece sobre la partícula un diferencial de fuerza centrífuga dFc , de magnitud
igual y sentido opuesto a la fuerza centrípeta.
Durante la rotación de un rotor, sobre cada lámina zi de espesor diferencial ∆b
−
→
actúa una fuerza centrífuga resultante ∆FC como resultado de la superposición de
los diferenciales de fuerza generados por cada fracción del plano. La magnitud de
esta fuerza está dada por
ZZ
−
→
→
2
(−
r δ)dzi = ∆bω 2 desbalance.
(2.4)
∆FC = ∆bω
zi
Como se ve en la Ecuacion (2.4), la fuerza centrífuga resultante es netamente
radial, sin ninguna componente angular. Otra observación clave es que dicha fuerza
es directamente proporcional al desbalance y al cuadrado de la velocidad angular
ω.
2.1.2
Introducción al balanceo
Habiendo explicado el concepto de desbalance, resulta inmediata la comprensión
del significado del balanceo en el contexto de la ingeniería mecánica:
Definición: Se denomina balanceo al procedimiento realizado sobre una pieza
rotante para reducir su desbalance hasta un valor aceptable dadas sus condiciones
de operación.
Al leer la definición anterior puede inferirse que existe un desbalance máximo
admisible para cada componente rotante. Este máximo es diferente para cada
7
Capítulo 2. Conceptos teóricos de balanceo
pieza, incluso puede variar para distintas condiciones de operación de un mecanismo dado. Esto se comprenderá al explicar los problemas que trae aparejados un
desbalance excesivo.
Para impedir que un rotor desbalanceado se desplace de su eje de rotación, es
necesario aplicar sobre el mismo una distribución de fuerzas tal que contrarreste
la suma de las fuerzas centrífugas resultantes de cada plano. En el caso de un
eje rotante, estas fuerzas son aplicadas por los cojinetes (en general dos) que lo
sostienen en su posición.
La frecuencia f de las tensiones cíclicas originadas por el desbalance sobre los
cojinetes es igual a la frecuencia de giro del rotor, es decir
f=
ω
.
2π
(2.5)
Estas tensiones son muy pequeñas comparadas con las tensiones de fluencia de
los cojinetes. Sin embargo, la maquinaria sometida a vibraciones excesivas suele
ocasionar diversas complicaciones. Estos problemas en general aparecen asociados
con ruido indeseable y reducción de los niveles de eficiencia de las turbomáquinas.
En algunas oportunidades puede llegar a ocurrir falla por fatiga.
Resumiendo lo anterior, algunas ventajas de un eje balanceado y consecuentemente una baja amplitud de vibración son:
• Reducción de ruido
• Incremento marcado de la vida útil de los cojinetes
• Menores tensiones de funcionamiento
• Descenso del consumo de energía (típicamente entre un 3 y 5%)
• Ahorro en gastos de mantenimiento
• Reducción de la tasa de falla por fatiga
2.2
Balanceo dinámico
Definición: Se denomina balanceo dinámico (por oposición al balanceo estático)
al método que consiste en hacer girar a un eje para estimar su desbalance registrando las vibraciones producidas por las fuerzas centrífugas generadas.
Los métodos de balanceo dinámico más ampliamente utilizados son en uno o
dos planos.
8
2.2. Balanceo dinámico
2.2.1
Balanceo en un plano
El balanceo en un plano consiste en registrar las vibraciones producidas por el
rotor en un solo plano perpendicular al eje de rotación. Es efectivo en situaciones
en las que la mayor parte del desbalance se encuentra comprendido cerca de un
plano (por ejemplo, el disco delgado mostrado en la Figura 2.3).
Figura 2.3: Esquema de un rotor con desbalance en un plano
Hipótesis simplificativas para el balanceo en un plano
El balanceo en un plano es factible si se cumplen las siguientes hipótesis:
1. El rotor es rígido (es decir, la flexión no es significativa),
2. Las amplitudes de vibración en cada cojinete son similares, y
3. Los ángulos de fase en cada cojinete son similares (no hay desbalance de
cupla).
Las suposiciones simplificativas que se postulan para balancear en un plano
empleando el método estándar de masa de prueba son las siguientes:
• La amplitud de vibración en el cojinete es proporcional a la masa del desbalance (se asume linealidad).
• El corrimiento de fase entre el desbalance y la vibración en los soportes es
constante e independiente de la amplitud de la vibración.
• La vibración detectada a la frecuencia de rotación es únicamente (o al menos
en su mayor parte) una onda senoidal producto únicamente del desbalance
y no es influenciada por otras perturbaciones.
9
Capítulo 2. Conceptos teóricos de balanceo
Si alguna de estas hipótesis no se cumple, no es rigurosamente válido balancear
en un plano y el procedimiento no asegura una mejora en el balanceo del rotor.
Método de balanceo en un plano con masa de prueba
El procedimiento general para balanceo en un plano con masa de prueba es el
siguiente:
a) Ajustar todas las piezas de la máquina y eliminar el juego entre las partes
mecánicas (esto elimina fuentes de vibración ajenas al desbalance).
b) Medir amplitud y fase de la vibración.
c) Detener el rotor y agregar una masa de prueba.
d) Medir amplitud y fase de la vibración con la masa de prueba, a la misma
velocidad.
e) Detener el rotor, retirar la masa de prueba y añadir la masa de corrección.
f) Medir amplitud y fase nuevamente para verificar la mejora en el balanceo.
El cálculo de la masa de corrección se simplifica considerablemente con las
suposiciones mencionadas anteriormente de linealidad e independencia del corrimiento de fase entre la vibración y la salida del transductor. De este modo, la
relación entre la vibración y la salida del transductor puede escribirse como
−
→
−
→
Si = C X i ,
(2.6)
→
−
−
→
donde Si es el vector correspondiente a la señal medida de desbalance, Xi el
vector de desbalance y C el coeficiente de transferencia del sistema de sensado.
→
−
−
→
Nótese que Si , C y Xi son magnitudes complejas y que C es una constante que
solo depende del dispositivo de sensado. El significado físico de la constante C
corresponde a la atenuación y el retardo entre vibración del rotor y la captura de
→
−
−
→
la señal por el acelerómetro. Las unidades de Si , C y Xi son [V ], [V /g · mm] y
[g · mm] respectivamente.
−
→
Midiendo el desbalance original se obtiene la señal SO . Agregando una masa
−−−→
de prueba se mide la señal SO+P asociada al desbalance generado por la masa de
prueba sumado al original.
Utilizando la Ecuacion (2.6) para cada una de las dos mediciones y teniendo
en cuenta la linealidad del sistema se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:
−
→
−→

= C XO
 SO
−−−→
−−−→
(2.7)
SO+P
= C XO+P ,

−−−→
−→ −→
XO + XP = XO+P
10
2.2. Balanceo dinámico
de donde puede despejarse el valor de la constante C como
−−−→ −
→
SO+P − SO
,
C=
−→
XP
(2.8)
y la expresión del vector de desbalance en función de las mediciones resulta
−
→−→
−
→
−
→−→
−→ SO
SO X P
SO X P
XO =
= −
→ = −−−→ −
→.
C
SP
SO+P − SO
(2.9)
Para corregir el desbalance medido, hay que eliminar la masa calculada, a la
distancia correspondiente, en el ángulo adecuado respecto de la referencia. También es una alternativa válida agregar una masa de corrección que produzca un
desbalance opuesto que cancele al existente.
2.2.2
Balanceo en dos planos
Para realizar un balanceo en un plano, es necesario que las características de la
pieza a balancear lleven a que la mayor parte del desbalance se encuentre sobre
dicho plano. Cuando esto no ocurre, es necesario realizar un balanceo aplicando
correcciones en dos o más planos para poder reducir la amplitud de vibración y
llevar al rotor a una condición de operación suave. Para introducir el balanceo en
dos planos, es necesario presentar antes los conceptos de efecto cruzado y rotor
rígido.
Definición: Se define al efecto cruzado entre los planos z1 y z2 como el
cociente entre la amplitud de la vibración producida en el plano z2 por un desbalance
en el plano z1 y la amplitud de vibración producida en el plano z1 por un desbalance
en el plano z2 .
Es decir, el cálculo del valor de efecto cruzado es una forma de cuantificar el
efecto del desbalance de un plano dado sobre otros planos.
Se denomina rotor rígido a aquel en el cual la flexión producida durante la
rotación no afecta apreciablemente al balanceo. Es decir, la excentricidad producida por la flexión del eje no ocasiona un desbalance significativo. La condición
de rigidez depende, por lo tanto, de la velocidad de rotación. Para bajas velocidades la magnitud de la fuerza centrífuga resultante disminuye y el rotor tiende a
comportarse como rígido. Para altas velocidades, en cambio, el rotor puede llegar a
sufrir deflexiones significativas y debe ser considerado como flexible en su análisis.
En el caso ideal de un rotor perfectamente rígido (suposición razonable para la
mayor parte de los casos), cualquier estado de desbalance puede escribirse como
una combinación lineal de dos estados elementales: desbalance estático y desbalance de cupla. El desbalance estático (Figura 2.4(a)) corresponde a dos planos con
igual desbalance, mientras que el desbalance de cupla (Figura 2.4(a)) corresponde
a dos planos con desbalance opuesto. El balanceo en un plano no puede anular
la componente de desbalance de cupla, por lo que se recurre al balanceo en dos
11
Capítulo 2. Conceptos teóricos de balanceo
planos. Idealmente es suficiente aplicar dos correcciones en planos diferentes para
eliminar completamente el desbalance.
(a) Desbalance estático
(b) Desbalance de cupla
Figura 2.4: Ejemplos de desbalance estático y de cupla
Hipótesis simplificativas para el balanceo en dos planos
Las hipótesis necesarias para el método de los coeficientes de influencia son las
siguientes:
• El rotor es rígido.
• La elasticidad de los soportes es suficiente para obtener una medición clara
de desbalance.
• Las fuerzas radiales ejercidas por el rotor son soportadas exclusivamente por
dos cojinetes.
• La amplitud de vibración en cada plano es proporcional al desbalance.
Además de esto, debe tenerse en cuenta que sólo tiene sentido llevar a la práctica
el método de balanceo en dos planos cuando se tiene un efecto cruzado moderado.
Esta afirmación se entiende mediante el siguiente razonamiento práctico: si el
efecto cruzado es muy pequeño, lo más práctico es balancear por separado cada
uno de los planos ya que son relativamente independientes; si en cambio el efecto
cruzado es muy grande, se balancea el primer plano ubicando masas de prueba y
de corrección sobre el segundo y viceversa.
Para cuantificar el efecto cruzado, se definen los coeficientes adimensionales α
y β como
a12
a21
; β=
,
(2.10)
α=
a11
a22
donde los coeficientes de influencia aij son los definidos en la Ecuacion (2.11).
Se considera que existe un efecto cruzado ”moderado” cuando ambos coeficientes α y β están comprendidos entre 0,5 y 1,5.
12
2.2. Balanceo dinámico
Método de los coeficientes de influencia para balanceo en dos planos
El procedimiento presentado a continuación es la extensión a dos planos del método
presentado en la sección anterior. Puede extenderse fácilmente a más planos, pero
no es de importancia práctica para este trabajo. El método generalizado de los
coeficientes de influencia para dos planos [Wowk, 1995] es el siguiente:
a) Ajustar todas las piezas de la máquina y eliminar el juego entre las partes
mecánicas, igual que para el balanceo en un plano.
b) Con el rotor girando, medir amplitud y fase de la vibración en los planos de
→
−
→
−
los sensores S1 (medición A) y S2 (medición B).
c) Detener el rotor y colocar una masa de prueba m1 en el plano z1 .
d) Medir nuevamente amplitud y fase de la vibración, a la misma velocidad
(mediciones A1 y B1 ).
e) Detener el rotor, retirar la masa m1 y colocar una masa de prueba m2 en el
plano z2 .
f) Medir por tercera vez amplitud y fase a la misma velocidad de giro (mediciones A2 y B2 ).
g) Detener el rotor y colocar las masas de corrección c1 y c2 en los planos z1 y
z2 respectivamente.
h) Medir nuevamente amplitud y fase en ambos planos para verificar la mejora
en el balanceo.
Con los datos de las mediciones realizadas, se calculan los coeficientes de influencia del sistema como:
(
1 −A
2 −A
a11 = Am
a12 = Am
1
2
,
(2.11)
B2 −B
1 −B
a21 = Bm
a
=
22
m
1
2
donde los coeficientes aij son la generalización a dos planos del coeficiente C para
el balanceo en un plano. Es decir, a11 y a12 representan los desbalances producidos por las masas m1 y m2 en el plano z1 , mientras que a21 y a22 representan
los desbalances producidos por m1 y m2 en el plano z2 respectivamente. Cabe
recordar que todos los coeficientes de la Ecuacion (2.11) son complejos (a cada
uno está asociado un módulo y un ángulo de fase), por lo que en el caso de realizar
muchas iteraciones de balanceo es útil contar con una computadora o calculadora
programable para realizar los cálculos.
13
Capítulo 2. Conceptos teóricos de balanceo
Conociendo estos coeficientes, se busca la combinación lineal de masas de corrección c1 y c2 que aplicadas en los planos z2 y z2 produzcan un desbalance igual
y opuesto al original. Esto genera el siguiente sistema lineal de ecuaciones
(
−A = c1 a11 + c2 a12
,
(2.12)
−B = c1 a21 + c2 a22
cuya solución es:
c1 =
Aa21 − Ba11
Ba12 − Aa22
; c2 =
.
a11 a22 − a12 a21
a11 a22 − a12 a21
(2.13)
Las correcciones calculadas de esta forma son las aplicadas en el paso g) del
procedimiento de balanceo en dos planos.
14
Capítulo 3
Adquisición de datos
En este capítulo se introducen los conceptos teóricos de adquisición de datos a
abordar a lo largo del trabajo. Se comparan los algoritmos de transformada discreta de Fourier (DFT) y transformada rápida de Fourier (FFT). Se explica el
fenómeno de aliasing, propio de la frecuencia de adquisición finita de los conversores analógico-digitales. Se concluye con una descripción del algoritmo FFT y el
fenómeno de leakage asociado al mismo.
3.1
Procesamiento digital de señales
El procesamiento digital de señales (DSP) se utiliza actualmente en muchas áreas
en las que solían usarse métodos analógicos. Esto ofrece muchas nuevas posibilidades que no resultaban factibles con el procesamiento analógico. Algunas ventajas
claves del DSP son:
• No se produce degradación de la señal al copiar y transmitir datos.
• Modificar el tratamiento de datos no requiere reemplazar el hardware.
• Pueden implementarse más funciones que con el procesamiento analógico.
3.2
Transformada Discreta de Fourier (DFT)
El procesamiento digital de una señal permite, a diferencia del analógico, implementar algoritmos de Transformada Discreta de Fourier (DFT), que aportan datos
muy significativos en el campo de análisis de vibraciones.
En 1965, Cooley y Turkey presentaron una publicación describiendo un algoritmo muy eficiente para implementar la DFT, llamado radix-2 [Ifeachor and
Jervis, 1993]. Dicho algoritmo se conoce hoy como FFT (Transformada Rápida
de Fourier) y ofrece grandes ventajas computacionales. El requerimiento adicional
que fija el algoritmo es que el número de datos N a transformar sea potencia entera
15
Capítulo 3. Adquisición de datos
de 2. Para evitar confusiones en lo sucesivo, cabe aclarar que la FFT no es una
aproximación a la DFT. La FFT es la propia DFT calculada a partir de un método
que aprovecha redundancias en el cálculo para reducir el número de operaciones
realizadas.
Para un muestreo de N puntos, el algoritmo DFT realiza N 2 multiplicaciones
complejas y N × (N − 1) sumas complejas, mientras que el algoritmo FFT realiza
N
sólo log2 (N) multiplicaciones complejas y N × log2 (N) sumas complejas. Como
2
se observa inmediatamente, el ahorro de operaciones aumenta enormemente con el
valor de N.
Para un valor típico de N = 8192, el algoritmo DFT realiza 67108864 productos complejos y 67100672 sumas complejas, mientras que el algoritmo FFT realiza
53248 productos complejos y 106496 sumas complejas. Esto representa una reducción en un factor 1260.3 de la cantidad de productos complejos y en un factor
630.0 de la cantidad de sumas complejas a realizar.
3.3
Aliasing
Una de las dificultades del procesamiento analógico de señales es la necesidad de
discretizar la adquisición de datos. Es decir, no puede medirse una señal en forma
continua, sino que se registra su valor para instantes equiespaciados temporalmente. Esto es matemáticamente equivalente a realizar el producto entre la señal
a adquirir y la función muestreo que consiste en una serie de pulsos unitarios a la
frecuencia de adquisición (Figura 3.1). A partir de estos valores se reconstruye la
señal mediante interpolación.
Figura 3.1: a) Señal continua X(t), b) Muestreo P (t), c) Señal discreta X ′ (t)
El problema que se presenta inmediatamente debido a la discretización de la
adquisición de datos es el aliasing, descripto a continuación.
Si la componente de frecuencia más alta de una señal es fmax , la frecuencia de
adquisición de datos (o tasa de muestreo) fadq debe ser al menos el doble de dicha
frecuencia para poder reconstruir la señal completamente. Es decir:
fadq ≥ 2fmax .
16
(3.1)
3.3. Aliasing
Si la frecuencia de adquisición fadq es menor que la determinada por el teorema
de Nyquist, esto conduce a un plegamiento de frecuencias imagen en la banda de
frecuencia deseada. Entonces, la señal original no puede ser recuperada mediante
una conversión digital-analógica.
Figura 3.2: Ejemplo de aliasing en el dominio temporal
Para ejemplificar puede considerarse un caso en el que se toman muestras de
una señal a intervalos regulares de T segundos, es decir, fadq = 1/T . Como se ve
en la Figura 3.2, existe otra componente de frecuencia coincidente con el muestreo
realizado. Como consecuencia de esto, la componente de alta frecuencia es confundida en el muestreo con una componente de baja frecuencia. Este fenómeno es
conocido como ”aliasing”.
Puede demostrarse que para una onda senoidal pura de frecuencia f , dada una
frecuencia de adquisición fadq la frecuencia detectada por la placa fdet es
fdet =


fadq − (f hModifadq )


f hModifadq
si f hDivifadq es impar
,
o
si f hDivifadq es par
(3.2)
donde f hDivifadq y f hModifadq representan la parte entera y el resto del cociente f /fadq respectivamente. Esto se muestra en la Figura 3.3, un gráfico genérico
de la función fdet vs fadq .
3.3.1
Supresión del aliasing
La solución para evitar el problema de aliasing es modificar las condiciones para
que se cumpla la condición especificada en la Ecuacion (3.1). Esto puede lograrse
de dos maneras: la primera es aumentar la frecuencia de adquisición de datos fadq ;
17
Capítulo 3. Adquisición de datos
Figura 3.3: Frecuencia detectada fdet vs frecuencia real f
la segunda es reducir la frecuencia máxima fmax de la señal por medio de filtros
pasa-bajos.
Un filtro pasa-bajos ideal (Figura 3.4) es un dispositivo cuya función de transferencia es unitaria para frecuencias inferiores a la frecuencia de corte fc y nula
para frecuencias superiores.
Figura 3.4: Función de transferencia de un filtro pasa-bajos ideal
A primera vista podría pensarse que la solución ideal es aumentar todo lo posible la frecuencia de adquisición, tendiendo de esta forma a un muestreo continuo
sin perder componentes de frecuencias más altas de la señal. Esto mejoraría en
primera instancia la señal al poder incluir un mayor rango de frecuencias en la representación, pero produce ciertos problemas que surgen del algoritmo FFT. Estos
problemas resultarán obvios luego de una descripción sucinta de este algoritmo.
3.4
Descripción de entradas y salidas de la FFT
El algoritmo FFT recibe como entrada un vector de N componentes, siendo N
una potencia entera de 2. Cada una de las N componentes representa el valor de
la señal para un instante de tiempo. La cantidad Q de períodos abarcados por una
18
3.4. Descripción de entradas y salidas de la FFT
medición para la frecuencia fi puede calcularse como
Q=
Nfi
.
fadq
(3.3)
Figura 3.5: Esquema simplificado de entradas y salidas del algoritmo FFT
La salida del algoritmo FFT (Figura 3.5) también es un vector de N componentes, cada una de las cuales representa la amplitud de señal para una frecuencia
dada. Las componentes se encuentran equiespaciadas en frecuencia, y la frecuencia
máxima es la tasa de muestreo. Como sólo pueden detectarse frecuencias inferiores
a fadq /2, la segunda mitad de la información del espectro es redundante para una
19
Capítulo 3. Adquisición de datos
entrada real. Luego, la resolución en frecuencia R resulta
R=
fadq
.
N
(3.4)
Es decir, como salida de la FFT se obtienen las amplitudes X(Fi ) correspondientes a las frecuencias fi definidas como
fi =
fadq i
,
N
∀i = 0, 1, ...,
N
.
2
(3.5)
A medida que aumenta la cantidad Q de períodos abarcados por una medición disminuye la sensibilidad al ruido electrónico, lo que mejora la exactitud de
la representación en frecuencia. Por otro lado, también es deseable tener una
gran precisión en el dominio frecuencia, ya que esto permite visualizar claramente
los picos. Si la resolución en frecuencia R es insuficiente, los picos comienzan a
aplanarse y no puede apreciarse claramente la amplitud correspondiente a cada
frecuencia.
De las Ecuaciones (3.3) y (3.4) puede verse claramente que tanto la cantidad
Q de periodos como la resolución R son directamente proporcionales al número de
adquisiciones por medición N e inversamente proporcionales a la tasa de muestreo
fadq . Consecuentemente, Q y R mejoran al aumentar el tiempo de medición tm .
Resumiendo lo anterior, existe en la práctica un límite superior para el cociente
N/fadq por encima del cual el valor de tm es excesivo. A su vez, existe un límite
inferior para la tasa de muestreo fadq dado por la frecuencia máxima de la señal
de entrada. Cabe aclarar que también existen límites superiores para la tasa de
muestreo fadq (dados por la capacidad de la placa de adquisición) y para el número
de adquisiciones N (dado por el costo computacional del algoritmo) pero éstos no
fueron factores limitantes en este trabajo.
A los fines de balancear un rotor las frecuencias de interés son la frecuencia de
rotación y un pequeño número de armónicos (típicamente 5 a 10). Por esto resulta
conveniente eliminar todas las componentes de frecuencia superior. Esto se logró
en la práctica mediante el empleo de filtros pasa-bajos previos a la conversión
analógica-digital (A/D).
Siendo la capacidad de medición el factor limitante para el balanceo de un rotor,
se incrementa todo lo posible la sensibilidad de los sensores de adquisición mediante
la utilización de amplificadores. De esta forma se magnifican las componentes de
frecuencia deseadas y se obtiene una mejor apreciación de la información de interés.
En secciones posteriores del trabajo se presentan los conjuntos filtro-amplificador
empleados para el acondicionamiento de señal en las distintas etapas del proyecto.
3.5
Leakage
El efecto de leakage (pérdida) tiene su origen en la necesidad de tomar un número
finito de datos para calcular una FFT (ver Figura 3.5), y se produce cuando se
20
3.5. Leakage
muestrea una cantidad no entera de periodos. Como consecuencia de esto aparece
una discontinuidad entre los valores ubicados en los extremos del intervalo de
muestreo que ocasiona una distorsión en el espectro de la FFT. Para describir en
pocas líneas este efecto numérico puede partirse de un resultado simple.
(a) Número entero de períodos
(b) Número no entero de períodos
Figura 3.6: Efecto de leakage: FFT para dos señales de frecuencia fk
21
Capítulo 3. Adquisición de datos
Sea la función de entrada al algoritmo un coseno real con un exactamente
k ciclos en un período de muestreo de N puntos (es decir, frecuencia fk ). La
respuesta en amplitud X(fi ) para la frecuencia fi en una FFT de N puntos puede
aproximarse como la función sinc [Lyons, 1997]:
N sen [π(fk − fi )] .
X(fi ) ≈ 2
π(fk − fi ) (3.6)
Si se muestrea un número entero de periodos k, la frecuencia de la señal de
entrada coincide con un múltiplo entero de fadq /N. En ese caso no se produce
leakage y la respuesta es como la de la Figura 3.6(a): se observa un pico de
amplitud N/2 y todas las otras frecuencias fi coinciden con nodos de la función
sinc. Si el número de períodos k abarcados por la medición no es entero, disminuye
la amplitud del pico observado ya que el máximo no coincide con ninguna de las
frecuencias del espectro discreto. Además, aparecen amplitudes (ficticias) distintas
de cero en todas las frecuencias (Figura 3.6(b)). Estos picos no son reales, sino
que son producto del efecto numérico de leakage.
(a) Ventana rectangular
(b) Ventana triangular
(c) Ventana Hanning
(d) Ventana Hamming
Figura 3.7: Onda senoidal modulada por 4 ventanas diferentes
22
3.5. Leakage
Una importante técnica empleada para minimizar el leakage consiste en modular la señal a través de ”ventanas”. Esto significa simplemente multiplicar cada
dato si de la señal adquirida por una función ventana w(si ) que tiende a cero en
los extremos del intervalo de muestreo, con el fin de reducir las discontinuidades y
consecuentemente el efecto de leakage. El empleo de ventanas ayuda en ocasiones
a revelar componentes de frecuencia cercanas a un pico importante, que de otra
forma podrían quedar ocultas. Sin embargo, produce una cierta degradación en
la resolución en frecuencia de la FFT, por lo que su uso no siempre resulta conveniente. La decisión del tipo de ventana a utilizar se realiza generalmente en forma
empírica, observando los resultados para cada caso particular. En la Figura 3.7 se
muestran las ventanas de uso más común.
La función de ventana rectangular (Figura 3.7(a)) corresponde a la ausencia
de modulación. Esta ventana maximiza la resolución en frecuencia pero es la
peor de las cuatro en cuanto a la magnitud de las pérdidas. Los resultados de la
modulación a través de las otras ventanas son similares, ya que todas degradan la
resolución en frecuencia en un factor de aproximadamente dos pero sus amplitudes
decaen más rápido al alejarse del pico de frecuencia fk .
23
Capítulo 3. Adquisición de datos
24
Capítulo 4
Aplicaciones y ensayos de balanceo
En este capítulo se exponen los primeros ensayos de balanceo en uno y dos planos.
Se realiza una descripción física de cada sistema, se explica el esquema de adquisición de datos y se presenta un análisis de los resultados obtenidos.
4.1
4.1.1
Primer balanceo en un plano
Descripción física del sistema
Como primera aplicación y ensayo de los métodos de balanceo en un plano se
comenzó experimentando con el dispositivo mostrado en la Figura 4.1. El principal
elemento del montaje es un disco de (160 ± 1)mm de diámetro, (5, 5 ± 0, 1)mm
de espesor y masa (319, 78 ± 0, 01)g montado sobre un eje de (12, 4 ± 0, 1)mm de
diámetro y (152 ± 1)mm de longitud.
Se colocó en el extremo libre del eje un disco auxiliar cuya función fue recibir
el impulso de un motor a través de una correa. El eje fue montado sobre dos
rodamientos de ocho bolillas, cada uno de ellos colocado sobre dos tacos de goma
atornillados a una base semi-rígida. Los tacos de goma, de rigidez mucho menor
que la base semi-rígida, constituyeron una base flexible a los efectos de permitir el
desplazamiento.
El mecanismo de impulsión empleado fue un motor eléctrico Siemens de 0, 37kW
con un variador de frecuencia Siemens para regular la velocidad de giro. El acople
con el eje se realizó a través de una correa de goma (o-ring).
4.1.2
Arreglo para la adquisición de datos
El sensado de vibraciones se realizó midiendo la velocidad relativa entre la base
semi-rígida y el soporte del rodamiento más cercano al disco de balanceo. Para
ello se acopló mecánicamente dicho soporte a un parlante fijo a la base semi-rígida
y se registró a través de un osciloscopio (Agilent DSO3062A) la tensión inducida
sobre el bobinado del parlante.
25
Capítulo 4. Aplicaciones y ensayos de balanceo
Figura 4.1: Dispositivo preliminar de balanceo en un plano
La señal fue amplificada y acondicionada mediante un amplificador operacional
y filtros pasa-bajos RC en cascada. Dicho circuito se muestra en la Figura 4.2.
Figura 4.2: Circuito electrónico de acondicionamiento y amplificación
Se sincronizó el disparo del osciloscopio con la frecuencia de giro del disco para
poder variar la velocidad del motor sin necesidad de estar modificando manualmente la base de tiempo de barrido. La señal de sincronismo se obtuvo por medio
de un opto-acoplador. El circuito (Figura 4.3) se implementó mediante un fotodiodo enfrentado a un fototransistor cuyo lazo óptico era interrumpido por un
obstructor fijo al disco. De esta manera, al interponerse el obstructor en el camino
óptico el fototransistor conmutaba entre los estados de saturación y corte enviando
el pulso de sincronismo.
Para medir la frecuencia de resonancia del sistema, se golpeó suavemente el
26
4.1. Primer balanceo en un plano
Figura 4.3: Circuito electrónico de sincronismo
cojinete de apoyo del eje conectado al parlante y se registró con el osciloscopio el
período de la vibración remanente luego del tercer ciclo. Se registró una frecuencia
de entre 30 y 35Hz. Esta característica se tuvo en cuenta a la hora de balacear, ya
que tanto la señal de desbalance como la fuerza sobre los cojinetes se incrementan
cerca de la frecuencia de resonancia.
4.1.3
Caracterización del sistema
Para corroborar la frecuencia de resonancia medida se graficó la amplitud de vibración en función del cuadrado de la frecuencia de giro. En la Figura 4.4 se
muestra el gráfico obtenido.
En ausencia de frecuencias de resonancia en el rango medido, el comportamiento esperado sería lineal, ya que la amplitud de vibración producida por
el desbalance es proporcional al cuadrado de la frecuencia. El apartamiento de la
linealidad para frecuencias entre 30 y 35Hz corresponde a una resonancia.
La masa de prueba empleada para el balanceo debe ser lo suficientemente
grande como para producir un cambio medible en la amplitud de vibración, pero
no tanto como para causar algún daño al sistema (principalmente a los cojinetes)
por vibración excesiva. La estimación más común a primer orden es seleccionar
una masa de prueba que produzca al rotar con el eje una fuerza centrífuga menor
al 10% del peso del rotor completo [Wowk, 1995]. De esta forma la señal de desbalance resulta apreciable sin que se produzca un daño significativo a los cojinetes.
Expresado en forma de ecuación resulta:
mp ≤
0, 1mR G
0, 1 × 0, 320 × 9, 8
= 0, 13g
=
ω 2 rp
(2π × 30)2 × 0, 07
(4.1)
donde mp es la masa de prueba, mr es la masa del rotor, G es la aceleración de
27
Capítulo 4. Aplicaciones y ensayos de balanceo
Figura 4.4: Medición de vibración en función de la frecuencia de giro
la gravedad (con mayúscula para no confundirla con la unidad gramo), ω es la
velocidad angular del eje y rp es la distancia entre la masa de prueba y el eje de
rotación.
En la práctica se emplearon masas de prueba mayores que la calculada, ya que
al operar a bajas velocidades el valor recomendado no alcanzaba para producir
una buena señal a la velocidad angular de trabajo. Para evitar una sobrecarga de
los rodamientos se controló que la amplitud de la señal de desbalance no llegara a
valores excesivos. Esto se llevó a cabo observando la señal en tiempo real sobre la
pantalla del osciloscopio y aumentando la velocidad de rotación del disco en forma
gradual.
4.1.4
Detección de picaduras mediante análisis espectral
Aplicando la transformada rápida de Fourier (FFT) a la señal del osciloscopio, se
observó un pico de amplitud para la señal de frecuencia 1X (es decir, la frecuencia
de giro del rotor) y otra con una frecuencia ligeramente inferior a 2X (dos veces
la frecuencia de giro).
Observando el rodamiento (Figura 4.5) se reparó en que la relación λ de diámetros entre la pista interna (Dint ) y las bolillas (Dbolilla ) era ligeramente menor a 4:
28
4.1. Primer balanceo en un plano
Figura 4.5: Esquema a escala del rodamiento
λ=
Dint Dbolilla 12, 4mm
= 3, 54.
≈
3, 5mm
(4.2)
Por condición de empotramiento, el desplazamiento entre el aro exterior en
contacto con las bolillas y los soportes que lo sostienen es nulo. Aplicando condición
de rodadura sobre todos los elementos del rodamiento, puede escribirse la velocidad
angular de rotación de las bolillas sobre su propio eje Ωbolilla como:
Ωbolilla =
ωDint
λω
=
≈ 1, 77ω.
2Dbolilla
2
(4.3)
donde ω es la velocidad angular del eje.
Se observó que la velocidad de giro de los rodamientos coincidía con el segundo
pico de la FFT, por lo que resultaba razonable suponer la existencia de una picadura en una de las bolillas de alguno de los rodamientos. Para verificar esta
conjetura, se cambiaron ambos rodamientos en forma no simultánea. Al sustituir
el primer rodamiento, el espectro de vibración no sufrió alteraciones. En cambio,
al reemplazar el segundo rodamiento decreció ligeramente el pico correspondiente
a la frecuencia 1X y desapareció completamente el segundo pico del espectro. En
lo sucesivo no se detectó el segundo pico y la señal de vibración observada en el
osciloscopio fue más parecida a una onda senoidal pura.
Este resultado es significativo y demuestra la utilidad del análisis de amplitud
espectral. Gracias a esta técnica pudo identificarse y corregirse el problema que
ocasionaba distorsiones en las mediciones de desbalance. Lo más importante fue
que el diagnóstico pudo efectuarse sin necesidad de detener el funcionamiento del
dispositivo.
29
Capítulo 4. Aplicaciones y ensayos de balanceo
4.1.5
Balanceo en un plano
En la Figura 4.6 se presenta un gráfico del desbalance en función del número de
iteraciones del procedimiento de balanceo. El desbalance fue calculado mediante
la amplitud de la señal de desbalance, cuyo aspecto difería muy poco de una onda
senoidal perfecta.
Figura 4.6: Desbalance en función del número de iteraciones de balanceo
El desbalance original de (124 ± 6)g · mm se redujo hasta (16 ± 6)g · mm (13%
de su valor original) en la primera iteración y hasta un valor final de (10 ±9)g · mm
(8% del valor original) en la segunda.
La incerteza resultó comparable al valor absoluto de la medición después de la
última iteración, por lo que no fue posible intentar una tercera iteración con el procedimiento. La mejora respecto del estado inicial en las condiciones de operación
fue notoria. La reducción medida en la amplitud de vibración pudo percibirse
claramente al tocar el dispositivo. Incluso se apreció un descenso en los niveles de
ruido.
30
4.2. Balanceo en dos planos de una amoladora
4.2
Balanceo en dos planos de una amoladora
4.2.1
Descripción física del sistema
Para poner a punto el método de balanceo en dos planos se realizaron pruebas con
una amoladora Black&Decker modelo BT3600, mostrado en la Figura 4.7.
Figura 4.7: Amoladora empleada para practicar balanceo en dos planos
Se decidió utilizar la amoladora para la puesta a punto del método por las
siguientes razones:
• Se contaba con una base de montaje muy masiva que proveyó una buena
aislación contra las vibraciones del piso, mejorando la claridad de las señales
de desbalance.
• La frecuencia de rotación de 50Hz de la amoladora es típica en motores
eléctricos de un par de polos. Por esto se la elige para el ensayo, ya que es
muy habitual requerir un trabajo de balanceo a esta frecuencia.
• El montaje fue sencillo y económico, pues requirió pocos recursos maquinar
los discos de aluminio (Figura 4.8) y montarlos sobre la amoladora.
• Los soportes del eje permiten un desplazamiento suficiente para obtener una
buena señal de vibración. Esta es una de las hipótesis necesarias para el
método de balanceo en dos planos.
Para adaptar la amoladora se retiraron las piedras abrasivas y se colocaron dos
discos perforados de aluminio en los extremos del eje (se muestra una fotografía en
la Figura 4.8). Para prevenir accidentes por desprendimiento de masas de prueba
o de corrección a altas velocidades de rotación, se colocaron carcasas de protección
sobre los extremos del eje alrededor de los discos de aluminio.
31
Capítulo 4. Aplicaciones y ensayos de balanceo
Figura 4.8: a) Amoladora utilizada para el primer ensayo de balanceo en dos
planos, b) detalle del circuito de sincronismo, c) detalle del acelerómetro
Los transductores de vibración empleados fueron dos acelerómetros (Wilcoxon
784A) montados sobre la carcasa de la amoladora, en la posición mostrada en la
Figura 4.8a. Para la adquisición de las señales se empleó un osciloscopio (Agilent
DSO3062A) de dos canales, a cada uno de los cuales se conectó uno de los acelerómetros. Las masas de prueba empleadas fueron del orden de 1g. Las señales
recogidas con los acelerómetros en la primera prueba fueron muy cercanas a ondas
senoidales puras con frecuencia igual a la de giro. Observando esto, se comenzó
con el procedimiento de balanceo.
4.2.2
Mediciones y resultados
Dado que las señales obtenidas eran claras, simplemente se registró la amplitud de
la onda en [mV ] y la fase en grados [o ] con respecto a una referencia fija arbitraria.
En lo sucesivo para mayor claridad se empleará el color celeste para el plano 1 y
el rojo para el plano 2.
Para el estado inicial del rotor (Figura 4.9a) se registraron señales de 331, 3mV
con un desfase de 43, 2o y de 337, 5mV con un desfase de 205, 2o en los planos 1 y
2 respectivamente.
Colocando una masa de prueba de 2, 25g a un radio de 85mm en el plano 1
(Figura 4.9b), se registraron señales de 231, 3mV con 338, 4o y 312, 5mV a 151, 2o
en los planos 1 y 2 respectivamente.
Ubicando la masa de prueba a un radio de 85mm en el plano 2 (Figura 4.9c),
se registraron señales de 437, 5mV con 21, 6o y 550mV con 262, 8o en los planos 1
32
4.2. Balanceo en dos planos de una amoladora
Figura 4.9: Amplitud y fase de vibración para la primera iteración de balanceo:
a) original, b) masa de prueba en el plano 1, c) masa de prueba en el plano 2,
d) aplicando masas de corrección
y 2 respectivamente.
A través de los cálculos detallados en el Capítulo 2, se obtuvieron los valores y
ubicaciones detallados en la Tabla 4.1 para las masas de corrección a un radio de
85mm. Dado que las masas de corrección fueron pares tornillo-tuerca ajustados a
los agujeros del disco de balanceo, tanto las masas como las posibles ubicaciones
para las mismas se encontraban discretizadas. Por esto no se corrigió exactamente
con los valores calculados sino que se agregó una masa de 2, 25g a 320o de la
ubicación de la masa de prueba en el plano 1 y no se agregó corrección en el plano
2.
Plano
1
2
Masa de corrección [g]
2,2
0,4
Posición angular [o ]
315,5
270
Tabla 4.1: Masas de corrección para la primera iteración de balanceo
Las amplitudes resultantes luego de la primera iteración (Figura 4.9d) fueron
de 23, 8mV a 82, 8o en el plano 1 (7% del valor original) y de 14, 7mV a 32, 4o en
el plano 2 (5% del valor original). Se observó una mejora muy importante en los
niveles de vibración y ruido durante la operación.
Dado que el motor eléctrico de la amoladora no está diseñado para funcionar
durante períodos de tiempo extendidos, durante el balanceo se notó un leve incremento en la temperatura del rotor y la carcasa. Para verificar que la reducción en
los niveles de vibración se debiera al balanceo y no a distorsiones térmicas u otras
causas transitorias, se desconectó la máquina y se repitió el procedimiento bajo
nuevas condiciones iniciales.
Las señales de vibración al comienzo de la segunda iteración de balanceo fueron
de 15, 6mV con 212, 4o en el plano 1 y de 33, 8mV con 122, 4o en el plano 2
33
Capítulo 4. Aplicaciones y ensayos de balanceo
(Figura 4.10a). Las bajas amplitudes verificaron la efectividad de la primera iteración de balanceo. En estas condiciones, las masas de prueba requeridas fueron
menores.
Figura 4.10: Desbalance para la segunda iteración de balanceo: a) Desbalance
inicial, b) masa de prueba en el plano 1, c) masa de prueba en el plano 2,
d) aplicando masas de corrección
Colocando una masa de prueba de 100g a un radio de 85mm del plano 1
(Figura 4.10b), se registraron señales de 48, 4mV con 230, 4o y 60, 6mV a 100, 8o
en los planos 1 y 2 respectivamente.
Ubicando la masa de prueba a un radio de 85mm en el plano 2 (Figura 4.10c),
se registraron señales de 42, 8mV con 108, 0o y 27, 5mV con 122, 4o en los planos
1 y 2 respectivamente.
Los valores y ubicaciones calculados para las correcciones se muestran en la
Tabla 4.2.
Plano
1
2
Masa de corrección [g]
1,19
0,8
Posición angular [o ]
229,6
220,8
Tabla 4.2: Masas de corrección para la segunda iteración de balanceo
Se agregaron correcciones de 1, 20g a 220o en el plano 1 y de 2, 46g a 220o y
1, 66g a 40o en el plano 2.
Luego de agregar las correcciones (Figura 4.10d), se midieron señales de ≈ 5mV
a 90o en el plano 1 y de 28, 2mV a 223, 2o en el plano 2. Se notó una ligera
disminución del ruido durante el funcionamiento de la máquina.
Al disminuir tanto la amplitud de la señal del plano 1, cobró importancia el
ruido electrónico de la señal. Esto introdujo una mayor incerteza en la determinación de amplitud y fase de la misma. Debido a esto y a que ya se había
34
4.2. Balanceo en dos planos de una amoladora
comprobado la efectividad del método de los coeficientes de influencia para dos
planos, se dio por concluido el balanceo de la amoladora. En la Figura 4.11 se
muestra la evolución de la amplitud de vibración en cada plano luego de cada
iteración del procedimiento.
Figura 4.11: Amplitud de vibración en cada plano para cada iteración de balanceo
35
Capítulo 4. Aplicaciones y ensayos de balanceo
36
Capítulo 5
Diseño del dispositivo de balanceo
en dos planos
En este capítulo se presenta el diseño del dispositivo de balanceo construido para
el proyecto integrador. Se detallan el diseño mecánico del sistema de suspensión y
el esquema de adquisición de datos. El capítulo concluye con una descripción del
programa de adquisición de datos elaborado para operar el dispositivo.
5.1
Diseño mecánico del dispositivo de balanceo
Para aplicar los conceptos desarrollados en lo anterior y obedeciendo a una necesidad funcional del grupo de trabajo, se abordó el diseño de un dispositivo de
balanceo en dos planos. Los requerimientos especificados para el dispositivo en
primera aproximación fueron:
• Capacidad para balancear rotores de diversos pesos, longitudes y diámetros.
• Facilidad para montar y desmontar rápidamente rotores a balancear.
• Bajo costo.
• Simplicidad de construcción y facilidad de mantenimiento.
• Buena sensibilidad en la medición del desbalance.
• Menor cantidad posible de piezas móviles.
• Sencillez de operación a través de una interfaz gráfica amigable.
37
Capítulo 5. Diseño del dispositivo de balanceo en dos planos
5.1.1
Diseño conceptual
Se comenzó el proceso de diseño buscando la forma constructiva más simple que
cumpliera con la función de sostener al rotor a balancear. A partir de esta base se
realizó una serie de modificaciones hasta llegar a un compromiso aceptable entre
todos los requerimientos planteados.
Se enfatizó especialmente la necesidad de construir el dispositivo con la menor
cantidad factible de piezas móviles para evitar potenciales solturas mecánicas.
Éstas son indeseables ya que generan vibraciones en la estructura del dispositivo.
Aprovechando la existencia de placas de aleación de aluminio 6061, se diseñó
el dispositivo de forma que todas las piezas pudieran ser maquinadas a partir de
placas de este material de 30mm de espesor.
(a) Base elástica
(b) Soporte superior
(c) Soporte para rodamientos inferiores
(d) Soporte para rodamiento superior
Figura 5.1: Piezas principales del dispositivo de balanceo
Las tres piezas principales sobre las cuales se montan los apoyos de cada plano
del rotor son una base elástica (Figura 5.1a), un soporte superior (Figura 5.1b),
un soporte para los rodamientos inferiores (Figura 5.1c) y un soporte para un
rodamiento superior (Figura 5.1d).
La base elástica posee dos rieles en su parte inferior para poder desplazarse en
sentido axial y así adaptar el dispositivo a rotores de diversas longitudes. Las guías
38
5.1. Diseño mecánico del dispositivo de balanceo
verticales en los laterales permiten ajustar la altura del soporte de rodamientos
inferiores para adaptarlo a distintos diámetros de rotor.
El principio de funcionamiento del dispositivo consiste en registrar la magnitud y la fase de las aceleraciones producidas por el rotor desbalanceado al girar
impulsado por una correa.
La base elástica (Figura 5.1a) tiene una rigidez muy alta en la dirección vertical,
y mucho menor en la dirección horizontal. Por ello, se desprecia el movimiento
vertical originado por el desbalance del rotor y se colocan los acelerómetros en
posición horizontal en el lugar indicado en la figura.
5.1.2
Diseño del sistema de suspensión
Las máquinas balanceadoras se clasifican en dos categorías según el sistema de
suspensión que soporta al eje: balanceadoras de soportes rígidos o de soportes
flexibles. Las primeras operan haciendo girar al rotor a velocidades inferiores a su
frecuencia de resonancia, mientras que las del segundo tipo operan por encima de
su frecuencia natural. Hay diferencias prácticas importantes entre ambos tipos de
balanceadoras.
Las balanceadoras de soportes flexibles, como su nombre lo indica, son mucho
menos rígidas que sus contrapartes de soportes rígidos. Debido a esto permiten
mayor movilidad del eje al girar. Gracias a esto, la mayor parte de los esfuerzos
producidos por el desbalance son absorbidos por la propia inercia del rotor y no
son transmitidos a los soportes. De esta forma, se produce una gran atenuación
sobre la vibración transmitida a su base, minimizando las vibraciones transmitidas
a las estructuras emplazadas en las cercanías. Otra ventaja de esta categoría es
que no requiere una base tan pesada y rígida, lo cual la hace más económica y
transportable.
Las balanceadoras de soportes rígidos tienen la ventaja de requerir una sola
calibración para todo su ciclo de operación. Esto no ocurre con las máquinas de
soportes flexibles, las cuales deben ser calibradas para cada tipo de rotor. Esta
calibración es inevitable, ya que el desplazamiento de los soportes depende fuertemente de la distribución de masa en el rotor.
El diseño del sistema de suspensión es el factor individual de mayor importancia para una máquina balanceadora, pues determina la sensibilidad y linealidad
obtenibles. Para el presente modelo de soportes rígidos, el diseño de los flejes verticales de la base elástica fue crítico ya que, además de determinar la frecuencia
de resonancia del banco de balanceo, son la parte más exigida estructuralmente.
Por esto se realizó sobre esta parte de la estructura un análisis de concentración
de tensiones conjuntamente con una estimación de la frecuencia de resonancia y
un análisis de estabilidad frente al pandeo.
39
Capítulo 5. Diseño del dispositivo de balanceo en dos planos
Análisis de concentración de tensiones
Se utilizó una fórmula estándar [Ashby, 1992] para estimar el factor de concentración de tensiones en la base elástica (Figura 5.1a). El punto más crítico resulta
la esquina interior mostrada en la Figura 5.2a. Para esta geometría, el factor Kc
de concentración de tensiones resulta
1/2
c
Kc = 1 + γ
,
ρ
(5.1)
donde el coeficiente adimensional γ se aproxima a 0,5 para torsión y flexión y a 2
para tracción y compresión, c es el ancho del ligamento remanente y ρ es el radio
de curvatura del concentrador de tensión.
Figura 5.2: Concentración de tensiones: a)sección a analizar, b)detalle de la sección
Las zonas críticas se encontrarían sometidas principalmente a esfuerzos de flexión. Luego, para las dimensiones definidas, el factor estimado de concentración de
tensiones Kc resultó:
5mm
Kc = 1 + 0, 5
4mm
1/2
≈ 1, 8.
(5.2)
Al tratarse de un fleje delgado, fue suficiente emplear un radio de curvatura
de 4mm para reducir la concentración de tensiones en las esquinas a un valor
aceptable.
40
5.1. Diseño mecánico del dispositivo de balanceo
Estimación de la frecuencia de resonancia
La flexibilidad en dirección horizontal del dispositivo se encuentra prácticamente
localizada en los flejes verticales de la base elástica. Es decir, al fijar la parte
inferior de la base y aplicar una fuerza horizontal sobre los rodamientos, más del
99% de la deflexión en esa dirección se produce entre los extremos de los flejes.
Debido a esto, puede estimarse la frecuencia de resonancia del sistema como la de
dos vigas empotradas (Figura 5.3).
Figura 5.3: Cálculo de la frecuencia de resonancia del dispositivo
Para simular la condición de empotramiento en el extremo libre, se agrega un
momento flector proporcional a la carga para que el ángulo de salida sea cero.
La deflexión y el ángulo en el extremo en función de la carga P se calculan
respectivamente como
δP =
P L2
,
3EI
y
ΦPM ax =
P L2
,
2EI
(5.3)
donde P es la fuerza aplicada, L es la longitud de la viga, I es el momento de
inercia de la sección transversal y E es el módulo de Young del material.
La deflexión y el ángulo en el extremo como función del momento flector aplicado M0 resultan:
M0 L
M0 L2
, y ΦM0M ax =
.
2EI
EI
De la condición de ángulo cero en ambos extremos sale:
δM0 =
(5.4)
41
Capítulo 5. Diseño del dispositivo de balanceo en dos planos
ΦM0M ax + ΦPM ax = 0 ⇒ M0 =
−P L
.
2
(5.5)
Luego la deflexión total δT OT AL producida por la superposición de ambos efectos es:
δT OT AL = δP + δM0 =
1 1
−
3 4
P L3
P L3
=
.
EI
12EI
(5.6)
El momento de inercia I del conjunto de las dos vigas se calcula como
2bh3
0, 0285m · (0, 005m)3
I=
=
= 5, 9375 · 10−10 m4 ,
12
6
(5.7)
donde b es la base de la viga y h su altura, indicadas en la Figura 5.3.
Se adoptan para el diseño los valores:
L = 0, 053m
E = 70GP a aleación 6061
(5.8)
La constante elástica Kel1 resulta (para un radio de curvatura nulo)
Kel1 =
P
δT OT AL
=
12EI
= 3, 35 · 106 kg/s2 .
L3
(5.9)
Dado que el empotramiento no es un ensanchamiento abrupto sino que el radio
de curvatura empleado fue de 4mm en ambos empotramientos, la longitud efectiva
de la viga para estimar su rigidez es ligeramente menor. En el peor de los casos,
la longitud efectiva se reduciría 4mm en cada empotramiento, llegando a un valor
de L = 45mm. Para esta longitud, la constante elástica de la viga Kel2 resultaría
Kel2 =
P
δT OT AL
=
12EI
= 4, 80 · 106 kg/s2 .
L3
(5.10)
Con las constantes elásticas Kel1 y Kel2 se obtienen aproximaciones por defecto
y por exceso respectivamente para la frecuencia de resonancia. Luego estimando
la masa m de la parte superior del dispositivo como 3kg (contando el peso del eje
y repartida entre los cuatro flejes) pueden calcularse los límites para la velocidad
angular crítica como
q
Kel1
ωcrit1 =
= 2113rad/s
q m
(5.11)
Kel2
=
2530rad/s,
ωcrit2 =
m
con lo que la frecuencia de resonancia fres esperada para el dispositivo resulta
fres = (370 ± 40)Hz.
42
(5.12)
5.1. Diseño mecánico del dispositivo de balanceo
Verificación de resistencia al pandeo
Para estimar la resistencia de los flejes flexibles al pandeo se utilizó el modelo de
viga mostrado en la Figura 5.4, donde F es la carga axial sobre la viga, q(x) la
carga distribuida por unidad de longitud (nula en este caso), dν la deflexión en un
diferencial de longitud, Mb (x) el momento flector y P (x) el esfuerzo de corte.
Figura 5.4: Resistencia al pandeo: a)sección de interés, b)modelo c)microescala
Las ecuaciones de equilibrio para un elemento de viga (Figura 5.4c) se escriben
como [Crandall and Dahl, 1966]:
(
(P + dP ) − P + q(x)dx = 0
(5.13)
dx
(Mb + dMb ) − Mb + P dx
−
(P
+
dP
)
+
P
dν
=
0.
2
2
Dividiendo por dx y despreciando los infinitésimos de orden superior resulta:
(
dP
+ q(x) = 0
dx
(5.14)
dMb
dν
+
P
+
F
=
0.
dx
dx
Despreciando el efecto de la tensión de corte en la deformación de la viga se
obtiene:
d2 ν
EI 2 = Mb ,
(5.15)
dx
siendo EI el módulo de rigidez a la flexión de la sección.
De las ecuaciones anteriores y agregando la condición de q(x) = 0 se obtiene:
d2
dν
d2 ν
d
F
=0
(5.16)
EI 2 +
dx2
dx
dx
dx
43
Capítulo 5. Diseño del dispositivo de balanceo en dos planos
Para resolver la Ecuacion (5.16) se requieren cuatro condiciones de contorno
(Ecuacion (5.17)). Las dos primeras corresponden al empotramiento de la base,
la tercera y cuarta están dadas por la restricción de ángulo cero y la aplicación de
una fuerza horizontal P en el extremo superior del soporte.


ν(x)|x=0 = 0



 dν(x) |x=0 = 0
dx
(5.17)
dν(x)
|
=
0

x=L
dx



 d EI d2 ν2 + F dν = −P
dx
dx
dx
La solución a este problema resulta
i P L
h x
x
PL
ν(x) =
−1 +
− x , (5.18)
[cosec(α) − cotg(α)]· cos α
sen α
Fα
L
F α
L
donde α se define como
r
F
· L.
(5.19)
EI
Por otro lado, ya se calculó (Ecuacion (5.6)) la deflexión de una viga doblemente empotrada sometida a una carga transversal P . Reemplazando en la Ecuacion (5.18) para el extremo de la viga libre de desplazarse s = L resulta, después
de cancelar algunos términos:
1
1
[1 − cos(α)]2
1
− 2.
= 3 sen(α) −
(5.20)
12
a
sen(α)
α
α=
Resolviendo en forma numérica se halla que el menor valor de α que cumple
con esta igualdad es αcr = 3, 608.
Luego, la carga crítica de pandeo Fcr resulta Fcr ≈ 10000kg. Este valor supera
en tres órdenes de magnitud al valor de carga nominal del dispositivo, por lo que
el diseño no presentará problemas de pandeo.
En la Figura 5.5 se muestra un dibujo del diseño final ensamblado.
Figura 5.5: Dos vistas del diseño final ensamblado del dispositivo de balanceo
44
5.2. Esquema de adquisición de datos
5.2
5.2.1
Esquema de adquisición de datos
Descripción del arreglo
La toma de datos se realizó a través de acelerómetros marca Wilcoxon modelo
784A, conectados a una placa de adquisición Advantech PCI-1710. Entre cada
acelerómetro y la placa de adquisición conectada a la computadora se colocó un
circuito de filtrado diseñado a los efectos de acondicionar la señal. Todas las
conexiones se realizaron con cables blindados coaxiales (BNC) para minimizar la
introducción de perturbaciones externas a la señal a medir. En la Figura 5.6 se
muestra un esquema general del arreglo de adquisición y procesamiento de datos.
Figura 5.6: Esquema general del arreglo de adquisición y procesamiento de datos
5.2.2
Circuito de filtrado
El circuito de filtrado empleado se construyó con tres resistencias, dos capacitores
y un amplificador operacional OP07CP. El mismo consiste en un filtro RC pasa
altos en serie con un filtro activo pasa bajos de ganancia cercana a 30 para las
frecuencias de interés. Se muestra un esquema del circuito en la Figura 5.7.
El filtro pasa altos tiene una frecuencia de corte de aproximadamente 13Hz.
Su única función es bajar a 0V la tensión de referencia de 24V sobre la que se
mide la salida del acelerómetro. Su inclusión en el circuito fue necesaria ya que la
placa de adquisición admite tensiones de entrada en el rango de −10V a 10V .
45
Capítulo 5. Diseño del dispositivo de balanceo en dos planos
Figura 5.7: Esquema del circuito de filtrado empleado para la adquisición de datos
El amplificador con filtro pasa bajos cumple la doble función de amplificar la
señal en el rango de interés y a la vez atenuar las componentes de frecuencias
superiores para evitar los problemas de “aliasing”.
Los valores preliminares de frecuencia de corte inferior f1 , frecuencia de corte
superior f2 y ganancia G se estimaron en primera aproximación según:

1

(780 RPM)
f1 = 2πR3 C1 ≈ 13Hz
(5.21)
f2 = 2πR12 C2 ≈ 460Hz
(27600 RPM)


R2
G ≈ R1 ≈ 31
En la Figura 5.8 se muestra la ganancia del circuito de filtrado en función de
la frecuencia de la señal de entrada entrada. Los valores fueron medidos con un
generador de funciones Agilent modelo 33220A y un osciloscopio Agilent modelo
DSO3202A.
(a) Representación lineal
(b) Representación logarítmica
Figura 5.8: Ganancia en función de la frecuencia de entrada del circuito de filtrado
46
5.2. Esquema de adquisición de datos
5.2.3
Programa de adquisición de datos
Se creó un programa de adquisición de datos en lenguaje C#, empleando el entorno
de programación “Microsoft Visual C# 2005 Express Edition” de distribución gratuita. Motivó a utilizar este lenguaje la existencia de una gran cantidad de librerías
gratuitas de “objetos” estándar, lo que generó un ahorro importante en tiempo de
programación de bajo nivel. Típicamente la diferencia de costo computacional con
un programa realizado en C++ no excede el 10%, valor que no resulta significativo.
El programa es capaz de realizar las siguientes tareas en tiempo real:
1. Medición de frecuencia y adquisición de las señales de vibración.
2. Cálculo de amplitud y fase para cada componente en frecuencia.
3. Presentación de los datos en pantalla empleando gráficos fasoriales.
4. Cálculo de las masas de corrección.
A modo ilustrativo, se muestran a continuación tres capturas de pantalla del
programa durante su ejecución. Un diagrama de flujo y una descripción completa se presentan en el Apéndice A. En la Figura 5.9 se muestra la pestaña de
señales. Ésta exhibe en tiempo real las señales de entrada en su parte superior y
sus respectivas FFT en su parte inferior.
Figura 5.9: Pestaña de señales del programa de adquisición
En la Figura 5.10 se muestra la pestaña de medición. Sobre la izquierda se
presenta un gráfico fasorial de amplitud y fase calculados para la frecuencia de
47
Capítulo 5. Diseño del dispositivo de balanceo en dos planos
giro en tiempo real, y sobre la derecha se registran los datos para la medición
actual.
Figura 5.10: Pestaña de medición del programa de adquisición
En la Figura 5.11 se muestran la pestaña de historial y la ventana de configuración. En la primera se registran todos los datos capturados durante la ejecución
del programa. En la segunda se configuran las opciones de adquisición y acondicionamiento de datos.
Figura 5.11: Pestaña de historial y ventana de configuración del programa
48
Capítulo 6
Caracterización del dispositivo de
balanceo
En este capítulo se reportan las formas de montaje del dispositivo y las mediciones
empleadas para su caracterización. Se presentan resultados para dos montajes
diferentes y tres tipos de rotores. Se contrasta los resultados con los cálculos
realizados en la etapa de diseño.
6.1
Primer montaje
Para caracterizar el dispositivo de balanceo y verificar su efectividad para rotores
con distintas distribuciones de masa, se utilizó un eje genérico de hierro de 10mm
de diámetro y 52cm de longitud (Figura 6.1a). Sobre el eje se colocaron a presión
dos discos de aluminio de 14 cm de diámetro y 10 mm de espesor. Sobre cada
disco se practicaron dos series concéntricas de agujeros cada 20o , desfasadas 10o
entre sí (Figura 6.1b). El primer arreglo empleado para la puesta en marcha del
dispositivo (Figura 6.1c) consistió en montarlo sobre dos perfiles estructurales tipo
C simplemente apoyados, cuya dirección longitudinal coincidiera con la del eje. La
dirección preferencial de los perfiles para ganar rigidez en la dirección radial del
eje habría sido a 90o de la empleada, pero este arreglo no fue posible ya que las
dimensiones del motor con el que se contaba no permitían esta configuración.
Al realizar mediciones con esta configuración se notó que la repetitividad no
era buena. Examinando con atención el dispositivo, se observó que las vibraciones
producidas por la operación del dispositivo producían desplazamientos de la base
que cambiaban constantemente la geometría del sistema. Además, la baja potencia
del motor hacía que su velocidad fuera excesivamente sensible al valor de torque,
lo cual dificultaba mucho mantener una frecuencia de giro constante.
49
Capítulo 6. Caracterización del dispositivo de balanceo
Figura 6.1: a) Eje y b) disco utilizados para el c) primer montaje del dispositivo
6.2
Segundo montaje
Para corregir las variaciones geométricas en el tiempo, se amuraron los perfiles C
al piso del laboratorio. Por otro lado, se consiguió un motor de mayor potencia y
dimensiones más reducidas, de modo que los perfiles C pudieron ser orientados en
la dirección de máxima rigidez.
La transmisión entre el motor y el eje (Figura 6.2a) se realizó a través de una
correa flexible. El motor fue ubicado debajo del dispositivo, de forma que la tensión
resultante transmitida por la correa fuera vertical y no produjera vibraciones en
dirección horizontal que interfirieran con las mediciones de desbalance.
Para asegurar la invariabilidad de la posición axial del eje a lo largo del tiempo,
se colocaron topes (Figura 6.2b) en los extremos del mismo, de forma que restringieran su movimiento en esa coordenada. El arreglo final se muestra en la
Figura 6.2c.
6.2.1
Ensayo de impacto para determinar la frecuencia de
resonancia
Para medir la frecuencia de resonancia del sistema, se lo golpeó en diferentes
ubicaciones a lo largo de los laterales de ambas bases superiores, como se muestra
en la Figura 6.3a y se registró la respuesta de los acelerómetros mediante un
osciloscopio marca Agilent (modelo DSO3062A).
Al golpear el soporte 1, el acelerómetro montado en este soporte registró la
señal de vibración mostrada en la Figura 6.3b. La señal del acelerómetro montado
sobre el soporte 2 fue similar pero con un corrimiento de fase y una reducción de
amplitud por un factor de aproximadamente 10.
50
6.2. Segundo montaje
Figura 6.2: Sensor inductivo (a) y transmisión (b) para la configuración final (c)
Se golpeó los soportes con diferentes objetos para verificar la repetitividad de
las mediciones del acelerómetro. Se utilizaron para esto un martillo de goma,
un martillo de hierro y los nudillos de la mano. Al cambiar el objeto empleado
para producir el golpe en el acelerómetro, la respuesta se mantuvo, observándose
únicamente variaciones en la amplitud global. Las respuestas obtenidas fueron
prácticamente idénticas al golpear el otro soporte.
La señal registrada durante el ensayo de impacto tiene un período de aproximadamente (2, 8 ± 0, 1)ms, lo que corresponde a una frecuencia de resonancia
de fres = (360 ± 10)Hz. Este valor se solapa con la frecuencia de resonancia
fres = (370 ± 40)Hz estimada con los cálculos de la Sección 5.1.2.
Figura 6.3: Ensayo de impacto: a) Zonas de impacto y b) ejemplo de medición
51
Capítulo 6. Caracterización del dispositivo de balanceo
6.2.2
Configuraciones para caracterizar la respuesta en amplitud
Desplazando los discos sobre el eje, se obtuvieron tres configuraciones según la
ubicación relativa entre los discos y los soportes. La configuración 1 (Figura 6.4a)
se generó ubicando los dos discos en voladizo por fuera de los rodamientos. La
configuración 2 (Figura 6.4b) se creó colocando un disco entre los soportes y el otro
en voladizo. La configuración 3 (Figura 6.4c) se formó con ambos discos ubicados
entre los soportes.
Figura 6.4: Configuraciones de la balanceadora: a) conf 1, b) conf 2, c) conf 3
Para todas las mediciones citadas a continuación se tomaron N = 32768 puntos a una tasa de muestreo de fadq = 20080Hz por canal. Se tomó como valor
efectivo el promedio asincrónico de k = 10 mediciones (es decir, se promediaron
las componentes en frecuencia) adquiridas con una ventana rectangular. Todos los
parámetros se ajustaron en forma empírica.
El valor mínimo del cociente N/Fadq fue determinado por la mínima resolución
en frecuencia necesaria para apreciar claramente los picos correspondientes a la
frecuencia de rotación. Se trabajó con ese mínimo, ya que como se mencionó en la
sección C dicho cociente es proporcional al tiempo de muestreo, y se aumentó la
cantidad de puntos N todo lo posible sin llegar a valores significativos de tiempo
de cálculo. La cantidad de mediciones promediadas k fue determinada mediante
un compromiso entre la estabilidad del promedio y el tiempo requerido para la
medición (ambos valores aumentan con k). Se optó por la ventana rectangular de
adquisición debido a que, luego de varias pruebas, demostró ser más favorable a los
fines de balanceo contar con buena resolución en frecuencia que apreciar señales
de frecuencia cercana a la de rotación (ver Capítulo 3).
En lo sucesivo, para facilitar la comprensión del texto, se adoptará el color
celeste para las mediciones correspondientes al canal 1 (acelerómetro ubicado en
el soporte izquierdo en la Figura 6.4) y el rojo para las correspondientes al canal
2 (soporte derecho en la Figura 6.4).
52
6.2. Segundo montaje
Configuración 1
Amplitud en función de la velocidad de giro Para obtener la dependencia entre la amplitud de vibración y la velocidad de giro del rotor, se registraron
las amplitudes para diferentes velocidades de rotación. Los valores obtenidos en la
placa de adquisición fueron multiplicados por la inversa de la función de transferencia del filtro para cada frecuencia, de modo que los gráficos (Figura 6.5) reflejaran
la señal pura de vibración. Los resultados muestran una marcada dependencia
cuadrática entre estas dos variables, lo cual confirma que el desbalance es la causa
predominante de las vibraciones registradas. Puede observarse que la fase permanece prácticamente constante, lo cual permite compatibilizar las mediciones de
vibraciones a diferentes frecuencias.
Figura 6.5: Amplitud y fase de las vibraciones en función de la velocidad de giro:
a) amplitud canal 1, b) amplitud canal 2, c) fase canal 1, d) fase canal 2
Por medio de un ajuste cuadrático para los gráficos de amplitud en función de
la frecuencia (línea gris en Figura 6.5), puede obtenerse la sensibilidad del sistema
a la frecuencia de rotación. Los ajustes para estos gráficos resultan:
(
y1 [mV ] = 10−5 (f − 40)2 + 1600[Hz]
para el canal 1
(6.1)
−6
2
y2 [mV ] = 9 · 10 (f − 33, 3) + 1111[Hz]
para el canal 2
Se observa que la sensibilidad del canal 1 es ligeramente superior. Esto se
explica al ver (Figura 6.6a) que el desbalance en el disco 1 era mayor que el del disco
2 al momento de realizar esta medición y que (como se muestra a continuación) el
efecto cruzado es muy pequeño para esta configuración.
53
Capítulo 6. Caracterización del dispositivo de balanceo
Medición de efecto cruzado y balanceo en dos planos A continuación se
registraron las siguientes mediciones para ensayar la factibilidad del balanceo en
dos planos. Las masas de prueba empleadas fueron de 3, 35g a 170o sobre el disco
1 y de 2, 03g a 20o sobre el disco 2. La velocidad de giro del rotor fue de 40,1Hz.
La elección de las masas de prueba fue empírica, simplemente se iteró hasta
encontrar alguna que produjese buena señal. La elección de la velocidad de giro
para el balanceo fue un compromiso entre la estabilidad de la fase y la integridad
del motor. Para frecuencias de giro menores que 35Hz la fase de la vibración no
era estable, y para frecuencias mayores que 45Hz se observaba un calentamiento
excesivo del motor.
Para ejemplificar los cálculos se presentan los diagramas fasoriales (Figura 6.6)
correspondientes a la primera iteración de balanceo en dos planos. En ellos se
observa la amplitud en Volts del pico de la FFT correspondiente a la frecuencia
de giro y la fase relativa a la señal de disparo correspondiente a dicha frecuencia.
Todos los fasores de la Figura 6.6 se dibujaron en la misma escala, para permitir
una apreciación visual de la reducción de la amplitud de vibración.
Figura 6.6: Diagramas fasoriales para el primer balanceo en dos planos: a) rotor
solo; masa de prueba b) en el disco 1 y c) en el disco 2; d) rotor balanceado
Según estas mediciones, los coeficientes de efecto cruzado para esta configuración resultan α = 0, 06 y β = 0, 23. Ambos coeficientes son demasiado pequeños,
lo que no confirma en primera aproximación la conveniencia del método. Para verificar esto, se aplicaron las masas de corrección calculadas: 1,23g a −50o en el
disco 1 y de 0,66g a −20o en el disco 2. El descenso en la amplitud de vibración
se muestra en la Figura 6.6d.
A continuación, se realizó otra iteración con el método obteniendo los resultados
mostrados en la Figura 6.7.
Las masas de corrección agregadas fueron:
(
0, 44g(×85mm)a − 80o
1, 90g(×85mm)a150o
54
en el plano 1
en el plano 2
6.2. Segundo montaje
Figura 6.7: Diagramas fasoriales para el segundo balanceo en dos planos: a) rotor
solo; masa de prueba b) en el disco 1 y c) en el disco 2; d) rotor balanceado
y el desbalance residual estimado fue de:
(
0, 37g(×85mm)
1, 16g(×85mm)
en el plano 1
en el plano 2
Como se ve, esta segunda iteración casi no produjo reducción en el desbalance,
lo que indica que el balanceo en dos planos no es capaz de mejorar esta condición
en forma sustancial para esta configuración.
Figura 6.8: Configuración 1: tres iteraciones de balanceo en un plano del disco 1
55
Capítulo 6. Caracterización del dispositivo de balanceo
Balanceo en un plano para ambos discos Para comparar ambos métodos,
se volvió al estado inicial y se intentó balancear por separado cada uno de los
planos. En la Figura 6.8 se muestran las mediciones correspondientes al balanceo
en un plano del disco 1. La amplitud de desbalance se redujo consistentemente con
cada aplicación del método. El desbalance residual estimado luego de la tercera
iteración fue de 0,16g.
En la Figura 6.9 se muestran las mediciones correspondientes al balanceo en
un plano del disco 2. Para este disco fue suficiente con una iteración del método
de balanceo en un plano.
Figura 6.9: Configuración 1: balanceo en un plano del disco 2
Comparación entre ambos métodos En la Figura 6.10 se muestra una comparación entre las masas de desbalance para ambos métodos en función del número
de iteración.
(a) Balanceo en dos planos
(b) Balanceo en un plano
Figura 6.10: Resultados de balanceo en uno y dos planos
El balanceo en dos planos mejoró el estado de vibración del plano 1 pero empeoró la amplitud de vibración en el plano 2. El balanceo en un plano, en cambio,
56
6.2. Segundo montaje
redujo considerablemente la amplitud de vibración para esta velocidad de giro.
La Tabla 6.1 muestra una comparación entre ambos métodos y evidencia que el
balanceo en un plano produce mejores resultados.
Plano
1
2
Plano
1
2
Balanceo en un plano - Configuración 1
Amplitud inicial [V] Amplitud final [V] Reducción [%]
0,1553
0,0059
-96%
0,0208
0,0010
-95%
Balanceo en dos planos - Configuración 1
Amplitud inicial [V] Amplitud final [V] Reducción [%]
0,1553
0,0270
-89%
0,0208
0,0055
-68%
Tabla 6.1: Comparación entre métodos de balanceo para la configuración 1
Las magnitudes comparadas para una sola iteración del método son las señales
de los sensores en lugar de las masas residuales. Esta es la mejor forma de realizar
comparaciones cuantitativas, ya que el cálculo de la masa residual se realiza de
forma distinta para los procedimientos de balanceo en uno y dos planos. Una
comparación de masas residuales resultaría menos representativa de las fuerzas
resultantes sobre los cojinetes.
Configuración 2
Amplitud en función de la masa de desbalance Para comprobar la linealidad del dispositivo, se graficó (Figura 6.11) la amplitud de desbalance producida
por diferentes masas de prueba ubicadas en el mismo punto para la misma velocidad de giro. Esta amplitud se calculó como la diferencia vectorial entre la señal con
la masa de prueba colocada y la señal original. Por definición, todos los gráficos
incluyen al origen.
Se observa que el apartamiento de la linealidad es mínimo en todos los casos.
Esto es necesario para verificar la validez de los métodos de balanceo con masa de
prueba (en un plano) y por coeficientes de influencia (en dos planos).
Medición de efecto cruzado y balanceo en dos planos Los coeficientes de
efecto cruzado fueron: α = 0, 06 y β = 1, 01
De los valores de α y β puede interpretarse que el desbalance del disco 1 afecta
solo al plano 1, mientras que el desbalance en el disco 2 afecta casi por igual a los
planos 1 y 2. Este hecho es claramente visible en las pendientes de las rectas de
ajuste de la Figura 6.11 (los coeficientes α y β corresponden a los cocientes entre
las pendientes de las rectas de ajuste, como se explica en el Capítulo 2). Esto se
explica al ver que el disco 2 se encuentra en una posición casi equidistante respecto
57
Capítulo 6. Caracterización del dispositivo de balanceo
Figura 6.11: Amplitud de vibración en función de la masa de desbalance
de los dos planos de medición (Figura 6.4) mientras que el soporte 1 absorbe casi
en su totalidad las vibraciones producidas por el disco 1, quedando aislado del
soporte 2.
Las mediciones para el balanceo en dos planos realizado sobre esta configuración
se muestran en la Figura 6.12.
Figura 6.12: Diagramas fasoriales para el balanceo en dos planos: a) rotor solo;
masa de prueba b) en el disco 1 y c) en el disco 2; d) rotor balanceado
Balanceo en un plano para ambos discos La diferencia en un factor 17
entre los coeficientes α y β de efecto cruzado impone ciertas restricciones al pro58
6.2. Segundo montaje
cedimiento de balanceo. Al realizar el balanceo en un plano de cada disco lo más
conveniente es comenzar por el disco 2 (buscando llevar a cero la amplitud del
sensor 2) y continuar con el disco 1 (buscando llevar la señal del sensor 1 a cero).
La razón para esto es que si se comenzara balanceando cualquier disco con la
señal del plano 1 sería imposible saber qué fracción de la vibración de este plano se
debe al efecto de cada disco. Por otro lado, carece de sentido balancear el disco 1
con la señal del plano 2 ya que el coeficiente de efecto cruzado es pequeño en esta
dirección (α = 0, 06). A continuación se muestran las mediciones para el balanceo
del plano 2 (Figura 6.13) y del plano 1 (Figura 6.14).
Figura 6.13: Configuración 2: mediciones para balanceo en un plano del disco 2
Figura 6.14: Configuración 2: mediciones para balanceo en un plano del disco 1
Comparación entre balanceo en uno y dos planos En la Tabla 6.2 se
compara la reducción de desbalance para cada plano con la primera iteración de
cada uno de los métodos.
Las reducciones de desbalance obtenidas con cada método se aprecian en forma
gráfica en la Figura 6.15.
Configuración 3
Amplitud en función de la masa de desbalance Como comprobación de
la linealidad de la tercera configuración, se graficó (Figura 6.16) la amplitud de
59
Capítulo 6. Caracterización del dispositivo de balanceo
Plano
1
2
Plano
1
2
Balanceo en un plano - Configuración 2
Amplitud inicial [V] Amplitud final [V] Reducción [%]
0,1791
0,0244
-86%
0,0693
0,0176
-74%
Balanceo en dos planos - Configuración 2
Amplitud inicial [V] Amplitud final [V] Reducción [%]
0,1791
0,0190
-89%
0,0698
0,0246
-65%
Tabla 6.2: Comparación entre métodos de balanceo para la configuración 2
(a) Balanceo en dos planos
(b) Balanceo en un plano
Figura 6.15: Configuración 2: comparación entre resultados de balanceo
desbalance producida por diferentes masas de prueba ubicadas en el mismo punto
para la misma velocidad de giro.
Medición de efecto cruzado y balanceo en dos planos La medición de
efecto cruzado para esta configuración dio como resultados: α = 0, 78 y β = 0, 73
El efecto cruzado resultó moderado, ideal para balanceo en dos planos. En la
Figura 6.17 se muestra el desbalance en función del número de iteraciones para el
método de balanceo en dos planos. Como puede observarse, el método converge
muy rápidamente para esta configuración.
Luego de la última iteración de balanceo el dispositivo seguía registrando consistentemente el mismo valor de desbalance, por lo que el proceso podría haber
continuado para llegar a desbalances aún menores. La última masa de corrección
empleada fue una cinta de papel de (0, 02 ± 0, 01)g colocada a 60mm del eje de
rotación. Los resultados del balanceo se muestran en la Tabla 6.3.
60
6.2. Segundo montaje
Figura 6.16: Amplitud de vibración en función de la masa de desbalance
Balanceo en dos planos - Configuración 3
Plano Desbalance inicial [g · mm] Desbalance final [g · mm]
1
107,69
0,72
2
174,85
0,61
Reducción [%]
-99,3%
-99,6%
Tabla 6.3: Resultados de balanceo en dos planos para la configuración 3.
61
Capítulo 6. Caracterización del dispositivo de balanceo
Figura 6.17: Configuración 3: convergencia del balanceo en dos planos
62
Capítulo 7
Análisis económico del proyecto de
desarrollo
El presente proyecto integrador de la carrera de Ingeniería Mecánica tuvo como
objetivo el diseño, construcción, puesta en marcha y caracterización de un sistema
de balanceo para rotores de alta velocidad de giro. La duración del mismo fue de
once meses, desde Agosto de 2007 hasta Junio de 2008. El lugar de trabajo fue la
división D.A.E.E. (Diseño Avanzado y Evaluación Económica) del Centro Atómico
Bariloche, bajo la dirección del Ing. Kyu-Hyung Kyung y el Ing. Rubén E. Sosa.
7.1
Cronograma de tareas
La ejecución del proyecto se dividió en tres etapas. En la primera etapa del trabajo
se recopiló información y se realizaron pruebas de balanceo en uno y dos planos
en montajes experimentales de bajo costo de construcción. En la segunda etapa
del trabajo se diseñó y construyó el sistema de balanceo en uno y dos planos. En
la tercera y última etapa del trabajo se realizaron el montaje y la caracterización
del sistema diseñado. A continuación se detalla una lista de las tareas realizadas:
1. Recopilación de información sobre teoría y estándares actuales de balanceo.
2. Balanceo en un plano en primer montaje experimental.
3. Balanceo en dos planos en segundo montaje experimental.
4. Desarrollo de un programa de adquisición, análisis espectral y balanceo (PA).
5. Implementación de un entorno gráfico amigable para el usuario en el PA.
6. Diseño y construcción del sistema de balanceo.
7. Montaje y caracterización del sistema de balanceo construido.
63
Capítulo 7. Análisis económico del proyecto de desarrollo
8. Confección del informe final.
La distribución temporal de las tareas 1 a 8 se muestra en la Figura 7.1.
Figura 7.1: Diagrama de Gant del proyecto de desarrollo
7.2
Análisis de costos de desarrollo
Para la escritura de informes, recopilación de información y desarrollo de los programas en lenguaje C#, se utilizó una oficina amoblada, un equipo de PC con
acceso a Internet y teléfono, una impresora y un escáner. El alquiler de la oficina
se estima en $400/mes. El costo de todo el equipo de computación es de $3000, y
se toma como período de amortización 2 años.
Para el desarrollo experimental se utilizaron las instalaciones de un taller/laboratorio. El alquiler del mismo se estima en $400/mes. En dicho laboratorio se
utilizó el equipamiento electrónico listado en la Tabla 7.1, el cual no está incluido
en el costo de alquiler. El precio de cada componente es estimativo de los valores
de mercado.
Como alquiler mensual de este equipamiento se tomó el 6% del valor de los
mismos, con lo cual el monto total de este alquiler fue de $2085/mes, durante 10
meses, ya que no se cuenta el mes de agosto en el cual solo se recopiló información.
Durante el proyecto se necesito a una persona para llevar a cabo las tareas
especificadas. El sueldo de la misma fue de $1200/mes hasta el 30/6/08. El factor
de ocupación de la misma fue del 40% durante todo el proyecto.
Se requirió un profesional-docente para la dirección del proyecto, con una ocupación de 20 hs/mes durante todo el proyecto, y otro profesional-docente como
co-director con una ocupación de 25 hs/mes. El sueldo de estos profesionales es
de $3500 y $1000 respectivamente.
64
7.2. Análisis de costos de desarrollo
Equipo
• Fuente de tensión continua
• Osciloscopio
• Generador de señal
• Acelerómetros
• Elementos electrónicos
• Voltímetro
• PC adquisición de datos
• Placa de adquisición
• Balanza de precisión
• PC oficina e impresora
• Sensor inductivo
• Motor de corriente continua
Precio unitario Unidades
$2100
2
$9000
1
$6000
1
$3000
2
$50
1
$900
1
$3000
1
$3000
1
$500
1
$1500
1
$300
1
$300
1
TOTAL
Precio final
$4200
$9000
$6000
$6000
$50
$900
$3000
$3000
$500
$1500
$300
$300
$34750
Costo total de alquiler del equipamiento electrónico
$2085/mes
Tabla 7.1: Listado de costos del equipamiento electrónico
Por otra parte, el costo de la hora de taller de mecanizado, lugar en el cual
se construyó el sistema de balanceo diseñado fue de $360/hora, y teniendo en
cuenta que la construcción del mismo consumió 20 horas de trabajo, el costo total
del sistema diseñado fue de $7200. Para los demás gastos (fotocopias, papel,
transporte, etc.), se estima un costo de $5/día.
Flujo de fondos:
ago-07
$1970
sep-07
$4055
oct-07
$4055
nov-07
$4055
dic-07
$4055
ene-08
$4055
feb-08
$4055
mar-08
$4055
abr-08
$4055
may-08 $11255
jun-08
$4055
Alquiler oficina
Alquiler laboratorio
Alquiler equipos (*)
Taller de mecanizado
Beca alumno
Sueldo profesionales
Otros gastos
$400
$400
$2085
$7200
$480
$540
$150
Mensual
Mensual
Mensual
Mensual
Mensual
Mensual
(*) Durante 10 meses
Total mensual
$4055
TOTAL $49720
Tabla 7.2: Flujo de fondos del proyecto de desarrollo
65
Capítulo 7. Análisis económico del proyecto de desarrollo
7.3
Evaluación de costos a valor presente
A los efectos de calcular el valor actual del proyecto tomamos como tasa de descuento el 12% anual. Por lo tanto, siguiendo la relación
(1 + ianual ) = (1 + imensual )12 ,
(7.1)
la tasa de descuento mensual es del 0.95%.
El flujo de fondos del proyecto se muestra en la Tabla 7.2. A partir del flujo
de fondos puede obtenerse el valor presente VP del proyecto a según
VP =
11
X
n=1
C(tn ) · (1 + imensual )−n ,
(7.2)
donde C(tn ) son los egresos del mes n.
El Valor Presente del proyecto integrador al mes de junio de 2008 resulta
$85342.
66
Capítulo 8
Conclusiones
Se diseñó, construyó y caracterizó un sistema de balanceo en uno y dos planos
para rotores de alta velocidad de giro. El dispositivo resultó funcional y cumplió
con los requerimientos especificados de adaptabilidad a distintos tamaños de rotores, facilidad de montaje de los rotores a balancear, bajo costo, simplicidad de
construcción, facilidad de mantenimiento y buena sensibilidad en la medición de
desbalance.
En la primera etapa del trabajo se desarrollaron pruebas de balanceo en uno
y dos planos en montajes experimentales de bajo costo de construcción. A través
de estas prácticas se pusieron a punto los métodos de balanceo y se consiguió
implementarlos exitosamente en todos los casos, adquiriéndose habilidad en el
discernimiento de los factores importantes en su aplicación.
Durante la caracterización de los dispositivos se tomó contacto con técnicas
de trabajo en laboratorio y conceptos de adquisición de datos. Se emplearon
diferentes tipos de transductores de vibraciones y se diseñaron y construyeron
circuitos analógicos de acondicionamiento de señal. Esta experiencia realimentó
el diseño del dispositivo de balanceo durante la segunda etapa de trabajo. En
forma complementaria pudieron apreciarse los efectos de resonancia y mediante
un análisis de amplitud espectral pudo detectarse una picadura en la bolilla de un
rodamiento sin necesidad de desarmar el dispositivo.
En la segunda etapa del trabajo se diseñó y construyó un sistema de balanceo
en uno y dos planos. El diseño mecánico del sistema incluyó análisis de resonancia,
análisis de concentración de tensiones y verificación de resistencia al pandeo. El
diseño del esquema de adquisición incluyó el cálculo y construcción de los circuitos
electrónicos de acondicionamiento de señal y la elaboración de un programa de
adquisición y procesamiento de datos mediante FFT con interfaz gráfica intuitiva
y amigable para el usuario.
En la tercera y última etapa del trabajo se realizaron el montaje y la caracterización del sistema de balanceo diseñado. El primer montaje del sistema fue
descartado debido a que se producían pequeños desplazamientos de la base del
dispositivo que ocasionaban que las mediciones de vibración no fueran repetitivas.
67
Capítulo 8. Conclusiones
En un segundo montaje se aseguraron al piso todos los componentes fijos, con lo
cual se eliminó el problema de los desplazamientos y se consiguió muy buena repetitividad en la medición. Se comprobó de esta forma la importancia de verificar
consistentemente los ajustes mecánicos antes de medir vibraciones.
Se midió la frecuencia de resonancia a través de un ensayo de impacto, obteniéndose un valor de (360 ± 10)Hz, que se solapa con el rango de error del valor calculado. No se pudo verificar la frecuencia de resonancia mediante un diagrama de
Bode, debido a que no se disponía de un motor que girara a velocidad suficiente
para llevar al eje a esta velocidad. La sensibilidad del dispositivo es buena aún
funcionando a frecuencias significativamente por debajo de su valor de diseño.
Se desarrolló un programa de balanceo con una interface gráfica de usuario
(GUI) amigable, con capacidad de configurar distintos parámetros de adquisición,
visualización y almacenamiento de datos, procesamiento de señales temporales y
espectrales, cálculo y visualización de diagramas fasoriales de desbalaceo para uno
y dos planos. El programa demostró ser útil no solo para realizar rápidamente el
procedimiento de balanceo sino también permitir al usuario discernir la calidad de
la señal en el espacio temporal y espectral e incluso detectar y analizar vibraciones
causadas por otros efectos como falla en los rulemanes u otros componentes del
sistema rotante.
Se probaron varias ventanas de modulación a través del programa de adquisición de datos, llegándose a la conclusión de que la ventana rectangular es la más
efectiva para detectar señales de desbalance ya que ofrece la máxima resolución
en frecuencia. Se establecieron en forma iterativa los valores de frecuencia de
muestreo y número de datos por medición. Estos valores se fijaron respondiendo
a un compromiso entre tiempo de muestreo, costo computacional y resolución en
frecuencia del espectro, siendo esta última la variable más importante.
Se comprobó la linealidad entre el desbalance y la amplitud de la señal registrada por los acelerómetros para distintos tipos de rotores. Se verificó además la
dependencia cuadrática entre dicha amplitud y la velocidad de giro del eje.
Se midió el efecto cruzado y se comparó la efectividad del balanceo en uno y dos
planos para distintos tipos de rotores. Se comprobó que el balanceo en dos planos
es más efectivo en rotores con efecto cruzado moderado, mientras que para rotores
con bajo efecto cruzado el balanceo en un plano produce mejores resultados.
Se redujo el desbalance en ambos planos de un rotor de 930g a un valor inferior
a 0, 72g · mm en ambos planos. El factor limitante para continuar balanceando fue
la resolución de la balanza empleada para pesar las masas de prueba.
Como trabajo futuro a realizar se recomienda el uso de un motor de mayor
potencia con el fin de alcanzar frecuencias de giro mayores a la de la resonancia,
lo que permitiría conseguir una mejor calidad de balanceo.
También se recomienda profundizar el trabajo en el análisis integral de vibraciones que permita un diagnostico certero del buen funcionamiento de una
máquina. Incluyendo sensores de vibraciones axiales para detección de vibraciones
por desalineación, análisis de señales a otras frecuencias y sus múltiplos para difer68
entes componentes rotantes de una maquina, como por ejemplo los engranajes y
cojinetes de una caja reductora, frecuencias relacionadas con los pasos de los alabes
de bombas, turbinas y compresores, etc.
69
Capítulo 8. Conclusiones
70
Apéndice A
Programa de adquisición de datos
Se creó un programa de adquisición de datos en lenguaje C#, empleando el entorno de programación “Microsoft Visual C# 2005 Express Edition” de distribución
gratuita. Motivó a utilizar este lenguaje la existencia de una gran cantidad de librerías gratuitas de “objetos” estándar, lo que generó un ahorro importante en
tiempo de programación de bajo nivel. Típicamente la diferencia de costo computacional con un programa realizado en C + + no excede el 10%, valor que no
resulta significativo.
A.1
Descripción del programa
El programa proveyó una interfaz gráfica amigable para el usuario y fácilmente
configurable, realizando las siguientes tareas:
1. Medición de frecuencia y adquisición de las señales de vibración.
2. Determinación de amplitud y fase para cada componente en frecuencia.
3. Presentación de los datos en pantalla en tiempo real.
4. Cálculo de la masa de corrección por acumulación o sustitución.
A.1.1
Medición de frecuencia y adquisición de las señales
de vibración
La medición de frecuencia se realizó mediante un detector inductivo de proximidad cuya función era generar un pulso de sincronismo por cada revolución del
rotor (Figura 6.2a). La adquisición de las señales de vibración se realizó mediante acelerómetros. Tanto la señal de sincronismo como la señal de vibración de
cada acelerómetro se conectaron a conversores A/D individuales de una placa de
adquisición de datos.
71
Apéndice A
El método para medir la frecuencia consistió simplemente en medir el tiempo
entre un número entero de pulsos de sincronismo y calcular el cociente entre el
número de pulsos contados y el tiempo medido.
A.1.2
Cálculo de amplitud y fase para cada componente en
frecuencia
Para cada una de las señales, la amplitud de cada componente en frecuencia fue
calculada en forma directa mediante el algoritmo FFT.
Al no estar sincronizado el comienzo de la adquisición de datos con una dada
posición del rotor, el cálculo de fase para cada frecuencia no resultó directo. Para
solucionar esto, se aplicó también el algoritmo FFT a la señal de sincronismo.
Entonces se calculó simplemente la diferencia de fase entre cada señal de vibración
y la señal de sincronismo, cuyos pulsos sí estaban sincronizados con el paso del
rotor por una posición fija.
A.1.3
Presentación de los datos en pantalla en tiempo real
Para facilitar la interpretación gráfica de los datos, se agregó al programa una
rutina que los mostrara en forma intuitiva en tiempo real. Para cada plano se
representó, en un color diferente, un vector cuyo módulo y fase correspondieran a
la amplitud y fase de la señal de desbalance. Se graficó en un color ligeramente
transparente el valor instantáneo de desbalance para cada plano. En un color
opaco se graficó el valor del promedio de las últimas k mediciones, siendo k un
parámetro modificable por el usuario. Esto permitió reducir la sensibilidad de la
medición al ruido electrónico de la señal y obtener valores más representativos de
la realidad física del problema.
A.1.4
Cálculo de la masa de corrección
A partir de los datos adquiridos, el programa realiza los cálculos de balanceo
descriptos en la sección anterior para determinar la ubicación de las masas de
corrección. En ciertos casos resulta ventajoso dejar colocada la masa de prueba en
forma permanente, por lo cual es conveniente que el programa tenga esto en cuenta.
Para mayor versatilidad, se indican al usuario las dos posibilidades: retirar la masa
de prueba y colocar una masa de corrección A en la posición pA , o conservar la
masa de prueba y agregar una masa de corrección B en la posición pB .
A.2
Diagrama de flujo del programa
En la Figura A.1 se muestra un diagrama de flujo de la rutina de adquisición de
datos del programa. La Figura A.2 muestra una referencia relacionando el formato
de cada bloque con el tipo de acción que representa.
72
A.2. Diagrama de flujo del programa
Figura A.1: Diagrama de flujo del programa de adquisición de datos
73
Apéndice A
Figura A.2: Referencias para el diagrama de flujo de la Figura A.1
La ejecución del programa comienza con la declaración de todas las variables
empleadas. En particular, se declaran valores iniciales para la tasa de muestreo
SR , el número de muestras a adquirir N por canal, el número de canales de entrada
j y el número de mediciones a promediar k. Se inicializa a cero la cantidad i de
mediciones realizadas. La inicialización no se incluye en el diagrama de flujo.
En cuanto el usuario presiona el botón ”Adquirir”, el contador comienza a
generar pulsos con frecuencia de 100ms. Con cada pulso generado, el programa
comprueba si se está ejecutando o no la rutina de adquisición. En caso de que no
se esté ejecutando, ingresa a la rutina.
Como primera acción se activa una bandera que indica que la adquisición está
en proceso. Luego de esto se adquieren y se acondicionan N datos para cada uno
de los j canales de medición.
A medida que se adquieren los datos, se grafica en la pestaña “Señales” del
programa la medición de cada canal. A continuación se modula los datos adquiridos a través de la función ventana seleccionada y se calcula la FFT. El espectro
obtenido se grafica en tiempo real en la parte inferior de la ventana.
En este punto se calcula la frecuencia de giro a través de la señal de sincronismo
y se comienza a operar con la amplitud y fase calculadas para esta frecuencia
mediante el algoritmo FFT. En el siguiente grupo de tres bloques se calculan
amplitud y fase de la señal de cada canal y también se calcula un promedio de las
últimas k mediciones. La estructura del grupo de bloques que calcula el promedio
se entiende explicando el algoritmo usado al efecto (Figura A.3). Para la medición
i-ésima Mi , el promedio Pik de las últimas k mediciones se calcula como
i
X
Mi
k
Pi =
.
(A.1)
k
i−k+1
Luego de una nueva medición, el promedio de las últimas k mediciones es
i+1 X
Mi
k
Pi+1 =
,
(A.2)
k
i−k+2
que es la fórmula que se utiliza en el programa para actualizar el valor del promedio
con sólo dos operaciones.
74
A.2. Diagrama de flujo del programa
Figura A.3: Esquema explicativo del promediado de mediciones, ejemplo: k = 10
Finalmente, se dibujan diagramas fasoriales en la pestaña “Medición” del programa para la medición instantánea y para el promedio de las últimas k mediciones
de cada canal. Luego de esto, se incrementa en uno el contador i de mediciones
realizadas y se desactiva la bandera de “adquisición en proceso”.
En paralelo con la rutina de adquisición se ejecutan los segmentos de captura
de datos mostrados en la Figura A.4. La adquisición de datos para cada canal es
independiente y se inicia cuando el usuario presiona el botón correspondiente en
el programa.
Figura A.4: Segmentos asincrónicos de la rutina de adquisición
75
Apéndice A
La razón por la cual se divide al programa en segmentos es que no debe iniciarse
uno de ellos sin haber ejecutado al menos una vez las operaciones del anterior. Es
decir, no puede realizarse la captura de datos si la placa no está adquiriendo la
señal de los canales. Tampoco pueden efectuarse los cálculos de balanceo si no se
capturaron los datos necesarios. Si se realizara el almacenamiento del historial en
un archivo antes de realizar cálculos de balanceo, se guardaría un archivo vacío.
76
Bibliografía
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Cited on page 40.
Crandall, S. H. and N. C. Dahl (1966). Introduction to Solid Mechanics. McGrawHill. Cited on page 43.
Ifeachor, E. C. and B. W. Jervis (1993). Digital Signal Processing: A Practical
Approach. Addison-Wesley. Cited on page 15.
Lyons, R. G. (1997). Understanding Digital Signal Processing. Addison-Wesley.
Cited on page 22.
Wowk, V. (1995). Machinery Vibration: Balancing. McGraw-Hill. Cited on
pages 3, 13, 27.
77