Modelo de flujo de cargas aplicado al SimSEE

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Modelo de flujo de cargas aplicado al SimSEE
------------------------Proyecto: SimSEE
Archivo: Modelo de flujo de cargas aplicado al SIMSEE
Autor: Enzo Coppes y Marcelo Forets
Fecha creación: 27/02/2012 1:13:00
Fecha última revisión: 15/11/2015 02:51:00 p.m.
Institución: IIE – Montevideo – Uruguay.
Objetivo
Desarrollo de un modelo de la red eléctrica aplicable a la simulación del despacho energético de la
generación distribuida.
Resumen
Actualmente SimSEE permite la definición de nodos y arcos que posibilitan en forma rústica tener una
primera aproximación al problema reflejando en forma aproximada los límites de potencia por las líneas de
transmisión y las pérdidas en las mismas, pero ignorando por completo posibles problemas de tensión de
las barras. Al pensarse en una expansión en base a energía eólica y/o centrales de biomasa distribuidas
geográficamente e interconectadas al sistema por líneas radiales es claro que será necesario considerar las
afectaciones que sobre la tensión tendrán estas instalaciones. Debido al porte de la generación distribuida
que va a ser incorporada al SIN es necesario tener en cuenta las limitaciones que imponen las líneas y
transformadores en cuanto a su capacidad de transporte. Por esta razón se propone incorporar al SimSEE
un modelado más fino del sistema de red que permita incluir las restricciones sobre las tensiones de los
nodos y los limites de capacidad de las canalizaciones
Introducción
Se considero conveniente utilizar para cumplir con este objetivo, un programa de flujo de cargas
desarrollado en el IIE-FING llamado FLUCAR y que esta implementado en lenguaje Pascal, el mismo con el
que esta desarrollado SIMSEE.
Este punto permite integrar la capacidad de hacer las ecuaciones de flujo de carga directamente sobre
SimSEE, evitando de esta forma afectaciones en los tiempos de cálculo e integrando todas las
funcionalidades en un solo entorno para facilidad del usuario final.
Un punto a considerar es la lectura de los datos de RED. Para ello se evaluaron los programas de flujo de
carga conocidos y se decidió que por su facilidad y amplitud de uso el formato de flujo de cargas de PSSE
(Power System Simulator for Engineering tool) de la empresa SIEMENS, proporciona una forma de entrada
de los datos cuasi estandarizada y ampliamente usada tanto en Uruguay como en el MERCOSUR.
Otro aspecto considerado fue la incorporación del flujo de cargas en el algoritmo de optimización. Para ello
se analizaron las diferentes alternativas usadas en la literatura especializada.
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Se capacito a los integrantes del equipo SIMSEE en los temas básicos de teoría de flujo de cargas y su
implementación mediante el método de Newton-Raphson.
Consideraciones generales sobre flujo de cargas
Hace unos 40 años se utilizaban modelos a escala para poder estudiar el comportamiento de una red
eléctrica de potencia. Con el advenimiento de las computadoras PC, la reducción en dimensiones y en
costos de las mismas, y las mejoras en los tiempos de ejecución y facilidad de desarrollo, estos
analizadores de red se han sustituido por simulaciones en computadoras.
El estudio del flujo de carga, también llamado flujo de potencia, distribución de carga, etc., consiste en la
determinación de voltajes, intensidades, potencias activas y reactivas en distintos puntos de una red
eléctrica. Se consideran sistemas en régimen, equilibrados, sinusoidales, sin anomalías y se trabaja entre
fase y neutro. Los resultados que se obtienen son, generalmente, el módulo y la fase de la tensión en cada
barra, así como las potencias activas y reactivas entrantes en cada una de ellas.
Los resultados del flujo de cargas se usan para:
• Evaluar el comportamiento del sistema existente en condiciones estacionarias normales o
anormales.
• Estudiar alternativas para la planificación de nuevos sistemas o ampliación de los ya existentes.
• Estudiar la estabilidad transitoria y permanente de sistemas de potencia
• Elaborar plan de contingencias ante fallo de un elemento de la red.
A diferencia de los problemas considerados en la Teoría General de Circuitos, cuya solución consistía,
utilizando el método de nudos y mallas, en la resolución de un sistema de ecuaciones algebraicas lineales,
en una red de potencia, las ecuaciones que ligan las incógnitas son no lineales, por lo cual deberemos
valernos de los métodos matemáticos más recientes del cálculo numérico. Estos métodos, en general
iterativos, permiten una rápida resolución al problema.
Formulación del problema
Condiciones iniciales y tipos de barras
Se tienen 4 variables reales asociadas a cada una de las barras:
Variable
P
Q
V
θ
Descripción
Potencia Activa
Potencia Reactiva
Módulo de la tensión respecto al neutro N del sistema
Ángulo de fase de la tensión
En cada una de las barras, 2 de estas magnitudes se supondrán inicialmente conocidas y las 2 restantes
serán incógnitas del problema. Las distintas combinaciones de incógnitas y datos nos permiten definir los
siguientes 4 tipos de barras:
Tipo de barra
Barra de carga
Variables conocidas e incógnitas
Se conocen la potencia activa y reactiva entrantes
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Barra de generación y voltaje controlado
Barra flotante
Barra de referencia
Se conoce la potencia activa y el módulo de la tensión
Se conocen el módulo y la fase de la tensión
Se consideran nulas las 4 variables reales asociadas a ella
Existe una única barra de referencia por sistema que es el neutro N del sistema.
Numeración de las barras
A los efectos de organizar el desarrollo del cómputo, se asignará la siguiente numeración de las barras:
•
•
•
•
0
1..l
l +1..n-1
n
Barra de referencia (neutro del sistema)
Barras de Carga
Barras de Generación y Voltaje controlado
Barra Flotante
Estudio del problema para un nodo k genérico
Y entonces:
La potencia entrante en el nodo k será: (balance en el nodo k entre lo aportado por un generador y lo
absorbido por una carga)
Formulación de las ecuaciones de comportamiento de la red
Como se dedujo en el punto anterior, las ecuaciones para el nodo k son:
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(1)
(2)
Donde:
•
es el fasor voltaje de nodo medido con respecto al nodo de referencia
•
es el fasor corriente equivalente inyectado al nodo k
• n es el número total de nodos, excluido el de referencia
•
: es la potencia activa efectivamente inyectada a la red en el nodo k
•
es la potencia activa que efectivamente sale de la red por el nodo k
•
es la potencia reactiva efectivamente inyectada a la red en el nodo k
•
es la potencia reactiva que efectivamente sale de la red en el nodo k
La numeración de las barras definida anteriormente puede esquematizarse de la siguiente forma:
Remplazando (1) en (2):
(3)
Separando parte real y parte imaginaria:
(4)
(5)
Como la potencia activa es dato en las l barras de carga y en las n-1- l barras de generación (excluída la
flotante), se pueden plantear las siguientes ecuaciones:
(6)
La potencia reactiva es dato en las l barras de carga, entonces:
(7)
El conjunto de las n-1 ecuaciones (6) y de las l ecuaciones (7), constituyen un sistema de n-1+ l
ecuaciones no lineales en las incógnitas fasoriales . De estas incógnitas fasoriales son conocidos los
módulos de voltaje de las n- l barras de generación (incluída la flotante) y el ángulo de fase en la barra
flotante.
Entonces las incógnitas son los módulos de voltaje en las l barras de carga y los ángulos de fase en todas las
barras, excepto la flotante. Estas n-1 incógnitas de ángulo de fase, con las l incógnitas de módulos de
voltaje, suman un total de n-1+ l incógnitas.
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El estudio del flujo de carga consiste, entonces, en resolver el sistema de ecuaciones precedente en las
incógnitas señaladas. Una vez conocidos los voltajes en todas las barras, se obtienen en forma directa las
potencias reactivas y activas incógnitas, inyectadas en barras, así como pueden calcularse los flujos de
potencia activa y reactiva y las corrientes en las líneas. La naturaleza del sistema de ecuaciones establecido
no permite obtener una solución directa, debiéndose recurrir a métodos iterativos como es el método de
Newton-Raphson.
METODO DE NEWTON RAPHSON
Es un método iterativo que permite resolver sistemas de ecuaciones no lineales. Es muy veloz aunque no
siempre converge. Implica un gran número de cálculos en cada iteración ya que debe resolverse un sistema
mxm.
Sea el siguiente sistema de m ecuaciones no lineales con m incógnitas
,..
:
Vectorialmente puede expresarse:
Sea
una solución inicial aproximada; hacemos el cambio de variable:
Desarrollando en series de Taylor, despreciando los términos de segundo orden y superior, reordenando
los términos, el sistema se escribe en forma matricial de la siguiente forma:
Donde
y
es la matriz jacobiana del sistema de ecuaciones, calculada en
es el vector cuyos elementos son:
El sistema puede resolverse obteniendo:
Con lo cual puede corregirse la solución inicial aproximada para obtener:
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Si
es un punto ubicado en un entorno suficientemente pequeño de la solución
,
está
entonces más próximo a
. El uso de
en lugar de
, como una mejor solución aproximada,
conduce a un procedimiento iterativo.
La convergencia dependerá de la forma de las funciones
y de la aproximación inicial que se adopte.
Si el proceso resulta convergente entonces, en sucesivas iteraciones, irán disminuyendo las diferencias
entre los términos independientes k y los valores computados de las funciones f. Para la v-ésima iteración,
en forma simultánea:
El proceso puede darse por concluido si cada uno de los elementos de
menor que un índice de precisión prefijado ε:
, en valor absoluto, resulta
j = 1,2,...., m
Entonces el valor de
resulta ser la solución buscada dentro de la precisión impuesta.
Adaptación del Flucar a la plataforma SIMSEE
Para adaptar el programa Flucar a la plataforma SIMSEE se planteo el siguiente plan de trabajo:
1. Estudio y adaptación del flucar como herramienta de flujo de cargas.
a. Flucar: datos de entrada
b. Flucar: procedimientos
c. Flucar: salidas
2. Desarrollo de los algoritmos de lectura de datos de los archivos de datos de PSSE.
3. Reingeniería del Flucar adaptándola a la filosofía Orientada a Objetos.
1. Estudio y adaptación del flucar como herramienta de flujo de cargas.
En este paso se estudio la bibliografía generada en el IIE de la Facultad de ingeniería la que se puede
encontrar en diversos informes de proyecto de fin de carrera y del curso de Redes Eléctricas.
Se encontró que el Flucar ha sido construido a lo largo de los años agregando módulos y rutinas algunas de
las cuales no se adaptan totalmente a la filosofía orientada a objetos. También se considero la forma del
tratamiento que se le hace a los transformadores con TAP’s variables.
Otro aspecto que se considero fue la entrada de los datos básicos de la red, los cuales se ingresan en un
tipo especial de archivos de texto propio del Flucar.
2. Desarrollo de los algoritmos de lectura de datos de los archivos de datos de PSSE.
Durante esta etapa se procedió a la implementación de módulos en Pascal para la lectura y creación de
objetos de flujo de carga desde archivos tipo RAW de PSSE. Se encontró que los archivos de las versiones
mas usadas son la versión 26 y 32 de este programa. Se implemento un modulo de lectura de ambos tipos
de versiones.
Cada elemento de la red se modelo como un actor que tiene posibilidad de interactuar en lo que se
denomina una sala de juegos.
La dificultad que se encontró en esto consistió en que en el armado del sistema el programa PSSE carga los
datos de equipos y barras estén o no en servicio, lo que dificulta el armado del problema a resolver, pues
significo que se tuviera que desarrollar algoritmos de conectividad.
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A continuación se presenta una tabla con los campos de la versión 26 de PSSE:
VER
Nombre
26
26
26
26
26
26
26
1 Case Identification
2 Bus Data
3 Load Data
4 Generator Data
5 Branch Data
6 Transformer Adjustment Data
7 Interarea Transfer Data
26 8 Two-Terminal dc Line Data
26 9 Switched Shunt Data
Transformer Impedance
26 10 Correction Tables
26 11 Multiterminal dc Line Data
Multi-Section Line Grouping
26 12 Data
26 13 Zone Data
26 14 Area Interchange Data
26 15 Owner Data
26 16 FACTS Control Device Data
Campos
IC, SBASE + 2 LINEAS
I, ’NAME’, BASKV, IDE, GL, BL, AREA, ZONE, VM, VA, OWNER
I, ID, STATUS, AREA, ZONE, PL, QL, IP, IQ, YP, YQ, OWNER
I,ID,PG,QG,QT,QB,VS,IREG,MBASE,ZR,ZX,RT,XT,GTAP,STAT,RMPCT,PT,PB,O1,F1,...,O4,F4
I,J,CKT,R,X,B,RATEA,RATEB,RATEC,RATIO,ANGLE,GI,BI,GJ,BJ,ST,LEN,O1,F1,...,O4,F4
I,J,CKT,ICONT,RMA,RMI,VMA,VMI,STEP,TABLE,CNTRL,CR,CX
I, ISW, PDES, PTOL, ’ARNAME’
I,MDC,RDC,SETVL,VSCHD,VCMOD,RCOMP,DELTI,METER,DCVMIN,CCCITMX,CCCACC
IPR,NBR,ALFMX,ALFMN,RCR,XCR,EBASR,TRR,TAPR,TMXR,TMNR,STPR,ICR,IFR,ITR,IDR,XCAPR
IPI,NBI,GAMMX,GAMMN,RCI,XCI,EBASI,TRI,TAPI,TMXI,TMNI,STPI,ICI,IFI,ITI,IDI,XCAPI
I, MODSW, VSWHI, VSWLO, SWREM, BINIT, N1, B1, N2, B2, ... N8, B8
I, T1, F1, T2, F2, T3, F3, ... T11, F11
I, NCONV, NDCBS, NDCLN, MDC, VCONV, VCMOD, VCONVN
I, J, ID, CKT1, DUM1, CKT2, DUM2, ... CKT9, DUM9, CKT10
I, ’ZONAME’
ARFROM, ARTO, TRID, PTRAN
I, ’OWNAME’
N, I, J, MODE, PDES, QDES, VSET, SHMX, TRMX, VTMN, VTMX, VSMX, IMX, LINX, OWNER
La versión 32 tiene los siguientes campos:
VER
Nombre
32
32
32
32
32
32
32
32
32
32
1 Case Identification Data
2 Bus Data
3 Load Data
4 Fixed Bus Shunt Data
5 Generator Data
6 Non-Transformer Branch Data
I,J,K,CKT,CW,CZ,CM,MAG1,MAG2,NMETR,’NAME’,STAT,O1,F1,...,O4,F4
R1-2,X1-2,SBASE1-2,R2-3,X2-3,SBASE2-3,R3-1,X3-1,SBASE3-1,VMSTAR,ANSTAR
7 Transformer Data 3 devanados WINDV1,NOMV1,ANG1,RATA1,RATB1,RATC1,COD1,CONT1,RMA1,RMI1,VMA1,VMI1,NTP1,TAB1,CR1,CX1
WINDV2,NOMV2,ANG2,RATA2,RATB2,RATC2,COD2,CONT2,RMA2,RMI2,VMA2,VMI2,NTP2,TAB2,CR2,CX2
WINDV3,NOMV3,ANG3,RATA3,RATB3,RATC3,COD3,CONT3,RMA3,RMI3,VMA3,VMI3,NTP3,TAB3,CR3,CX3
I,J,K,CKT,CW,CZ,CM,MAG1,MAG2,NMETR,’NAME’,STAT,O1,F1,...,O4,F4
R1-2,X1-2,SBASE1-2
7 Transformer Data 2 devanados
WINDV1,NOMV1,ANG1,RATA1,RATB1,RATC1,COD1,CONT1,RMA1,RMI1,VMA1,VMI1,NTP1,TAB1,CR1,CX1
WINDV2,NOMV2
8 Area Interchange Data
I, ISW, PDES, PTOL, 'ARNAME'
NAME',MDC,RDC,SETVL,VSCHD,VCMOD,RCOMP,DELTI,METER,DCVMIN,CCCITMX,CCCACC
Two-Terminal DC Transmission
9
IPR,NBR,ANMXR,ANMNR,RCR,XCR,EBASR,TRR,TAPR,TMXR,TMNR,STPR,ICR,IFR,ITR,IDR,XCAPR
Line Data
IPI,NBI,ANMXI,ANMNI,RCI,XCI,EBASI,TRI,TAPI,TMXI,TMNI,STPI,ICI,IFI,ITI,IDI,XCAPI
Voltage Source Converter (VSC) NAME', MDC, RDC, O1, F1, ... O4, F4
IBUS,TYPE,MODE,DCSET,ACSET,ALOSS,BLOSS,MINLOSS,SMAX,IMAX,PWF,MAXQ,MINQ,REMOT,RMPCT
DC Transmission Line Data
IBUS,TYPE,MODE,DCSET,ACSET,ALOSS,BLOSS,MINLOSS,SMAX,IMAX,PWF,MAXQ,MINQ,REMOT,RMPCT
Transformer Impedance
11
Correction Tables
I, T1, F1, T2, F2, T3, F3, ... T11, F11
Multi-Terminal DC
12
Transmission Line Data
'NAME', NCONV, NDCBS, NDCLN, MDC, VCONV, VCMOD, VCONVN
Multi-Section Line Grouping
13
Data
I, J, ID, MET, DUM1, DUM2, ... DUM9
14 Zone Data
I, 'ZONAME'
15 Interarea Transfer Data
ARFROM, ARTO, TRID, PTRAN
16 Owner Data
I, 'OWNAME'
’NAME’,I,J,MODE,PDES,QDES,VSET,SHMX,TRMX,VTMN,VTMX,VSMX,IMX,LINX,
17
FACTS Device Data
RMPCT,OWNER,SET1,SET2,VSREF,REMOT,’MNAME’
I, MODSW, ADJM, STAT, VSWHI, VSWLO, SWREM, RMPCT, ’RMIDNT’,
18
Switched Shunt Data
BINIT, N1, B1, N2, B2, ... N8, B8
0 / END OF SWITCHED SHUNT DATA, BEGIN GNE DATA
0 / END OF GNE DATA
19 Q Record
Q
10
32
32
32
32
32
32
32
32
32
32
Campos
IC, SBASE, REV, XFRRAT, NXFRAT, BASFRQ + 2 LINEAS
I, 'NAME', BASKV, IDE, AREA, ZONE, OWNER, VM, VA
I, ID, STATUS, AREA, ZONE, PL, QL, IP, IQ, YP, YQ, OWNER, SCALE
I, ID, STATUS, GL, BL
I,ID,PG,QG,QT,QB,VS,IREG,MBASE,ZR,ZX,RT,XT,GTAP,STAT, RMPCT,PT,PB,O1,F1,...,O4,F4,WMOD,WPF
I,J,CKT,R,X,B,RATEA,RATEB,RATEC,GI,BI,GJ,BJ,ST,MET,LEN,O1,F1,...,O4,F4
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3. Reingeniería del Flucar adaptándola a la filosofía Orientada a Objetos.
En esta etapa se resolvió armar una sala de juegos como tiene el SIMSEE en el que los actores de flujo de
carga interactúan y arman el problema de flujo de cargas, haciendo uso de un Resolvedor de ecuaciones
complejas que se había implementado por parte de Ruben Chaer el cual se detalla en el Anexo 1.
También se considero necesario implementar en el propio algoritmo de resolución de flujo de cargas el
tratamiento de los TAP’s de los transformadores con puntos de transformación variable. Para ello se
recurrió a la bibliografía y se agregó una variable compleja mas a ser incorporada en el problema de flujo
de cargas en aquellas barras cuyo voltaje se considera controlado por estos TAP’s.
Incorporación de los TAP's variables a la descripción del sistema
En esta sección se aborda, por un lado, la descripción del problema del flujo de carga y cómo queda la
matriz jacobiana para ingresarla al resolvedor no lineal ucpxresolvecuacs, que implementa el método de
Newton-Raphson para un sistema de ecuaciones complejas. Por otro lado, se describe la inscripción de las
funciones y derivadas en dicho resolvedor.
Se debe resaltar que este esfuerzo es sustancialmente nuevo respecto a la bibliografía existente en cuanto
el problema se re-enfoca como un sistema ecuaciones de variable compleja para todas las variables
involucradas, y por tanto las funciones y sus derivadas se deben expresar como funciones complejas en sus
componentes (ya sean cartesianas o polares). Por otra parte, este enfoque es necesario porque la
implementación computacional fue diseñada para requerir como input las ecuaciones que se deducen en
este apartado.
En este problema se considera que la red consiste en n nodos o barras. El
sistema de ecuaciones que se debe satisfacer consiste en n ecuaciones, una
por cada nodo, de valores complejos a valores complejos:
Se supondrá que hay un trafo t entre el nodo h y el nodo m (h = m). Habrá por lo tanto tres tipos de nodos:
los nodos tipo k o genérico, los nodos tipos regulado (h) y los nodos tipo regulador (m). En las figuras
siguientes se aprecian los nodos genéricos y los nodos tipo h y tipo m.
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A continuación se deducen las ecuaciones de corriente en cada uno de los tipos de nodo, que surgen de
aplicar las ecuaciones de nudos y mallas y eventualmente las ecuaciones del transformador ideal.
Observar que si bien se presenta la matriz como si sólo existiera un trafo en toda la red, que se hace por
simplicidad, no conlleva pérdida de generalidad cuando se tiene más de uno, ya que quedará evidente que
se necesitan modificar tan sólo dos líneas de dicha matriz Jacobiana, correspondientes a los nodos
extremos del trafo.
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Donde se definió convenientemente
Donde se definió convenientemente
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A continuación se especifica cada uno de los elementos de dicha matriz.
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Luego del desarrollo analítico anterior se procedió a implementarlo computacionalmente en el módulo de
flucar41.lpi. El procedimiento de inscripción de funciones complejas al sistema de ecuaciones es directo;
esencialmente se debe indicar las variables que intervienen y para las derivadas con respecto a qué
variable se deriva especificando si se trata de la parte radial o la parte angular. Ver el Anexo de
ucpxresolvecuacs para referencias respecto al uso de ese módulo.
Estudio de diferentes formas de incorporar la red al SIMSEE e
Incorporación de la solución obtenida
Hay diferentes formas de encarar el tratamiento del “Unit Commitment” junto con el comportamiento de
la red. Se vieron varios estudios en los que la red a los efectos del voltaje se modela solo en DC, en AC y
otros hacen el tratamiento mediante OPF.
Trabajar con flujo de cargas DC tiene la ventaja de representar en forma muy simplicada la red pero tiene
la contra de que no se representa el comportamiento de la reactiva, por lo que si tengo elementos de
compensación de reactiva o en su defecto el control de voltaje por las maquinas generadoras, no resulta
un modelo adecuado a los objetivos nuestros.
En cuanto a los modelos AC son los de flujo de cargas tradicionales.
Se vio también la conveniencia de avanzar en la implementación de un OPF ya que este modelado
representaría no solo la red sino que seria una forma de implementar un Resolvedor no lineal para el
problema de despacho, introduciendo también características más complejas de los actores del SIMSEE
que podrían llegar a ser representadas mediante funciones no lineales.
Como forma de aproximarnos al problema consideramos tratar en un principio el flujo de cargas AC en
forma separada del despacho hidro-térmico, como dos subproblemas. O sea se resuelve un paso de
optimización del cual sale un despacho de maquinas el cual es tomado por el flujo de cargas para verificar
la validez del caso en cuanto a sus niveles de tensión y flujos por las canalizaciones.
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Esto esta en proceso de implementación todavía debido a que es necesario implementar la interface entre
los dos subproblemas para lo cual es necesario modificar las estructura básica del SIMSEE.
Por otro lado esta en proceso de finalización un resolvedor de funciones no lineales que usa el método de
máximo descenso ajuste cuadrático de paso, que una vez finalizado será usado para que cada paso de
optimización sea tratado como un OPF.
Referencias
[1] Resolución del problema del Flujo de Cargas - Desarrollo de FLUCAR 3.0 – Proyecto de fin de carrera Alfredo Costa y Claudio Olmedo – FING Marzo de 2002.
[2] B.G.GORENSTIN N.M.CAMPODONICO J.P.COSTA M.V.F.PEREIRA. STOCHASTIC OPTIMIZATION OF A
HYDRO-THERMAL SYSTEM INCLUDING NETWORK CONSTRAINTS. Transactions on Power Systems, Vol. 7,
No. 2. May 1992.
[3] Olav Bjarte Fosso, Seyed Mohammed, Ali Hosseini.Hydro scheduling with transmission transfer
limitations in a liberalized power market. XI SEPOPE, 16 a 20 de Março 2009March – 16th to 20th –
2009BELÉM (PA) - BRASIL. http://webserver.eln.gov.br/sepope/dad/temas_rel.asp
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Anexo 1 - Resolvedor de ecuaciones.
Ing. Ruben Chaer ([email protected])
Marzo 2008 – Montevideo – Uruguay.
Es común en ingeniería tener un conjunto de ecuaciones que vinculan a un conjunto de variables.
Mostraremos dos clases PASCAL desarrolladas para la resolución de este tipo de problemas. Una dedicada
a la resolución en el campo de los reales y la otra en el campo de los números complejos.
Resolvedor de problemas en RN
Supongamos que M es la cantidad de ecuaciones y N la cantidad de variables. El problema se podría
plantear como:
f i  y1 ...y N   0
fi : R N  R
( ec. 1 )
i  1...M
Para que los grados de libertad del problema sean superiores a la cantidad de restricciones y por lo tanto
tengamos esperanza de encontrar una solución, se deberá cumplir N  M .
Si N  M tenemos más grados de libertad que restricciones y supondremos que se eligen valores fijos
para N  M de las variables para que queden exactamente la misma cantidad de grados de libertad que
restricciones.
Del vector de variables y1 ...y N  entonces hay un subconjunto que elegimos como parámetros fijos y otro
como variables libres. La búsqueda de la solución se realizará sobre las variables libres. Llamemos x1 ...xM 
al subconjunto de las y que consideraremos libres. El planteo lo hacemos así pues es común tener
planteada las ecuaciones y elegir en diferentes momentos diferente juego de parámetros fijos y libres.
Elegido entonces el conjunto de parámetros libres, podemos reescribir el problema en forma vectorial
cómo:
F X   0
F : RM  RM
( ec. 2 )
X  x1 ...x M 
T
Cada elemento de F  X  es cada una de las funciones f i  y1 ...y N  evaluada en el punto correspondiente a
los valores fijos para las variables elegidas fijas más los valores que tomaron las x para las variables
elegidas como libres.
La solución del problema la realizaremos por el método de Newton Raphson con una modificación para
controlar el paso de cada iteración de forma de asegurar que en cada paso se mejora la solución.
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Brevemente, el método de Newton Raphson parte del desarrollo de Taylor de primer orden de la función
F  X  , en el entrono de un valor inicial dado de X k y calcula usando esa aproximación cuál sería el
X k 1 que anularía la función vectorial F  X 
F  X k 1   F  X k   J F  X k 1  X k   o 2 ( ec. 3 ) Desarrollo de Taylor
Despreciando los términos de segundo orden, para que F  X k 1   0 en la ecuación anterior tenemos:
X k 1  X k  J F1  F  X k  ( ec. 4 )
Newton Raphson
Definimos el error cometido en X k cómo:
ek  F  X k  ( ec. 5 )
La modificación que introducimos al método es la posibilidad de acortar el paso de la (ec. 4) de forma de
lograr que ek 1  ek . Para eso multiplicamos el paso por un parámetro real  . Al inicio de cada iteración
ponemos   1 y calculamos el siguiente punto como:
X k 1  X k    J F1  F  X k  ( ec. 6 )
y el error correspondiente usando la ec.
Si ek 1  ek acortamos  y probamos de nuevo, así hasta lograr un X k 1 para el que el ek 1  ek o hasta que
el valor de  sea muy pequeño
Resolvedor de ecuaciones en CN.
Ahora nos planteamos la resolución de ecuaciones en el campo complejo. Cada ecuación podemos verla
como dos funciones (parte real e imaginaria) igual a cero y cada variable compleja podemos verla como
dos variables reales.
Entonces, el problema podría plantearse como la resolución en R, pero queremos mantener la posibilidad
de escribir las funciones en el campo de los complejos pues para algunos problemas resulta más natural
escribir las ecuaciones con variables complejas. Como ejemplo mostraremos las ecuaciones
correspondientes al problema de flujo de carga de un sistema eléctrico.
Si tenemos:
f i z1 ...z N   0
f i : C N  C; z  C ( ec. 7 )
i  1...M
Mirado como problema en el campo de los reales tenemos 2M ecuaciones y 2N variables. Si 2N > 2M
tenemos 2N-2M parámetros a fijar para que el sistema nos quede determinado. En la elección de estos 2N2M parámetros podemos elegir por ejemplo la parte real de una de las variables, la fase de otra, el módulo
y fase de otra, etc. Es decir, permitiremos considerar en cada variable compleja representada en
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coordenadas rectangulares o polares y dejar libre o fijar como parámetro cada uno de los dos campos que
determinan la variable según la representación que se elija.
En el planteo del método de Newton Raphson planteamos cada ecuación dividida en su parte real y
compleja como:
Re f i z1 ...z N   0
Im f i z1 ...z N   0
f i : C N  C; z  C
( ec. 8 )
i  1...M
Al considerar el desarrollo de Taylor de las funciones Re f i  y Im f i  lo hacemos respecto a las variables
reales que forman el conjunto de variables complejas z, según la representación se elija para cada una de
ellas.
Según la representación que elijamos anotaremos:
z k  xk  j y k
z k   k e j k
( ec. 9 )
Para ello necesitamos conocer las derivadas:
f i f i f i f i
( ec. 10 )
;
;
;
xk y k  k  k
f i
por eso es
z k
necesario suministrar las derivadas parciales respecto de los campos reales con que se represente las
variables complejas, que siempre están bien definidas.
Atención, en la mayoría de los casos de aplicación, no es posible definir la derivada
Obviamente, dada una de las funciones f i y elegida una variable z k las cuatro derivadas direccionales (ec.
9) no son independientes y bastan dos de ellas para calcular las otras dos.
Por ejemplo, podemos escribir:
f i
f
f
 i cos k   i sin  k 
 k xk
y k
f i
f
f
 i   k sin  k   i  k cos k 
 k xk
y k
o invirtiendo las relaciones:
( ec. 11 )
SimSEE pág. 20 / 20
f i
f
f
 i cos k   i
x k  k
 k
 1

 
sin  k 
 k
 ( ec. 12 )
1
cos k 
f i
f
f
 i sin  k   i
y k  k
 k  k