Compensación en atraso-adelanto por el método de respuesta en

FIME
COMPENSACIÓN EN ATRASO-ADELANTO POR EL MÉTODO DE RESPUESTA EN FRECUENCIA
UANL
Compensación en atraso-adelanto
por el método de respuesta en frecuencia
CONTROL CLÁSICO
1
M.C. JOSÉ MANUEL ROCHA NUÑEZ
M.C. ELIZABETH GPE. LARA HDZ.
FIME
COMPENSACIÓN EN ATRASO-ADELANTO POR EL MÉTODO DE RESPUESTA EN FRECUENCIA
UANL
Compensador electrónico en atraso-adelanto con amplificadores operacionales
E0 ( s )
Ei ( s )
=
⎤
R4 R6 ⎡ ( R1 + R3 ) C1 s + 1 ⎤ ⎡
R2 C2 + 1
⎥
⎢
⎥⎢
R3 R5 ⎣
R1C1
⎦ ⎢⎣ ( R2 + R4 ) C2 s + 1 ⎥⎦
T1 = ( R1 + R3 ) C1 T1α = R1C1 T2 = R2 C2
β T2 = ( R2 + R4 ) C2
1
⎛
s+
⎜
E0 ( s )
⎛ T s + 1 ⎞⎛ T2 s + 1 ⎞
T1
= K cαβ ⎜ 1
⎟⎜
⎟ = Kc ⎜
Ei ( s )
⎜s+ 1
⎝ α T1s + 1 ⎠⎝ β T2 s + 1 ⎠
⎜
α T1
⎝
α=
R1
<1
R1 + R3
β=
R2 + R4
>1
R2
Kc =
1
⎞⎛
⎟⎜ s + T
2
⎟⎜
⎟⎜ s + 1
⎟⎜
β T2
⎠⎝
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
R2 R4 R6 ( R1 + R3 )
R1 R3 R5 ( R2 + R4 )
La compensación de atraso-adelanto combina las ventajas de las compensaciones de atraso y de
adelanto.
La compensación de adelanto aumenta la velocidad de respuesta e incrementa la estabilidad del sistema.
La compensación de atraso mejora la precisión en estado estable del sistema, pero reduce la velocidad
de la respuesta.
CONTROL CLÁSICO
2
M.C. JOSÉ MANUEL ROCHA NUÑEZ
M.C. ELIZABETH GPE. LARA HDZ.
FIME
COMPENSACIÓN EN ATRASO-ADELANTO POR EL MÉTODO DE RESPUESTA EN FRECUENCIA
UANL
Diagrama de Bode de un compensador en atraso-adelanto con α = 0.1 y β = 10
1
⎛
⎜⎛ 1 ⎞ S + T
1
Gc ( S ) = ⎜ ⎜ ⎟
1
α
⎜⎝ ⎠ S +
⎜
α T1
⎝
1
⎞⎛
⎟ ⎜⎛ 1 ⎞ S + T
2
⎟ ⎜⎜ ⎟
1
β
⎟ ⎜⎝ ⎠ S +
⎟⎜
β T2
⎠⎝
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
Procedimiento
Determine el valor de K para que cumpla con el coeficiente estático de error.
Grafique el diagrama de Bode.
Obtenga el Margen de fase y el Margen de ganancia con sus respectivas frecuencias.
Escoja la nueva frecuencia de transición de ganancia ωm
Calcule el ángulo necesario φm que deberá proporcionar el compensador en adelanto
φm = −180° − ∠G ( jωm ) + MFesp + φadic
(los grados adicionales φadic son aproximadamente 5˚, debido a la caída de ángulo proporcionada por el
compensador en atraso, esto, ubicando al cero del compensador a una década antes de la nueva
frecuencia de transición de ganancia ωm ).
CONTROL CLÁSICO
3
M.C. JOSÉ MANUEL ROCHA NUÑEZ
M.C. ELIZABETH GPE. LARA HDZ.
FIME
COMPENSACIÓN EN ATRASO-ADELANTO POR EL MÉTODO DE RESPUESTA EN FRECUENCIA
UANL
Si el compensador en adelanto no puede proporcionar este ángulo, porque φm > 65° deberemos
escoger otra frecuencia (disminuya la frecuencia de transición de ganancia). Calcule el factor α y
10log α .
⎛ 1 − senφm ⎞
⎟
⎝ 1 + senφm ⎠
α =⎜
El compensador en atraso deberá proporcionar suficiente atenuación para que la magnitud en ωm sea de
10log α .
La atenuación total que deberá proporcionar el compensador en atraso, es la magnitud G ( jωm ) más los
10log α .
20log β = G ( jωm ) − 10log α
(Recuerde que el factor β debe ser menor a 17).
Se ubica al cero del compensador en atraso una década por debajo de la nueva frecuencia de transición
de ganancia ωm .
El cero y el polo del compensador en atraso serán
1 ωm
=
T2 10
1
β T2
El cero y el polo del compensador en adelanto serán
1
= ωm α
T1
1
α T1
El compensador en atraso- adelanto sería:
1
⎛
⎜⎛ 1 ⎞ S + T
1
Gc ( S ) = ⎜ ⎜ ⎟
1
α
⎜⎝ ⎠ S +
⎜
α T1
⎝
CONTROL CLÁSICO
4
1
⎞⎛
⎟ ⎜⎛ 1 ⎞ S + T
2
⎟ ⎜⎜ ⎟
1
β
⎟ ⎜⎝ ⎠ S +
⎟⎜
β T2
⎠⎝
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
M.C. JOSÉ MANUEL ROCHA NUÑEZ
M.C. ELIZABETH GPE. LARA HDZ.
FIME
COMPENSACIÓN EN ATRASO-ADELANTO POR EL MÉTODO DE RESPUESTA EN FRECUENCIA
UANL
Ejemplo 1
La función de transferencia de lazo abierto de un sistema de control es
G (s) =
24 K
s ( s + 2 )( s + 6 )
Se desea que el sistema cumpla con las siguientes especificaciones:
1. El error en estado estable para una entrada rampa con pendiente 2π debe ser menor o iguala
2. Un margen de fase MF ≥ 45°
3. La frecuencia de cruce de ganancia ωc ≥ 1 rad seg
π
10
Solución
El coeficiente estático de error de velocidad del sistema original
24 K
= 2K
s ( s + 2 )( s + 6 )
K v = lim sG ( s ) = lim s
s →0
El error de estado estable sería ess =
Como se desea que el ess =
π
10
s →0
R1
Kv
para una entrada R1 = 2π , entonces
2π π
=
entonces K = 10
2 K 10
El sistema sería
G (s) =
240
s ( s + 2 )( s + 6 )
El margen de fase para este sistema es
MF = −20.78°
MG = −7.93 dB
ωc = 5.3 rad / seg
ω = 3.47 rad / seg
Se escoge como frecuencia de transición de ganancia la misma que la original o la que se encuentre más
cercana a ella
ωm = 4.7,
∠G ( jωm ) = −195°,
G ( jωm ) = 2.356 dB
φm = −180° − ∠G ( jωm ) + MFesp + φadic
[los grados adicionales φadic son aproximadamente 5° , debido a la caída de ángulo proporcionada por el
compensador en atraso, no se proporcionan grados adicionales debido al compensador en adelanto ya
que no existe corrimiento de frecuencia].
φm = −180° − ( −195° ) + 45° + 5° = 65°
CONTROL CLÁSICO
5
M.C. JOSÉ MANUEL ROCHA NUÑEZ
M.C. ELIZABETH GPE. LARA HDZ.
FIME
COMPENSACIÓN EN ATRASO-ADELANTO POR EL MÉTODO DE RESPUESTA EN FRECUENCIA
UANL
Si el compensador en adelanto no puede proporcionar este ángulo (porque φm > 65° ) debemos escoger
una frecuencia de transición de ganancia menor.
Entonces
⎛ 1 − senφm ⎞ ⎛ 1 − sen65° ⎞
⎟=⎜
⎟ = 0.049
⎝ 1 + senφm ⎠ ⎝ 1 + sen65° ⎠
α =⎜
10log α = −13.098 dB
Para determinar la ganancia que deberá proporcionar el compensador en atraso, recuerde que en la
frecuencia de transición de ganancia ωm se debe de tener una magnitud de 10log α (magnitud
negativa), entonces debemos de bajar la magnitud de G ( jωm ) hasta los 10log α (Recuerde que el
factor β debe ser menor a 17)
20log β = G ( jωm ) − 10log α
= 2.356 − ( −13.098) = 15.454
β = 5.925
Con los términos de ωm , α y β , podemos determinar la ubicación de los polos y ceros del
compensador.
El cero y el polo del compensador en adelanto sería
CONTROL CLÁSICO
6
M.C. JOSÉ MANUEL ROCHA NUÑEZ
M.C. ELIZABETH GPE. LARA HDZ.
FIME
COMPENSACIÓN EN ATRASO-ADELANTO POR EL MÉTODO DE RESPUESTA EN FRECUENCIA
UANL
1
= ωm α = 4.7 0.049 = 1.04
T1
1
1.04
=
= 21.232
α T1 0.049
El cero y el polo del compensador en atraso sería
1 ωm
=
= 0.47
T2 10
1
0.47
=
= 0.079
β T2 5.925
El compensador en atraso-adelanto sería
⎛ ( s + 1.04 )
1 ⎞ ⎛ ( s + 0.47 ) 1 ⎞
Gc ( s ) = ⎜⎜
⎟⎟ ⎜⎜
⎟⎟
⎝ ( s + 21.232 ) 0.049 ⎠ ⎝ ( s + 0.079 ) 5.925 ⎠
El ángulo que aporta el compensador en atraso en la nueva frecuencia de transición de ganancia ωm
∠Gc ( jωm ) = tan −1
ωm
0.47
− tan −1
ωm
0.079
= 84.289° − 89.037° = −4.75°
El sistema compensado en atraso-adelanto
⎛
⎞⎛ ( s + 1.04 )
240
1 ⎞⎛ ( s + 0.47 ) 1 ⎞
G ( s ) Gc ( s ) = ⎜⎜
⎟⎜
⎟⎜
⎟⎟
⎟⎜
⎟⎜
⎝ s ( s + 2 )( s + 6 ) ⎠⎝ ( s + 21.232 ) 0.049 ⎠⎝ ( s + 0.079 ) 5.925 ⎠
K v = lim sG ( s ) Gc ( s ) = 19.91 seg −1
s →0
En ωm = 4.7
G ( jωm ) Gc ( jωm ) = 0.043 dB
∠G ( jωm ) Gc ( jωm ) = −134.73°
Para el sistema compensado
MF = 45.1°
MG = 13.5 dB
CONTROL CLÁSICO
ωm = 4.72 rad / seg
ω f = 11.9 rad / seg
7
M.C. JOSÉ MANUEL ROCHA NUÑEZ
M.C. ELIZABETH GPE. LARA HDZ.
FIME
CONTROL CLÁSICO
COMPENSACIÓN EN ATRASO-ADELANTO POR EL MÉTODO DE RESPUESTA EN FRECUENCIA
8
UANL
M.C. JOSÉ MANUEL ROCHA NUÑEZ
M.C. ELIZABETH GPE. LARA HDZ.
FIME
COMPENSACIÓN EN ATRASO-ADELANTO POR EL MÉTODO DE RESPUESTA EN FRECUENCIA
UANL
Ejemplo 2
Si seleccionamos una nueva frecuencia de transición de ganancia ω m = 2
ωm = 2
∠G ( jω m ) = −153.43°
G ( jω m ) = 16.532 dB
φ m = −180° − ∠G ( jω m ) + MFesp + φ adic
φ m = −180° − (− 153.43°) + 45° + 5° = 23.43°
Entonces
⎛ 1 − senφ m
α = ⎜⎜
⎝ 1 + senφ m
⎞ ⎛ 1 − sen 23.43° ⎞
⎟⎟ = ⎜⎜
⎟⎟ = 0.431
⎠ ⎝ 1 + sen 23.43° ⎠
10 log α = −3.655 dB
Para determinar la ganancia que deberá proporcionar el compensador en atraso, recuerde que en la
frecuencia de transición de ganancia ω m se debe de tener una magnitud de 10 log α , entonces debemos
de bajar la magnitud de G ( jω m ) hasta los 10 log α (Recuerde que el factor β debe ser menor a 17)
20 log β = G ( jω m ) − 10 log α = 16.532 + 3.655 = 20.187
β = 10.218
Con los términos de ω m , α y β , podemos determinar la ubicación de los polos y ceros del
compensador
El cero del compensador en adelanto sería
1
= ω m α = 2 0.431 = 1.313
T1
El polo
1
1.313
=
= 3.046
αT1 0.431
El cero del compensador en atraso sería
1 ωm
=
= 0.2
T2 10
El polo
1
0.2
=
= 0.019
βT2 10.218
El compensador en atraso-adelanto sería
⎛ (s + 1.313) 1 ⎞ ⎛ (s + 0.2 )
1 ⎞
⎟⎟ ⎜⎜
⎟⎟
Gc (s ) = ⎜⎜
⎝ (s + 3.046) 0.431 ⎠ ⎝ (s + 0.019) 10.218 ⎠
CONTROL CLÁSICO
9
M.C. JOSÉ MANUEL ROCHA NUÑEZ
M.C. ELIZABETH GPE. LARA HDZ.
FIME
COMPENSACIÓN EN ATRASO-ADELANTO POR EL MÉTODO DE RESPUESTA EN FRECUENCIA
UANL
El ángulo que aporta el compensador en atraso en la nueva frecuencia de transición de ganancia ω m
∠Gc ( jω m ) = tan −1
ωm
ω
− tan −1 m = 84.289° − 89.456° = −5.167°
0.2
0.019
El sistema compensado en atraso-adelanto
⎛
⎞⎛ (s + 1.313) 1 ⎞⎛ (s + 0.2 )
240
1 ⎞
⎟⎟⎜⎜
⎟⎟⎜⎜
⎟⎟
G (s )Gc (s ) = ⎜⎜
⎝ s (s + 2 )(s + 6) ⎠⎝ (s + 3.046) 0.431 ⎠⎝ (s + 0.019) 10.218 ⎠
K v = 20.606 seg −1
En ω m = 2
G ( jω m )Gc ( jω m ) = 0.043 dB
∠G ( jω m )Gc ( jω m ) = −135.17°
Para el sistema compensado
ω m = 2 rad / seg
ω f = 4.71 rad / seg
MF = 44.82°
MG = 11.746 dB
CONTROL CLÁSICO
10
M.C. JOSÉ MANUEL ROCHA NUÑEZ
M.C. ELIZABETH GPE. LARA HDZ.
FIME
CONTROL CLÁSICO
COMPENSACIÓN EN ATRASO-ADELANTO POR EL MÉTODO DE RESPUESTA EN FRECUENCIA
11
UANL
M.C. JOSÉ MANUEL ROCHA NUÑEZ
M.C. ELIZABETH GPE. LARA HDZ.
FIME
COMPENSACIÓN EN ATRASO-ADELANTO POR EL MÉTODO DE RESPUESTA EN FRECUENCIA
UANL
Ejemplo 3
La función de transferencia de lazo abierto de un sistema de control es
G (s) =
K
s ( s + 1)( s + 2 )
Se desea que el sistema cumpla con las siguientes especificaciones:
• El coeficiente estático de error de velocidad K v = 10 seg −1
• Un margen de fase MF = 50°
• Un margen de ganancia de MG ≥ 10 dB
Solución
El coeficiente estático de error de velocidad del sistema original
K v = lim sG ( s ) = lim s
s →0
s →0
K
K
=
s ( s + 1)( s + 2 ) 2
Como se desea que K v = 10 entonces
K
= 10 por lo que K = 20
2
El sistema sería
G (s) =
20
s ( s + 1)( s + 2 )
El margen de fase para este sistema es
ωc = 2.43 rad / seg
MG = −10.51 dB ω f = 1.41 rad / seg
MF = −28.17°
Se escoge como frecuencia de transición de ganancia ωm = 0.5
∠G ( jωm ) = −130.601°
ωm = 0.5
G ( jωm ) = 24.788 dB
φm = −180° − ∠G ( jωm ) + MFesp + φadic
φm = −180° − ( −130.601° ) + 50° + 5° = 5.601°
Entonces
⎛ 1 − senφ m
⎝ 1 + senφ m
α = ⎜⎜
⎞ ⎛ 1 − sen 5.601° ⎞
⎟⎟ = ⎜⎜
⎟⎟ = 0.822
⎠ ⎝ 1 + sen 5.601° ⎠
10 log α = −0.8507 dB
CONTROL CLÁSICO
12
M.C. JOSÉ MANUEL ROCHA NUÑEZ
M.C. ELIZABETH GPE. LARA HDZ.
FIME
COMPENSACIÓN EN ATRASO-ADELANTO POR EL MÉTODO DE RESPUESTA EN FRECUENCIA
UANL
Para determinar la ganancia que deberá proporcionar el compensador en atraso, recuerde que en la
frecuencia de transición de ganancia ωm se debe de tener una magnitud de 10log α , entonces debemos
de bajar la magnitud de G ( jωm ) hasta los 10log α (Recuerde que el factor β debe ser menor a 17)
20log β = G ( jωm ) − 10log α = 24.788 + 0.8507 = 25.639
β = 19.14
Como la β es mayor a 17, se puede aumentar la frecuencia de transición de ganancia ωm para que
aumente el ángulo de adelanto φ m y disminuya la β .
Seleccionamos una nueva frecuencia de transición de ganancia ω m = 1
ωm = 1
∠G ( jωm ) = −161.565°
G ( jωm ) = 16.02 dB
φm = −180° − ∠G ( jωm ) + MFesp + φadic
φm = −180° − ( −161.565° ) + 50° + 5° = 36.565°
Entonces
⎛ 1 − senφm
⎝ 1 + senφm
α =⎜
⎞ ⎛ 1 − sen 36.565° ⎞
⎟=⎜
⎟ = 0.253
⎠ ⎝ 1 + sen 36.565° ⎠
10log α = −5.969 dB
Para determinar la ganancia que deberá proporcionar el compensador en atraso, haremos.
20log β = G ( jωm ) − 10log α = 16.02 + 5.969 = 21.989
β = 12.573
Con los términos de ωm , α y β , podemos determinar la ubicación de los polos y ceros del
compensador
El cero y el polo del compensador en adelanto sería
1
= ωm α = 0.253 = 0.503
T1
1
0.503
=
= 1.988
α T1 0.253
El cero y el polo del compensador en atraso sería
CONTROL CLÁSICO
13
M.C. JOSÉ MANUEL ROCHA NUÑEZ
M.C. ELIZABETH GPE. LARA HDZ.
FIME
COMPENSACIÓN EN ATRASO-ADELANTO POR EL MÉTODO DE RESPUESTA EN FRECUENCIA
UANL
1 ωm
=
= 0.1
T2 10
1
0.1
=
= 0.0079
β T2 12.573
El compensador en atraso-adelanto sería
⎛ ( s + 0.503) 1 ⎞ ⎛ ( s + 0.1)
1 ⎞
Gc ( s ) = ⎜⎜
⎟⎟ ⎜⎜
⎟⎟
⎝ ( s + 1.988 ) 0.253 ⎠ ⎝ ( s + 0.0079 ) 12.573 ⎠
El ángulo que aporta el compensador en atraso en la nueva frecuencia de transición de ganancia ωm
∠Gc ( jωm ) = tan −1
ωm
0.1
− tan −1
ωm
0.0079
= 84.289° − 89.547° = −5.258°
El sistema compensado en atraso-adelanto
⎛
⎞ ⎛ ( s + 0.503) 1 ⎞ ⎛ ( s + 0.1)
20
1 ⎞
G ( s ) Gc ( s ) = ⎜⎜
⎟⎟ ⎜⎜
⎟⎟ ⎜⎜
⎟⎟
⎝ s ( s + 1)( s + 2 ) ⎠ ⎝ ( s + 1.988 ) 0.253 ⎠ ⎝ ( s + 0.0079 ) 12.573 ⎠
K v = 10.068 seg −1
En ωm = 1
G ( jωm ) Gc ( jωm ) = 0.044 dB
∠G ( jωm ) Gc ( jωm ) = −130.23°
Para el sistema compensado
ωm = 1 rad / seg
MG = 11.37 dB
ω f = 2.33 rad / seg
MF = 49.77°
CONTROL CLÁSICO
14
M.C. JOSÉ MANUEL ROCHA NUÑEZ
M.C. ELIZABETH GPE. LARA HDZ.
FIME
CONTROL CLÁSICO
COMPENSACIÓN EN ATRASO-ADELANTO POR EL MÉTODO DE RESPUESTA EN FRECUENCIA
15
UANL
M.C. JOSÉ MANUEL ROCHA NUÑEZ
M.C. ELIZABETH GPE. LARA HDZ.
FIME
COMPENSACIÓN EN ATRASO-ADELANTO POR EL MÉTODO DE RESPUESTA EN FRECUENCIA
UANL
Ejemplo 1
La función de transferencia de lazo abierto de un sistema de control es
G (s) =
4K
s ( s + 2)
Se desea que el sistema cumpla con las siguientes especificaciones
1. El coeficiente estático de error de velocidad K v = 20 seg −1
2. El margen de fase MF ≥ 50°
3. El margen de ganancia MG ≥ 10 dB
Solución
El coeficiente estático de error de velocidad del sistema original
K v = lim sG ( s ) = lim s
s →0
s →0
Como se desea que K v = 20 seg −1 entonces
2 K = 20
4K
= 2K
s ( s + 2)
K = 10
El sistema sería
G (s) =
40
s ( s + 2)
El margen de fase para este sistema es
MF = 17.96°
ωc = 6.17 rad / seg
MG = ∞
El ángulo que debe de proporcionar el compensador en atraso
φm = −180° + MFesp + φadic
Se consideran 5° como grados adicionales φadic , si se piensa en ubicar el cero del compensador en
atraso a una década antes del la nueva frecuencia de transición de ganancia ωm
φm = 180° + 50° + 5° = −125°
en ω = 1.4 tenemos una defasamiento de -125° y una magnitud de 21.366 dB, ésta será la nueva
frecuencia de transición de ganancia
ωm = 1.4
El compensador en atraso deberá proporcionar la ganancia de 21.366 dB
20log β = 21.366 ⇒ β = 11.703
CONTROL CLÁSICO
16
M.C. JOSÉ MANUEL ROCHA NUÑEZ
M.C. ELIZABETH GPE. LARA HDZ.
FIME
COMPENSACIÓN EN ATRASO-ADELANTO POR EL MÉTODO DE RESPUESTA EN FRECUENCIA
UANL
Se ubica al cero del compensador a una década antes de la nueva frecuencia de transición de ganancia
El cero del compensador sería
1 ωm 1.4
=
=
= 0.14
T 10 10
El polo
1
0.14
=
= 0.012
β T 11.703
El compensador sería
⎛
1
s+
1⎜
T
Gc ( s ) = ⎜
β ⎜s+ 1
⎜
βT
⎝
⎞
⎟
1 ⎛ s + 0.14 ⎞
⎟=
⎜
⎟
⎟ 11.703 ⎝ s + 0.012 ⎠
⎟
⎠
El ángulo que aporta el compensador en atraso sobre la nueva frecuencia de transición de ganancia
ωm = 1.4 es
∠Gc ( jω ) = tan −1
ω
0.14
− tan −1
ω
0.012
= 84.289° − 89.509° = −5.22°
El sistema compensado es
⎛ 40 ⎞ ⎛ s + 0.14 ⎞ 1
G ( s ) Gc ( s ) = ⎜⎜
⎟⎟ ⎜
⎟
⎝ s ( s + 2 ) ⎠ ⎝ s + 0.012 ⎠ 11.703
En ωm = 1.4
G ( jωm ) Gc ( jωm ) = 0.043 dB
∠G ( jωm ) Gc ( jωm ) = −130.21°
Para el sistema compensado
MF = 49.79°
ωm = 1.4 rad / seg
MG = ∞
CONTROL CLÁSICO
17
M.C. JOSÉ MANUEL ROCHA NUÑEZ
M.C. ELIZABETH GPE. LARA HDZ.
FIME
CONTROL CLÁSICO
COMPENSACIÓN EN ATRASO-ADELANTO POR EL MÉTODO DE RESPUESTA EN FRECUENCIA
18
UANL
M.C. JOSÉ MANUEL ROCHA NUÑEZ
M.C. ELIZABETH GPE. LARA HDZ.