1º ESO mates - T2 Números enteros.key

TEMA 2.- NÚMEROS
ENTEROS
Matemáticas 1º ESO
1.- Números enteros
Los números enteros comprenden:
Números enteros positivos: +1, +2, +3, +4,… (se
corresponden con los números naturales: +4 = 4)
Números enteros negativos: -1, -2, -3, -4,…
El cero (no es positivo ni negativo).
El conjunto de todos los números enteros se
representa con la letra ℤ.
ℤ = {…, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3,…}
Representación de números enteros:
Los positivos se sitúan a la
derecha del 0, y los negativos, a
su izquierda.
Valor absoluto de un número entero:
el valor absoluto de un número entero a, se
representa ⎮a⎮.
nos indica la distancia desde a hasta el 0.
es igual al número natural que resulta al
eliminar el signo.
Ejemplo: ⎮+3⎮ = 3, ⎮-5⎮ = 5
Opuesto de un número entero:
el opuesto de un número entero a, se
representa op(a).
es igual a otro número entero con el
mismo valor absoluto y signo
contrario.
Ejemplo: op(9) = -9, op(-4) = +4
Ordenación de números enteros:
> : “mayor que”
< : “menor que”
cualquier número entero positivo > cualquier
número entero negativo. Ej: +4 > -3
0 > cualquier número entero negativo. Ej: 0 > -2
0 < cualquier número entero positivo. Ej: 0 < +5
Entre dos números enteros positivos, es mayor el
que tiene mayor valor absoluto. Ej: +8 > +2
Entre dos números enteros negativos, es mayor el
que tiene menor valor absoluto. Ej: -1 > -3
Actividades 1, 2, 3, 4, 6 y 7.
Actividades 5, 8, 9, 10, 11, 12 y 13.
Actividades 58, 59 y 60.
2.- Sumas y restas
de números enteros
Suma de números enteros:
si tienen igual signo:
se suman sus valores absolutos y ponemos el
signo que lleven. Ej: (+2) + (+4) = +6; (-3) +
(-2) = -5
si tienen distinto signo:
se restan sus valores absolutos y ponemos el
signo del que tenga mayor valor absoluto. Ej:
(-8) + (+2) = -6; (+5) + (-3) = +2
Resta de dos números enteros:
transformamos en suma (convertimos el signo
- en signo +) y el 2º número en su opuesto.
Resolvemos como una suma (según hemos
indicado antes). Ej:
(-8) - (-2)
(-8) + op(-2)
(-8) + (+2) = -6
Sumas y restas combinadas:
un signo menos delante de un paréntesis cambia
el número que está dentro por su opuesto.
Ej: -(+2) = +(-2)
un signo más delante de un paréntesis no cambia
nada.
Ej: +(-2) = -2
si no hay signo delante del paréntesis es como si
hubiera un signo +.
Ej: (-2) = -2; (+2) = +2
Para eliminar el paréntesis, debemos tener en cuenta:
si delante del paréntesis tenemos un signo + o no
hay signo, los sumandos se quedan con el mismo
signo. Ej:
+(-8) = -8
(-3) = -3
+(-5+3) = -5+3 = -2
(+4-1) = 4-1 = 3
si delante del paréntesis hay un signo -,
lo transformamos en signo + y lo que
está dentro del paréntesis se convierte en
su opuesto. Ej:
-(+8) = +(-8) = -8
-(-3) = +(+3) = 3
-(-2+5) = +(+2-5) = 2-5 = -3
-(+1-7) = +(-1+7) = -1+7 = 6
Actividades 14, 15, 16, 17 y 18.
Resolver sumas y restas de números enteros
gráficamente:
transformamos las restas en sumas.
empezamos en el 0.
nos desplazamos a la derecha si el número que
sumamos es positivo.
nos desplazamos a la izquierda si el número que
sumamos es negativo.
Ej:
(-5) - (+4) - (-3)
(-5) + (-4) + (+3)
Actividades 73, 74, 75, 76, 77, 78 y
79.
3.- Multiplicación y
división de números
enteros.
Multiplicación de dos números enteros:
se multiplican sus valores absolutos.
si los dos factores tienen el mismo signo, el resultado es
positivo. Ej:
(+3) · (+2) = +6
(-4) · (-3) = +12
si los factores tienen distinto signo, el resultado es
negativo. Ej:
(+3) · (-2) = -6
(-4) · (+3) = -12
División de dos números enteros:
se dividen sus valores absolutos.
si los dos números tienen el mismo signo, el
resultado es positivo. Ej:
(+8) : (+2) = +4
(-4) : (-2) = +2
si los números tienen distinto signo, el
resultado es negativo. Ej:
(+6) : (-2) = -3
(-9) : (+3) = -3
Regla de los signos:
En la multiplicación: si los factores tienen igual
signo, el resultado es positivo. Si tienen distinto
signo, el resultado es negativo.
En la división: si los números tienen igual signo,
el resultado es positivo. Si tienen distinto signo,
el resultado es negativo.
Multiplicaciones y divisiones combinadas:
seguimos el orden en que aparecen, de
izquierda a derecha. Ej:
(-8) : (-2) · (-4)
resolvemos la primera operación que
aparece:
(-8) : (-2) = (+4)
resolvemos la siguiente operación:
(+4) · (-4) = -16
Actividades 22, 24, 25, 27 y 31. (pág.
35)
Actividades interactivas:
“Utiliza los números enteros y
realiza operaciones con ellos”
“Multiplicación de números enteros”
4.- Propiedad distributiva.
Factor común.
Propiedad distributiva:
En los números enteros, igual que en los
números naturales, se cumple la propiedad
distributiva del producto respecto a la suma.
Cuando en una operación aparecen unos
paréntesis dentro de otros, se suelen usar
también otros símbolos, como los corchetes
(para sustituir los paréntesis exteriores) o llaves
(más exteriores). Ej:
3 · [(-4) + 3 · (-5+2)]
El producto de un número entero por una suma
es igual a la suma de los productos de dicho
número por cada sumando.
a · (b + c) = a · b + a · c
a, b y c son números enteros.
Ej:
(-2) · [4 + (-1)] = (-2) · (+4) + (-2) · (-1)
(-2) · [4 - (-1)] = (-2) · (+4) - (-2) · (-1)
la propiedad distributiva también se
cumple para las restas, convirtiéndolas
en sumas y los siguientes números en
sus opuestos.
Ej:
(+4) · [4 - (-3)] = 4 · [4 + (+3)] =
= 4 · 4 + 4 · 3 = 16 + 12 = 28
(-3) · [5 - (+2)] = -3 · [5 + (-2)] =
= -3 · 5 + (-3) · (-2) = -15 + 6 = -9
Extraer factor común:
consiste en expresar en forma de multiplicación una suma o resta
en la que hay un factor que se repite en todos los sumandos.
Ej:
6 · (-3) - 6 · (-8) - 6
Tenemos 3 sumandos, separados por dos signos -:
6 · (-3)
6 · (-8)
6 · 1
El factor común es 6.
Extraemos el factor común y aplicamos la propiedad distributiva
en sentido inverso:
6 · [(-3) - (-8) - 1] = 6 · (-3 + 8 - 1) = 6 · (+4) = 6 · 4 = 24
Actividades 35, 36, 40, 41, 43 y 47.
(pág. 37)
Actividad interactiva “Propiedad
distributiva”
5.- Operaciones combinadas
con números enteros.
Jerarquía de las operaciones:
se resuelven primero las operaciones que
aparecen dentro de paréntesis y corchetes
(siempre desde dentro hacia fuera)
se realizan las multiplicaciones y
divisiones de izquierda a derecha.
se realizan las sumas y restas.
Operaciones combinadas:
[-2 - (+4) · (-3)] - [+4 · (-2 + 5)] =
= [-2 - (-12)] - [+4 · (+3)] =
= [-2 + 12] - [+12] =
= 10 - 12 = -2
Actividades 49, 50, 52, 54, 55 y 56.
(pág. 39)
Actividad interactiva: “Operaciones
con números enteros”
Actividades 85, 90, 91, 97, 100 y 103.
(págs. 42, 43 y 44)
Actividades 105, 107, 108, 109 y 115
(pág. 44 y 45)
Actividad interactiva:
“Autoevaluación”
Actividades “Ponte a prueba” (pág.
46 y 47)
Actividad “Autoevaluación” (pág. 47)