Hoja de Ejercicios 10: Ondas (II)

Hoja de Problemas 10: ONDAS (II)
(Fecha de entrega: 20-4-2016; Fecha de recogida: 27-4-2016)
Problemas a entregar: 3, 4 y 5.
1) Estudiar la superposición de dos ondas planas con números de onda k1 y k2 que se propagan en
una dimensión espacial y con el mismo sentido. Las amplitudes de las dos ondas son C1 y C2. Suponer
que dichas amplitudes son reales, de modo que se cumple q1(x,t)=C1cos(k1x- ω1t) y q2(x,t)=C2cos(k2xω2t). Considerar una relación de dispersión general, pero suponer que las dos frecuencias ω1 y ω2,
están muy próximas entre sí. Calcular la superposición de ambas ondas.
2) (a) Encontrar la relación entre la velocidad de fase vf, y de grupo, vg, para un medio en que vf es:
i) inversamente proporcional a la longitud de onda, λ, o ii) proporcional a la raíz cuadrada de λ. (b) La
permitividad dieléctrica relativa en un plasma está dada por ε(ω)=1-(ω0/ω)2, donde ω0 es la
denominada frecuencia del plasma. Encontrar la relación de dispersión ω(k) para las ondas
electromagnéticas que se propagan en el plasma.
3) Considerar una cuerda muy larga sometida a una tensión F0. Una masa M está unida a la cuerda
en el punto x=0. Desde la izquierda incide un tren de ondas transversales de frecuencia angular ω y
número de onda k. (a) Mostrar que la reflectancia (R) y transmitancia (T) vienen dados por R =
sin2θ, T= cos2θ , donde tanθ = Mω2/(2kF0). (b) Determinar el salto de fase para las ondas reflejadas y
transmitidas.
4) Una cuerda de longitud L se sujeta en ambos extremos y tiene una tensión F0. Se empuja
lateralmente una distancia h en su centro y luego se deja libre. (a) Hallar la energía total de las
oscilaciones siguientes. (b) Hallar la fracción de esa energía que se reside en los primeros tres
armónicos.
5) Sea una membrana de densidad superficial de masa σ0 y tensión superficial τ0 que está sujeta en
un bastidor rectangular de lados a y b (a=2b). a) Analizar las ondas transversales en dicha membrana
calculando las frecuencias propias y modos normales correspondientes. Representar cualitativamente
la forma de los cuatro primeros modos normales. b) Partiendo de la configuración de equilibrio se
percute la membrana en el punto P mediante una baqueta. Las coordenadas de P son x=3a/4, y=
b/2. Como consecuencia, el punto percutido de la membrana adquiere un momento lineal transversal
inicial P0. Calcular la amplitud de cada uno de los modos normales en el movimiento resultante.