Cálculo del diagrama de bandas en un cristal fotónico

Cálculo del diagrama de bandas en un cristal fotónico metálico bidimensional con índice de
refracción negativo en la región de las microondas.
R. A. Gutiérrez-Arenas1, 2 y D. Mendoza2
Facultad de Ingeniería, Universidad Nacional Autónoma de México
2
Instituto de Investigaciones en Materiales, Universidad Nacional Autónoma de México
México, D. F., México
1
Resumen: En este artículo se muestran los diagramas
de dispersión o estructura de bandas de un cristal
fotónico metálico calculado mediante el método de
diferencias finitas en el espacio real. Además se
presenta el índice de refracción efectivo para dicho
cristal y los diagramas de superficies de equifrecuencia.
Dicho análisis se desarrolla a partir de las propiedades
de los materiales izquierdos, los cuales presentan un
índice de refracción negativo y otras propiedades que
se deben a la dispersión de las ondas en medios
periódicos.
Introducción
Las propiedades electromagnéticas (EM) de la materia
pueden ser caracterizadas por dos cantidades
macroscópicas: la permitividad dieléctrica ε, y la
permeabilidad magnética µ, así mismo las propiedades
de propagación de las ondas EM en un material son
determinadas por ε yrµ, que regulan las relaciones
entre
r
el campo eléctrico E , y el campo magnético H . Esas
propiedades de propagación pueden depender de la
frecuencia, ya que ε(ω) y µ(ω) son en general,
dependientes de la frecuencia.
Para una gran cantidad de materiales la parte real
tanto de ε como de µ son positivos en la banda de
propagación, por lo que para la mayoría de los
r
materiales,
así como para el vacío la relación entre E ,
r
r
H y el vector de propagación k esta dada por la regla
de mano derecha: kr ⋅ [Er × Hr ] > 0 .
Fue Veselago [1] el primero que analizó que la
propagación de ondas EM es posible en materiales que
poseen simultáneamente ε,µ<0. Para esos materiales la
relación kr ⋅ [Er × Hr ] es menor a cero y esta dada por la
regla de la mano izquierda por lo que se les refiere
como "materiales izquierdos". Sus propiedades EM son
diferentes a la de los materiales "derechos" ya que las
velocidades de grupo y fase son antiparalelas. Por
ejemplo una onda EM incidente en una interfase entre
un material derecho y uno izquierdo se mantiene en el
mismo lado de la normal, por lo que el ángulo de
refracción es negativo, lo que permite que una placa
con un determinado espesor pueda enfocar la radiación
de la fuente puntual a una distancia de la misma
siguiendo la ley de refracción de Snell. Otra
característica importante es el efecto de doble enfoque
que puede producir este fenómeno.
Un cristal resulta cuando un bloque básico de
átomos o moléculas se repite de manera periódica en el
espacio. Por lo que un cristal representa un potencial
periódico para un electrón propagándose a través de él,
y la geometría del cristal regula muchas de las
propiedades de conducción del cristal.
La red puede producir brechas o bandas prohibidas
dentro de la estructura de bandas de energía del cristal
de tal forma que los electrones no se puedan propagar
para ciertas energías, como en un semiconductor se
tiene una banda prohibida entre la banda de valencia y
la de conducción.
La analogía óptica son los cristales fotónicos en
cuyo caso el potencial periódico esta dado por una red
macroscópica de materiales dieléctricos o metálicos
caracterizados por las constantes ε y µ. Si la absorción
del material es mínima, la dispersión entre las
interfases puede producir el mismo fenómeno para
fotones como el potencial atómico lo hace para los
electrones.
Los cristales fotónicos utilizan las mismas
propiedades que las cavidades metálicas y las guías de
onda, escalándolas a un rango mucho mayor de
frecuencias. Es posible construir un cristal fotónico con
dimensiones milimétricas para un control de
microondas o en el orden de micras para un control de
ondas infrarrojas.
Notomi [2] muestra que para los cristales fotónicos
cerca de la frecuencia donde presentan una banda
prohibida se comportan con un índice de refracción
efectivo que se encuentra limitado por el índice de
refracción de los materiales que lo componen y es
determinado por la estructura fotónica de bandas. Ese
índice puede ser menor que la unidad y también
negativo y se puede utilizar la ley de Snell para
describir la propagación de la luz.
Los principios físicos detrás de estos fenómenos en
los cristales fotónicos son debidos a efectos complejos
en la dispersión de Bragg y son muy diferentes a los de
los metamateriales [3].
El hecho de que se puede realizar la refracción
negativa conlleva a la posibilidad de encontrar nuevas
formas de control en la propagación de las ondas EM.
Este tipo de refracción produce varios efectos de
el índice de refracción calculado a partir de los
diagramas de dispersión.
El método de diferencias finitas
El algoritmo de diferencias finitas en el espacio real
consiste en discretizar las coordenadas espaciales de la
ecuación de onda en dos dimensiones de tal manera que
se tenga una distancia l entre los diferentes puntos. Se
estudiaron dos diferentes tipos de redes, cuadrada y
triangular que se muestran en la figura 1.
a)
a
b)
a
propagación anómala de la luz que da pie a cavidades
resonantes sin necesidad de paredes reflejantes así
como lentes con la capacidad de lograr un autoenfoque.
El diagrama de dispersión o diagrama de estructura
de bandas consiste en calcular la estructura de las
r
funciones ω n (k ) dado un determinado cristal fotónico
con propiedades ε (rr ) , µ (rr ) donde rr es el vector que
muestra el perfil periódico de la estructura. Mediante la
resolución numérica de las ecuaciones de Maxwell es
posible diseñar cristales fotónicos conociendo de esta
forma sus características principales antes de su
construcción.
El estudio de la propagación de ondas, así como la
obtención del diagrama de estructura de bandas en
cristales fotónicos metálicos se ha hecho mediante
diferentes métodos; diferencias finitas en el dominio
del tiempo [4,5], expansión por ondas planas [6,7],
diferencias finitas en el espacio real [8,9], así como el
cálculo de la matriz de transferencia. Una de las
ventajas de los métodos en diferencias finitas es que
son de orden N, mientras que el método de expansión
por ondas planas es de orden N3 además de que
presenta problemas de convergencia cuando los
cilindros conductores son grandes comparados con el
parámetro de red del cristal [10].
En este documento se presentan los resultados del
calculo de la estructura de bandas utilizando el método
de diferencias finitas en el espacio real para un cristal
fotónico bidimensional (2D), cabe mencionar que este
tipo de estructuras han merecido gran atención por
parte de la comunidad científica dada la gran cantidad
de aplicaciones que prometen [11].
Las características físicas de los cristales fotónicos
en dos dimensiones permiten dividir la transmisión de
ondas electromagnéticas a través de ellos en dos
diferentes modos. Si se considera que el eje z del
sistema bidimensional es homogéneo, es decir, no
existe restricción alguna en los valores de kz, la
propagación de la energía se hace en el plano xy por lo
que el modo Transversal Eléctrico (TE) presenta el
r
campo magnético (H ) normal al plano xy, mientras que
en el modo Transversal Magnético (TM) el campo
eléctrico (Er ) es perpendicular al plano xy. Cabe
mencionar que el modo TM se define con respecto al
plano xy del cristal y corresponde al modo TE
convencional de las guías de onda definido con
respecto a la dirección de propagación [12].
Los resultados obtenidos corresponden a las
primeras bandas (bandas fundamentales) del modo TM
para un cristal con periodicidad cuadrada, así como
para uno con periodicidad triangular. Además se
muestran los diagramas de superficies de
equifrecuencias (SEF) en la primera zona de Brillouin y
r
r
Figura 1: a) Diagrama esquemático de la red cuadrada, donde r
es el radio de los cilindros conductores y a es el parámetro de red.
b) Diagrama de la red triangular.
El sistema presentado se encuentra conformado por
cilindros metálicos de conductividad infinita, por lo que
se puede considerar que los campos, tanto eléctrico
como magnético dentro de los cilindros metálicos son
iguales a cero. Dado que el sistema es considerado
bidimensional se puede considerar homogéneo en la
dirección z. A partir de las ecuaciones de Maxwell para
medios sin cargas se puede obtener la ecuación
homogénea de Helmholtz para el campo eléctrico,
además si se considera kz igual a cero se obtiene,
 ω2
r
∇ 2 E (r ) = − 2
c
 r
 E (r )


(1)
La ecuación (1) es un problema de eigenvalores,
por lo que al obtener su solución, obtendremos ω 2 c 2 en
r
función de k o el diagrama de bandas.
La simetría y periodicidad del cristal permite que
se encuentre la solución de (1) en la celda unitaria
mostrada en la figura 1 y por medio del teorema de
Bloch se extiende a todo el cristal y se pueden obtener
las condiciones de frontera para las celdas unitarias
presentadas. Además se considera que el valor del
campo eléctrico en la superficie de los cilindros así
como dentro de ellos es igual a cero con lo cual se
obtienen las condiciones de frontera entre los cilindros
y el vacío.
r
Los valores de k necesarios para la caracterización
completa del cristal fotónico se pueden restringir a los
bordes de las zonas irreductibles de Brillouin para los
dos tipos de redes, cada red presenta tres puntos de alta
simetría (Γ, X y K) con los cuales se forma un triángulo
y es posible representar todo el espacio.
Para obtener los eigenvalores de (1) se dividió la
celda unitaria de las respectivas redes con una malla de
n × n puntos cuya geometría fue igual a la de la propia
celda unitaria. La ecuación (1) se puede aproximar
utilizando diferencias finitas a simples sumas entre el
punto de prueba y los puntos vecinos más cercanos
(primeros vecinos) para el caso de la red cuadrada [13].
En el caso de la red triangular fue necesario encontrar
el promedio entre los primeros y segundos vecinos ya
que las componentes espaciales de la red que se utilizó
no son ortogonales [4,5,14]. Las aproximaciones de (1)
para las dos diferentes redes son,
Ei , j +1 + Ei , j −1 + Ei+1, j + Ei −1, j − 4 Ei , j = −
(
− (E
l 2ω 2
Ei , j
c2
) (
)
+ Ei −1, j +1 − 16 Ei , j
r
estructura de bandas, por lo que dω d kc determinará si
el cristal se comporta como un material izquierdo o
derecho.
Generalmente la velocidad de grupo se calcula
como,
r
v g = ∇ krω
3l 2ω 2
=−
E i, j
c2
)
(3)
Donde (2) es para la red cuadrada y (3) para la
triangular. El sistema de ecuaciones que se obtiene es
Hermitiano lo que mejora en gran medida la
convergencia del algoritmo [9].
a)
(4)
De acuerdo a la referencia [15] la dirección de la
velocidad de grupo vrg en un cristal fotónico infinito
r
coincide con el flujo de energía S , por lo que un índice
de refracción efectivo puede ser calculado de la
estructura de bandas y queda definido por
(2)
4 E i , j +1 + Ei , j −1 + E i +1, j + Ei −1, j − E i +1, j +1 − Ei +1, j −1
i −1, j −1
r
Para una onda plana con vector de onda ki y
frecuencia ω que incide de manera normal al cristal
r
fotónico, el vector de onda kc dentro del cristal puede
r
ser paralelo o antiparalelo a ki como lo determina la
r
r r c kc
neff = sgn v g ⋅ kc
ω
(
)
(5)
Resultados
Los resultados presentados se realizaron utilizando el
método previamente descrito con una malla de 50x50
puntos y con k z = 0 . En primer lugar se presentan en la
figura 2a las tres primeras bandas de una red cuadrada
con cilindros de radio igual a 0.63 cm y con una
b)
ΓM
ΓK
11
Frecuencia [GHz]
10
9
8
7
6
5
Γ
M
K
Γ
-1.0
-0.5
0.0
neff
0.5
1.0
Figura 2: a) Diagrama de dispersión para una red cuadrada con elementos metálicos y un parámetro de red, r/a=0.2 b) Índice de
refracción efectivo determinado de la estructura de bandas para la red cuadrada.
a)
b)
ΓM
ΓK
12
Frecuencia [GHz]
11
10
9
8
7
6
Γ
M
K
Γ
-1.0
-0.5
0.0
neff
0.5
1.0
Figura 3: a) Estructura de bandas para una red triangular con elementos metálicos y un parámetro de red, r/a=0.2. b) Índice de
refracción efectivo determinado de la estructura de bandas para la red cuadrada.
relación entre el radio de los cilindros conductores y
el parámetro de red (r a ) igual a 0.2. La frecuencia de
corte del sistema se presenta en 5 GHz y se muestra
una brecha prohibida entre la primera y segunda
banda con un ancho de 1.3 GHz iniciando en 6.9
GHz.
La figura 2b muestra los valores calculados para
el índice de refracción efectivo de esta red tanto en la
dirección Γ → M como en Γ → K y cuyos valores
oscilan entre 0.96 y –0.58.
Se implementó la red triangular con los mismos
parámetros que la red cuadrada y los resultados se
muestran en la figura 3. La frecuencia de corte del
sistema se presenta en 6.2 GHz y no se observa una
brecha prohibida entre la primera y segunda bandas,
mientras que entre la segunda y tercera se observa
una brecha prohibida de 0.4 GHz comenzando en
11.5 GHz. A su vez en la figura 3b se muestran los
valores calculados del índice de refracción efectivo
que tienen un rango de valores entre 0.79 y –0.61.
Finalmente en la figura 4 se muestran los
diagramas de las SEF para la primera (figura 4a) y
segunda banda (figura 4b) en la primera zona de
Brillouin de la red cuadrada, y en la figura 5 se
presentan las SEF para la primera (5a) y segunda
banda (5b) de la red triangular.
a)
f=6.54 GHz
f=5.10 GHz
f=5.45 GHz
f=5.49 GHz
f=5.73 GHz
Γ
M
vg
K
b)
f=8.35 GHz
f=9.75 GHz
f=8.88 GHz
f=8.60 GHz
f=8.51 GHz
vg
Figura 4: a) Diagrama esquemático de las SEF para la primera
banda de un arreglo cuadrado de cilindros metálicos. b) SEF
para la segunda banda de la red cuadrada.
f=7.74 GHz
a)
f=7.35 GHz
f=6.19 GHz
f=6.44GHz
f=6.72 GHz
Γ
vg
M
K
b)
f=8.15 GHz
f=10.75 GHz
f=9.89 GHz
f=9.51GHz
vg
Figura 5: a) Diagrama de las SEF para la primera banda de la
red triangular estudiada. b) Esquema de las SEF para la
segunda banda del arreglo triangular.
Discusión y conclusiones
Los resultados obtenidos fueron comparados con
aquellos alcanzados por diferentes métodos
observándose resultados similares a los obtenidos en
el presente trabajo. Además se pudo observar en los
diagramas presentados notables diferencias en la
estructura de bandas debido a los diferentes arreglos
utilizados (triangular o cuadrado). De esta forma es
posible realizar aplicaciones específicas basadas en
un análisis de la estructura de banda calculada en un
determinado cristal.
Los cristales fotónicos metálicos presentan
ventajas al tener una mayor constante dieléctrica y
muy poca atenuación por lo que las aseveraciones
hechas en este documento se pueden realizar con
materiales como el cobre o aluminio. Algunas
aplicaciones como el enfoque con lentes planos,
acopladores, filtros y otras son posibles.
Finalmente, es importante mencionar que
actualmente está en proceso el estudio experimental
de un cristal fotónico triangular con dimensiones
iguales a las estudiadas teóricamente en este trabajo.
Se utilizarán barras de cobre dentro de una guía de
ondas de placas paralelas donde se medirá la
transmisión de microondas mediante un analizador de
redes, realizando un mapeo en el espacio de la
respuesta en frecuencia del cristal.
Referencias
[1]
En los diagramas mostrados en las figuras 2 y 3 se
puede distinguir que existe una zona donde el índice
de refracción del cristal fotónico es negativo. La
explicación de este fenómeno se puede encontrar
mediante una analogía con las bandas de energía en
un semiconductor, ya que en éstas se puede observar
una masa efectiva negativa en las bandas por debajo
de la brecha prohibida, mientras que en las bandas
por encima de la brecha la masa efectiva es positiva.
La existencia tanto de un índice efectivo negativo y la
masa negativa se debe a la curvatura de la banda [2].
En ciertos rangos de frecuencia se muestra en la
figura 4 que las SEF son circulares dando pie a que
exista un índice de refracción efectivo y la ley de
Snell se pueda aplicar. Cabe mencionar que de
acuerdo a las referencias [2,15] el contraste
producido por la permitividad dieléctrica ε de la
estructura metálica causa SEF circulares en un rango
mucho mayor de frecuencias que en un cristal
dieléctrico.
El diseño de cristales fotónicos para su
implementación en aplicaciones relacionadas con la
refracción negativa requiere de un método eficiente
para el cálculo de la estructura de bandas del mismo.
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